Bài giảng mô hình toán kinh tế chương 2 nội dung của phương pháp mô hình trong nghiên cứu kinh tế

2.2 Tính hệ số tăng trưởng
a) Giả sử y = f(x1, x2, …, xn, t), với t là biến thời gian.
Hệ số tăng trưởng

y y
y

t
ry 

y
t

Ý nghĩa hệ số tăng trưởng :

Hệ số tăng trưởng đo tỉ lệ biến động của biến nội sinh y
theo một đơn vị thời gian t.
1


2.2 Tính hệ số tăng trưởng

b) Giả sử y = f(x1(t), x2(t) …, xn(t)), với t là biến thời gian.

n
Hệ số tăng trưởng

y
xi

ry

.rxi

i 1

Chứng minh
công thức !

2


Ví dụ
1. Nếu u = u(t), v = v(t). Tìm hệ số tăng trưởng
trong các trường hợp sau:
a) Y = uv

b) Y = u/v

c) Y = u + v

d) Y = u – v

2. Giả sử lãi suất tiền gởi ngân hàng là 12%/năm.
Hãy tìm hệ số tăng trưởng của số tiền gởi.
3


Ví dụ
Với công thức tính lãi kép liên tục, tại thời điểm t,

lượng tiền thu được có công thức tính :

Vt= V0. ert
Trong đó V0 là vốn gốc, t là thời gian, r là lãi suất

Tìm hệ số tăng trưởng của Vt.
4


2.3 Tính hệ số thay thế (bổ sung, chuyển đổi)
Giả sử tại x = x0 có y = f(x0) = y0
Cho các biến xi, xj thay đổi và xk (k ≠ i, j) không đổi thì hệ
số thay thế của hai biến này là tỉ lệ thay đổi của hai biến sao

cho y = y0 (tức y không đổi)

f (x )
x j
0

Hệ số thay thế của xi cho xj:

dx i

0
f (x )
dx j
x i

5

í ngha h s thay th ?
dx i
Mm 0 Thay theỏ (chuyeồn ủoồi)
dx j

dx i
Mm 0 Boồsung
dx j
dx i
Mm 0 Khoõngtheồthaytheỏ hoaởcboồsung
dx j
6


Ví dụ
Xét hàm thỏa dụng của một gia đình khi tiêu dùng hàng
hóa A và B có dạng

U = 50.(xA)0,5.(xB)0,4

trong đó xA và xB là mức tiêu dùng hàng hóa A và B.
a) Tại mức tiêu dùng hàng hóa xA = 8, xB = 10, hai hàng
hóa này có thể thay thế cho nhau được không ?
b) Tại các mức tiêu dùng nào hàng hóa A và B có thể

thay thế nhau với tỉ lệ 1 : 1?

7

Bài tập
Thu nhập quốc dân của một quốc gia (Y) phụ thuộc
vào vốn (K), lao động được sử dụng (L) và ngân
sách đào tạo 5 năm trước đó (G) như sau:

Y = 0,24K0,3.L0,8.G0,05
Trong đó các yếu tố thay đổi theo thời gian như sau:
hằng năm vốn tăng 15%; công ăn việc làm tăng 9%;
chi phí đào tạo tăng 20%.
a) Tính hệ số tăng trưởng của thu nhập quốc dân.
b) Trong điều kiện Y, K không đổi còn công ăn việc làm
phụ thuộc vào ngân sách đào tạo trước đó 5 năm.
Hãy viết biểu thức chỉ ra sự thay đổi của công ăn
việc làm theo ngân sách đào tạo 5 năm trước.
8


1. Mô hình tối ưu
1.1 Mô hình hàm sản xuất
a) Hàm sản xuất
Một doanh nghiệp sử dụng n yếu tố đầu vào để tạo
ra sản phẩm. Các yếu tố đầu vào sử dụng ở mức x1,
x2, …, xn thì doanh nghiệp thu được Q đơn vị sản

phẩm. Hàm biểu diễn mối quan hệ này :
Q = F(x1, x2,…, xn )
9

b) Tác động của các yếu tố sản xuất tới sản lượng
• Ngắn hạn: Doanh nghiệp chỉ có thể thay đổi một vài
yếu tố có tính lưu động.

 Năng suất biên của yếu tố i

F
MPi 
x i

 Năng suất trung bình của yếu tố i

F(x)
APi 
xi

 Độ co giãn của Q theo xi



 Hệ số thay thế của yếu tố xi cho xj

Q
xi

MPj
dx i

dx j

MPi
10


Nếu chỉ có khả năng thay đổi yếu tố i thì việc sử dụng
yếu tố i có lợi nhất là khi năng suất trung bình đạt cực đại

F(x)
APi 
 max
xi
(Tình huống tối ưu về mặt kĩ thuật)

Điều kiện cần đối với nghiệm xi* là

F(x) F

 MPi  APi
xi
x i
11


Ví dụ
Ước lượng hàm sản xuất của Việt Nam giai đoạn 1975
– 1986 là : Q = 75114. K0,175. L0,904. e0,0124 t
a) Hãy tìm hệ số tăng trưởng của sản lượng Q.
b) Nếu giảm vốn đầu tư 10% thì lực lượng lao động sẽ
thay đổi như thế nào để sản lượng không thay đổi ?
c) Nếu chỉ thay đổi được lực lượng lao động thì việc

sử dụng lao động như thế nào sẽ có lợi nhất ?

