Bài tập XSTK có đáp án

CHƯƠNG 1

XÁC SUẤT

1.1. Gieo đồng thời 2 con xúc xắc. Tính xác suất để :
a) Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con là 7.
b) Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con hơn kém nhau 2.
ĐS : a. 1/6

b. 2/9

1.2. Một khách có 6 phòng đơn. Có 10 khách đến thuê phòng, trong đó có 6 nam và 4 nữ. Người quản
lí chọn 6 người. Tính xác suất để :
a) Cả 6 người đều là nam.
b) Có 4 nam và 2 nữ
c) Có ít nhất 2 nữ.
d) Có ít nhất 1 nữ
ĐS : a. 1/210

b. 3/7

c. 37/42

d.209/210

1.3. Một hộp đựng 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu đỏ và 2 quả cầu đen. Chọn ngẫu nhiên 6 quả cầu. Tìm
xác suất để chọn được 3 quả trắng, 2 đỏ và 1 đen.
ĐS : 20/77
1.4. Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tìm xác suất để :
a) Tất cả 10 tấm đều mang số chẵn.
b) Có đúng 5 tấm mang số chia hết cho 3.

ĐS: a. 1/10005

b.

5
5
C10
C20
10
C30

1.5. Ở một nước có 50 tỉnh, mỗi tỉnh có 2 đại biểu Quốc hội. Người ta chọn ngẫu nhiên 50 đại biểu
trong số 100 đại biểu để thành lập một ủy ban. Tính xác suất để :
a) Trong ủy ban có ít nhất 1 đại biểu của thủ đô.
b) Mỗi tỉnh đều có đúng 1 đại biểu của ủy ban.
ĐS: : a. 0,7525

50
b. 250 /C100

1.6. Viết các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và 9 lên các tấm phiếu, sau đó sắp thứ tự ngẫu nhiên thành
một hàng.
a) Tính xác suất để được một số chẵn.
b) Cũng từ 9 tấm phiếu trên chọn ngẫu nhiên 4 tấm rồi xếp thứ tự thành hàng, tính xác suất để
được 1 số chẵn
1


ĐS : a. 4/9

b. ??

1.7. Bộ bài có 52 lá, trong đó có 4 lá Át. Lấy ngẫu nhiên 3 lá. Tính xác suất có:
a) 1 lá Át
b) 2 lá Át
ĐS : a. 0,204

b. 0,013

1.8. Một bình có 10 bi, trong đó có 3 bi đỏ, 4 bi xanh, 3 bi đen. Lấy ngẫu nhiên 4 viên. Tính xác suất
để có:
a) 2 bi xanh
b) 1 xanh, 1 đỏ, 2 đen.
ĐS: a. 90/210

b. 36/210

1.9. Có 15 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm, được bỏ ngẫu nhiên vào 3 cái hộp I, II, III, mỗi hộp 5
sản phẩm. Tính xác suất:
a) Ở hộp thứ I chỉ có 1 phế phẩm.
b) Các hộp đều có phế phẩm.
c) Các phế phẩm đều ở hộp thứ III.
1.10. Trong đề cương ôn tập môn học gồm 10 câu hỏi lý thuyết và 30 bài tập. Mỗi đề thi gồm có 1 câu
hỏi lý thuyết và 3 bài tập được lấy ngẫu nhiên trong đề cương. Một học sinh A chỉ học 4 câu lí thuyết
và 12 câu bài tập trong đề cương. Khi thi học sinh A chọn ngẫu nhiên 1 đề thi trong cấc đề thi được
tạo thành từ đề cương. Biết rằng học sinh A chỉ trả lời được câu lí thuyết và bài tập đã học. Tính xác
suất để học sinh A
a) không trả lời được lí thuyết.
b) chỉ trả lời được 2 câu bài tập.
c) đạt yêu cầu, biết rằng muốn đạt yêu cầu thì phải trả lời được câu hỏi lý thuyết và ít nhất 2 bài tập.

1.11. Chọn ngẫu nhiên một vé xổ số có 5 chữ số từ 0 đến 9. Tính xác suất số trên vé
a) Không có chữ số 1.
b) Không có chữ số 2.
c) Không có chữ số 1 hoặc không có chữ số 2.
1.12. Xếp ngẫu nhiên 5 người vào một cái bàn dài có 5 chỗ ngồi, tính xác suất
a) xếp A và B đầu bàn
b) xếp A và B cạnh nhau
ĐS: a. 0,1

b. 0,4

1.13. Một đơn vị 30 người, tính xác suất để ngày sinh của họ hoàn toàn khác nhau không xét năm
nhuận.
A30
ĐS: 365
36530
1.14. Một em bé có 5 chữ số đồ chơi tiện bằng gỗ 1, 2, 3, 4, 5. tính xác suất
a) Em bé này nhặt ngẫu nhiên 3 chữ số mà tổng các chữ số cộng lại là số chẵn
b) Em bé lấy có thứ tự 3 con số đặt cạnh nhau được 1 số chẵn
ĐS: a. 6/10

b. 2/5

1.15. Xếp ngẫu nhiên 5 người lên 1 đoàn tàu có 7 toa, tính xác suất để
2


a) 5 người cùng lên toa đầu
b) 5 người lên cùng toa
c) 5 người lên 5 toa đầu tiên

d) 5 người lên 5 toa khác nhau
e) A và B lên cùng toa đầu
f) A và B lên cùng toa
g) A và B lên cùng toa đầu, không còn ai khác trên toa đầu này
ĐS: a.1/75

b.1/74

c.120/75

d.2520/75

e.1/72

f.1/7

g.63 /75

1.16. Một máy bay có 3 bộ phận A, B, C có tầm quan trọng khác nhau. Máy bay sẽ rơi khi có một
viên đạn trúng vào A hoặc hai viên đạn trúng vào B hoặc ba viên trúng vào C. Giả sử các bộ phận A,
B, C lần lượt chiếm 15%, 30% và 55% diện tích máy bay. Bắn 3 phát vào máy bay. Tính xác suất để
máy bay rơi nếu:
a) Máy bay bị trúng 2 viên đạn.
b) Máy bay bị trúng 3 viên đạn
ĐS: a. 0,3675

b. 0,72775

1.17. Trong một bộ bài 52 lá có 4 lá át lấy ngẫu nhiên 3 lá, tính xác suất để có
a) 1 hoặc 2 lá Át

b) Ít nhất một lá Át
ĐS : a. 4800/22100

b. 4804/22100

1.18. Một công ty sử dụng hai hình thức quảng cáo là quảng cáo trên đài phát thanh và quảng cáo
trên tivi. Giả sử có 25% khách hàng biết được thông tin quảng cáo qua tivi và 34% khách hàng biết
được thông tin quảng cáo qua đài phát thanh và 10% khách hàng biết được thông tin quảng cáo qua
cả hai hình thức quảng cáo. Tìm xác suất để chọn ngẫu nhiên một khách hàng thì người đó biết được
thông tin quảng cáo của công ty.
ĐS:
1.19. Cho A, B, C là các biến cố bất kì. Chứng minh
P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C)
− P (A ∩ B) − P (B ∩ C) − P (A ∩ C)
+ P (A ∩ B ∩ C).
1.20. Một lớp sinh viên có 50% học tiếng Anh, 40% học tiếng Pháp, 30% học tiếng Đức, 20% học tiếng
Anh và tiếng Pháp, 15% học tiếng Pháp và tiếng Đức, 10% học tiếng Anh và tiếng Đức, 5% học cả ba
thứ tiếng Anh, Pháp và Đức. Chọn ngẫu nhiên ra một sinh viên. Tìm xác suất để
a) Sinh viên đó học ít nhất 1 trong 3 ngoại ngữ kể trên.
b) Sinh viên đó chỉ học tiếng Anh và tiếng Đức.
c) Sinh viên đó học tiếng Pháp, biết sinh viên đó học tiếng Anh.
ĐS:

