SKKN hệ THỐNG bài tập NÂNG CAO đại số 7”

TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH

SKKN : “HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 7”

A . GIỚI THIỆU
I / Đặt vấn đề :
Chương trình Đại số Tốn 7, học sinh được cung cấp đầy đủ những kiến thức về
các phép tính cộng trừ nhân chia trên tập hợp: số hữu tỉ, số vơ tỉ, số thực, các tính chất
của giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ, các cơng thức lũy thừa, tỉ lệ thức, các tính chất dãy tỉ
số bằng nhau.. Qua đó học sinh hiểu và vận dụng các cơng thức, các tính chất trên để
giải các bài tốn đại số cơ bản. Tuy nhiên các em gặp các dạng : Chứng minh bất đẳng
thức; Tìm x,y có liên quan đến tổng dãy số viết theo quy luật, tìm x có chứa giá trị tuyệt
đối , … thì lúng túng. Với những bài tốn trên đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức:
tính chất của phép cộng, phép nhân, kỹ năng tính tốn, khả năng phát hiện quy luật của
các bài tốn. Khi học sinh đã nắm vững các kiến thức cơ bản, chúng tơi đưa ra một số
bài tập nâng cao, học sinh được tiếp cận với các bài tập nâng cao này đều cảm thấy
ham thích và có niềm đam mê một cách thực sự, nhất là đối với học sinh khá giỏi, có
óc thơng minh, nhạy bén, sáng tạo. Do đó nhóm Tốn 7 chung tơi rút ra một kinh
nghiệm để học sinh có thể ơn luyện được nhiều kiến thức,kỹ năng trong mơn Tốn số,
với đề tài “ Hệ thống bài tập nâng cao Đại số 7” để rèn luyện cho các em
hồn thiện kỹ năng giải tốn trong q trình học tập để học sinh được phát triển tư duy
và có niềm đam mê mơn học tốn Đại số.

II/ Biện pháp thực hiện :
Giáo viên thực hiện đề tài này khồng thời gian 20 tiết: lồng ghép trong các tiết
luyện tập phù hợp theo nội dung tiết dạy.Trước hết, học sinh cần được nắm vững các
kiến thức các bài tập cơ bản trong SGK. Khi học sinh đã thành thạo các bài tập cơ bản
rồi, giáo viên sẽ đưa hệ thống bài tập nâng cao cho học sinh tiếp cận, kèm theo gợi ý
đối với từng dạng bài để học sinh phát huy tư duy sáng tạo của mình.

III/ Phạm vi áp dụng :

Trong tài liệu này, người viết đã chia thành các dạng bài, tiện cho việc tiếp thu và hệ
thống kiến thức đối với học sinh. Các bài tập này có thể áp dụng cho các đối tượng học
sinh khá giỏi trong lớp.

GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU

Năm Học : 2014-2015

- 1-


SKKN : “HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 7”

TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH

B . NỘI DUNG
1.

PHẦN A: CÁC BÀI TOÁN THỰC HIỆN PHÉP TÍNH.
Các kiến thức vận dụng:
Tính chất của phép cộng , phép nhân
Các phép toán về lũy thừa:
x.x2....
3x ; xm.xn = xm+n ;
xn = 1
n
m n

(x ) = x

m.n

n

n

; ( x.y) = x .y

n

xm : xn = xm –n ( x ≠ 0, m ≥ n)
x n xn
(
; ) = n ( y ≠ 0)
y
y

2 . Một số bài toán :
Bài 1: Tính giá trị biểu thức:
1 2 
1 6 
7 3

A =  3 − + ÷−  5 + − ÷−  6 − + ÷
4 5 
3 5 
4 2

1 3  3 1 2 1 1
B = − −  − ÷+ − − +

3 4  5  64 9 36 15
1 3 5 7 9 11 13 11 9 7 5 3 1
C= − + − + − + + − + − + −
3 5 7 9 11 13 15 13 11 9 7 5 3
1
1
1
1
1
1
D=
−
−
−
− .... −
−
99 99.98 98.97 97.96
3.2 2.1

Phương pháp giải:
- Tính giá trị của từng biểu thức trong ngoặc rồi tính tổng hoặc hiệu.
- Sử dụng qui tắc bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các số hạng thích hợp bằng cách áp
dụng tính chất giáo hoán và kết hợp.
Bài 2: Tính hợp lý :
 −5  7  11 
A =  ÷× × ÷×(−75)
 11  15  −5 
 1   15  38  −12 
B =  − ÷× − ÷× ×
÷

 6   19  45  5 
 −5  11  13  11
C =  ÷: +  − ÷:
 9  3  18  3
 2 9 3   3
D =  2 × × ÷:  − ÷
 15 17 32   17 

Phương pháp giải:
- Nắm vững các qui tắc thực hiện các phép tính, chú ý đến dấu của kết quả.
- Đảm bảo thứ tự thực hiện phép tính.
- Vận dụng tính chất các phép toán.
Bài tập vận dụng :
Bài 2:

Thực hiện phép tính:

a) A = (

1
1
1
1 1 − 3 − 5 − 7 − ... − 49
+
+
+ ... +
)
4.9 9.14 14.19
44.49
89

GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU

Năm Học : 2014-2015

- 2-


SKKN : “HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 7”

TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH

b) B =

2 .3 − 4 .9
12

5

( 2 .3)
2

6

6

2

+ 84.35

−

5 .7 − 255.492
10

3

( 125.7 )

3

+ 5 .14
9

HD : A =

3

−9
;B=
28

7
2

Bài 3:

Tính:

1

1
1
+
−
2003 2004 2005
P= 5
5
5
+
−
2003 2004 2005

−

2
2
2
+
−
2002 2003 2004
3
3
3
+
−
2002 2003 2004

3 3 

0,375 − 0,3 + +

 1,5 + 1 − 0,75
 1890
11
12

:
+
+ 115
Bài 4: TÝnh A =
 2,5 + 5 − 1,25 − 0,625 + 0,5 − 5 − 5  2005


3
11 12 

5
5
1
3
 1
13 − 2 − 10  . 230 + 46
27
6
25
4
 4
Bài 5: a) Tính :
2
 3 10   1
1 +  : 12 − 14 

7
 10 3   3
1 1 1
1
+ + + ... +
3 4
2012
b) TÝnh P = 2011 2 2010
2009
1
+
+
+ ... +
1
2
3
2011

HD: Nhận thấy 2011 + 1 = 2010+2 = ….
2012
2010
1
+1+
+ .... + 1 +
− 2011
1
2
2011
2012
2012

1 1 1
1
= 2012 +
+ .... +
− 2011 = 2012( + + + ...... +
)
2
2011
2 3 4
2012
1 1 1 1
(1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100) − − − (63.1,2 − 21.3,6)
c)
2 3 7 9
A=
1 − 2 + 3 − 4 + ... + 99 − 100
⇒ MS = 1 +

Bài 6: Tính giá trị của biểu thức:
 11 3 

1 2
1 31 . 4 7 − 15 − 6 3 . 19   14  31

 . −1
A=

 .
5
1

1
93  50




 4 6 + 6 12 − 5 3 




Bài 7: Tính giá trị của biểu thức:
2

4
3


 81,624 : 4 − 4,505  + 125
3
4


A=
2
 11 2


 
2  13

:
0
,
88
+
3
,
53
−
(
2
,
75
)

 
:
25





 25


Bài 8: Tìm giá trị của các biểu thức sau :

GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU

Năm Học : 2014-2015

- 3-


SKKN : “HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 7”

TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH
3

A = 72 .544

12
12
B = 3 .1311 + 34 .3

2

108

3 .2

10
10
C = 2 .138 + 2 .65

10
10
D = 8 4 + 411

8 +4

2 .104

-

HD:
Áp dụng các công thức lũy thừa.
Chú ý học sinh thường sai lầm công thức : xm.xn = xm+n ; (xm)n = xm.n ;
Gi¶i:
3
2
(2 3.3 2 ) 3 .( 2.33 ) 2
2 9.36.2 2.36 = 211.312 = 23 = 8
A = 72 .544 =
=
2 3 4
8 12
8 12

108

(2 .3 )

2 .3

2 .3

12
12

12
12 4
B = 3 .1311 + 34 .3 = 3 (1113 +4 3) = 311.2 4 = 3

3 .2

3 .2

3 .2

10
10
10
10
11
C = 2 .138 + 2 .65 = 2 (8133+ 65) = 2 11.78 = 2 11.3.13 = 3

2 .104

2 .2 .13

2 .13

2 .13

10
10
30
20
2 20 (210 + 1)

D = 8 4 + 411 = 2 12 + 2 22 = 12
= 28 = 256
10

8 +4

2 +2

2 (1 + 2 )

Một số bài toán tinh theo quy luật, dãy số:
Bài 9:
Cho A= 3 + 32 + 33 +…+ 32008
T×m x biÕt 2A + 3 = 3x
Gi¶i :
Ta cã 3A = 3( 3 + 32 + 33 +…+ 32008) =

32 + 33 +…+ 32008 +32009

3 + 32 + 33 +…+ 32008

A =

3A – A = 32009- 3
2A = 32009- 3
=> 2A + 3 = 32009- 3 + 3 => 2A + 3 = 32009
MÆt kh¸c: 2A + 3 = 3x
Suy ra: 32009 = 3x hay x = 2009
* Ph¬ng ph¸p gi¶i:
Tæng qu¸t:

A = n + n2 + n3 +….+ nk
k +1
nA - A = nk+1- n => A = n − n

n −1

( n, k ∈ N; n >1, k ≥ 1)

Bài 10: a) Tính tổng : S = 1+ a + a2 +…..+ an
c
c
c
+
+ ...... +
với a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1 = k
a1.a2 a2 .a3
an −1.an
HD: a) S = 1+ a + a2 +…..+ an ⇒ aS = a + a2 +…..+ an + an+1
Ta có : aS – S = an+1 – 1 ⇒ ( a – 1) S = an+1 – 1
Nếu a = 1 ⇒ S = n
a n +1 − 1
Nếu a khác 1 , suy ra S =
a −1
c
c 1 1
= ( − ) với b – a = k
b) Áp dụng
a.b k a b

b) Tính tổng : A =

GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU

Năm Học : 2014-2015

- 4-


SKKN : “HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 7”

TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH

c 1

1

c 1

1

c

1

1

Ta có : A = k ( a − a ) + k ( a − a ) + ..... + k ( a − a )
1
2
2

3
n −1
n
=

c 1 1 1 1
1
1
c 1 1
( − + − + ...... +
− ) = ( − )
k a1 a2 a2 a3
an −1 an
k a1 an

Bài 11 : a) Tính tổng : 12 + 22 + 32 + …. + n2
b) Tính tổng : 13 + 23 + 33 + …..+ n3
HD : a) 12 + 22 + 32 + ….+ n2 = n(n+1)(2n+1): 6
b) 13 + 23 + 33 + …..+ n3 = ( n(n+1):2)2
Bài 12: Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025.
Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203
1
3

1 1 1
1
1
+ 3 + 4 + ... + 2004 + 2005
2
3 3 3

3
3
1
Chøng minh r»ng B < .
2

Bài 13: Cho B = +

PHẦN B :
TỈ LỆ THỨC - TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
I Các kiến thức vận dụng:
* Các tính chất của tỉ lệ thức:
+ Nếu

a c
= ⇔ ad = bc
b d

+ Nếu a, b, c, d ≠ 0 thì :
ad = bc ⇔

a c
= ⇔
b d

a b
= ⇔
c d

d c

= ⇔
b a

d b
=
c a

* Về tính chất dãy tỉ số bằng nhau: Nếu a = c thì : a = c = a + c = a − c
b

d

b

d

b+d

b−d

a c e
a c e a +b+c a −b+c
= = thì : = = =
=
= ...
b d f
b d f b +d +f b −d +f

– Tính chất trên còn mở rộng: Nếu

(với giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa).
II.CÁC DẠNG TOÁN:
Dạng 1 : Tìm một số hạng chưa biết của một tỉ lệ thức.
PP: Trong một tỉ lệ thức, ta có thể tìm một só hạng chua biết khi biết ba số hạng kia.
a c
bc
ad
ad
bc
= ⇒ a = ,b =
,c =
,d =
b d
d
c
b
a

Bài 1 : Tìm x biết :
x −9
a)
=
27 36

7
− 49
b)
=
− 28
x

Bài 2 : Tìm x biết :
a)

x
− 60
=
− 15
x

b)

c)52 : x = −75 : 14

1
x
d) 4 =
7
1
−2
6
8
2
4

−2 −x
=
x
50

GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU

Năm Học : 2014-2015

- 5-


SKKN : “HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 7”

TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH

Bài 3 : Tìm x biết :
a)

72 − x x − 40
=
−7
9

b)

37 − x 3
=
x +13 7

Dạng 2: Tìm các số khi biết tổng (hoặc tích) và tỷ số của chúng.
PP: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
VD1: Tìm x,y,z biết:
a)

x y z
= = và x + y + z = 18 ;
2 3 4

b)

x y z
= = và x − y − z = 15
2 3 4

Giải:
a) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
 x = 2.2 = 4
x y z x + y + z 18

= = =
=
= 2 ⇒  y = 2.3 = 6
2 3 4 2+3+ 4 9
 z = 2.4 = 8


Cách 2: Đặt tỷ số bằng k rút x,y,z theo k.
 x = 2k
x y z

= = = k ⇒  y = 3k (1)
2 3 4
 z = 4k


⇒ x + y + z = 2k + 3k + 4k = 9k
⇒ 9k = 18 ⇒ k = 2

Theo (1) ta có: x = 4; y = 6; z = 8
Cách 3: Rút x, y theo z.
1

x= z

x y z

2
= =
⇒
2 3 4
y = 3 z

4
1
3
9
⇒ x + y + z = z + z + z = z = 18
2
4
4
⇒ z = 8; x = 4; y = 6
 x = −3.2 = −6
x y z x − y − z 15

=

= −3 ⇒  y = −3.3 = −9
b) = = =
2 3 4 2−3−4 −5
 z = −3.4 = −12


VD2: Tìm x, y,z biết:
a)

x y z
x y z
= = và x + 2 y + 4 z = −93 ; b) = = và − 2 x + y − 3 z = 34
3 4 5
3 4 5

Giải:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU

Năm Học : 2014-2015

- 6-


SKKN : “HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 7”

TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH

 x = −3.3 = 9
x y z 2 y 4 z x + 2 y + 4 z − 93


=
=
=
= −3 ⇒  y = −3.4 = 12
a) = = =
3 4 5
8
20
3 + 8 + 20
31
 z = −3.5 = 15

 x = −2.3 = −6
x y z 2 x 3 z − 2 x + y − 3z
34

=
=
=
= −2 ⇒  y = −2.4 = −8
b) = = =
3 4 5 6 15
− 6 + 4 − 15
− 17
 z = −2.5 = −10


VD3: Tìm x, y,z biết:

2x 3y 4z
= =
và x+2y+4z=220 ;
3
4 5

Giải:
a) Từ

2x 3y 4z
x
y
z
=
=
⇒
=
=
3
4
5
18 16 15

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
 x = 2.18 = 36
x
y
z
x + 2 y + 4 z 220


