Vai trò của phân tích khoa học luận lịch sử toán học trong nghiên cứu và thực hành dạy học môn toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM
KHOA TOÁN - TIN

BÁO CÁO TÓM TẮT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP BỘ
Mã số: B2001 - 23 - 02
Tên đề tài

VAI TRÒ CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN
LỊCH SỬ TOÁN HỌC TRONG NGHIÊN CỨU VÀ
THỰC HÀNHDẠY - HỌC MÔN TOÁN

Chủ nhiệm đề tài

: TS. Lê Thị Hoài Châu

Thời gian thực hiện : Từ tháng 5 - 2001 đến tháng 3 - 2003
Ngày viết báo cáo : 10 - 3 - 2003

TP.Hồ Chí Minh 2003


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM
KHOA TOÁN – TIN

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP BỘ
Mã số: B2001 -23 -02
VAI TRÒ CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN

LỊCH SỬ TOÁN HỌC TRONG NGHIÊN CỨU
VÀ THỰC HÀNH DẠY – HỌC MÔN TOÁN

Cơ quan chủ trì:
Chủ nhiệm đề tài:
Cùng tham gia nghiên cứu:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
280 An Dƣơng Vƣơng, Quận 5, TPHCM
TS.LÊ THỊ HOẠI CHÂU
Cán bộ giảng dạy khoa Toán-Tin, ĐHSP TP. HCM
TS. LÊ VĂN TIẾN
Cán bộ giảng dạy khoa Toán – Tin, ĐHSP TP.HCM

TP. Hồ Chí Minh 2003


MỤC LỤC
PHẦN I: ................................................................................................................................. 1
BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ..................................................................................... 1
CHƢƠNG 1: ................................................................................................................... 1
KHOA HỌC LUẬN VÀ PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN LỊCH SỬ ................................... 1
I. Về thuật ngữ Khoa học luận ......................................................................................... 1
II. Khoa học luận, lịch sử và phân tích khoa học luận lịch sử của một khoa học.............. 3
CHƢƠNG 2: LỢI ÍCH SƢ PHẠM CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN ........................ 5
A. Những giả thuyết về học tập ....................................................................................... 5
B. Lợi ích sƣ phạm của Phân tích khoa học luận ............................................................ 6
I. Khoa học luận – đối tƣợng tri thức – đối tƣợng dạy học............................................... 6
II. Khoa học luận và lý thuyết tình huống ......................................................................... 8
III. Khoa học luận và chƣớng ngại................................................................................. 10

IV. Khoa học luận và quan niệm .................................................................................... 13
V. Kết luận .................................................................................................................... 19
CHƢƠNG 3: VÍ DỤ VỀ LỢI ÍCH SƢ PHẠM CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN ...... 20
A. Trƣờng hợp khái niệm vectơ hình học ...................................................................... 20
I. Phân tích khoa học luận lịch sử hình thành lý thuyết vectơ ........................................ 20
II. Những trở ngại cho sự xuất hiện khái niệm vectơ và sự phát triển của tính toán vectơ
...................................................................................................................................... 31
III. Lợi ích sƣ phạm của phân tích khoa học luận .......................................................... 33
B. TRƢỜNG HỢP PHÉP BIẾN HÌNH ........................................................................... 38
I. Những điểm chủ yếu rút ra từ phân tích khoa học luận lịch sử hình thành và phát triển
lý thuyết các phép biến hình............................................................................................. 38
II. Lợi ích sƣ phạm ........................................................................................................ 42
II.2. Điểm hóa các hình hình học - một chƣớng ngại khoa học luận. Vai trò của hình học
giải tích ............................................................................................................................ 43
C. Trƣờng hợp số phức .............................................................................................. 48
I. Giai đoạn 1: Cách viết trung gian – mầm mống đầu tiên của số phức ........................ 48
II. Giai đoạn 2: ký hiệu hình thức các đại lƣợng ảo ....................................................... 53
III. Giai đoạn 3: Biểu diễn hình học các đại lƣợng ......................................................... 56
IV. Giai đoạn 4: Đại số các số phức .............................................................................. 61
KẾT LUẬN .......................................................................................................................... 65
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................................... 66
PHẦN PHỤ LỤC ................................................................................................................... 2
4. Kinh phí đã chi ............................................................................................................ 2


1

PHẦN I:
BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
CHƢƠNG 1: KHOA HỌC LUẬN VÀ PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN

LỊCH SỬ
I. Về thuật ngữ Khoa học luận
I.1. Nguồn gốc
Thuật ngữ Khoa học luận chỉ mới xuất hiện ở thế kỷ 19, đƣợc cấu tạo từ hai gốc Hy
lạp épistèmè (khoa học) và logo (nghiên cứu về). Trong Vocabulaire technique et critique de
la Phylosophie của Lalande (đầu thế kỷ 20), ta tìm thấy định nghĩa sau đây: "Từ này chỉ triết
học của các khoa học nhƣng với nghĩa rõ hơn một chút. Nó không phải là một nghiên cứu về
các phƣơng pháp khoa học - đó là đối tƣợng của Phƣơng pháp luận và là một phần của Logic
học. Nó cũng không phải là một sự tổng hợp hay tiên đoán các luật khoa học. ... Về cơ bản,
khoa học luận là một nghiên cứu mang tính phê phán những nguyên lý, những giả thuyết và
những kết quả của các khoa học khác nhau, nhằm xác định nguồn gốc logic (chứ không phải
là nguồn gốc tâm lý), giá trị và ảnh hƣởng khách quan của chúng."
Nhƣ thế, Khoa học luận xuất hiện nhƣ là một bộ phận của Triết học các khoa học.
Vậy thì Khoa học luận và Triết học các khoa học đƣợc phân biệt với nhau ở chỗ nào? Nhƣ J L. Dorrier (1996) đã chỉ ra, Triết học của các khoa học hƣớng đến việc vạch rõ đặc trƣng của
những đối tƣợng gắn liền với tri thức khoa học và xác định tính hợp thức của tri thức. Nói
cách khác, hai mục đích dƣờng nhƣ không thể tách biệt của Triết học các khoa học là:
- nghiên cứu những đặc trƣng của tri thức (nhà bác học nói về cái gì, và nói nhƣ thế
nào về cái đó?)
- nghiên cứu tính thực tiễn khoa học của một đối tƣợng tri thức (chân lý khoa học là
gì? có chân lý khoa học với điều kiện nào có thể nói về chân lý khoa học trong những giới
hạn nào?)
Theo nghĩa hẹp thì Khoa học luận đƣợc giới hạn ở mục đích đầu tiên, nghĩa là nó
nghiên cứu những điều kiện cho phép sản sinh ra các kiến thức khoa học, quá trình hình
thành và phát triển của các kiến thức đó.

I.2. Các trào lưu khác nhau


2

Cùng với thời gian, nghĩa của thuật ngữ Khoa học luận đã tiến triển, đƣợc mở rộng và
trở nên đa dạng hơn nhiều. Drouin (1991) đã phân biệt bốn trào lƣu khoa học luận khác nhau,
trong đó, do mục đích nghiên cứu của đề tài này, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến hai trào
lƣu:
• Khoa học luận lịch sử: nghiên cứu quá khứ để khám phá ra quá trình hình thành nên
một tri thức (những vấn đề gắn liền với nó, những trở ngại, những bƣớc nhảy quan niệm cho
phép tri thức nảy sinh, v.v....)
• Khoa học luận phát sinh: nghiên cứu các đặc trƣng của tri thức khoa học và thử tìm
lại những đặc trƣng đó trong sự phát sinh tri thức ở trẻ em thông qua quan sát. Nhƣ thế, khoa
học luận phát sinh quan tâm đến sự phát triển kiến thức ở cá thể, nghiên cứu quá trình xây
dựng những kiến thức "chấp nhận đƣợc" và bƣớc chuyển từ tình trạng tháp đến tình trạng
kiến thức tăng vọt. Cách tiếp cận này (của Piaget) đã tách khoa học luận ra khỏi triết học, tạo
nên một khoa học nhân văn và thực nghiệm
Giữa khoa học luận lịch sử và khoa học luận phát sinh có một quan điểm chung: sự
phát sinh tri thức là một quá trình gồm nhiều giai đoạn.

I.3. Khoa học luận trong didactic toán
Những gì đã trình bày ở trên cho ta thấy thuật ngữ khoa học luận đã đƣợc sử dụng với
nhiều nghĩa khác nhau. Vậy thuật ngữ này đƣợc hiểu nhƣ thế nào trong các nghiên cứu về
hoạt động dạy và học toán?
Trả lời cho câu hỏi này, J-L. Dorrier nói: trong didactic1 ta quan tâm đến Khoa học
luận theo nghĩa nó nghiên cứu những điều kiện sản sinh ra các tri thức khoa học, giúp ta hiểu
rõ hơn mối liên hệ giữa việc xây dựng tri thức trong cộng đồng các nhà bác học với việc dạy
và học tri thức này (J-L. Doƣier, 1996, tr 21).
Nhƣ vậy, khoa học luận nghiên cứu những điều kiện cho phép nảy sinh tri thức khoa
học, quan tâm đến sự tiến triển của các tri thức hay kiến thức. Ở đây thuật ngữ tiến triển
đƣợc hiểu theo nghĩa rộng: nó có thể liên quan đến sự biến đổi tình trạng kiến thức của một
hệ thống, một thể chế hay một cá thể. Hơn thế, nó chú ý không chỉ đến những tƣ tƣởng tiến
bộ mà còn đến cả những trì trệ, những bƣớc lùi. Các thuật ngữ tri thức và kiến thức thì đƣợc
hiểu theo nghĩa chủng loại: một kiến thức gắn liền với một cá thể, thể hiện qua những hoạt

động trong một lớp tình huống xác định, và chỉ có thể trở thành tri thức sau khi đã đƣợc phi
cá nhân hóa, phi ngữ cảnh hóa. Cách hiểu này nhấn mạnh tính chất động cũng nhƣ chế độ
nhiều thể chế của kiến thức và tri thức, hơn thế nữa, nó có thể thích hợp ở tất cả những nơi
mà kiến thức hay tri thức đang trên đƣờng xây dựng, tiến triển hoặc biến đổi.
Thừa nhận quan điểmcủa Dorrier J-L., chúng tôi định nghĩa: Phân tích khoa học luận
một tri thức là nghiên cứu lịch sử hình thành tri đó nhằm vạch rõ:
- nghĩa của tri thức, những bài toán, những vấn đề mà tri thức đó cho phép giải quyết;
- những trở ngại cho sự hình thành tri thức ;

1

"Didactic" là cách viết phiên âm của didactícs trong tiếng anh và didactique trong tiếng pháp. Tùy theo ngữ
cảnh, thuật ngữ này có thể đƣợc hiểu theo những nghĩa khác nhau. Trong câu trên, nó có thể đƣợc dịch sang
tiếng Việt là lý luận dạy-học. Didactic toán có nghĩa là lý luận dạy-học môn toán.


