Vận dụng phân tích mô hình vào một số mô hình kinh tế phổ biến

§3
VẬN DỤNG PHÂN TÍCH MƠ HÌNH
VÀO MỘT SỐ MƠ HÌNH KINH TẾ PHỔ BIẾN
1. Mơ hình hàm sản xuất
2. Mơ hình tối ưu về mặt kinh tế
3. Mơ hình tối đa hóa lợi nhuận của
doanh nghiệp
4. Mơ hình hàm thõa dụng:
5. Mơ hình cân bằng thị trường:


Mơ hình hàm sản xuất
Một doanh nghiệp sử dụng n yếu tố để tạo ra
sản phẩm và các yếu tố sử dụng ở mức X1, … , Xn
doanh nghiệp thu được Q đơn vị sản phẩm và ta có
hàm biễu diễn mối quan hệ này:
Q = F(X1, X2, … , Xn)
Hàm sản xuất dạng Cobb – Douglas với vốn và
lao động: Q = a.Kα .Lβ với a, α, β > 0 là các tham số.
Ước lượng hàm sản xuất:
Việt Nam 1986 – 1995: Q = 75114.K0,175.L0,904 e0,0124t
Nước Áo 1951 – 1955: Q = 2,439.X0,0635.K0,0127.L0,3193


Mơ hình hàm sản xuất
Ví dụ Thu nhập quốc dân của một quốc gia Y phụ
thuộc vào vốn K, lao động được sử dụng L và ngân
sách đào tạo 5 năm trước đó G như sau:
Y = 0,24.K0,3.L0,8.G0,05
Trong đó các yếu tố thay đổi theo thời gian như
sau: hằng năm vốn tăng 15%; cơng ăn việc làm tăng

9%; chi phí đào tạo tăng 20%.
a) Tính hệ số tăng trưởng của thu nhập quốc dân
b) Trong điều kiện Y, K không đổi cịn cơng ăn
vệc làm phụ thuộc vào ngân sách đào tạo trước đó 5
năm, hãy viết biểu thức chỉ ra sự thay đổi của công ăn
việc làm theo ngân sách đào tạo theo 5 năm trước


Mơ hình hàm sản xuất
a) Gọi vốn, lao động được sử dụng, chi phí đào
tạo vào năm gốc nào đó lần lượt là K0, L0, G0. Khi đó
sau t năm thì ta có:
Vốn:
K(t) = K0. (1 + 0,15)t
Lao động được sử dụng: L(t) = L0.(1 + 0,09)t
Chi phí đào tạo:
G(t) = G0. (1 + 0,2)t
Hệ số tăng trưởng của vốn, lao động, chi phí đào
tạo lần lượt là:
K 0 .(1 + 0,15) . ln(1,15)
∆K(t) / ∆t
=
.100% =
.100%
t
K(t)
K 0 .(1 + 0,15)
t

rK (t )

= ln(1,15)


Mơ hình hàm sản xuất
Tương tự ta có: rL(t) = ln (1,09) và rG(t) = ln(1,2)
Hệ số co giãn của thu nhập quốc dân theo K, L,
G lần lượt là:
ε = 0, 24 . 0,3 . K
Y
K

−0,7

0,8

.L .G

0,05

K
.
= 0,3
0,3 0,8
0,05
0, 24 . K .L .G

Tương tự ta có:
ε YL = 0,8

và

εGY = 0, 05

Hệ số tăng trưởng của thu nhập quốc dân sẽ là:

rY(t ) = ε KY .rK (t ) + ε LY .rL(t ) + ε GY .rG(t )
= 0,3.ln(1,15) + 0,8.ln(1, 09) + 0, 05. ln(1, 2) = 0,12


Mơ hình hàm sản xuất
b) Đặt: F(L, G) = 0,24.K0,3.L0,8.G0,05 – Y = 0
Trong đó L là hàm của biến G
Hệ số thay đổi tuyệt đối của công ăn việc làm
theo ngân sách đào tạo 5 năm trước sẽ là:
−0,95

∆L
∂F / ∂G
0, 24.K .L .0.05.G
L
=−
=−
=−
0,3
−0,2
0,05
∆G
∂F / ∂L
0, 24.K .0,8.L .G

16.G
0,3

0,8


Mơ hình hàm sản xuất
Tác động của các yếu tố sản xuất tới sản lượng:
Cho hàm sản xuất: Q = F(X1, X2, … , Xn)
Năng suất biên của yếu tố i:
∂F
MPi =
∂X i
Khi cố định các yếu tố khác MPi cho ta biết khi
tăng (giảm) mức sử dụng yếu tố i thì sản lượng sẽ tăng
(giảm) bao nhiêu đơn vị .
F(X)
Năng suất trung bình của yếu tố i: APi =
Xi