=
=
=
=
= 2 ⇒  y = 2.16 = 32
18 16 15 18 + 32 + 60 110
 z = 2.15 = 30


VD 4: Tìm x, y biết:
a) 5 x = 7 y và x + 2 y = 51 ;

b) a.x = b. y (a ≠ 0, b ≠ 0, b ≠ a ) và x − y = b − a

Giải:
a) Từ 5 x = 7 y ⇒

x y
=
7 5

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
 x = 21
x y x + 2 y 51
= =
=
=3⇒ 
7 5 7 + 10 17
 y = 15

b) Từ a.x = b. y ⇒

x y
=
b a

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
x = b
x y x− y b−a
= =
=
=1⇒ 
b a b−a b−a
y = a
µ µ 3B=C
µ µ
VD5: Tính các góc của tam giác ABC biết 2A=B;

Giải:
0
µ
µ µ µ µ µ µ
µ µ 3B=C
µ µ ⇒ 2A=B
µ µ = C ⇒ A = B = C = A + B + C = 180 = 200
2A=B;
3
1 2 6
9
9

Từ:
µ = 200 ; B
µ = 400 ;C
µ = 1200
⇒A

Tổng quát :

GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU

Năm Học : 2014-2015

- 7-


SKKN : “HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 7”

TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH

Tìm x,y,z biết

x y z
= = và mx+ny+pz=d
a b c

Với a, b, c, d là các số cho trước và m,n,p≠ 0

(*)

Phương pháp giải là: ta chỉ cần áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để để tạo ra tỷ số

là hằng số .
Cụ thể:
Từ

x y z mx ny pz mx + ny + pz
d
= = =
= = =
=
a b c ma nb pc ma + nb + pc ma + nb + pc

VD6: Tìm x,y,z biết:
a)

x y
= và xy = 24 ;
2 3

b)

x y z
= = và xyz = 24
2 3 4

Giải:
a) Cách 1:
2

2

x y x  y
x y xy 24
= ⇒ ÷ = ÷ = . =
=
=4
2 3 2  3
2 3 6
6
x
⇒ = ±2 ⇒ x = ± 4
2

Với x = 4 ⇒ y = 6
Với x = - 4 ⇒ y = - 6
b) Cách 2: Đặt

x y
= = k ⇒ x = 2k ; y = 3k
2 3

Thay x = 2k ; y = 3k vào xy = 24 ta được:
2k .3k = 6k 2 = 24 ⇒ k 2 = 4 ⇒ k = ±2

-Với k = 2 ⇒ x = 4; y = 6
-Với k = −2 ⇒ x = −4; y = −6
b) Đặt

x y z
= = = k ⇒ x = 2k ; y = 3k ; z = 4k
2 3 4

Thay x = 2k ; y = 3k ; z = 4k vào xyz = 24 ta được:
x = 2

2k .3k .4k = 24k = 24 ⇒ k = 1 ⇒ k = 1 ⇒  y = 3
z = 4

3

3

VD7: Tìm x, y,z biết:
a)

x y z
= = và x 2 + 2 y 2 + 4 z 2 =141
3 4 5

b)

x y z
= = và − 2 x 2 + y 2 − 3 z 2 = −77
3 4 5

Giải:
GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU

Năm Học : 2014-2015

- 8-

TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH

SKKN : “HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 7”

x y z
= =
(1)
3 4 5
a) Từ
x2 y2 z 2
⇒
=
=
9 16 25

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
x 2 y 2 z 2 2 y 2 4 z 2 x 2 + 2 y 2 + 4 z 2 141
=
=
=
=
=
=
= 1 ⇒ x 2 = 9 ⇒ x = ±3
9 16 25 32 100
9 + 32 + 100
141
x = 3

 x = −3


kết hợp với (1) ⇒  y = 4 hoặc  y = −4
z = 5
 z = −5


x y z
x2 y2 z2
=
=
(
1
)
⇒
=
=
b) Từ
3 4 5
9 16 25

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
x 2 y 2 z 2 2 x 2 3z 2 −2 x 2 + y 2 − 3z 2 −77
=
=
=
=
=
=

= 1 ⇒ x 2 = 9 ⇒ x = ±3
9 16 25 18
75
−18 + 16 − 75
−77
x = 3
 x = −3


kết hợp với (1) ⇒  y = 4 hoặc  y = −4
z = 5
 z = −5



Tổng quát :
x y z
= = và mx k + ny k + pz k = d
a b c
Với a, b, c, d , m, n, p, d , k là các số khác 0 k ∈ N *

Tìm x,y,z biết
Phương pháp giải như sau:
Từ

x y z
mx k ny k
pz k
= = ⇒
=

=
a b c
ma k nb k
pc k

mx k ny k
pz k
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho dãy tỉ số k = k = k ta được:
ma
nb
pc
mx k ny k
pz k
mx k + ny k + pz k
d
= k =
=
=
k
k
k
k
k
k
ma
nb
pc
ma + nb + pc
ma + nb k + pc k

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức từ một hệ thức cho trước.
Kiến thức vận dụng :
a c
= ⇔ a.d = b.c
b d
a c e
a c e a±b±e
-Nếu = = thì = = =
với gt các tỉ số dều có nghĩa
b d f
b d f b±d ± f
a c e
- Có = = = k Thì a = bk, c = d k, e = fk
b d f

-

GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU

Năm Học : 2014-2015

- 9-


SKKN : “HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 7”

TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH

Để chứng minh tỉ lệ thức:

A C
=
ta thường dùng một số phương pháp sau:
B D

Phương pháp 1: Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau.
Phương pháp 2: Đặt tỷ số bằng k rút tử theo k và mẫu.
Phương pháp 3: Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức.
Một số kiến thức cần chú ý:
a na
=
b nb

+)

(n ≠ 0)
n

a c
a
c
+) = ⇒   =  
b d
b
d 

n

Sau đây là một số ví dụ minh họa:
a c

= (a, b, c, d ≠ 0; a ≠ ±b; c ≠ ± d )
b d

VD1: Cho tỉ lệ thức:
Chứng minh rằng:
a)

a+b c+d
=
a−b c−d

b)

a+b c+d
=
b
d

Giải:
a) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau.
Từ

a c
a b
= ⇒ = . Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
b d
c d

a b a+b a−b
= =

=
c d c+d c−d

do :

a+b a−b
a+b c+d
=
⇒
=
c+d c−d
a−b c−d

Cách 2: Đặt tỷ số bằng k rút tử theo k và mẫu:
 a + b kb + b k + 1
 a − b = kb − b = k − 1
a
=
kb

a c
=
=
k
⇒
⇒
Đặt


b d

c = kd
 c + d = kd + d = k + 1
 c − d kd − d k − 1

Vậy:

a+b c+d
=
a−b c−d

Cách 3: Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức.
b) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau.
do:

b a+b
a+b c+d
=
⇒
=
d c+d
b
d

Cách 2: Đặt tỷ số bằng k rút tử theo k và mẫu:
GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU

Năm Học : 2014-2015

- 10-

SKKN : “HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 7”

TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH

Cách 3: Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức.
Cách 4:

a c
a
c
a +b c+d
= ⇒ +1 = +1 ⇒
=
b d
b
d
b
d
a c
b d

VD2: Cho tỉ lệ thức: = Chứng minh rằng:

2a+3b 2c+3d
a)
=
2a-3b 2c-3d

3a 2 +5ab 3c 2 +5cd

b) 2
=
7a -10b 2 7c 2 -10d 2

Giải:
a) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau.
do:

a c
a b
= ⇒ = . Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
b d
c d
a b 2a 3b 2a+3b 2a-3b
= = = =
=
c d 2c 3d 2c+3d 2c-3d

từ :