3

- những bƣớc nhảy trong quan niệm, những điều kiện sản sinh ra tri thức;
- những quan niệm cóthể gắn liền với tri thức.
- Phân tích khoa học luận sẽ giúp ta hiểu rõ mối liên hệ giữa quá trình xây dựng tri
thức trong cộng đồng khoa học với việc dạy và học tri thức này.

II. Khoa học luận, lịch sử và phân tích khoa học luận lịch sử của một khoa
học.
Cách hiểu trên về thuật ngữ khoa học luận khá gần gũi với trào lƣu khoa học luận lịch
sử. Nó dẫn đến chỗ thừa nhận mối liên hệ khăng khít giữa khoa học luận với lịch sử các khoa
học.
Thoạt nhìn, có thể cho rằng Lịch sử các khoa học chỉ giới hạn ở việc liệt kê các sự
kiện khoa học, cùng lắm là vạch ra những triển vọng thông qua tƣ tƣởng tổng quát ở từng

thời đại. Nhƣng cách nhìn này quá hạn hẹp, nhƣ G. Canghuilhem đã nhấn mạnh: "Lịch sử của
một khoa học không phải là bộ sƣu tập đơn giản các tiểu sử, lại càng không phải là bảng niên
đại đƣợc tô điểm bởi những giai thoại. Nó phải là lịch sử của sự hình thành, sự biến dạng, sự
chỉnh lý các khái niệm khoa học". Nghiên cứu lịch sử một khoa học không đơn giản chỉ là
mô tả các sự kiện, mà còn phải xem xét tính gắn bó nội tại chặt chẽ thể hiện qua những khái
niệm, những vấn đề đƣa lại nghĩa cho khoa học đó.
Theo quan niệm này thì Lịch sử một khoa học không thể tách rời khỏi những câu hỏi
có tính khoa học luận. Nhƣ thế, nghiên cứu lịch sử của một khoa học có mối liên hệ chặt chẽ
với phân tích khoa học luận về khoa học đó. Thậm chí, theo J-L. Dorier (1997), nghiên cứu
lịch sử và nghiên cứu khoa học luận không thể tách rời nhau, chúng chỉ có thể thiên về phía
lịch sử hay về phía khoa học luận nhiều hơn mà thôi.
Tuy nhiên, Khoa học luận và Lịch sử các khoa học không đồng nhất với nhau.
Bachelard phân biệt hai đối tƣợng này qua những ý kiến sau:
• "Nhà lịch sử xem các tƣ tƣởng nhƣ là những sự kiện. Nhà khoa học luận thì lại nắm
lấy các sự kiện nhƣ là những tƣ tƣởng bằng cách lồng chúng vào trong một hệ thống tƣ duy."
• "Lo lắng về tính khách quan, nhà lịch sử ghi vào danh mục mọi tƣ liệu, không đi
đến chỗ đo đƣợc những biến đổi nhận thức trong sự giải thích cho cùng một bản văn. Thực ra
thì ở cùng một thời đại, dƣới cùng một từ, có thể có những khái niệm khác nhau biết bao
nhiêu. Cái làm cho ta có thể nhầm lẫn chính là ở chỗ một từ đƣợc dùng đồng thời vừa để chỉ
định vừa để giải thích. Tên gọi là một, nhƣng cách giải thích thì lại khác nhau. [...] Nhà khoa
học luận phải cố gắng nắm bắt khái niệm khoa học trong quá trình tiến triển, bằng cách thiết
lập các bậc thang quan niệm về mỗi khái niệm, chỉ rõ nó đƣợc hình thành nhƣ thế nào và có
liên hệ ra sao với những khái niệm khác."
Để minh họa ý kiến này, chúng tôi lấy thuật ngữ "phép biến hình" làm ví dụ. Nhƣ sẽ
phân tích rõ ở chƣơng 3, trong một nghiên cứu khoa học luận lịch sử hình thành khái niệm
"phép biến hình", thuật ngữ này đƣợc lấy những nghĩa khác nhau ở những giai đoạn khác
nhau. Chẳng hạn, vào cuối thế kỷ 16, phép biến hình chƣa đƣợc định nghĩa, chỉ đƣợc mô tả


4

qua kết quả tác động của nó lên một đối tƣợng hình học. Ở giai đoạn này ngƣời ta xem xét
các hình hình học trong tổng thể về hình dạng, kích thƣớc, không nhìn nó nhƣ một tập hợp
điểm, và phép biến hình đƣợc hiểu là một phép là biến đổi hình -, đƣợc sử dụng nhƣ một công
cụ ngầm ẩn để chuyển các tính chất hình học từ hình này sang hình kia, mà ngƣời ta cũng chỉ
dùng nó trong nghiên cứu về các đƣờng conic. Cách hiểu này cho phép chuyển một số tính
chất hình học của đƣờng tròn vào các đƣờng cônic ảnh, có nghĩa là từ tính chất của đƣờng
tròn mà suy ra tính chất của đƣờng cônic, không cần một phép chứng minh mới. Đến thế kỷ
18, mặc dầu đƣợc sử dụng ở một góc độ khác, khái niệm phép biến hình vẫn chƣa đƣợc định
nghĩa. Ngƣời ta đƣa vào từ “phép biến đổi hình” như một thuật ngữ được mô tả chứ
không phải nhƣ một đối tƣợng của toán học. Sang thế kỷ 19, phép biến hình mới đƣợc hiểu
theo nghĩa ánh xạ trong không gian vào chính nó, và ở đây không gian được xem xét với
tư cách là một tập hợp điểm.
• Để phân biệt phân tích khoa học luận với nghiên cứu lịch sử một khoa học,
Bachelard còn nói đến những chƣớng ngại: "Một sự kiện đƣợc hiểu không đúng ở một thời
đại chỉ là một sự kiện đối với nhà lịch sử, nhƣng lại có thể là một chƣớng ngại hay một ý
tƣởng đối lập theo cách nhìn của nhà khoa học luận. Khi một tƣ tƣởng khoa học xuất hiện
nhƣ là khó khăn đã đƣợc khắc phục thì cũng có nghĩa là một chƣớng ngại đã đƣợc vƣợt qua".
(Bachelard, 1938, tr. 17-18).
Phân tích khoa học luận lịch sử là một phân tích quá khứ để khám phá những mò
mẫm, những lệch lạc, những hƣớng đi sai lầm, những chƣớng ngại khác nhau, những điều
kiện có thể làm xuất hiện các khái niệm khoa học mới. Trong phân tích khoa học luận lịch
sử, điều kiện cho sự nảy sinh một phát minh cũng quan trọng không kém bản thân phát minh
đó. Theo nghĩa này thì cần phải đặt nghiên cứu của nhà toán học vào bối cảnh thời đại ông ta
sống (bối cảnh khoa học là hiển nhiên, có khi còn phải tính đến bối cảnh kinh tế, xã hội,
chính trị, hay văn hóa, thậm chí hoàn cảnh cá nhân của tác giả). Phân tích khoa học luận lịch
sử sẽ tạo ra một cơ sở dữ liệu cho phép ta hiểu đầy đủ hơn sự tiến triển của khái niệm, những
điều kiện để khái niệm này hình thành, phát triển, và cũng cả những điều kiện đem đến khả
năng hay, ngƣợc lại, cản trở sự tiến lên.

5

CHƢƠNG 2: LỢI ÍCH SƢ PHẠM CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN
Sự cần thiết hay không của phân tích khoa học luận một tri thức đối với việc dạy - học
tri thức đó là do quan niệm về hoạt động học quy định. Vì thế, trƣớc khi bàn về lợi ích sƣ
phạm của phân tích khoa học luận, chúng tôi cần nói rõ quan niệm đƣợc thừa nhận ở đây về
hoạt động này.

A. Những giả thuyết về học tập
Ngành tâm lý học dựa trên năng lực nhận thức thừa nhận quan điểm cho rằng học là
làm thay đổi kiến thức. Quan điểm này hƣớng đến việc nghiên cứu bản chất những kiến thức
đƣợc thay đổi ở con ngƣời.
Bộ não con ngƣời, giống nhƣ một hệ thống xứ lí thông tin, có khả năng thực hiện một
số thao tác nào đó: khả năng phân biệt, nhận dạng, tích lũy thông tin, có khả năng thu hồi
thông tin, đặt chúng trong mối liên hệ với nhau, thực hiện những thao tác trí tuệ, ... Việc vận
dụng các thao tác này sẽ khác nhau tùy theo nhiệm vụ cần thực hiện: học, lí giải, đánh giá,
giải quyết một vấn đề, ... Mục tiêu của việc học càng đa dạng bao nhiêu thì hình thức học tập
càng phong phú bấy nhiêu.
Theo trƣờng phái Piaget, chủ thể học qua hành động: sự tiếp thu kiến thức có đƣợc do
chủ thể hành động và hành động đó là nguồn thông tin mới. Sự kiến tạo tri thức qua hoạt
động xảy ra theo kiểu thích nghi với tình huống. Nếu vốn kiến thức của chủ thể đủ cho chủ
thể giải quyết nhiệm vụ đặt ra trong tình huống, ta nói có một sự cân bằng giữa kiến thức của
chủ thể và tình huống. Trong trƣờng hợp vốn kiến thức không cho phép chủ thể giải quyết
nhiệm vụ, ta nói giữa chủ thể và tình huống có một sự mất cân bằng. Để giải quyết nhiệm vụ
đƣợc đặt ra, chủ thể phải xây dựng những công cụ mới. Khi vấn đề đƣợc giải quyết, ta nói
chủ thể đã lập lại đƣợc sự cân bằng mới. Học tập là một quá trình thiết lập những sự cân
bằng mới nhƣ vậy.
Kế thừa quan điểm của trƣờng phái Piaget, ngƣời ta thừa nhận những giả thuyết sau
về học tập:

• Giả thuyết tâm lí: Chủ thể học bằng cách tự thích nghi với một môi trường - môi
trường này gây ra những mâu thuẫn, khó khăn và sự mất cân bằng giữa vốn kiến thức của
chủ thể với nhiệm vụ phải giả quyết.
Theo giả thuyết này:
- học là một quá trình năng động trong đó ngƣời học đóng vai trò chủ động.
- kiến thức đƣợc xây dựng do tƣơng tác giữa chủ thể ngƣời học với môi trƣờng vật lý
và xã hội của chủ thể đó.


