Chương 1 hàm nhiều biến lê hoài nhân

VI TÍCH PHÂN A2

Chương 1. Phép tính vi phân hàm nhiều biến
CBGD. Lê Hoài Nhân

1

1 Bộ môn Toán học
Khoa Khoa học tự nhiên

Ngày 3 tháng 8 năm 2015

(CNS)

Chương 1. Phép tính vi phân hàm nhiều biến

Ngày 3 tháng 8 năm 2015

1 / 47


Mục lục
1

Đạo hàm riêng
Định nghĩa và cách tính
Ý nghĩa hình học
Gradient và Đạo hàm theo hướng
Đạo hàm hàm ẩn
Đạo hàm riêng cấp cao

2

Cực trị

3

Cực trị có điều kiện

4

Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất

(CNS)

Chương 1. Phép tính vi phân hàm nhiều biến

Ngày 3 tháng 8 năm 2015

2 / 47


Đạo hàm riêng

Định nghĩa 1.1
Cho hàm số f (x, y ) xác định tại (x0 , y0 ) và lân cận.
Đạo hàm riêng của f theo biến x tại điểm (x0 , y0 ) là
∂f
f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 ) = lim
.

∆x→0
∂x
∆x
Đạo hàm riêng của f theo biến y tại điểm (x0 , y0 ) là
f (x0 , y0 + ∆y ) − f (x0 , y0 )
∂f
(x0 , y0 ) = fy (x0 , y0 ) = lim
.
∆y →0
∂y
∆y

(CNS)

Chương 1. Phép tính vi phân hàm nhiều biến

Ngày 3 tháng 8 năm 2015

3 / 47


Đạo hàm riêng
∂f
ta xem f (x, y ) như là hàm một biến x (y là tham số).
∂x
∂f
ta xem f (x, y ) như là hàm một biến y (x là tham số).
Khi tính
∂y
Khi tính

Ví dụ 1.1 (Tính đạo hàm riêng)
1
2

3

Tính zx và zy nếu z = x 3 y 2 + x 4 y + y 4 .
Tính các đạo hàm riêng của hàm số: z = e xy cos(x + y ) tại điểm
(0, π).
1
Cho hàm số u = 2
. Chứng minh:
x + y2 + z2
x.ux + y .uy + z.uz = −2u.

(CNS)

Chương 1. Phép tính vi phân hàm nhiều biến

Ngày 3 tháng 8 năm 2015

4 / 47


Bài tập Đạo hàm riêng I
∂f
∂f
và
∂x

∂y
f (x, y ) = 2x 2 − 3y − 4

Từ bài tập 1 - 22 tính
1
2
3
4
5
6
7

8

9

10

f (x, y ) = x 2 − xy + y 2

f (x, y ) = (x 2 − 1)(y + 2)

f (x, y ) = 5xy − 7x 2 − y 2 + 3x − 6y + 2
f (x, y ) = (xy − 1)2

f (x, y ) = (2x − 3y )3
f (x, y ) =

x2 + y2
y 23

f (x, y ) = x 3 +
2
1
f (x, y ) =
x +y
x
f (x, y ) = 2
x + y2

(CNS)

Chương 1. Phép tính vi phân hàm nhiều biến

Ngày 3 tháng 8 năm 2015

5 / 47


Bài tập Đạo hàm riêng II
x +y
xy − 1

11

f (x, y ) =

12

f (x, y ) = arctan

13

f (x, y ) = e x+y +1

14

f (x, y ) = e −x sin(x + y )

15

f (x, y ) = ln(x + y )

16

f (x, y ) = e ey ln y

17
18
19

y
x

f (x, y ) = sin2 (x − 3y )

f (x, y ) = cos2 (3x − y 2 )
f (x, y ) = x y

20

f (x, y ) = logy x

21

f (x, y ) =

y

g (t)dt, với g (t) là hàm số liên tục.

x
(CNS)

Chương 1. Phép tính vi phân hàm nhiều biến

Ngày 3 tháng 8 năm 2015

6 / 47


Bài tập Đạo hàm riêng III
∞
22

f (x, y ) =
n=0

(xy )n với |xy | < 1

Từ bài tập 23 - 32 tính fx , fy và fz

23
24
25

f (x, y , z) = 1 + xy 2 − 2z 2
f (x, y , z) = xy + yz + zx
f (x, y , z) = x −

y2 + z2
1

26

f (x, y , z) = (x 2 + y 2 + z 2 )− 2

27

f (x, y , z) = arcsin(xyz)

28

f (x, y , z) = ln(x + 2y + 3z)

29

f (x, y , z) = yz ln(xy )

30

f (x, y , z) = e −(x

31

f (x, y , z) = e −xyz

(CNS)

2 +y 2 +z 2 )