2a+3b 2a-3b
2a+3b 2c+3d
=
⇒
=
2c+3d 2c-3d
2a-3b 2c-3d

Cách 2: Đặt tỷ số bằng k rút tử theo k và mẫu:
 2a+3b 2kb+3b 2k+3

=
=
a=kb  2a-3b 2kb-3b 2k-3
a c
⇒
Đặt = =k ⇒ 
b d
c=kd  2c+3d = 2kd+3d = 2k+3
 2c-3d 2kd-3d 2k-3

Vậy:

2a+3b 2c+3d
=
2a-3b 2c-3d

Cách 3: Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức.
b) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau.
do:

a c
a b
= ⇒ = . Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
b d
c d
2

2

a b  a   b  a b a 2 b 2 ab

= ⇒  ÷ = ÷ = . = 2 = 2 =
c d c d
c d c d
cd
3a 2 7a 2 10b 2 5ab 3a 2 +5ab 7a 2 -10b 2
= 2= 2=
=
=
=
3c 7c 10d 2 5cd 3c 2 +5cd 7c 2 -10d 2
3a 2 +5ab 3c 2 +5cd
⇒ 2
=
7a -10b2 7c 2 -10d 2

từ

3a 2 +5ab 7a 2 -10b 2
3a 2 +5ab 3c 2 +5cd
=
⇒ 2
=
3c 2 +5cd 7c 2 -10d 2
7a -10b 2 7c 2 -10d 2

Cách 2: Đặt tỷ số bằng k rút tử theo k và mẫu:
Cách 3: Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức.

GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU

Năm Học : 2014-2015

- 11-


SKKN : “HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 7”

TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH

Nhận xét: Hầu hết các bài tập trong hai dạng toán trên đều có thể giải bằng nhiều cách tuy
nhiên ở mỗi bài ta nên chọn c ách giải hợp lý nhất.
VD 3: Cho tỉ lệ thức:
Giải:

a+b c+d
a
c
= .
=
. Chứng minh rằng:
b
d
a−b c−d

a+b c+d
a − b + 2b c − d + 2d
2b
2d
=
⇒

=
⇒ 1+
= 1+
a −b c −d
a −b
c−d
a −b
c−d
c −d a −b
c 1 a 1
a c
⇒
=
⇒
− =
− ⇒ =
2d
2b
2d 2 2b 2
b d

Dạng 4: Tính giá trị của một biểu thức.
a
b

b c
a 2 +b 2 +c 2
hãy tính giá trị của biểu thức M=
c a
(a+b+c) 2

Ví dụ 1: Cho : = =
Giải:

a b c a+b+c
= = =
=1 ⇒ a = b = c
b c a a+b+c
a 2 +b 2 +c 2 a 2 +a 2 +a 2 3a 2 3a 2 1
⇒ M=
=
=
=
=
(a+b+c) 2 (a+a+a) 2 (3a) 2 9a 2 3

Ví dụ 2: Cho a,b,c tỉ lệ với 5,4,3 . Tính giá trị của biểu thức N=

a+2b-3c
a-2b+3c

a b c a+2b-3c a − 2b + 3c a+2b-3c a − 2b + 3c
= = =
=
=
=
5 4 3 5+8−9
5−8+ 9
4
6

Giải:
a + 2b − 3c 4 2
⇒ N=
= =
a − 2b + 3c 6 3
Bài 1: Cho
Tính A =

a
b
c
d
=
=
=
(a, b, c, d > 0)
2b 2c 2d 2a

2011a − 2010b 2011b − 2010c 2011c − 2010d 2011d − 2010a
+
+
+
c+d
a+d
a+b
b+c

Bài 2: Cho

2x + 3y + 4z

x y
y z
= và = . Tính B =
3x + 4 y + 5 z
3 4
5 6

Dạng 5: TOÁN ĐỐ (ngoài những dạng đơn giản trong sgk giáo viên soạn bổ sung thêm)
Bài 1. Có 3 đội A; B; C có tất cả 130 người đi trồng cây. Biết rằng số cây mỗi người đội A; B;
C trồng được theo thứ tự là 2; 3; 4 cây. Biết số cây mỗi đội trồng được như nhau. Hỏi mỗi đội
có bao nhiêu người đi trồng cây?
Giải:
+ Gọi số người đi trồng cây của đội A; B; C lần lượt là: x; y; z (người), đk: x; y; z ЄN *
+ Theo bài ra ta có:
x.2 = y.3 = 4.z (1) và x + y+ z =130
GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU

Năm Học : 2014-2015

- 12-


SKKN : “HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 7”

TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH

BCNN (2;3;4) = 12
x.2 y.3 4.z
x y z x + y + z 130
=

=
⇒ = = =
=
= 10
12 12 12
6 4 3 6 + 4 + 3 13
x = 60; y = 10; z = 30

Trả lời: Đội A; B; C có số người đi trồng cây theo thứ tự là 60; 40; 30. ĐS: 60; 40; 30
Bài 2
. Trường có 3 lớp 7, biết

2
3
4
có số học sinh lớp 7A bằng số học sinh 7B và bằng số học sinh
3
4
5

7C. Lớp 7C có số học sinh ít hơn tổng số học sinh của 2 lớp kia là 57 bạn. Tính số học sinh
mỗi lớp?
Giải: Gọi số học sinh 7A; 7B; 7C lần lượt là x; y; z (em), x; y; z ≠0
Theo bài ra ta có:
2
3
4
x = y = z ( 1) và x + y + z = 57
3
4

5

Chia (1) cho BCNN (3;4;5) = 12
⇒

x
y
z
x+ y−z
57
= = =
=
18 16 15 18 + 16 − 15 19

=> x = 54; y = 18; z =45
Trả lời: số học sinh các lớp 7A; 7B; 7C lần lượt là: 54; 18; 45
ĐS: 54; 18; 45
Bài 3. Tìm ba số nguyên dương biết BCNN của chúng là 3150 và tỷ số số thứ nhất với số thứ
2 là

5
10
, của số thứ nhất với số thứ ba là .
9
7

Giải: Gọi ba số nguyên dương lần lượt là: x; y; z
Theo bài ra ta có: BCNN (x;y;z) = 3150
x 5 x 10
x y x z

= ; = ⇒ = ; =
y 9 z 7
5 9 10 7
x
y z
⇒ = = =k
10 18 7
⇒ x = 10k = 2.5.k
⇒ y = 18.k = 32.2.k
⇒ z = 7.k

BCNN (x;y;z)=3150 = 2.32.5.7
 k=5
 x=50; y = 90; z = 35
Vậy 3 số nguyên dương lần lượt là x = 50; y = 90; z = 35.
C.BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tìm hai số x và y biết:
a)

x 7
= và 5x – 2y = 87;
y 3

GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU

b)

x
y
=

và 2x – y = 34;
19 21
Năm Học : 2014-2015

- 13-


SKKN : H THNG BI TP NNG CAO I S 7

TRNG THCS TN BèNH

Bi 2: Tỡm cỏc s a, b, c bit rng: 2a = 3b; 5b = 7c v 3a + 5c 7b = 30.
Bi 3: Tỡm cỏc s x; y; z bit rng:
a)

x y z
= =
v 5x + y 2z = 28;
10 6 24

c) 3x = 2y; 7y = 5z v x y + z = 32;
e)

x y y z
= ; = v 2x + 3y z = 186;
3 4 5 7
2x 3y 4z
=
=
d)

v x + y + z = 49;
3
4
5

b)

x 1 y 2 z 3
=
=
v 2x + 3y z = 50;
2
3
4

Bi 4: Tỡm cỏc s x; y; z bit rng:
a)

x y z
= = v xyz = 810;
2 3 5

b)

x 3 y3
z3
=
=
v x2 + y2 + z2 = 14.
8 64 216

Bi 5: Tỡm cỏc s x; y; z bit rng:

y + z +1 x + z + 2 x + y 3
1
=
=
=
;
x
y
z
x+y+z
1 + 2y 1 + 4y 1 + 6y
2x + 1 3y 2 2x + 3y 1
=
=
=
=
b)
;
c)
18
24
6x
5
7
6x

a)

