Bài toán về quy hoạch tuyến tính
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.08 MB, 45 trang )
ÝØJLỊÙ ïỉ ÞßH× ÌĐßGỊ ÏË× ØĐßQÝØ ÌËÇÛ_Ị ÌSỊØ
̸-ò Ị¹«§»=² ݱ>²¹ Ì®3
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN
QUY HOẠ
HOẠCH TUYẾ
TUYẾN TÍ
TÍNH
MỘ
MỘT VÀ
VÀI VÍ
VÍ DỤ
DỤ VỀ
VỀ BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QHTT
CHƯƠNG 1
1. THIẾ
THIẾT LẬ
LẬP MÔ HÌNH BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN
Ví dụ
dụ 1.1. BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN LẬ
LẬP KẾ
KẾ HOẠ
HOẠCH
CH SẢ
SẢN XUẤ
XUẤT
Mộ
Một xí
xí nghiệ
nghiệp dù
dùng
ng 3 loạ
loại nguyên liệ
liệu:
u: N1; N2; N3
để sả
sản xuấ
xuất ra mộ
một loạ
loại sả
sản phẩ
phẩm theo 3 phư
phương
phá
pháp khá
khác nhau: PP1; PP2; PP3. Đònh mứ
mức nguyên
liệ
liệu và
và số
số lượng
ng sả
sản phẩ
phẩm sả
sản xuấ
xuất ra trong 1
giờ
giờ đươ
được cho ở
ở bả
bảng
ng sau:
Nguyên
Số
Đònh mứ
Số lượng
ng
mức nguyên liệ
liệu
Liệ
hiệ
Liệu
hiện có
có (đv)
PP 1
PP2
PP3
N1
250
4
5
3
N2
350
2
4
1
N3
450
3
6
4
Số
10
12
9
Số sả
sản phẩ
phẩm (sp/giờ
(sp/giờ)
Hãy lậ
lập mô hì
hình bà
bài toá
toán sao cho xí
xí nghiệ
nghiệp sả
sản
xuấ
xuất ra nhiề
nhiều sả
sản phẩ
phẩm nhấ
nhất?
t?
(Xem)
Ths. Nguyễn Công Tr
Tríí
2. CÁ
CÁC DẠ
DẠNG
NG CỦ
CỦA BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QUY
HOẠ
HOẠCH
CH TUYẾ
TUYẾN TÍ
TÍNH
(Xem)
3. CÁ
CÁC KHÁ
KHÁI NIỆ
NIỆM CƠ BẢ
BẢN VỀ
VỀ BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN
QUY HOẠ
(Xem)
HOẠCH
CH TUYẾ
TUYẾN TÍ
TÍNH
Tr
í
Copyright 2001
4. CÁ
CÁC PHƯ
PHƯƠNG PHÁ
PHÁP GIẢ
GIẢI BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN
QUY HOẠ
(Xem)
HOẠCH
CH TUYẾ
TUYẾN TÍ
TÍNH
Ths. Nguyễn Côn g Tr
Tríí
(Xem)
Copyright 2001
MỘ
MỘT VÀ
VÀI VÍ
VÍ DỤ
DỤ VỀ
VỀ BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QHTT
MỘ
MỘT VÀ
VÀI VÍ
VÍ DỤ
DỤ VỀ
VỀ BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QHTT
Ví dụ
dụ 1.2. BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN PHA CẮ
CẮT VẬ
VẬT LIỆ
LIỆU
Mộ
Một xí
xí nghiệ
nghiệp may mặ
mặc cầ
cần sả
sản xuấ
xuất đúng
ng 2.000
quầ
quần và
và ít nhấ
nhất 1.000 á
áo.
o. Mỗi tấ
tấm vả
vải có
có 6 cá
cách
ch
cắ
cắt như
như sau:
Cá
Cách
ch cắ
cắt Quầ
Quần A Ùo
1
90
35
2
80
55
3
70
70
4
60
90
5
120
0
6
0
100
Hãy tì
tìm phư
phương á
án cắ
cắt quầ
quần á
áo sao cho tổ
tổng
ng số
số
tấ
tấm vả
vải là
là ít nhấ
nhất?
t?
N
gu
y
ễn
C
Gọ
lần lư
lượt là
là thờ
thời gian sả
sản xuấ
xuất ra sả
sản
Gọi x1, x 2, x 3 lầ
phẩ
phẩm theo 3 phư
phương phá
pháp PP 1, PP 2, PP3.
Tổ
Tổng
ng sả
sản phẩ
phẩm sả
sản xuấ
xuất (cầ
(cần là
làm cự
cực đại)
i)
f(x) = 10x1 + 12x2 + 9x 3
max
Do xí
xí nghiệ
nghiệp chỉ
chỉ có
có 250 nguyên liệ
liệu N1 nên x1, x2,
x 3 phả
phải thỏ
thỏa mãn 4x1 + 5x2 + 3x3 250
Tương tự
tự cho cá
các nguyên liệ
liệu N2, N 3 ta có
có
2x1 + 4x 2 + x3 350 và
và 3x1 + 6x2 + 4x3 450
Dó nhiên ta phả
phải có
có x1, x 2, x 3 không âm
Vậ
Vậy mô hì
hình bà
bài toá
toán đươ
được phá
phát biể
biểu như
như sau:
Tìm cá
các biế
biến x1, x2, x3 sao cho
f(x)= 10x 1 + 12x2 + 9x3
max,
max, thỏ
thỏa cá
các điề
iều kiệ
kiện
4x1 + 5x 2 + 3x3 250
2x1 + 4x2 + x3 350
3x1 + 6x 2 + 4x3 450
x1 0 x2 0 x3 0
ôn
g
5. BÀ
BÀI TẬ
TẬP
MỘ
MỘT VÀ
VÀI VÍ
VÍ DỤ
DỤ VỀ
VỀ BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QHTT
Gọ
Gọi xj (j = 1, 2, ..., 6) là
là số
số tấ
tấm vả
vải đươ
được cắ
cắt theo
cá
cách
ch thứ
thứ j.
Tổ
Tổng
ng số
số tấ
tấm vả
vải dù
dùng
ng để sả
sản xuấ
xuất (cầ
(cần là
làm cự
cực
tiể
min
tiểu)
u) là
là f(x) = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6
Do x í nghiệ
nghiệp cầ
cần sả
sản xuấ
xuất đúng
ng 2.000 quầ
quần nên
cá
các xj phả
phải thỏ
thỏa mãn
90x 1 + 80x2 + 70x3 + 60x4 + 120x5
= 2000
Tương tự
tự cho điề
iều kiệ
kiện về
về sả
sản xuấ
xuất á
áo,
o, ta có
có
35x 1 + 55x2 + 70x3 + 90x4
+ 100x6 1000
Dó nhiên ta phả
phải có
có xj (j = 1, 2, ..., 6) không âm
Vậ
Vậy mô hì
hình bà
bài toá
toán đươ
được phá
phát biể
biểu như
như sau:
Tìm cá
các biế
biến xj (j = 1, 2, ..., 6) sao cho
f(x)= xj
min,
min, thỏ
thỏa cá
các điề
iều kiệ
kiện
90x 1 + 80x2 + 70x3 + 60x4 + 120x5
= 2000
35x 1 + 55x2 + 70x3 + 90x4
+ 100x6 1000
xj 0, (j = 1, 2, ..., 6).
MỘ
MỘT VÀ
VÀI VÍ
VÍ DỤ
DỤ VỀ
VỀ BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QHTT
Ví dụ
dụ 1.3. BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN XÁ
XÁC ĐỊNH KHẨ
KHẨU PHẦ
PHẦN
Để nuôi mộ
một loạ
loại gia sú
súc có
có hiệ
hiệu quả
quả, mỗi ngà
ngày
cầ
cần phả
phải có
có khố
khối lư
lượng
ng tố
tối thiể
thiểu cá
các chấ
chất protit,
glucit, khoá
khoáng
ng tư
tương ứng
ứng là
là 90 gram, 130 gram,
10 gram. Tỷ
Tỷ lệ
lệ (%) theo khố
khối lư
lượng
ng cá
các chấ
chất trên
có
có trong cá
các loạ
loại thứ
thức ăn A, B, C như
như sau:
Thứ
Chấ
Thức ăn
Chất dinh dư
dưỡng (%)
Protit Glucit
Khoá
Khoáng
ng
A
10
30
2
B
20
40
1
C
30
20
3
Giá
Giá 1 kg thứ
thức ăn A, B, C tư
tương ứng
ng là
là 3.000
đồng,
ng, 4.000 đo àng,
ng, 5.000 đồng.
ng. Hãy lậ
lập mô hì
hình
bà
bài toá
toán xá
xác đònh khố
khối lư
lượng
ng thứ
thức ăn cầ
cần thiế
thiết
sao cho chi phí
phí nuôi gia sú
súc là
là thấ
thấp nhấ
nhất?
t?
¸¬¬°ỉđđ²½¬®·ò½±ò½½
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ÝØJLỊÙ ïỉ ÞßH× ÌĐßGỊ ÏË× ØĐßQÝØ ÌËÇÛ_Ị ÌSỊØ
̸-ò Ị¹«§»=² ݱ>²¹ Ì®3
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
MỘ
MỘT VÀ
VÀI VÍ
VÍ DỤ
DỤ VỀ
VỀ BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QHTT
MỘ
MỘT VÀ
VÀI VÍ
VÍ DỤ
DỤ VỀ
VỀ BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QHTT
Gọ
Gọi xj (j = 1, 2, 3) là
là số
số gram thứ
thức ăn A, B, C cầ
cần
mua mỗi ngà
ngày.
y.
Tổ
c
Tổng
ng chi phí
phí dù
dùng
ng để mua thứ
thức ăn (cầ
(cần là
làm cự
cực
min (đ
tiể
(đồng)
ng)
tiểu)
u) là
là f(x) = 3x1 + 4x2 + 5x 3
Do cá
các tỷ
tỷ lệ
lệ cá
các chấ
chất protit, glucit và
và khoá
khoáng
ng có
có
trong thứ
thức ăn A nên cá
các x j phả
phải thỏ
thỏa mãn
0,1x1 + 0,2x2 + 0,3x3 90
Tương tự
tự cho điề
iều kiệ
kiện củ
của thứ
thức ăn B và
và C, ta có
có
0,3x1+0,4x2+0,2x3 130 và
và 0,02x1+0,01x2+0,03x3 10
Vậ
Vậy mô hì
hình bà
bài toá
toán đươ
được phá
phát biể
biểu như
như sau:
Tìm cá
các biế
biến xj (j = 1, 2, 3) sao cho
f(x) = 3x1 + 4x2 + 5x3
min,
min, thỏ
thỏa cá
các điề
iều kiệ
kiện
0,1x1 + 0,2x2 + 0,3x3 90
0,3x1 + 0,4x2 + 0,2x3 130
0,02x 1 + 0,01x2 + 0,03x3 10
xj 0, (j = 1, 2, 3).
Tr
í
Lậ
Lập mô hì
hình bà
bài toá
toán vậ
vận chuyể
chuyển sao cho cá
các
kho phá
phát hế
hết xi măng có
có, công trư
trường
ng nhậ
nhận đủ xi
măng cầ
cần và
và chi phí
phí vậ
vận chuyể
chuyển thấ
thấp nhấ
nhất?
t?
ôn
g
MỘ
MỘT VÀ
VÀI VÍ
VÍ DỤ
DỤ VỀ
VỀ BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QHTT
CÁ
CÁC DẠ
DẠNG
NG CỦ
CỦA BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QHTT
2.1. DẠ
DẠNG
NG TỔ
TỔNG
NG QUÁ
QUÁT
Tìm x = (x 1, x 2,..., xn) sao cho:
n
N
gu
y
ễn
C
Gọ
là lượng
ng xi măng
Gọi xij (i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, 4) là
cầ
trường
ng Tj.
cần vậ
vận chuyể
chuyển từ
từ kho Ki đến công trư
Tổ
Tổng
ng chi phí
phí vậ
vận chuyể
chuyển (cầ
(cần là
làm cự
cực tiể
tiểu)
u) là
là
f(x) = 20x11 + 18x12 + 22x13 + 25x14
15x21 + 25x 22 + 30x23 + 15x24
45x31 + 30x 32 + 40x33 + 35x34
min
Điề
iều kiệ
kiện củ
của cá
các kho
x11 + x12 + x13 + x14 = 170
x21 + x22 + x23 + x24 = 200
x31 + x32 + x33 + x34 = 180
Đ iề
iều kiệ
kiện củ
của cá
các công trư
trường
ng
x11 + x21 + x31 = 130
x12 + x22 + x32 = 160
x13 + x23 + x33 = 120
x14 + x24 + x34 = 140
xij 0, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, 4.
Ví dụ
dụ 1.4. BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN VẬ
VẬN TẢ
TẢI
Cầ
Cần vậ
vận chuyể
chuyển xi măng từ
từ 3 kho K1, K 2, K3 đến 4
công trư
trường
ng xây dự
dựng
ng T1, T2, T3, T4. Cho biế
biết lư
lượng
ng
xi măng có
có ơ û mỗi kho, lư
lượng
ng xi măng cầ
cần ở
ở mỗi
công trư
trường
ng và
và cước phí
phí vậ
vận chuyể
chuyển (ngà
(ngàn
đồng/
ng/ tấ
tấn)
n) từ
từ mỗi kho đến công trư
trường
ng như
như sau:
Công trư
trường
ng T1: 130 t T2: 160 t T3: 120 t T4: 140 t
Kho
K1: 170 tấ
20
18
22
25
tấn
K2: 200 tấ
15
25
30
15
tấn
K3: 180 tấ
45
30
40
35
tấn
CÁ
CÁC DẠ
DẠNG
NG CỦ
CỦA BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QHTT
Mộ
Một vectơ x = (x1, x2,..., xn) thỏ
thỏa mãn điề
iều kiệ
kiện
(2) và
và (3) đươ
được gọ
gọi là
là mộ
một phư
phương á
án (P.A) củ
của
bà
bài toá
toán quy hoạ
hoạch
ch tuyế
tuyến tí
tính (QHTT).
Tậ
Tập cá
các P.A củ
của bà
bài toá
toán QHTT đươ
được gọ
gọi là
là
miề
miền rà
ràng
ng buộ
buộc. Ký
Ký hiệ
hiệu là
là D.
Mộ
Một phư
phương á
án tố
tối ưu, đươ
được ký
ký hiệ
hiệu là
là X opt
(optimality), nế
nếu vectơ X là
là là
là mộ
một P.A và
và X thỏ
thỏa
mãn (2.1) hay hà
hàm mụ
mục tiêu (2.1) bò chặ
chặn.
n.
Bà
Bài toá
toán QHTT đươ
đươ ïc gọ
gọi là
là giả
giải đươ
được hay có
có
lờ
lời giả
giải nế
nếu nó
nó có
có ít nhấ
nhất mộ
một PA.T.Ư
PA.T.Ư.
Bà
hay
Bài toá
toán QHTT không giả
giải đươ
được nế
nếu D =
nó
nó có
có P.A như
nhưng không có
có PA.T.Ư
PA.T.Ư.
f ( x)
cj xj
min ( hay max) (2.1)
aij x j
bi i 1, m
j 1
n
2.2
j 1
x j 0, xk 0, j k n 2.3
(2.1) gọ
gọi là
là hà
hàm mụ
mục tiêu. (2.2) gọ
gọi là
là hệ
hệ rà
ràng
ng
buộ
buộc. (2.3) gọ
gọi là
là rà
ràng
ng buộ
buộc về
về dấ
dấu củ
của ẩ
ẩn số
số.
Ví dụ
dụ 1.1, Ví
Ví dụ
dụ 1.2 và
và Ví dụ
dụ 1.3 là
là cá
các bà
bài toá
toán
QHTT có
có dạ
dạng
ng tổ
tổng
ng quá
quát.
t.
CÁ
CÁC DẠ
DẠNG
NG CỦ
CỦA BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QHTT
2.2. DẠ
DẠNG
NG CHÍ
CHÍNH TẮ
TẮC
Tìm x = (x 1, x 2,...,
xn) sao cho:
n
f ( x)
cjxj
min ( hay max)
j 1
n
aij x j
bi i 1, m
j 1
xj
0, j 1, n
Nhậ
Nhận xé
xét:
t: Hệ
Hệ rà
ràng
ng buộ
buộc củ
của bà
bài toá
toán dạ
dạng
ng chí
chính
tắ
tắc đều là
là cá
các đẳng
ng thứ
thức và
và mọ
mọi biế
biến củ
của bà
bài
toá
toán đều không âm. Ví dụ
dụ 1.4 BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN VẬ
VẬN TẢ
TẢI
có
có dạ
dạng
ng chí
chính tắ
tắc.
c.
¸¬¬°ỉđđ²½¬®·ò½±ò½½
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ÝØJLỊÙ ïỉ ÞßH× ÌĐßGỊ ÏË× ØĐßQÝØ ÌËÇÛ_Ị ÌSỊØ
̸-ò Ị¹«§»=² ݱ>²¹ Ì®3
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
CÁ
CÁC DẠ
DẠNG
NG CỦ
CỦA BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QHTT
CÁ
CÁC DẠ
DẠNG
NG CỦ
CỦA BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QHTT
2.3. DẠ
DẠNG
NG CHUẨ
CHUẨN
Tìm x = (x 1, x 2,..., xn) sao cho:
2.4. CHUYỂ
CHUYỂN ĐO ÅI DẠ
DẠNG
NG BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QHTT
Khi xé
xét bà
bài toá
toán QHTT, ngư
người ta thư
thường
ng sử
sử dụ
dụng
ng
dạ
dạng
ng chí
chính tắ
tắc,
c, có
có thể
thể đưa
đưa bà
bài toá
toán về
về dạ
dạng
ng
chí
chính tắ
tắc bằ
bằng
ng cá
các biế
biến đổi sau:
1) Nế
Nếu rà
ràng
ng buộ
buộc thứ
thứ i có
có dạ
dạng
ng aijxj bi thì
thì thêm
và
vào mộ
một ẩ
ẩn phụ
phụ x n+1 0, sao cho aijx j + xn+1 = bi.
