Bài giảng ổn định công trình chương 3 ổn định của dầm chịu uốn ngang phẳng

Chương 3

ỔN ĐỊNH CỦA DẦM CHỊU UỐN
NGANG PHẲNG


ỔN ĐỊNH CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG

Các giả thiết:
Vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi
khi mất ổn định các tiết diện của dầm vẫn không thay đổi
hình dạng (bản bụng của dầm không bị vênh)
Dầm có tiết diện hẹp, chịu uốn trong mặt phẳng yOz , có
độ cứng EJx và EJy chênh lệch nhiều  khi mất ổn định
dầm bị uốn trong hai mặt phẳng xOz và yOz đồng thời
còn bị xoắn trong mặt phẳng xOy.


3.1. Ổn định của dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn thuần túy
3.1.1. Dầm có hai đầu đặt tự do trên hai gối tựa
m

a)

u

My1

M

M

c)

z

y

m L

θ

y1

Mx1

v

M
x1

y
d)

u

b)

Mx1

Mz1

x My1

γ
M

z1

z1
My1

Mz1
x1

y1
Hình 3.1
• Giả thiết dầm đặt tự do trên hai gối tựa và tại tiết diện trên gối có liên kết cản
trở không cho tiết diện xoay trong mặt phẳng xOy.
• Qui ước chọn chiều dương của các moment uốn và xoắn như trên H. 3.1d.
• Khi M < Mth  dầm chỉ bị uốn trong mặt phẳng yOz.
• Khi M = Mth  dầm bị mất ổn định và bị cong ra khỏi mặt phẳng uốn ban
đầu yOz  uốn trong mặt phẳng xOz và hiện tượng xoắn trong mặt phẳng
xOy


3.1. Ổn định của dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn thuần túy

3.1.1. Dầm có hai đầu đặt tự do trên hai gối tựa
Các phương trình vi phân khi uốn và khi xoắn tương ứng có dạng:

M x1

d 2v
=−
2
EJ x
dz

M y1
d 2u
=−
2
EJ y
dz

dθ M z 1
=
dz GJ z

(3.1)

(3.2)

(3.3)

Trong đó: EJx, EJy - độ cứng khi uốn của dầm đối với các trục x và y
GJz – độ cứng khi xoắn của dầm


Jz =

bh 3

b
(1 − 0.63 )
3
h

3.1. Ổn định của dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn thuần túy

3.1.1. Dầm có hai đầu đặt tự do trên hai gối tựa
Với dầm có tiết diện chữ nhật hẹp:

bh 3
b
Jz =
(1 − 0.63 )
3
h

Xác định moment Mx1, My1, Mz1  chiếu vectơ momen M lên các trục x1, y1, z1.
• Từ Hình 3.1b và 3.1c ta được:
Mx1 = M cosθ ≈ M

My1 = M sinθ ≈ Mθ

Mz1 = M sinγ ≈ M

Thay các giá trị này vào các Pt. (3.1), (3.2), (3.3) ta được:

d 2v
M
=

−
EJ x
dz 2

(3.4)

d 2u
Mθ
=
−
dz 2
EJ y

(3.5)

dθ
M du
=
dz GJ z dz

(3.6)

du
dz


d 2u
dx 2

3.1. Ổn định của dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn thuần túy

3.1.1. Dầm có hai đầu đặt tự do trên hai gối tựa
Hai phương trình (3.5) và (3.6) là những phương trình chỉ xuất hiện khi
mất ổn định
Lấy đạo hàm Pt. (3.6) rồi thay giá trị của d2u/dx2 từ Pt. (3.5) ta được
phương trình vi phân theo chuyển vị θ như sau:

d 2θ
+ kθ = 0
2
dz
Nghiệm của Pt. (3.7) có dạng: θ = Asinkz +Bcoskz
Trong đó:
1
k=M
EJ y GJ z

(3.7)

(3.8)

Điều kiện biên: tại z = 0 và z = L, θ = 0,  B = 0 và Asinkz = 0.
•
•

Nếu A = 0 thì θ = 0, lúc này dầm không mất bị mất ổn định
Dầm mất ổn định thì A ≠ 0  sin(kL)= 0  kL = π, 2 π, 3 π ….


