Giáo trình toán tài chính phần 2 đh kinh doanh công nghệ hà nội

Chương V

Thanh toán nợ thông thường
Đ1. Đại cương
1. Phương thức vay vốn
Để huy động một nguồn vốn, thường có hai phương thức sau:
Người đi vay vay vốn của một chủ nợ. Chủ nợ có thể là một người, một ngân
hàng, thậm chí cả một tập đoàn ngân hàng hoặc một tổ chức tài chính.
Khoản vay như vậy được gọi là vay nợ thông thường.
Các ngân hàng, công ty, Nhà nước,... cần có một nguồn vốn lớn sẽ phát hành
trái phiếu. Do đó có rất nhiều các chủ nợ. Khoản vay đó được gọi là vay nợ
trái phiếu.
Chương V đề cập đến việc thanh toán nợ thông thường. Thanh toán nợ trái phiếu sẽ được
nêu trong chương VI
2. Phương thức và công thức thanh toán nợ thông thường
Có nhiều cách thanh toán: trả một lần, trả dần làm nhiều lần. Trong phần này ta xét đến
việc thanh toán trả dần nhiều lần bằng các niên kim.
Mỗi niên kim gồm hai phần:
phần trả hết số tiền lãi do số dư nợ sinh ra trong thời kỳ
phần thanh toán nợ gốc
Trường hợp số tiền niên kim lại nhỏ hơn số tiền lãi phát sinh, ta vẫn phải bảo đảm trả hết
phần lãi đó và như vậy số dư nợ tăng lên. Do đó, phần thanh toán nợ gốc có thể mang
giá trị âm.
Gọi D0 là số tiền vay ban đầu. Đó chính là số dư nợ tính ở thời điểm 0. Gọi a k là niên
kim cuối thời kỳ thứ k, m k là khoản thanh toán nợ gốc ở thời kỳ thứ k, D k là số dư nợ sau
khi thực hiện niên kim a k.
Giả sử i là lãi suất một thời kỳ và I k là số tiền lãi phải trả hết do số dư nợ D k-1 sinh ra.
Vậy Ik = D k-1. i
Gọi n là số các niên kim dùng để thanh toán hết khoản nợ D 0.
Ta có các công thức sau:
Ik = Dk-1. i,

ak = Ik + mk, Dk = Dk-1 - mk
(1)
D0 = m1 + m2 + ...+ m n
(2)
Dn = 0
(3)
55


3. Bảng thanh toán nợ
Để dễ theo dõi việc thanh toán nợ, ta lập Bảng thanh toán nợ. Trong bảng cần thể hiện
liên tiếp các niên kim với hai thành phần của nó và số dư nợ.
Do đó bảng có 5 cột sau: Thời kỳ, Niên kim, Lãi, Thanh toán nợ gốc, Số dư nợ.
Bảng thanh toán nợ
Thời kỳ

Niên kim

Lãi

Thanh toán nợ gốc

Số dư nợ

(k)

(ak)

(Ik)

(mk)

(Dk)

0

D0

1

a1 = I1 + m 1

I1 = D 0 . i

m1

D1 = D 0 - m 1

2

a2 = I2 + m 2

I2 = D 1 . i

m2

D2 = D 1 - m 2

ak = Ik + m k

Ik = Dk-1. i

mk

Dk = Dk-1 - mk

an = In + m n

In = Dn-1. i

mn

Dn = Dn-1 - mn = 0

.....
k
.....
n

Bảng trên được thiết lập cho mọi trường hợp, cho mọi cách thức thanh toán bằng niên
kim.

Đ2. Thanh toán nợ thông thường
1. Quan hệ giữa niên kim và phần thanh toán nợ gốc
Theo công thức (1), ta có:
ak+1
= Ik+1 + mk+1 = Dk. i + mk+1 = (Dk-1 - mk). i + m k+1
ak
= Ik + mk = Dk-1. i + mk
Trừ các vế của hai hệ thức trên:

ak+1 - ak = mk+1 - mk.i - mk
Cuối cùng
ak+1 - ak = mk+1 - mk(1+i)

(4)

Mệnh đề 1:
a) Khi các niên kim cố định, các khoản thanh toán nợ gốc lập thành một cấp số
nhân với công bội q = 1+i.

56


b) Khi các khoản thanh toán nợ gốc cố định, các niên kim lập thành một cấp số
D .i
cộng với công sai d = - 0
n
Chứng minh:
a) Vì a j = a = const, nên a k+1 - ak = 0.
Từ (4) ta có m k+1 = mk(1+i) hay m k là một cấp số nhân với công bội q = 1+i
b/ Vì m j = m = const, nên m =

D0
n

Từ (4) ta có a k+1 - ak = m - m(1+i) = -m.i = Dãy a k là một cấp số cộng với công sai d = -

D 0 .i
D i
hay a k+1 = ak + 0

n
n
D 0 .i
n

Mệnh đề 2:
Khi các niên kim cố định, mỗi niên kim được tính bởi công thức:
i
a = D0 .
(5)
1 (1 i) n
Chứng minh:
Khi các niên kim là cố định, ta có m k là một cấp số nhân.
Mặt khác D 0 = m1 + m2 + ...+ m n là tổng n số hạng của một cấp số nhân, nên:

D 0 m1

qn 1
(1 i) n 1
i
m1
m1 D 0
q 1
i
(1 i) n 1

Ta có:
a = a1 = m1 + I1 = m1 + D0.i = D 0
= D 0.i

i
+ D0.i = D0.i
(1 i) n 1



1

1
n
(1 i) 1

D 0 .i
(1 i) n
.