3


1.21. Một công ty đầu tư hai dự án A và B. Xác suất công ty bị thua lỗ dự án A là 0,1, bị thua lỗ dự
án B là 0,2 và thua lỗ cả 2 dự án là 0,05. Tính xác suất công ty có đúng 1 dự án bị thua lỗ.
ĐS: 0,2
1.22. Một sinh viên phải thi liên tiếp 2 môn là triết học và toán. Xác suất qua môn triết là 0,6 và qua

toán là 0,7. Nếu trước đó đã qua môn triết thì xác suất qua toán là 0,8. Tính các xác suất
a) qua cả hai môn
b) qua ít nhất 1 môn
c) qua đúng 1 môn
d) qua toán biết rằng đã không qua triết
ĐS: a. 0,48

b. 0,82

c. 0,34

d. 0,55

1.23. Một hộp bút có 10 cây bút, trong đó có 7 cây đã sử dụng . Ngày thứ 1 người ta lấy ngẫu nhiên
từ hộp bút 1 cây để sử dụng , cuối ngày trả cây bút vào hộp, ngày thứ 2 và ngày thứ 3 cũng thực hiện
như thế. Tính xác suất :
a) sau ngày thứ 3 trong hộp không còn cây bút mới nào.
b) 3 cây bút lấy ra ở 3 ngày đều là bút đã sử dụng .
c) 2 ngày đầu lấy bút mới , ngày thứ 3 lấy bút đã sử dụng .
1.24. Có hai lô hàng. Lô I có 90 chính phẩm và 10 phế phẩm, lô II có 80 chính phẩm và 20 phế phẩm.
Lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô 1 sản phẩm. Tính xác suất để
a) Lấy được 1 chính phẩm.
b) Lấy được ít nhất 1 chính phẩm.
ĐS:
1.25. Một thiết bị có 2 bộ phận hoạt động độc lập. Cho biết trong thời gian hoạt động xác suất chỉ 1
bộ phận hỏng là 0,38 và xác suất bộ phận thứ 2 hỏng là 0,8. Tính xác suất bộ phận thứ nhất bị hỏng
trong thời gian hoạt động.
ĐS: 0,7
1.26. Ba khẩu súng độc lập bắn vào một mục tiêu, xác suất để 3 khẩu bắn trúng lần lượt bằng 0,7; 0,8
; 0,5. mỗi khẩu bắn 1 viên, tính xs để

a) một khẩu bắn trúng
b) hai khẩu bắn trúng
c) cả ba khẩu bắn trật
d) ít nhất một khẩu trúng
e) khẩu thứ nhất bắn trúng biết rằng có 2 viên trúng
ĐS : a. 0,22

b. 0,47

c. 0,03

d. 0,97

e. 35/47

1.27. Một thiết bị gồm 3 cụm chi tiết, mỗi cụm bị hỏng không ảnh hưởng gì đến các cụm khác và chỉ
cần một cụm hỏng là thiết bị ngừng hoạt động. Xác suất để cụm thứ nhất bị hỏng trong ngày làm việc
là 0,1, tương tự cho 2 cụm còn lại là 0,5 ; 0,15. Tính xs để thiết bị không bị ngừng hoạt động trong
ngày
ĐS : 0,3825
1.28. Trong một căn phòng điều trị có 3 bệnh nhân bệnh nặng với xác suất cần cấp cứu trong vòng
1 giờ của các bệnh nhân tương ứng là 0,7; 0,8; 0,9. Tính xác suất trong vòng 1 giờ có ít nhất 1 bệnh
nhân không cần cấp cứu.
ĐS: 0,496
4


1.29. Một nhà máy sản xuất linh kiện điện tử có 4 phân xưởng. phân xưởng 1 sản xuất 40%; phân
xưởng 2 sản xuất 30%; phân xưởng 3 sản xuất 20% và phân xưởng 4 sản xuất 10% sản phẩm của toàn
xí nghiệp. Tỉ lệ phế phẩm của các phân xưởng 1, 2, 3, 4 tương ứng là 1%, 2%, 3%, 4%. Kiểm tra ngẫu

nhiên một sản phẩm do nhà máy sản xuất.
a) tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt?
b) cho biết sản phẩm lấy ra kiểm tra là phế phẩm. Tính xác suất để phế phẩm đó do phân xưởng 1
sản xuất?
ĐS: a. Công thức đầy đủ

b. Công thức Bayes

1.30. Một dây chuyền lắp ráp nhận các chi tiết từ hai nhà máy khác nhau, tỷ lệ chi tiết do nhà máy
thứ nhất cung cấp là 60%, còn lại của nhà máy thứ 2. Tỷ lệ chính phẩm của nhà máy thứ nhất là 90%
của nhà máy thứ 2 là 85%. Lấy ngẫu nhiên một chi tiết trên dây chuyền và thấy rằng nó tốt, tìm xác
suất để chi tiết đó do nhà máy thứ nhất sản xuất.
ĐS: Công thức Bayes —1.31. Một cửa hàng máy tính chuyên kinh doanh 3 loại nhãn hiệu là IBM, Dell và Toshiba. Trong cơ
cấu hàng bán, máy IBM chiếm 50%; Dell 30% và còn lại là máy Toshiba. Tất cả máy bán ra có thời
hạn bảo hành là 12 tháng. Kinh nghiệm kinh doanh của chủ cửa hàng cho thấy 10% máy IBM phải sửa
chữa trong hạn bảo hành; tỷ lệ sản phẩm cần sửa chữa của hai hiệu còn lại lần lượt là 20% và 25%.
a) Nếu có khách hàng mua một máy tính, tìm khả năng để máy tính của khách hàng đó phải đem
lại sửa chữa trong hạn bảo hành.
b) Có một khách hàng mua máy tính mới 9 tháng đã phải đem lại vì có trục trặc, tính xác suất mà
máy của Khách này hiệu Toshiba
ĐS: a. Công thức đầy đủ

b. Công thức Bayes

1.32. Hai máy cùng sản xuất 1 loại sản phẩm. Tỉ lệ phế phẩm của máy I là 3% và của máy II là 2%.
Từ một kho gồm 2/3 sản phẩm của máy I và 1/3 sản phẩm của máy II lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm.
a) Tính xác suất để lấy được chính phẩm.
b) Biết sản phẩm lấy ra là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó do máy I sản suất.
1.33. Tỉ lệ người dân nghiện thuốc lá ở một vùng là 30%. Biết rằng người bị viêm họng trong số người
nghiện thuốc lá là 60%, còn tỉ lệ người bị viêm họng trong số người không hút thuốc lá là 40%. Lấy