Hệ số thay thế giữa hai yếu tố:

MPj
dX i
=−
dX j
MPi


Mơ hình hàm sản xuất

Giả sử doanh nghiệp chỉ thay đổi được yếu tố X i
còn các yếu tố khác khơng thay đổi. Thì việc sử dụng
yếu tố Xi ở mức có lợi nhất sẽ là:
F(X)
⇒ Max
Xi

Điều kiện cần để tối ưu là:
,

 F(X) 

÷ =0
 X i  Xi

⇔

F(X)
∂F
=
Xi
∂X i

Năng suất trung bình = Năng suất biên


Mơ hình hàm sản xuất
Về dài hạn doanh nghiệp có thể thay đổi các yếu
tố, giả sử các yếu tố đều thay đổi theo cùng một tỉ lệ.
Hàm sản xuất Q = F(X1, X2, … , Xn) với

λX= (λX1, λX2, ….., λXn) ta nói qui mơ sản xuất tăng
với hệ số λ.
F(λX) > λ.F(X) gọi là tăng qui mơ có hiệu quả.
F(λX) = λ.F(X) tăng qui mô không thay đổi hiệu
quả
F(λX) < λ.F(X) tăng qui mô không hiệu quả


Mơ hình hàm sản xuất
Ví dụ 1: Xét hàm sản xuất Cobb – Douglass:
Q = a.Kα .Lβ
Tăng qui mô lên λ lần thì kết quả sản xuất tăng
λα + β lần
Hệ số thay thế giữa vốn và lao động:
MPK
α L
−
=− .
MPL
β K


Mơ hình tối ưu về mặt kinh tế
Hàm sản xuất của doanh nghiệp:
Q = F(X1, X2, … , Xn)
và giá của các yếu tố sản xuất là p1, p2, … , pn.
- Mơ hình chi phí tối thiểu:
Mơ hình MHIC:

n

Min Z = ∑ pi . X i (Chi phí tối thiểu)

Với điều kiện:

i =1

F(X1, X2, … , Xn) = Q

- Mơ hình sản lượng tối đa:
Mơ hình MHID: Max Q = F(X1, X2, … , Xn)
(Tối đa hóa sản
n
(TC – tổng chi phí)
lượng)∑ pi . X i = TC
i =1


Mơ hình tối ưu về mặt kinh tế
Phân tích mơ hình MHIC:
Lập hàmn Lagarăng:

L = ∑ pi . X i + λ[F(X1 , X 2 , ... , X n ) − Q]
i =1

Để đạt MinZ thì điều kiện cần là:
pi ∂F / ∂X i
=
p j ∂F / ∂X j

(i ≠ j)

Tỉ giá = Hệ số thay thế giữa hai yếu tố


Mơ hình tối ưu về mặt kinh tế
Phân tích tác động của sản lượng, giá các yếu tố
tới chi phí:
Hàm tổng chi phí:
Chi phí trung bình:

TC(Q, p1, ........ , pn)

TC
AC =
Q

∂TC
Chi phí biên:
MC =
∂Q
Người ta chứng minh được rằng với TC xác định
ở MHIC:
*
- λ* là giá trị nhân tử Lagrange
MC (Q 0 ) = λ
trong trường hợp tối ưu , Q0 là sản lượng tối ưu.


Mơ hình tối ưu về mặt kinh tế

∂TC
= X*i
∂Pi

X*i

- là nghiệm tối ưu trong mơ hình


Mơ hình tối ưu về mặt kinh tế
Ví dụ 1: Hàm sản xuất Q = 25.K0,5.L0,5 với giá
PK =12, PL = 3.
a) Tính mức sử dụng K, L để sản lượng
Q0 = 1250 với chi phí nhỏ nhất.
b) Tính hệ số co giãn của tổng chi phí theo sản
lượng Q0.
c) Nếu giá vốn và lao động đều tăng 10% với
mức sản lượng như trước, mức sử dụng vốn và lao
động tối ưu sẽ thay đổi như thế nào?
d) Phân tích tác động của giá vốn, lao động tới
tổng chi phí tại mức tối ưu.