n
(1 i) 1 1 (1 i) n

Đó chính là công thức (5)
Chú thích:
* Trong khi chứng minh mệnh đề 2, ta còn tìm được kết quả sau:
Khi các niên kim cố đị nh, khoản thanh toán nợ gốc đầu tiên được tính bằng:
i
m1 = D 0
(1 i) n 1
(6)
* Trong công thức (5), giá trị của biểu thức

i

được cho trong Bảng V.
1 (1 i) n

57


2. Các quy tắc cơ bản
Quy tắc 1: (Sự tương đương ở thời điểm n, thời điểm kết thúc vay nợ)
Giá trị thu được của khoản vốn vay tính ở thời điểm n bằng tổng các số tiền thu
được của tất cả các niên kim dùng để thanh toán nợ.
n

D 0 (1 i) n a k (1 i) n k

(7)

k 1

Chứng minh:
Xét dãy niên kim a k (k=1,,n) và lập sơ đồ sau:
0

1

2

n-1

n

-----|--------|---------|--------------------------|---------|---------------------a1

a2

an-1

an

|-------->|

an-1(1+i)

|----------------------------------->|

a2(1+i)n-2

|-------------------------------------------- >|

a1(1+i)n-1

D0 |----------------------------------------------------- >|

D0(1+i)n

Tổng giá trị thu được của n niên kim {a k} (dùng để thanh toán khoản nợ) tính tại thời
điểm n là

a1(1+i)n-1 + a2(1+i)n-2 + .... + a n-1(1+i) + a n =

n

a
k 1

k

(1 i ) n k

Giá trị thu được của khoản nợ D 0 tính tại thời điểm n là D 0(1+i)n

(*)
(**)

Hai đại lượng đó phải bằng nhau. Từ đó có (7).

Quy tắc 2: (Sự tương đương ở thời điểm 0, thời điểm bắt đầu vay nợ)
Số tiền nợ khi đi vay bằng tổng các giá trị hiện tại tính tại thời điểm gốc của tất
cả các niên kim dùng để thanh toán nợ.
n

D 0 a k (1 i) k

(8)

k 1

Chứng minh:
Nhân hai vế (7) với (1+i) -n, ta có (8).
58

Quy tắc 3: (Sự tương đương ở thời điểm p với 0 < p < n)
Số dư nợ sau khi thực hiện niên kim thứ p bằng hiệu của số tiền thu được của
khoản vốn vay ban đầu tính ở thời điểm p và tổng các số tiền thu được của t ất cả
niên kim đã được thực hiện tính tại thời điểm p.
p

D p D 0 (1 i) p a k (1 i) p k

(9)

k 1

Chứng minh:
Xét các niên kim a 1, a2,, ap. Đó là các niên kim dùng để thanh toán nợ cho đến thời kỳ
p. Tại thời điểm p, số dư nợ là D p. Ta có sơ đồ sau:
0
1
2
p-1
p
p+1
-----|--------|---------|--------------------------|---------|---------|------------D0

Dp
a1

a2

ap-1

ap

|---.---->|

ap-1(1+i)

|---------------------------------->|

a2(1+i)p-2

|------------------------------------------->|

a1(1+i)p-1

D0 |---.------------------------------------------------- >|

D0(1+i)p

Tổng giá trị thu được của p niên kim {a k: k=1,..p} tính tại thời điểm p là
a1(1+i)p-1 + a2(1+i)p-2 +.+ ap =

p

a (1 i)
k 1

k

pk

Giá trị thu được của khoản nợ D0 tính tại thời điểm p là D 0(1+i)p.
Vậy
D0(1+i)p =

p

a (1 i)
k 1

k

pk

+ Dp . Từ đó có (9).

Quy tắc 4: (Sự tương đương ở thời điểm p với 0 < p < n)
Số dư nợ sau khi thực hiện niên kim thứ p bằng tổng các giá trị hiện tại tính tại
thời điểm p của tất cả (n-p) niên kim sắp được thực hiện
n p

D p a p j (1 i) j

(10)

j1

59

Chứng minh:
Xét các niên kim a p+1, ap+2,, an dùng để bảo đảm cho việc thanh toán khoản nợ D p.
Lập sơ đồ sau:
p
p+1 p+2
n
----------|---------|----------|------------------------|-------Dp
ap+1
ap+2
an
ap+1(1+i) -1
|<-------|
..
|<------------------|
-(n-p)
-(n-p)
an(1+i)
= ap+(n-p)(1+i)
|<------------------------------------------- |
Tổng giá trị (n-p) niên kim đó tính tại thời điểm p là
ap+1(1+i) -1+ ap+2(1+i) -2 +.+ ap+(n-p)(1+i)-(n-p) =

n-p

a
j=1

p+j

(1+i) -j

Vì số tiền này dùng để thanh toán phần dư nợ D p, nên
Dp =

n-p

a
j=1

p+j

(1+i)-j . Ta được (10)

Nhận xét:
a) Nếu a j = a = const, thì từ (8) ta có
n

D 0 a (1 i) k a (1 i) 1
k 1

(1 i) n 1
1 (1 i) n
(1 i) n 1
(11)

a

a
i
(1 i) 1 1

i(1 i) n

Đó chính là công thức (5)
b) Nếu dãy a k lập thành một cấp số nhân với công bội q = 1+i, thì a k = a1(1+q)k-1
Từ (8) ta có
n

n

k 1

k 1

D 0 a 1 (1 i) k -1 (1 i ) k a 1 (1 i) -1 na1 (1 i ) 1

(12)

3. Ví dụ
Một xí nghiệp vay một khoản tiền 1.000.000 USD, với lãi suất 6%, được thanh toán
bằng 6 niên kim cố định. Niên kim thứ 1 được thực hiện một nă m sau ngày ký hợp đồng
vay vốn. Hãy lập bảng thanh toán nợ.
Giải:
Vì ak = a, nên
D 0 .i
1.000.000 x 0,06
a=