ngẫu nhiên 1 người
a) Biết người đó viêm họng, tính xác suất để người đó nghiện thuốc.
b) Nếu người đó không bị viêm họng, tính xác suất để người đó nghiện thuốc
ĐS: a. 9/23
b.2/9
1.34. Trong 1 trường đại học có 40% sinh viên học tiếng Anh, 30% sinh viên học tiếng Pháp, trong
số sinh viên không học tiếng Anh có 45% sinh viên học tiếng Pháp. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên, biết
sinh viên đó học tiếng Pháp. Tính xác suất để sinh viên đó học cả tiếng Anh.
1.35. Có 3 hộp bi bên ngoài giống hệt nhau. Hộp I có 6 trắng, 1 đen, 2 vàng; hộp II có5 trắng, 2 đen,
3 vàng; hộp III có 4 trắng, 3 đen, 1 vàng. Lấy ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên 4 viên bi.
a) Tính xác suất 4 bi lấy ra có ít nhất 2 màu.
b) Giả sử 4 bi lấy ra cùng màu. Tính xác suất chọn được hộp I.
ĐS: a)0,9476

b) 0,7575

5


1.36. Một thùng có 20 chai, trong đó có 3 chai rượu giả. Trong quá trình vận chuyển bị mất 1 chai
không rõ chất lượng. Lấy ngẫu nhiên 1 chai trong 19 chai còn lại.
a) Tính xác suất lấy được chai rượu thật.
b) Giả sử lấy được chai rượu thật. Tính xác suất để lấy tiếp 2 chai nữa được một chai giả và một
chai thật.
ĐS: a. 0,85

b. 16/57

1.37. Hộp thứ nhất có 7 sản phẩm loại I và 3 sản phẩm loại II. Hộp thứ hai có 5 sản phẩm loại I và 3
sản phẩm loại II. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm ở hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai rồi sau đó từ hộp

thứ hai lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm thì được sản phẩm loại I. Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra từ
hộp thứ hai là sản phẩm của hộp thứ nhất bỏ vào.
ĐS:
1.38. Hộp thứ nhất có 10 bi đỏ. Hộp thứ hai có 5 bi đỏ và 5 bi xanh; Hộp thứ 3 có 10 bi xanh. Chọn
ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên không hoàn lại ra 2 bi thì được 2 bi xanh. Sau đó
cũng từ hộp này lấy ngẫu nhiên ra một bi. Tính xác suất để lấy được bi xanh?
ĐS:
1.39. Có hai lô sản phẩm. Lô thứ nhất có tỷ lệ sản phẩm loại I là 90%; Lô thứ hai có tỷ lệ sản phẩm
loại I là 70%; Chọn ngẫu nhiên một lô rồi từ lô đó lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm thì được sản phẩm
loại I. Trả lại sản phẩm đó vào lô hàng đó chọn rồi cũng từ lô đó lấy tiếp một sản phẩm nữa. Tính xác
suất để sản phẩm lấy lần thứ hai là loại I.
ĐS:
1.40. Một chiếc máy bay có thể xuất hiện ở vị trí A với xác suất 2/3 và ở vị trí B với xác suất 1/3.Có
3 phương án bố trí 4 khẩu pháo bắn máy bay như sau:
Phương án 1: 3 khẩu đặt tại A , 1 khẩu đặt tại B
Phương án 2: 2 khẩu đặt tại A , 2 khẩu đặt tại B
Phương án 3 : 1 khẩu đặt tại A , 3 khẩu đặt tại B
Biết rằng xác suất bắn trúng máy bay của mỗi khẩu pháo là 0,7 và các khẩu pháo hoạt động độc lập
với nhau , hãy chọn phương án tốt nhất.
1.41. Một sinh viên khi tốt nghiệp ra trường muốn vào làm việc ở công ty A phải lần lượt qua ba đợt
sát hạch, xác suất để người đó trượt đơt sát hạch 1,2,3 lần lượt là 0.4; 0,45; 0,55 và nếu bị đánh trướt
ở đợt sát hạch trước không được dự tiếp đợt sát hạnh tiếp theo và xem như bị loại.
a) Tính xác suất để sinh viên đó không làm việc được ở công ty A.
b) Giả sử sinh viên đó không vào làm việc được ở công ty A ,tính xác suất sinh viên đó bị trượt ở lần
sát hạch thứ 3.
1.42. Bắn ba viên đạn độc lập vào 1 mục tiêu. Xác suất trúng mục tiêu của mỗi viên lần lượt là 0,7;
0,8; 0,9. Biết rằng nếu chỉ 1 viên trúng hoặc 2 viên trúng thì mục tiêu bị phá hủy với xác suất lần lượt
là 0,4 và 0,6. còn nếu 3 viên trúng thì mục tiêu bị phá hủy . Tìm xác suất để mục tiêu bị phá hủy.
1.43. Hai người cùng bắn vào một mục tiêu. Khả năng bắn trúng của từng người là 0,8 và 0,9. Tính
xác suất

a) Chỉ có 1 người bắn trúng.
b) Có người bắn trúng mục tiêu.
c) Cả hai người bắn trượt.
ĐS:
1.44. Một nhân viên bán hàng mỗi ngày chào hàng 10 nơi với xác suất bán được hàng mỗi nơi là 0,2.
a) Tìm xác suất để người đó bán được hàng ở hai nơi.
6


b) Tìm xác suất để người đó bán được hàng ở ít nhất 1 nơi.
1.45. Tỉ lệ phế phẩm của một nhà máy là 5%. Tìm xác suất để trong 12 sản phẩm do nhà máy đó sản
xuất ra có
a) 2 phế phẩm.
b) Không quá 2 phế phẩm.
1.46. Đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu có 5 cách trả lời, trong đó chỉ có 1 cách trả lời đúng.
Một thí sinh chọn cách trả lời một cách hoàn toàn hú họa. Tìm xác suất để thí sinh đó thi đỗ, biết rằng
để thi đỗ phải trả lời đúng ít nhất 8 câu.
1.47. Bắn liên tiếp 5 viên đạn vào mục tiêu. Xác suất trúng đích của mỗi lần bắn là như nhau và bằng
0,2. Muốn phá hủy mục tiêu phải có ít nhất 3 viên đạn trúng mục tiêu. Tìm xác suất mục tiêu bị phá
hủy.
1.48. Một nữ công nhân quản lí 12 máy dệt. Xác suất để mỗi máy trong khoảng thời gian t cần đến
sự chăm sóc của nữ công nhân là 1/3. Tính xác suất để
a) Trong khoảng thời gian t có 4 máy cần đến sự chăm sóc của nữ công nhân.
b) Trong khoảng thời gian t có từ 3 đến 6 máy cần đến sự chăm sóc của nữ công nhân.
1.49. Một người bắn bia với xác suất bắn trúng là p=0,7
a) Bắn liên tiếp 3 viên, tính xác suất để có ít nhất một lần trúng bia
b) Hỏi phải bắn ít nhất mấy lần để có xác suất ít nhất 1 lần trúng bia lớn hơn hoặc bằng 0,9
ĐS : Công thức Becnuli
1.50. Trong một lô thuốc xs nhận được thuốc hỏng là p =0,1. lấy ngẫu nhiên 3 lọ để kiểm tra. Tính
xác suất để

a) Cả 3 lọ đều hỏng
b) Có 2 lọ hỏng và 1 lọ tốt
c) Có 1 lọ hỏng và 2 lọ tốt
d) Cả 3 lọ đều tốt
ĐS : Công thức Becnuli
1.51. Một phân xưởng có 5 máy. Xác suất để trong một ca mỗi máy bị hỏng là 0,1. tìm xác suất để
trong một ca có đúng 2 máy bị hỏng
ĐS : Công thức Becnuli
1.52. Một lô hàng có tỷ lệ phế phẩm là 5%, cần phải lấy mẫu cỡ bao nhiêu sao cho xs để bị ít nhất
một phế phẩm không bé hơn 0,95
1.53. Một nhà toán học có xs giải được một bài toán khó là 0,9. Đưa cho anh ta 5 bài toán khó được
chọn một cách ngẫu nhiên
a) tính xs để anh ta giải được 3 bài
b) tính xs để anh ta giải được ít nhất một bài
c) tính số bài có khả năng nhất mà anh này giải được
1.54. Tín hiệu thông tin được phát 3 lần với xác suất thu được mỗi lần là 0,4
a) Tìm xác suất để nguồn thu nhận được thông tin đó.
b) Nếu muốn các suất thu được lên đến 0,9 thì phải phát ít nhất bao nhiêu lần.
ĐS:
7