6

Giả thiết nhận thức: Một môi trường không có chủ ý sư phạm (tức là không được cố
ý tổ chức để dạy một tri thức) không đủ để tạo ra cho chủ thể mọi kiến thức mà xã hội muốn
chủ thể đó lĩnh hội được. Thầy giáo phải làm phát sinh ở học sinh những sự thích nghi mong
muốn bằng cách tổ chức xác đáng cái mà ta gọi là "môi trường".
"Môi trƣờng" có một vai trò trung tâm trong việc học, nó là nguyên nhân của những
sự thích nghi. Một tình trạng kiến thức sẽ đƣợc đặc trƣng bởi một trạng thái cân bằng của hệ
thống học sinh - môi trƣờng. Học tập là sự xây dựng những tình trạng cân bằng mới.

B. Lợi ích sư phạm của Phân tích khoa học luận
Chúng ta sẽ chỉ ra vai trò của nghiên cứu khoa học luận lịch sử đối với hoạt động dạyhọc toán thông qua việc phân tích những lợi ích mà nó mang lại.
I. Khoa học luận – đối tượng tri thức – đối tượng dạy học

I.1. Đối tượng tri thức
Sự ra đời của một "tri thức bác học" là kết quả của một hoạt động khoa học. Hoạt
động này gắn liền với lịch sử cá nhân nhà nghiên cứu. Nhà nghiên cứu đặt ra một vấn đề. Để
giải quyết nó, ông ta phải khám phá ra những phƣơng pháp, những kiến thức. Một số trong
những kiến thức này đƣợc nhà nghiên cứu nhận thấy là đủ mới, đủ hay, có thể thông báo cho
cộng đồng khoa học. Để thông báo, nhà nghiên cứu tạo cho những kiến thức này một dạng
khái quát nhất có thể đƣợc, theo quy tắc suy lý logic đang lƣu hành trong cộng đồng khoa

học. Trong quá trình soạn thảo tri thức:
«- ... nhà nghiên cứu xóa đi thời kỳ khai thủy của nghiên cứu: những suy nghĩ vô ích,
những sai lầm, những đƣờng vòng lắt léo, rất dài, thậm chí dẫn đến ngõ cụt. Nhà nghiên cứu
cũng bỏ đi tất cả những gì liên quan đến động cơ cá nhân hay nền tảng hệ tƣ tƣởng của khoa
học theo nhận thức của mình. Chúng tôi dùng từ phi cá nhân hóa để chỉ tập hợp những sự gạt
bỏ này.
- nhà nghiên cứu cũng xóa đi lịch sử trƣớc đó đã dẫn mình đến nghiên cứu này
(những mò mẫm, những con đƣờng sai lầm), có khi còn tách nó ra khỏi bài toán đặc biệt mà
lúc đầu mình muốn nghiên cứu và tìm một bối cảnh tổng quát nhất sao cho trong đó kết quả
vẫn đúng. Chúng tôi gọi việc làm này là phi ngữ cảnh hóa.
- Nhà nghiên cứu cấu trúc và sắp xếp lại những kiến thức mình tìm thấy, lồng nó vào
trong một hệ thống kiến thức gần gũi, đặt lại nó vào một cách tiếp cận mới. Chúng tôi dùng
từ phi thời gian hóa để chỉ hoạt động này." (Arsac, 1989)
Hoạt động phi cá nhân hóa, phi ngữ cảnh hóa và phi thời gian hóa có hệ quả tích cực
ở chỗ nó làm cho tri thức trở thành tri thức chung, có thể sử dụng và kiểm tra bởi bất cứ ai, ít
nhất là cũng bởi các thành viên của cộng đồng khoa học. Nhƣng nó cũng có hệ quả tiêu cực
là làm biến mất đi một phần hay toàn bộ bối cảnh của phát mình, che dấu đi những câu hỏi


7

ban đầu mà tri thức này là một câu trả lời, làm cho phát minh trở thành bí ẩn và bị tước mất
nghĩa.
I.2. Đối tượng dạy học
Trong những tri thức toán học đƣợc tích lũy qua lịch sử, các nhà lập chƣơng trình
chọn ra một số vấn đề làm đối tƣợng dạy học. Nhiều yếu tố ảnh hƣởng đến sự lựa chọn này
(kiểu xã hội, kiểu tổ chức hành chính, tình trạng của hệ thống giáo dục, trình độ phát triển
công nghệ, việc đào tạo giáo viên, v.v. ...).. Để trở thành có thể dạy đƣợc cho một bộ phận
công chúng nào đó, tri thức lại tiếp tục bị biến đổi.
Cụ thể là sau khi đối tƣợng dạy học đã đƣợc chỉ ra, các nhà lập chƣơng trình phải

quay trở về với hệ thống giáo dục, tổ chức chúng lại theo một trình tự nối khớp hợp logic,
đảm bảo tính gắn kết giữa các thành phần.
Theo chƣơng trình quy định, các nhà viết sách giáo khoa tìm cách trình bày lại những
tri thức đƣợc chọn. Việc phải chia cắt tri thức thành từng « lát» để có thể tuần tự dạy đƣợc
cho một bộ phận công chúng xác định, và việc chiếm lĩnh tri thức này phải đƣợc đánh giá qua
một số khả năng nào đó - đã đƣợc thu hẹp cho phù hợp với đối tƣợng dạy-học, là những ràng
buộc đè nặng lên hoạt động soạn thảo sách giáo khoa. Để cho các tri thức lập thành một tập
hợp gắn kết và ngƣời học có thể lĩnh hội đƣợc, nhiều khi tác giả phải viết lại các định nghĩa,
các tính chất, biến đổi các phép chứng minh, tạo ra một sự nối khớp khác. Tác giả cũng có
thể bị dẫn đến chỗ sáng tạo ra một số đối tƣợng mới. Hệ quả kéo theo là nhiều khi có một sự
chênh lệch khá lớn giữa tri thức bác học với tri thức xuất hiện trong chƣơng trình và sách
giáo khoa.
I.3.Hạn chế của một nghiên cứu chỉ đóng khung trong nội tại hệ thống dạy học
Phần lớn những tri thức toán học giảng dạy trong nhà trƣờng đều ra đời muộn nhất là
đầu thế kỷ 20. Ngoài hệ thống dạy học, những tri thức này tồn tại nhƣ là công cụ cơ sở đối
với ngƣời làm toán chuyên nghiệp, hay nhƣ là kỹ năng trong các thể chế sử dụng toán học,
không còn đƣợc quan tâm với tƣ cách một đối tƣợng nữa. Trong bối cảnh này, tri thức tồn tại
ở những dạng khác nhau và đã bị thuần hóa, bị biến đổi so với nguồn gốc ban đầu của nó.
Những vấn đề mà nó cho phép giải quyết đã bị lãng quên. Nó có thể đƣợc trao một chức
năng hoàn toàn mới, là cơ sở cho sự hình thành những tri thức khác phức tạp hơn sinh ra từ
thể chế sử dụng nó.
Hơn thế, những biến đổi mà tri thức phải chịu để trở thành đối tƣợng giảng dạy
"thƣờng rất ít khi xuất phát từ một lý do có bản chất khoa học luận gắn liền với sự sản sinh ra
tri thức này. Những biến đổi đó thƣờng mang tính chất giải pháp tình huống, chủ yếu là tuân
theo các ràng buộc nội tại của thể chế dạy học" (J-L. Dorrier, 1996, tr.21).
Tất nhiên, tri thức chƣơng trình và sách giáo khoa đã đƣợc hình thành trên cơ sở lấy
tri thức bác học làm tham chiếu. Nhƣng vẫn còn một số điểm tối trong mối liên hệ giữa tri
thức với tri thức đƣợc dạy. Vì thiếu những hiểu biết về lịch sử của tri thức, nhà nghiên cứu
hay giáo viên không đƣợc tiếp xúc tận gốc quá trình biến đổi một tri thức thành đối tƣợng
dạy học

8

(quá trình mà Chevallard gọi là chuyển đổi didactic), chỉ hình dung đƣợc những giai đoạn
gần gũi nhất.
I.4. Vai trò của khoa học luận
Nếu muốn phân tích độ chênh lệch giữa một tri thức bác học và tri thức đƣợc dạy,
ngƣời ta phải căn cứ vào nội dung tri thức bác học trên quan điểm khoa học luận, nghĩa là
trên những yếu tố do phân tích khoa học luận mang lại: nghĩa của tri thức, những vấn đề mà
tri thức đó cho phép giải quyết, những trở ngại cho sự hình thành tri thức, những bƣớc nhảy
trong quan niệm, những điều kiện cho phép tri thức nảy sinh,... Đây là những hiểu biết cần
thiết cho việc thiết kế một môi trƣờng để trong đó hoạt động học xảy ra.
Nghiên cứu khoa học luận giúp ta "trả lại tính lịch sử cho khái niệm toán học mà việc
dạy học thƣờng có khuynh hƣớng trình bày nó nhƣ những đối tƣợng phổ biến đồng thời trong
thời gian và trong không gian". (M. Artigue, 1990, tr. 243). Nghiên cứu này cũng giúp ta
thoát khỏi ảo tƣởng mà việc dạy học thƣờng vun trồng về một sự chính xác vĩnh cửu và hoàn
hảo của toán học.
Trong khi trƣờng học sống trong ảo tƣởng rằng đối tƣợng dạy học là một bản copy,
tuy đã đƣợc đơn giản hóa nhƣng vẫn trung thành, của đối tƣợng khoa học, thì phân tích khoa
học luận sẽ giúp nhà nghiên cứu hiểu rõ cái gì chi phối sự tiến triển của kiến thức khoa học,
đâu là sự chênh lệch giữa tri thức bác học với tri thức được dạy, đâu là khoảng cách giữa
hai hệ thống - toán học và dạy học.
Phân tích trên giải thích sự cần thiết của một nghiên cứu khoa học luận. Nghiên cứu
này giúp ta vạch rõ các tham chiếu hợp thức của tri thức cần dạy, trả lại cho tri thức những
nghĩa rộng hơn, phong phú hơn, điều mà việc nghiên cứu đơn thuần chƣơng trình và sách
giáo khoa không thể mang lại. Những hiểu biết khoa học luận về tri thức cần dạy giúp nhà
nghiên cứu và giáo viên nhìn nó ở một khoảng cách cần thiết, không hoàn toàn bị bó hẹp
trong nội tại hệ thống dạy học, không chỉ xem xét nó dƣới lăng kính của chƣơng trình và
sách giáo khoa. Nói cách khác, phân tích khoa học luận giúp cho nhà nghiên cứu thoát ra

khỏi ảo tƣởng về sự « trong trẻo » của đối tƣợng tri thức và gạt bỏ những biểu tƣợng sai lầm
về mặt khoa học luận mà hoạt động dạy học có thể gây nên. Điều này là cần thiết nếu ta
muốn tìm những tình huống cho phép học sinh nắm đƣợc nghĩa của tri thức.
II. Khoa học luận và lý thuyết tình huống
II.1. Nghĩa của tri thức, tình huống mang lại nghĩa cho tri thức
Các nghiên cứu hoạt động dạy-học toán nói chung đều liên quan đến sự xây dựng
kiến thức ở chủ thể (học sinh). Nhà nghiên cứu phải đƣơng đầu với vấn đề thiết kế hay phân
tích sự hình thành kiến thức khoa học trong một tình huống dạy-học - đƣợc gọi là sự hình
thành giả tạo để phân biệt với sự hình thành lịch sử (sự hình thành đã xảy ra trong thực tế lịch
sử).


