Giáo trình toán tài chính phần 1 đh kinh doanh công nghệ hà nội

Lời nói đầu
Toán Tài chính là một môn toán ứng dụng, sử dụng công cụ toán học nhằm giải
quyết những vấn đề của tài chính và ngân hàng. Toán Tài chính xây dựng một cách có
hệ thống các công thức, phương trình để xử lý chính xác các bài toán liên quan đến tài
chính: tính tiền lãi, hiện tại hóa, tư bản hóa một nguồn vốn, chiết khấu thương phiếu,...
Toán tài chính cũng còn được áp dụng trong các lĩnh vực của quản lý: thẩm định dự án
đầu tư, đánh giá tình hình tài chính của một công ty,... và vào việc thanh t oán các khoản
nợ thông thường, nợ trái phiếu, đặc biệt được áp dụng trên thị trường chứng khoán.
Toán Tài chính rất có ích lợi cho sinh viên các ngành Tài chính, Ngân hàng,
Quản trị kinh doanh.
Cuốn sách này bước đầu cung cấp một cơ sở lý thuyết về Toán tài chính. Có một
số vấn đề nêu trong cuốn sách hiện nay còn chưa được áp dụng trong các ngân hàng ở
Việt Nam, nhưng trong tương lai không xa, sẽ được dùng phổ biến theo tập quán của các
ngân hàng trên thế giới.
Những vần đề liên quan đến cổ phiếu và thị t rường chứng khoán chưa được đề
cập đến. Tuy nhiên, cuốn sách này đã trang bị một cơ sở kiến thức cơ bản về Toán tài
chính, đủ giúp cho sinh viên thực hiện những nghiên cứu sâu hơn của mình sau này.
Cuốn sách này được dùng làm tài liệu giảng dạy và học tập cho các giảng viên và
sinh viên trường Đại học Kinh doanh và Công nghệ Hà Nội. Hy vọng cuốn sách đáp ứng
được yêu cầu đào tạo của Nhà trường.
Sử dụng kèm theo cuốn sách là Bảng tài chính. Đó là các bảng cho sẵn các giá trị
với 6 hoc 7 chữ số thập phân của 5 hàm số thường dùng trong Toán tài chính, giúp cho
việc tính toán dễ dàng hơn.
Khi biên soạn, cuốn sách không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong nhận được sự
đóng góp quý báu của tất cảc các bạn đọc.

Người biên soạn

3

Mục lục
Chương I. Lãi đơn............................................................................................. 9
Đ1. Đại cương................................................................................................... 9
1. Định nghĩa............................................................................................. 9
2. Lãi đơn .................................................................................................. 9
3. Giá trị thu được ................................................................................... 10
4. Lãi suất trung bình .............................................................................. 10
5. Lãi suất hiệu dụng ............................................................................... 11
Đ2. Phương pháp thực hành tính lãi đơn ....................................... 11
1. Phương pháp số và ước số cố định ...................................................... 11
2. Trường hợp năm dân sự ....................................................................... 12

Chương II. Chiết khấu theo lãi đơn .................................................. 14
Đ1. Chiết khấu............................................................................................... 14
1. Thương phiếu ...................................................................................... 14
2. Chiết khấu ........................................................................................... 14
3. Chiết khấu thương mại theo lãi đơn .................................................... 14
4. Chiết khấu hợp lý theo lãi đơn ............................................................ 15
5. Các mối quan hệ giữa chiết khấu thương mại và chiết khấu hợp lý .... 16
Đ2. Thực hành chiết khấ u ..................................................................... 17
1. Chi phí chiết khấu (agio) ..................................................................... 17
2. Giá trị ròng của thương phiếu ............................................................. 18
3. Lãi suất thực tế chiết khấu và lãi suất giá thành chiết khấu ................ 18
Đ3. Sự tương đương của các thương phiếu theo lãi đơ n ...... 20
1. Các định nghĩa ................................................................................... 20
2. Định lý về sự tương đương .................................................................. 21
4


Đ4. Một số bài toán ứng dụng ............................................................. 23

1. Bài toán về thời hạn trả chung ............................................................. 23
2. Bài toán về thời hạn trả trung bình ...................................................... 23

Chương III. Lãi gộp ....................................................................................... 25
Đ1. Đại cương................................................................................................. 25
Đ2. Công thức tính lãi gộp .................................................................... 25
1. Giá trị thu được ................................................................................... 25
2. áp dụng............................................................................................... 25
3. Trường hợp khoảng thời gian không phải là một số nguyên ............... 26
4. Lãi suất tỉ lệ và lãi suất tương đương .................................................. 29
Đ3. Hiện tại hoá và chiết khấu theo lãi gộp ................................ 30
1. Hiện tại hoá ........................................................................................ 30
2. Tính giá trị của một khoản vốn tại một thời kỳ tuỳ ý .......................... 30
3. Chiết khấu theo lãi gộp ....................................................................... 31
Đ4. Sự tương đương của các thương phiếu theo lãi gộp ....... 32
1. Định nghĩa........................................................................................... 32
2. Định lý cơ bản về sự tương đương của các thương phiếu .................... 33
3. Thời hạn trả chung và thời hạn trả trung bình ..................................... 34
4. Các ví dụ áp dụng................................................................................ 34
Đ5. So sánh các loại chiết khấu ......................................................... 37
1. Các công thức đã có về chiết khấu theo lã i đơn và lãi gộp ................. 37
2. So sánh E c và Er ................................................................................... 37
3. So sánh E c và e .................................................................................... 37
4. So sánh E r và e..................................................................................... 38
5. Tóm tắt ................................................................................................ 38