2) Nế
thì thêm
Nếu rà
ràng
ng buộ
buộc thứ
thứ i có
có dạ
dạng
ng aijxj bi thì
và
vào mộ
một ẩ
ẩn phụ
phụ x n+1 0, sao cho aijx j x n+1 = bi.
3) Nế
Nếu biế
biến xj 0 thì
thì đươ
được thay bằ
bằng
ng x/j = xj 0.
4) Nế
Nếu biế
biến xj không rà
ràng
ng buộ
buộc về
về dấ
dấu thì
thì thay xj
bằ
bằng
ng hai ẩ
ẩn phụ
phụ x/j và
và x//j sao cho x j = x/j x //j, vớ
với
x/j 0, x//j 0.
n
f ( x)
c j xj
j 1
min ( hay max)
n m
xi
ai ,m k xm
k
bi , i 1, m
k 1
CÁ
CÁC DẠ
DẠNG
NG CỦ
CỦA BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QHTT
Để bà
bài toá
toán gọ
gọn hơn, chú
chúng
ng ta dù
dùng
ng cá
các ký
ký hiệ
hiệu
a12
a22
a1n
a2 n
am1 am 2
amn
a1 j
a2 j
, Aj
b1
b2
,b
amj
c1
c2
,c
bm
x1
x2
,x
0
,0
0
xn
cn
ễn
N
gu
y
CÁ
CÁC DẠ
DẠNG
NG CỦ
CỦA BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QHTT
2 x3
min
3 x1
x2
x2
2 x3
2 x1
4 x2
4 x2
x3
4 x1
3 x2
3 x2
8 x3
x1
0, x2
0, x2
0, x3
x4
0, x4
0, x5
7
10
0
Bài toá
toán QHTT dư
dưới dạ
dạng
ng ma trậ
trận như
như sau
f(x) = (1, 3, 2, 0, 0, 0)T(x1, x/2, x //2, x/3, x4, x 5)
3
2
4
1
4
3
1
4
3
2 1
1 0
8 0
(x1, x/2, x //2, x/3, x4, x 5)
x1
x2
0
x
0 2
x
1 3
x4
x5
7
12
10
(0, 0, 0, 0, 0, 0)
3 x1
2 x1
4 x1
x2
4 x2
3 x2
x1
min
2 x3
x3
8 x3
0 x3
7
12
10
0
Thêm 2 ẩ
vào rà
ràng
ng buộ
buộc thứ
thứ nhấ
nhất
ẩn phụ
phụ x 4, x5 0 và
và
và rà
ràng
ng buộ
buộc thứ
thứ ba.
Thay x /3 = x 3 0
Thay x 2 = x/2 x//2 0, vớ
với x/2, x //2 0
Ví dụ
dụ 1.6. Cho bà
bài toá
toán QHTT sau:
f ( x) x2 x5
min
x1
x2
2 x5
3x2
x3
x5
2 x2
x4
x5
12
x5
x1 3 x2 2 x3
CÁ
CÁC DẠ
DẠNG
NG CỦ
CỦA BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QHTT
Bài toá
toán QHTT có
có dạ
dạng
ng chí
chính tắ
tắc như
như sau
x1 3x 2 3x2
f ( x)
0
Trong đó A là
là ma trậ
trận m n gồ
gồm cá
các hệ
hệ số
số ở vế
vế
trá
là vectơ cộ
cột thứ
thứ j củ
của
trái củ
của hệ
hệ rà
ràng
ng buộ
buộc;
c; Aj là
ma trậ
trận A; b là
là vectơ hệ
hệ số
số ở vế
vế phả
phải củ
của hệ
hệ
rà
ràng
ng buộ
buộc;
c; c là
là vectơ hệ
hệ số
số ở hà
hàm mụ
mục tiêu; x là
là
vectơ ẩ
ẩn số
số; 0 là
là vectơ không.
Khi đó bà
bài toá
toán QHTT ở
ở dạ
dạng
ng chí
chính tắ
tắc có
có dạ
dạng
ng
f(x) = cTx
min (hay max)
Ax = b, x 0
f (x )
Ví dụ
dụ 1.5. Đưa
Đưa bà
bài toá
toán QHTT sau đây về
về dạ
dạng
ng
chí
chính tắ
tắc và
và viế
viết bà
bài toá
toán chí
chính tắ
tắc dư
dưới dạ
dạng
ng
ma trậ
trận
C
A
a11
a21
ôn
g
CÁ
CÁC DẠ
DẠNG
NG CỦ
CỦA BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QHTT
Tr
í
x j 0 j 1, n bi 0
Nhậ
Nhận xé
xét:
t: Bà
Bài toá
toán dạ
dạng
ng chuẩ
chuẩn là
là bà
bài toá
toán ở
ở
dạ
dạng
ng chí
chính tắ
tắc vớ
với hệ
hệ rà
ràng
ng buộ
buộc chứ
chứa ma trậ
trận
con Im là
là ma trậ
trận đơn vò cấ
cấp m.
Trong đó cá
các x i (i = 1, 2,..., m) đươ
được gọ
gọi là
là ẩn cơ
bả
bản (A.C.B),
(A.C.B), cò
còn cá
các ẩ
ẩn xi,m+k, (k = 0, 1,..., n m)
đươ
được gọ
gọi là
là ẩn không cơ bả
bản.
min
xj
0
1
3
2
j 1,5
Ta có
có ma trậ
trận hệ
hệ số
số củ
của hệ
hệ rà
ràng
ng buộ
buộc:
c:
A
1
0
0
1
3
0 0
1 0
2 0 1
2
1
1
chứ
chứa I3 nên bà
bài toá
toán quy hoạ
hoạch
ch tuyế
tuyến tí
tính trên có
có
dạ
dạng
ng chuẩ
chuẩn.
n.
¸¬¬°ỉđđ²½¬®·ò½±ò½½
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ÝØJLỊÙ ïỉ ÞßH× ÌĐßGỊ ÏË× ØĐßQÝØ ÌËÇÛ_Ị ÌSỊØ
̸-ò Ị¹«§»=² ݱ>²¹ Ì®3
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ĐỊNH NGHĨ
NGHĨA PHƯ
PHƯƠNG Á
ÁN CỰ
CỰC BIÊN
ĐỊNH NGHĨ
C BIÊN
NGHĨA PHƯ
PHƯƠNG Á
ÁN CỰ
CỰC
Mộ
Một phư
phương á
án x* = (x1*, x2*,..., x n*) củ
của bà
bài toá
toán
QHTT dạ
dạng
ng tổ
tổng
ng quá
quát là
là phư
phương á
án cự
cực biên
(P.A.C.B) nế
nếu x* = (x1*, x2*,..., xn*) thỏ
thỏa mãn chặ
chặt
n rà
ràng
ng buộ
buộc độc lậ
lập tuyế
tuyến tí
tính. Tứ
Tức là
là:
X la P.A.C.B *
*
j=1
aijx*j = bi, i=1,k, k m
k +l n,det A
5 x1
Trong đó A là
là ma trậ
trận con cấ
cấp n củ
của hpt (*).
Mộ
Một P.A.C.B không suy biế
biến là
là mộ
một P.A.C.B
thỏ
thỏa mãn đúng
ng n rà
ràng
ng buộ
buộc chặ
chặt.
t.
Mộ
Một P.A.C.B suy biế
biến là
là mộ
một P.A.C.B thỏ
thỏa mãn
hơn n rà
ràng
ng buộ
buộc chặ
chặt.
t.
P.A.C.B cò
còn đươ
được gọ
gọi là
là phư
phương á
án cơ bả
bản.
xj
x2
x2
x3
0,
j 1, 3
4
0
N
gu
y
Cá
Các vectơ nà
nào sau đây X = (2, 2, 0), Y = (0, 0, 4),
Z = (1, 1, 2), là
là P.A.C.B củ
của bà
bài toá
toán.
n.
CÁ
CÁC TÍ
TÍNH CHẤ
CHẤT CỦ
CỦA BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QHTT
HỆ
HỆ QUẢ
QUẢ 2. Số
Sốù thà
thành
nh phầ
phần dư
dương trong mỗi
phư
phương á
án cự
cực biên củ
của bà
bài toá
toán quy hoạ
hoạch
ch
tuyế
tuyến tí
tính dạ
dạng
ng chí
chính tắ
tắc tố
tối đa bằ
bằng
ng m (m là
là
số
số dò
dòng
ng củ
của ma tậ
tận A).
Đ ỊNH LÝ
LÝ 2. (SỰ
(SỰ TỒ
TỒN TẠ
TẠI CỦ
CỦA PHƯ
PHƯƠNG Á
ÁN TỐ
TỐI ƯU)
Nế
Nếu bà
bài toá
toán quy hoạ
hoạch
ch tuyế
tuyến tí
tính có
có phư
phương
án và
và hà
hàm mụ
mục tiêu bò chặ
chặn dư
dưới (đ
(đối vớ
với
f(x)
min) hoặ
hoặc hà
hàm mụ
mục tiêu bò chặ
chặn trên
(đối vớ
với f(x) max) trên tậ
tập cá
các phư
phương á
án thì
thì
bà
bài toá
toán có
có phư
phương á
án tố
tối ưu.
ĐỊNH LÝ
LÝ 3. (SỰ
(SỰ TỒ
TỒN TẠ
TẠI CỦ
CỦA P.A.C.B. TỐ
TỐI ƯU)
Nế
Nếu bà
bài toá
toán QHTT dạ
dạng
ng chí
chính tắ
tắc có
có P.A.T.Ư
P.A.T.Ư
thì
thì bà
bài toá
toán có
có P.A.C.B tố
tối ưu (P.A.C.B.T.Ư
(P.A.C.B.T.Ư).
2
x1
x2
3 x3
1
2x2
x3
4
x2
X
0
x3
0
0, 1, 3
Y
3, 0, 0
Z
ôn
g
là
là phư
phương á
án cự
cực biên?
ễn
x1
x1
2
Cá
Các vectơ nà
nào sau đây
2,
23
,
5
6
5
CÁ
CÁC TÍ
TÍNH CHẤ
CHẤT CỦ
CỦA BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QHTT
X, Y, Z thỏ
thỏa cá
các rà
ràng
ng buộ
buộc nên chú
chúng
ng là
là P.A.
Mặ
Mặt khá
khác ta có
có 1
1
1
A1
C
Đ ỊNH LÝ
LÝ 1. (TÍ
(TÍNH CHẤ
CHẤT ĐẶC TRƯ
TRƯNG CỦ
CỦA P.A.C.B)
Mộ
của bà
bài
*, , xn*) củ
Một phư
phương á
án X* = (x1*, x2*,
toá
toán QHTT dạ
dạng
ng chí
chính tắ
tắc là
là phư
phương á
án cự
cực
biên nế
ng vớ
với
nếu và
và chỉ
chỉ nế
nếu hệ
hệ vectơ cộ
cột A j ứng
thà
là độc lậ
lập tuyế
tuyến tí
tính.
thành
nh phầ
phần x j* > 0 là
Ví dụ
dụ 1.8. Cho bà
bài toá
toán QHTT
f ( x)
x1 2 x2 3x3
min
4 x3
6 x1
0
x*j = 0, j=1,l,l n
CÁ
CÁC TÍ
TÍNH CHẤ
CHẤT CỦ
CỦA BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QHTT
3x 2
x1
Tr
í
n
Ví dụ
dụ 1.7. Cho bà
bài toá
toán QHTT
f ( x ) 50 x1 16 x2 23x3 min
1
A2
1
Vớ
Với X = (2, 2, 0), det
1
1
1
1
A3
0
2 nên X là
là P.A.C.B.
Vớ
Với Y = (0, 0, 4), hệ
hệ chỉ
chỉ gồ
gồm mộ
một vectơ A3 nên
Y cũng là
là P.A.C.B.
Vớ
Với Z=(1, 1, 2), ta thấ
thấy hệ
hệ {A 1, A2, A3} phụ
phụ thuộ
thuộc
tuyế
tuyến tí
tính vì
vì A 1+A22A3=0 nên Z không là
là P.A.C.B.
HỆ
HỆ QUẢ
QUẢ 1. (tí
(tính hư
hữu hạ
hạn củ
của P.A.C.B).
Số
Sốù phư
phương á
án cự
cực biên củ
của bà
bài toá
toán QHTT
dạ
dạng
ng chí
chính tắ
tắc là
là hữu hạ
hạn.
n.
CÁ
CÁC TÍ
TÍNH CHẤ
CHẤT CỦ
CỦA BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QHTT
Đ ỊNH LÝ
LÝ 4. (SỰ
(SỰ TỒ
TỒN TẠ
TẠI NHIỀ
NHIỀU P.A.C.B.T.Ư
P.A.C.B.T.Ư)
Nế
và X1, X2
Nếu bà
bài toá
toán QHTT có
có P.A.T.Ư
P.A.T.Ư là
là X 0 và
hai phư
phương á
án khá
khác nhau củ
của bà
bài toá
toán thoả
thoả
X0 = X 1 + (1
1 thì
(1 )X 2, 0
thì X1, X 2 là
là P.A.T.Ư
P.A.T.Ư.
NHẬ
NHẬN XÉ
XÉT
1. Ta có
có thể
thể tìm P.A.T.Ư
P.A.T.Ư củ
của bà
bài toá
toán QHTT
trong số
số cá
các P.A.C.B củ
của bà
bài toá
toán và
và có
có thể
thể
xá
xác đònh ngay P.A.C.B củ
của bà
bài toá
toán dạ
dạng
ng
chuẩ
chuẩn bằ
bằng
ng cá
cách
ch cho cá
các ẩ
ẩn không cơ bả
bản
bằ
bằng
ng không (xem Ví dụ
dụ 1.9).
1.9).
2. Trong bà
bài toá
toán QHTT dạ
dạng
ng chí
chính tắ
tắc.
c. Nế
Nếu
hạ
hạng
ng củ
của ma trậ
trận hệ
hệ số
số A là
là m thì
thì P.A.C.B
đươ
được gọ
gọi là
là không suy biế
biến nế
nếu nó
nó có
có đúng
ng m
thà
thành
nh phầ
phần dư
dương. Nế
Nếu P.A.C.B có
có ít hơn m
thà
thành
nh phầ
phần dư
dương thì
thì đươ
được gọ
gọi là
là P.A.C.B suy
biế
biến (xem Ví dụ
dụ 1.10).
1.10).
¸¬¬°ỉđđ²½¬®·ò½±ò½½
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ÝØJLỊÙ ïỉ ÞßH× ÌĐßGỊ ÏË× ØĐßQÝØ ÌËÇÛ_Ị ÌSỊØ
̸-ò Ị¹«§»=² ݱ>²¹ Ì®3
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
CÁ
CÁC TÍ
TÍNH CHẤ
CHẤT CỦ
CỦA BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QHTT
CÁ
CÁC TÍ
TÍNH CHẤ
CHẤT CỦ
CỦA BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QHTT
Ví dụ
dụ 1.10 . Vớ
Với bà
bài toá
toán quy hoạ
hoạch
ch tuyế
tuyến tí
tính
f ( x) 3 x1 4 x2 2 x3 2 x4 min
V í dụ
dụ 1.9 .
Vớ
Với bà
bài toá
toán quy hoạ
hoạch
ch tuyế
tuyến tí
tính
x2
x5
x1
x2
3x 2
x3
2 x2
0 j 1,5
xj
min
x4
2 x5
x5
x5
1
3
2
Ths.
nHÌNH
Công Tr
Tríí
4.2. PHƯ
ƠNG PHÁ
PHƯNguyễ
PHÁP ĐƠN
4.3. PHƯ
PHƯƠNG PHÁ
PHÁP ĐƠN HÌNH MỞ
MỞ RỘ
RỘNG
NG
(BÀ
(Xem)
(BÀI TOÁ
TOÁN M)
2 x1
2 x2
2 x3
x4
16
Hạ
Hạng
ng củ
của ma trậ
trận hệ
hệ số
số củ
của hệ
hệ rà
ràng
ng buộ
buộc
tuyế
tuyến tí
tính bằ
bằng
ng 3 và
và X có
có 2 thà
thành
nh phầ
phần dư
dương là
là
x1 =11, x2 = 3 nên X là
là P.A.C.B suy biế
biến.
n.
ễn
N
gu
y
28
26
Kiể
c tiế
Kiểm tra trự
trực
tiếp,
p, ta có
có X là
là P.A củ
của bà
bài toá
toán.
n.
(Xem)
Copyright 2001
x4
2 x4
PHƯ
PHƯƠNG PHÁ
PHÁP HÌNH HỌ
HỌC
Xé
Xét bà
bài toá
toán QHTT có
có 2 biế
biến.
n.
ax+by=c
=m (đư
ờng
(đươ
ng mứ
mức)
c)
C
(Xem)
3 x3
ôn
g
4.1. PHƯ
PHƯƠNG PHÁ
PHÁP HÌNH HỌ
HỌC
2 x2
5 x2
x j 0 j 1,4
Kiể
Kiểm tra vectơ X = (11, 3, 0, 0) có
có phả
phải là
là P.A.C.B?