CHƯƠNG 2

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

2.1. Một xí nghiệp có hai ô tô vận tải hoạt động. Xác suất trong ngày làm việc các ô tô bị hỏng tương
ứng là 0,1 và 0,2. Gọi X là số ô tô bị hỏng trong thời gian làm việc.
a) Tìm quy luật phân phối xác suất của X (lập bảng phân phối xác suất).
b) Thiết lập hàm phân phối xác suất của X và vẽ đồ thị của nó.

2.2. Một thiết bị gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập với nhau. Xác suất trong thời gian t các bộ phận
bị hỏng tương ứng là 0,4; 0,2 và 0,3. Gọi X là số bộ phận bị hỏng trong thời gian t.
a) Tìm quy luật phân phối xác suất của X.
b) Tính xác suất trong thời gian t có không quá 2 bộ phận bị hỏng.
2.3. Ba xạ thủ độc lập bắn vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng tương ứng là 0,7; 0,8; 0,5, mỗi xạ
thủ bắn một viên.
a) lập luật phân phối của số viên trúng.
b) Tìm số viên trúng mục tiêu tin chắc nhất, số viên trúng mục tiêu trung bình và phương sai của
số viên trúng.
c) Tính xác suất có ít nhất 2 viên trúng.
2.4. Có hai lô sản phẩm. Lô 1 có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm, lô 2 có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm.
Từ lô 1 lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm bỏ vào lô 2, sau đó từ lô 2 lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm. Tìm quy
luật phân phối xác suất của số chính phẩm được lấy ra ở lần 2.
2.5. Có 3 lô sản phầm, mỗi lô có 10 sản phẩm. Lô thứ i có i sản phẩm hỏng (i = 1, 2, 3). Lấy ngẫu
nhiên từ mỗi lô 1 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm hỏng trong 3 sản phẩm lấy ra.
a) lập luật phân phối của X
b) tìm Mode của X, trung bình của X và phương sai của X
c) tìm P (3 ≤ X ≤ 20).
2.6. Trong nhà nuôi 3 con gà. Xác suất đẻ trứng 3 con tương ứng là: 0,6; 0,5; 0,8. Gọi X là số trứng
thu được trong ngày. Hãy lập luật phân phối của X
2.7. Xác suất để một người bắn trúng bia là 0,8. Người ấy được phát từng viên đạn để bắn cho đến
khi trúng bia. Gọi X là số viên đạn bắn trượt, tìm quy luật phân phối của X.
2.8. Một xạ thủ có 4 viên đạn và 80 nghìn đồng. Xạ thủ đó bắn độc lập từng viên cho tới khi một viên
trúng đích hoặc hết đạn thì dừng lại. Xác suất bắn trúng đích của xạ thủ là 0,7. Nếu bắn trúng 1 viên
thì được 50 nghìn còn nếu bắn trật 1 viên thì mất 20 nghìn. Gọi X là số tiền có được của xạ thủ sau
khi bắn. Lập bảng phân phối xác suất của X và tính E(X). ĐS: E(X) = 121,093.
8


2.9. Trong một hộp có 5 quả bóng bàn, trong đó có 3 quả chưa sử dụng (mới) và 2 quả đã sử dụng

(cũ). Lần 1 lấy ngẫu nhiên 2 quả ra sử dụng sau đó trả lại hộp. Lần thứ 2 lấy ra 2 quả để sử dụng.
a) Gọi Xi là số bóng mới lấy ra ở lần thứ i (i=1, 2). Lập bảng phân phối xác suất của các Xi , tính
E(Xi), D(Xi).
b) Đặt Z= X1 + X2. Lập bảng phân phối xác suất của Z.
2.10. Một người tham gia 1 trò chơi gieo đồng thời 3 đồng tiền cân đối đồng chất. Mỗi đồng tiền có 2
mặt kí hiệu là S và N. Người đó bỏ ra x đồng cho 1 lần gieo. Nếu kết quả gieo cả 3 mặt giống nhau thì
người đó không thu về đồng nào còn nếu kết quả gieo cả 3 mặt không giống nhau thì được 3x đồng.
Người này có nên thường xuyên tham gia trò chơi này không? Vì sao?
2.11. Trong kì thi hết môn học A thầy giáo cho đề cương ôn tập gồm 10 câu lý thuyết và 15 câu bài
tập. Thầy giáo cấu tạo đề thi gồm 1 câu lý thuyết và 2 câu bài tập được lấy ngẫu nhiên trong đề cương.
Sinh viên B chỉ học và trả lời được 7 câu lý thuyết và chỉ làm được 10 câu bài tập trong đề cương. Nếu
trả lời đúng câu lý thuyết thì được 4 điểm và làm đúng mỗi câu bài tập thì được 3 điểm, không có điểm
từng phần trong từng câu. Gọi X là số điểm môn học A của sinh viên B sau khi thi. Lập bảng phân
phối xác suất của X và tính E(X).
ĐS: E(X) = 6,8.
2.12. Xác suất để một con gà đẻ mỗi ngày là 0,6. Trong chuồng có 10 con. Tính xác suất để một ngày
có:
a) 10 con đẻ
b) 8 con đẻ
c) Tất cả đều không đẻ
d) Họ phải nuôi ít nhất bao nhiêu con để trung bình mỗi ngày thu được không ít hơn 30 trứng.
2.13. Tuổi thọ của một loại bóng đèn là 1 biến ngẫu nhiên X (đơn vị năm) với hàm mật độ như sau
f (x) =

kx2 (4 − x)
0

nếu x ∈ [0; 4]
nếu x ∈ [0; 4]

a) Tìm k và vẽ đồ thị f (x).
b) Tìm xác suất để bóng đèn cháy trước khi nó được 1 năm tuổi.
c) Tìm E(X), D(X).
2.14. Trọng lượng của một con vịt 6 tháng tuổi là 1 biến ngẫu nhiên X (đơn vị tính là kg) có hàm mật
độ
k(x2 − 1) nếu x ∈ [0; 3]
f (x) =
0
nếu x ∈ [0; 3]
a) Tìm k.
b) Với k tìm được, tìm
(i) trọng lượng trung bình của vịt 6 tháng tuổi,
(ii )hàm phân phối xác suất của X,
(iii) tỷ lệ vịt chậm lớn, biết vịt 6 tháng tuổi chậm lớn là vịt có trọng lượng nhỏ hơn 2kg.
2.15. Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạng

π π


a cos x nếu x ∈ [− 2 ; 2 ]
f (x) =

π π

0
nếu x ∈ [− ; ]
2 2
9

a) Tìm a và xác định hàm phân phối xác suất F(x) của X.
π
b) Tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng ( ; π).
4
2.16. Cho X có hàm mật độ


 x2
f (x) = 9
0

nếu x ∈ [0; 3]
nếu x ∈ [0; 3]

Lấy ngẫu nhiên 3 giá trị của X một cách độc lập. Tính xác suất có ít nhất 1 giá trị của X thuộc khoảng
(0; 2).
2.17. Đại lượng ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất
F (x) = a +

1
x
arctan , x ∈ R.
π
2

a) Tìm a.
b) Tìm m sao cho P (X>m)=0,25.
2.18. Cho X có hàm phân phối xác suất

0

F (x) = a sin 2x

1

nếu x ≤ 0
nếu 0 < x ≤ π/4
nếu x > π/4

a) Tìm a và hàm mật độ của X.
b) Tính E(X)
2.19. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối

nếu x < −π/2
0
F (x) = a + b sin x nếu − π/2 ≤ x ≤ π/2

1
nếu x > π/2
4với a, b là hằng số.
a) Tìm a và b.
b) Với a và b tìm được ở câu a), tính hàm mật độ f (x) của X, M od(X), M ed(X), P (X > π/4)
2.20. Gọi Z là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc. Hãy tính các xác suất sau đây:
a) P (0 ≤ Z ≤ 2.5)
b) P (−1.5 ≤ Z ≤ 2.5)
c) P (Z ≥ −2.5)
d) P (−2.5 ≤ Z ≤ 1.5) e) P (Z = 4)
e) P (Z ≥ 0)
2.21. Cho Z là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc, tìm C để
a) P (Z ≥ C) = 0, 025
b) P (Z ≤ C) = 0, 02872

c) P (−C ≤ Z ≤ C) = 0, 95
10


2.22. Trọng lượng (X) của trẻ em tại một vườn trẻ được xem là một biến ngẫu nhiên liên tục có phân
phối chuẩn N (8, 6; 0, 62). Chọn ra một trẻ bất kì,
a) tính xác suất để em bé được chọn ra có trọng lượng từ 8 đến 9,8 kg
b) tính xác suất để em bé được chọn có trọng lượng ít nhất 7,8kg
c) tính xác suất để em bé lấy ra có trọng lượng đúng 8,5kg
2.23. Tuổi thọ của một máy điện tử là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trung bình 4,2
năm và độ lệch tiêu chuẩn trung bình 1,5 năm. Bán một máy được lãi 140 ngàn đồng song nếu máy
phải bảo hành thì lỗ 300 ngàn đồng. Vậy để tiền lãi trung bình khi bán một máy là 30 ngàn thì phải
qui định thời gian bảo hành là bao lâu?

11


CHƯƠNG 3

MÔ TẢ SỐ LIỆU

3.1. Có số liệu về tuổi thọ (giờ) của 1 mẫu ngẫu nhiên gồm 30 bóng đèn được sản xuất trong 1 ca làm
việc tại 1 phân xưởng như sau:
800
830
820
815
840

820

830
815
820
810

810
825
830
840
810

815
820
825
840
830

800
830
835
810
800

820
835
820
815
800

Tính trung bình mẫu , phương sai mẫu, trung vị mẫu.

3.2. Có tài liệu về lượng nước tiêu thụ (m3 /tháng) của 100 hộ gia đình tại huyện X như sau:
Lượng nước tiêu thụ (m3 /tháng) Tần số
[0; 25)
12
[25; 50)
33
[50; 75)
40
[75; 100)
10
[100; 125)
5
Yêu cầu:
a) Tính lượng nước tiêu thụ trung bình của các hộ gia đình tại huyện này trong 1 tháng ?
b) Tính độ lệch của lượng nước tiêu thụ của các hộ gia đình tại huyện này trong 1 tháng ?
c) Vẽ biểu đồ tần số mô tả hình dáng phân phối về lượng nước tiêu thụ, nhận xét.
3.3. Để nghiên cứu tình hình năng suất lao động của công nhân tại 1 xí nghiệp, người ta chọn ngẫu
nhiên 1 mẫu 100 công nhân và thu được kết quả như sau:
Năng suất lao động (số sp) Số công nhân
[20; 30)
28
[30; 40)
36
[40; 50)
20
[50; 60)
10
[60; 70)
6
Yêu cầu:

a) Tính số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn ?
b) Vẽ biểu đồ tần số dữ liệu trên.

12


CHƯƠNG 4

ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ

4.1. Công ty bao bì Hải Pack đang nhập lô hàng 20000 bao hạt nhựa của một nhà cung cấp quen. Dữ
liệu quá khứ cho thấy khối lượng của các bao hạt nhựa này tuân theo luật phân phối chuẩn với phương
sai 36(kg 2 ). Chọn ngẫu nhiên 25 bao hạt nhựa để cân thu được giá trị trung bình là 96 Kg/bao Với độ
tin cậy 95% hãy ước lượng khoảng tin cậy đối xứng khối lượng trung bình của 2000 bao hạt nhựa này.
4.2. Doanh số của một cửa hàng là đại lượng ngẫu nhiên phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn là 2 triệu
đồng/tháng. Điều tra ngẫu nhiên doanh số của 600 cửa hàng có quy mô tương tự nhau tìm được doanh
số trung bình là 8,5 triệu. V ới độ tin cậy 95% hãy ước lượng doanh số trung bình của các cửa hàng
thuộc quy mô đó.
4.3. Để nghiên cứu nhiệt độ trung bình trong tháng 4 ở thành phố A, người ta theo dõi trong 10 địa
điểm và thu được số liệu sau:
24,1
25,8

27,2
27,3

26,7
23,2

23,6

26,9

26,4
27,1

Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng khoảng nhiệt độ trung bình trong tháng 4 của thành phố trên. Biết
nhiệt độ trung bình trong 1 tháng là đại lượng ngẫu nhiên phân phối chuẩn.
4.4. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng khoảng lượng xăng hao phí trung bình cho một ô tô chạy từ A
đến B nếu chạy thử 30 lần trên đoạn đường này người ta ghi nhận được lượng xăng hao phí như sau:
Lượng xăng hao phí (lít)
[9, 6; 9, 8)
[9, 8; 10, 0)
[10, 0; 10, 2)
[10, 2; 10, 4)
[10, 4; 10, 6)

Tần số
3
5
10
8
4

Biết rằng lượng xăng hao phí là đại lượng ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn.
4.5. Để định mức thời gian gia công một chi tiết máy, người ta theo dõi ngẫu nhiên quá trình gia công
25 chi tiết và thu được số liệu sau:
Thời gian gia công (phút)
[15; 17)
[17; 19)
[19; 21)

[21; 23)
[23; 25)
[25; 27)

Tần số
1
3
4
12
3
2

Bằng khoảng tin cậy đối xứng hãy ước lượng khoảng thời gian gia công trung bình một chi tiếu máy
với độ tin cậy 1 − α = 0, 95. Giả thiết thời gian gia công chi tiết máy là đại lượng ngẫu nhiên tuân theo
phân phối chuẩn.