3.1. Ổn định của dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn thuần túy

3.1.1. Dầm có hai đầu đặt tự do trên hai gối tựa
 Momen uốn tới hạn nhỏ nhất tương ứng với k = π

π
M th =
EJ y GJ z
L

(3.9)

• Công thức cho thấy Mth không phụ thuộc độ cứng EJx
• Kết luận này đúng với giả thiết độ võng v nhỏ và giả thiết này chỉ thích
hợp
trong trường hợp tiết diện hẹp, tức là tỉ số b/h nhỏ
• Nếu tỉ số b/h lớn thì ảnh hưởng của sự uốn trong mặt phẳng yOz
sẽ đáng kể và không thể bỏ qua được


3.1. Ổn định của dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn thuần túy

3.1.1. Dầm có hai đầu ngàm
• Đường biến dạng trong mặt phẳng xOz như trên Hình 3.2.
z
x

L/2
L

Hình 3.2

• Khỏang giữa hai điểm uốn với chiều dài L/2 dầm làm việc giống như trường hợp
dầm tựa đơn có chiều dài bằng L/2.
 Momen tới hạn cho bởi:

2π
M th =
L

EJ y GJ z

(3.10)


3.2. Ổn định dầm có tiết diện hình chữ nhật hẹp chịu nén lệch tâm
3.1.2. Dầm có hai đầu tựa đơn
v

m

 xuất hiện hiện tượng uốn trong
mặt phẳng xOz và hiện tượng xoắn
quanh trục của thanh.

P

P
m

• Khi P = Pth  thanh bị mất ổn định

e

• Momen uốn và xoắn:

L

y

Mx1 = P(e+v) ≈ Pe = M

u
Mz1

x
Mx1

M

Hình 3.3

z
γ

z1

My1 = Mθ + Pu

M z1 = M

du

dz

(3.11)
(3.12)
(3.13)

• Thay các giá trị này vào các Pt. (3.2)
và (3.3)  hai phương trình vi
phân để xác định lực tới hạn


3.2. Ổn định dầm có tiết diện hình chữ nhật hẹp chịu nén lệch tâm

• Phương trình vi phân để xác định lực tới hạn
d 2u
Mθ + Pu
=
−
EJ y
dz 2

(3.14)

dθ
M du
=
dz GJ z dz

(3.15)

Tích phân phương trình (3.15) ta có:

θ=

M
u + C1
GJ z

• Điều kiện biên: khi z = 0, θ= 0 và u = 0. Từ đó suy ra C1 = 0
θ=

M
u
GJ z

(3.16)


3.2. Ổn định dầm có tiết diện hình chữ nhật hẹp chịu nén lệch tâm

• Thay giá trị của θ từ Pt. (3.16) vào Pt. (3.14) ta được:
u” + ku = 0
Trong đó:

(3.17)

M 2 + PGJ z
k=
EJ y GJ z

Nghiệm của Pt.(3.17) có dạng:

(3.18)

u = Asinkz +Bcoskz

(3.19)

• Từ các điều kiện biên: khi z = 0, u = 0,  B = 0
Khi z = l, u = 0,  A sinkL = 0

• Điều kiện để hệ mất ổn định là A ≠ 0  sinkL = 0,  kL = π, 2 π, 3 π ….
• Thay kL = π vào Pt. (3.17)  g iá trị tới hạn nhỏ nhất của lực nén Pth và Mth

M th2 + Pth GJ z =

π 2 EJ y
2

L

GJ z

(3.20)


Pth =

π 2 EJ y
L2

3.2. Ổn định dầm có tiết diện hình chữ nhật hẹp chịu nén lệch tâm

• Lực tới hạn : Thay Mth = Pthe vào công thức (3.20) ta được:
π2
P e + Pth GJ y GJ z = 2 EJ y GJ z
L
2 2
th

(3.21)

• Nhận xét:
• Nếu e = 0, Mth = 0, công thức (3.20) có dạng:
• Nếu Pth = 0, công thức (3.20) có dạng:

Pth =

π 2 EJ y

M th =

L2

π
EJ y GJ z
L


3.3. Ổn định dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn ngang phẳng

3.3.1. Dầm đặt trên hai gối tựa
Dầm đặt trên hai gối tựa chịu lực tập trung P đặt tại trọng tâm tiết diện ở giữa nhịp

• Momen uốn và momen xoắn

m

tại tiết diện bất kỳ ở trạng
thái biến dạng:

x
z
y

P

m
L/2

y

L/2

Mx1 ≈ Mx = Pz/2
My1 ≈ Mxθ =½Pzθ

u

z
x

Mz1

Mx1
M

Hình 3.4

z1

M z1 ≈ M x

du P
P du P
= (δ − u ) = z + (δ − u )
dz 2
2 dz 2

γ
Thay các đại lượng trên vào Pt.(3.2) và (3.3)
 các phương trình vi phân để xác định
lực tới hạn