203.362,60 USD
n
1 (1 i)

1 1,06 6

60


Đồng thời
I1 = D0.i = 60.000
n1 = a1 - I1 = a - I1 = 203.362,60 - 60.000 = 143.362,60
D1 = D0 - m1 = 856.637,40
Bảng thanh toán nợ

k

ak

Ik

mk

0

Dk
1.000.000,00

1

203.362,60

60.000,00

143.362,60

856.637,40

2

203.362,60

51.398,24

151.964,36

704.673,04

3

203.362,60

42.280,38

161.082,22

543.590,82

4

203.362,60

32.615,45

170.747,15

372.843,67

5

203.362,60

22.370,62

180.991,98

191.851,69

6

203.362,79

11.511,10

191.851,69

0,00

Chú ý:
Vì phải bảo đảm thanh toán hết nợ, nên ta điều chỉnh ở a 6
4. Thanh toán nợ bằng các niên kim cố định (a k = a = const)
a) Các kết quả đã có:
m k là một cấp số nhân với công bội q = 1+i
m1 D 0

a D0

i
;
(1 i) n 1

i
1 - (1 i) - n

;

m k m 1 (1 i) k 1

D0 a

(1 i) n 1
i(1 i) n

b) Tình hình thanh toán nợ
Sau khi thực hiện niên kim thứ p, gọi R p là khoản tiền đã thanh toán được và D p là số dư
nợ. Ta thiết lập các công thức tính R p và Dp.
Ta có:

R p m 1 .... m p m 1

(1 i) p 1
i
(1 i) p 1
(1 i) p 1

D0
x

D
0
(1 i) 1
i
(1 i) n 1
(1 i) n 1

Vậy

R p D0

(1 i) p 1
(1 i) n 1

(13)

61


Ta có:

(1 i) p 1
(1 i) n (1 i) p
D p D 0 R p D 0 1

D
0

n
(1 i) n 1
(1 i) 1
(1 i) n 1 (1 i) n (1 i) p
a
i(1 i) n
(1 i) n 1
Vậy

Dp a

1 - (1 i) p - n
i

(14)

c) Ví dụ:
Một khoản nợ được thanh toán bằng 10 niên kim cố định. Khoản thanh toán nợ gốc thứ
1 là 79.504,60 USD và khoản thanh toán nợ gốc thứ 3 là 87.653,8125 USD. Tìm:
Lãi suất vay nợ
Số tiền vay nợ lúc ban đầu, biết a = 129.504,60 USD
Khoản thanh toán nợ gốc cuối cùng
Số dư nợ sau khi thực hiện niên kim thứ 4
Giải:
m
87.653,812 5
* m3 = m1(1+i) 2 (1 i) 2 3
1,1025
m1

79.504,60
Bảng I cho i = 5%
* D0 a

(1 i) n 1
1,0510 1

129.504,60
1.000.000U SD
i(1 i) n
0,05(1,05) 10

Cách khác:
a = a 1 = D 0i + m 1 D 0 =

a m 1 129.504,60 79.504,60

1.000.000
i
0,05

* D9 - m10 = D10 = 0 m10 = D9
Ta lại có
a10 = D9i + m10 = m10(1+i)
Vậy

m 10

a 10
a

129.504,60


123.337,40 USD
1 i 1 i
1,05

62


* D4 a

1 (1 i) 410
1 1,05 6
129.504,60
657.325,47 USD
i
0,05

Chú thích:
Khoản thanh toán nợ gốc cuối cùng sẽ là
a
mn = n
(15)
1 i
Quả vậy:
Từ Dn = Dn-1 - mn = 0, ta có D n-1 = mn .
Từ an = Dn-1i + mn = mni + mn = mn(1+i), suy ra điều phải chứng minh.
Do đó, nếu a k = a thì khoản thanh toán nợ gốc cuối cùng sẽ là
a

mn
1 i
5.. Thanh toán nợ với các khoản thanh toán nợ gốc cố định (m k = m = const)
Vì D0 = m1 + m2 + ...+ m n = n.m, nên m

D0
n

Dãy a k là một cấp số cộng với công sai d =
a k 1 a k

D 0i
, nên
n

D 0i
n

Ta có:
a 1 = I 1 + m 1 = D 0i +

D0
1
D 0 (i )
n
n

Ví dụ:
Lập bảng thanh toán nợ với khoản thanh toán nợ gốc cố định, biết rằng
D0 = 500.000 euro,

i = 5%,
n=5
Giải:
D0
100.000 ,
n
D i
500.000 x 0,05
d = 0
5000
n
5
a1 = D0i + m1 = 500.000 x 0,05 +100.000 = 125.000