9

Khi thiết kế hoặc phân tích một tình huống dạy-học, trƣớc hết nhà nghiên cứu phải trả
tìm cách lời những câu hỏi sau:
- Liệu có đảm bảo rằng vấn đề đƣợc đặt ra trong tình huống là đích thực đối với tri
thức hay không? Từ đích thực ở đây đƣợc hiểu theo nghĩa tri thức cần dạy là tri thức hoặc
không thể thiếu, hoặc đem lại một chiến lƣợc tối ƣu cho việc giải quyết vấn đề đƣợc đặt ra.
- Vấn đề đó có mối liên hệ nhƣ thế nào với lý do tồn tại của đối tƣợng tri thức đƣợc
xem là mục đích của hoạt động dạy-học.
- Vấn đề ấy đƣa lại cho tri thức cái nghĩa nào?
Đó là những câu hỏi mang tính chất khoa học luận.
Nhằm mục đích mô hình hóa để nghiên cứu các tình huống dạy học, G. Brousseau đã
xây dựng nên Lý thuyết tình huống (tham khảo G. Brousseau, 1999). Lý thuyết này thừa nhận
giả thuyết khoa học luận sau:
"Với mỗi kiến thức đều tồn tại một họ tình huống có khả năng đem lại cho nó một
nghĩa đúng" (Brousseau, 1988b). Đúng ở đây là đúng so với lịch sử của khái niệm, so với bối
cảnh xã hội và so với cộng đồng khoa học.
Vấn đề là phải "tái tạo" lại trong lớp một sự hình thành nên những khái niệm toán học

với cái nghĩa mà ta muốn học sinh chiếm lĩnh. Nói cách khác, xây dựng một tình huống cho
phép xẩy ra sự "hình thành giả tạo" trong đó tri thức cần dạy phải xuất hiện nhƣ một giải
pháp tối ƣu đƣợc xem là mục đích của việc dạy-học.
II.2. Vai trò của khoa học luận
Dựa vào đâu để kiến tạo những tình huống nhƣ vậy, khi mà nghĩa của tri thức và tình
huống mang lại nghĩa đó đã bị che giấu qua những biến đổi mà tri thức phải chịu?
Việc sử dụng từ "hình thành" có thể làm cho ta lầm tƣởng rằng tri thức đƣợc phát sinh
theo kiểu đƣờng thẳng và đồng đều. Điều này không bao giờ xẩy ra trong toán học. Thực tế
thì có cả một mạng các vấn đề thuộc nhiều nguồn gốc giữ những vai trò khác nhau trong qua
trình hình thành tri thức. Thậm chí, trong một số trƣờng hợp, sự tiến triển lịch sử đã vô ích đi
theo một đƣờng vòng quanh co, rồi sau đó mới xuất hiện những con đƣờng ngắn hơn làm cho
tri thức dễ dàng xuất hiện. Nhƣ vậy, thực tế lịch sử không phải luôn luôn là một mô hình
hoàn hảo để cho hoạt động dạy-học rập khuôn theo.
Hơn thế, việc dạy-học lại phải tuân thủ những ràng buộc không thể tránh khỏi. vấn đề
thời gian chẳng hạn: làm thế nào để đi theo một qua trình hình thành đã trải qua nhiều thập kỷ
(thậm chí hàng thế kỉ) trong vài giờ? Rồi vấn đề nhận thức: tri thức cần dạy đã đƣợc tổ chức
lại theo một hệ thống không trùng với trình tự phát triển trong lịch sử, làm thế nào để lồng
qua khứ học toán của học sinh vào tiến trình diễn ra trong lịch sử? Rồi thì sự khác nhau về
tâm lý, về hoàn cảnh xã hội, về thể chế (thể chế tạo ra tri thức và thể chế dạy-học), v.v. ...
Biết bao nhiêu yếu tố làm cho sự hình thành giả tạo trong lớp học không thể đồng nhất với sự
hình thành trong lịch sử.


10

"Tuy nhiên, đối với nhà nghiên cứu, sự hình thành trong lịch sử là điểm tựa để phân
tích một quá trình dạy học cụ thể, là cơ sở cho việc thiết kế một sự hình thành giả tạo" (M.
Artigue, 1991, tr. 246).
Sở dĩ nói nhƣ vậy là vì trong phân tích hay thiết kế các tình huống dạy-học, nhà
nghiên cứu nhất thiết phải đối chiếu với vấn đề nghĩa của khái niệm, mà chính những vấn đề

đã từng là lí do của việc đƣa vào khái niệm này hay khái niệm kia, cũng nhƣ những vấn đề
chi phối sự tiến triển của khái niệm, là cái cấu thành nên nghĩa của khái niệm này. Chính vì
thế mà trong nghiên cứu vấn đề dạy-học khái niệm số thập phân G. Brousseau đã nói: "Để tổ
chức một sự hình thành giả tạo đem lại một nghĩa phù hợp cho khái niệm số thập phân, cần
phải tiến hành nghiên cứu khoa học luận để vạch rõ các dạng thức biểu thị số thập phân và cơ
chế nhận thức chúng" (G. Brousseau 1981, tr. 48).
Hơn thế, thừa nhận những giả thuyết về học tập đã nêu ở phần đầu của chƣơng này
dẫn ta đến chỗ thừa nhận rằng vấn đề là phải làm cho học sinh đi vào hoạt động toán học.
Thế nhƣng những quá trình tƣ duy nào chi phối hoạt động đó? "Chính phân tích khoa học
luận (...) là nghiên cứu trƣớc tiên liên quan đến những câu hỏi này" (M. Artigue, 1991,
tr.246).
Phân tích khoa học luận lịch sử hình thành tri thức cho phép vạch rõ quá trình xây
dựng tri thức trong cộng đồng các nhà khoa học, sự phụ thuộc của nó vào các lĩnh vực toán
học có liên quan, từ đó xác định đƣợc nghĩa của tri thức, tình huống mang lại nghĩa đó, điều
kiện cho phép tri thức nảy sinh, hay ngƣợc lại, cản trở sự tiến triển của nó, những vấn đề gắn
liền với tri thức, vị trí tƣơng đối của nó trong một tri thức tổng quát hơn, ... Nó sẽ dẫn nhà
nghiên cứu đến với câu trả lời cho một số câu hỏi tổng thể và cơ bản sau, là cơ sở cho việc
phân tích hay thiết kế các tình huống dạy-học:
- Tri thức đƣợc sinh ra nhằm giải quyết vấn đề gì?
- Tri thức có thể tồn tại dƣới những dạng thức nào? Chuyển từ dạng thức này sang
dạng thức kia tƣơng ứng với sự thay đổi nào trong quan niệm?
- Phải chuyển đổi cái gì trong việc dạy-học các thành phần của tri thức này và sự tác
động qua lại giữa chúng?
- Có hay không một sự chuyển đổi tối tiểu hoặc một tổ hợp chuyển đổi tối tiểu cần
phải tôn trọng để không làm biến dạng cái nghĩa của tri thức này?
- Những chuyển đổi nào có thể hay cần phải phụ thuộc vào lớp công chúng đƣợc xem
là chủ thể của hoạt động học?
III. Khoa học luận và chướng ngại
Vấn đề không phải là phân tích khoa học luận để rồi bằng mọi giá rút ngắn khoảng
cách giữa sự hình thành tri thức trong lịch sử và sự hình thành giả tạo (tƣơng hợp với những

lựa chọn của hệ thống dạy-học), mà là để xác định những khó khăn học sinh gặp phải trong
học tập một tri thức và hiểu đƣợc nguồn gốc sinh ra chúng. Đó là những khó khăn, những
chƣớng ngại gắn liền với đặc trƣng của tri thức mà học sinh buộc phải vƣợt qua để nắm vững
tri thức.


11

III.1. Chướng ngại
Sai lầm và chướng ngại:
Trong logic tiếp cận quá trình học tập đƣợc phát triển bởi Piaget, Bachellard và
Brousseau, kiến thức thu đƣợc là kết quả của một sự thích nghi của học sinh với tình huống tình huống này biện minh cho sự cần thiết của kiến thức đƣợc nói đến bằng cách chứng tỏ
hiệu quả của nó.
Trong một quá trình học tập bằng thích nghi với tình huống, kiến thức đƣợc xây dựng
ở học sinh thƣờng mang tính chất địa phƣơng, gắn liền một cách tùy tiện với những kiến thức
khác. Nó cũng thƣờng mang tính chất tạm thời và có thể là không hoàn toàn chính xác.
Quan điểm này dẫn đến một cách nhìn mới trên những sai lầm của học sinh:
"Sai lầm không phải chỉ là hậu quả của sự không biết, không chắc chắn, ngẫu nhiên,
nhƣ cách nghĩ của những ngƣời theo chủ nghĩa kinh nghiệm và chủ nghĩa hành vi, mà còn có
thể là hậu quả của những kiến thức đã có từ trƣớc, những kiến thức đã từng có ích đối vớiviệc
học trƣớc kia, nhƣng lại là sai, hoặc đơn giản là không còn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội
tri thức mới. Những sai lầm thuộc loại này không phải thất thƣờng hay không dự đoán đƣợc.
Chúng tạo thành chƣớng ngại. Trong hoạt động của giáo viên cũng nhƣ trong hoạt động của
học sinh, sai lầm bao giờ cũng góp phần xây dựng nên nghĩa của kiến thức đƣợc thu nhận bởi
những chủ thể này" (Brousseau, 1983, tr. 171).
Nhƣ vậy, theo G. Brousseau, nếu ở học sinh có những sai lầm nào đó mang tính hời
hợt, hết sức riêng biệt, thì cũng còn có những sai lầm khác không phải ngẫu nhiên đƣợc sinh
ra. Những sai lầm đó không nằm ngoài kiến thức, chúng chính là biểu hiện của kiến thức. Ở
cùng một chủ thể, những sai lầm khác nhau có thể có chung một nguồn gốc.
Theo cách nhìn nhận này thì một số kiến thức sai là cần thiết cho học tập: con đƣờng

đi của học sinh phải trải qua việc xây dựng (tạm thời) từ một số kiến thức sai, và việc ý thức
đƣợc đặc trƣng sai lầm này sẽ là yếu tố cấu thành nên nghĩa của tri thức mà việc dạy-học
nhắm đến. Brousseau gọi những điểm buộc phải trải qua này là chƣớng ngại 2 khoa học luận
và nhấn mạnh vai trò của chúng trong lịch sử phát triển các kiến thức.
Đặc trưng của chướng ngại:
Cần phải nói rõ rằng không phải mọi khó khăn đều đƣợc xem là chƣớng ngại. Duroux
đã nêu lên những đặc trƣng sau của chƣớng ngại:
• Một chƣớng ngại là một kiến thức, một quan niệm chứ không phải là một khó khăn
hay một sự thiếu kiến thức.