5


Đ 6. Tư bản hoá và hiện tại hoá liên tục ........................................ 38

1. Tư bản hoá liên tục .............................................................................. 38
2. Hiện tại hoá liên tục ............................................................................ 39

Chương IV. Dãy niên kim ........................................................................... 40
Đ1. Đại cương................................................................................................. 40
1. Định nghĩa........................................................................................... 40
2. Các loại dãy niên kim ......................................................................... 40
Đ2. Dãy niên kim cố định cuối kỳ ....................................................... 40
1. Số tiền thu được của dãy niên kim cố định cuối kỳ ............................ 40
2. Các ví dụ áp dụng................................................................................ 41
3. Giá trị hiện tại của dãy niên kim cố định cuối kỳ ............................... 44
Đ3. Dãy niên kim cố định đầu kỳ ........................................................ 45
1. Số tiền thu được................................................................................... 45
2. Giá trị hiện tại ..................................................................................... 45
Đ4. Giá trị của một dãy niên kim tại một thời điểm bất kỳ ........46
1. Giá trị của dãy niên kim tại thời điểm p .............................................. 46
2. Thời hạn trả trung bình ....................................................................... 47
3. Sự tương đương của các dãy niên kim ................................................. 48
Đ5. Dãy niên kim bất kỳ ........................................................................... 48
1. Tổng quát ............................................................................................ 48
2. Dãy niên kim lập thành một cấp số cộng ............................................ 49
3. Dãy niên kim lập thành một cấp số nhân ............................................ 49
Đ6. áp dụng của dãy niên kim: thẩm định dự án đầu tư ......... 51
1. Một số tiêu chuẩn thẩm định dự án đầu tư: NPV và IRR ................... 51
2. Ví dụ ................................................................................................... 53
6


Chương V. Thanh toán nợ thông thường ..................................... 55
Đ1. Đại cương................................................................................................. 55

1. Phương thức vay vốn ........................................................................... 55
2. Phương thức và công thức thanh toán nợ thông thường ...................... 55
3. Bảng thanh toán nợ ............................................................................. 56
Đ2. Thanh toán nợ thông thường ..................................................... 56
1. Quan hệ giữa niên kim và phần thanh toán nợ gốc ............................. 56
2. Các quy tắc cơ bản .............................................................................. 58
3. Ví dụ .................................................................................................. 60
4. Thanh toán nợ bằng các niên kim cố định (a k = a = const) ................. 61
5. Thanh toán nợ với các khoản thanh toán nợ gốc cố định (m k = m = const) .............63
Đ3. Một vài phương thức thanh toán đặc biệt ........................... 64
1. Vay nợ với tiền lãi trả trước ................................................................ 64
2. Thanh toán nợ gốc một lần.................................................................. 66

Chương VI . Thanh toán nợ trái phiếu ............................................. 67
Đ1. Đại cương................................................................................................. 67
Đ2. Lý thuyết chung về thanh toán nợ trái phiếu .................. 67
1. Cơ sở dữ liệu ....................................................................................... 67
2. Các công thức ...................................................................................... 68
3. Một số trường hợp thanh toán đặc biệt ................................................ 70
4. Bảng thanh toán nợ ............................................................................. 71
5. Tình hình thanh toán tr ái phiếu ........................................................... 73
Đ3. Một số đặc trưng về thời hạn của trái phiếu ..................... 74
1. Median của trái phiếu ......................................................................... 74
2. Thời hạn trung bình của trái phiếu ...................................................... 75
7


Đ4. Lãi suất đầu tư và lãi suất giá thành ..................................... 76
1. Khái niệm............................................................................................ 76
2. Trường hợp niên kim cố định .............................................................. 77

3. Trường hợp số trái phiếu thanh toán cố định ...................................... 77
4. Ví dụ ................................................................................................... 78
5. Lãi suất đầu tư của người mua trái phiếu ............................................ 79

Chương VII. Định giá các khoản nợ .................................................. 81
Đ1. Định giá khoản nợ thông thường .............................................. 81
1. Định giá................................................................................................... 81
2. Quyền thu lợi toàn phần và quyền sở hữu danh nghĩa toàn phần ............ 81
3. Quyền thu lợi đơn vị và quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị ....................... 82
4. Quan hệ của quyền thu lợi đơn vị và định giá đối với quyền
sở hữu danh nghĩa đơn vị ........................................................................ 82
5. Quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị trong một số trường hợp đặc biệt ....... 84
Đ2. Định giá khoản nợ trái phiếu ....................................................... 87
1. Trái phiếu với giá thanh toán ngang mệnh giá .................................... 87
2. Trái phiếu với giá thanh toán cao hơn mệnh giá ................................. 89
3. Các ví dụ ............................................................................................. 89
Bài tập ........................................................................................................................ 92

8


Chương I

Lãi đơn
Đ1. Đại cương
1. Định nghĩa
Tiền lãi là số tiền mà người đi vay phải trả thêm cho người cho vay, sau một khoảng thời
gian nào đó, ngoài số tiền đã vay ban đầu. Đó chính là số tiền thuê khoản vốn ban đầu.
Lãi suất theo một đơn vị thời gian (đ.v.t.g.) là tỉ số giữa số tiền lãi phải trả trong đ.v.t.g.
đang xét và số tiền đi vay. Về mặt giá trị, lãi suất bằng số tiền lãi phải trả trong một