D0 = 500.000,

m=

63


Bảng thanh toán nợ
k

ak

Ik

mk

Dk

0

500.000

1

125.000

25.000

100.000

400.000

2

120.000

20.000

100.000

300.000

3

115.000

15.000

100.000

200.000

4

110.000

10.000

100.000

100.000

5

105.000

5.000

100.000

0

Đ3. Một vài phương thức thanh toán đặc biệt
1. Vay nợ với tiền lãi trả trước
a) Trường hợp tổng quát
Việc thanh toán vẫn được tiến hành bằng n niên kim a k, nhưng lãi được trả trước. Như

vậy khi ký hợp đồng vay số tiền D 0, người đi vay đã phải trả ngay khoản tiền lãi phát
sinh trong thời kỳ đầu.
Ta phải thay đổi công thức tính ở (1) như sau:
Ik = D k i
(k = 0,1...,n)
Như vậy
In = D n i = 0

k
0
1
...
k
...
n-1
n

ak
a1 = D1i + m1
ak = Dki + mk
an-1 = Dn-1i + mn-1
am = mn

Bảng thanh toán nợ
Ik
mk
I0 = D 0 i
I0 = D 1 i
m1

Dk
D0
D1 = D 0 - m 1

Ik = Dki

mk

Dk = Dk-1 - mk

In-1 = Dn-1i
In = 0

mn-1
mn

Dn-1 = Dn-2 - mn-1
Dn = Dn-1 - mn = 0

Bảng trên được thiết lập cho mọi trường hợp thanh toán
64


b) Trường hợp riêng: Các niên kim cố định a k = a = const
Ta có :
ak+1 = ak



Dk+1i + mk+1 = Dki + mk

mk+1 + (Dk+1 - Dk)i = mk
mk+1 - mk+1 i = mk
mk+1 = mk (

1
)
1 i

Như thế m k lập thành một cấp số nhân với công bội
Vì

1
1 i

1
1
i
> 1, nên khi viết
= 1 + r, ta sẽ có r =
1 i
1 i
1 i

Do đó
mk+1 = mk(1+r)
hay {m k} lập thành một cấp số nhân với công bội 1+r.
Vì D 0 m 1 ... m n m 1

(1 r) n 1
r

, nên m 1 = D 0
r
(1 r) n 1

Ta còn có:
a = a n = mn = m1(1+r)n-1 = D 0

r(1 r) 1
r
n-1
.
(1+r)
=
D
0
1 (1 r) n
(1 r) n 1

c) Ví dụ:
Lập bảng thanh toán nợ với các niên kim cố định, lãi trả trước, biết
D0 = 40.000 USD,

i = 5%,

n=5

Giải:
r=

i

0,05

0,05263
1 i 1 0,05

m1 = D 0

r
0,05263
= 40.000
= 7.201,06 7.201
n
(1 r) 1
(1,05263) 5 1

a = m5 = m1(1+r)4 = 7.201,06 x (1,05263) 4 = 8.841
I0 = D0i = 40.000 x 0,05 = 2.000
I1 = a1 - m1 = 8.841 - 7.201 = 1.640
D1 = D0 - m1 = 40.000 - 7.201 = 32.799

65


k
0
1
2
3
4
5

ak
8.841
8.841
8.841
8.841
8.841

Bảng thanh toán nợ
Ik
mk
2.000
1.640
7.201
1.261
7.580
862
7.979
442
8.399
0
8.841

Dk
40.000
32.799
25.219
17.240
8.841
0

2. Thanh toán nợ gốc một lần
Tuy việc trả số tiền vay D 0 được thực hiện một lần, vào lần cuối cùng, nhưng do D 0 khá
lớn, nên người đi vay phải lập một quỹ ngầm (sinking fund), để chuẩn bị cho việc thanh
toán nợ.
Thông thường người đi vay gửi đều đặn vào ngân hàng m ột số tiền cố định sao cho khi
kết thúc thời hạn đi vay thì quỹ ngầm đủ bảo đảm thanh toán hết khoản nợ đã vay.
Giả sử thời hạn vay D 0 là n thời kỳ. Có 2 trường hợp:
Cuối mỗi kỳ, người đi vay phải trả một khoản lãi I = D 0i cho chủ nợ. Niên
kim cuối cùng thanh toán hết nợ gốc,
Trả một lần cả gốc lẫn lãi.
Gọi i là lãi suất ngân hàng, nơi người đi vay chuẩn bị quỹ ngầm. Ta tính số tiền cần gửi
vào ngân hàng tương ứng với hai trường hợp trên:
a) Gọi a là số tiền cố định mà người đó gửi vào ngân hàng cuối mỗi thời kỳ.
Do tiền lãi được trả cho chủ nợ từng thời kỳ, nên dãy n niên kim a' chỉ để chuẩn bị trả
cho khoản nợ gốc D 0, hay D0 là giá trị thu được của dãy niên kim cố định. Ta đã có công
thức
a'

(1 i' ) n 1
i'
D 0 a' D 0
i'
(1 i' ) n 1

Do đó người đi vay, trên thực tế, phải chuẩn bị các niên kim a k là
ak = a + I
Phần lãi I = D 0i trả cho chủ nợ, phần a gửi vào ngân hàng.
b) Vào cuối thời kỳ n, giá trị thu được của khoản vay ban đầu là D 0(1+i)n. Do đó
D0(1+i)n phải bằng giá trị thu được của dãy n niên kim a. Vậy

a'

(1 i' ) n 1
i'
D 0 (1 i) n a' D 0 (1 i) n
i'
(1 i' ) n 1

66


Chương VI

Thanh toán nợ trái phiếu
Đ1. Đại cương
Khi cần huy động một nguồn vốn lớn, người đi vay (ngân hàng, xí nghiệp, Chính
phủ,) phát hành trái phiếu.
Trái phiếu là một giấy chứng nhận do người đi vay xác nhận một phần vốn vay trong
một khoản vay lớn dài hạn. Trái phiếu là một loại chứng khoán. Người chủ nợ (người
chủ trái phiếu) có thể thu hồi vốn trước thời hạn (khi trái phiếu của họ chưa được thanh
toán) bằng cách chuyển nhượng trái phiếu trên thị trường chứng khoán.
Trái phiếu có các đặc điểm sau:
Mệnh giá: duy nhất đối với một loại trái phiếu, mệnh giá trái phiếu thường
nhỏ để dễ phát hành
Cupông: tiền lãi tính trên mệnh giá với lãi suất trái phiếu
Giá phát hành: thấp hơn hoặc bằng mệnh giá
Giá thanh toán: cao hơn hoặc bằng mệnh giá. Nhiều trường hợp giá thanh
toán tăng dần theo các đợt thanh toán. ở đây ta xét giá thanh toán cố định
Tiền bù thanh toán (tiền khuyến khích): Hiệu giữa giá thanh toán và giá phát

hành
Với các trái phiếu dài hạn thường thanh toán hàng năm bằng các niên kim qua việc quay
số, bốc thăm từng đợt.