3.3. Ổn định dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn ngang phẳng
Dầm đặt trên hai gối tựa chịu lực tập trung P đặt tại trọng tâm tiết diện ở giữa nhịp

• Phương trình vi phân để xác định lực tới hạn
d 2u
P

EJ y 2 = − zθ
2
dz
GJ z

dθ P du P
= z
+ (δ − u )
dz 2 dz 2

(3.22)
(3.23)

Lấy đạo hàm Pt.(3.23) theo z ta được

d 2θ P d 2 u
GJ z 2 = z 2
2 dz
dz
Thay

d 2u
dz 2

Trong đó:

(3.24)

từ Pt.(3.24) vào Pt.(3.22)  phương trình vi phân theo θ

d 2θ
2 2
+
k
z θ =0
2
dz

(3.25)

P2
k =
4 EJ y GJ z

(3.26)

2


3.3. Ổn định dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn ngang phẳng
Dầm đặt trên hai gối tựa chịu lực tập trung P đặt tại trọng tâm tiết diện ở giữa nhịp

• Viết nghiệm của Pt.(3.25) dưới dạng chuỗi vô hạn:
∞

θ = ∑ ci z i

(3.27)

i =0

Thay biểu thức (3.26) và giá trị đạo hàm bậc hai của nó theo z vào Pt.(3.25)
∞

∑ i(i − 1)ci z
i =0

i −2

+k z
2

2

∞

i
c
z
∑ i =0
i =0

(3.28)

Sau khi biến đổi, nghiệm của Pt.(3.27) có thể đưa về dạng:

k2 4
k4
k6
8

θ = c0 (1 −
z +
z −
z 12 + ...) +
3.4
3.4.7.8
3.4.7.8.11.12
k2 4
k4
k6
8
+ c1 z (1 −
z +
z −
z 12 + .....
4.5
4.5.8.9
4.5.8.9.12.13

(3.29)


du
=0
dz

3.3. Ổn định dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn ngang phẳng
Dầm đặt trên hai gối tựa chịu lực tập trung P đặt tại trọng tâm tiết diện ở giữa nhịp

• Các điều kiện biên: Khi z = 0; θ = 0,  co= 0



Khi z = L/2; udu= =δ0và
dz

dθ
=0
dz

Lấy đạo hàm của Pt.(3.29)
 k2 4

dθ
k4 8
k6
= c1 1 −
z +
z −
z 12 + ....
dz
4
4.5.8
4.5.8.9.12



(3.29)

Cho z = L/2 ta được:
4

8

12

k2  L
k4  L
k6
 L
c1 (1 −   +
  −
  =0
4  2  4.5.8  2  4.5.8.9.12  2 

Khi dầm mất ổn định c1 ≠ 0  1- a + a2 / 10 – a3 / 270 + …. = 0
Với:

Pth L4
k 2 L4
a=
=
64
256GJ x EJ y

(3.30)
(3.31)


3.3. Ổn định dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn ngang phẳng
Dầm đặt trên hai gối tựa chịu lực tập trung P đặt tại trọng tâm tiết diện ở giữa nhịp

• Nghiệm nhỏ nhất của Pt. (3.30) là a = 1,126.
• Từ Pt. (3.31)  lực tới hạn nhỏ nhất:
Pth =

16.94
EJ y GJ z
2
L

(3.32)

• Giá trị lực tới hạn còn phụ thuộc vào vị trí đặt lực P theo chiều cao của dầm.
Phản lực momen xoắn do lực P gây ra : ½P(δ + d θ*)
d
P

θ*

K
Pth = 2
L

EJ y GJ z

(3.33)

Trong đó K là hệ số phụ vào vị trí của điểm đặt lực

δ

dθ*
Hình 3.5

Giá trị của K cho trong bảng 3.1.