Bi 6: Ba ngi cựng gúp vn kinh doanh c tng s tin l 180 triu ng. Bit rng 3 ln
s vn ca ngi th nht bng 2 ln s vn ca ngi th hai v 4 ln s vn ca ngi th
hai bng 3 ln vn ca ngi th 3. Tớnh s vn m tng ngi ó gúp.
Bi 7 : Ba hc sinh A, B, C cú s im mi t l vi cỏc s 2 ; 3 ; 4. Bit rng tng s im
10 ca A v C hn B l 6 im 10. Hi mi em cú bao nhiờu im 10
Bi 8 : Ba vũi nc cựng chy vo mt cỏi h cú dung tớch 15,8 m3 t lỳc khụng cú nc cho
ti khi y h. Bit rng thi gian chy c 1m3 nc ca vũi th nht l 3 phỳt, vũi th hai
l 5 phỳt v vũi th ba l 8 phỳt. Hi mi vũi chy c bao nhiờu nc vo h.
Bi 9 : Trong một đợt lao động, ba khối 7, 8, 9 chuyên chở đợc 912 m3 đất. Trung bình mỗi
học sinh khối 7, 8, 9 theo thứ tự làm đợc 1,2 ; 1,4 ; 1,6 m3 đất. Số học sinh khối 7, 8 tỉ lệ với 1
và 3. Khối 8 và 9 tỉ lệ với 4 và 5. Tính số học sinh mỗi khối
a
c
= ; Chng minh rng:
b
d
5a + 3b 5c + 3d
7a 2 + 3ab
7c 2 + 3cd
=
=
a)
;
b)
.
5a 3b 5c 3d
11a 2 8b 2 11c 2 8d 2
a
c

2a +13b 2c +13d
=
= .
Bi 11: Cho t l thc:
. Chng minh rng:
3a 7b
3c 7d
b
d
x
y
z
bz cy cx az ay bx
=
=
= = .
Bi 12: Cho dóy t s :
. Chng minh rng:
a
b
c
a
b
c

Bi 10: Cho t l thc:

Bi 13: Cho 4 s a1; a2; a3; a4 tho món: a22 = a1.a3 v a32 = a2.a4.
Chng minh rng:

a13 + a 32 + a 33 a1
= .
a 32 + a 33 + a 34 a 4

a
c
a 2 +b 2
ab
= .
=
. Chng minh rng:
2
2
b
d
c +d
cd
a
b
c
Bi 15: Cho ba t s bng nhau: b + c , c + a , a + b . Tỡm giỏ tr ca mi t s ú ?

Bi 14: Cho t l thc :

Bi 16: Cho a, b, c l cỏc s hu t khỏc 0 sao cho:

a+b-c a-b+c -a+b+c
=
=
c

b
a

Tỡm giỏ bng s ca biu thc: M =
GV: TRN PHNG NGUYN TH LIấN CHU

(a+b)(b+c)(c+a)
abc
Nm Hc : 2014-2015

- 14-


SKKN : “HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 7”

TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH

PHẤN 3: VẬN DỤNG TÍNH CHẤT PHÉP TOÁN ĐỂ TÌM X.
1. Kiến thức vận dụng :
-

Tính chất của các phép toán.
Các công thức lũy thừa.
Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế.

Bài 1: Tìm x biết :

−1 7
=
5 25

−2
−3
b)
− 3x =
15
10
1 
1 7
69
 1
c)  2 + 3 ÷:  x + 3 ÷+ = 1
2 
7 2
86
 3
a) x +

2 
1 3
d ) −  x − ÷=
3 
2 5

1 2
4
e) + : x =
2 3
3

1


f )2 x  x + ÷ = 0
3


2

g ) ( x + 3)  x − ÷ = 0
3


Bài 2: Tìm x biết
a) x + 2x + 3x + 4x + …..+ 2011x = 2012.2013
b)

x −1 x − 2 x − 3 x − 4
+
−
=
2011 2010 2009 2008

HD : a) x + 2x + 3x + 4x + …..+ 2011x = 2012.2013
⇒ x( 1 + 2 + 3 + ….+ 2011) = 2012.2013
⇒ x.

2011.2012
2.2013
= 2012.2013 ⇒ x =
2
2011

b) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4
Từ
⇒

x −1 x − 2 x − 3 x − 4
+
−
=
2011 2010 2009 2008

( x − 2012) + 2011 ( x − 2012) + 2010 ( x − 2012) + 2009 ( x − 2012) + 2008
+
+
=
2011
2010
2009
2008
x − 2012 x − 2012 x − 2012 x − 2012
+
+
−
= −2
2011
2010
2009
2008
1
1

1
1
⇒ ( x − 2012)(
+
+
−
) = −2
2011 2010 2009 2008
1
1
1
1
⇒ x = −2 : (
+
+
−
) + 2012
2011 2010 2009 2008
⇒

GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU

Năm Học : 2014-2015

- 15-


SKKN : “HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 7”

TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH

Bài 3: T×m x ∈ N biÕt:
2 x −1

a)2x.4 = 128

b)  1 

c) (2x – 3)3 = 343
e) (x – 3)6 = (x – 3)7

d) (2x – 3)2 = 9
g) x100 = x

=

2

1
8

HD: Sử dụng tính chất : An = B n ⇒ A = B nếu n lẻ; A = ± B nếu n chẵn;
Am = An ⇒ m = n ( A ≠ 0, A ≠ 1)
2 x −1

a) 2x . 22 = 26

b)  1 

=> 2x = 26 : 22

=> 2x = 24
=> x = 4
c) (2x - 3)3 = 73

=> 2x – 1 = 3
=> 2x = 4
=> x = 2
d) (2x – 3)2 = 9

2

1
= 
2

3

=> 2x – 3 = 7

=> (2x – 3)2 = (± 3)2

=> 2x = 10

=> 
 2 x − 3 = −3
2 x = 6
x = 3
=> 
=> 
x = 0

2 x = 0

2 x − 3 = 3

=> x = 5
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tìm x biết
5

7

3

 3
3
a)  ÷ .x =  ÷
5
7
3
1
1

c)  x − ÷ =
2  27


1
 1
b)  − ÷ .x =
81

 3

e) (2x – 1)3 = 8

f) (x – 2)2 = 16

d) (x - 5)2 = (1 – 3x)2

Bài 2: Tìm số tự nhiên n biết

2n
a)
=4
32

b) 27n. 9n = 927: 81

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau

46.95 + 69.120
a) A =
84.312 − 611

42.252 + 32.125
B=
23.52

Bài 4: Tìm số tự nhiên n biết
a)

1 4 n +1
.3 .3 = 94
9

Bài 5: Tìm x biết
a)(2x – 1)4 = 81
c) (x - 1)5 = - 32
e) (2x + 3)4 = 2401

b)

1 n
.2 + 4.2n = 9.25
2

b) (x -2)2 = 1
d) (4x - 3)3 = -125
f)32x . 27 = 2187

PHẤN4: TÌM X TRONG ĐẲNG THỨC CÓ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI .
GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU

Năm Học : 2014-2015

- 16-


SKKN : “HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 7”

TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH

I. Các kiến thức vận dụng:
 A, A ≥ 0

Tính chất về giá trị tuyệt đối : A ≥ 0 với mọi A ; A = 
 − A, A < 0
* A = −A
Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối :
* A ≥ 0, ∀A , − A ≤ 0, ∀A
* A ≥0 , A ≥ A≥− A
* A + B ≥ A + B , ∀A, B dấu “ = ” xảy ra khi AB ≥ 0
* A − B ≤ A − B , ∀A, B dấu “ = ” xảy ra khi AB ≥ 0
II. Một số bài toán :
A/Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
• Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi thu gọn:
Ví dụ 1: Rót gän biÓu thøc A = 2(3x - 1) - x − 3
ThËt vËy:
+ Víi ( x - 3) ≥ 0 hay x ≥ 3 th× x − 3 = x - 3
+ Víi ( x- 3) < 0 hay x < 3 th× x − 3 = -(x - 3) = 3 - x
ta xÐt hai trêng hîp øng víi hai kho¶ng cña biÕn x
+ NÕu x ≥ 3 th× A = 2(3x - 1) - x − 3
= 2(3x - 1) - (x - 3)
= 6x - 2 - x + 3
= 5x + 1
+ NÕu x < 3 th× A = 2(3x - 1) - x − 3
= 2(3x - 1) - (3 - x)
= 6x - 2 - 3 + x
= 7x - 5
Ví dụ2: Rót gän biÓu thøc B = x − 1 - x − 5
ThËt vËy

Víi x-1 ≥ 0 hay x ≥ 1th× x − 1 =x-1
Víi x-1<0 hay x<1th× x − 1 = -(x-1)=1-x
Víi x-5 ≥ 0 hay x ≥ 5 th× x − 5 = x+5
Víi x-5<0 hay x<5 th× x − 5 =-(x-5) =5-x
Lập b¶ng xÐt dÊu sau:
x
1
5
x-1
- 0
+
+
x-5
0
+
Tõ b¶ng xÐt dÊu ta xÐt ba trêng hîp øng víi ba kho¶ng cña biÕn x
NÕu x<1 th× B = x − 1 - x − 5
=1-x-( 5-x)
=1-x-5+x
=-4
NÕu 1 ≤ x<5 th× B = x − 1 - x − 5
=(x-1)-(5-x)
GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU

Năm Học : 2014-2015

- 17-


SKKN : “HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 7”

TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH

=x-1-5+x
=2x-6
NÕu x ≥ 5 th× B = x − 1 - x − 5
=(x-1)-(x-5)
=x-1-x+5 = 4

Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 3,5 ≤ x ≤ 4,1
a) A = x − 3,5 + 4,1 − x
b) B = − x + 3,5 + x − 4,1
Bài 2: Rút gọn biểu thức sau khi x < - 1,3:
a) A = x + 1,3 − x − 2,5
b) B = − x − 1,3 + x − 2,5
Bài 3: Rút gọn biểu thức:
a) A = x − 2,5 + x − 1,7

b) B = x +

Bài 4: Rút gọn biểu thức khi
a) A = x −

1
3 4
− x+ +
7
5 5

1

2
− x − c) C = x + 1 + x − 3
5
5

−3
1
5
7

b) B = − x +

1
3 2
+ −x− −
7
5 6

Bài 5: Rút gọn biểu thức:
2
2
− 9 với ≤ x ≤ 4,1
3
3
1
1
1
1
1

1
1
c) C = 2 − x + x − + 8 với ≤ x ≤ 2 d) D = x + 3 + x − 3 với x > 0
5
5
5
2
2
5
5

a) A = x + 0,8 − x − 2,5 + 1,9 với x < - 0,8 b) B = x − 4,1 + x −

B/ Tìm x có chứa giá trị tuyệt đối
A(x) = k ( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước )
1. Dạng 1:
* Cách giải:
- Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối của mọi
số đều không âm )
- Nếu k = 0 thì ta có A( x) = 0 ⇒ A( x) = 0
 A( x) = k
 A( x) = −k

- Nếu k > 0 thì ta có: A( x) = k ⇒ 
Ví dụ 1: Tìm x, biết:
a) 2 x − 5 = 4

b)

1 5

1
− − 2x =
3 4
4

c)

1
1 1
− x+ =
2
5 3

d)

3
7
− 2x + 1 =
4
8

Giải
a) = 4
x= ± 4
b) 2 x − 5 = 4
⇒ 2 x − 5 = 4 hay 2 x − 5 = −4
⇒ 2 x = 4 + 5 hay 2 x = −4 + 5
⇒ 2x = 9
⇒ x=

9
2

hay 2 x = 1
hay x =

1
2

GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU

Năm Học : 2014-2015

- 18-


SKKN : “HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 7”

TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH

1
3

5
1
− 2x =
4
4
5
1 1

⇒ − 2x = −
4
3 4

c) −

5
1
− 2x =
4
12
5
1
⇒ − 2x =
hay
4
12
5 1
⇒ 2x = −
hay
4 12
14
⇒ 2x =
hay
12
7
⇒x=
hay
12
⇒

5
1
− 2x = −
4
12
5  1
2x = −  − ÷
4  12 
16
2x =
12
8
x=
12

Bài 1: Tìm x, biết:
a) 2 x − 3 =

1
2

b) 7,5 − 3 5 − 2 x = −4,5

c) x +

4
− − 3,75 = − − 2,15
15

Bài 2 : Tìm x, biết:
a) x = 3

3
5

25
5
=0
c) 5 x − = 0
8
23
1
3
2
f) 3 − 2 x − = −
3
7
3

b) x −

e) 2 x − 5 = 13

d) 1,75 − 2,5 − x = 1,25
1
5

g) 2 3 x − 7 =

11
10

Bài 3: Tìm x, biết:
a) 2 3 x − 1 + 1 = 5

b)

x
−1 = 3
2

c) − x +

2 1
+ = 3,5
5 2

d) x −

1
1
=2
3
5

Bài 4: Tìm x, biết:
1 3
− = 5%
4 4

3 1
5 5
4,5 −
x+ =
4 2
3 6

a) x +

b) 2 −

3
1
−5
x− =
2
4
4

c)

3 4
3 7
+ x− =
2 5
4 4

d)

Bài 5: Tìm x, biết:

9
1
=2
4
3
21
x 2
+ 3: − = 6
5
4 3

a) 6,5 − : x +

b)

11 3
1 7
+ : 4x − =
4 2
5 2

c)

15
3
1
− 2,5 : x + = 3
4
4
2

d)

2. Dạng 2: A(x) = B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )
* Cách giải:
a = b

 A( x) = B ( x)

Vận dụng tính chất: a = b ⇔ 
ta có: A( x) = B( x) ⇒ 
 a = −b
 A( x) = − B( x)
Lập bảng xét dấu để bỏ dấu giá tri tuyệt đối
GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU

Năm Học : 2014-2015

- 19-


SKKN : “HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 7”

TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH

Bài 1:
Tìm x, biết:
a) 5 x − 4 = x + 2

b) 2 x − 3 − 3 x + 2 = 0

c)

2 + 3x = 4 x − 3

d)

7 x + 1 − 5x + 6 = 0

a) 5 x − 4 = x + 2
⇒ 5 x − 4 = x + 2 hay 5 x − 4 = − ( x + 2)
⇒ 5 x − x = 2 + 4 hay 5 x + x = −2 + 4
⇒ 4x = 6
hay 6 x = 2
6
hay
4
3
⇒ x=
hay
2
3
Vậy x= ; x=
2
⇒

x=

2
6

1
x=
3
x=

Bài 2: Tìm x, biết:
3
1
x + = 4 x − 1 b)
2
2
7
5 1
x+ − x+5 = 0
8
6 2

5
7 5
3
x − − x + = 0 c)
4
2 8
5

a)

