Bài giảng ổn định công trình chương 4 ổn định của các khung phẳng

Chương 4
ỔN ĐỊNH CỦA CÁC
KHUNG PHẲNG


4.1. Các giả thiết
Vật liệu của khung làm việc trong giới hạn đàn hồi.
Các nút của khung xem như tuyệt đối cứng, do đó chuyển vị của
các thanh qui tụ tại một nút đều như nhau.
Khi xét biến dạng của thanh chịu uốn, bỏ qua biến dạng trượt và
biến dạng dọc trục. Do đó trước và sau biến dạng, chiều dài theo
phương ban đầu của các thanh không đổi. Trừ trường hợp biến
dạng dọc trục do nhiệt độ gây ra
Khi xác định chuyển vị trong khung chỉ kể đến ảnh hưởng của biến
dạng uốn và do lực dọc xuất hiện trước biến dạng gây ra. Ảnh
hưởng của gia số lực dọc xuất hiện sau khi hệ mất ổn định được bỏ
qua.
Tải trọng tác dụng lên khung chỉ đặt tại các nút. Những tải trọng này
chỉ gây ra hiện tượng kéo hoặc nén mà không gây ra hiện tượng
uốn ngang trong các thanh của khung khi hệ chưa mất ổn định.


Theo giả thiết trên:
Trước khi nghiên cứu sự ổn định cần phải xác định lực dọc trong các
thanh của khung chịu tải trọng đã cho không đặt tại nút (Hình 4.1a),
tiếp đó xác định tải trọng tới hạn của khung chịu tải trọng đặt tại nút có
giá trị bằng lực dọc đặt trong các thanh tương ứng ( Hình 4.1b)
Các lực ngang chỉ xuất hiện sau khi hệ mất ổn định với giá trị rất nhỏ,
 giữa chuyển vị ngang và tải trọng ngang có sự liên hệ tuyến tính 
có thể áp dụng nguyên lý cộng tác dụng đối với các tải trọng ngang
trong các

c thanh chịu uốn cùng với nén.
q2
2

q3
P4
3

2

5

q3

1

P2

P1

Q

4

P4

3

P3
5

P5

1

6

Hình 4.1

4

6


4.2. Cách xác định chuyển vị trong các thanh chịu kéo
hoặc nén.
P1

P2

Định lý công tương hổ:

P1 ∆12 = P2 ∆21
∆11+ ∆12

Phương pháp tính chuyển vị

∆21+ ∆22

‘’m’’

Nếu P2 = 1
A 21 = P2 ∆21 = 1 ∆21 = ∆21

M1
∆ 21 = ∑ ∫ M 2
ds
EJ
_

∆21

(4.1)

P2 =1

Hình.4.2

‘’k’’


4.2.1. Thanh đặt tự do trên hai khớp tựa
Xét thanh đặt tự do trên hai khớp tựa chịu lực nén P và các tải trọng
đặt ở đầu thanh như trên Hình 4.3a. Yêu cầu xác định chuyển vị tại
các đầu thanh.
MA = c

a)

P

c)

z

z
L

RA

b)

MB = d

y

c

d

a

b

Hình 4.3

Mk

Mm

Momen Mm tại một mặt cắt ngang z bất kỳ:
c+

Mm = MA + RAz + Py =

d−c
z + Py
L

(4.2)

Phương trình vi phân đường đàn hồi:
y” = - Mm / EJ
Từ điều kiện biên: khi z = 0 và z = L thì y = 0

c
d − c cos αL
1
d −c
y = cos αL +
sin αz − [c +
z]
P
sin αL
P
L

(4.3)

Thay giá trị y vào Pt. (4.1) ta được:

c 
 d
M m = c cos αz + 
−
 sin αz
sin
α
L
tan
α
L



Trong đó:

α2 =

P
EJ

(4.4)

(4.5)


_

Mk

Momen Mk tại mặ cắt ngang z bất kỳ:
_

Mk =a+

b−a
z
L

(4.6)

Thay Pt.(4.5) và (4.6) vào (4.1) ta được :
L

EJ∆ km

L

L

b−a
c  
b−a 
 d
= ∫ M k M m dz = c ∫ (a +
z ) cos αzdz + 
−
z  sin αzdz (4.7)
∫  a +
L

L 
 sin αL tan αL  0 
0
0
_

Sau khi lấy tích phân và biến đổi ta có:
 acL bdL 
 adL bcL 
EJ∆ km = 
+
+
φ1 (v) + 
φ2 (v)
3 
6 
 3
 6