đ.v.t.g cho một đơn vị vốn vay. Lãi suất không có đơn vị đo (thứ nguyên) và thường
được tính bằng %.
Giá trị gốc của một khoản vốn là giá trị được xác định tại thời điểm 0, thời điểm gốc bắt
đầu tính lãi.
Giá trị thu được (Số tiền thu được) của một khoản vốn tại một thời điểm nào đó bằng giá
trị gốc cộng với tiền lãi phát sinh trong khoảng thời gian từ thời điểm 0 đến thời điểm
đang xét (thời hạn cho vay).
2. Lãi đơn
Lãi đơn là tiền lãi được tính trên số vốn vay ban đầu trong suốt thời gian vay với lãi suất
cố định. Lãi đơn tỉ lệ thuận với số vốn ban đầu, lãi suất và thời hạn cho vay.
Gọi I là lãi đơn, C - số vốn ban đầu, a - khoảng thời gian cho vay tính theo năm, i - lãi
suất một năm. Khi đó
I = C.i.a
Thông thường, đặt t là lãi suất cho 100 đơn vị tiền tệ (chẳng hạn i = 9% = 0,09 thì t = 9).
Khi đó
C.t.a
(1)
I
100
Nếu m là khoảng thời gian tính theo tháng, ta có
C.t.m
(2)
I
1200
Nếu n là khoảng thời gian tính theo ngày, ta có
C.t.n
(3)
I
36000

9


3. Giá trị thu được
Gọi C là giá trị (số tiền) thu được của khoản vốn ban đầu C
C.t.n
sau n ngày, ta có C' C I C
(4a)
36000
C.t.m
sau m tháng, ta có C = C + I = C +
(4b)
1200
C.t.a
sau a năm, ta có C = C + I = C +
(4c)
100
Ví dụ:
Một khoản vốn 100.000.000 đồng cho vay hôm 1/10. Tính số tiền thu được vào ngày
31/12, biết lãi suất là 9% năm.
Giải:
Từ 1/10 đến 31/12 có 91 ngày. Số tiền thu được tính theo công thức (4a) là
100.000.000x9x91
C' 100.000.000
102.275.000 đ
36000
4. Lãi suất trung bình
Lãi suất trung bình của nhiều khoản vốn có lãi suất và khoảng thời gian cho vay khác
nhau là lãi suất khi nó thay thế các lãi suất khác nhau sẽ cho tổng số lãi không đổi.
Giả sử có p khoản vốn Ci cho vay với là lãi suất t i và thời hạn cho vay n i tương ứng. Gọi

T là lãi suất trung bình, ta có:
p
C i .T.n i
C i .t i .n i



i 1 36000
i 1 36000
p

Từ đó, ta tìm được
p

T

C t n
i 1
p

i i

C n
i 1

i

i

(5)

i

Ví dụ:
Một người cho vay 3 khoản vốn như sau
Vốn
Lãi suất
3800 USD
7,5%
6420USD
8,2%
780 USD
8,5%
Tính lãi suất trung bình.

Thời hạn cho vay
Từ 25/5 đến 15/7
Từ 25/5 đến 31/7
Từ 25/5 đến 31/8

10


Giải:
Tương ứng với 3 khoản vốn trên, thời hạn cho vay là 51, 67, 98 ngày. Lãi s uất trung bình
tính theo công thức (5) là
(3800x7,5x51) (6420x8,2x67) (780x8,5x98)
T
8,04
(3800x51) (6420x67) (780x98)

Lãi suất trung bình là 8,04%
5. Lãi suất hiệu dụng
Trường hợp người cho vay được trả lãi trước, ngay tại thời điểm 0, thì lãi suất hiệu dụng
sẽ cao hơn lãi suất quy định t đã thoả thuận.
Với số vốn C sau n ngày, người cho vay thu được một khoản lãi I. Do I được trả trước,
nên thực tế vào thời điểm 0, người đó chỉ cho vay khoản tiền là (C -I). Số vốn (C-I) ban
đầu đã tạo nên số tiền lãi I. Gọi t là lãi suất hiệu dụng, khi đó:
(C I).t'.n
C.t.n
I
36000
36000
C
Từ đó suy ra
(6)
t'
t
CI
Ta thấy ngay t> t.
Ví dụ:
Một người cho vay 20.000 USD trả lãi trước với lãi suất thoả thuận 9%. Thời hạn cho
vay là 20 tháng. Tính lãi suất hiệu dụng.
Giải:
Số tiền lãi thu được
C.t.m 20000x9x20
I=

3000 (USD)
1200
1200

Vậy lãi suất hiệu dụng là:
20000
t'
x 9 10,58
20000 3000
Lãi suất hiệu dụng xấp xỉ 10,58%

Đ2. Phương pháp thực hành tính lãi đơn
1. Phương pháp số và ước số cố định
Trong công thức
Ctn
I=
36000
11


ta chia cả tử và mẫu cho t và được
I=

Cn
36000
t

36000
, ta sẽ có
t
N
I=
(7)
D

Đại lượng N được gọi là số. Đại lượng D được gọi là ước số cố định. Giá trị D sẽ ổn định
khi lãi suất chưa thay đổi và được dùng chung cho các trường hợp vốn và thời hạn khác
nhau.
Phương pháp tính I qua công thức (7) gọi là phương pháp số và ước số cố định
Ví dụ:
Sử dụng phương pháp số và ước số cố định, tìm tổng lãi do đầu tư các nguồn vốn sau với
lãi suất 9%:
5500 euro
từ 1/3 đến 31/7
2625 euro
từ 1/3 đến 31/8
870 euro
từ 1/3 đến 30/9
Giải:
Thời hạn đầu tư từng nguồn vốn lần lượt là n 1 = 152, n 2 = 183, n 3 = 213 (ngày)
36000
Ước số cố định D =
4000
9
Tổng lãi thu được:
1
1
I I1 I 2 I 3 (N 1 N 2 N 3 ) (C1 n 1 C 2 n 2 C 3 n 3 )
D
D
1

