Bài giảng xác suất thống kê luật số lớn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (307.7 KB, 44 trang )
Chương 5
LUẬT SỐ LỚN
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
1
Hội tụ theo xác suất
•
Dãy các biến ngẫu nhiên X1, X2,…,Xn gọi là hội tụ theo xác suất về bnn X nếu:
lim P ( X n − X > ε ) = 0, ∀ε > 0.
n →∞
•
Ký hiệu:
X n
→X
P
n →∞
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
2
Hội tụ theo phân phối
•
•
Dãy các biến ngẫu nhiên X1, X2,…,Xn gọi là hội tụ theo phân phối về bnn X nếu:
lim P ( X n < x ) = P ( X < x ) , ∀x.
Ký hiệu:n →∞
lim FX n ( x ) = FX ( x ) , ∀x.
n →∞
X n
→X
F
n →∞
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
3
Ý nghĩa
•
•
•
Hội tụ theo xác suất: khi n đủ lớn ta có thể xem Xn không khác biệt mấy so với X.
Hội tụ theo phân phối:
Hội tụ P kéo theo hội tụ F.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
4
Bất đẳng thức Chebyshev
•
Cho X là biến ngẫu nhiên không âm, có kỳ vọng hữu hạn. Khi đó với mọi a>0 ta
có:
E( X )
P( X > a) ≤
a
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
5
Bất đẳng thức Chebyshev
•
Cho X là biến ngẫu nhiên có kỳ vọng và phương sai hữu hạn. Khi đó:
V(X)
P X − E( X ) ≥ ε ≤
2
ε
(
)
V(X)
P X − E ( X ) < ε ≥ 1−
2
ε
(
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
)
Nguyễn Văn Tiến
6
Luật số lớn Chebyshev
•
Cho X1, X2,…,Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, có kỳ vọng hữu hạn và phương
sai bị chặn trên bởi hằng số C thì:
n
1 n
1
lim P ∑ X i − ∑ E ( X i ) < ε ÷ = 1
n →∞
n i =1
n i =1
∀ε > 0
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
7
Hệ quả 1
•
Cho X1, X2,…,Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, có cùng kỳ vọng µ và các phương
sai bị chặn trên bởi hằng số C thì:
X 1 + X 2 + ... + X n
P
→µ
n →∞
n
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
8
Hệ quả 2
•
Cho X1, X2,…,Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, có cùng phân phối xác suất. Giả
sử kỳ vọng µ và phương sai là σ2 thì:
X 1 + X 2 + ... + X n
P
→µ
n →∞
n
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
9
Ý nghĩa
•
Trung bình của các bnn độc lập hội tụ theo xác suất về trung bình kỳ vọng tương
ứng của chúng.
•
Như vậy mặc dù từng biến ngẫu nhiên có độc lập có thể nhận giá trị khác nhiều so
với kỳ vọng của chúng nhưng trung bình của một số lớn các bnn độc lập lại nhận
giá trị gần với trung bình kỳ vọng của chúng với xác suất rất lớn.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
10
Luật số lớn Bernoulli
•
•
Gọi fn là tần suất xuất hiện bc A trong n phép thử độc lập.
Tần suất fn hội tụ theo xác suất về xác suất p của biến cố A.
lim P ( f n − p < ε ) = 1, ∀ε > 0
n →∞
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
11
Chứng minh
•
•
Xét dãy các bnn như sau:
1
Xk =
0
, neáu A xaûy ra laàn k.
, neáu A khoâng xaûy ra laàn k.
Khi đó:
X i ~ B ( 1, p ) , ∀i
E ( X i ) = p; V ( X i ) = pq
X 1 + X 2 + ... + X n k
P
= = f n
→p
n →∞
n
n
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
12
Định lý Giới hạn trung tâm (CLT)
•
Cho X1, X2,…,Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, có cùng phân phối xác suất với
kỳ vọng µ và phương sai là σ2 thì:
hay
n
X = ∑ X i
→ N ( nµ , nσ
F
n →∞
i =1
2
)
→ N ( nµ , nσ
( X 1 + X 2 + ... + X n )
F
n →∞
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
2
)
13
Định lý Giới hạn trung tâm (CLT)
•
Cho X1, X2,…,Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, có cùng phân phối xác suất với
kỳ vọng µ và phương sai là σ2 thì:
n
Sn =
∑X
i =1
i
− nµ
σ n
lim P ( S n < x ) =
n →∞
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
→ N ( 0,1)
F
n →∞
x
∫ ϕ ( t ) dt = 0,5 + φ ( x )
−∞
Nguyễn Văn Tiến
14
Ví dụ 1
•
Đo chiều cao của 125 thanh niên. Tìm xác suất sao cho độ lệch giữa chiều cao trung
bình và chiều cao lý thuyết không vượt quá 2cm biết V(X)=(4,7cm)
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
2
15
Ví dụ 2
•
Điều trị cho 500 người. Tìm xác suất sao cho độ lệch giữa tần suất khỏi và xác suất
khỏi không vượt quá 0,05. Biết xác suất khỏi khi điều trị là 0,85.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
16
BỔ SUNG CHƯƠNG 3
•
•
•
Phân phối Khi bình phương
Phân phối Student
Phân phối Fisher - Snedecor
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
17
Hàm Gamma
+∞
Vôùi α >0, ñaët Γ ( α ) = ∫ x
+∞
Γ ( 1) = ∫ e .dx = −e
−x
0
− x +∞
0
α −1
−x
.e .dx
=1
0
+∞
Γ ( α + 1) = ∫ x .e .dx = α .Γ ( α )
α
−x
0
Γ ( n ) = n!
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
1
Γ ÷= π
2
Nguyễn Văn Tiến
18
Phân phối Khi bình phương
•
Bnn X gọi là có phân phối Khi bình phương với n bậc tự do nếu hàm mật độ có
dạng:
1
x
n
n 2
f ( x ) = Γ ÷2
• Ký hiệu:
2
• Là trường hợp riêng của pp Gamma.
0
X ~χ
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
2
n
x
−1 −
2
2
e
,x > 0
,x ≤ 0
( n)
Nguyễn Văn Tiến
19
Phân phối Khi bình phương
•
2
Nếu X~χ (n) thì
E( X) = n ;
•
Var ( X ) = 2n
Đồ thị:
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
20
Đồ thị hàm mật độ
n=4
n=5
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
21
Đồ thị hàm mật độ Khi BP
•
Đồ thị hàm mật độ khi n=10 và n=20
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
22
Đồ thị hàm mật độ
•
Khi n=30, vẽ trên đoạn từ 7 đến 53 (trong khoảng 3 độ lệch chuẩn)
E ( X ) = n = 30
V ( X ) = 2n = 60 ⇒ σ ≈ 7, 74
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
23
2
Tớnh cht X~ (n)
( n2 ) vaứ ủoọc laọp thỡ:
2
X1 + X 2 ~ ( n1 + n2 )
a ) Neỏu X 1 ~
2
( n1 ) ;
X2 ~
2
X n
F
b) Neỏu X ~ ( n ) thỡ
N ( 0,1)
n
2n
2
Bi ging Xỏc sut Thng kờ 2014
Nguyn Vn Tin
24
Quan hệ với pp N(0,1)
•
•
Cho n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối N(0,1).
Khi đó:
X i ~ N ( 0,1)
n
∑X
i =1
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
2
i
~χ
2
( n)
25