3.3. Ổn định dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn ngang phẳng
Dầm đặt trên hai gối tựa chịu lực tập trung P đặt tại trọng tâm tiết diện ở giữa nhịp

Bảng 3.1
Điểm đặt lực ở phía trên trọng tâm
d
L

0

0.030

0.143

0.293

0.544

0.121

16.94

16.0

12.8

9.6

6.4

3.2

EJ y
GJ z

K

Điểm đặt lực ở phía dưới trọng tâm

d EJ y
L GJ z
K

0

16.94

0.069

0.166

0.271

0.396

0.526

0.815

1.30

2.78

19.2

22.4

25.6

28.8

32

35.2

38.4

41.6


3.3. Ổn định dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn ngang phẳng

Trường hợp lực P đặt tại tiết diện cách gối tựa một khỏang là Z
Tương tự ta có kết quả:

Pth =

K
L2

(3.34)

EJ y GJ z

Hệ số K trong công thức này phụ thuộc vào vị trí Z/L của lực P
và tìm được theo bảng 3.2
Bảng 3.2
Z/L

0.50

0.45

0.40

0.35

0.30

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

K

16.94

17.15

17.82

19.04

21.01

24.10

29.11

37.88

56.01

111.6


3.3. Ổn định dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn ngang phẳng

Dầm chịu tải trọng phân bố đều với cường độ là q trên tòan chiều dài nhịp

• Công thức xác định lực tới hạn có dạng:

28.3
(qL) th = 2 EJ y GJ z
L

(3.35)


3.3. Ổn định dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn ngang phẳng
3.3.2. Dầm có một đầu ngàm, một đầu tự do

 Lực tập trung P đặt tại trọng tâm của tiết diện ở đầu tự do
m

a)

m

z

b) y

z
L
z

δ

• Khi bị mất ổn định dầm bị lệch ra
khỏi mặt phẳng uốn yOz
• Momen uốn và xoắn tại tiết diện
bất kỳ m – m:

Mx1 = Mx = - Pz

u
x

My1 = Mx θ = - Pz θ

c)
x
y

x1

M z1 = M x

du
− P (δ − u ) = − Pzθ − P(δ − u )
dz

y1
θ

Hình 3.6

Thay các đại lượng này vào Pt (3.2) và (3.3)
phương trình vi phân để xác định tải trọng tới hạn


GJ x

dθ
du
= − Pz
− P (δ − u )
dz
dz

3.3. Ổn định dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn ngang phẳng

3.3.2. Dầm có một đầu ngàm, một đầu tự do

• Phương trình vi phân để xác định tải trọng tới hạn
d 2u
EJ y 2 = Pzθ
dx

GJ x

dθ
du
= − Pz
− P (δ − u )
dz
dz

• Phương trình vi phân để xác định tải trọng tới hạn:

Trong đó:

d 2θ
2
+
kz
θ =0
dz 2

(3.36)

Pth2
k =
EJ y GJ z

(3.37)

2

Nghiệm của phương trình này cũng có dạng tương tự như Pt. (3.29)


3.3. Ổn định dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn ngang phẳng
3.3.2. Dầm có một đầu ngàm, một đầu tự do

• Các điều kiện biên:
• Khi z = 0; u = δ, nên theo Pt.(3.37)

dθ
=0
dz

 c1 = 0

• Khi z = L; θ = 0
 k 2 L4

k 4 L8
k 6 L12
co 1 −
+
−
+ ...  = 0
3.4 3.4.7.8 3.4.7.8.11.12



• Điều kiện để cho hệ mất ổn định là co≠ 0
1− a +

Trong đó:

3 2
3 3
a −
a + .... = 0
14

154

Pth2 L4
k 2 L4
a=
=
12
12 EJ y GJ z

(3.38)


3.3. Ổn định dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn ngang phẳng
3.3.2. Dầm có một đầu ngàm, một đầu tự do
Nghiệm nhỏ nhất ứng với a = 1.342  lực tới hạn

Pth =

4.013
EJ y GJ z
2
L

(3.38)

 Trường hợp lực P đặt cách trọng tâm một khỏang là d:

Pth =

K

L2

EJ y GJ z

(3.39)

Trong đó K là hệ số phụ thuộc vị trí của điểm đặt lực và có trị số
cho trong Bảng 3.3


3.3. Ổn định dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn ngang phẳng
3.3.2. Dầm có một đầu ngàm, một đầu tự do
Điểm đặt lực ở phía trên trọng tâm
0
d EJ y
L GJ z

K

4.013

0.0031

0.0887

0.164

0.238

0.322

0.425

0.568

0.791

1.224

2.485

4.0

3.6

3.2

2.8

2.4

2.0

1.6

1.2

0.8

0.4

Điểm đặt lực ở phía dưới trọng tâm
d EJ y
L GJ z

K

0

0.114

0.320

0.923

∞

4.013

4.4

4.8

5.2

5.562

• Khi tỉ số d/L nhỏ

 a EJ y 

4.013

Pth = 2
EJ y GJ z 1 −
 L GJ z 
L



(3.40)