2

Thuật ngữ này đƣợc G. Brouseau sử dụng từ sự kế thừa tƣ tƣởng của Bachelard: "Chính trong hành động nhận
biết mà sự chậm chạp và rối loạn xuất hiện dưới một dạng tất yếu của chức năng. Chính ở đó mà ta sẽ chỉ ra
nguyên nhân của sự trì trệ. Củng chính ở đó ta sẽ chỉ ra nguyên nhân của tính trơ ỳ mà ta gọi là chướng ngại
khoa học luận". Tuy nhiên, cần nhấn mạnh rằng Bachelard đã loại toán học ra khỏi sự quan tâm của ông khi bàn
về chƣớng ngại: "lịch sử toán học hoàn toàn cân đối. Nó có những giai đoạn tạm dừng. Nó không có những giai
đoạn sai lầm. Không có chủ đề nào được xem xét trong cuốn sách này nhằm vào toán học" (Bachelard, 1938,
Sự hình thành óc khoa học, tr. 13 -22).


12

• Kiến thức này tạo ra những câu trả lời phù hợp trong một bối cảnh nào đó mà ta
thƣờng hay gặp.
• Nhƣng khi vƣợt khỏi bối cảnh này thì nó sản sinh ra những câu trả lời sai. Để có câu
trả lời đúng cho mọi bối cảnh cần phải có một thay đổi đáng kể trong quan điểm.
• Hơn nữa, kiến thức này chống lại những mâu thuẫn với nó và chống lại sự thiết lập
một kiến thức hoàn thiện hơn. Việc có một kiến thức khác hoàn thiện hơn chƣa đủ để kiến
thức sai này biến mất, mà nhất thiết phải xác định đƣợc nó và đƣa việc loại bỏ nó vào tri thức

mới.
• Ngay cả khi chủ thể đã ý thức đƣợc sự không chính xác của kiến thức chƣớng ngại
này, nó vẫn tiếp tục xuất hiện dai dẳng và không đúng lúc.
G. Brousseau phân biệt các chƣớng ngại tùy theo nguồn gốc của chúng:
• Chƣớng ngại thuộc về sự phát triển cá thể: là chƣớng ngại gắn liền với những hạn
chế về nhận thức của cá nhân học sinh ở một thời điểm nào đó trong quá trình phát triển của
nó.
• Chƣớng ngại didactic: là chƣớng ngại sinh ra từ sự lựa chọn của hệ thống dạy-học.
• Chƣớng ngại khoa học luận: là chƣớng ngại gắn liền với lịch sử phát triển của tri
thức mà việc vƣợt qua nó đóng vai trò quyết định đối với quá trình xây dựng kiến thức của
chủ thể. Trong học tập, việc vƣợt qua những chƣớng ngại khoa học luận là điều không thể
tránh khỏi, bởi đó là yếu tố cấu thành nên kiến thức.
Vấn đề là trƣớc hết phải xác định đƣợc những chƣớng ngại khoa học luận gắn liền với
một tri thức, để rồi sau đó tạo ra những tình huống cho phép vƣợt qua chúng, tức là loại bỏ
những kiến thức sai tạo nên chƣớng ngại.
III.2. Vai trò của khoa học luận
Quan niệm trên về chƣớng ngại khoa học luận dẫn đến chỗ thừa nhận là có thể tìm
thấy dấu vết của chúng trong lịch sử hình thành tri thức. Để nghiên cứu các chƣớng ngại
khoa học luận, Brousseau đã đề nghị tiến trình sau:
- Xác định những sai lầm thƣờng xuyên tái diễn, chứng tỏ rằng chúng có thể nhóm lại
quanh một quan niệm.
- Nghiên cứu xem có tồn tại hay không những chƣớng ngại trong lịch sử xây dựng
khái niệm toán học.
- Đối chiếu các chƣớng ngại lịch sử với chƣớng ngại học tập để nếu có thể thì thiết lập
đặc trƣng khoa học luận của chƣớng ngại.
Hiển nhiên, không phải mọi chƣớng ngại mà các nhà toán học gặp trƣớc đây đều là
những khó khăn mà học sinh ngày nay phải đƣơng đầu, vì, nhƣ đã phân tích ở trên, sự hình
thành giả tạo không thể giống với sự hình thành lịch sử. Tuy thế, ta thƣờng có thể tìm thấy
trong lịch sử dấu vết của những khó khăn này.
Qua phân tích khoa học luận lịch sử, nhà nghiên cứu có thể khơi thông một logic tổng

thể, những giai đoạn chủ yếu, vai trò và sự tác động qua lại lẫn nhau của chúng. Hơn thế, còn
có thể xác định những điều kiện nội tại cho sự phát triển, những vấn đề đã từng là lý do cho
sự ổn định hay sự bế tắc của một giai đoạn lịch sử, những ràng buộc chi phối các nhà khoa


13

học đƣơng thời. Lịch sử cung cấp những ví dụ về quá trình tiến triển của kiến thức mà phân
tích khoa học luận sẽ giúp ta vạch rõ những khó khăn, những quan niệm đã từng là trở ngại
cho sự hình thành và phát triển của kiến thức, những động lực, những bƣớc nhảy trong quan
niệm, những điều kiện làm nảy sinh tri thức.
Nhƣ thế, vấn đề đầu tiên là chẩn đoán khó khăn, xác định những sai lầm tồn tại dai
dẳng sinh ra từ cùng một quan niệm. Sau đó là nghiên cứu bản chất và nguồn gốc của khó
khăn dƣới ánh sáng của phân tích khoa học luận. Việc đối chiếu sai lầm của học sinh với
những trở ngại đã từng tồn tại trong lịch sử hình thành, phát triển tri thức cho phép giải thích
sai lầm một cách thỏa đáng hơn. Đặc biệt, phân tích khoa học luận có thể giúp ta phân biệt
những sai lầm có bản chất khoa học luận với những sai lầm ngẫu nhiên có nguồn gốc từ nhận
thức hay từ sự lựa chọn của hệ thông dạy-học. Từ đó, nó cung cấp phƣơng tiện để triển khai
một dự án dạy-học thích hợp.

IV. Khoa học luận và quan niệm
IV.1. Quan niệm
Khái niệm « quan niệm » đƣợc đƣa ra nhằm đáp ứng hai nhu cầu:
- Vạch rõ một thực tế là có thể có nhiều cách nhìn nhận khác nhau về cùng một đối
tƣợng toán học, phân biệt những thể hiện và cách thức sử dụng đƣợc kết hợp với nó, chỉ rõ sự
thích ứng ít hay nhiều của những cách nhìn nhận đó đối với việc giải lớp bài toán này hay lớp
bài toán kia.
- Giúp nhà nghiên cứu chống lại ảo tƣởng về sự đồng nhất giữa tri thức mà việc dạyhọc muốn truyền thụ với những kiến thức đƣợc học sinh xây dựng trong thực tế.
Thuật ngữ « quan niệm » đƣợc dùng để chỉ một tri thức địa phƣơng, giữ vai trò nào đó
trong tiến trình chiếm lĩnh một khái niệm. Cụ thể hơn, G. Bousseau định nghĩa quan niệm là

« một tập hợp các quy tắc, các cách thực hành động, các tri thức cho phép giải quyết tƣơng
đối tốt một lớp tình huống và vấn đề, trong khi đó lại tồn tại một lớp tình huống khác mà đối
với chúng thì quan niệm này dẫn đến thất bại, hoặc gợi lên những câu trả lời sai, hoặc có thể
đem lại kết quả nhƣng rất khó khăn và trong điều kiện bất lợi ».
Chẳng hạn, M. Artigue và J. Robinet (1982) đã tự đặt ra cho mình câu hỏi về nghĩa
cần đạt đƣợc qua việc dạy «những kiến thức liên quan đến các hình đơn giản trong mặt phẳng
và trong không gian» có trong chƣơng trình tiểu học. Trong số những hình « đơn giản » này
các nhà nghiên cứu chọn đƣờng tròn. Một phân tích trên hai phƣơng diện - khoa học luận và
hoạt động của lớp học - đã cho thấy quan niệm chủ đạo của học sinh là xem đƣờng tròn nhƣ «
một đƣờng cong phẳng, đóng, có độ cong không đổi, mà những dây cung lớn nhất lấy theo
mọi hƣớng đều có độ dài bằng nhau ». Trái lại, những yếu tố đặc trƣng cho hình tròn, nhƣ
tâm và bán kính, thì lại vắng mặt với tƣ cách là những yếu tố bất biến. Quan niệm này của
học sinh rất có hiệu lực đối với tình huống nhận biết hình tròn trong số những hình đã cho.
Thế nhƣng nó lại không cho phép giải bài toán dựng hình tròn.
Trong một đối tƣợng toán học ta phân biệt:


14

- Khái niệm toán học nhƣ nó đƣợc định nghĩa trong bối cảnh của một thời kỳ cụ thể.
- Tập hợp những cái dùng để biểu đạt đƣợc kết hợp với đối tƣợng.
- Lớp các bài toán mà qua việc giải quyết chúng thì nghĩa của khái niệm đƣợc hình
thành.
- Các công cụ, định lý, kỹ thuật, thuật toán đặc trƣng cho phƣơng thức khai thác đối
tƣợng đó.
Sự phân biệt này dẫn M. Artigue đến chỗ tách ra trong quan niệm của học sinh - về
một đối tƣợng toán học - những thành phần khác nhau, đặc biệt là:
- Lớp tình huống - vấn đề đem lại nghĩa cho khái niệm đối với học sinh.
- Tập hợp những cái dùng để biểu đạt mà học sinh có thể gắn vào đối tƣợng, đặc biệt
là các hình ảnh trí tuệ, các biểu thức ký hiệu.