(5500x52 2625x183 5500 x213) 621,97 euro
4000

Kí hiệu N = Cn và D =

2. Trường hợp năm dân sự
Một năm dân sự có 365 ngày. Do đó khi sử dụng công thức tính lãi thương mại (một
năm có 360 ngày) để tính lãi trong trường hợp năm dân sự ta phải điều chỉnh như sau:
36500
N
Đặt D =
thì số tiền lãi dân sự là I =
t
D'
Ví dụ:
Sự chênh lệch giữa lãi thương mại và lãi dân sự của một nguồn vốn C đầu tư với lãi suất
9,5% trong thời hạn 72 ngày là 1,14 triệu đồng. Tìm nguồn vốn C.

12


Gi¶i:
Tõ

Cx9,5x72 Cx9,5x72

 1,14
36000
36500

ta cã
Cx9,5x72x( 36500  36000)
 1,14

36000x3650 0

vµ t×m ®­îc nguån vèn
C=

36000x3650 0x1,14
 4.380 triÖu ®ång
9,5x72x500

13


Chương II

Chiết khấu theo lãi đơn
Đ1. Chiết khấu
1. Thương phiếu
Thương phiếu là chứng từ biểu thị một quan hệ tín dụng, một nghĩa vụ trả tiền, được lập
ra trên cơ sở các giao dịch thương mại.
Thông thường, thương phiếu có hối phiếu, lệnh phiếu.
Hối phiếu là một tờ lệnh trả tiền vô điều kiện của một người (người ký phát) gửi cho một
người khác (người bị ký phát) để yêu cầu người này phải trả, vào một ngày xác định, số
tiền ghi trên hối phiếu cho chính người ký phát hoặc cho một người xác định (người
được hưởng)
Lệnh phiếu là một giấy cam kết vô điều kiện do một người lập và ký tên, gửi cho một
người khác, cam kết mình sẽ trả, vào một ngày xác định, một khoản ti ền cho người đó
hoặc cho người được hưởng.
Số tiền ghi trên thương phiếu được gọi là mệnh giá của thương phiếu.
Ngày mà người bị ký phát phải trả tiền được gọi là ngày đáo hạn của thương phiếu.
Một thương phiếu có thể được chuyển nhượng dễ dàng.

2. Chiết khấu
Khi chưa đến ngày đáo hạn, người được hưởng đem thương phiếu đến ngân hàng yêu
cầu chiết khấu. Chiết khấu thương phiếu là một nghiệp vụ tài chính thực hiện bằng việc
bán lại thương phiếu chưa đến hạn cho ngân hàng: ngân hàng trả một số tiền ghi trên
thương phiếu sau khi đã trừ bớt một khoản tiền.
Khoản tiền bị trừ bớt được gọi là tiền chiết khấu.
Giá trị hiện tại của thương phiếu chính bằng mệnh giá trừ đi tiền chiết khấu.
Ký hiệu mệnh giá là C, tiền chiết khấu là E, giá trị hiện tại là V, ta có
V=C-E
(1)
3. Chiết khấu thương mại theo lãi đơn
Số tiền chiết khấu thương mại là số tiền lãi tính trên mệnh giá C của thương phiếu,
thường được kí hiệu là E c.

14


Ngày mà ngân hàng làm chiết khấu được gọi là ngày thỏa thuận. Gọi t là lãi suất chiết
khấu thỏa thuận, n là số ngày tính từ ngày thoả thuận đến ngày đáo hạn. Số tiền chiết
khấu thương mại E c được tính như công thức lãi đơn:
Ctn
Cn
(2)
Ec

36000 D
Khi đó giá trị hiện tại thương mại sẽ là
Vc = C - Ec.
Vậy
Ctn

C(36000 tn)
(3)
Vc C

36000
36000
hay
Cn C(D n)
(3)
Vc C

D
D
Ví dụ:
Giá trị hiện tại thương mại vào ngày 25/8 của một thương phiếu chiết khấu với lãi suất
9% là 7.868 USD. Nếu thương phiếu này được chiết khấu 30 ngày trước ngày đáo hạn,
thì số tiền chiết khấu sẽ ít hơn 72 USD so với tiền chiết khấu vào ngày 25/8. Tìm mệnh
giá và ngày đáo hạn của thương phiếu.
Giải:
Khi chiết khấu 30 ngày trước ngày đáo hạn, số tiền chiết khấu ít hơn 72 USD hay giá trị
hiện tại sẽ lớn hơn 72 USD so với giá trị hiện tại vào ngày 25/8.
Vậy giá trị hiện tại vào ngày đó là
7.868 + 72 = 7.940 (USD)
Theo công thức (3) ta có:
C(36000 9x30)
7940
36000
suy ra
C = 8.000 (USD)
Gọi n là số ngày tính từ 25/8 đến ngày đáo hạn, theo công thức (2), ta có

8000x9xn
hay n = 66 (ngày)
8000 7868
36000
Ngày đáo hạn là 66 ngày sau 25/8. Đó là ngày 30/10
4. Chiết khấu hợp lý theo lãi đơn
Số tiền chiết khấu hợp lý là số tiền lãi tính trên giá trị hiện tại (hợp lý) của thương phiếu,
thường được ký hiệu là E r. Giá trị hiện tại (hợp lý) được ký hiệu V r