Đ2. Lý thuyết chung về thanh toán nợ trái phiếu
1. Cơ sở dữ liệu
Đối với một khoản nợ trái phiếu, ta có các dữ liệu sau:
a) N : Số lượng trái phiếu phát hành
b) C : Mệnh giá của mỗi trái phiếu
c) i : Lãi suất trái phiếu
d) c : Cupông trả cho mỗi trái phiếu c=Ci
e) E : Giá phát hành mỗi trái phiếu E C
f) R : Giá thanh toán mỗi trái phiếu R C
g) Ak : Số lượng các trái phiếu được thanh toán trong đợt k
67


h) Rk : Số lượng các trái phiếu đã được thanh toán cho đến hết đợt k
i) Nk : Số lượng các trái phiếu còn lưu thông (chưa được thanh toán) sau đợt k
j) ak : Niên kim thứ k. Đó là số tiền thanh toán đợt k bao gồm:
* Ik : số tiền trả cupông cho N k-1 trái phiếu còn đang lưu thông đến thời
điểm thanh toán
* m k : số tiền thanh toán cho A k trái phiếu.
Như vậy
ak = Ik + mk = cNk-1 + RAk
Ta lập bảng sau để theo dõi hai dữ liệu quan trọng a k và Nk
k
1
2

k

n

ak
a1 = cN + RA 1
a2 = cN1 + RA2

Nk
N1 = N - A 1
N2 = N 1 - A 2

ak = cNk-1 + RAk

Nk = Nk-1 - Ak

an = cNn-1 + RAn

Nn = Nn-1 - An = 0

2. Các công thức
n

N Ak

(1)

ak-1 - ak = R [Ak+1 - Ak(1+r)]

(2)

k 1

n

RN a k (1 r) k

với r =

k 1

c
R

(3)

Chứng minh:
a) Có n đợt thanh toán. Mỗi đợt có A k (k=1,,n) trái phiếu được thanh toán.
Số lượng trái phiếu phát hành là N. Vậy
N = A1 + A2 + . + An .
Ta được (1)
b) Tính
ak-1 - ak = (cNk + RA k+1) - (cNk-1 + RAk)
= RAk+1 - RAk - c(Nk-1-Nk)
= RAk+1 - RAk - cAk
c
= R [Ak+1 - Ak(1+ )]
R
= R [Ak+1 - Ak(1+r)]
Ta được (2)

68


c) Trước hết ta chứng min h hệ thức tổng quát sau bằng quy nạp:
k

RNk = RN(1 r) k a j (1 r) k - j

(k=1,,n)

(*)

j1

Với k = 1, (*) trở thành
RN1 = RN(1+r) - a1
R(N-A1) = RN(1+

c
) - a1
R

- RA1 = Nc - a1
a1 = cN + RA 1

(Đúng)

Giả sử đã có (*) với k. Nhân hai vế với (1+r) sau đó trừ đi a k+1:
k

RNk(1+r) - ak+1 = RN(1 r) k 1 a j (1 r) (k 1)- j - ak+1
j1

RNk(1+

c
) - ak+1
R

k 1

= RN(1 r) k 1 a j (1 r) (k 1)- j

(**)

j1

Vế phải (**) chính là vế phải (*) với (k+1)
Xét vế trái (**)
RNk(1+

c
) - ak+1 = RN k + cNk - ak+1 = RNk - cNk - ( cNk + RAk+1)
R
= R (Nk - Ak+1) = RN k+1

Đó là vế trái của (*) cho (k+1). Hệ thức (*) được chứng minh.
Sử dụng (*) với k=n và chú ý N n = 0, ta có
n

RN(1 r) n a k (1 r) n j
j1

Khi nhân hai vế với (1+r) -n, ta được (3).
Chú thích:
c Ci
=
nên khi C < R thì r < i và khi C = R thì r = i
R R



Từ r =



Từ Nn = Nn-1 - An = 0, ta có N n-1 = An . Vậy
an = cNn-1 + RAn = cAn + RAn = An(c+R) = A n(rR + R) = RA n(1 + r).
Niên kim cuối cùng sẽ được tính bởi A n =

69

an
R(1 r)


3. Một số trường hợp thanh toán đặc biệt
a) Thanh toán bằng các niên kim cố định a k = a = const
Ak+1 = Ak(1+r), hay dãy {Ak} lập thành một cấp số nhân

* Từ công thức (2) ta có
với công bội q = 1+r. Vậy

Ak = A1(1+r)k-1
N là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân, nên

(1 r) n 1
(1 r) n 1
A1
(1 r) 1
r

N A1

Số trái phiếu thanh toán lần đầu là

r
(1 r) n 1

A1 N

(4)

* Số trái phiếu thanh toán đợt k là
Ak N

r
(1 r) k 1
(1 r) n 1

(5)

* Từ (3) ta có
n

RN a (1 r) k a
k 1

1 (1 r) n
r

suy ra số tiền thanh toán mỗi đợt:

a RN

r
1 (1 r) n

(6)

* Số lượng trái phiếu đã được thanh toán cho đến hết đợt k:
k

R k A j A1
j1

Rk N

(1 r) k 1
r

(1 r) k 1
N
(1 r) 1
r
(1 r) n 1

(1 r) k 1
(1 r) n 1

(7)