Ta có
có phư
phương á
án X = (1, 0, 3, 2, 0) là
là phư
phương á
án
cực biên củ
của bà
bài toá
toán vì
vì cá
các ẩ
ẩn x1, x 3, x 4 là
là cá
các
ẩn cơ bả
bản củ
của bà
bài toá
toán dạ
dạng
ng chuẩ
chuẩn.
n.
CÁ
CÁC PHƯ
PHƯƠNG PHÁ
PHÁP GIẢ
GIẢI
BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QUY HOẠ
HOẠCH
CH TUYẾ
TUYẾN TÍ
TÍNH
2 x1
x1
Tr
í
f ( x)
tăng
ax+by
ax+by>c
a
O
b
giả
giảm
N(a,b)
PHƯ
PHƯƠNG PHÁ
PHÁP HÌNH HỌ
HỌC
PHƯ
PHƯƠNG PHÁ
PHÁP HÌNH HỌ
HỌC
Ví dụ
dụ 1.11. Mộ
Một công ty có
có 2 phân xư
xưởng:
ng: PX1 và
và
PX2 cù
cùng
ng sả
sản xuấ
xuất 2 loạ
loại sả
sản phẩ
phẩm A và
và B. Năng
suấ
suất và
và chi phí
phí sả
sản xuấ
xuất củ
của mỗi PX trong 1 giờ
giờ:
Gọ
Gọi x 1, x2 lầ
lần lư
lượt là
là số
số giờ
giờ hoạ
hoạt động
ng củ
của phân
xưởng
ng thứ
thứ nhấ
nhất và
và phân xư
xưởng
ng thứ
thứ hai.
Phân xư
xưởng
ng
Năng suấ
suất
Sả
Sản phẩ
phẩm A
Sả
Sản phẩ
phẩm B
Chi phí
phí (triệ
(triệu đồng/
ng/ giờ
giờ)
PX1
PX 2
250
100
0,6
250
200
1
Đơn đặt hà
hàng:
ng: ít nhấ
nhất 5.000 SpA, 3.000 SpB.
Hãy phân phố
phối thờ
thời gian hoạ
hoạt động
ng củ
của 2 phân
xưởng
ng sao cho thoả
thoả yêu cầ
cầu đơn đặt hà
hàng
ng và
và
chi phí
phí sả
sản xuấ
xuất thấ
thấp nhấ
nhất.
t.
Ta có
có mô hì
hình bà
bài toá
toán
f x
0, 6 x1
x2
min
250 x1
250 x2
5000
100 x1
200 x2
3000
x1
x2
0
0
Dù
Dùng
ng phư
phương phá
pháp hì
hình họ
học để giả
giải bà
bài toá
toán
trên như
như sau
¸¬¬°ỉđđ²½¬®·ò½±ò½½
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ÝØJLỊÙ ïỉ ÞßH× ÌĐßGỊ ÏË× ØĐßQÝØ ÌËÇÛ_Ị ÌSỊØ
̸-ò Ị¹«§»=² ݱ>²¹ Ì®3
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
PHƯ
PHƯƠNG PHÁ
PHÁP HÌNH HỌ
HỌC
PHƯ
PHƯƠNG PHÁ
PHÁP HÌNH HỌ
HỌC
0,6x1+x2=m
15
A1(0,20)
A3
(10,10) A2(30,0)
10
10
20
f x
tăng
30
250x1+250x2=5000
2
x1
2 x2
x2 0
2
0
bằ
bằng
ng phư
phương phá
pháp hì
hình họ
học
CƠ SỞ
SỞ PHƯ
PHƯƠNG PHÁ
PHÁP ĐƠN HÌNH
Ví dụ
dụ 13: giả
giải bà
bài toá
toán f ( x)
x 1 -x 2 = - 2
2 (2,0)
2 x1
3x1
x1
ễn
2A
N
gu
y
Hà
Hàm mụ
mục tiêu không bò chặ
chặn.
n. Bà
Bài toá
toán không
có
có phư
phương á
án tố
tối ưu.
xj
CƠ SỞ
SỞ PHƯ
PHƯƠNG PHÁ
PHÁP ĐƠN HÌNH
Ta có
có P.A.C.B là
là x = (0, 0, 0, 10, 5, 8)
Bà
Bài toá
toán tư
tương đương
đương
f ( x)
3x1 2 x2 x3 min
w1
w2
w3
xj
10
5
8
0
2 x1
3x1
x1
j 1,3, wi
4 x2
x2
2 x2
4 x2
x2
2 x2
xj 0
Đưa
Đưa bà
bài toá
toán về
về dạ
dạng
ng chí
chính tắ
tắc
f ( x)
3x1 2 x2 x3 min
A1(0,2)
giảûm
gia
-1
3x1 2 x2
2 x1
3x1
x1
C
Miề
Miền rà
ràng
ng buộ
buộc
D
-x1+2x2= -2
-1 O
-2
tăng
ôn
g
PHƯ
PHƯƠNG PHÁ
PHÁP HÌNH HỌ
HỌC
2
min
x2
Vậ
Vậy P.A.T.Ư
P.A.T.Ư: x opt(10,10) và
và f(xopt)=16 triệ
triệu đồng.
ng.
-2x 1+x2= m
x2
x1
x1
giả
giảm
2 x1
Tr
í
Miề
Miền rà
ràng
ng buộ
buộc
D
100x1+200x2=3000
20
Ví dụ
dụ 1.12.
Giả
Giải bà
bài toá
toán quy hoạ
hoạch
ch tuyế
tuyến tí
tính
3x3
4 x3
2 x3
0, i 1,3
có
có P.A.C.B là
là x = (0, 0, 0, 10, 5, 8) và
và f(x) = 0.
Nhậ
Nhận xé
xét:
t:
có
có thể
thể đổi P.A bằ
bằng
ng cá
cách
ch tăng x1 bằ
bằng
ng mộ
một giá
giá
trò dư
dương và
và giử
giử x 2 = x3 = 0 thỏ
thỏa điề
iều kiệ
kiện wi 0.
4 x2
x2
2 x2
0,
3 x3
4 x3
2 x3
j 1,3, wi
min
x3
3 x3
4 x3
2 x3
10
5
8
j 1, 3
w1
10
5
8
w2
w3
0, i 1,3
CƠ SỞ
SỞ PHƯ
PHƯƠNG PHÁ
PHÁP ĐƠN HÌNH
Ta có
có
w1
w2
w3
10
5
8
2 x1 0
3x1 0
x1 0
x1
x1
x1
5
5
3
8
x1
5
3
(Chọn dòng 2)
Chọ
Chọn x1 = 5/3, ta đươ
được P.A mớ
mới là
là
x 1 = 5/3, x2 = x3 = w2 = 0, w1 = 20/3, w3 = 19/3.
Và
Và f(x) = - 5.
Bà
Bài toá
toán tư
tương đương:
đương: tạ
tại rà
ràng
ng buộ
buộc thứ
thứ hai tí
tính
x 1 theo cá
các biế
biến cò
còn lạ
lại,
i, rồ
rồi thế
thế giá
giá trò x 1 vừa tí
tính
đươ
được và
vào cá
các rà
ràng
ng buộ
buộc và
và hà
hàm mụ
mục tiêu.
¸¬¬°ỉđđ²½¬®·ò½±ò½½
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ÝØJLỊÙ ïỉ ÞßH× ÌĐßGỊ ÏË× ØĐßQÝØ ÌËÇÛ_Ị ÌSỊØ
̸-ò Ị¹«§»=² ݱ>²¹ Ì®3
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
CƠ SỞ
SỞ PHƯ
PHƯƠNG PHÁ
PHÁP ĐƠN HÌNH
x2 3x3
Ta có
có
min
20
2
10
w2
x2
3
3
3
5
1
1
w2
x2
3
3
3
19
1
5
w2
x2
3
3
3
j 1,3, wi 0, i 1,3
w1
x1
w3
20
10
x1 0
3
3
x2
2
5
1
x1
x2 0
x2
5
x2 2
3
3
19 (Chọn dòng 1)
19
5
x2
w3
x 0
5
3
3 2
Chọ
Chọn x2 = 2, ta đươ
được P.A mớ
mới là
là
x 1 = 1, x 3 = w1 = w2 = 0, w3 = 3 và
và f(x) = - 7.
Bà
Bài toá
toán tư
tương đương:
đương: tạ
tại rà
ràng
ng buộ
buộc thứ
thứ nhấ
nhất
tính x2 theo cá
các biế
biến cò
còn lạ
lại,
i, rồ
rồi thế
thế giá
giá trò x2 vừa
tính đươ
được và
vào cá
các rà
ràng
ng buộ
buộc và
và hà
hàm mụ
mục tiêu.
w1
1
x3
3
4
x3
3
2
x3
3
Tr
í
Ta có
có kế
kết quả
quả
f ( x)
5 w2
CƠ SỞ
SỞ PHƯ
PHƯƠNG PHÁ
PHÁP ĐƠN HÌNH
ôn
g
xj 0
Nhậ
Nhận xé
xét:
t:
có
có thể
thể đổi P.A bằ
bằng
ng cá
cách
ch tăng x2 bằ
bằng
ng mộ
một giá
giá
trò dư
dương và
và giử
giử x 3 = w2 = 0 thỏ
thỏa điề
iều kiệ
kiện wi 0.
CƠ SỞ
SỞ PHƯ
PHƯƠNG PHÁ
PHÁP ĐƠN HÌNH
3
w1
10
x2
4
31
w2
x3 min
5
10
3
1
w1
w2
10
5
1
6
w1
w2
10
15
1
w1
2
1,3, wi 0, i 1,3
2
x1
1
w3
xj
j
0
f ( x)
1
x3
10
39
x3
30
2
x3
3
N
gu
y
Bà
Bài toá
toán có
có P.A.T.U là
là xopt = (1, 2, 0)
và
và f(xopt) = - 7
2
xi
m
a i , m k xm k , f x
bi
k 1
Đặt
k 1
i 1
ai ,m k ci cm
cm k thì
thì f x
ai ,m k ci
m k
m
ci xi
i 1
m
n m
Nế
Nếu
Nế
Nếu
m k
m k
0
thì
thì
0
thì
thì f x
Ký
Ký hiệ
hiệu lạ
lại:i:
f x0
m k
xm
k
k 1
xm
k
0
f x , vì
xm
k
0
0
aij ci c j
i 1
xm
f x , vì
m
j
k
n m
f x0
i 1
(1) Khi
f ( x)
Min
thì
thì
j
0; j
(2) Khi
f ( x)
Max
thì
thì
j
0; j
min hay max 1
n m
xi
ai ,m k xm
k
bi
2
k 1
xj
0
j 1, n bi
0
3
Dấ
Dấu hiệ
hiệu tố
tối ưu củ
của bà
bài toá
toán
Phư
Phương á
án cự
cực biên đầu tiên là
là:
x0 (b1 , b2 , ; bm ,.0 ,0)
f ( x0 )
m
cibi
Chọ
Chọn mộ
một P.A bấ
bất kỳ
kỳ củ
của bà
bài toá
toán
x
D, x
( x1 , x2 , , xn )
n
f (x )
i 1
m
cjxj
j 1
n m
ci xi
i 1
cm k xm
k
k 1
CƠ SỞ
SỞ PHƯ
PHƯƠNG PHÁ
PHÁP ĐƠN HÌNH
CƠ SỞ
SỞ PHƯ
PHƯƠNG PHÁ
PHÁP ĐƠN HÌNH
n m
cjxj
j 1
ễn
3
Dựa
ựa trên cơ sở
sở nbà
bài toá
toán có
có dạ
dạng
ng chuẩ
chuẩn
C
Ta có
có kế
kết quả
quả
7
f ( x)
CƠ SỞ
SỞ PHƯ
PHƯƠNG PHÁ
PHÁP ĐƠN HÌNH
k
Dấ
Dấu hiệ
hiệu bà
bài toá
toán không có
có P.A.T.Ư
P.A.T.Ư
Đònh lý
lý. Vớ
Với mộ
một phư
phương á
án cự
cực biên, nế
nếu tồ
tồn tạ
tại
mà aij 0, i thì
thì bà
bài toá
toán không có
có P.A.T.Ư
P.A.T.Ư .
j > 0 mà
(xem Ví dụ
dụ 1.13)
1.13)
Hệ n PA C1 C2 Ci C m C m+1 Cj Cn
số C.B C B x1 x2 xi x m xm+1 xj xm
C1
x1
b1
1
0 0 a1,m+ 1 a1j a1n
C2
x2
b2
0
1 0 a2,m+ 1 a2j a2n
Ci
xi
bi
0
bm
0
Cm xm
f(x) f(x0) 0
0 0
ai,m+1 aij ain
0 1 am,m+1 a mj amn
0 0
m+1
j
n
¸¬¬°ỉđđ²½¬®·ò½±ò½½
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ÝØJLỊÙ ïỉ ÞßH× ÌĐßGỊ ÏË× ØĐßQÝØ ÌËÇÛ_Ị ÌSỊØ
̸-ò Ị¹«§»=² ݱ>²¹ Ì®3
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
CƠ SỞ
SỞ PHƯ
PHƯƠNG PHÁ
PHÁP ĐƠN HÌNH
BẢ
BẢNG
NG ĐƠN HÌNH
Dấ
Dấu hiệ
hiệu bà
bài toá
toán có
có P.A.C.B. khá
khác tố
tốt hơn
Đònh lý
lý. Vớ
Với mộ
một P.A.C.B, nế
nếu j>0, i: aij > 0 thì
thì bà
bài
toá
toán có
có P.A.C.B khá
khác tố
tốt hơn P.A.C.B đang xé
xét.
t.
Hệ Ẩn PA C 1 C2 Ci C m Cm+1 CJ Cn
Số C.B CB x1 x2 xi xm xm+1 xj xn
C1
x1
b1
C2
x2
b2
0 1 0 a2,m+1 a2j a2n
Ci
xi
bi
0 0 0
bm
ai,m+1 aij ain
0 0
m+1
j
0, i?
Ci
xi
bi
0
xm
bm
0
f(x) f(x0) 0
N
gu
y
SỐ
SỐ BƯỚC LẶ
LẶP
LÀ
LÀ HỮU HẠ
HẠN
f (x) 6x1 x2 x3 3x4 x5 7x6 6x7
x3
0
1 am,m+1 amj amn
0 0
m+1
j
n
Tậ
Tập phư
phương á
án tố
tối ưu:
BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN
KHÔNG CÓ
CÓ P.A.T.Ư
P.A.T.Ư
x5
x6
2x6
3x6
Trư
và X/opt
Trường
ng hợ
hợp có
có 2 P.A.C.B.T.Ư
P.A.C.B.T.Ư Xopt và
Topt = { Xopt + (1 )X/opt,
Trư
Trường
ng hợ
hợp có
có 3 P.A.C.B.T.Ư
P.A.C.B.T.Ư
[0, 1]}
1]}
X(1)opt,
X(2)opt, X(3)opt
Topt = { X(1)opt + X (2)opt + X(3)opt, }, vớ
với , ,
+ + = 1.
0 và
và
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH
Ví dụ
dụ 1.14.
Giả
Giải bà
bài toá
toán quy hoạ
hoạch
ch tuyế
tuyến tí
tính
x4
4x4
2x4
ai,m+1 aij ain
X/opt (xem Ví dụ
dụ 1.15).
1.15).
KẾ
KẾT THÚ
THÚC
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH
x2
0 0
Vớ
được,
c, nế
nếu
Với P.A.C.B.T.Ư
P.A.C.B.T.Ư Xopt tìm đươ
mà xj
j = 0, mà
không là
ø
P.A.C.B
thì
ì
bà
ø
i
toá
ù
n
có
ù
P.A.C.B.T.Ư
Ư
la
th ba toa co P.A.C.B.T. khá
khác
ễn
xi
BIẾ
BIẾN ĐỔI BẢ
BẢNG
NG ĐƠN HÌNH
xj 0 j 1,7
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH
P.A.T.Ư
P.A.T.Ư
Đúng
ng
j
x1
2x1
4x1
a2,m+1 a2j a2n
NHẬ
NHẬN XÉ
XÉT.
T. Dấ
Dấu hiệ
hiệu bà
bài toá
toán có
có nhiề
nhiều P.A.T.Ư
P.A.T.Ư.
Đúng
ng
Sai
XÁ
XÁC ĐỊNH PHƯ
PHƯƠNG Á
ÁN MỚ
MỚI
xj
n và
vào:
o: Max
j
0
bi
aij
a1,m+1 a1j a1n
1 0
C
0, j?