Trong đó:

v = αL = L

P
EJ

(4.8)

(4.9)

φ1 (αL) =

3
v
(
1
−
)
2
tan v
v

(4.10)

φ2 (αL) =

6  v

− 1
2 
v  sin v


(4.11)


4.2.2. Thanh có một đầu ngàm, một đầu tự do:
Các tải trọng ngang tác dụng ở đầu thanh có dạng như trên Hình
4.4a. Biểu đồ Mm do tải trọng ngang và lực nén P gây ra có dạng
như trên Hình 4.4b

MA = c
a)

b)

c)

δ

P
QA= e

z
L

c

d
PyA

a

b

Hình 4.4

Mm

Mk

Momen uốn tại tại tiết diện cắt bất kỳ:
Mm (z)= c + ez +P(δ – y)

(4.12)

Từ phương trình vi phân đường đàn hồi: y” = - Mm / EJ
Với điều kiện biên khi z = 0, y = δ và khi z = L, y’ = 0
 Phương trình đường đàn hồi:

y = A sin αz + B cos αz −
Trong đó

αc sin αL + e
A=
và
Pα cos αL

c + ez − Pδ
P

B=

(4.13)

c
P

Thay Pt. (4.13) vào (4.12) ta được:

M m ( z ) = c cos αz +

c(v sin v − 1) + d
sin αz
v cos v

(4.14)


Phương trình Mk có dạng:

b−a
Mk =a+
z
L
_

(4.15)

Sau khi thay Pt. (4.14) và (4.15) vào (4.1), lấy tích phân và biến đổi
 công thức tính chuyển vị như sau:
EJ∆ km =

bdL
acL
 adL bcL 
ϕ1 (v) +
ϕ 2 (v ) + 
+
ϕ 3 (v)

3
3
6
6



(4.16)

Trong đó:

ϕ1 (v) =

3  tan v 
− 1
3 
v  v


ϕ 2 (v ) =

3
v2

2
tan v 

1
−
v

tan
v
−
+


cos
v
v



ϕ 3 (v ) =

6
v2

tan v 
 1
−


cos
v
v



(4.17)

4.3. Cách tính ổn định các khung phẳng theo
phương pháp lực
4.3.1. Cách chọn hệ cơ bản:
Nên chọn hệ cơ bản bằng cách lọai trừ các liên kết thừa để sao cho
các thanh chịu nén trở thành các thanh có hai đầu là khớp tựa hoặc
thanh có một đầu ngàm, một đầu tự do dễ dàng xác định chuyển
vị trong hệ cơ bản theo các công thức đã thiết lập sẵn
a)

b)
3

X1

X2

c)

X2

X1

X1

X1
X4

2

2

4

X2

4

6

X3

2

6

X2

6

4
X5

5
1

5

1

5

Hình 4.5

1

X5


4.3.2. Hệ phương trình chính tắc
Theo giả thiết, tải trọng chỉ gây ra hiện tượng nén hoặc kéo trong
các thanh của hệ cơ bản mà không gây ra uốn biểu đồ Mpo do tải
trọng gây ra trong hệ cơ bản sẽ không tồn tại các số hạng tự do
∆kp của phương trình chính tắc phải bằng không
Do đó hệ phương trình chính tắc trở thành:
δ11X1 + δ12X2 + ………… + δ1nXn = 0
δ21X1 + δ22X2 + ………… + δ2nXn = 0
……………………………………..
δn1X1 + δn2X2 + ………… + δnnXn = 0

(4.18)


4.3.3. cách xác định các hệ số của phương trình chính tắc:
Để xác định các hệ số δkm ta thực hiện như sau:


Tạo trạng thái “k” do lực Xk = 1 gây ra trong hệ cơ bản



Tạo trạng thái “m” do lực Xm = 1 và do các lực nén hoặc kéo P
gây ra trong hệ cơ bản.
Đối với những thanh không có lực kéo hay nén P, áp dụng công
thức chuyển vị (4.1) hoặc dùng phương pháp nhân biểu đồ
Đối với những thanh có lực kéo hay nén P, áp dụng công thức
(4.8) hay (4.16)
Khi xác định chuyển vị trong các thanh chịu kéo hoặc nén ta
quan niệm lực kéo hay nén là tải trọng đặt tại nút.  Khi mất ổn
định những lực này có thể thay đổi. Tuy nhiên, các lực X này chỉ
xuất hiện khi hệ mất ổn định và rất nhỏ nên có thể bỏ qua.