- Các công cụ, định lý, kỹ thuật, thuật toán mà học sinh có để thao tác trên đối tƣợng.
Bộ ba thành phần này đƣợc xem nhƣ những yếu tố đặc trƣng cho quan niệm về một
đối tƣợng toán học.
Cách hiểu này về quan niệm dẫn ta đến chỗ thừa nhận rằng ngay từ khi chƣa học tri
thức, học sinh đã có một số quan niệm về tri thức đó. Các quan niệm này có thể đƣợc đƣa vào
qua dạy học, nhƣng cũng có thể có nguồn gốc văn hóa hay xã hội, tức là đƣợc xây dựng ở
ngoài hệ thống học đƣờng.
IV.2. Quy tắc hành động. Định lý hành động.
Quy tắc hành động là một mô hình đƣợc G. Vergnaud xây dựng nhằm giải thích và
chỉ rõ những kiến thức mà học sinh đã sử dụng để đƣa ra câu trả lời khi thực hiện một nhiệm
vụ xác định. Quy tắc hành động này liên quan đến một hay nhiều tính chất toán học gắn bó
rất chặt chẽ với các quy trình hay câu trả lời của học sinh. Hiển nhiên, quy tắc hành động
đƣợc sử dụng thể hiển quan niệm mà học sinh có về một đối tƣợng toán học.
Chẳng hạn, đối với nhiệm vụ sắp thứ tự các số thập phân, một số nghiên cứu ở Pháp
đã chỉ ra sự gắn kết giữa những câu trả lời sai của học sinh trung học cơ sở với quy tắc hành
động đƣợc phát biểu nhƣ sau: trong hai số thập phân có phần nguyên bằng nhau, số lớn hơn
là số có «số nguyên ở phần thập phân» lớn hơn. Quy tắc này sinh ra từ quan niệm xem số
thập phân nhƣ là một cặp số nguyên đƣợc ngăn cách bởi dấu phẩy.
Trong trƣờng hợp hai số đã cho có số chữ số ở phần thập phân nhƣ nhau thì việc áp
dụng quy tắc sẽ đem lại một câu trả lời đúng, nhƣng trong những trƣờng hợp khác thì nó dẫn
đến câu trả lời sai. (Ví dụ: 12, 51 > 12,43 (vì 51 > 43) là câu trả lời đúng ; 7, 3 < 7, 11 (vì 3 <
11) là câu trả lời sai).
Nhƣ vậy, các quy tắc hành động - đƣợc chỉ rõ ra qua việc nghiên cứu những câu trả
lời sai của học sinh, vẫn có thể mang lại câu trả lời đúng trong một số tình huống. Những tình
huống đó xác định phạm vi hợp thức của quy tắc hành động. Thông thƣờng thì phạm vi hợp
thức này không rỗng, thậm chí nó có thể dƣờng nhƣ rất rộng đối với học sinh, bởi vì những
tình huống mà học sinh gặp lại gia cố thêm cho quy tắc. Những câu trả lời sai thƣờng đến từ
việc áp dụng một quy tắc hành động ở ngoài lĩnh vực hợp thức của nó.
Các quy tắc hành động là thể hiện của những bất biến trong việc thao tác trên các đối
tƣợng. G. Vergnaud gọi các bất biến ấy là định lý hành động. "Khái niệm định lý hành động

15

chỉ các tính chất của những mối quan hệ mà học sinh nắm hoặc sử dụng trong tình huống giải
quyết vấn đề. Mặc dù vậy, điều đó không có nghĩa là học sinh có khả năng nói rõ hay giải
thích rõ những tính chất ấy" (G. Vergnaud, 1981). Nhiều quy tắc hành động đƣợc sử dụng
trong những tình huống khác nhau nhƣng lại có thể cùng thuộc phạm vi một định lý hành
động.
Chẳng hạn, một số nghiên cứu ở Pháp đã vạch rõ những quy tắc hành động sau đây
đƣợc sử dụng rất phổ biến ở học sinh các lớp trên cấp cơ sở:

Có thể cho rằng những quy tắc hành động trên đều xuất phát từ định lý hành động:
f(ax + by) = a f(x) + b f(y). Nói cách khác, học sinh đã gán tính chất tuyến tính cho một lớp
rất rộng các hàm số, nhƣ hàm «giá trị tuyệt đối của một số thực», «bình phƣơng của một số
thực», cũng nhƣ là các hàm lƣợng giác, trong khi phạm vi hợp thức của tính chất chỉ là tập
hợp những hàm tuyến tính.
Định lý hành động này đƣợc xem nhƣ là hệ quả của việc học tập cơ bản trƣớc đó về
toán học. Trong thực tế, những phép toán trên các số nguyên (bảng cộng và nhân) học ở
trƣờng tiểu học, phép tỷ lệ học trong 4 năm ở trƣờng trung học cơ sở để rồi từ đó nghiên cứu
việc biểu diễn bằng đồ thị các hàm số f(x) = ax, f(x) = ax + b ở lớp 9, tất cả đều có tính chất
tuyến tính. Việc học sinh thƣờng xuyên sử dụng tính tuyến tính ở ngoài phạm vi hợp thức
của nó có thể sinh ra từ đó.
Giống nhƣ các quy tắc hành động, định lý hành động có phạm vi áp dụng và phạm vi
hợp thức của nó. Phạm vi áp dụng của định lý hành động là tập hợp những tình huống mà
định lý có thể mang lại một câu trả lời, còn phạm vi hợp thức là tập hợp những tình huống
mà nó đƣa ra một câu trả lời chính xác.
IV.3. Sự cần thiết của nghiên cứu quan niệm. Vai trò của khoa học luận
Tính đa nghĩa của tri thức.
Ta hãy trở lại với công trình của M. Artigue và J. Robinet (1982) về những quan niệm

có thể gán cho khái niệm đƣờng tròn. Để xác định tập hợp những quan niệm khác nhau có
thể có về đối tƣợng toán học này, các tác giả đã xuất phát từ 11 định nghĩa có thể nêu ra cho
khái niệm mà dƣới đây đƣợc trích một số làm ví dụ:
• D1: Trong mặt phẳng, đƣờng tròn tâm O, bán kính R là tập hợp những điểm cách O
một khoảng R.
Hầu nhƣ các cuốn sách giáo khoa ngày nay đều đƣa ra định nghĩa này. Nhƣng khái
niệm đƣờng tròn còn có thể đƣợc định nghĩa theo những cách khác. Chẳng hạn:
• D2: Đƣờng tròn là một đƣờng cong phẳng, đóng, có độ cong đại số không đổi.
• D3 : Đƣờng tròn là một đƣờng cong phẳng "thuần nhất" đối với phép đẳng cự.


16

• D4: Đƣờng tròn là một đƣờng cong phẳng có vô số trục đối xứng.
• D5: r là một đƣờng cong phẳng, đóng, lồi (nghĩa là nó là bờ của một miền lồi G của
mặt phẳng) và tại mỗi điểm đều có một tiếp tuyến. Với mỗi phƣơng d, ký hiệu ad là cận trên
của độ dài các đoạn thẳng có phƣơng d và đƣợc chứa trong G. r là một đƣờng tròn nếu và chỉ
nếu:
- với mỗi phƣơng d, ad là độ dài của một đoạn thẳng duy nhất Dd có phƣơng d và đƣợc
chứa trong G.
- mọi đoạn thẳng Dd đều có cùng độ dài.
- mọi đoạn thẳng Dd đều đồng quy.
•D6: Đƣờng cong phẳng r là đƣờng tròn nếu và chỉ nếu tồn tại một điểm O của mặt
phẳng và một số thực dƣơng d sao cho:
- r xác định trên mỗi đƣờng thẳng đi qua O một đoạn thẳng có độ dài d.
- O là trung điểm của đoạn thẳng này.
•D7: Đƣờng tròn là tập hợp những điểm M sao cho tỷ số AM/BM các khoảng cách từ
M đến hai điểm cố định A, B là không đổi
• D8: Đƣờng tròn là một đƣờng cong đóng mà với mỗi độ dài xác định thì phần mặt
phẳng mà nó bao quanh có diện tích lớn nhất.

Về mặt logic thì các định nghĩa trên tƣơng đƣơng với nhau và xác định cùng một đối
tƣợng toán học. Nhƣng chúng tƣơng ứng với những quan niệm khác nhau, những kiểu tri
giác khác nhau về đối tƣợng, những cách sử dụng khác nhau các tính chất của nó, và chúng
chú ý đến những yếu tố hình học khác nhau, những mối liên hệ khác nhau giữa các yếu tố.
Nhƣ vậy, mỗi đối tƣợng toán học có thể đƣợc kết hợp với nhiều nghĩa, nhiều quan niệm khác
nhau.
Sự tương hợp giữa quan niệm và tình huống.
Thế nhƣng, cái chúng ta quan tâm không phải là lập ra một danh mục thật tinh tế
những quan niệm có thể có về một đối tƣợng toán học, mà là nghiên cứu sự nối khớp giữa
các quan niệm ấy với tình huống trong một sự học tập xác định. Thừa nhận tính tƣơng hợp
giữa quan niệm và tình huống làm xuất hiện tri thức là hiển nhiên, nếu ta hiểu khái niệm
"quan niệm" nhƣ đã nêu trên, cho rằng ba thành phần cơ bản của quan niệm là lớp các tình
huống vấn đề đem lại nghĩa cho tri thức đối với học sinh ; tập hợp những cái biểu đạt mà học
sinh có khả năng kết hợp với tri thức ; những công cụ mà học sinh có để thao tác trên tri thức.
Để minh họa, chúng ta có thể lấy nghiên cứu của PhạmNgọc Bảo (2002) về khái niệm
phân số đƣợc trình bày trong các sách giáo khoa toán bậc tiểu học ở Việt nam. Tác giả đã chỉ
ra rằng khái niệm phân số đƣợc hình thành qua ba thời điểm khác nhau, với ba tình huống
khác nhau.
 Ở lớp 3, đó là tình huống chia một hình vuông, một hình tròn, ... thành n (2 n 12)
phần bằng nhau, nhằm đƣa vào phân số . Trong tình huống này, phân số lấy nghĩa nhƣ
"một phần của đơn vị đã đƣợc chia thành n phần bằng nhau".