Sai
aij 0
0 0
0
n
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH
n ra: Min
1
b2
Cm
LẬ
LẬP BẢ
BẢNG
NG ĐƠN HÌNH
aij
b1
x2
0 0 1 am,m+1 amj amn
f(x) f(x0) 0
j
x1
C2
ôn
g
Cm xm
1 0 0 a1,m+1 a1j a1n
C1
Tr
í
Hệ Ẩn PA C1 C2 Ci Cm Cm+1 Cj Cn
so á C.B CB x1 x2 x i x m xm+1 x j xm
min
x7
x7
3
9
2
HỆ
HỆ
Ẩ N
SỐ
SỐ
C.B
1
1
1
x2
x3
x5
f x
x6
x3
x5
f x
7
1
1
P.A
3
9
2
14
3
3
11
7
6
x1
1
2
4
5
1
0
1
2
BT không có
có P.A.T.Ư
P.A.T.Ư vì
1
x2
1
0
0
0
1
2
3
7
4=
1 3 1
x3 x4 x5
0 1 0
1 4 0
0 2 1
0 6 0
0 1 0
1 2 0
0 1 1
0 1 0
7
x6
1
2
3
7
1
0
0
0
6
x7
1
1
0
6
1
3
3
13
1 > 0 mà
mà ai4 < 0, i.
¸¬¬°ỉđđ²½¬®·ò½±ò½½
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ÝØJLỊÙ ïỉ ÞßH× ÌĐßGỊ ÏË× ØĐßQÝØ ÌËÇÛ_Ị ÌSỊØ
̸-ò Ị¹«§»=² ݱ>²¹ Ì®3
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH
Ví dụ
dụ 1.15.
Giả
Giải bà
bài toá
toán quy hoạ
hoạch
ch tuyế
tuyến tí
tính
f (x) 5x1 4x2 5x3 2x4 x5 3x6
2x1
4x2
3x3
4x1
3x1
2x2
3x3
x3
min
152
x4
x5
60
36
x6
2
4
5
P.A
5
x
1
C.B
x4 104 0
x2
6 0
x1 12 1
f x 292 0
4 5 2
x2 x3 x4
0 1 1
1 56 0
0 13 0
0 2 0
C.B
2
1
3
x4
x5
x6
f x
x4
x5
x1
f x
152
60
36
472
128
12
12
328
5
x1
2
4
3
12
0
0
1
0
4 5 2
x2 x3 x4
4 3 1
2 3 0
0 1 0
6 7 0
4 73 1
2 53 0
0 13 0
6 3 0
1
x5
0
1
0
0
0
1
0
0
3
x6
0
0
1
0
2
4
1
3
3
3
4
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH
1
x5
2
1
2
0
3
3
x6
2
HỆ
HỆ
Ẩ N
SỐ
SỐ
C.B
2
4
3
C
SỐ
SỐ
ẨN
SỐ
SỐ
P.A
ôn
g
Bà
Bài toá
toán có
có phư
phương á
án tố
tối ưu khá
khác hay không?
Nế
Nếu có
có tìm tậ
tập phư
phương á
án tố
tối ưu và
và chỉ
chỉ ra 3
phư
phương á
án tố
tối ưu.
HỆ
HỆ
Ẩ N
2
1
5
xj 0 j 1,6
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH
HỆ
HỆ
Tr
í
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH
2
1
3
3
0
ễn
Bà
và
Bài toá
toán có
có P.A.T.Ư
P.A.T.Ư xopt=(12, 6, 0, 104, 0, 0) và
f(xopt)= 292.
N
gu
y
Bà
Bài toá
toán cò
còn P.A.C.B.T.Ư
P.A.C.B.T.Ư khá
khác vì
vì 6 = 0,
0, như
nhưng x6
không phả
phải là
là A.C.B. Ta có
có P.A.C.B.T.Ư
P.A.C.B.T.Ư thứ
thứ hai
bằ
là ẩn đưa
đưa và
vào.
o.
bằng
ng cá
cách
ch chọ
chọn ẩ
ẩn x6 là
(12, 6, 0, 104, 0, 0) + (1(1- )(0, 30, 0, 32, 0, 36)
= (12 , 30
3024 , 0, 32 + 72 , 0, 36 - 36 )
3 phư
phương á
án tố
tối ưu là
là
Vớ
Với = 0, ta có
có P.A.T.Ư
P.A.T.Ư :
4 5 2
x2 x3 x4
0 3 1
1 32 0
0 1 0
0 2 0
1
x5
2
1
2
0
3
3
x6
0
0
1
0
Bà
Bài toá
toán có
có phư
phương á
án cự
cực biên tố
tối ưu khá
khác là
là
x /opt = (0, 30, 0, 32, 0, 36) và
và f(x /opt) = 292.
Tậ
Tập phư
phương á
án tố
tối ưu
Topt={ xopt + (1 - )x/opt,
0, 1 }
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH
NHẬ
NHẬN XÉ
XÉT.
T. Nế
Nếu bà
bài toá
toán có
có hà
hàm mụ
mục tiêu
n
f ( x)
cj xj
Max
j 1
Có
Có hai cá
cách
ch giả
giải:
i:
Giả
Giải trự
trực tiế
tiếp bà
bài toá
toán (xem Ví dụ
dụ 1.16),
1.16), vớ
với:i:
Tiêu chuẩ
chuẩn tố
tối ưu là
là
x /opt = (0,
(0, 30, 0, 32, 0, 36) và
và f(x /opt) = 292.
Vớ
Với = 1, ta có
có P.A.T.Ư
P.A.T.Ư:
xopt = (12,
(12, 6, 0, 104, 0, 0) và
và f(x/opt) = 292.
Vớ
Với = ½, ta có
có P.A.T.Ư
P.A.T.Ư:
5
x1
6
2
3
0
x4 32
x2 30
x6 36
f x 292
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH
Vớ
Với tậ
tập phư
phương á
án tố
tối ưu, ta có
có :
x opt + (1 - )x/opt =
P.A
Ẩn và
vào là
là Min
j
Ẩn ra là
là Min
aij 0
0
j
0, j
j
bi
aij
Chuyể
Chuyển hà
hàm mụ
mục tiêu củ
của bà
bài toá
toán về
về min
Z opt = (6,
(6, 18, 0, 68, 0, 18) và
và f(zopt) = 292.
g ( x)
f ( x)
Min
¸¬¬°ỉđđ²½¬®·ò½±ò½½
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ÝØJLỊÙ ïỉ ÞßH× ÌĐßGỊ ÏË× ØĐßQÝØ ÌËÇÛ_Ị ÌSỊØ
̸-ò Ị¹«§»=² ݱ>²¹ Ì®3
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH
Đưa
Đưa bà
bài toá
toán về
về dạ
dạng
ng chí
chính tắ
tắc bằ
bằng
ng cá
cách
ch
thêm ẩ
ẩn phụ
phụ x 5 0 và
vào rà
ràng
ng buộ
buộc thứ
thứ hai và
và ẩn
phụ
phụ x6 0 và
vào rà
ràng
ng buộ
buộc thứ
thứ ba.
Ta có
có bà
bài toá
toán ở
ở dạ
dạng
ng chuẩ
chuẩn
Giả
Giải bà
bài toá
toán quy hoạ
hoạch
ch tuyế
tuyến tí
tính
f ( x)
2x1 x2 x3 x4
x1
xj
x2
x2
0
max
2x3
7 x3
3x3
x4
3x4
2 x4
f (x)
2
2
5
x1
C.B
2
0
0
x1
x5
x6
f x
x3
x5
x6
f x
P.A
2
x1
1
0
0
0
2
2
5
4
1
9
8
1
1
7
3
5
2
2
2
2
1 1 1 0
x2 x3 x4 x5
1 2 1 0
1 7 3 1
0 3 2 0
1 5 1 0
1
1 12 0
2
5
0 12 1
2
3
0 12 0
2
3
0 32 0
2
0
x6
0
0
1
0
0
0
1
0
CƠ SỞ
SỞ THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH MỞ
MỞ RỘ
RỘNG
NG
Xuấ
Xuất phá
phát từ
từ bà
bài toá
toán dạ
dạng
ng chí
chính tắ
tắc
n
f ( x)
3x4
3x3
2x4
cj xj
HỆ
HỆ
Ẩ N
SỐ
SỐ
C.B
1
0
1
bi , i 1, m
I
j 1
0
j 1, n bi
5
x6
0
Không là
làm mấ
mất tí
tính tổ
tổng
ng quá
quát củ
của bà
bài toá
toán,
n, ta
giả
giả sử cá
các bi 0 và
và ma trậ
trận hệ
hệ số
số củ
của hệ
hệ rà
ràng
ng
buộ
buộc không chứ
chứa vectơ (cộ
(cột)
t) đơn vò nà
nào.
o.
Cộ
Cộng
ng và
vào mỗi rà
ràng
ng buộ
buộc vớ
với mộ
một ẩ
ẩn giả
giả tương
ứng
ng xi(g) 0 thì
thì ta đươ
được bà
bài toá
toán có
có dạ
dạng:
ng:
P.A
2
x1
2
5
3
7
x3
9
x5 17
x4 16
f x 25
1 1 1
x2 x3 x4
2 1 0
4 0 0
3 0 1
6 0 0
0
x5
0
1
0
0
0
x6
1
1
2
3
CƠ SỞ
SỞ THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH MỞ
MỞ RỘ
RỘNG
NG
n
f ( x)
Min
j 1
aij x j
2
x5
Vì cá
các j 0, j nên ba
bài toá
toán có
có P.A.T.Ư
P.A.T.Ư là
là
X opt = (0, 0, 9, 16) và
và f(Xopt) = 25.
Bà
Bài toá
toán trên không cò
còn phư
phương á
án tố
tối ưu nà
nào
khá
khác vì
vì không có
có j = 0 nà
là ẩn không
nào vớ
với xj là
cơ bả
bản.
n.
m
c j xj
j 1
xig
M
Min
i 1
n
aij x j
n
xj
7x3
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH
N
gu
y
1
0
0
x2
2
Lậ
Lập bả
bảng
ng đơn hì
hình
C
SỐ
SỐ
x4
xj 0 j 1,6
ễn
Ẩ N
2x3
ôn
g
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH
max
x2
j 1,4
Bà
Bài toá
toán có
có phư
phương á
án tố
tối ưu khá
khác hay không?
Nế
á
u
có
ù
,
hã
y
chỉ
ỉ
ra
phư
ư
ơng
á
ù
n
tố
Ne co
ch
ph
a tối ưu khá
khác.
c.
HỆ
HỆ
2x1 x2 x3 x4
Tr
í
Ví dụ
dụ 1.16.
xig
bi , i 1, m
II
j 1
xj
0, j 1, n;
xig
0, i 1, m, M
0 vô cù ng lớn.
Bà
Bài toá
toán (I) đươ
được gọ
gọi là
là bà
bài toá
toán gố
gốc, bà
bài toá
toán
(II) gọ
gọi là
là bà
bài toá
toán mở
mở rộ
rộng
ng hay bà
bài toá
toán M.
M.
Mộ
Một phư
phương á
án củ
của bà
bài toá
toán M có
có dạ
dạng
ng x x j , xig
(g)
trong đó xj gồ
gồm n ẩ
ẩn thậ
thật và
và xi gồ
gồm m ẩ
ẩn giả
giả.
¸¬¬°ỉđđ²½¬®·ò½±ò½½
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ÝØJLỊÙ ïỉ ÞßH× ÌĐßGỊ ÏË× ØĐßQÝØ ÌËÇÛ_Ị ÌSỊØ
̸-ò Ị¹«§»=² ݱ>²¹ Ì®3
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
BẢ
BẢNG
NG ĐƠN HÌNH MỞ
MỞ RỘ
RỘNG
NG
CƠ SỞ
SỞ THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH MỞ
MỞ RỘ
RỘNG
NG
C1 C2 Cm
Cm+1 Cj Cn
Số C.B CB
x1
xm+1 xj xn
M xn+1
b1
a11 a12 a1m a1,m+1 a1j a1,n
M x n+2
b2
a21 a22 a2m a2,m+1 a2j a2,n
M x n+i
bi
ai1 ai2 aim ai,m+1 aij ai,n
Hệ Ẩn
PA
x2 xm
NHẬ
NHẬN XÉ
XÉT.
T.
Khi thuậ
thuật giả
giải củ
của bà
bài toá
toán M kế
kết thú
thúc thì
thì có
có hai
trư
trường
ng hợ
hợp sau đây có
có thể
thể xả
xảy ra:
[1] Nế
Nếu bà
bài toá
toán M (Bà
(Bài toá
toán II) không có
có
phư
phương á
án tố
tối ưu thì
thì bà
bài toá
toán gố
gốc (Bà
(Bài toá
toán I)
cũng không có
có phư
phương á
án tố
tối ưu.
[2] Nế
Nếu bà
bài toá
toán M (Bà
(Bài toá
toán II) có
có phư
phương á
án tố
tối
ưu thì
thì có
có 3 trư
trường
ng hợ
hợp xả
xảy ra sau đây:
f(x) f(x0)
1
2
m
m+1
j
Tr
í
M xn+m bm am1 am2 amm am,m+1 amj am,n
a) Trong hệ
a ẩ
hệ A.C.B không chứ
chứa
ẩn giả
giả nà
nào thì
thì
P.A.T.Ư
P.A.T.Ư củ
của bà
bài toá
toán M cũng chí
chính là
là P.A.T.Ư
P.A.T.Ư
củ
của bà
bài toá
toán gố
gốc (xem V í dụ
dụ 1.17).
1.17).
n
CƠ SỞ
SỞ THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH MỞ
MỞ RỘ
RỘNG
NG
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH MỞ
MỞ RỘ
RỘNG
NG
ĐƯA
ĐƯA BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN VỀ
VỀ DẠ
DẠNG CHUẨ
CHUẨN
LẬ
LẬP BẢ
BẢNG
NG ĐƠN HÌNH
C
b) Nế
Nếu trong hệ
hệ ẩn cơ bả
bản củ
của bà
bài toá
toán M có
có
chứ
chứa ẩ
ẩn giả
giả như
nhưng giá
giá trò củ
của chú
chúng
ng đều bằ
bằng
ng
không thì
thì P.A.T.Ư
P.A.T.Ư củ
của bà
bài toá
toán gố
gốc là
là P.A.T.Ư
P.A.T.Ư.
củ
của bà
bài toá
toán M loạ
loại bỏ
bỏ cá
các ẩ
ẩn giả
giả bằ
bằng
ng không
(xem Ví dụ
dụ 1.18).
1.18).
ôn
g
Trong đó cá
các x n+i (i = 1, 2, ..., m) là
là cá
các ẩ
ẩn giả
giả.
ễn
c) Nế
Nếu trong hệ
hệ ẩn cơ bả
bản củ
của bà
bài toá
toán M có
có
mộ
một ẩ
ẩn giả
giả mà
mà giá
giá trò củ
của chú
chúng
ng khá
khác không thì
thì
bà
bài toá
toán gố
gốc không có
có P.A.T.Ư
P.A.T.Ư .
N
gu
y
Chú
Max thì
Chú ý. Nế
Nếu hà
hàm mụ
mục tiêu là
là f(x)
thì hệ
hệ số
số
cá
các ẩ
ẩn giả
giả trong hà
hàm mụ
mục tiêu củ
của bà
bài toá
toán M
là
là ( M), vớ
với M > 0 vô cù
cùng
ng lớ
lớn (xem V í dụ
dụ 1.19).
1.19).
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH MỞ
MỞ RỘ
RỘNG
Ví dụ
dụ 1.17. (trư
(trường
ng hợ
hợp a). Giả
Giải bà
bài toá
toán QHTT
f ( x)
8 x1 6 x2 2 x3 min
4 x1
4 x2
3 x3
18
4 x1
3 x2
4 x3
16
x j 0 j 1,3
Nhân (
( 1) và
vào rà
ràng
ng buộ
buộc thứ
thứ nhấ
nhất,
t, bà
bài toá
toán có
có
dạ
dạng
ng chí
chính tắ
tắc như
như sau
f ( x)
8 x1 6 x2 2 x3 min
xj
4 x1
4 x2
3 x3
18
4 x1
3 x2
4 x3
16
0
j 1,3
0?
j
Sai
aij
Đ úng
ng
CÓ
CÓ
P.A.T.Ư
P.A.T.Ư
KHÔNG
Đúng
ng
0?
Sai
CÓ
CÓ
P.A.T.Ư
P.A.T.Ư
xig ?
Có
Có
xig
Không
Sai
KHÔNG
CÓ
CÓ
P.A.T.Ư
P.A.T.Ư
CÓ
CÓ P.A.T.Ư
P.A.T.Ư
Xá
Xác đònh phư
phương á
án mớ
mới
n và
vào:
Max
n ra:
Min
j
0
aij 0
bi
aij
j
ùng
0? Đung
KẾ
KẾT THÚ
THÚC THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI
SỐ
SỐ BƯ ỚC LẶ
LẶP
LÀ
LÀ HỮU HẠ
HẠN
BIẾ
BIẾN ĐỔI BẢ
BẢNG
NG ĐƠN HÌNH
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH MỞ
MỞ RỘ
RỘNG
NG
Đưa
Đưa bà
bài toá
toán về
về dạ
dạng
ng chuẩ
chuẩn:
n:
Thêm hai ẩ
ẩn giả
giả x4 0 và
và x5 0 và
vào lầ
lần lư
lượt và
vào
rà
ràng
ng buộ
buộc thứ
thứ nhấ
nhất và
và thứ
thứ hai củ
của bà
bài toá
toán
Bà
Bài toá
toán có
có dạ
dạng
ng chuẩ
chuẩn như
như sau:
f (x)
4x1
4x1
8x1 6x2 2x3 M (x4 x5 )
4x2
3x2
3x3
4x3
x4
Min
18
x5 16
x j 0 j 1,5 M 0 vô cù ng lớ n.