4.3.3. Phương trình ổn định
Hệ phương trình thuần nhất (4.18) được thỏa mãn với hai khả
năng:


Tất cả các ẩn số X đều bằng không. Lúc này trong hệ chỉ có
biến dạng kéo hoặc nén mà chưa có biến dạng uốn, do đó hệ
vẫn ở trạng thái cân bằng chưa bị mất ổn định.



Tất cả hoặc một số các ẩn số X khác không. Lúc này trong các
thanh có xuất hiện biến dạng uốn và hệ bị mất ổn định.



Điều kiện để cho các ẩn số X khác không là định thức của hệ
phương trình phải bằng không. Điều kiện này là phương trình
ổn định theo phương pháp lực
δ11
δ12 ………… δ1n
D=
=0
δ21
δ22 ………… δ2n
(4.19)
…………………………
δn1
δn2 ………… δnn


Bởi vì các chuyển vị δkm phụ thuộc gía trị của các lực P, do đó ta có
thể xác định lực tới hạn từ điều kiện (4.19)
Theo cách giải quyết bài tóan như trên, ta chưa tìm được các giá trị
của ẩn số X, vì những ẩn số này là vô định.
Để tìm được sự phân bố nội lực và đường hình dạng đường biến
dạng của hệ, ta qui ước cho một ẩn số nào đó bằng đơn vị, chẳng
hạn cho X1 = 1 rồi xác định các ẩn số còn lại theo phương trình
chính tắc (4.18)
Ví dụ 4.1: Xác định giá trị Pth của hệ vẽ trên hình 4.6a, chọn hệ cơ
bản như trên hình 4.6b và các biểu đồ đơn vị trên Hình 4.6c, d.

0.36P

P

a)

2

5

3

X1

EJ=const

L

4
1

L/2

L/2

0.36P

b) P

L

Hình 4.6

X2


v=L

P
EJ

c)

0.36P

P

d)

P

X2
=1

X1
=1

Hình 4.6
Đặt

0.36P

v=L

P
EJ

là thông số tới hạn, ta có:

Đối với thanh chịu nén 1-2 :
Đối với thanh chịu nén 3-4:

v1 = L

P
=v
EJ

v2 = L

0.36 P
= 0.6v
EJ

Áp dụng nhân biểu đồ và công thức (4.8) ta được:
EJ δ11 = ⅓Ф(v1) +⅔L
EJ δ22 = ⅓Ф(v2) +⅓L
EJδ12 = -⅓L

Thay các kết qủa này vào định thức (4.19) ta được phương trình ổn định:

D=

Hay:
0

1
3EJ

2+Ф(v1)
-1

-1
1+Ф(v2)

=0

2Ф(0.6v) + Ф(v) + Ф(v) . Ф(0.6v) + 1 =

Dùng phương pháp thử dần ta sẽ tìm được giá trị của thông số tới hạn:
v = 3.57

Do đó:

Pth = v 2

EJ
EJ
=

12
.
7
L2
L2


4.4. Cách tính ổn định các khung phẳng theo phương pháp
chuyển vị

Khi dùng phương pháp chuyển vị để tính ổn định ta thực hiện các
bước như sau:


Chọn hệ cơ bản



Gây chuyển vị cuỡng bức tại các liên kết đặt thêm vào



Lập hệ phương trình chính tắc



Lập phương trình ổn định


4.4.1. Hệ cơ bản

Để lập hệ cơ bản ta đặt thêm vào hệ đã cho các liên kết lực và liên
kết momen tại các nút của khung
• Liên kết momen momen có tác dụng làm cho nút không thể
xoay được nhưng vẫn có thể chuyển vị thẳng.
• Liên kết lực đặt vào các nút có chuyển vị thẳng được chọn
làm ẩn số, có tác dụng làm cho nút không chuyển vị thẳng
được.
Ví dụ Hình 4.7b là hệ cơ bản của hệ đã cho trên H 4.7a.
P2

a)

b)

P1

Z3

Hình 4.7

Z2

Z1
Z4

Z6

Z5 Z7

4.4.2. Phương trình chính tắc
Lập hệ cơ bản và gây các chuyển vị cưỡng bức Zi tại các liên kết
đặt thêm vào
Các chuyển vị Zi cần phải có giá trị để sao cho phản lực tại các liên
kết đặt thêm vào hệ do chúng gây ra và do các tải trọng gây ra phải
bằng không  Hệ phương trình chính tắc gồm có n điều kiện để
xác định n phản lực cần tìm