13


4.6. Kiểm tra ngẫu nhiên 16 viên thuốc từ một lô thuốc mới nhập về tìm được độ phân tán thực
nghiệm của thành phần chính trong mỗi viên thuốc là s2 = 0, 0075gr2 . Với độ tin cậy 95% hãy ước
lượng khoảng đối xứng độ phân tán của thành phần chính trong mỗi viên thuốc của cả lô thuốc đó.
Biết trọng lượng thành phần chính trong mỗi viên thuốc có phân phối theo quy luật chuẩn.
4.7. Để nghiên cứu độ ổn định của một máy gia công, người ta lấy ngẫu nhiên 25 chi tiết do máy đó
gia công, đem đo và thu được các kích thước như sau:
24,1
25,8
22,7
24,5
26,4

27,2
27,3
26,9
26,1
25,4

26,7
23,2
24,8
25,9
23,3

23,6
26,9
24,0
25,4
23,0

26,4
27,1
23,4
22,9
24,3

Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng độ phân tán của kích thước các chi tiết do máy đó gia công. Biết
kích thước chi tiết được gia công là đại lượng ngẫu nhiên phân phối chuẩn.
4.8. Hãy ước lượng tỷ lệ chính phẩm của một nhà máy bằng khoảng tin cậy đối xứng với độ tin cậy
0,95 biết rằng kiểm tra 100 sản phẩm của nhà máy thì thấy có 10 phế phẩm.
4.9. Mở 200 hộp của một kho đồ hộp, người ta thấy có 28 hộp bị biến chất. Với độ tin cậy 0,95, bằng

khoảng tin cậy đối xứng, hãy ước lượng tỷ lệ đồ hộp biến chất ở trong kho.
4.10. Trong đợt vận động bầu cử tổng thống người ta phỏng vấn ngẫu nhiên 1600 cử tri thì được biết
960 người trong số đó sẽ bỏ phiếu cho ứng cử viên A. Với độ tin cậy 90%, ứng cử viên A sẽ chiếm được
tỷ lệ phiếu bầu trong khoảng nào?
4.11. Nhà máy A sản xuất 1 loại sản phẩm. Để ước lượng tỉ lệ thành phẩm người ta chọn ngẫu nhiên
400 sản phẩm và chia thành 40 nhóm để kiểm tra. Kết quả thu được như sau
Số thành phẩm trong nhóm
Số nhóm

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 1 3 6 8 10 4 5 1 0

Với độ tin cậy 90% hãy ước lượng khoảng tỉ lệ thành phẩm của nhà máy.

14


CHƯƠNG 5

KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ

5.1. Trung tâm hỗ trợ người tiêu dùng nhận đựơc khá nhiều lời phàn này về sản phẩm bột giặt loại
4 Kg của công ty Sáng Chói. Để hỗ trợ người tiêu dùng, Trung tâm tiến hành chọn ngẫu nhiên 36 gói
bột giặt của công ty để cân và thu được kết quả trung bình mẫu 3,95 Kg với độ lệch chuẩn là 0,15 Kg.
Giả sử trọng lượng bột giặt sản xuất của công ty tuân theo quy luật phân phối chuẩn.
a) Trung tâm có kết luận gì khi thực hiện kiểm định giả thuyết với mức ý nghĩa 5%
b) Trung tâm có kết luận gì khi thực hiện kiểm định giả thuyết với mức ý nghĩa 2%
5.2. Trọng lượng (X) sản phẩm do nhà máy sản xuất ra là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với độ lệch
chuẩn σ = 2 (kg) và trọng lượng trung bình là 20 (kg(. Nghi ngờ máy hoạt động không bình thường
làm thay đổi trọng lượng trung bình của sản phẩm người ta cân thử 100 sản phẩm và thu được kết quả

sau:
Trọng lượng sản phẩm
Số sản phẩm

19 20 21 22 23
10 50 20 15 5

Với mức ý nghĩa 0,05 hãy kết luận về điều nghi ngờ trên.
5.3. Mỳ chính được đóng gói 453 gam một gói trên máy tự động. Có thể coi trọng lượng các gói mỳ
chính tuân theo quy luật chuẩn với độ lệch chuẩn 36 gam. Kiểm tra ngẫu nhiên 81 gói thấy trọng lượng
trung bình là 448 gam. Với mức ý nghĩa =0,05 có thể kết luận trọng lượng các gói mỳ chính có xu
hướng bị đóng thiếu không?
5.4. Một nhà máy sản suất bánh ngọt tuyên bố rằng mỗi chiếc bánh của họ trung bình có 88 calo. Một
mẫu ngẫu nhiên với 46 chiếc bánh được kiểm tra cho thấy lượng calo trung bình trong mỗi chiếc bánh
là 90 calo với độ lẹch tiêu chuẩn là 4 calo. Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định xem có phải trên thực tế
mỗi chiếc bánh về trung bình chứa nhiều hơn 88 calo hơn hay không?
5.5. Năng suất lúa trung bình của giống lúa A được công bố là 43 tạ/ha. Một nhóm gồm 60 thửa ruộng
thí nghiệm được kiểm tra cho thấy năng suất lúa trung bình của nhóm là 46,2 tạ/ha với độ lệch chuẩn
12 tạ/ha. Với mức ý nghĩa 5%, nhận định xem có phải công bố là thấp hơn so với sự thật không
5.6. Trong điều kiện bình thường trọng lượng trung bình sản phẩm do nhà máy sản xuất ra là 20 kg.
Nghi ngờ máy hoạt động không bình thường làm thay đổi trọng lượng trung bình của sản phẩm người
ta cân thử 100 sản phẩm và thu được kết quả sau:
Trọng lượng sản phẩm
Số sản phẩm

19 20 21 22 23
10 60 20 5 5

Với mức ý nghĩa 0,05 hãy kết luận về điều nghi ngờ trên.
5.7. Trọng lượng của con gà lúc mới nở là đại lượng ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối chuẩn.

Nghi ngờ về độ đồng đều về trọng lượng gà con giảm sút người ta cân thử 12 con và tìm được s2 =
11, 41(gam2 ). Với mức ý nghĩa α = 0.05 , hãy kết luận về điều nghi ngờ trên biết rằng bình thường độ
phân tán của trọng lượng gà con là σ 2 = 10(gam2 ).
15


5.8. Nếu máy móc hoạt động bình thường thì trọng lượng sản phẩm tuân theo luật phân phối chuẩn
với độ lệch chuẩn σ = 1 (kg). Có thể nói máy móc còn hoạt động tốt hay không nếu cân thử 30 sản
phẩm ta thấy độ lệch chuẩn mẫu tăng lên tới 1,1 (kg). Yêu cầu với mức ý nghĩa α = 0, 01.
5.9. Lô hàng đủ tiêu chuẩn xuất khẩu nếu tỷ lệ phế phẩm không vượt quá 3%. Kiểm tra ngẫu nhiên
400 sản phẩm của lô hàng thấy có 14 phế phẩm. Với mức ý nghĩa α = 0, 05 có cho phép lô hàng xuất
khẩu được hay không?
5.10. Tỷ lệ phế phẩm do một nhà máy tự động sản xuất là 5%. Kiểm tra ngẫu nhiên 300 sản phẩm
thấy có 24 phế phẩm. Nên có ý kiến cho rằng tỷ lệ phế phẩm do nhà máy sản xuất có chiều hướng tăng
lên. Hãy kết luận ý kiến trên với mức ý nghĩa α = 0, 05.
5.11. Một tỉnh báo cáo tỉ lệ học sinh tốt nghiệp của họ là 88%. Một mẫu ngẫu nhiên 100 học sinh được
chọn thì chỉ có 82 em đỗ. Với mức ý nghĩa 5% kiểm định xem báo cáo của tỉnh có cao hơn sự thật.‘