Ta có
có bả
bảng
ng đơn hì
hình mở
mở rộ
rộng
ng
¸¬¬°ỉđđ²½¬®·ò½±ò½½
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ÝØJLỊÙ ïỉ ÞßH× ÌĐßGỊ ÏË× ØĐßQÝØ ÌËÇÛ_Ị ÌSỊØ
̸-ò Ị¹«§»=² ݱ>²¹ Ì®3
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH MỞ
MỞ RỘ
RỘNG
NG
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH MỞ
MỞ RỘ
RỘNG
HỆ
8
HỆ ẨN
6
2
P.A
C.B
x4
x5
18
16
f x
34M
x4
x1
2
4
M
8
x1
4
4
8M
f x 2M 32
x2
x1
6
8
2
5
2
8
f x
x2
4
3
8 7M
x3
3
4
6 M
2
0
7
1
3
1
1
4
0 M 12 7 M 10
0
1
7
25
0
1
4
0
0
94
xj 0 j 1, 6 M 0
x4
x5
10
16
8
x6
N
gu
y
Ta có
có bả
bảng
ng đơn hì
hình mở
mở rộ
rộng
ng
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH MỞ
MỞ RỘ
RỘNG
HỆ
HỆ
Ẩ N
SỐ
SỐ
C.B
0
M
1
x4
x5
x3
f x
6
x1
0
0
2
4
P.A
2
0
8
8
P.A.T.Ư
P.A.T.Ư củ
của BTM là
là
x
3
x2
1
x3
2 x1
4 x1
2 x1
5x2
3x2
4 x2
x3
2 x3
x3
0
j 1, 4
x4
ôn
g
HỆ
HỆ
Ẩ N
SỐ
SỐ
C.B
0
M
x4
x5
x6
C
x3
2x3
x3
j 1,3
10
16
8
10
16
8
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH MỞ
MỞ RỘ
RỘNG
NG
ễn
5x2
3x2
4x2
0
xj
Thêm hai ẩ
ẩn giả
giả x5 0, x 6 0 lầ
lần lư
lượt và
vào rà
ràng
ng
buộ
buộc thứ
thứ hai và
và rà
ràng
ng buộ
buộc thứ
thứ ba.
Ta có
có bà
bài toá
toán dạ
dạng
ng chuẩ
chuẩn như
như sau
2x1
4x1
2x1
x3
2 x3
x3
Thêm ẩ
ẩn phụ
phụ x 4 0 và
vào rà
ràng
ng buộ
buộc thứ
thứ nhấ
nhất
f ( x ) 6x1 3x2 x3 min
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH MỞ
MỞ RỘ
RỘNG
min
5x2
3x2
4x2
xj
Bà
Bài toá
toán có
có P.A.T.Ư
P.A.T.Ư X opt=(5/2, 2, 0), f(Xopt)= 8.
f (x) 6x1 3x2 x3 M(x5 x6 )
2 x1
4 x1
2 x1
Tr
í
SỐ
SỐ
M
M
Ví dụ
dụ 1.18. (trư
(trường
ng hợ
hợp b). Giả
Giải bà
bài toá
toán QHTT
f ( x) 6 x1 3x2 x3 min
0
x4
0
1
0
0
0
1
0
11M 1 0
0, 0, 8, 2, 0, 0
M
0
M
6
f x
6
x1
2
4
2
P.A
10
16
8
24M 6M
x4
x5
x1
f x
0
0
1
0
2
0
4
24
3
x2
5
3
4
1
x3
1
2
1
0
x4
1
0
0
6 M 3 3M 1 0
1
0
1
0
0
11
1
2
0
2
0
11M 9 2
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH MỞ
MỞ RỘ
RỘNG
NG
Ví dụ
dụ 1.19. (trư
(trường
ng hợ
hợp c). Giả
Giải bà
bài toá
toán QHTT
f ( x)
2 x1 x2 x3 max
1
11
4
4 x1
2 x1
x1
x2
2 x2
2 x2
0
j 1,3
xj
Thêm 2 ẩ
ẩn phụ
phụ x4, x5
f ( x)
2 x1
vớ
với ẩ
ẩn giả
giả x5 = 0
P.A.T.Ư
P.A.T.Ư củ
của BT gố
gốc là
là xopt = (0, 0, 8)
và
và f(xopt) = 8.
xj
x2
2 x3
x3
1 2 x3
12
10
10
0 và
vào rà
ràng
ng buộ
buộc (1) & (2)
x3
max
4 x1
x2
2 x3
2 x1
2 x2
x3
x1
2 x2
1 2 x3
0
j 1, 5
x4
12
x5
10
10
¸¬¬°ỉđđ²½¬®·ò½±ò½½
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ÝØJLỊÙ ïỉ ÞßH× ÌĐßGỊ ÏË× ØĐßQÝØ ÌËÇÛ_Ị ÌSỊØ
̸-ò Ị¹«§»=² ݱ>²¹ Ì®3
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
HỆ
HỆ
SỐ
SỐ
Thêm 2 ẩ
ẩn giả
giả và
vào x6, x 7 0 lầ
lần lư
lượt và
vào rà
ràng
ng
buộ
buộc (1) & (3).
(3).
Ta có
có bà
bài toá
toán dạ
dạng
ng chuẩ
chuẩn như
như sau
f ( x)
2x1 x2 x3 M x6 x7
4x1
x2
2x3
2x1
2x2
x3
xj
0
max
x4
M
x6
12
x5
1
x3
2
0 j 1,7 M 0
x1
M
2x2
1
0
10
x7
10
M
[4]
[5b]
XÁ
XÁC ĐỊNH P.A P.A.C.B VÀ
VÀ P.A.T.Ư
P.A.T.Ư.
[7a]
12
10
10
f x
22 M 3M
x3
x5
x7
6
16
13
[7b]
2
4
0
0
1
x2
1
2
2
2 3M 1
1
3
2
1
x3
2
1
1
3
2
2
M 1
1
0
0
0
0
x4
1
0
0
0
x5
0
1
0
M
0
1
0
2
1
1
2
1
0
4
1 M
4
0
9
2
[7c]
1
2
4
9
C
[3]
BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QHTT DẠ
DẠNG
NG CHÍ
CHÍNH TẮ
TẮC
[6]
x6
x5
x7
2
x1
4
2
1
ôn
g
LẬ
LẬP MÔ HÌNH BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN
[5a]
P.A
1
2
4M
P.A.T.Ư
Ư
X
=
(0,
0,
6,
0,
16,
0,
13),
vớ
ù
i
P.A.T.
vơ x7 = 13
opt
nên bà
bài toá
toán gố
gốc không có
có P.A.T.Ư
P.A.T.Ư.
BÀ
BÀI TẬ
TẬP CHƯ
CHƯƠNG 1
[2]
ẨN
C.B
f x 6 13M
Ta có
có bả
bảng
ng đơn hì
hình mở
mở rộ
rộng
ng
[1]
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH MỞ
MỞ RỘ
RỘNG
NG
Tr
í
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH MỞ
MỞ RỘ
RỘNG
[8a]
[8b]
ễn
GIẢ
GIẢI BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QHTT BẰ
BẰNG
NG PP HÌNH HỌ
HỌC
[8c]
GIẢ
GIẢI BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QHTT BẰ
BẰNG
NG PP ĐƠN HÌNH
[10]
[15]
[11]
[16]
[12]
[17]
[13]
N
gu
y
[9]
[14]
¸¬¬°ỉđđ²½¬®·ò½±ò½½
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
0
ÝØJLỊÙ ïỉ ÞßH× ÌĐßGỊ ÏË× ØĐßQÝØ ÌËÇÛ_Ị ÌSỊØ
̸-ò Ị¹«§»=² ݱ>²¹ Ì®3
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
BÀI TẬP CHƯƠNG 1
LẬP MÔ HÌNH BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
Sản phẩm
Đònh mức
Bộ tủ
Bộ cửa
Bộ sa-lông
Nguyên liệu
Tr
í
[1] Một xí nghiệp chế biến đồ gỗ hiện có 3.000 đơn vò gỗ nguyên liệu nhóm I, 5.000
đơn vò gỗ nguyên liệu nhóm II và 2.000 đơn vò gỗ nguyên liệu nhóm III. Theo kế
hoạch xí nghiệp phải sản xuất bốn loại hàng hoá: bộ tủ trang trí cao cấp, bộ cửa cao
cấp, bộ sa-lông và bộ giường ngủ. Đònh mức nguyên liệu dùng cho sản xuất và lợi
nhuận khi sản xuất một đơn vò hàng hóa được thể hiện trong bảng sau
Bộ giường ngủ
30
40
0
10
Gỗ nhóm II
10
20
50
60
Gỗ nhóm III
10
50
80
20
Lợi nhuận (triệu đồng)
0,5
0,8
0,4
0,6
ôn
g
Gỗ nhóm I
Hãy lập mô hình bài toán xác đònh số lượng sản xuất các sản phẩm sao cho xí
nghiệp đạt lợi nhuận nhiều nhất?
C
[2] Một công ty có kế hoạch quảng cáo một loại sản phẩm do công ty sản xuất trong
thời gian một tháng với tổng chi phí là 100 triệu đồng. Các phương tiện được chọn
để quảng cáo sản phẩm là truyền hình, báo và phát thanh với số liệu được dự kiến
như sau:
Chi phí cho
Số lần quảng cáo
Dự đoán số người
quảng cáo
mỗi lần quảng cáo
tối đa
xem quảng cáo
(triệu đồng)
trong tháng
trong mỗi lần
Truyền hình (1 phút)
1,5
60
15.000
Báo (1/2 trang)
1
26
30.000
Phát thanh (1 phút)
0,5
90
9.000
N
gu
y
ễn
Phương tiện
Vì lý do chiến lược tiếp thò nên công ty yêu cầu phải có ít nhất 30 lần quảng cáo trên
truyền hình trong tháng. Hãy lập mô hình bài toán sao cho phương án quảng cáo sản
phẩm của công ty là tối ưu.
[3] Một xí nghiệp có thể sử dụng tối đa 510 giờ máy cán, 360 giờ máy tiện và 150 giờ
máy mài để chế tạo 3 sản phẩm A, B và C. Để chế tạo một sản phẩm A cần 9 giờ
máy cán, 5 giờ máy tiện và 3 giờ máy mài; một sản phẩm B cần 3 giờ máy cán, 4
giờ máy tiện; một sản phẩm C cần 5 giờ máy cán, 3 giờ máy tiện và 2 giờ máy mài.
Mỗi sản phẩm A trò giá 48 ngàn đồng, mỗi sản phẩm B trò giá 16 ngàn đồng và mỗi
sản phẩm C trò giá 27 ngàn đồng.
[4] Hãy lập mô hình bài toán xí nghiệp cần chế tạo mỗi loại bao nhiêu sản phẩm để có
tổng giá trò sản phẩm lớn nhất.
[5] Một xí nghiệp vận tải cần chuyển một loại hàng hóa từ ba kho hàng A1, A2 và A3
đến bốn cửa hàng B1, B2, B3 và B4. Lượng hàng hiện có ở mỗi kho Ai (i = 1, 2, 3),
¸¬¬°ỉđđ²½¬®·ò½±ò½½
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ÝØJLỊÙ ïỉ ÞßH× ÌĐßGỊ ÏË× ØĐßQÝØ ÌËÇÛ_Ị ÌSỊØ
̸-ò Ị¹«§»=² ݱ>²¹ Ì®3
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
nhu cầu nhận hàng ở các cửa hàng Bj (j = 1, 2, 3, 4) và chi phí vận chuyển một đơn
vò hàng hóa từ mỗi kho đến mỗi cửa hàng được cho ở bảng sau
Cửa hàng
Chi phí vận chuyển
Lượng hàng
B1
B2 B3 B4 hiện có (tấn)
A1
3
4
0
1
40
A2
1
2
5
6
30
A3
1
5
8
2
30
Nhu cầu của cửa hàng (tấn)
20
25 30 15
Tr
í
Kho
Hãy lập mô hình bài toán vận tải hàng hóa sao cho tổng chi phí vận tải bé nhất?
BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG CHÍNH TẮC
x1
x2
2 x1
x2
3x1
4 x2
x1 0, x2 0
(a)
4 x3
3 x3
2 x3
6
8;
3
ôn
g
[6] Đưa các bài toán quy hoạch tuyến tính sau đây về dạng chính tắc
min
f ( x ) 4 x1 3x2 2 x3
f ( x) 2 x1 3x2 x3 max
4 x1
2 x2
5x1
2 x2
3x1
6 x2
x1 0, x3 0
(b)
x3
x3
2 x3
15
10
25
C
XÁC ĐỊNH PHƯƠNG ÁN – PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN VÀ PHƯƠNG ÁN TỐI ƯU
[7] Cho bài toán quy hoạch tuyến tính
f(x) 3x1 7 x2
x3 2 x 4
max
x3
2x1 2 x2
3 x3
60
2x1 2 x2
3 x3 +4 x4
32
ễn
2x1 3 x2
xj
0 (j
2 x4
30
1,4)
Xét các véctơ X = (0, 0, 0, 8), Y = (14, 0, 0, 1), Z = (7, 0, 0, 9/2), T = (16, 1, 0, ½).
N
gu
y
(a) Vectơ nào là phương án; vectơ nào là phương án cực biên của bài toán?
(b) Cho biết Y là phương án tối ưu của bài toán trên. Trong số các vectơ còn lại,
vectơ nào là phương án tối ưu của bài toán?
[8] Tìm phương án cực biên không suy biến của các bài toán quy hoạch tuyến tính sau
f ( x ) 4 x1 3x2 2 x3
min
f ( x) 4 x1 3x2 2 x3 min
(a)
xj
f ( x)
(c)
xj
x1
x1
0,
x2
x2
j 1, 2,3
4 x1 3x2 2 x3
x1
x1
0,
x2
x2
j 1, 2,3
x3
x3
1
; (b)
3
x1
2 x1
x j 0,
x2
x2
j 1, 2,3
x3
3x3
10
;
14
min
x3
4
0
¸¬¬°ỉđđ²½¬®·ò½±ò½½
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ÝØJLỊÙ ïỉ ÞßH× ÌĐßGỊ ÏË× ØĐßQÝØ ÌËÇÛ_Ị ÌSỊØ
̸-ò Ị¹«§»=² ݱ>²¹ Ì®3
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
GIẢI BÀI TOÁN QHTT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
[9] Giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau đây bằng phương pháp hình học
f ( x)
x1 x2 max
f ( x ) 5x1 4 x2
x2
3x1
3x1
x j 0,
2 x2
x2
j 1, 2
(c)
x1
2 x2
2 x2
6;
9
3x1
x j 0,
2 x2
j 1, 2
(b)
min
2 x1
x1
x2
x2
6
0
2 x1
x j 0,
x2
j 1, 2
0
8
4;
12
Tr
í
f ( x ) 5x1 3x2
x1
1
ôn
g
(a)
x1
max
GIẢI BÀI TOÁN QHTT BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH
Giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau đây:
f ( x ) x1 x 2 3x3
min
2 x1
x2
x3
4 x1
2x2
x3
3x1
x3
x j 0 j 1,3
C
[10]
1
2
5
Đs: Xopt = (1/3, 11/3, 4) và fmin = – 46/3
Giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau đây:
f ( x) x1 x 2 2 x 4 2 x5 3 x6
min
x1
x4
x5
x2
x4
x3
2 x4
4 x5
x j 0 j 1,6
N
gu
y
ễn
[11]
[12]
x6
x6
3x 6
2
12
9
Đs: Xopt = (0, 8, 0, 3, 0, 1) và fmin = – 17
Giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau đây:
f ( x) 3x1 4 x 2 3x3 x 4
max
1
1
x1
x2
2 x4
x5
2
4
1
3x1
x3
x4
x5
4
11x1
17 x 4
x5
x j 0 j 1,7
3
1
x6
2
2 x6
1
x7
20
Đs: Xopt = (0, 3, 1, 0, 0, 0, 20) và fmax = 15
[13]
Giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau đây
¸¬¬°ỉđđ²½¬®·ò½±ò½½
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ÝØJLỊÙ ïỉ ÞßH× ÌĐßGỊ ÏË× ØĐßQÝØ ÌËÇÛ_Ị ÌSỊØ
̸-ò Ị¹«§»=² ݱ>²¹ Ì®3
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
f ( x)
x2
2 x3
2 x5
x1
xj
0
min
3x 2
x3
2 x2
4 x2
4 x3
2 x3
2 x5
7
8 x5
12
10
x4
x6
j 1,6
Giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau đây:
f ( x) 3x1 4 x 2 2 x 3 2 x 4
2 x1
x1
2 x2
5 x2
2 x1
xj 0
2 x2
j 1,4
min
3 x3
x4
2 x4
28
31
2 x3
x4
16
ôn
g
[14]
Tr
í
Đs: Xopt = (10, 0, 3, 0, 0, 4) và fmin = – 6
Đs: Xopt = (11, 3, 0, 0) và fmin = 45
[15]
Giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau đây:
f ( x ) 3x1 2 x2 2 x3 x4
min
2 x1
3 x1
4 x1
4 x3
x3
2 x3
x4
2x4
C
x2
2 x2
x2
xj
0
10
8
4
j 1,4
Đs: Xopt = (28, 108, 0, 62) và fmin = – 70
Giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau đây:
f ( x)
x1 2 x 2 3x 3 x 4
N
gu
y
ễn
[16]
[17]
x1
2 x1
x1
xj 0
2 x2
x2
2 x2
j 1,4
3 x3
5 x3
x3
min
x4
15
20
10
Đs: Xopt = (5/2, 5/2, 5/2, 0) và fmin = – 15
Giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau đây:
f ( x ) x1 2 x 2 x 4 x5 5 x 6
min
6 x1
2 x2
1
x2
3
x3
x4
x3
x4
3x1
x2
2 x3
4 x4
0
j 1,6
2 x1
xj
x5
1
x5
2
1
x5
2
2 x6
4
3
x6
2
Đs: Bài toán không có P.A.T.Ư.