12


1. Mô hình tối ưu
1.2 Tối đa hóa lợi nhuận của doanh nghiệp
Lợi nhuận = Tổng doanh thu – tổng chi phí (không kể thuế)
Π(Q) = TR(Q) – TC(Q)

→ max (*)

• Thị trường cạnh tranh hoàn hảo: TR(Q) = P.Q
• Thị trường độc quyền : TR(Q) = P(Q).Q

Tìm điều kiện cần để (*) tối ưu .

dTR dTC

dQ
dQ
13


• Kí hiệu Q*, * là mức sản lượng tối đa hóa
lợi nhuận và mức lợi nhuận tối đa. Đối với
doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo


*

Q
P
*

14


Ví dụ
• Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm chi phí
biên là: MC = 2Q2 - 12Q + 25, chi phí cố định FC và
giá sản phẩm là p.
a. Hãy xác định hàm tổng chi phí với FC = 20. Với p = 39

hãy xác định mức sản lượng và lợi nhuận tối ưu.
b. Nếu giá tăng lên 10% thì mức sản lượng, lợi nhuận tối

ưu sẽ biến động như thế nào?

15


Ví dụ
• Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu ngược:

P = 490 – 2Q và hàm tổng chi phí là: TC = 0,5Q2 AD0,5
a. Hãy xác định mức sản lượng và giá bán để lợi nhuận
tối ưu khi AD = 9.
b. Hãy phân tích tác động của chi phí quảng cáo AD tới
mức sản lượng và giá bán tối ưu.

16


 Khi Q = F(K, L), giá vốn là pK, giá lao động
là pL và giá bán sản phẩm là p.
Tìm điều kiện cần để doanh nghiệp đạt lợi
nhuận tối đa trong các trường hợp.
a) Doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo.
b) Doanh nghiệp độc quyền.
17


Chú ý
• Giả sử K*, L* là các mức vốn và lao động để lợi nhuận
∏*

tối đa. Chứng minh rằng :

• Đối với cả hai loại doanh nghiệp cạnh tranh độc quyền



*
*
và cạnh tranh hoàn hảo
 K ,
 L
p K
p L
*

*

• Đối với doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo


*
Q
p
*

18


1. Mô hình tối ưu

1.3 Các bài toán tối ưu có điều kiện ràng buộc
Hàm sản xuất của doanh nghiệp : Q = f(x1, x2, …, xn )
Trong đó Q là sản lượng dự kiến sản xuất; (x1, x2, …xn )
là các yếu tố sản xuất; (w1, w2, …wn ) là giá của các yếu
tố sản xuất.

19


n

Bài toán 1:
Chi phí tối thiểu

Bài toán 2:
Sản lượng tối đa

Z   w i x i  min
i 1

sao cho F(x1 , x 2 , .., x n )  Q

Q  F(x1 , x 2 , .., x n )  m ax
n

sao cho  w i x i  K
i 1

Bài toán 3:
Thỏa dụng người
tiêu dùng tối đa

U  U(x1 , x 2 , .., x n )  m ax
n

sao cho  pi x i  M
i 1

20


Bài toán 1: Chi phí tối thiểu
n

Z   w i x i  min
i 1

sao cho F(x1 , x 2 , .., x n )  Q
a) Hãy giải bài toán 1 (Mô hình MHIC).
b) Chứng minh rằng MC(Q0) = λ0
(với MC(Q) là chi phí biên, λ0 là nhân tử Largrange trong
trường hợp tối ưu).
c) Chứng minh rằng : ∂TC/ ∂wi = xi 0 (với xi 0 là nghiệm
tối ưu)

21


Ví dụ
Hàm sản xuất Q

= 25.K0,5.L0,5 với giá PK =12, PL = 3.

a) Tính mức sử dụng K, L để sản xuất sản lượng Q0 = 1250

với chi phí nhỏ nhất.
b) Tính hệ số co giãn của tổng chi phí theo Q tại Q0.

c) Nếu giá vốn và lao động đều tăng 10% với mức sản lượng
như trước, mức sử dụng vốn và lao động tối ưu sẽ thay
đổi như thế nào?
d) Phân tích tác động của giá vốn, lao động tới tổng chi phí
tại mức tối ưu.

22


2. Mô hình cân bằng
2.1 Mô hình cân bằng thị trường riêng
Ví dụ : các mô hình MH 1, MH 2
Bài tập : Mức cầu một loại hàng hóa: D = 1,5 M0,3.p-0,2

và mức cung loại hàng này: S = 1,4.p0,3
a) Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá, theo thu
nhập.
b) Xem xét mức tác động của thu nhập tới mức giá
cân bằng
23


2. Mô hình cân bằng
2.2 Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô
Giả sử :
Y : thu nhập quốc dân
C : Nhu cầu tiêu dùng của dân cư
I : Nhu cầu đầu tư của dân cư

Phương trình cân bằng:

Y = C + I + G + EX – IM

G : Nhu cầu chi tiêu của chính phủ
EX , IM : Nhu cầu xuất, nhập khẩu
24

2.2 Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô

Y = C + I + G + EX – IM
Trong đó:

C = C0 + (Y - T)
I = I0 - r

C0 > 0; 0 <  < 1.
với  > 0

T =  + Y

với  > 0; 0 <  < 1

Giải mô hình ta có :

C0 -   I0 - r + G + EX - IM
Y
1    
25