16


Φ 0 ( z ) = P(Z < z ) =

1
2π

z

∫e

−t 2
2

dt

−∞

Bảng I. Các giá trị của phân phối chuẩn tắc N(0;1)
z
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0

2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4

0
0.5000
0.5398
0.5793
0.6179
0.6554
0.6915
0.7257
0.7580
0.7881
0.8159
0.8413
0.8643
0.8849
0.9032

0.9192
0.9332
0.9452
0.9554
0.9641
0.9713
0.9772
0.9821
0.9861
0.9893
0.9918
0.9938
0.9953
0.9965
0.9974
0.9981
0.9987
0.9990
0.9993
0.9995
0.9997

0.01
0.5040
0.5438
0.5832
0.6217
0.6591
0.6950
0.7291

0.7611
0.7910
0.8186
0.8438
0.8665
0.8869
0.9049
0.9207
0.9345
0.9463
0.9564
0.9649
0.9719
0.9778
0.9826
0.9864
0.9896
0.9920
0.9940
0.9955
0.9966
0.9975
0.9982
0.9987
0.9991
0.9993
0.9995
0.9997

0.02

0.5080
0.5478
0.5871
0.6255
0.6628
0.6985
0.7324
0.7642
0.7939
0.8212
0.8461
0.8686
0.8888
0.9066
0.9222
0.9357
0.9474
0.9573
0.9656
0.9726
0.9783
0.9830
0.9868
0.9898
0.9922
0.9941
0.9956
0.9967
0.9976
0.9982

0.9987
0.9991
0.9994
0.9995
0.9997

0.03
0.5120
0.5517
0.5910
0.6293
0.6664
0.7019
0.7357
0.7673
0.7967
0.8238
0.8485
0.8708
0.8907
0.9082
0.9236
0.9370
0.9484
0.9582
0.9664
0.9732
0.9788
0.9834
0.9871

0.9901
0.9925
0.9943
0.9957
0.9968
0.9977
0.9983
0.9988
0.9991
0.9994
0.9996
0.9997

0.04
0.5160
0.5557
0.5948
0.6331
0.6700
0.7054
0.7389
0.7704
0.7995
0.8264
0.8508
0.8729
0.8925
0.9099
0.9251
0.9382

0.9495
0.9591
0.9671
0.9738
0.9793
0.9838
0.9875
0.9904
0.9927
0.9945
0.9959
0.9969
0.9977
0.9984
0.9988
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997

17

0.05
0.5199
0.5596
0.5987
0.6368
0.6736
0.7088
0.7422

0.7734
0.8023
0.8289
0.8531
0.8749
0.8944
0.9115
0.9265
0.9394
0.9505
0.9599
0.9678
0.9744
0.9798
0.9842
0.9878
0.9906
0.9929
0.9946
0.9960
0.9970
0.9978
0.9984
0.9989
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997

0.06

0.5239
0.5636
0.6026
0.6406
0.6772
0.7123
0.7454
0.7764
0.8051
0.8315
0.8554
0.8770
0.8962
0.9131
0.9279
0.9406
0.9515
0.9608
0.9686
0.9750
0.9803
0.9846
0.9881
0.9909
0.9931
0.9948
0.9961
0.9971
0.9979
0.9985

0.9989
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997

0.07
0.5279
0.5675
0.6064
0.6443
0.6808
0.7157
0.7486
0.7794
0.8078
0.8340
0.8577
0.8790
0.8980
0.9147
0.9292
0.9418
0.9525
0.9616
0.9693
0.9756
0.9808
0.9850
0.9884

0.9911
0.9932
0.9949
0.9962
0.9972
0.9979
0.9985
0.9989
0.9992
0.9995
0.9996
0.9997

0.08
0.5319
0.5714
0.6103
0.6480
0.6844
0.7190
0.7517
0.7823
0.8106
0.8365
0.8599
0.8810
0.8997
0.9162
0.9306
0.9429

0.9535
0.9625
0.9699
0.9761
0.9812
0.9854
0.9887
0.9913
0.9934
0.9951
0.9963
0.9973
0.9980
0.9986
0.9990
0.9993
0.9995
0.9996
0.9997

0.09
0.5359
0.5753
0.6141
0.6517
0.6879
0.7224
0.7549
0.7852
0.8133

0.8389
0.8621
0.8830
0.9015
0.9177
0.9319
0.9441
0.9545
0.9633
0.9706
0.9767
0.9817
0.9857
0.9890
0.9916
0.9936
0.9952
0.9964
0.9974
0.9981
0.9986
0.9990
0.9993
0.9995
0.9997
0.9998


Bảng II. Phân vị của phân phối chuẩn tắc N(0 ; 1)
γ

0.50
0.51
0.52
0.53
0.54
0.55
0.56
0.57
0.58
0.59
0.60
0.61
0.62
0.63
0.64
0.65
0.66
0.67
0.68
0.69
0.70
0.71
0.72
0.73
0.74

z(γ)
0.0000
0.0251
0.0502

0.0753
0.1004
0.1257
0.1510
0.1764
0.2019
0.2275
0.2533
0.2793
0.3055
0.3319
0.3585
0.3853
0.4125
0.4399
0.4677
0.4959
0.5244
0.5534
0.5828
0.6128
0.6433

γ
0.750
0.760
0.770
0.780
0.790
0.800

0.810
0.820
0.830
0.840
0.850
0.860
0.870
0.880
0.890
0.900
0.905
0.910
0.915
0.920
0.925
0.930
0.935
0.940
0.945

z(γ)
0.6745
0.7063
0.7388
0.7722
0.8064
0.8416
0.8779
0.9154
0.9542

0.9945
1.0364
1.0803
1.1264
1.1750
1.2265
1.2816
1.3106
1.3408
1.3722
1.4051
1.4395
1.4758
1.5141
1.5548
1.5982

γ
0.950
0.951
0.952
0.953
0.954
0.955
0.956
0.957
0.958
0.959
0.960
0.961

0.962
0.963
0.964
0.965
0.966
0.967
0.968
0.969
0.970
0.971
0.972
0.973
0.974

z(γ)
1.6449
1.6546
1.6646
1.6747
1.6849
1.6954
1.7060
1.7169
1.7279
1.7392
1.7507
1.7624
1.7744
1.7866
1.7991

1.8119
1.8250
1.8384
1.8522
1.8663
1.8808
1.8957
1.9110
1.9268
1.9431

18

γ
0.975
0.976
0.977
0.978
0.979
0.980
0.981
0.982
0.983
0.984
0.985
0.986
0.987
0.988
0.989
0.990

0.991
0.992
0.993
0.994
0.995
0.996
0.997
0.998
0.999

z(γ)
1.9600
1.9774
1.9954
2.0141
2.0335
2.0537
2.0749
2.0969
2.1201
2.1444
2.1701
2.1973
2.2262
2.2571
2.2904
2.3263
2.3656
2.4089
2.4573

2.5121
2.5758
2.6521
2.7478
2.8782
3.0902


a
0

t
n
(
1
a)

Bảng III. Các phân vị của phân phối Student

γ
n

0.750

0.900

0.950

0.975

0.990

0.995

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26

27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40

1.0000
0.8165
0.7649
0.7407
0.7267
0.7176
0.7111
0.7064
0.7027
0.6998
0.6974
0.6955
0.6938
0.6924
0.6912