Mơ hình tối ưu về mặt kinh tế
a) Mơ hình MHIC:
Min(12K + 3L)
với điều kiện:
25K0,5.L0,5 = Q0
Phương án tối ưu là nghiệm của hệ:
12 25 / 2.K −0,5 . L0,5

 =
0,5 −0,5
 3 25 / 2.K .L
25.K 0,5 .L0,5 = 1250


⇔

K = 25

L = 100

Vậy để chi phí nhỏ nhất thì phải sử dụng:
K* = 25; L* = 100


Mơ hình tối ưu về mặt kinh tế
b) Mức chi phí TC(Q0) = 600 nên:
600
AC(Q0 ) =
= 0, 48
1250
Chi phí biên:

12
MC(Q 0 ) = λ = −
= − 0, 48
* − 0,5 *0,5
25 / 2. K
.L

*

Hệ số co giãn:
ε

TC
Q0

∆TC / TC MC(Q 0 )
=
=
= −1
∆Q / Q
AC(Q 0 )


Mơ hình tối ưu về mặt kinh tế
c) Vì pK , pL đều tăng cùng tỉ lệ nên K*, L*
không đổi.
d)

∂TC
= K * = 25 > 0
∂PK

∂TC
= L* = 100 > 0
∂PL

Nên khi giá vốn, giá lao động tăng thì chi phí sẽ tăng

Mơ hình tối ưu về mặt kinh tế
Ví dụ 2:
Một nhà máy có hàm sản xuất: Q = 2K.(L – 2),
biết nhà máy chi khoản tiền là 15000 (đvt) để mua
hai yếu tố K, L với giá pK = 600 (đvt), pL = 300 (đvt).
a) Tìm phương án sản xuất để thu được sản
lượng tối đa.
b) Tìm hệ số co giãn của hàm tổng chi phí tại
sản lượng tối đa. Nêu ý nghĩa của hệ số này?
c) Phân tích tác động của giá vốn, giá lao động
tới tổng chi phí


Mơ hình tối ưu về mặt kinh tế
a) Hàm sản lượng: Q = 2K(L – 2) → Max
Với ràng buộc: TC = 600K + 300L = 15000
⇔ 2K + L = 50
Điều kiện cần để sản lượng đạt tối đa với tổng
chi phí TC = 15000
 MPK MPL
=

pL
 pK
p .K + p . L = TC
 K
L

⇔

 2(L − 2) 2K
=

300
 600
2K + L = 50

⇔

K = 12

L = 26

Đây chính là phương án sản xuất để thu được
sản lượng, vậy phương án sản xuất tối ưu sẽ là:
K* = 12 ; L* = 26 và sản lượng tối đa sẽ là:
Q* = 576


b)

Mơ hình tối ưu về mặt kinh tế
MPK* 2(L − 2)
*
MC(Q) = λ =
=
PK
600

TC 15000
AC(Q ) = * =
= 26, 04
Q
576
*

Hệ số co giãn của TC theo sản lượng tại sản
lượng tối đa:
*
MC(Q
) 0, 08
TC
*
ε Q (Q ) =
=
= 0, 003 = 0,3%
*
AC(Q ) 26, 04

Ý nghĩa: Khi sản lượng lượng tăng lên 1% thì
chi phí sẽ tăng lên 0,3%


Mơ hình tối ưu về mặt kinh tế
c)

∂TC
*
= K = 12 > 0

∂PK

Nên giá vốn tăng thì chi phí sẽ tăng
∂TC
*
= L = 26 > 0
∂PL

Nên giá lao động tăng thì chi phí sẽ tăng


Mơ hình tối đa hóa lợi nhuận của doanh nghiệp
Doanh nghiệp sản xuất Q sản phẩm có doanh
thu:
TR(Q)
Lợi nhuận của doanh nghiệp:
π(Q) = TR(Q) – TC(Q) ⇒
Max
Điều kiện cần để tối ưu sẽ là:
dTR dTC
=
dQ
dQ

(MR = MC)

Nếu thị trường cạnh tranh hồn hảo thì:
TR(Q) = P.Q

Mơ hình tối đa hóa lợi nhuận của doanh nghiệp
điều kiện tối ưu trong trường hợp này: P = MC
Trường hợp doanh nghiệp độc quyền, khi đó
giá bán phụ thuộc vào sản lượng
P = P(Q) hoặc Q = Q(p)
Doanh thu:
TR = P(Q).Q
Điều kiện tối ưu sẽ là:
dP
P(Q) + Q
= MC(Q)
dQ
Phân tích, so sánh tĩnh:


Mơ hình tối đa hóa lợi nhuận của doanh nghiệp
Kí hiệu Q*, π* là mức sản lượng tối đa hóa lợi
nhuận và mức lợi nhuận tối đa. Đối với doanh nghiệp
cạnh tranh hoàn hảo
*
∂π
*
=Q
∂P