15


Vậy
Vr n
D
V n V (D n)
Từ C Vr E r Vr r r
, ta tìm được
D
D
D
Vr = C
(4)
Dn
Mặt khác
CD
Cn
E r = C - Vr = C
Dn Dn
ta có

Cn
N
(5)
Er

Dn Dn
Ví dụ:
Một thương phiếu có mệnh giá 1.260 euro được chiết khấu 45 n gày trước ngày đáo hạn
(thường gọi: có thời hạn 45 ngày). Giả sử lãi suất chiết khấu là 6%, tìm
số tiền chiết khấu thương mại và hợp lý,
giá trị hiện tại thương mại và hợp lý của thương phiếu.
Giải:
36000
Ước số cố định
D=
6000
6
Cn 1260x45
Chiết khấu thương mại:
Ec =

9,45 (euro)
D
6000

Er =

Cn
1260 x 45

9,38 (euro)
D n 6000 45

Chiết khấu hợp lý:

Er =

Giá trị hiện tại thương mại:

Vc = C - Ec = 1.260 - 9,45 = 1.250,55 (euro)

Giá trị hiện tại hợp lý:

Vr = C - Er = 1.260 - 9,38 = 1.250,62 (euro)

5. Các mối quan hệ giữa chiết khấu thương mại và chiết khấu hợp lý
a) So sánh:
Từ E c =

N
N
và E r
, ta có E c Er
D
Dn

Chiết khấu thương mại luôn luôn lớn hơn chiết khấu hợp lý.

16

Chú thích:
Khi tính theo lãi đơn, đại bộ phận các Ngân h àng sử dụng chiết khấu thương mại, vì điều
đó có lợi cho Ngân hàng.
b) Chênh lệch:
Ta tính E c - Er
Ec - E r

Vậy

N
N
Nn


D D n D(D n)

N

n
E n
Dn

Ec - Er =
r
D
D

(6)

N
n
E n
D
hay
Ec - Er = c
(7)
Dn Dn
Sự chênh lệch giữa chiết khấu thương m ại và chiết khấu hợp lý bằng chiết khấu thương
mại của chiết khấu hợp lý, hoặc bằng chiết khấu hợp lý của chiết khấu thương mại
c) Tỉ số
N
Ec
Dn
Ta tính
(8)
D
N
Er
D
Dn
d) Quan hệ giữa C, E c và Er
1
1
Dn D n
n
Ta xét

Er Ec
N
N N Cn

Vậy

1
1
1


Er Ec C

(9)

Đ2. Thực hành chiết khấu
1. Chi phí chiết khấu (agio)
Khi một thương phiếu được đem chiết khấu, Ngân hàng giữ lại chẳng những tiền chiết
khấu, mà còn các khoản tiền khác, như các loại tiền hoa hồng, tiền thuế đánh vào các
hoạt động tài chính. Tất cả các khoản tiền đó được gọi là tiền chi phí chiết khấu (agio ).
Như vậy chi phí chiết khấu gồm các khoản tiền sau:
Tiền chiết khấu
Các loại hoa hồng

17


Thuế đánh vào các hoạt động tài chính
Có rất nhiều các loại khoản tiền hoa hồng. Chúng được phân thành các loại sau:
Tiền hoa hồng được tính tỉ lệ thuận theo thời hạn . Công thức tính các loại

hoa hồng này (chẳng hạn hoa hồng chuyển nhượng) tương tự như tính chiết
khấu nhưng với lãi suất khác,
Tiền hoa hồng được tính không phụ thuộc vào thời hạn,
Tiền hoa hồng cố định. Đó là các lệ phí tính theo từng thương phiếu như lệ
phí phục vụ, lệ phí chuyển tiền khác địa điểm, lệ phí báo có, lệ phí chấp
thuận chiết khấu,
2. Giá trị ròng của thương phiếu
Giá trị ròng của thương phiếu là số t iền mà người được hưởng thực sự nhận được sau khi
đã khấu trừ agio. Vậy:
Giá trị ròng = Mệnh giá - agio
Giá trị hiện tại = Mệnh giá - Tiền chiết khấu
3. Lãi suất thực tế chiết khấu và lãi suất giá thành chiết khấu
Các khoản tiền hoa hồng và thuế đã làm tă ng lãi suất mà người được hưởng phải gánh
chịu.
Lãi suất chiết khấu t thoả thuận được rút ra từ công thức:
Ctn
Ec =
.
36000
Vậy
E . 36000
t= c
Cn
Trên thực tế, ngân hàng đã khấu trừ agio (chứ không phải E c), vì vậy lãi suất thực tế
chiết khấu T sẽ được tính bởi công thức:
agio . 36000
T=
(10)
Cn
Khi thay mệnh giá bởi giá trị ròng, ta thu được công thức tính lãi suất giá thành chiết

khấu T
agio . 36000
T =
(11)
(Giỏ tri rũng) . n
Chú thích:



t < T < T
1 1
n

T T' 36000

(12)
18


Chứng minh các hệ thức trên dễ dàng.
Ví dụ 1:
Một thương phiếu 1.000 euro có ngày đáo hạn 30/11 được đem chiết khấu ngày 1/10.
Người được hưởng chấp nhận các điều kiện sau:
Lãi suất chiết khấu:
8,60%
Lãi suất hoa hồng chuyển nhượng:
0,40% (tỉ lệ thuận theo thời hạn)
Lệ phí phục vụ:
1 euro/1 thương phiếu
Lệ phí báo có:

2,5 euro/1 thương phiếu
Thuế đánh vào các hoạt động tài chính : 17,60%
Tính agio, giá trị ròng, lãi suất thực tế chiết khấu , lãi suất giá thành chiết khấu.
Giải:
a) Tính agio
Từ 1/10 đến 30/11 có 60 ngày.
1000 x 8,60 x 60
Tiền chiết khấu E c:
14,333

36000
1000 x 0,40 x 60
Hoa hồng chuyển nhượng:
0,666
36000
Hoa hồng cố định: 1+2,5 =
3,500
Thuế 17,60% của 3,5 = 3,5 x 17,60% =
0,616
Vậy agio:
19,12 (euro)
b) Giá trị ròng:
1000 - 19,12 =
980,88 (euro)
c) Lãi suất chiết khấu thực tế:
19,12 x 36000
T=
11, 47 (%)
1000 x 60
d) Lãi suất giá thành:

19,12 x 36000
T =
11, 71 (%)
980,88 x 60
Ví dụ 2:
Ngày 1/10 một doanh nghiệp đưa đến Ngân hàng một thương phiếu để chiết khấu. Ngày
đáo hạn của thương phiếu là 31/12. Biết lãi suất thực tế chiết khấu là 9,60%, tìm lãi suất
giá thành chiết khấu.
Giải:
Từ 1/10 đến 31/12 có 91 ngày.
1 1
n
Từ công thức
, ta có
T T' 3600
1 1
n
36.000 T.n


T' T 36.000
36000.T

19


Vậy
T =

36000.T

36000 x 9,6

9,84 ( % )
36000 - T.n 36000 9,6 x 91

Đ3. Sự tương đương của các thương phiếu theo lãi đơn
1. Các định nghĩa
a) Sự tương đương của hai thương phiếu
Hai thương phiếu được gọi là tương đương tại một ngày nào đó, nếu cả hai thương phiếu
đều có giá trị hiện tại bằng nhau vào ngày đó, khi chúng được chiết khấu cùng lãi suất
và cùng phương thức.
Ngày mà hai thương phiếu tương đương được gọi là thời điểm tương đương. Thời điểm
này phải xẩy ra trước ngày đáo hạn của hai thương phiếu.
Gọi C 1, C2 là mệnh giá của hai thương phiếu, V 1, V2 là giá trị hiện tại của hai thương
phiếu. Tại thời điểm tương đương, ta có
V 1 = V2
C1 - E1 = C 2 - E2
Thông thường trong tính toán tương đương của các thương phiếu, ta dùng chiết khấu
thương mại.
Gọi n1 và n2 là thời hạn của hai thương phiếu. Ta có sơ đồ sau:
Thời điểm tương đương

V 1 = V2
Tại thời điểm tương đương:
C1

n1

n2

C1

C2

C1 n 1
C n
C2 2 2
D
D

(13)

hay
C1 (D n 1 ) C 2 (D - n 2 )

D
D

Vậy

C1 D n 2

C 2 D n1

(14)

20


Chú thích:

n1 < n 2 C 1 < C 2
Hai thương phiếu cùng mệnh giá nhưng thời hạn khác nhau, không thể tương đương
nhau (tương tự, khi chúng khác mệnh giá nhưng cùng thời hạn thì cũng không thể tương
đương nhau)
b) Sự tương đương của một thương phiếu với nhóm nhiều thương phiếu khác.
Một thương phiếu được gọi là tương đương với một nhóm nhiều thương phiếu khác vào
một ngày nào đó, nếu giá trị hiện tại của t hương phiếu bằng tổng các giá trị hiện tại của
cả nhóm thương phiếu vào ngày đó, khi chúng được đem chiết khấu cùng lãi suất và
cùng phương thức.
Gọi C là mệnh giá của thương phiếu đang xét và {Ck, k=1,..,p} là các mệnh giá của
nhóm các thương phiếu. Gọi t hời hạn tương ứng của chúng là n và {nk, k=1,..,p}.
Tại thời điểm tương đương, ta có
p
C .n
Cn
(15)
(C k k k )
D
D
k 1
c) Sự tương đương của hai nhóm thương phiếu
Hai nhóm thương phiếu được gọi là tương đương nhau vào một ngày nào đó, nếu tổng
các giá trị hiện tại của hai nhóm thương phiếu bằng nhau vào ngày đó, khi chúng được
đem chiết khấu cùng lãi suất và cùng phương thức.
Xét 2 nhóm: {Ck, nk, k = 1,.., p} và {Bj, mj, j = 1,.., q}
Vào thời điểm tương đương, ta có
q
p
B j .m j
C k .n k

=
(16)
(B j
)
(C

)


k
D
D
j1
k 1

C-

Chú thích:
Các công thức (13), (14), (15) được thiết lập theo phương thức chiết khấu thương mại
2. Định lý về sự tương đương
Định lý 1
Thời điểm tương đương của hai thương phiếu khác nhau là duy nhất.
Chứng minh:
Vào thời điểm tương đương, ta có
C1 D n 2
(*)

C 2 D n1
Giả sử có một thời điểm tương đương khác, cách thời điểm tương đương ban đầu là p
ngày. Nếu p > 0 thì thời điểm thứ 2 xảy ra sau thời điểm thứ nhất, nếu p < 0 thì thời