0.6901
0.6892
0.6884
0.6876
0.6870
0.6864
0.6858
0.6853
0.6848
0.6844
0.6840
0.6837
0.6834
0.6830
0.6828
0.6825
0.6822
0.6820
0.6818
0.6816
0.6814
0.6812
0.6810
0.6808
0.6807

3.0777
1.8856
1.6377
1.5332

1.4759
1.4398
1.4149
1.3968
1.3830
1.3722
1.3634
1.3562
1.3502
1.3450
1.3406
1.3368
1.3334
1.3304
1.3277
1.3253
1.3232
1.3212
1.3195
1.3178
1.3163
1.3150
1.3137
1.3125
1.3114
1.3104
1.3095
1.3086
1.3077
1.3070

1.3062
1.3055
1.3049
1.3042
1.3036
1.3031

6.3138
2.9200
2.3534
2.1318
2.0150
1.9432
1.8946
1.8595
1.8331
1.8125
1.7959
1.7823
1.7709
1.7613
1.7531
1.7459
1.7396
1.7341
1.7291
1.7247
1.7207
1.7171
1.7139

1.7109
1.7081
1.7056
1.7033
1.7011
1.6991
1.6973
1.6955
1.6939
1.6924
1.6909
1.6896
1.6883
1.6871
1.6860
1.6849
1.6839

12.7062
4.3027
3.1824
2.7764
2.5706
2.4469
2.3646
2.3060
2.2622
2.2281
2.2010
2.1788

2.1604
2.1448
2.1314
2.1199
2.1098
2.1009
2.0930
2.0860
2.0796
2.0739
2.0687
2.0639
2.0595
2.0555
2.0518
2.0484
2.0452
2.0423
2.0395
2.0369
2.0345
2.0322
2.0301
2.0281
2.0262
2.0244
2.0227
2.0211

31.8205

6.9646
4.5407
3.7469
3.3649
3.1427
2.9980
2.8965
2.8214
2.7638
2.7181
2.6810
2.6503
2.6245
2.6025
2.5835
2.5669
2.5524
2.5395
2.5280
2.5176
2.5083
2.4999
2.4922
2.4851
2.4786
2.4727
2.4671
2.4620
2.4573
2.4528

2.4487
2.4448
2.4411
2.4377
2.4345
2.4314
2.4286
2.4258
2.4233

63.6567
9.9248
5.8409
4.6041
4.0321
3.7074
3.4995
3.3554
3.2498
3.1693
3.1058
3.0545
3.0123
2.9768
2.9467
2.9208
2.8982
2.8784
2.8609
2.8453

2.8314
2.8188
2.8073
2.7969
2.7874
2.7787
2.7707
2.7633
2.7564
2.7500
2.7440
2.7385
2.7333
2.7284
2.7238
2.7195
2.7154
2.7116
2.7079
2.7045

19


k
n
(
1
a)

Bảng IV. Các phân vị của phân phối Khi bình phương
γ

n
0.005
0.01
0.025
1
0.000
0.000
0.001
2
0.010
0.020
0.051
3
0.072
0.115
0.216
4
0.207
0.297
0.484
5
0.412
0.554
0.831
6
0.676
0.872

1.237
7
0.989
1.239
1.690
8
1.344
1.646
2.180
9
1.735
2.088
2.700
10
2.156
2.558
3.247
11
2.603
3.053
3.816
12
3.074
3.571
4.404
13
3.565
4.107
5.009
14

4.075
4.660
5.629
15
4.601
5.229
6.262
16
5.142
5.812
6.908
17
5.697
6.408
7.564
18
6.265
7.015
8.231
19
6.844
7.633
8.907
20
7.434
8.260
9.591
21
8.034
8.897

10.283
22
8.643
9.542
10.982
23
9.260
10.196 11.689
24
9.886
10.856 12.401
25
10.520 11.524 13.120
26
11.160 12.198 13.844
27
11.808 12.879 14.573
28
12.461 13.565 15.308
29
13.121 14.256 16.047
30
13.787 14.953 16.791
31
14.458 15.655 17.539
32
15.134 16.362 18.291
33
15.815 17.074 19.047
34

16.501 17.789 19.806
35
17.192 18.509 20.569
36
17.887 19.233 21.336
37
18.586 19.960 22.106
38
19.289 20.691 22.878
39
19.996 21.426 23.654
40
20.707 22.164 24.433
Sö dông Excel ®Ó t×m gi¸ trÞ kn(α):

0.05
0.004
0.103
0.352
0.711
1.145
1.635
2.167
2.733
3.325
3.940
4.575
5.226
5.892
6.571

7.261
7.962
8.672
9.390
10.117
10.851
11.591
12.338
13.091
13.848
14.611
15.379
16.151
16.928
17.708
18.493
19.281
20.072
20.867
21.664
22.465
23.269
24.075
24.884
25.695
26.509

0.1
0.016
0.211

0.584
1.064
1.610
2.204
2.833
3.490
4.168
4.865
5.578
6.304
7.042
7.790
8.547
9.312
10.085
10.865
11.651
12.443
13.240
14.041
14.848
15.659
16.473
17.292
18.114
18.939
19.768
20.599
21.434
22.271

23.110
23.952
24.797
25.643
26.492
27.343
28.196
29.051

kn(α) =CHINV(α, n)

20

0.9
2.706
4.605
6.251
7.779
9.236
10.645
12.017
13.362
14.684
15.987
17.275
18.549
19.812
21.064
22.307
23.542

24.769
25.989
27.204
28.412
29.615
30.813
32.007
33.196
34.382
35.563
36.741
37.916
39.087
40.256
41.422
42.585
43.745
44.903
46.059
47.212
48.363
49.513
50.660
51.805

0.95
3.841
5.991
7.815
9.488

11.070
12.592
14.067
15.507
16.919
18.307
19.675
21.026
22.362
23.685
24.996
26.296
27.587
28.869
30.144
31.410
32.671
33.924
35.172
36.415
37.652
38.885
40.113
41.337
42.557
43.773
44.985
46.194
47.400
48.602

49.802
50.998
52.192
53.384
54.572
55.758

0.975
5.024
7.378
9.348
11.143
12.833
14.449
16.013
17.535
19.023
20.483
21.920
23.337
24.736
26.119
27.488
28.845
30.191
31.526
32.852
34.170
35.479
36.781

38.076
39.364
40.646
41.923
43.195
44.461
45.722
46.979
48.232
49.480
50.725
51.966
53.203
54.437
55.668
56.896
58.120
59.342

0.99
6.635
9.210
11.345
13.277
15.086
16.812
18.475
20.090
21.666
23.209

24.725
26.217
27.688
29.141
30.578
32.000
33.409
34.805
36.191
37.566
38.932
40.289
41.638
42.980
44.314
45.642
46.963
48.278
49.588
50.892
52.191
53.486
54.776
56.061
57.342
58.619
59.893
61.162
62.428
63.691

0.995
7.879
10.597
12.838
14.860
16.750
18.548
20.278
21.955
23.589
25.188
26.757
28.300
29.819
31.319
32.801
34.267
35.718
37.156
38.582
39.997
41.401
42.796
44.181
45.559
46.928
48.290
49.645
50.993

52.336
53.672
55.003
56.328
57.648
58.964
60.275
61.581
62.883
64.181
65.476
66.766