* Sau đợt k, số lượng trái phiếu còn đang lưu thông (chưa thanh toán):

Nk

n

Aj N Rk = N N

j k 1

Nk N

(1 r) k 1
(1 r) n 1

(1 r) n (1 r) k
(1 r) n 1

* Số lượng trái phiếu thanh toán đợt cuối cùng A n =

70

(8)

a
R(1 r)


b) Số lượng trái phiếu thanh toán mỗi đợt cố định A k = const
N
Có tất cả n đợt thanh toán, nên A k= . Từ (2), ta có
n
N N
N
N c
N
ak-1 - ak = R [ - (1+r)] = - R r = - R
=-c
n n
n
n R
n
N
Vậy dãy {ak} lập thành một cấp số cộng với công sai d = - c .
n
Dễ dàng tìm được a 1 và ak:
N
R
a1 = cN + RA 1 = cN + R

= N (c+ )
n
n
R
N
ak = a1 + (k-1)d = N (c+ ) + (k-1)( - c )
n
n
4. Bảng thanh toán nợ
Bảng thanh toán nợ trái phiếu được thiết lập như bảng thanh toán nợ thông thường. Tuy
nhiên cần điều chỉnh làm tròn để số lượng trái phiếu thanh toán mỗi đợt là một số
nguyên dương. Mặt khác, khi lập bảng thanh toán cần bi ết số lượng trái phiếu còn đang
lưu thông (chưa được thanh toán) sau mỗi đợt.
Bảng có các cột sau:
Thời kỳ
:k
Niên kim (Số tiền thanh toán)
: a k = Ik + m k
Lãi (Tiền trả các cupông)
: Ik = cNk-1
Thanh toán trái phiếu gốc
Số lượng trái phiếu
: Ak
Số tiền
: mk = RAk
Số dư trái phiếu chưa thanh toán
: Nk = Nk-1 - Ak

Thời
Niên kim

kỳ
(k)
(ak = Ik+ mk)
0
1
a1 = cN0 + RA1

k
ak = cNk-1+ RAk
.
n
an

Lãi

Thanh toán
trái phiếu gốc
Số lượng
Số tiền
(Ak)
(mk)

I1 = cN0

A1

m1 = RA1

Số dư trái phiếu
chưa thanh toán

(Nk)
N0 = N
N1 = N 0 - A 1

Ik = cNk-1

Ak

mk = RAk

Nk = Nk-1 - Ak

In

An

mn

(Ik)

71

Nn = 0


Ví dụ:
Một công ty phát hành 10.000 trái phiếu có mệnh giá 200 USD, lãi suất 4,5%, thanh
toán bằng 6 đợt với niên kim bằn g nhau. Biết giá thanh toán cho mỗi trái phiếu là 225
USD, lập bảng thanh toán trái phiếu
Giải:

Khi thanh toán với các niên kim cố dịnh, dãy {Ak} lập thành một cấp số nhân với công
bội q = 1+r.
Các dữ liệu đã cho:
N = 10.000,

C = 200,

c = Ci = 9,

r=

R = 225,

i = 0,045,

n = 6,

c
= 0,04
R

Từ (4), về mặt lý thuyết số trái phiếu thanh toán đợt đầu là:
A1 N

r
0,04
10.000
10.000
10.000 x

1507,619
n
6
6
(1 r ) 1
1,04 1 1,04 1 6,632975
0,04

Lần lượt tính A k = A1 (1,04)k-1 và làm tròn kết quả:
A1 = 1507,619 1508
A2 = 1507,619x1,04 = 1567,924 1568
A3 = 1567,924x1,04 = 1630,641 1631
A4 = 1630,641x1,04 = 1695,867 1696
A5 = 1695,867x1,04 = 1763,701 1764
A6 = 1763,701x1,04 = 1834,249 1834
Tổng A1+A2+A3+A4+A5+A6 = 10.001
Thừa 1 trái phiếu, nên ta điều chỉnh như sau:
A1 = 1507,

A2 = 1568,

A3 = 1631,

A4 = 1696,

A5 = 1764,

A6 = 1834

72


Bảng thanh toán trái phiếu
Thời
kỳ

Thanh toán trái phiếu gốc
Niên kim

Lãi

Số lượng

Số tiền

Số trái phiếu còn
lưu thông

(k)

(ak)

(Ik)

(Ak)

(mk=RAk)

(Nk)

0

10.000

1

429.075

90.000

1.507

339.075

8.493

2

429.237

76.437

1.568

352.800

6.925

3

429.300

62.325

1.631

366.975

5.294

4

429.246

47.646

1.696

381.600

3.598

5

429.382

32.382

1.764

396.900

1.834

6

429.156

16.506

1.834

412.650

0

10.000

2.250.000

5. Tình hình thanh toán trái phiếu
Để theo dõi việc thanh toán trái phiếu, cần biết hai đại lượng: số trái phiếu đã thanh toán
cho đến hết đợt k hoặc số trái phiếu còn lưu thông sau khi thanh toán đợt k.
a) Trường hợp a k = a
Trong phần 3 ta đã tìm được:
(1 r) k 1
;
Rk N
(1 r) n 1

(1 r) n (1 r) k
Nk N
(1 r) n 1

b) Trường hợp a k = a và R = C (thanh toán ngang mệnh giá)
Khi R = C thì r = i, nên

Rk N

(1 i) k 1
;
(1 i) n 1

Nk N

(1 i ) n (1 i ) k
(1 i) n 1

Ví dụ:
Một khoản nợ trái phiếu với 10.000 trái phiếu, mệnh giá 200 USD, lãi suất 5,75%, giá
thanh toán 230 USD, được thanh toán bằng 15 niên kim cố định. Tính số trái phiếu còn
chưa thanh toán sau đợt 8.
Giải:
Các dữ liệu đã cho:
N = 10.000, C = 200,
R = 230,
i = 0,0575,
n = 15,
c

11,50
c = Ci = 11,50,
r=
=
= 0,05
R
230

73


Từ (8) ta có

N8 10.000

(1,05)15 (1,05)8
= 5574,72
(1,05)15 1

Chọn N8 = 5575. Sau đợt 8, còn 5575 trái phiếu chưa thanh toán.