17

 Ở lớp 4 có tình huống chia đơn vị (một cái bánh, một hình vuông, một hình tròn,...)

thành n phần bằng nhau và lấy ra p (1< p < n) phần, nhằm đƣa vào phân số

. Với tình

huống này, phân số lấy nghĩa "số phần bằng nhau rút ra từ đơn vị".
 Tình huống sau đó (cũng ở lớp 4) là "chia đều 3 quả cam cho 4 em". Trong tình
huống này phân số đƣợc hiểu theo nghĩa "thƣơng của phép chia p cho n" và "là kết quả của
phép chia đều mà thƣơng không nguyên".
Ta thấy rất rõ là nghĩa của phân số phụ thuộc nhƣ thế nào vào tình huống trong đó
khái niệm đƣợc đƣa vào.
Vai trò của nghiên cứu về những quan niệm có thể kết hợp với một tri thức
Sự phân biệt giữa một đối tƣợng toán học duy nhất với những quan niệm biến thiên có
thể đƣợc kết hợp với nó rất quan trọng.
Trƣớc hết, nó có thể giúp thầy giáo thoát ra khỏi tính đơn giản bề ngoài của đối tƣợng.
Chẳng hạn, đối với khái niệm đƣờng tròn, "sự giống nhau của các định nghĩa và bài tập đƣợc
đƣa vào các sách giáo khoa trong thực tế đã che giấu đi tính phong phú và phức tạp của
những quan niệm có thể đƣợc kết hợp với đối tƣợng toán học này. Hơn thế, trên phƣơng diện
dạy học thì nó lại áp đặt một quan điểm duy nhất - liên quan đến trạng thái tĩnh của tập hợp
điểm, ƣu tiên chú ý đến tâm và bán kính (nhƣ là độ đo), mà không tính đến những kiến thức
trẻ em đã có trƣớc khi phải học định nghĩa này" (M. Artigue và J. Robinet, 1982, tr. 269).
Ở một góc độ khác, việc nghiên cứu các quan niệm khác nhau về một đối tƣợng tri
thức sẽ mang lại cho ta một công cụ để phân tích, thiết kế các tình huống vấn đề đƣa ra cho
học sinh. Tùy theo tình huống mà mỗi hoạt động sẽ ƣu tiên ở những cấp độ khác nhau cho
quan điểm này hay quan điểm kia về tri thức. Chẳng hạn, nhƣ M. Artigue và J. Robinet
(1982) đã chỉ ra, đối với hoạt động chọn trong các đối tƣợng đã cho những hình có hình dạng
của cái đĩa thì trẻ em có thể tiến hành từ rất sớm, ngay cả khi nó chƣa nắm đƣợc khái niệm
khoảng cách. Thế nhƣng quan niệm cho phép thực hiện hoạt động đó lại không gắn liền với
định nghĩa đƣờng tròn mà ta muốn dạy cho học sinh. Để làm điều đó cần phải xây dựng
những kiểu hoạt động khác, bởi vì mỗi quan niệm có một mối liên hệ rất chặt chẽ với tình
huống trong đó kiến thức về hình tròn can thiệp.
Vả lại, trong thực tế, quá trình chiếm lĩnh một đối tƣợng toán học thƣờng đƣợc chia
thành nhiều giai đoạn. Trong một sự học tập bằng thích nghi với tình huống, kiến thức
thƣờng mang tính chất địa phƣơng. Hơn thế nữa, trong thực hành, chính kiến thức ở các cấp

độ địa phƣơng gắn liền với những quan điểm khác nhau về tri thức là cái đƣợc sử dụng. vấn
đề là phải biết chống lại những quan niệm sai và những quan niệm cũ đã lỗi thời.Việc nghiên
cứu các quan niệm mang tính địa phƣơng đƣợc biểu hiện trong tình huống và phân tích
những điều kiện cho phép chuyển từ quan niệm địa phƣơng này vào quan niệm địa phƣơng
kia là cơ sở để triển khai các tình huống nhằm xây dựng một quan niệm tổng thể về đối tƣợng
tri thức. Trong những tình huống này quan niệm mới phải xuất hiện nhƣ là một giải pháp tối
ƣu.


18

Nghiên cứu những quan niệm khác nhau có thể đƣợc kết hợp với một tri thức còn là
giúp cho ta hiểu đƣợc những khó khăn trong học tập của học sinh.
Chẳng hạn, trong một nghiên cứu về quá trình học tập khái niệm diện tích các hình
phẳng, R. Douady và M. J. Perrin (1989) đã liệt kê một số khó khăn thể hiện qua những sai
lầm tồn tại dai dẳng đƣợc nhiều giáo viên biết đến:
" Mặt đơn vị là mặt có một hình dạng nào đó, số đo của một hình phẳng S phụ thuộc
vào khả năng phủ kín S với mặt đơn vị này. [...]
- Diện tích đƣợc gắn liền với mặt và không tách ra khỏi những đặc trƣng khác của mặt
này. [...]
- Mở rộng các công thức cho những tình huống trong đó công thức không còn có hiệu
lực. [...]"
Giải thích những khó khăn này, các tác giả nói đến quan niệm của học sinh về diện
tích:
"Một số khó khăn gắn liền với cách học sinh xử lý những bài toán về diện tích, hoặc
từ quan điểm hình, hoặc từ quan điểm số. Chẳng hạn, việc giảm diện tích đƣợc hiểu nhƣ việc
giảm bản thân bề mặt của hình với hình dạng của nó, và điều đó đi kèm theo việc giảm chu
vi: diện tích và chu vi đƣợc kết hợp với bề mặt và gắn liền với hình dạng. [...]
Ở một cực khác, diện tích là một số: ngƣời ta đứng trên phƣơng diện tính toán và chỉ
chú ý đến những yếu tố thỏa đáng cho tính toán, chẳng hạn nhƣ các số đo chiều dài [...] Nhƣ

vậy, về vấn đề diện tích, học sinh triển khai một « quan niệm hình dạng » gắn liền với phạm
vi hình học hoặc một « quan niệm số » gắn liền với phạm vi số, hoặc cả hai, nhƣng độc lập
với nhau và xử lý các bài toán mà không thiết lập mối liên hệ giữa hai quan điểm."
Một ví dụ khác: ta đã có nói rằng quan niệm xem số thập phân nhƣ là một cặp số
nguyên đƣợc ngăn cách bởi dấu phẩy cho phép giải thích những sai lầm của học sinh khi giải
quyết nhiệm vụ so sánh các số thập phân. Hơn thế, một số công trình nghiên cứu kiến thức về
số thực của học sinh trung học ở Pháp đã chỉ ra rằng quan niệm này còn dẫn đến nhiều kiểu
sai lầm khác trong các phép tính trên các số thập phân, chẳng hạn:
1,2 + 5,9 = 6,11
(0,3)2=0,9
5,32 =25,9
= 2,3
√
Quan niệm này giúp ta hiểu đƣợc một số khó khăn trong việc hiểu các số thực.
Tóm lại, thuật ngữ « quan niệm » - mà nhà nghiên cứu đã dùng để mô hình hóa kiến
thức của học sinh - thể hiện một kiến thức địa phƣơng, là kiến thức giữ vai trò nào đó trong
tiến trình chiếm lĩnh một khái niệm. Kiến thức địa phƣơng hoạt động trên một số lớp con
những bài toán đặc trƣng cho khái niệm. Một số tình huống tạo điều kiện thuận lợi cho việc
xuất hiện những kiến thức địa phƣơng này.
Nhƣ vậy, lợi ích của việc nghiên cứu những quan niệm khác nhau có thể đƣợc kết
hợp với tri thức không phải chỉ ở chỗ nó đem lại một công cụ để phân tích ứng xử, « giải
thích »


19

một sai lầm ổn định, xác định những khó khăn của học sinh trong học tập, mà còn ở chỗ nó
giúp ta hiểu tình trạng của kiến thức ở một thời điểm xác định.
Từ đó suy ra tầm quan trọng của vấn đề đặt việc nghiên cứu quan niệm trong mối liên
hệ với những điều kiện dẫn đến sự hình thành quan niệm (đối tƣợng dạy học) và những tình

huống mà nó có hiệu lực. Nghiên cứu đó sẽ cho ta một cơ sở để thiết kế các tình huống dạy
học.
Vai trò của khoa học luận
Vấn đề là làm thế nào để vạch ra những quan niệm có thể đƣợc kết hợp với một tri
thức toán học. Theo M. Artigue, việc nghiên cứu quan niệm có thể đƣợc làm từ hai sự tiếp
cận:
- phân tích những chiến lƣợc và sản phẩm của học sinh ;
- nghiên cứu khái niệm về mặt khoa học luận, trong mối liên hệ với các định nghĩa và
tính chất khác nhau.
Hai phân tích này bổ sung cho nhau, chỉ thực hiện một là không đủ. Điều đó nói lên
tầm quan trọng của nghiên cứu khoa học luận. Nếu nhƣ chỉ dựa vào những ứng xử đƣợc quan
sát trực tiếp ở học sinh trong tình huống cụ thể mà suy ra quan niệm thì ta chỉ có một phân
tích không đầy đủ, thiếu khách quan. Việc nhúng quan niệm vào trong một nghiên cứu những
quan điểm có thể có về tri thức, những lớp vấn đề có thể dẫn tới quan điểm này hay quan
điểm kia dƣờng nhƣ là một đảm bảo cần thiết. Phân tích khoa học luận, đặc biệt nếu nhƣ đó
là một phân tích cắm chặt vào lịch sử phát triển của khái niệm, sẽ giúp ta phân biệt một số
lƣợng có thể khá lớn các quan niệm khác nhau và nhóm chúng lại thành từng lớp.
Tuy nhiên, cần nói rằng không phải bao giờ mọi quan niệm đã từng tồn tại trong lịch
sử cũng đều xuất hiện ở học sinh ngày nay, bởi vì luôn luôn có một khoảng cách giữa lịch sử
toán học với thực tế lớp học.

V. Kết luận
Thừa nhận học tập đƣợc xẩy ra qua hoạt động nhằm thích nghi với tình huống dẫn đến
chỗ thừa nhận sự cần thiết của một môi trƣờng đƣợc xây dựng sao cho kết quả của sự tƣơng
tác giữa chủ thể với môi trƣờng là chủ thể tự « phát minh » ra kiến thức mới. Để xây dựng
một môi trƣờng nhƣ vậy, những hiểu biết khoa học luận về tri thức, về những khó khăn gắn
liền với việc xây dựng kiến thức và về quan niệm học sinh đã có về tri thức là cần thiết. Điều
này giải thích vai trò quan trọng, thậm chí không thể thiếu của phân tích khoa học luận tri
thức cần dạy.