[18]
Dùng phương pháp đơn hình giải các bài toán từ bài tập [1] đến bài tập [8].
Đs: [1] Xopt = (80, 0, 0, 60) và f(Xopt) = 76.
¸¬¬°ỉđđ²½¬®·ò½±ò½½
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ÝØJLỊÙ ỵỉ ÞßH× ÌĐßGỊ _× ỊÙß]Ë
̸-ò Ị¹«§»=² ݱ>²¹ Ì®3
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QUY HOẠ
HOẠCH
CH
TUYẾ
TUYẾN TÍ
TÍNH ĐỐI NGẪU
THÀ
THÀNH
NH LẬ
LẬP BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN ĐỐI NGẪU
CHƯƠNG 2
Mụ
Mục đích
đích và
và ý nghó
nghóa
Vớ
Với bà
bài toá
toán QHTT, bà
bài toá
toán gố
gốc, ký
ký hiệ
hiệu là
là P
(Primal), chú
chúng
ng ta có
có thể
thể thiế
thiết lậ
lập bà
bài toá
toán QHTT
khá
khác,
c, bà
bài toá
toán đối ngẫu, ký
ký hiệ
hiệu là
là D (Dual),
sao cho từ
từ lờ
lời giả
giải củ
của bà
bài toá
toán nà
này ta có
có thể
thể thu
thậ
thập đươ
được thông tin về
về lờ
lời giả
giải củ
của bà
bài toá
toán kia.
1. CÁ
CÁCH
CH THÀ
THÀNH
NH LẬ
LẬP BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QUY HOẠ
HOẠCH
CH
TUYẾ
(Xem)
Xem)
TUYẾN TÍ
TÍNH ĐỐI NGẪU
Ths. Nguyễn Công Tr
Tríí
(Xem)
Xem)
3. THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU
(Xem)
Copyright 2001
Để có
có thông tin cầ
cần thiế
thiết về
về bà
bài toá
toán gố
gốc,
c, có
có
thể
thể nghiên cứ
cứu trên bà
bài toá
toán đối ngẫu củ
của nó
nó.
Tr
í
2. CÁ
CÁC ĐỊNH LÝ
LÝ ĐỐI NGẪU
4. MỘ
MỘT SỐ
SỐ ỨNG
NG DỤ
DỤNG CỦ
CỦA LÝ
LÝ THUYẾ
THUYẾT ĐỐI
NGẪU TRONG BÀ
(Xem)
BÀI TOÁ
TOÁN QHTT
Ths. Nguyễn Côn g Tr
Tríí
5. BÀ
BÀI TẬ
TẬP
ôn
g
(Xem)
Copyright 2001
THÀ
THÀNH
NH LẬ
LẬP BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN ĐỐI NGẪU
THÀ
THÀNH
NH LẬ
LẬP BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN ĐỐI NGẪU
Xé
Xét bà
bài toá
toán QHTT (P) dư
dưới dạ
dạng
ng chí
chính tắ
tắc
min
P
Ax
x 0.
b
Gọ
Gọi g(y) là
là hà
hàm mụ
mục tiêu củ
của bà
bài toá
toán (II), ta có
có
g(y) = min{ctx + yt(b Ax)}, vớ
với x
I
c tx
ễn
n, b = (b , b ,... , b )
m
Vớ
Với x = (x1, x2,... , x n)
m
2
1
Giả
Giả sử bà
bài toá
toán (P) có
có P.A.T.U là
là x opt và
và gọ
gọi x0 là
là
mộ
một P.A củ
của bà
bài toá
toán (P), ta có
có ctx opt ctx0.
n, vớ
Gọ
Gọi x = (x 1, x2,... , x n)
với x 0 sao cho
Ax b 0
Bà
Bài toá
toán tư
tương đương:
đương:
t
L ( x, y ) c x
P
t
y b Ax
min
II
x 0
Rm.
N
gu
y
y
THÀ
THÀNH
NH LẬ
LẬP BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN ĐỐI NGẪU
t
min c t
x 0
t
0 khi c
khi c t
yt A x
Vậ
Vậy ta đươ
được
+
yt(b
yA 0
yt A 0
g(y) ctx. Vậ
Vậy g(y) là
là mộ
một cậ
cận dư
dưới bấ
bất kỳ
kỳ củ
của
hà
hàm mụ
mục tiêu.
Ta tì
tìm cậ
cận dư
dưới lớ
lớn nhấ
nhất Max{g(y)}, thậ
thật vậ
vậy
g(y) = min{ctx + yt(b Ax)}, vớ
với x
0.
= min{ctx + ytb ytAx}, vớ
với x
0.
vớ
với x
0.
= ytb + min{ (ct ytA)x}, vớ
với x
0.
=
min{ytb
g ( y)
yb
max
t
g ( y)
ct yt A 0
y Rm.
yb
yt A ct
y Rm.
max
D
ytb
ytA)x},
THÀ
THÀNH
NH LẬ
LẬP BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN ĐỐI NGẪU
f ( x)
2 x1
2 x1
8 x4
x3
2 x2
xj
0
là
là bà
bài toá
toán
max
At y c
y Rm.
j
6 x5
x5
min
4
x5
x2
Hay bà
bài toá
toán tư
tương đương
đương
g ( y)
+
(c t
Ví dụ
dụ 2.1.
Bà
Bài toá
toán đối ngẫu củ
của bà
bài toá
toán QHTT sau đây
g(y) =
Suy ra bà
bài toá
toán đối ngẫu có
có dạ
dạng
ng
D
0.
Nế
Nếu x là
là P.A củ
của bà
bài toá
toán (I) thì
thì b Ax = 0 và
và
ytb
t
Ax), vớ
với x
0.
C
ct x
f P ( x)
Xé
Xét
Hơn nư
nữa, khi phân tí
tích đồng
ng thờ
thời cả
cả hai bà
bài
toá
toán gố
gốc và
và đối ngẫu, chú
chúng
ng ta có
có thể
thể rú
rút ra
cá
các kế
kết luậ
luận có
có giá
giá trò về
về mặ
mặt toá
toán họ
học lẫn về
về
mặ
mặt ý
ý nghó
nghóa kinh tế
tế.
2 x3
4
3 x4
13
1, 5
f D ( y)
4 y1
4 y2
13 y3
2 y2
y3
2 y3
3 y3
2 y1
2
y1
y1
max
y2
0
0
8
6
¸¬¬°ỉđđ²½¬®·ò½±ò½½
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ÝØJLỊÙ ỵỉ ÞßH× ÌĐßGỊ _× ỊÙß]Ë
̸-ò Ị¹«§»=² ݱ>²¹ Ì®3
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
THÀ
THÀNH
NH LẬ
LẬP BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN ĐỐI NGẪU
f P ( x)
cjxj
THÀ
THÀNH
NH LẬ
LẬP BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN ĐỐI NGẪU
Bà
Bài toá
toán đối ngẫu (D)
Hà
Hàm mụ
mục mtiêu
f D ( y)
bi yi
max
min
j 1
Ví dụ
dụ 2.2. Viế
Viết bà
bài toá
toán đối ngẫu và
và chỉ
chỉ ra cá
các
cặ
cặp rà
ràng
ng buộ
buộc đối ngẫu củ
của bà
bài toá
toán QHTT
Bà
Bài toá
toán đối ngẫu
f ( x)
i 1
Rà
Ràng
ng buộ
buộc thứ
thứ i
Rà
Ràng
ng buộ
buộc thứ
thứ j
m
n
aij x j
aij yi
bi i 1, m
c j , j 1, n
Ẩn thứ
thứ j
2 x3
3x1
2 x1
x2
3 x2
x3
x3
0
j 1, 2
xj
0, j 1, n yi
0, i 1, m
VD2.3
VD2.4
VD2.5
VD2.6
VD2.7
3
7 x1
3 x1
4 x2
x2
2 x3
3 x3
28
10
2 x1
3 x2
x3
15
0
j 1, 2
xj
f D ( y ) 28 y1 10 y2 15 y3
4 x2
3 x2
2 y3
3y3
2 y1
3 y2
y1 0,
y3
y3
2 y3
3 y3
2 x3
x3
2
1
28,
15,
y1
y3
0
0
min
8
fD ( y)
4
3
4 y1
1
0
0
1
1
2
Rà
Ràng
ng buộ
buộc đối ngẫu y j
0
j
1 2
xj
0;
x2
j
x1
0,
x2
0,
x1
8
y2
x2
x1
y3
1, 2
y1
2 x2
3 y2
y1
y2
1
2
3
4
8 y3
2
5
1, 3
y3
2
1
2 y3
4,
5
3,
8,
y1
0
2
3
y2
0
0
4
5
y3
x4
y1
2 y1
y2
y2
3 y3
y3
2
1
y3
0
2
2 x3
x3
f (x)
f D ( y)
2 y1
y1
2 y3
3 y3
2 x4
4 x1
3x2
1
0
0
1
1
2
x1
x2
x3
xj
0
j
1, 3
5 y2
1 0
0 1
1 2
yj
0;
THÀ
THÀNH
NH LẬ
LẬP BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN ĐỐI NGẪU
x1
1
3
4
Bà
Bài toá
toán đối ngẫu x 0,
1
Ví dụ
dụ 2.5. Viế
Viết bà
bài toá
toán đối ngẫu và
và chỉ
chỉ ra cá
các
cặ
cặp rà
ràng
ng buộ
buộc đối ngẫu củ
của bà
bài toá
toán QHTT
f ( x ) 2 x1 5 x 2
max
Bà
Bài toá
toán đối ngẫu
1 0
0 1
max
2 y3
0,
y2
1
1
2
1,
3,
2
3
4
y1
y2
0
0
Ví dụ
dụ 2.4. Viế
Viết bà
bài toá
toán đối ngẫu và
và chỉ
chỉ ra cá
các
cặ
cặp rà
ràng
ng buộ
buộc đối ngẫu củ
của bà
bài toá
toán QHTT
2
1
0
N
gu
y
7 x1
2 x1
3 y2
y2
ễn
Cá
Các cặ
cặp đối ngẫu
x1 0,
7 y1
3 y2
x2 0,
4 y1
y2
7 y1
4 y1
4 y3
3 y2
2 y1
x2
x2
C
2
y1 3 y2
y1
THÀ
THÀNH
NH LẬ
LẬP BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN ĐỐI NGẪU
THÀ
THÀNH
NH LẬ
LẬP BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN ĐỐI NGẪU
Ví dụ
dụ 2.3. Viế
Viết bà
bài toá
toán đối ngẫu và
và chỉ
chỉ ra cá
các
cặ
cặp rà
ràng
ng buộ
buộc đối ngẫu củ
của bà
bài toá
toán QHTT
Bà
Bài toá
toán đối ngẫu
f ( x) 2 x x 8x
max
1
fD ( y )
1
ôn
g
VD2.2
x1
3 x1
khô ng ràng buộ c
không ràng buộ c
min
2x4
Cá
Các cặ
cặp đối ngẫu
3 y2
x1 0,
y1
x2 0,
y1
y2
Ẩn thứ
thứ i
xj
x3 2 x4
x2
i 1
j 1
x1 2 x2
x1
Tr
í
Bà
Bài toá
toán gố
gốc (P)
Hà
Hàm mụ
munïc tiêu
m in
max
y1
y2
j 1, 2
x2
4
x3
3
8
0,
0,
x1
8 x3
m in
2
5
Cá
Các rà
ràng
ng buộ
buộc đối ngẫu
y1
y1
x2
4
1
y2
2 y2
x3
3
8
2,
y1
0
2
3
4
2 x3
5,
y2
0
5
CÁ
CÁC ĐỊNH LÝ
LÝ ĐỐI NGẪU
Đ ỊNH LÝ
LÝ 1.
Nế
Nếu mộ
một trong hai bà
bài toá
toán đối ngẫu nhau có
có
P.A.T.Ư
P.A.T.Ư thì
thì bà
bài toá
toán kia cũng có
có P.A.T.Ư
P.A.T.Ư và
và giá
giá trò
hà
hàm mụ
mục tiêu củ
của chú
chúng
ng bằ
bằng
ng nhau.
HỆ
HỆ QUẢ
QUẢ 1.
Đ iề
iều kiệ
kiện cầ
cần và
và đủ để cho cá
các bà
bài toá
toán đối
ngẫu nhau có
có phư
phương á
án tố
tối ưu là
là mỗi bà
bài toá
toán
có
có ít nhấ
nhất mộ
một phư
phương á
án.
n.
HỆ
HỆ QUẢ
QUẢ 2.
Đ iề
iều kiệ
kiện cầ
cần và
và đủ để cho cá
các bà
bài toá
toán đối
ngẫu nhau không có
có P.A.T.Ư
P.A.T.Ư là
là mộ
một bà
bài toá
toán có
có
P.A cò
còn bà
bài toá
toán kia không có
có P.A.
¸¬¬°ỉđđ²½¬®·ò½±ò½½
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ÝØJLỊÙ ỵỉ ÞßH× ÌĐßGỊ _× ỊÙß]Ë
̸-ò Ị¹«§»=² ݱ>²¹ Ì®3
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
CÁ
CÁC ĐỊNH LÝ
LÝ ĐỐI NGẪU
CÁ
CÁC ĐỊNH LÝ
LÝ ĐỐI NGẪU
ĐỊNH LÝ
LÝ 2.(Đ
2.(ĐỊNH LÝ
LÝ ĐỘ LỆ
LỆCH
CH BÙ
BÙ YẾ
YẾU)
U)
Nghó
Nghóa là
là, vớ
với Xopt = (x1opt, x2opt, ..., x nopt), Y opt =
(y1opt, y2opt, ..., ymopt) lầ
lần lư
lượt là
là P.A.T.Ư
P.A.T.Ư. củ
của bà
bài
toá
ùn đối ngẫu, ta có
ù
toán gố
gốc và
và bà
bài toá
toa
co
m
Nế
thì
Nếu xjopt > 0 thì
Nế
Nếu
aij xopt
j
j 1
Nế
thì tồ
tồn tạ
tại
Nếu xjopt = 0 thì
cj
i 1
Nế
Nếu
bi thì
thì yiopt = 0
ÁP DỤ
DỤNG
NG ĐỊNH LÝ
LÝ ĐỐI NGẪU
4 x1 3x2 8 x3
5
x3
0, j 1,3
ễn
có
3)
có P.A.T.Ư
P.A.T.Ư củ
của bà
bài toá
toán đối ngẫu là
là yopt = (2, 3)
và
và f(yopt) = 19.
19. Hãy tìm P.A.T.Ư
P.A.T.Ư củ
của bà
bài toá
toán trên.
Bà
Bài toá
toán đối ngẫu fD ( y) 2 y1 5 y2 max
1 0
0 1
4
3
y1
y2
8
N
gu
y
1 2
ÁP DỤ
DỤNG
NG ĐỊNH LÝ
LÝ ĐỐI NGẪU
Ví dụ
dụ 2.7. Cho bà
bài toá
toán QHTT
f ( x)
2 x1
2 x2
x3
5 x1
4 x4
x2
3 x1
4 x1
xj
0
j
f
D
y
y
6 y
( y )
5 0 y
1
max
x3
6x4
50
x3
2 x4
16
3 x3
x4
23
1, 4
1
1 6 y
2 3 y
2
1
1
y
2
3
3 y
2
4 y
3
2
y
2
3 y
3
2
1
2 y
2
3
4
1
0;
y
y
3
0
Cá
Các cặ
cặp rà
ràng
ng buộ
buộc đối ngẫu
x1 0 và
ø
y
4
(1)
va 1
y2 3
(2)
x2 0 và
và
x3 0 và
(3)
và y1 + 2y2 8
Thay yopt = (2, 3) và
vào cá
các rà
ràng
ng buộ
buộc
Từ (1): y1 = 2 < 4
x1 = 0 (đ
(đònh lý
lý 2).
Thay x 1 = 0 và
vào hpt củ
của bà
bài toá
toán gố
gốc
0
x3
2
1 0 1
2
x2 1; x3
x2
x2
2 x3
5
0 1 2
5
x3
m in
2
Vậ
và
Vậy,
y, P.A.T.Ư
P.A.T.Ư củ
của bà
bài toá
toán gố
gốc là
là x opt= (0,1,2) và
f(xopt) = fD(yopt) = 19.
ÁP DỤ
DỤNG
NG ĐỊNH LÝ
LÝ ĐỐI NGẪU
Có
Có P.A.T.Ư
P.A.T.Ư là
là x opt = (0,14,
(0,14, 6, 5) và
và f(xopt) = 54.
54. Hãy
tìm P.A.T.Ư
P.A.T.Ư củ
của bà
bài toá
toán đối ngẫu.
Bà
Bài toá
toán đối ngẫu
5 y
0 (> hoặ
hoặc <).