điểm thứ 2 xảy ra trước thời điểm thứ nhất.
21


Chú ý rằng các thời điểm này (nếu có) đều xẩy ra trước ngày đáo hạn của cả hai thương
phiếu.
Tại thời điểm tương đương thứ 2, gọi n 1 và n2 là thời hạn của hai thương phiếu.
Khi đó n 1 = n1 - p , n 2 = n2 - p và
C1 D n' 2
D - (n 2 - p)
(**)


C 2 D n'1 D (n 1 p)
So sánh (*) và (**):
D n 2 (D - n 2 ) p

D n 1 (D n 1 ) p



(D - n 2 )p (D - n 1 )p



(n1-n2) p = 0

Vì hai thương phiếu khác nhau nên n1 n2 , vậy p = 0 .
Đó là điều phải chứng minh.
Định lý 2

Thời điểm tương đương của một thương phiếu với một nhóm c ác thương phiếu
khác là duy nhất, trừ trường hợp mệnh giá của thương phiếu đó bằng tổng các
mệnh giá của các thương phiếu trong nhóm. Trong trường hợp này, nếu sự tương
đương đã xẩy ra tại một thời điểm nào đó thì sự tương đương luôn luôn xẩy ra tại
mọi thời điểm (trước tất cả các ngày đáo hạn của mọi thương phiếu).
Chứng minh:
Vào thời điểm tương đương, ta có
C

Cn
=
D

p

(C
k 1

k



C k .n k
)
D

(*)

Nếu có một thời điểm tương đương thứ 2 cách thời điểm tương đương ban đầu s ngày,
thì tại thời điểm tương đương này, ta có:

C






C(n s)
D
C-



p



C
k 1

Cn Cs


D D
p

Cs s
Ck
D D k 1

k



C k (n k s)

D




C n

Ck k k +
D




Cs s C k

p

k 1

Ck s
k 1 D
p

p

k 1



C - C k . s 0
k 1
p

(**)

p

Nếu C C k thì s = 0, hay thời điểm tương đương là duy nhất.
k=1

p

Nếu C C k thì (**) được thoả mãn với mọi s.
k=1

Đó là điều phải chứng minh.
22


Chú thích:
p

Trong chứng minh trên, giả thiết (*) đã dẫn đến hệ thức (**). Vậy nếu chỉ có C C k
k 1

thì không phải lúc nào cũng có (*).
Điều đó có nghĩa là phải giả thiết sự tương đương đã từng xẩy ra tại một thời điểm nào
đó rồi.

Đ4. Một số bài toán ứng dụng
1. Bài toán về thời hạn trả chung
Khi một người muốn thay thế một nhóm các thương phiếu bằng một thương phiếu duy
nhất, người ta gọi đó là bài toán về thời hạn trả chung .
Giả sử thương phiếu duy nhất có mênh giá C và thời hạn n ngày, ta sẽ có 2 loại bài toán
sau:
Biết C tìm n (n thường được gọi là thời hạn trả chung)
Biết n tìm C
Việc tính toán trên thương phiếu cũng được áp dụng cho trường hợp thanh toán các
khoản nợ theo lãi suất đơn
Ví dụ:
Ngày hôm nay, một người đi vay muốn thay thế 3 khoản nợ: 10.000 euro, 20.000 euro,
30.000 euro với thời hạn trả nợ tương ứng 30 ngày, 60 ngày, 90 ngày bằng m ột khoản nợ
trả sau 40 ngày. Tìm số tiền của khoản nợ đó, biết lãi suất là 6%.
Giải:
36000
Ước số chung D
6000 . Gọi số tiền của khoản nợ thay thế là C.
6
Phương trình tương đương là
40
30
60

90




C 1
= 10000 1
200001
300001

6000
6000
6000
6000
Từ đó tính được
C = 59697,98 euro
2. Bài toán về thời hạn trả trung bình
Trường hợp thay thế một nhóm các thương phiếu bằng một thương phiếu duy nhất có
mệnh giá C bằng tổng các mệnh giá của nhóm thương phiếu được gọi là bài toán về thời
hạn trả trung bình.

23


Thời hạn n của thương phiếu thay thế được gọi là thời hạn trả trung bình.
Vào ngày thay thế, phương trình tương đương là
C

p
C n

Cn

Ck k k
D k 1
D

Vì C =

p

C k , nên Cn =
k 1

p

Vậy

n=

C
k 1
p

k

C

p

C

k 1

k

p
Cn
1 p
Ck Ck n k
D k 1
D k 1

nk

nk

C
k 1



(16)
k

Chú ý:
Trong công thức (16), ta không cần sử dụng đến lãi suất.
Ví dụ:
Để thanh toán một khoản nợ 33.150 USD, người đi vay thoả thuận sẽ trả cho chủ nợ theo
cách sau:
Trả ngay: 20% khoản nợ,
Phần còn lại: trả hàng tháng một kh oản tiền bằng nhau trong 18 tháng liên

tiếp, lần trả đầu tiên sẽ sau ngày thoả thuận 1 tháng,
Giả sử lãi suất 10%, tính:
Số tiền trả hàng tháng
Thời hạn trả trung bình
Giải:
a) Gọi khoản tiền trả hàng tháng là V (V = C k, k = 1,..,18)
Vào ngày thoả thuận, số nợ chỉ còn 33150 x 80% = 26520 USD
Phương trình tương đương:
Vx10x1
Vx10x2
Vx10x18


26520 V
V
..... V


1200
1200
1200


10V
1 2 ... 18
1200
57
26520 = 18V V
40
Ta tìm được

V = 1600 USD
b) Thời hạn trả trung bình tính bằng tháng, kể từ ngày đã thỏ a thuận
(1600 x 1) (1600 x 2) ... (1600 x 18)
n
9,5 tháng
1600 x 18

26520 = 18V -

24


Chương III

Lãi gộp
Đ1. Đại cương
Một khoản vốn được gọi là gửi theo lãi gộp, nếu sau mỗi thời kỳ tính theo lãi đơn, số
tiền lãi thu được sẽ được gộp vào khoản vốn ở đầu thời kỳ để hình thành một khoản vốn
mới và khoản vốn mới đó lại tạo ra tiền lãi ở thời kỳ tiếp theo, và tiếp tục như vậy cho
đến hết thời kỳ cuối cùng.
Quá trình tính giá trị tương lai của một khoản vốn theo phương thức tính lãi gộp được
gọi là quá trình lãi được vốn hóa hay tư bản hoá.