3. Dạng 3: A(x) = B(x)

7

2
4
1
x + = x − d)
5
3
3
4

( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )

Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị của biểu thức:
* Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá trị tuyệt đối
của mọi số đều không âm. Do vậy ta giải như sau:
A( x) = B( x)
(1)
Điều kiện: B(x) ≥ 0 (*)
 A( x) = B ( x)

(1) Trở thành A( x) = B( x) ⇒ 
( Đối chiếu giá tri x tìm được với điều kiện
 A( x) = − B( x)
(*)
* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
Nếu a ≥ 0 ⇒ a = a
Nếu a < 0 ⇒ a = − a
Ta giải như sau: A( x) = B( x) (1)
•
Nếu A(x) ≥ 0 thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu x tìm được với điều kiện )
•

Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu x tìm được với điều kiện )
Bài 1 : Tìm x ∈ Q biết =2x
* Xét x+ ≥ 0 ta có x+ =2x
*Xét x+ < 0 ta có x+ =- 2x
Bài 2 : Tìm x, biết:
a)

1
x = 3 − 2x
2

b) x − 1 = 3x + 2

GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU

c) 5 x = x − 12

d) 7 − x = 5 x + 1

Năm Học : 2014-2015

- 20-


SKKN : “HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 7”

TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH

Bài 3 : Tìm x, biết:
a) 9 + x = 2 x

b) 5 x − 3x = 2

c) x + 6 − 9 = 2 x

d) 2 x − 3 + x = 21

c) 4 + 2 x = −4 x

d) 3x − 1 + 2 = x

e) x + 15 + 1 = 3x

f) 2 x − 5 + x = 2

Bài 4 : Tìm x, biết:
a) 2 x − 5 = x + 1

b) 3x − 2 − 1 = x

c) 3x − 7 = 2 x + 1

d) 2 x − 1 + 1 = x

c) x − 5 + 5 = x d) x + 7 − x = 7

e) 3x − 4 + 4 = 3x

f) 7 − 2 x + 7 = 2 x

4. Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:
* Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
A( x) + B( x) + C ( x) = m

Căn cứ bảng trên xét từng khoảng giải bài toán ( Đối chiếu điều kiện tương ứng )
Ví dụ1 : Tìm x
+ =0
Nhận xét x+1=0 => x=-1
x-1=0 => x=1
Ta lập bảng xét dấu
x
-1
1
x+1
0
+
+
x-1
0
+
Căn cứ vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp
Nếu x<-1
Nếu -1 ≤ x ≤ 1
Nếu x >1
Ví dụ2: T×m x biÕt : 2 x − 6 + x + 3 = 8
Ta lập bảng xét dấu
x
-3
3
x+3

0
+
+
2x-6
0
+
Căn cứ vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp
* Nếu x<-3
Khi đó phương trình trở thành
6 - 2x - x - 3 = 8
-3x
=8-3
-3x
=5
x
= - ( không thỏa mãn x<-3)
* Nếu - 3 ≤ x ≤ 3
6 - 2x + x + 3 = 8
-x
= -1
x
= 1 ( thỏa mãn - 3 ≤ x ≤ 3)
* Nếu x >3
2x-6 + x + 3 = 8
3x
= 11
x
= ( thỏa mãn x >3)
Bài 1 : a) Tìm x ngyên biết : x − 1 + x − 3 + x − 5 + x − 7 = 8
b) Tìm x biết : x − 2010 + x − 2012 + x − 2014 = 2

HD : a) ta có x − 1 + x − 3 + x − 5 + x − 7 ≥ x − 1 + 7 − x + x − 3 + 5 − x = 8 (1)
GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU

Năm Học : 2014-2015

- 21-


SKKN : H THNG BI TP NNG CAO I S 7

TRNG THCS TN BèNH

M x 1 + x 3 + x 5 + x 7 = 8 suy ra ( 1) xy ra du =
1 x 7
3 x 5 do x nguyờn nờn x {3;4;5}
3 x 5

Hay

b) ta cú x 2010 + x 2012 + x 2014 x 2010 + 2014 x + x 2012 2 (*)
M x 2010 + x 2012 + x 2014 = 2 nờn (*) xy ra du =
x 2012 = 0
x = 2012
2010 x 2014

Suy ra:

Bi 2 : Tỡm x nguyờn bit : x 1 + x 2 + ..... + x 100 = 2500
Bi 3 : Tỡm x bit x + 1 + x + 2 + ..... + x + 100 = 605 x
Bi 4 : Tìm x, y thoả mãn: x 1 + x 2 + y 3 + x 4 = 3

Bi 5 : Tỡm x, bit:
a) 2 x 6 + x + 3 = 8
b) x + 5 + x 3 = 9
c) x 2 x + 3 = x 1

d) x + 1 + x 2 + x + 3 = 6

e) 3 x x + 1 2 x x + 2 = 12

f) x 1 + 3 x 3 2 x 2 = 4

g) x + 5 1 2 x = x

h) x + 1 x = x + x 3

5. Dng 5: Dạng lồng dấu giá trị tuyệt đối:
B du giỏ tr tuyt i theo nguyờn tc t ngoi vo trong
Vớ d1 : Tỡm x, bit:

2x 1 +

1 4
=
2 5

* + =
= =
2x-1= hay 2x-1= 2x = +1 hay 2x = - + 1
2x =
x=

13
10

hay

2x =

7
10

hay x=
*
=- - (khụng tha món)
Bi 1 : Tỡm x, bit:
1 4
1
3 2
a) 2 x 1 + =
b) x + 1 =
2
4 5
2 5
Bi 2 : Tỡm x, bit:
a) 2 x 3 x + 1 = 4

b) x 1 1 = 2

c) 2 x 1

1 1
=
2 5

c) 3 x + 1 5 = 2

6. Dng 6: A + B = 0
Vn dng tớnh cht khụng õm ca giỏ tr tuyt i dn n phng phỏp bt ng thc.
GV: TRN PHNG NGUYN TH LIấN CHU

Nm Hc : 2014-2015

- 22-


SKKN : “HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 7”

TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH

* Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và
chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0.
* Cách giải chung: A + B = 0
B1: đánh giá:

A ≥ 0
⇒ A + B ≥0
B ≥ 0

A = 0
B = 0

B2: Khẳng định: A + B = 0 ⇔ 

Ví dụ : Tìm x, y biết : x − 2006 y + x − 2012 = 0
HD : ta có x − 2006 y ≥ 0 với mọi x,y và x − 2012 ≥ 0 với mọi x
Suy ra : x − 2006 y + x − 2012 ≥ 0 với mọi x,y mà x − 2006 y + x − 2012 ≤ 0
x − y = 0
⇒ x − 2006 y + x − 2012 = 0 ⇒ 
⇒ x = 2012, y = 2
 x − 2012 = 0

Bài 1 : Tìm x, y thoả mãn:
a) 3 x − 4 + 3 y + 5 = 0

b) x − y + y +

9
=0
25

c) 3 − 2 x + 4 y + 5 = 0

Bài 2 : Tìm x, y thoả mãn:
3
2
y−3 = 0
4
7
x − 2007 + y − 2008 = 0

a) 5 − x +

b)

2 1 3
11 23
− + x + 1,5 − +
y =0
3 2 4
17 13

Bài 3 : Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:
a) x − y − 2 + y + 3 = 0
2006
c) ( x + y ) + 2007 y − 1 = 0

b) x − 3 y

2007

+ y+4

c)