C
xj
2
x2
0 1 2
bi thì
thì tồ
tồn tạ
tại yiopt
cj
ÁP DỤ
DỤNG
NG ĐỊNH LÝ
LÝ ĐỐI NGẪU
min
x1
1 0 1
a ij x opt
j
aij yiopt
i 1
j 1
Ví dụ
dụ 2.6. Cho bà
bài toá
toán QHTT
f ( x)
n
m
ôn
g
,
n
aij yiopt
Tr
í
ĐỊNH LÝ
LÝ 3.(Đ
3.(ĐỊNH LÝ
LÝ ĐỘ LỆ
LỆCH
CH BÙ
BÙ MẠ
MẠNH)
NH)
Nế
Nếu cặ
cặp bà
bài toá
toán đối ngẫu nhau có
có P.A.T.Ư
P.A.T.Ư. thì
thì
tồ
tồn tạ
tại mộ
một cặ
cặp phư
phương á
án sao cho trong cá
các
cặ
cặp đo ái ngẫu, nế
nếu rà
ràng
ng buộ
buộc nà
này xả
xảy ra vớ
với dấ
dấu
đẳng
ng thứ
thức thì
thì rà
ràng
ng buộ
buộc kia xả
xảy ra vớ
với dấ
dấu bấ
bất
đẳng
ng thứ
thức ngặ
ngặt.
t.
Nghó
Nghóa là
là, vớ
với X opt = (x1opt, x2opt, ..., xnopt), Yopt =
opt
opt
(y1 , y2 , ..., ymopt) lầ
lần lư
lượt là
là P.A.T.Ư
P.A.T.Ư. củ
của bà
bài
toá
toán gố
gốc và
và bà
bài toá
toán đo ái ngẫu, ta có
có
Đ iề
iều kiệ
kiện cầ
cần và
và đủ để cặ
cặp bà
bài toá
toán đối ngẫu
nhau có
có P.A.T.Ư
P.A.T.Ư. là
là trong cặ
cặp rà
ràng
ng buộ
buộc đối
ngẫu, nế
nếu rà
ràng
ng buộ
buộc nà
này xả
xảy ra vớ
với dấ
dấu bấ
bất
đẳng
c ngặ
ng thứ
thức
ngặt (> hoặ
hoặc <) thì
thì rà
ràng
ng buộ
buộc kia
xả
xảy ra vớ
với dấ
dấu đẳng
ng thứ
thức.
Cá
Các cặ
cặp rà
ràng
ng buộ
buộc đối ngẫu
(1)
x 1 0 và
và 5y 1 3y2 + 4y 3 2
x 2 0 và
2
(2)
và y1
x 3 0 và
(3)
và y1 + y2 + 3y3 1
x 4 0 và
(4)
và 6y 1 + 2y2 + y 3 4
-3x1
+ x 3 + 2x4 16 và
(5)
và y2 0
4x 1
+ 3x 3 + x 4 23 và
(6)
và y3 0
Thay x opt = (0, 14, 6, 5) và
vào cá
các rà
ràng
ng buộ
buộc
Từ (2): x2 = 14 > 0
y1 = 2.
Từ (3): x3= 6 > 0
y1 + y2 + 3y3 = 1
Từ (4): x4= 5 > 0
6y1 + 2y2 + y3 = 4
Giả
Giải hệ
hệ phư
phương trì
trình trên, ta có
có y1 = 2; y 2 = -23/5;
y3 = 6/5. Vậ
Vậy,
y, P.A.T.Ư
P.A.T.Ư củ
của bà
bài toá
toán đối ngẫu là
là
yopt= (2, -23/5, 6/5) và
và fD(yopt) = 54.
¸¬¬°ỉđđ²½¬®·ò½±ò½½
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ÝØJLỊÙ ỵỉ ÞßH× ÌĐßGỊ _× ỊÙß]Ë
̸-ò Ị¹«§»=² ݱ>²¹ Ì®3
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁP DỤ
DỤNG
NG ĐỊNH LÝ
LÝ ĐỐI NGẪU
x1
3x2
x1
x2
ÁP DỤ
DỤNG
NG ĐỊNH LÝ
LÝ ĐỐI NGẪU
1. Kiể
Kiểm tra trự
trực tiế
tiếp,
p, ta thấ
thấy X, Y, và
và T là
là P.A củ
của
bà
bài toá
toán.
n. Vì
Vì Z không thỏ
thỏa mãn cá
các rà
ràng
ng buộ
buộc
nên Z không là
là P.A củ
của bà
bài toá
toán.
n.
Max
x4
5
x4
2
3
3x1
x3
2. Bà
Bài toá
toán đối ngẫu
f D ( y) 5 y1 3 y2
x j 0 j 1, 4
Xé
Xét cá
các vectơ sau X = (3, 0, 11, 0), Y = (2, 1, 8, 0),
Z = ((-4, 2, 0, 10) và
và T = (1, 2, 1, 2). Vectơ nà
nào là
là
P.A.T.Ư
P.A.T.Ư. củ
của bà
bài toá
toán?
n?
Cá
Cách
ch giả
giải.
i.
1. Kiể
Kiểm tra cá
các vectơ có
có phả
phải là
là P.A hay không?
2. Viế
Viết bà
bài toá
toán đối ngẫu,
3. Kiể
Kiểm tra cá
các P.A có
có phả
phải là
là P.A.T.Ư
P.A.T.Ư.?
y1
y2
3 y1
y2
y1
0;
min
3 y3
1
2
y2
0; y3
y3
1
y3
0
0
Ta có
có 7 cặ
cặp rà
ràng
ng buộ
buộc đối ngẫu
ôn
g
ÁP DỤ
DỤNG
NG ĐỊNH LÝ
LÝ ĐỐI NGẪU
ÁP DỤ
DỤNG
NG ĐỊNH LÝ
LÝ ĐỐI NGẪU
Dễ dà
thỏa cá
các
dàng
ng kiể
kiểm tra vectơ X*= (0, 2, 1) thỏ
rà
ø
ng
buộ
ä
c
củ
û
a
bà
ø
i
toá
ù
n
đ
o
á
i
ngẫ
u
.
ra ng buo cu ba toa
Hơn nư
f(X)= 8 nên X là
là P.A.T.Ư
P.A.T.Ư. củ
của
nữa, fD(X*)= f(X
bà
ø
i
toá
ù
n
gố
á
c.
ba toa go c.
N
gu
y
ễn
C
x1 0 và
(1)
và y1 + y2 3y3 -1
x2 0 và
2
(2)
và 3y1 + y2
x3 0 và
y3 1
(3)
và
x4 0 và
+ y3 0
(4)
và y1
x4 5 và
x1 + 3x2
(5)
và y1 0
x 1 + x2
3 và
(6)
và y2 0
+ x3 + x4 2 và
-3x1
(7)
và y3 0
3. Kiể
Kiểm tra X, Y, T là
là P.A.T.Ư
P.A.T.Ư
Giả
Giả sử X = (3, 0, 11, 0) là
là P.A.T.Ư
P.A.T.Ư củ
của bà
bài toá
toán.
n.
Từ (1): x 1 = 3 > 0
y1 + y2 3y3 = -1
Từ (3): x 3=11 > 0
y3 = 1
Từ (5): 3 + 0 + 0 + 0 = 3 < 5
y1 = 0
Giả
Giải hệ
hệ phư
phương trì
trình, ta đươ
được X *= (0, 2, 1).
y1
2 y3
Tr
í
Ví dụ
dụ 2.8. Cho bà
bài toá
toán QHTT
f ( x)
x1 2 x2 x3
ÁP DỤ
DỤNG
NG ĐỊNH LÝ
LÝ ĐỐI NGẪU
Ví dụ
dụ 2.9. Giả
Giải bà
bài toá
toán QHTT
f ( x) 10 x1 8x2 19 x3
x1
6
3 0 2
1 2 5
x2
x3
2
5
xj 0
Bà
Bài toá
toán đối ngẫu
f D ( y ) 6 y1 2 y2 5 y3
1 2 5
yj
0
y1
y2
y3
j 1,3
10
8
19
fmax = 8
Vậ
Vậy T không phả
phải là
là P.A.T.Ư
P.A.T.Ư. mà
mà T chỉ
chỉ là
là phư
phương
án củ
của bà
bài toá
toán.
n.
Đưa
Đưa bà
bài toá
toán về
về dạ
dạng
ng chí
chính tắ
tắc bằ
bằng
ng cá
cách
ch
thêm 3 ẩn phụ
phụ y 4 0, y5 0, y6 0
j 1,3
2 3 1
1 0 2
Ví dụ
dụ 2.10
Vớ
Với T = (1, 2, 1, 2), ta có
có f(T)= 4
ÁP DỤ
DỤNG
NG ĐỊNH LÝ
LÝ ĐỐI NGẪU
min
2 1 1
Do Y = (2, 1, 8, 0) là
là P.A củ
của bà
bài toá
toán gố
gốc và
và
f(X) = f(Y)=
f(Y)= 8 nên Y cũng là
là P.A.T.Ư
P.A.T.Ư.
max
f D ( y) 6 y1 2 y2 5 y3
max
2 3 1
1 0 2
1 2 5
10
8
19
yj
0
y1
y2
y3
y4
y5
y6
j 1,6
Ta thấ
thấy bà
bài toá
toán cũng có
có dạ
dạng
ng chuẩ
chuẩn.
n.
Sử dụ
dụng
ng thuậ
thuật giả
giải đơn hì
hình
¸¬¬°ỉđđ²½¬®·ò½±ò½½
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ÝØJLỊÙ ỵỉ ÞßH× ÌĐßGỊ _× ỊÙß]Ë
̸-ò Ị¹«§»=² ݱ>²¹ Ì®3
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁP DỤ
DỤNG
NG ĐỊNH LÝ
LÝ ĐỐI NGẪU
SỐ
SỐ
C.B
0
0
0
6
0
0
P.A
y4 10
y5
8
y6 19
f x 0
y1
5
y5
3
y6 14
f x 30
6
y1
2
1
1
6
1
0
0
0
2
y2
3
0
2
2
5 0
y3 y4
1 1
2 0
5 0
5 0
3
1
2
3
2
1
2
7
3
9
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
3
0
y5
0
1
0
0
0
1
0
0
0
y6
0
0
1
0
0
0
1
0
HỆ
HỆ
A ÅN
P.A
SỐ
SỐ
C.B
y1
4
y3
2
y6
5
f x 34
6
5
0
2
y2
2
1
5
5
5 0
y3 y4
3
0
2
1
1
3
0
1
7
0
3
0
y5
1
2
2
3
3
4
3
0
y6
0
0
1
0
GHI CHÚ
CHÚ
Bà
Bài toá
toán có
có P.A.T.Ư
P.A.T.Ư yopt=(4, 0, 2) và
và f(yopt)= 34.
P.A.T.Ư
Ư
củ
û
a
bà
ø
i
toá
ù
n
gố
á
c
là
ø
P.A.T. cu ba toa go la
x1
xopt
4
b4
x2
5
b5
x3
6
b6
xopt
x1
7
x2
4
x3
0 0 0
3
3
0
7
0
4
3
3
ÁP DỤ
DỤNG
NG ĐỊNH LÝ
LÝ ĐỐI NGẪU
ÁP DỤ
DỤNG
NG ĐỊNH LÝ
LÝ ĐỐI NGẪU
GHI CHÚ
CHÚ. Chú
Chúng
ng ta cũng có
có thể
thể sử dụ
dụng
ng quy tắ
tắc
sau đây để tìm P.A.T.Ư
P.A.T.Ư củ
của bà
bài toá
toán đối ngẫu:
ễn
C
Cá
Cách
ch 2: dù
dùng
ng đònh lý
lý đối ngẫu
(1)
x1 0 và
và 2y1 + 3y2 + y 3 10
x2 0 và
+ 2y3 8
(2)
và y1
x3 0 và
(3)
và y1 + 2y2 + 5y3 19
2x1 + x 2 + x3 6 và
(4)
và y1 0
+ 2x 3 2 và
3x1
(5)
và y2 0
(6)
x1 + 2x 2+ 5x 3 5 và
và y3 0
Ta có
có P.A.T.Ư
P.A.T.Ư củ
của bà
bài toá
toán đối ngẫu yopt= (4,0,2)
Từ (3): 4 +2
x3 = 0.
+2 0 + 5 2 = 14 < 19
Từ (4): y1 = 4 > 0
2x1 + x2 + x 3 = 6
Từ (6): y3= 2 > 0
x1 + 2x2 + 5x3 = 5
Giả
Giải hệ
hệ phư
phương trì
trình, ta có
có PA.T.Ư
PA.T.Ư củ
của bà
bài toá
toán
gố
và f(xopt) = 34.
gốc là
là x opt = (7/3, 4/3, 0) và
N
gu
y
6
y1
1
0
0
0
Tr
í
Ẩ N
ôn
g
HỆ
HỆ
ÁP DỤ
DỤNG
NG ĐỊNH LÝ
LÝ ĐỐI NGẪU
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU
Do Lemke G.E đề xuấ
xuất năm 1954. Đây là
là thuậ
thuật
giả
giải đơn hì
hình đươ
được á
áp dụ
dụng
ng và
vào bà
bài toá
toán đối
ngẫu như
nhưng để tìm P.A.T.Ư
P.A.T.Ư cho bà
bài toá
toán gố
gốc.
c.
Thuậ
Thuật giả
giải đơn hì
hình đối ngẫu xuấ
xuất phá
phát từ
từ mộ
một
phư
phương á
án giả
giả thỏ
thỏa cá
các rà
ràng
ng buộ
buộc chí
chính củ
của
bà
bài toá
toán (nghiệ
(nghiệm đúng
ng Ax = b) như
nhưng không
thoả
thoả điề
iều kiệ
kiện rà
ràng
ng buộ
buộc về
về dấ
dấu (x 0), nghó
nghóa là
là
bả
bảng
ng đơn hì
hình đầu tiên không có
có phầ
phần tử
tử dương
trong dò
dòng
ng mụ
mục tiêu (dò
(dòng
ng cuố
cuối)
i) như
nhưng lạ
lại có
có
phầ
phần tử
tử âm trong cộ
cột phư
phương á
án.
n.
Thuậ
Thuật giả
giải nà
này thư
thường
ng đươ
được á
áp dụ
dụng
ng khi chư
chưa
biế
biết P.A.C.B nà
nào củ
của bà
bài toá
toán gố
gốc như
nhưng lạ
lại có
có
sẵ
sẵn mộ
một P.A.C.B củ
của bà
bài toá
toán đo ái ngẫu.
yopt
y1
1
c1
y2
2
c2
ym
m
cm
Vớ
Với cá
các ẩ
ẩn cơ bả
bản x j (j = 1, 2, ... , m) trong P.A.C.B
đầu tiên lậ
lập thà
thành
nh ma trậ
trận đơn vò cấ
cấp m tư
tương
ứng
ng vớ
với cá
các j trong bả
bảng
ng cuố
cuối cù
cùng.
ng.
Trong V í dụ
dụ 2.9,
2.9, ẩ
ẩn cơ bả
bản đầu tiên củ
của bà
bài toá
toán
đối ngẫu là
thì P.A.T.Ư
P.A.T.Ư củ
của bà
bài toá
toán
và y6 thì
là y4, y 5 và
gố
gốc (đ
(đối ngẫu củ
của bà
bài toá
toán đối ngẫu) là
là
X opt = (7/3, 4/3, 0) và
và f(Xopt) = 34.
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU
LẬ
LẬP BẢ
BẢNG
NG ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU
bi
0, i?
Sai
aij
Đu ùng
ng
j
0, j?
Sai
Đúng THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI
0, i?
Đu ùng
ng
P.A.T.Ư
P.A.T.Ư
KẾ
KẾT THÚ
THÚC
ĐƠN HÌNH THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI
Sai
XÁ
XÁC ĐỊNH PHƯ
PHƯƠNG Á
ÁN MỚ
MỚI
BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN
n ra : Minbi
xi
KHÔNG CÓ
CÓ P.A.T.Ư
P.A.T.Ư
bi 0
n và
vào : Min
aij 0
j
aij
xj
BIẾ
BIẾN ĐO ÅI BẢ
BẢNG
NG Đ ƠN HÌNH
SỐ
SỐ BƯỚC LẶ
LẶP
LÀ
LÀ HỮU HẠ
HẠN
¸¬¬°ỉđđ²½¬®·ò½±ò½½
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ÝØJLỊÙ ỵỉ ÞßH× ÌĐßGỊ _× ỊÙß]Ë
̸-ò Ị¹«§»=² ݱ>²¹ Ì®3
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH Đ ỐI NGẪU
Ví dụ
dụ 2.10. Giả
Giải bà
bài toá
toán QHTT trong Ví dụ
dụ 2.9
bằ
bằng
ng thuậ
thuật giả
giải đơn hì
hình đối ngẫu.
Đưa
Đưa bà
bài toá
toán về
về dạ
dạng
ng chí
chính tắ
tắc,
c, rồ
rồi sau đó
nhân (
c, ta có
(1) cho cá
các rà
ràng
ng buộ
buộc đẳng
ng thứ
thức,
có
bà
bài toá
toán dạ
dạng
ng chí
chính tắ
tắc như
như sau
f ( x ) 10 x1 8 x2 19 x3
min
2 x1
x2
x3
3 x1
xj
x4
x1
2 x2
j 1, 6
0
0
0
6
2 x3
0,
Hệ
Hệ Ẩn
số
số C.B
x5
5 x3
x6
2
10
5
0
0
Xuấ
Xuất phá
phát từ
từ phư
phương á
án giả
giả X = (0,0,0,
(0,0,0,6,
6,2,
2,5).