Đ2. Công thức tính lãi gộp
1. Giá trị thu được
Gọi C o là số tiền ban đầu, n là số thời kỳ, i là lãi suất trong một thời kỳ, C k là giá trị thu
được sau k thời kỳ.
Ta tính lần lượt
C1 = Co + Coi = Co(1+i)
C2 = C1 + C1i = C1(1+i) = C o(1+i)2

C3 = C2 + C2i = C2(1+i) = Co(1+i)3
..................
Bằng quy nạp, ta có công thức tính giá trị (số tiền) thu được sau n thời kỳ:
Cn = Co(1+i)n
(1)
Chú thích:
Dãy các giá trị thu được C n tạo thành một cấp số nhân với công bội q = (1+i)


Tiền lãi In thu được sau n thời kỳ là sự chênh lệch giữa C n và C0 hay In = Cn - Co.
Vậy

In = Co[(1+i)n -1]
2. áp dụng

(2)

Công thức (1) có 4 đại lượng C o , C n , i, n. Các bài toán áp dụng yêu cầu tìm đại lượng thứ

4, khi đã cho biết 3 đại lư ợng.

25


Trong tính toán thực hành, thường dùng Bảng tài chính. Đó là bảng cho sẵn các giá trị
của 5 hàm số sau:
Bảng
I
II
III

IV
V

i
(1+i) n - 1
1 - (1+i) -n
Hàm số
(1+i)
(1+i)
1 - (1+i)-n
i
i
Khi sử dụng các bảng tài chính, ta đối chiếu để tra tìm các số liệu. Vì các dữ liệu ban
đầu nêu trong bảng là rời rạc, nên đối với các dữ liệu không có trong bảng thường dùng
phương pháp nội suy.
Hiện nay trong các Ngân hàng, song song với tra bảng, người ta còn sử dụng m áy tính.
Ví dụ 1:
Tính số tiền thu được của một khoản vốn 100.000.000 đồng sau 10 năm với lãi suất 6
tháng là 3%, biết quá trình tư bản hoá 6 tháng.
Giải:
Ta có C o = 100.000.000, n = 2x10 = 20, i = 0,03
Vậy C 20 = 100.000.000 (1+0,03) 20
Dùng bảng I, đối chiếu cột 3% và dòng n = 20, ta có 1,806111.
Đó chính là giá trị của (1+0,03) 20.
Từ đó
Co = 180.611.100 đồng.
Ví dụ 2:
Giá trị thu được của một khoản vốn 100.000 USD cho vay trong 8 năm là 202.941,8
USD. Tìm lãi suất hàng năm.
Giải:

Ta có
C8 = C0(1+i)8
202 941,8 = 100 000(1+i) 8
(1+i)8 = 2,029418
Dùng bảng I, đối chiếu ở dòng 8, tìm số 2,029418. Số đó ở cột 9,25.
Vậy lãi suất hàng năm là 9,25%.
n

-n

3. Trường hợp khoảng thời gian không phải là một số nguyên
u
u
Xét trường hợp n = k+ , trong đó k và 0 < < 1
v
v
Có 2 cách tính C n :
a) Phương pháp thương mại
Để tính giá trị thu được C n ta vẫn sử dụng công thức (1) với

26


u
.
v
Ta gọi đó là giá trị thu được thương mại , ký hiệu C nc . Vậy

n = k+

Cnc = C0(1+i)

k

u
v

(3)

Vì n không nguyên, nên khi tính (3), ta không thể dùng bảng để trực tiếp tìm (1+i)
được, mà phải sử dụng phương pháp nội suy.
Ví dụ:

n

Tìm (1+i) 12,6 với i = 10(%)
Với n = 12 và i = 10, tra bảng ta có: 3,138428
Với n = 13 và i = 10, tra bảng ta có: 3,452271
Phương pháp nội suy tuyến tính dựa trên giả thiết giá trị của hàm số (1+i) n biến thiên
trong khoảng 12 n 13 như là một hàm bậc nhất và có đồ thị là một đoạn thẳng.
3,452271

B
C

3,138428
A

M

12

12,6

N

13

n

Ta có
CM AM
=
BN
AN

CM =

BN x AM
AN

Vậy
CM =

(3,452271 - 3,138428)x 0,6
= 0,1883058
1

Từ đó
(1+i) 12,6 3,138428 + 0,1883058 = 3,3267338

Chú thích:
Khi sử dụng máy tính thì (1+i) 12,6 3,32313384
Do đó việc dùng phương pháp nào cần được chỉ định trong các bài toán áp dụng.
b) Phương pháp hợp lý
u
u
Tách n = k +
thành 2 phần: k và .
v
v
Sau k thời kỳ (k nguyên), số tiền th u được theo lãi gộp sẽ là C k = C0(1+i) k .
27