20

CHƢƠNG 3: VÍ DỤ VỀ LỢI ÍCH SƢ PHẠM CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC
LUẬN
A. Trường hợp khái niệm vectơ hình học
Nhƣ đã nói, trong một nghiên cứu khoa học luận, vấn đề không phải là liệt kê các sự
kiện, kể lại quá trình hình thành và phát triển tri thức toán học đang bàn đến, mà, tùy theo
mục đích sƣ phạm đƣợc đặt ra, cần tìm trong lịch sử những yếu tố giúp hiểu tốt hơn, sâu hơn
hoạt động dạy - học tri thức đó.
Giữa nhiều câu hỏi liên quan đến hoạt động dạy-học vectơ mà một số yếu tố cho phép
trả lời có thể đƣợc tìm thấy qua nghiên cứu khoa học luận, chúng tôi chọn câu hỏi về những
khó khăn học sinh phải đƣơng đầu để chiếm lĩnh đối tƣợng toán học này. Nhƣ thế, khi phân
tích khoa học luận lịch sử của lý thuyết vectơ, chúng tôi sẽ cố gắng vạch ra những tƣ tƣởng,
những lý do dẫn tới sự sáng lập, sự phát triển của lý thuyết này, những trở ngại mà các nhà
toán học đƣơng thời đã gặp phải và những bƣớc nhảy trong quan niệm cho phép họ vƣợt qua
trở ngại đó.
Ở đây thuật ngữ vectơ không đƣợc dùng theo nghĩa phần tử của không gian tuyến tính
tổng quát đƣợc định nghĩa qua một hệ tiên đề. Chúng tôi quan tâm đến khái niệm vectơ hình
học - lớp tƣơng đƣơng các cặp điểm hoặc các đoan thẳng định hƣớng.
Những nội dung trình bày trong phần này chủ yếu đƣợc rút ra từ Lê Thị Hoài Châu,
1997.

I. Phân tích khoa học luận lịch sử hình thành lý thuyết vectơ
Tiền thân của lý thuyết vectơ đƣợc tìm thấy ở xu hƣớng xây dựng các hệ thống tính
toán trong nội tại hình học và ở quá trình mở rộng tập hợp số trong đó những nghiên cứu tìm
cách biểu diễn các đại lƣợng ảo (mà ngày nay đƣợc gọi là số phức) đóng vai trò quan trọng.
I.1. Những hệ thống tính toán hình học đầu tiên
I.1.1. Hình học vị trí của Leibniz
Ngƣời đầu tiên có ý định xây dựng một hệ thống tính toán trong nội tại hình học là

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Vào năm 1637, René Descartes (1596 -1650) cho ra đời tác phẩm Discours de la
Méthode trong đó ông trình bày một phƣơng pháp mới để nghiên cứu hình học. Tác phẩm
này đã đặt nền móng cho hình học giải tích và tạo ra một cuộc cách mạng trong hình học.
Pierre de Fermat (1601 - 1655), hoàn toàn độc lập với Descartes, cũng phát triển một phƣơng
pháp


21

tƣơng tự. Với phƣơng pháp giải tích của Descartes và Fermat ngƣời ta chuyển các đối tƣợng
hình học thành đối tƣợng đại số, quan hệ hình học thành quan hệ đại số, và do đó mà chuyển
bài toán hình học thành bài toán đại số. Phƣơng pháp này nhanh chóng đƣợc các nhà toán học
quan tâm, vì nó cho phép tận dụng các kỹ thuật của đại số để nghiên cứu hình học và đem lại
cho lời giải khả năng khái quát cao.
Thế nhƣng điều đó không có nghĩa là phƣơng pháp giải tích không bị chỉ trích. Lý do
chủ yếu nằm ở chỗ nó đã tạo ra một tấm màn che mất đi trực giác hình học là cái cần thiết
cho quá trình tìm tòi lời giải bài toán. Leibniz là một trong những ngƣời chỉ trích phƣơng
pháp giải tích mạnh nhất. Ông muốn tìm một phƣơng pháp khác vừa cho phép tận dụng các
kỹ thuật của đại số mà lại vừa bảo toàn đƣợc bản chất hình học của bài toán. Ông lập luận
rằng muốn thế thì phải tìm cách biểu diễn vị trí trong không gian của các đối tƣợng hình học.
Với ý đồ đó ông đã sáng tạo ra Hình học vị trí (Géometrie des situations). Hình học vị trí
đƣợc xây dựng dựa trên khái niệm tƣơng đẳng: hai cặp điểm đƣợc gọi là tƣơng đẳng nếu giữa
hai điểm của mỗi cặp đều có cùng một khoảng cách, hai bộ ba điểm đƣợc gọi là tƣơng đẳng
nếu chúng tạo thành hai tam giác thể chồng khít lên nhau, v.v. Với khái niệm tƣơng đẳng
Leibniz nghiên cứu một số quỹ tích. Ông chỉ ra rằng quỹ tích những điểm tƣơng đẳng với
một điểm cho trƣớc là một không gian « vô hạn theo mọi hƣớng », hình cầu là quỹ tích những
điểm X sao cho AX tƣơng đẳng với AB cho trƣớc, rồi tập hợp các điểm X sao cho AX tƣơng
đẳng với BX sẽ xác định một mặt phẳng, v.v. ...Ông cũng giải quyết thêm một số bài toán khá
cơ bản khác, nhƣng chỉ dừng lại ở đó, không đƣa ra thêm kết qua nào về sau.

Rõ ràng là Hình học vị trí không đáp ứng đƣợc những mong muốn của Leibniz. Lý do
thất bại có thể tìm thấy ở hai điểm chủ yếu sau:
• Với khái niệm tƣơng đẳng, Leibniz chỉ giữ lại ở cặp điểm đặc trƣng độ dài. Ông
không xem rằng AB và BA có thể khác nhau, và do đó cũng không đi đến chỗ phân biệt các
phƣơng trong không gian. Ấy vậy mà, không ý thức đƣợc thiếu sót này, trong lời mở đầu của
cuốn sách ông đã nói rằng chỉ tính đến độ đo thì không đủ trong hình học, vì đại số không
cho phép xác định các vị trí.
• Hơn thế, trong lý thuyết của mình, Leibniz đã không định nghĩa một phép toán nào.
Các đối tƣợng hình học do đó mà không thể đƣợc cộng, trừ, nhân, trong khi ông lại mong
muốn sáng lập ra một đại số mới trong đó những đối tƣợng này không chỉ đƣợc biểu diễn
bằng ký hiệu mà còn chịu tác động của các phép toán đại số.
Dù thất bại, Leibniz cũng đã có công gợi lên ý tƣởng dung hoa đại số và hình học
bằng cách tính đến khía cạnh trực giác của phƣơng pháp tổng hợp trong một phƣơng pháp có
bản chất giải tích.
I.1.2. Tính toán tâm tỷ cự của Mobius
August Ferdinal Mobius (1790-1866) không thực sự xây dựng một hệ thống vectơ
nào, nhƣng lại chiếm vị trí quan trọng trong lịch sử tính toán vectơ. Ông đã xây dựng một mô
hình toán học khá giống với lý thuyết vectơ ngày nay trên nhiều phƣơng diện. Mô hình đó
đƣợc ông công bố năm 1827 trong tác phẩm Tính toán tâm tỷ cự (Barycentriche Calcul) khá
nổi tiếng.


22

Một trong những tƣ tƣởng cơ bản và mới mẻ của Mobius liên quan đến việc định
hƣớng các hình trong không gian. Điểm xuất phát của ông là xem xét mối quan hệ giữa hai
đƣờng có cùng một phƣơng. Theo quan điểm này, sự thay đổi về chiều đƣợc xem nhƣ tƣơng
ứng với sự thay đổi về dấu, có nghĩa là AB = - BA. Sau đó ông đƣa vào phép toán cộng hai
đoạn thẳng cộng tuyến. Rồi ông mở rộng quy tắc dấu và quy tắc cộng cho những hình đƣợc
tạo thành bởi nhiều hơn hai đỉnh. Chẳng hạn, với ông, diện tích tƣơng đối của một tam giác

đƣợc định hƣớng theo thứ tự của ba điểm tạo nên nó, hay nói cách khác, diện tích này là một
đại lƣợng có dấu đƣợc ký hiệu bởi ba chữ cái biểu thị ba đỉnh, cụ thể: ABC = BCA = CAB =
-ACB = - BAC = - CBA. Theo cùng cách đó, ông định nghĩa thể tích tƣơng đối của một hình
chóp.
Năm l843, Mobius khái quát hóa phép cộng, trừ các đoạn thẳng (định hƣớng) cộng
tuyến vào không gian. Sau đó, năml862, ông đƣa vào khái niệm tích hình học (multiplication
géométrique) của hai đoạn thẳng (định hƣớng) cộng tuyến. Tích này trùng với tích vectơ của
chúng ta ngày nay về mặt số nhƣng không đồng nhất (tích hình học là một hình bình hành
định hƣớng chứ không phải là một đoạn thẳng định hƣớng). Cuối cùng ông đề cập đến tích
chiếu (produit projectif) của hai đoạn thẳng định hƣớng. Tích chiếu trùng với tích vô hƣớng
của chúng ta ngày nay.
Nghiên cứu của Mobius đánh dấu một mốc quan trọng trong lịch sử phát sinh lý
thuyết vectơ. Trƣớc hết, lý thuyết Tâm tỉ cự đã chứa đựng các phép toán trên các đối tƣợng
hình học, và những đối tƣợng này đƣợc xem xét không chỉ về phƣơng diện số mà còn cả về
phƣơng diện định hƣớng trong không gian. Tƣ tƣởng này dƣờng nhƣ rất sơ đẳng với chúng ta
ngày nay, thế nhƣng vào thời đó thì nó đã không dễ dàng xuất hiện. Ta đã thây điều ấy qua
thất bại của Leibniz.
Thứ hai nữa, với Mobius, đây là lần đầu tiên phép nhân hai đoạn thẳng định hƣớng
đƣợc đề cập đến. Rõ ràng là so với phép cộng thì phép nhân các đoạn thẳng khó hình dung
hơn. Với phép cộng, mô hình tính toán trên các đối tƣợng hình học có cấu trúc cộng. Thêm
vào phép toán nhân, bản chất của cấu trúc này thay đổi. Ta sẽ thấy vấn đề phép nhân quan
trọng nhƣ thế nào trong qua trình xây dựng lý thuyết các vectơ sau này.
Thế nhƣng, có lẽ do tính phức tạp của việc xây dựng một hệ thống tính toán trên các
đối tƣợng hình học, Mobius vẫn để lại lý thuyết của mình một số điểm mập mờ mà nguyên
nhân của nó đáng để chúng ta quan tâm. Chẳng hạn, ta hãy xét một công thức liên quan đến
tích hình học ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ và tích chiếu AB.CD của hai đoạn thẳng định hƣớng đồng phẳng AB,
CD. Theo định nghĩa của Mobius, về mặt số, tích ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ bằng diện tích của hình bình hành
đƣợc tạo bởi AB, CD, còn về mặt hình học thì nó là một hình bình hành có thể ở bất cứ vị trí
nào trong không gian, miễn là song song với mặt phẳng (AB, CD), với các quy ƣớc về dấu
nhƣ đã nêu trên. Tích chiếu AB.CD thì tƣơng đƣơng với tích vô hƣớng của chúng ta ngày

nay. Để xét mối liên hệ giữa hai tích này, Mobius bắt đầu từ bốn đoạn thẳng (định hƣớng)
đồng phẳng u, v, a, a' trong đó u vuông góc với v. Ông viết:
a.u . a'.v +
. ̅̅̅̅̅=0