2008

=0

2008
d) x − y − 5 + 2007( y − 3) = 0

C/ Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Sử dụng bất đẳng thức xét khoảng giá trị của ẩn số.
* A ≥ 0, ∀A , − A ≤ 0, ∀A
* A + B ≥ A + B , ∀A, B dấu “ = ” xẩy ra khi AB ≥ 0
* A − B ≤ A − B , ∀A, B dấu “ = ” xẩy ra khi AB ≥ 0
Ví dụ1 :
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: B = 2|3x - 1| - 4
HD:ThËt vËy:
Ta cã: |3x - 1| ≥ 0 ∀ x
⇒ 2|3x - 1|- 4 ≥ -4 ∀ x
⇒ GTNN cña B = -4 ⇔ 3x - 1 = 0
⇔ x = 1/3
6

Ví dụ 2 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: C = x − 3 víi x ∈ Z
HD: ThËt vËy:
XÐt |x| > 3 ⇒ C > 0 ∀ |x| > 3
XÐt |x| < 3 th× do x ∈ Z ⇒ |x| = { 0; 1; 2}
NÕu |x| = 0 ⇒ C = -2
NÕu |x| = 1 ⇒ C = -3
NÕu |x| = 2 ⇒ C = -6
⇒ GTNN cña C = -6 ⇔ |x| = 2 ⇔ x = ± 2
GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU

Năm Học : 2014-2015

- 23-

TRNG THCS TN BèNH

SKKN : H THNG BI TP NNG CAO I S 7

Vớ d 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D = |x - 2| + |x - 3|
Cách 1: áp dụng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất và lập bảng ta có:
* Xét x < 2 thì D = 2 - x + 3 - x = 5 - 2x
Do x < 2 nên -2x > -4 D > 1 (1)
* Xét 2 x 3 thì D = x - 2 + 3 - x = 1 (2)
* Xét x > 3 thì D = x - 2 + x - 3 = 2x - 5
Do x > 3 nên 2x > 6 D > 1 (3)
So sánh (1), (2), (3) ta đợc Dmin = 1 2 x 3
Cách 2: S dng A + B A + B , A, B du = xy ra khi AB 0
Ta có: D = |x - 2| + |x - 3|= |x - 2| + |3 - x| |x - 2 + 3 - x| = 1
Vớ d 4 : Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
a) A = ( x 2)2 + y x + 3
2011

b) B = 2012 x 2010
HD: a) ta cú ( x 2) 2 0 vi mi x v y x 0 vi mi x,y A 3 vi mi x,y
( x 2) 2 = 0 x = 2

Suy ra A nh nht = 3 khi
y

x
=
0
y = 2

b) Ta cú x 2010 0 vi mi x 2012 x 2010 2012 vi mi x
BB

2011
vi mi x, suy ra Min B = 2011 khi x = 2010
2012
2012

Vớ d 5 : Tỡm giỏ tr nh nht ca cỏc biu thc
a) A = x 2011 + x 2012
b) B = x 2010 + x 2011 + x 2012
c) C = x 1 + x 2 + ..... + x 100
HD : a) Ta cú A = x 2011 + x 2012 = x 2011 + 2012 x x 2011 + 2012 x = 1
vi mi x A 1 vi x . Vy Min A = 1 Khi ( x 2011)(2012 x) 0 2011 x 2012
b) ta cú B = x 2010 + x 2011 + x 2012 = ( x 2010 + 2012 x ) + x 2011
Do x 2010 + 2012 x x 2010 + 2012 x = 2 vi mi x (1)
V x 2011 0 vi mi x (2)
Suy ra B = ( x 2010 + 2012 x ) + x 2011 2 . Vy Min B = 2 khi BT (1) v (2) xy ra
( x 2010)(2012 x ) 0
x = 2011
x 2011 = 0

du = hay

c) Ta cú
x 1 + x 2 + ..... + x 100 = ( x 1 + 100 x ) + ( x 2 + 99 x ) + ..... + ( x 50 + 56 x )
x 1 + 100 x + x 2 + 99 x + .... + x 50 + 56 x = 99 + 97 + ....+ 1 = 2500
Suy ra C 2050 vi mi x . Vy Min C = 2500 khi
( x 1)(100 x ) 0
1 x 100

( x 2)(99 x) 0
2 x 99



50 x 56

............................
................
( x 50)(56 x ) 0
50 x 56

Bi tp vn dng:
Bi 1 : Tỡm giỏ tr ln nht ca cỏc biu thc:

GV: TRN PHNG NGUYN TH LIấN CHU

Nm Hc : 2014-2015

- 24-


SKKN : “HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 7”

TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH

c) C =

3x + 2

d) D =

2x +3

a) A = 0,5 − x − 3,5

b) B = − 1,4 − x − 2

e) E = 5,5 − 2 x − 1,5

f) F = − 10,2 − 3x − 14

g) G = 4 − 5 x − 2 − 3 y + 12

h) H = 2,5 − x + 5,8

i) I = − 2,5 − x − 5,8

k) K = 10 − 4 x − 2

l) L = 5 − 2 x − 1

m) M = x − 2 + 3

5,8

4x −5

1

12

n) N = 2 + 3 x + 5 + 4

Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = 1,7 + 3,4 − x
b) B = x + 2,8 − 3,5

c) C = 3,7 + 4,3 − x

d) D = 3x + 8,4 − 14,2

e) E = 4 x − 3 + 5 y + 7,5 + 17,5

f) F = 2,5 − x + 5,8

g) G = 4,9 + x − 2,8

h) H = x −

k) K = 2 3 x − 1 − 4

l) L = 2 3x − 2 + 1

2 3
+
5 7

i) I = 1,5 + 1,9 − x
m) M = 51 − 4 x − 1

Bài 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = x + 2 + x − 3
b) B = 2 x − 4 + 2 x + 5

c) C = 3 x − 2 + 3x + 1

c C = x + 5 + x +1 + 4

e) E = 4 x + 3 + 4 x − 5 + 12

d) D = 3x − 7 + 3x + 2 + 8

3 x −1

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = x + 3 + 2 x − 5 + x − 7
b) B = x + 1 + 3x − 4 + x − 1 + 5
c) C = x + 2 + 4 2 x − 5 + x − 3

d) D = x + 3 + 5 6 x + 1 + x − 1 + 3

Iv/ HIEÄU QUAÛ BAN ÑAÀU :
Học sinh được học chuyên đề này đã lĩnh hội được những kiến thức bổ ích, quý báu.
Học sinh có niềm say mê môn học, phát huy được tính sáng tạo và rèn luyện được tư duy
nhạy bén.
Đứng trước một bài toán, học sinh biết phán đoán và nhanh chóng phát hiện ra quy
luật để tìm hướng giải quyết bài toán, kỹ năng tính toán được nâng cao.
Tư duy của các em ngày càng phát triển, các em sẵn sàng đối mặt với những bài toán khó,
hóc búa, giúp các em ngày càng ham mê đối với bộ môn toán.

V/Tự nhận xét
Học sinh có tiến bộ rõ ràng. Đứng trước một bài toán khó, học sinh có phản xạ rất
nhanh, có định hướng tốt khi gặp bài toán nâng cao dạng này.
Quan trọng hơn là các em tìm được niềm say mê đối với môn học và nhất là qua
chuyên đề này các em đã tìm được cách suy luận, tìm tòi hướng giải một bài toán và áp
dụng cách suy luận đó đối với cá dạng toán khác, những bài toán có nội dung nâng cao
phức tạp khác. Nhờ vậy mà qua các kỳ thi cuối học kỳ, hầu như các học sinh khá giỏi đều có
thể làm được câu khó trong đề.

GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU

Năm Học : 2014-2015

- 25-