Đ3. Một số đặc trưng về thời hạn của trái phiếu
1. Median của trái phiếu
Median của trái phiếu là khoảng thời gian để thanh toán được một nửa số trái phiếu phát
hành.
N
Gọi p là median thì Rp =
2
Nếu ak = a , thì R p = N

(1 r) p 1
. Vậy ta có phương trình
(1 r) n 1

N

(1 r) p 1 N

(1 r) n 1 2

Giải phương trình này, ta nhận được:
1
ln{1 [(1 r) n 1]}
2
p=
ln(1 r)
Cũng có thể dùng Bảng III, khi viết

(9)

(1 r) p 1 1 (1 r) n 1

r
2
r
Sau đó làm tròn để p nguyên dương.
Ví dụ:
Tìm median của trái phiếu có mệnh giá 200 USD, lãi suất 5,75%, giá thanh toán 230
USD bằng 18 niên kim cố định.
Giải:

Từ C = 200, R = 230, i = 0,0575 ta có
c 11,5
c = Ci = 200x0,0575 = 11,5,
r=
=
= 0,05
R 230
Vậy

(1,05) p 1 1 (1,05) 18 1
= 0,5x28,132385 = 14,0661925

0,05
2
0,05
Tra Bảng III thì 10 < p < 11. Vậy ta chọn (chẳng hạn) p = 11
74


2. Thời hạn trung bình của trái phiếu
a) Thời hạn trung bình của trái phiếu là khoảng thời gian lưu thông trung bình của trái
phiếu.
Như thế có A1 trái phiếu lưu thông 1 thời kỳ, A 2 trái phiếu lưu thông 2 thời kỳ, , An trái
phiếu lưu thông n thời kỳ.
Gọi n là thời hạn trung bình, thì
n

n

kA

k 1

k

(10)

N

b) Thời hạn trung bình của trái phiếu khi các niên kim cố định
Nếu ak = a thì dãy {Ak} lập thành một cấp số nhân với công bội q = 1+r.
Khi đó A k = A1(1+r)k-1, từ (10) và (8) ta có
A n
r
1 n
r
n 1 k(1 r) k 1 N
k(1 r) k 1
S

n
N k 1
(1 r) 1 N k 1
(1 r) n 1
Ta tính tổng S =

n

k(1 r)

k 1

như sau:

k 1

S
= 1 + 2(1+r) + 3(1+r) 2 +..+ n(1+r) n-1
S(1+r)
= (1+r) + 2(1+r) 2 + 3(1+r)3 +..+ n(1+r) n
S(1+r) - S = Sr = n(1+r)n - [1 + (1+r) + (1+r) 2 +.+ (1+r)n-1]
= n(1+r)n -

(1 r) n 1
(1 r) 1

Vậy

(1 r) n 1
1
[ n(1+r)n ]
r
r
Cuối cùng, thời hạn trung bình là:
S=

n

n(1 r) n
1
(1 r) n 1

1
r
n
[
n(1+r)
]
=
(*)
n
n
r
(1 r) 1 r
(1 r) 1 r

n

r
1
[n
1]
r
1 - (1 r) -n

hoặc từ (*) n

(11)

n [(1 r) n 1] n 1

r

(1 r) n 1

1
n
n (n - ) +
r (1 r) n 1

(11)

75


c) Thời hạn trung bình của trái phiếu khi số trái phiếu thanh toán mỗi đợt cố định
N
Nếu Ak = const thì A k =
. Do đó từ (10)
n
N n
k 1 (n 1)n n 1
n k 1
n


N
n
2
2
d) Ví dụ:
Tìm thời hạn trung bình của trái phiếu, biết n = 20 năm, thanh toán ngang mệnh giá với
lãi suất i = 9,5%, trong hai trường hơp:

niên kim cố định
số lượng trái phiếu thanh toán hàng năm cố định
Giải:
Vì R = C nên r = i = 0,095
Trường hợp niên kim cố định, theo công thức (11) thời hạn trung bình là:
n
20
1
1
= (20 = 13,3 năm
)+
n (n - ) +
n
r (1 r) 1
0.095
(1,095) 20 1
Trường hợp số lượng trái phiếu thanh toán hàng năm cố định, thời hạn trung bình là:
n 1 20 1
=
= 10,5 năm
n
2
2

Đ4. Lãi suất đầu tư và lãi suất giá thành
1. Khái niệm
Khi phát hành N trái phiếu với giá E, thì nguồn vốn huy động được là EN. Người phát
hành phải dùng n niên kim a k để thanh toán các trái phiếu và cupông. Như vậy giá trị
hiện tại (tại thời điểm phát hành) của dãy niên kim đó theo một lãi s uất x sẽ bằng EN.
Lãi suất x cao hơn lãi suất trái phiếu i.

