Bài tập nâng cao Đại số 10-chuyên toán

Bài tập:
Phần: + Phơng pháp chứng minh phản chứng, quy nạp toán học
+ Tích Đề- Các của hai tập hợp
Bài 1: CMR: Nếu
1 2 1 2
2( )a a b b +
Thì ít nhất một trong 2 PT sau có nghiệm
x
2
+ a
1
x + b
1
= 0 (1) ; x
2
+ a
2
x + b
2
= 0 (2)
Bài 2: Cho a, b, c
(0;4)
, chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây
là sai.
a(4 - b)> 4; b(4 - c)> 4; c(4 - a)> 4;
Bài 3: Cho a, b

2007. Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai PT sau có nghiệm:
x
2
+ ax + 2008 = 0; x

2
+ bx + 2009 = 0
Bài 4: Cho 3 số a, b, c khác nhau từng đôi một, CMR tồn tại một trong các số 9ab; 9bc;
9ca nhỏ hơn (a + b + c)
2
.
Bài 5: Cho a, b, c là các số dơng. CMR các bất đẳng thức sau, có ít nhất một bất đẳng thức
sai:
c + d > a + d (1)
ab + cd > (a + b)(c + d) (2)
ab( c+ d) > (a + b)cd (3)
Bài 6:
a) Cho E =
{ }
1, 2,3, 4,5
. Viết tập R = E x E sao cho (x; y)

R khi và chỉ khi x + y
6

b) Cho E =
{ }
1, 2,3, 4,5
. Viết tập R = E x E sao cho (x; y)

R khi và chỉ khi x = y -1
Bài 7: Cho
{ }
2 2
(2 1)( 5 6)(2 3 1) 0A x N x x x x x= + + + + =

{ }
nguyen to, x < 7B x N x=
Hãy xác định A x B
Bài 8: CMR với mọi số nguyên dơng n, ta có:
a)
2 2
3 3 3
( 1)
1 2 .......
4
n n
n
+
+ + + =
b)
1 1 1
.........
1.2 2.3 ( 1) 1
n
n n n
+ + + =
+ +
c) 1.4 + 2.7 + ..............+ n(3n + 1) = n(n + 1)
2
d)
2 2 2
2 ( 1)(2 1)
2 4 ....... (2 )
3

n n n
n
+ +
+ + + =
Bài 9: Chứng minh rằng: với mọi số nguyên dơng n ta có:
a) 6
2n
+ 3
n+ 2
+ 3
n
chia hết cho 11
b) n(2n
2
-3n + 1) chia hết cho 6
c) 11
n + 1
+ 12
2n - 1
chia hết cho 133
Bài 10:
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n ta luôn có:

1 1 1
1 ........ 2
2 3
n
n
+ + + <
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n

2
ta luôn có:

1 1 1
1 ........
2 3
n
n
+ + + >