Rkz1 + Rkz2 + Rkz3 + ..... + Rkzn + RkP = 0

với k = 1…n

Trong đó:
• R
kzi phản lực tại liên kết thứ k trong hệ cơ bản do chuyển vị cưỡng bức
tại liên kết thứ i gây ra.
• RkP phản lực tại liên kết thứ k do tải trọng gây ra trong hệ cơ bản


Do tải trọng chỉ đặt tại nút nên khi hệ chưa mất ổn định, các thanh
của hệ chỉ xuất hiện lực kéo, nén tự cân bằng mà không xuất hiện
momen uốn  các số hạng tự do RkP bằng không .
Hệ phương trình chính tắc trở thành hệ phương trình thuần nhất:

r11 Z1 + r12 Z 2 + ....... + r1n Z n = 0
r12 Z1 + r22 Z 2 + ....... + r2 n Z n = 0
………………………………………….

rn1 Z1 + rn 2 Z 2 + ....... + rnn Z n = 0

(4.20)


4.4.3. Cách xác đinh các hệ số của phương trình chính tắc:
Khi tính ổn định các hệ số rkm trong hệ phương trình (4.20) là phản
lực tại liên kết thứ k trong hệ cơ bản do chuyển vị cưỡng bức Zm = 1
và do các lực kéo hoặc nén tại liên kết thứ m gây ra.
Muốn xác định các hệ số rkm ta thực hiện các bước như sau:
 Vẽ biểu đồ momen biểu đồ momen Mm do chuyển vị cưỡng
bức Zm = 1 và do các lực kéo hoặc nén tại liên kết thứ m gây ra
trong hệ cơ bản
 Xử dụng phương pháp tách nút hoặc mặt cắt để tính phản lực
trong liên kết thứ k
 rkm = rmk
Biểu đồ nội lực trong các thanh thẳng do các chuyển vị cưỡng bức
gây ra tra trong bảng 6.1 của Cơ kết cấu tập II
Biểu đồ nội lực trong các thanh thẳng do các chuyển vị cưỡng bức
và do lực kéo hoặc nén gây ra tra trong bảng 4.1 của Ổn định công
trình (Cơ kết cấu tập III)


4.4.4. Phương trình ổn định

Hệ phương trình thuần nhất (4.20) thỏa mãn với hai khả năng:
 Tất cả các hệ số Zi phải bằng không. Trong trường hợp này các
nút không chuyển vị nên hệ chưa mất dạng cân bằng ban đầu
tức là chưa mất ổn định.
 Tất cả hoặc một số ẩn số Zi khác không. Trong trường hợp này
các nút có chuyển vị và hệ có dạng biến dạng mới khác với
dạng biến dạng ban đầu tức là mất ổn định.

Muốn thỏa điều kiện này thì định thức các hệ số của hệ Pt. (4.20)
phải bằng không.  phương trình ổn định theo phương pháp
chuyển vị.
r11
r12 …..…r1n
r21
r22 …… ….r2n
D=
=0
(4.21)
………………………
rn1
rn2……. ….rnn


Với cách giải trên ta mới chỉ tìm được tải trọng tới hạn mà chưa tìm
được đường biến dạng của hệ vì chưa biết các giá trị của các ẩn số
Zi. Những ẩn số này là vô định.
Muốn tìm được biến dạng của hệ khi mất ổn định ta có thể cho một
ẩn số nào đó, chẳng hạn Z1 = 1
xác định các ẩn số còn lại theo phương trình chính tắc (4.20).
Ví dụ 4.2: Xác định lực tới hạn cho hệ vẽ trên hình 4.8a. Chọn hệ
cơ bản như trên hình 4.8b
a)

L

P2 = 0.8P

J

L

P1= P

2J

b)

Z1

Z2

P2 = 0.8P
io

J

2io
io

L

Hình 4.8

P1= P

io

3io

4ioφ2(αvo)

P2

Z1

P1

P2
4io
= =0

8io

8io

4io

M1

P1

Z2=1

4ioφ2(vo)
2ioφ3(vo)

4ioφ2(αvo)

độ cứng của từng thanh theo io= EJ/L
Xác định các thông số v trong các thanh chịu nén:
v1 = L

v2 = L

P1
P
=L
= vo
EJ
EJ

P2
0.8 P
=L
= 0.8vo = kvo
EJ
EJ

Phương trình ổn định
D=

r11
r21

r12
r22

= r11r22 - r212 = 0

Mk