Nếu bổ sung thêm một khoản tiền F mà nhà phát hành phải trả cho các chi phí, thì trên
thực tế nhà phát hành chỉ huy động được một nguồn vốn (EN - F). Khi đó lãi suất thực tế
x còn cao hơn lãi suất x.
Định nghĩa 1
Lãi suất trung bình đầu tư là lãi suất x thỏa mãn phương trình:
n

EN = a k (1 x ) k
k 1

76

(12)


Sơ đồ minh hoạ:
---------|-------------|--------------|-----------------------------------|-------EN
a1
a2
an
-1
a 1(1+x)
|<-----------|
-2
a2(1+x)
|<--------------------------|
............
an(1+x)-n |<---------------------------------------------------------------- |
Định nghĩa 2
Lãi suất giá thành là lãi suất x thỏa mãn phương trình:

EN - F =

n

a
k 1

k

(1 x ' ) k

(13)

2. Trường hợp niên kim cố định
Khi ak = a, theo công thức (6)
a RN

r
1 (1 r) n

thay vào (12), ta có
EN = RN

r
1 (1 r) n

n

(1 x)
k 1

k

RN

r
1 (1 x) n
x
1 (1 r) n

1 (1 x ) n E 1 (1 r ) n

(14)
x
R
r
Dựa vào bảng tài chính IV và phương pháp nội suy ta tìm được lãi suất trung bình đầu tư
x.
F
Ký hiệu f =
, thì f là chi phí cho một trái phiếu. Một cách tương tự ta có
N
1 (1 x' ) n E f 1 (1 r ) n

x'
R
r
Từ công thức (15) ta tìm được lãi suất giá thành x.

(15)

3. Trường hợp số trái phiếu thanh toán cố định
N
Nc
Khi Ak = const thì A k =
và dãy {a k} là một cấp số cộng công sai d = .
n
n
Nc
Thay a k = a1 -(k-1)
vào các phương trình (12) và (13), ta sẽ tìm được x và x.
n
77


4. Ví dụ
Ví dụ 1:
Công ty P&P phát hành 10.000 trái phiếu mệnh giá 200 USD, lãi suất 4,5%, thanh toán
bằng 18 niên kim cố định. Giá phát hành 199 USD, giá thanh toán 225 USD.
Tìm:


Lãi suất trung bình đầu tư



Lãi suất giá thành, khi chi phí cho mỗi trái phiếu là 6,5 USD

Giải:
Các dữ liệu đã cho:

N = 10.000,

n = 15,

C = 200,

R = 225,

f = 6,5,

i = 0,045

E = 199,

Ta có
c = Ci = 200x0,045 = 9,

r=

c
9
= 0,04

R 225

Lãi suất trung bình đầu tư tìm được từ (14):

1 (1 x) 18 E 1 (1 r ) 18 199 1 (1,04) 18 199
x12,659297

x
R
r
225
0,04
225
1 (1 x) 18
11,196545
x
Bảng IV cho biết x nằm giữa 5,50% và 5,75%. Khi sử dụng phương pháp nội suy tìm
được
x = 5,56%
Lãi suất giá thành tìm được từ (15):
1 (1 x ' ) 18 E f 1 (1 r) 18 (199 6,56) 1 (1,04) 18


x'
R
r
225
0,04
192,44

x12,659297
225

1 (1 x' ) 18
10,827356

x'
Bảng IV cho x 6%

78


Ví dụ 2:
Một công ty phát hành 40.000 trái phiếu có mệnh giá 6.000 USD. Thanh toán ngang
mênh giá bằng 10 niên kim cố định. Lãi suất 11,25%. Giá phát hành 5.960 USD. Chi
phí cho mỗi trái phiếu bằng 2% mệnh giá. Tìm lãi suất giá thành trái phiếu.
Giải:
Các dữ liệu đã cho:
N = 40.000,
n = 10,
C = R = 6.000,
E = 5.960,
i = r = 0,1125,
f = 6.000x2% = 120
áp dụng (15):

1 (1 x' ) 10 E f 1 (1 r ) 10 (5.960 120) 1 (1,1125) 10


x'
R
r
6.000
0,1125
1 (1 x' ) 10
(5840/6000)x5,828002 = 5,672588

x'
Kết hợp bảng IV và nội suy, ta tìm được x = 11,93%
5. Lãi suất đầu tư của người mua trái phiếu
Lãi suất trung bình đầu tư x được tính trên tổng thể tất cả các trái phiếu. Vậy đó là lãi
suất trung bình được tính chung cho toàn bộ n hững người đầu tư mua trái phiếu. Tuy
nhiên, đối với từng người đầu tư thì lãi suất đầu tư trái phiếu của họ còn phụ thuộc vào
thứ tự đợt thanh toán. Vì vậy, các lãi suất đầu tư của người mua trái phiếu sẽ khác nhau.
Gọi t là lãi suất đầu tư cho các t rái phiếu thanh toán đợt k. Lúc phát hành, người đầu tư
bỏ một khoản tiền E (giá phát hành) để mua một trái phiếu. Cứ sau mỗi đợt (từ đợt 1 đến
đợt k-1), người đó đươc trả cupông c = Ci. Đến đợt k, người đó được trả c và R.
Ta có sơ đồ sau:
0
1
2
k -1
k
----|------------|-------------|----------------------------|--------------|---------E
c
c
c
c+R
Tại thời điểm phát hành, phương trình tương đương đối với trái phiếu thanh toán đợt k
là:
[ c(1+t)-1 + c(1+t) -2 ++ c(1+t)-k ] + R(1+t) -k = E

1 (1 t) k
+ R(1+t) -k = E
(16)
t
Tương tự, gọi t là lãi suất đầu tư đối với các trái phiếu thanh toán đợt k, ta có phương

trình tương đương đối với trái phiếu này tại thời điểm phát hành là:
c

c

1 (1 t' ) k'
+ R(1+t ) -k = E
t'
79

(16)