Bài tập cơ học lượng tử hoàng đỗ ngọc trầm

Bài tập Cơ học lượng tử
Hoàng Đỗ Ngọc Trầm


Nội dung
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

Các toán tử trong CHLT (2 buổi)
Chuyển động một chiều (3-4 buổi)
Moment động lượng. (1 buổi)
Chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm. (1-2 buổi)
Spin (1 buổi)
Chuyển động trong từ trường (1-2 buổi)
Lý thuyết nhiễu loạn và phương pháp biến phân (3-4 buổi)
Hệ các hạt đồng nhất (1 buổi)


Giáo trình
Bài tập CƠ HỌC LƯỢNG TỬ, Hoàng Dũng,
NXB ĐH Quốc gia Tp. HCM, 2002.
Bài tập và lời giải Cơ học lượng tử (Bài tập và lời
giải của các Trường Đại học nổi tiếng Hoa Kỳ),
Trường ĐHKH&CN Trung Hoa, NXB Giáo dục.

Một số quy định
• Chuyên cần
• Làm bài tập ở nhà.
• Trao đổi. Quy tắc “3 before me”.
• Giờ học. Chuẩn bị.
• Đánh giá
- Quá trình, kiểm tra giữa kì (30%)
- Kiểm tra cuối khóa (70%)
• Hoạt động phản hồi.


Các toán tử trong CHLT
Toán tử: là một phép toán khi tác dụng lên một
hàm sẽ tạo ra một hàm mới
ˆ  x  g  x
Af

Ví dụ:

d
f  x  g  x
dx
xf  x   g  x 

Toán tử tuyến tính: Lˆ  cn n   cn Lˆ n
n

n

Trong CHLT, các đại lượng vật lý được mô tả bởi các
toán tử tuyến tính -> WHY?


Phép cộng và nhân toán tử
Phép cộng:
Tính chất:

Phép nhân:
Tính chất:

ˆ ( x)  Au
ˆ ( x)  Bˆ u ( x )
Cˆ  Aˆ  Bˆ  Cu
Aˆ  Bˆ  Bˆ  Aˆ

ˆ ( x)  Aˆ  Bˆ u ( x ) 
Dˆ  Aˆ .Bˆ  Du


Aˆ .Bˆ  Bˆ . Aˆ

Nếu: Aˆ .Bˆ  Bˆ . Aˆ thì Aˆ , Bˆ gọi là hai toán tử giao hoán với nhau


Một số tính chất của toán tử
Giao hoán tử của Aˆ , Bˆ :  Aˆ , Bˆ   Aˆ .Bˆ  Bˆ . Aˆ
Phản giao hoán tử Aˆ , Bˆ :  Aˆ , Bˆ    Aˆ .Bˆ  Bˆ . Aˆ
ˆ ( x)  v( x)  Aˆ *u * ( x)  v* ( x)
ˆ

Au
A
Toán tử liên hiệp phức của :

ˆ
*
*
 Av
 dx  v( x)  Au
ˆ
 dx
ˆ
u
(
x
)
(
x
)
(
x
)
Toán tử chuyển vị của A : 





*


*
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
A

A

A
A
Toán tử liên hợp của :




 

*

ˆ ( x)  dx  v( x)  Aˆ  u ( x)  dx
hay  u ( x)  Av
 


*

Toán tử tự liên hợp (hermitic):
*


*

ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
A  A hay  u ( x)Av( x)dx   v( x)  A u ( x)  dx

CM?


Bài tập
Chứng minh:
1.  Aˆ , Bˆ     Bˆ , Aˆ  ;
2.  Aˆ , Bˆ  Cˆ    Aˆ , Bˆ    Aˆ , Cˆ  ;
ˆ ˆ    Aˆ , Bˆ  Cˆ  Bˆ  Aˆ , Cˆ  ;
3.  Aˆ , BC
 



ˆ ˆ , Cˆ    Aˆ , Cˆ  Bˆ  Aˆ  Bˆ , Cˆ  ;
4.  AB
 



5.  Aˆ ,  Bˆ , Cˆ     Bˆ Cˆ , Aˆ    Cˆ  Aˆ , Bˆ    0;

 

 


 

ˆˆ
6. AB



 Bˆ  Aˆ 


Bài tập
Cho Aˆ , Bˆ là các toán tử hermitic.
1 ˆ ˆ ˆˆ
ˆ
1. CM: F  AB  BA hermitic.
2
1 ˆ ˆ ˆˆ
ˆ
2. G  AB  BA có hermitic không? Khi nào?
2
3. CM: Aˆ n hermitic.









BTVN: 1.1 - 1.10
BTLT: 1.19, 1.21


Bài toán hàm riêng – trị riêng
Khi toán tử tác dụng lên một hàm số mà thu lại được chính
hàm số đó nhân với một hằng số, ta gọi đây là bài toán hàm
riêng – trị riêng.
Phương trình trị riêng:

Aˆ   ,

với

 : Hàm riêng của toán tử Aˆ

 : Trị riêng của toán tử Aˆ

 Phổ trị riêng: gián đoạn hay liên tục.
 Hàm riêng suy biến.
Toán tử Aˆ tuyến tính:
1. Aˆ    Aˆ  c   c , c  const
Tổ hợp tuyến tính của các hàm riêng suy biến
cũng là hàm riêng của Aˆ với cùng trị riêng => CM?

2.

Tính chất hàm riêng, trị riêng
của toán tử tuyến tính tự liên hợp
• Trị riêng thực.
• Hệ hàm riêng trực giao và chuẩn hóa (trực chuẩn).
- Gián đoạn:

ˆ ( x)  A u ( x) 
Au
0 if n  m
n
n n
*
   um ( x)un ( x)dx   nm  
ˆ ( x)  A u ( x) 
Au
1 if n  m
m
n m

- Liên tục:

ˆ ( x)  A u ( x) 
Au
A
A
*

u
  A ( x)u A ' ( x) dx   ( A  A ')

ˆ ( x)  A ' u ( x) 
Au
A'
A'


• Hệ hàm đầy đủ

Hàm
DeltaDirac?


Câu hỏi
1.
2.

3.

4.

Các đại lượng Vật lý trong CHLT được mô tả như thế
nào? Tại sao?
Trạng thái của hạt trong Cơ học lượng tử được mô tả
bằng đại lượng nào? Ý nghĩa của đại lượng đó và các
điều kiện cần thỏa.
Xác định toán tử tọa độ, toán tử xung lượng, toán tử
moment động lượng, toán tử năng lượng toàn phần
trong biểu diễn tọa độ.
Trị trung bình của một đại lượng
Vật lý được xác định như thế nào?

Bài tập
BTVN: 1.23 - 1.25, 1.29
BTLT: 1.26-1.28, 1.30


Bài tập các chương sau
-

Chuyển động một chiều: 2.1, 2.2, 2.4, 2.5, 2.7, 2.9,
2.11, 2.13, 2.14, 2.15, 2.18, 2.20

-

Moment động lượng: 3.4, 3.5-3.9,3.19-3.21

-

Chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm: 4.54.8, 4.10, 4.11, 4,12, 4.15, 4.17

-

Spin: 5.1, 5.3, 5.6, 5.11

-

Chuyển động trong từ trường: 6.1-6.8, 6.10

-

Lý thuyết nhiễu loạn và phương pháp biến phân: 9.19.4, 9.7, 9.26-9.31

-

Hệ các hạt đồng nhất.