Ta có
có bả
bảng
ng đơn hì
hình đối ngẫu như
như sau
10
0
7/3
5
8
x1
x5
x3
f(x)
10
x1
8
x2
1
0
0
4/3
34
19
x3
0
0
1
0
2
4
3
2/3
2
23
0
0
x4
1/3
4
0
x5
0
1
0
0
0
x6
1/3
1
2/3
2
ễn
N
gu
y
xj
0,
x3
x4 2 x5
2 x2
4 x2
x3
x2
2 x3
x3
Min
x4
2 x5
x5
x5
4 x5
2
4
x6
x7
0
0
x4
x5
x6
6
2
1
1
2
3
0
2
0
1
0
x6
5
1
2
5
0
0
1
f(x)
0
10
8
19
0
0
0
x1
3
1
½
½
½
0
0
7
0
3/2 ½ 3/2
1
0
x6
2
0
3/2 9/2
½
0
1
30
0
5
0
0
x5
x5
f(x)
1
0
0
3
14
2
6
j 1, 7
Xuấ
Xuất phá
phát từ
từ phư
phương á
án giả
giả X = (0, 0, 0, 6, 2, 5)
Ta có
có bả
bảng
ng đơn hì
hình đối ngẫu
yopt
y2
2
c2
ym
m
cm
Trong Ví dụ
dụ 2.10,
2.10, ẩ
ẩn cơ bả
bản đầu tiên củ
của bà
bài
toá
thì
và x 6 thì
toán đối ngẫu là
là x4, x 5 và
yopt
y1
y2
y3
5
c4
c5
6
c6
4
y1
y2
y3
( 4) 0 4
0 0 0
( 2) 0 2
P.A.T.Ư
và
P.A.T.Ư củ
của bà
bài toá
toán đối ngẫu là
là Yopt = (4, 0, 2) và
f*(Yopt) = 34.
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU
x1
0
x3
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU
Ví dụ
dụ 2.11.
Dù
Dùng
ng thuậ
thuật giả
giải đơn hì
hình đối ngẫu để giả
giải bà
bài
toá
toán quy hoạ
hoạch
ch tuyế
tuyến tí
tính sau đây
2 x1 4 x2
19
x2
GHI CHÚ
CHÚ. Đối vớ
với thuậ
thuật giả
giải đơn hì
hình đối ngẫu,
để tìm P.A.T.Ư
có
P.A.T.Ư củ
của bà
bài toá
toán đối ngẫu Yopt, ta có
y1
c1
1
biể
c sau
biểu thứ
thức
Vậ
Vậy,
y, P.A.T.Ư
P.A.T.Ư củ
của bà
bài toá
toán là
là x opt = (7/3, 4/3, 0)
và
và f(xopt) = 34.
f ( x)
8
x1
x4
C
P.A
10
ôn
g
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU
Hệ
Hệ Ẩn
số
số C.B
P.A
Tr
í
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU
THUẬ
THUẬT GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU
Hệ
Hệ
số
số
2
1
0
0
2
1
0
0
Ẩn P.A 2
C.B
x1
x 1 2 1
x 4 4 0
x6 2 0
x7 6 0
f(x) 0 0
x1 6 1
x5 4 0
x6 6 0
x 7 10 0
f(x) 20 0
4
1 1 2 0 0
x2
2
4
0
1
4
10
4
4
17
24
x3
0
1
2
1
2
2
1
1
5
7
x4
0
1
0
0
0
2
1
1
4
5
x5
2
1
1
4
5
0
1
0
0
0
x6
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
x7
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
Do a4j 0,
j = 1,..., 7
nên
bà
bài
toá
toán trên
không có
có
P.A.T.Ư
P.A.T.Ư.
¸¬¬°ỉđđ²½¬®·ò½±ò½½
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ÝØJLỊÙ ỵỉ ÞßH× ÌĐßGỊ _× ỊÙß]Ë
̸-ò Ị¹«§»=² ݱ>²¹ Ì®3
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
MỘ
MỘT SỐ
SỐ ỨNG
NG DỤ
DỤNG
NG CỦ
CỦA LÝ
LÝ THUYẾ
THUYẾT
ĐỐI NGẪU TRONG BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QHTT
MỘ
MỘT SỐ
SỐ ỨNG
NG DỤ
DỤNG
NG CỦ
CỦA LÝ
LÝ THUYẾ
THUYẾT
ĐỐI NGẪU TRONG BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QHTT
Ví dụ
dụ 2.12.
a) Dù
Dùng
ng thuậ
thuật giả
giải đơn hì
hình đối ngẫu để giả
giải bà
bài
toá
toán quy hoạ
hoạch
ch tuyế
tuyến tí
tính sau đây
1. TÌM PHƯ
PHƯƠNG Á
ÁN TỐ
TỐI ƯU MỚ
MỚI KHI CÓ
CÓ
THÊM RÀ
RÀNG
NG BUỘ
BUỘC VÀ
VÀO BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN (XEM)
f ( x) 15 x1 12 x2 10 x3
GIẢ
GIẢI ĐƠN HÌNH MỞ
MỞ RỘ
RỘNG
NG
3x1
x1
(XEM)
xj
3. Ý NGHĨ
NGHĨA KINH TẾ
TẾ CỦ
CỦA BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QUY
HOẠ
(XEM)
HOẠCH
CH TUYẾ
TUYẾN TÍ
TÍNH ĐỐI NGẪU
f ( x) 15 x1 12 x2 10 x3
4 x2
2 x3
x1
2 x2
3 x3
0,
j 1,5
Min
x4
Hệ
Hệ Ẩn P.A
Số
Số C.B
140
N
gu
y
a) Xuấ
Xuất phá
phát từ
từ phư
phương á
án giả
giả X = (0, 0, 0, 160,
140. Ta có
có bả
bảng
ng đơn hì
hình đối ngẫu
MỘ
MỘT SỐ
SỐ ỨNG
NG DỤ
DỤNG
NG CỦ
CỦA LÝ
LÝ THUYẾ
THUYẾT
ĐỐI NGẪU TRONG BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QHTT
b) Do xopt = (0, 25, 30) không thỏ
thỏa rà
ràng
ng buộ
buộc x1
+ x2 + x3 60 nên xopt không phả
phải là
là phư
phương á
án
củ
của bà
bài toá
toán mớ
mới.
i. Để xử lý
lý rà
ràng
ng buộ
buộc mớ
mới nà
này,
y,
ta đưa
đưa rà
ràng
ng buộ
buộc bấ
bất đẳng
ng thứ
thức về
về rà
ràng
ng buộ
buộc
đẳng
0, ta
ng thứ
thức bằ
bằng
ng cá
cách
ch thêm ẩ
ẩn phụ
phụ x 6
đươ
được x1 x 2 x3 + x6 = 60.
Sử dụ
dụng
ng bả
bảng
ng cuố
cuối cù
cùng
ng trong câu a) và
và đưa
đưa
rà
ràng
ng buộ
buộc mớ
mới x1 x2 x3 + x6 = 60 và
vào bả
bảng
ng
trên. Lư
Lưu ý
ý ẩn x6 là
là ẩn cơ bả
bản trong bà
bài toá
toán
mớ
và x5 là
là ẩn cơ bả
bản trong bà
bài toá
toán cũ
mới,i, cò
còn x4 và
nên trong ma trậ
trận hệ
hệ số
số củ
của bà
bài toá
toán mớ
mới ta
cộ
cộng
ng dò
dòng
ng 1 và
và dò
dòng
ng 2 và
vào dò
dòng
ng 3 để vectơ
cộ
cột ứng
ng vớ
với x4 và
và x5 là
là cá
các vectơ đơn vò.
0,
j 1, 3
MỘ
MỘT SỐ
SỐ ỨNG
NG DỤ
DỤNG
NG LÝ
LÝ THUYẾ
THUYẾT ĐỐI NGẪU
160
x5
ễn
xj
3 x1
160
140
b) Nế
Nếu thêm mộ
một rà
ràng
ng buộ
buộc nư
nữa x 1 + x2 + x 3 60
và
vào bà
bài toá
toán trên, tì
tìm phư
phương á
án tố
tối ưu củ
của
bà
bài toá
toán mớ
mới.
i.
C
Đưa
Đưa bà
bài toá
toán về
về dạ
dạng
ng chí
chính tắ
tắc,
c, rồ
rồi sau đó
nhân (
(1) cho cá
các rà
ràng
ng buộ
buộc đẳng
ng thứ
thức,
c, ta có
có
bà
bài toá
toán dạ
dạng
ng chí
chính tắ
tắc như
như sau
2 x3
3x3
ôn
g
MỘ
MỘT SỐ
SỐ ỨNG
NG DỤ
DỤNG
NG CỦ
CỦA LÝ
LÝ THUYẾ
THUYẾT
ĐỐI NGẪU TRONG BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN QHTT
4 x2
2 x2
Min
Tr
í
2. TÌM NGHIỆ
NGHIỆM KHÔNG ÂM CỦ
CỦA HỆ
HỆ
PHƯ
PHƯƠNG TRÌNH TUYẾ
TUYẾN TÍ
TÍNH BẰ
BẰNG
NG THUẬ
THUẬT
0
0
x4
x5
f(x)
12 x2
0 x5
f(x)
12 x2
10 x3
f(x)
160
140
0
40
60
480
25
30
600
15
x1
3
1
15
¾
½
6
7/8
¼
7
12
x2
4
2
12
1
0
0
1
0
0
10
0
x3 x4
2
1
3
0
10 0
½ ¼
2 ½
4 3
0 3/8
1
¼
0
2
0
x5
0
1
0
0
1
0
¼
½
2
P.A.T.Ư
và f(xopt) = 600.
P.A.T.Ư là
là xopt = (0, 25, 30) và
MỘ
MỘT SỐ
SỐ ỨNG
NG DỤ
DỤNG
NG LÝ
LÝ THUYẾ
THUYẾT ĐỐI NGẪU
Hệ
Hệ A Ån
P.A
15
12
10
0
0
0
25
x1
7/8
x2
x3
0
x4
3/8
x5
x6
30
¼
0
1
¼
½
0
số
số C.B
12
10
0
12
10
0
x2
x3
x6
1
¼
0
60
1
1
1
0
0
1
f(x)
600
7
0
0
2
2
0
x2
25
7/8
1
0
3/8
¼
0
x3
30
¼
0
1
¼
½
0
5
3/8
0
0
1/8 ¼
1
f(x)
600
7
0
0
x6
2
2
0
¸¬¬°ỉđđ²½¬®·ò½±ò½½
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ÝØJLỊÙ ỵỉ ÞßH× ÌĐßGỊ _× ỊÙß]Ë
̸-ò Ị¹«§»=² ݱ>²¹ Ì®3
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
MỘ
MỘT SỐ
SỐ ỨNG
NG DỤ
DỤNG LÝ
LÝ THUYẾ
THUYẾT ĐỐI NGẪU
Hệ
Hệ Ẩn
số
số C.B
P.A
12
20
10
0
x2
x3
x5
f(x)
15
12
10
0
0
0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
½
1
0
½
0
40
½
0
1
½
0
2
3/2
4
0
0
½
1
4
0
0
1
Tìm nghiệ
nghiệm không âm củ
của hệ
hệ phư
phương trì
trình
tuyế
tuyến tí
tính AX = b, X 0 (1), trong đó A là
là ma
m có
trậ
về
trận m n, b
có thể
thể quy
về giả
giải bà
bài toá
toán quy
m
g
min
hoạ
hoạch
ch tuyế
tuyến tí
tính f x M x j
1
20
640
TÌM NGHIỆ
NGHIỆM KHÔNG ÂM CỦ
CỦA
HỆ
HỆ PHƯ
PHƯƠNG TRÌNH TUYẾ
TUYẾN TÍ
TÍNH
0
j 1
8
X
2 x1
x1
3 x1
3 x2
2 x2
x2
0,
j 1, 6
xj
Min
x3
4 x3
2 x3
x4
x5
x6
7
9
4
ễn
x6
N
gu
y
Giả
Giải bà
bài toá
toán trên, ta đươ
được P.A.T. là
là (xopt, xgopt)
= (3, 1, 2, 0, 0, 0). Vậ
Vậy nghiệ
nghiệm không âm củ
của hệ
hệ
phư
phương trì
trình tuyế
tuyến tí
tính trên là
là x = (3, 1, 2).
Ý NGHĨ
NGHĨA KINH TẾ
TẾ CỦ
CỦA BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN ĐỐI NGẪU
Gọ
Gọi xj (j = 1, 2, ..., n) là
là số
số đơn vò thứ
thức ăn trong
mỗi bử
bửa,
a, ta có
có mô hì
hình bà
bài toá
toán QHTT như
như sau
f x
c1x1
c2 x2
cn xn
min
ai1 x1
xj
ai 2 x2
0,
ain xn
bi ,
i 1, m
j 1, n
Bà
Bài toá
toán đối ngẫu
fD y
b1 y1
b2 y2
bm ym
max
a1 j y1
a2 j y2
amj ym
cj ,
yi
0, i
0, M
0
Ý NGHĨ
NGHĨA KINH TẾ
TẾ CỦ
CỦA BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN Đ ỐI NGẪU
Xé
Xét bà
bài toá
toán gố
gốc là
là bà
bài toá
toán khẩ
khẩu phầ
phần thứ
thức ăn
Chấ
Chất dinh
dưỡng (%)
C
3 x1
x2
2 x3
4
Ta có
có thể
thể quy bà
bài toá
toán trên về
về bà
bài toá
toán QHTT
x5
2
b
Tr
í
Ví dụ
dụ 2.1.T
2.1.Tìm nghiệ
nghiệm không âm củ
của hệ
hệ phư
phương
trì
3 x2
x3
7
trình tuyế
tuyến tí
tính 2 x1
x1
2 x2
4 x3
9
ôn
g
TÌM NGHIỆ
NGHIỆM KHÔNG ÂM CỦ
CỦA HỆ
HỆ PHƯ
PHƯƠNG TRÌNH TUYẾ
TUYẾN TÍ
TÍNH
M x4
0, X g
Bà
Bài toá
toán (2) luôn luôn có
có P.A.T.Ư
P.A.T.Ư vì (0,b) là
là
mộ
một P.A và
và hà
hàm mụ
mục tiêu bò chặ
chặn [f(x) 0].
Giả
Giả sử P.A.T.Ư
P.A.T.Ư củ
của bà
bài toá
toán trên là
là (xopt, x gopt),
nế
nếu xgopt = 0, j thì
thì xopt là
là nghiệ
nghiệm củ
của bà
bài toá
toán
(1). Ngư
Ngược lạ
lại nế
nếu tồ
tồn tạ
tại xgj 0 thì
thì bà
bài toá
toán (1)
vô nghiệ
nghiệm.
m.
P.A.T.Ư
P.A.T.Ư là
là x /opt = (0, 20, 40) và
và f(x/opt) = 640.
f ( x)
Xg
AX
j 1, n
1, m
Chấ
Chất dinh dư
dưỡng thay thế
thế: nhà
nhà sả
sản xuấ
xuất thuố
thuốc
bổ
bổ tương ứng
ng vớ
với cá
các chấ
chất dinh dư
dưỡng trên.
1
2
...
i
...
m
Giá
Giá mộ
một đơn
vò thứ
thức ăn
Thứ
Thức ăn
... j ...
1
2
a11
a21
...
ai1
...
am1
c1
a12
a22
...
ai2
...
am2
c2
...
...
...
...
...
...
...
a1j
a2j
...
aij
...
amj
cj
...
...
...
...
...
...
...
n
a1n
a2n
...
ain
...
amn
cn
Mức
dinh dư
dưỡng
tố
tối thiể
thiểu
b1
b2
...
bi
...
bm
Ý NGHĨ
NGHĨA KINH TẾ
TẾ CỦ
CỦA BÀ
BÀI TOÁ
TOÁN Đ ỐI NGẪU
Gọ
Gọi yi là
là giá
giá bá
bán mộ
một viên thuố
thuốc bổ
bổ có
có chứ
chứa
chấ
chất dinh dư
dưỡng i (i = 1, 2, ..., m).
Ngư
Người chăn nuôi sẽ phả
phải lự
lựa chọ
chọn:
n:
Mua thuố
thuốc bổ
bổ, nế
nếu a1jy1 + a2jy2 +... + anjyn < cj.
Vì giá
(đònh lý
lý
giá thuố
thuốc bổ
bổ rẻ
rẻ hơn và
và lú
lúc nà
này xj = 0 (đ
độ lệ
lệch
ch bù
bù yế
yếu).
u).
Mua thứ
thức ăn, theo đònh lý
lý độ lệ
lệch
ch bù
bù yế
yếu,
u,
nế
nếu yi > 0 thì
thì ai1x1 + ai2x2 + + ainxn = bi,
Nghó
Nghóa là
là, nế
nếu giá
giá mộ
một viên thuố
thuốc bổ
bổ khá
khá cao thì
thì
ngư
người chăn nuôi sẽ mua cá
các loạ
loại thứ
thức ăn sao
cho thoả
thoả nhu cầ
cầu tố
tối thiể
thiểu củ
của chấ
chất dinh dư
dưỡng.
Vậ
Vậy,
y, khi phân tí
tích cặ
cặp bà
bài toá
toán đối ngẫu nhau
chí
chính là
là phân tí
tích tí
tính T.Ư
T.Ư củ
của từ
từng
ng bà
bài toá
toán.
n.
¸¬¬°ỉđđ²½¬®·ò½±ò½½
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