Chương 1. Phép tính vi phân hàm nhiều biến

Ngày 3 tháng 8 năm 2015

7 / 47


Bài tập Đạo hàm riêng IV
Từ bài tập 32 - 37 tính các đạo hàm riêng của hàm số với biến tương ứng
của hàm số đó
32

f (t, α) = cos(2πt − α)
2u
v

33

g (u, v ) = v 2 e

34

h(ρ, φ, θ) = ρ. sin φ cos θ

35

36

37

g (r , θ, z) = r (1 − cos θ) − z
V δv 2
W (P, V , δ, v , g ) = PV +
2g
hq
km
+ cm +
A(c, h, k, m, q) =
q
2

(CNS)

Chương 1. Phép tính vi phân hàm nhiều biến

Ngày 3 tháng 8 năm 2015

8 / 47


Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng

Nếu C1 là giao tuyến của S và mặt phẳng y = y0 thì vector
−
→
u1 = (1, 0, fx ) chỉ phương tiếp tuyến của C1 tại (x0 , y0 , z0 ).
(CNS)

Chương 1. Phép tính vi phân hàm nhiều biến

Ngày 3 tháng 8 năm 2015

9 / 47


Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng

Nếu C2 là giao tuyến của S và mặt phẳng x = x0 thì vector
−
→
u2 = (0, 1, fy ) chỉ phương tiếp tuyến của C2 tại (x0 , y0 , z0 ).
(CNS)

Chương 1. Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày 3 tháng 8 năm 2015

10 / 47


Tiếp diện và pháp tuyến

(CNS)

Chương 1. Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày 3 tháng 8 năm 2015

11 / 47


Tiếp diện và pháp tuyến
→
Vector −
n = (fx , fy , −1) = (a, b, −1) là vector pháp tuyến của tiếp
diện tại P(x0 , y0 , z0 ).
Phương trình tiếp diện
a.(x − x0 ) + b.(y − y0 ) + (−1).(z − z0 ) = 0.
Phương trình đường thẳng pháp tuyến của (S)
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
a
b
−1
hay nó có phương trình tham số
x = x0 + a.t

(CNS)

y = y0 + b.t.

z = z0 + (−1)t.

Chương 1. Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày 3 tháng 8 năm 2015

12 / 47


Bài tập ý nghĩa hình học, tiếp diện và pháp tuyến I
1

2

Mặt phẳng x = 1 cắt paraboloid z = x 2 + y 2 theo giao tuyến là một
parabola. Hãy tìm độ dốc của tiếp tuyến của parabola đó tại điểm
(1, 2, 5).
Cho hàm số f (x, y ) = 2x + 3y − 4. Hãy tìm độ dốc của tiếp tuyến
của mặt cong trên tại điểm (2, −1) và nằm trong mặt phẳng
1
2

3

x =2
y = −1.

Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong đó tại điểm
(2, −1, −3).

Cho hàm số f (x, y ) = x 2 + y 3 . Hãy tìm độ dốc của tiếp tuyến của
mặt cong trên tại điểm (−1, 1) và nằm trong mặt phẳng
1

2

x = −1
y = 1.

Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong đó tại điểm
(−1, 1, 2).
(CNS)

Chương 1. Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày 3 tháng 8 năm 2015

13 / 47


Độ dốc của tiếp tuyến bất kỳ

(CNS)

Chương 1. Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày 3 tháng 8 năm 2015

14 / 47


Gradient và Đạo hàm theo hướng
Định nghĩa 1.2
1

→
Đạo hàm theo hướng vector đơn vị −
u = (v , w ) tại (x0 , y0 ) là giới

f (x0 +h.v ,y0 +h.w )−f (x0 ,y0 )
−
hạn D→
u f (x0 , y0 ) = lim+
h
h→0

2

Gradient của hàm số f (x, y ) tại điểm (x, y ) là vector:
−
→
−
→
∇f (x, y ) = grad f (x, y ) = fx (x, y ) i + fy (x, y ) j

→
Với −
u là vector đơn vị, ta có
−
→
−
D→
u f (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 ).v + fy (x0 , y0 ).w = u .∇f (x0 , y0 ).

(CNS)

Chương 1. Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày 3 tháng 8 năm 2015

15 / 47

Gradient và Đạo hàm theo hướng

Ví dụ 1.2
1

2

3

x
tại điểm O(0, 0) theo
Tính đạo hàm của hàm số f (x, y ) =
1+y
−
→ −
→
hướng của vector i − j .

Tính đạo hàm của hàm số z = x 2 + y 2 tại điểm (1, −2) theo hướng
của vector tạo với chiều dương của trục Ox một góc 60o .
1 1
1
Tính đạo hàm của hàm số f (x, y , z) = + + tại điểm
x
y
z
→
−

→ −
→ −
(2, −3, 4) theo hướng của vector i + j + k .

(CNS)

Chương 1. Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày 3 tháng 8 năm 2015

16 / 47


Gradient và Đạo hàm theo hướng
Hàm số f (x, y ) tăng nhanh nhất theo hướng của vector ∇f (x0 , y0 ).

Hàm số f (x, y ) giảm nhanh nhất theo hướng của vector −∇f (x0 , y0 ).
→
Bất kỳ vector −
u vuông góc với ∇f (x0 , y0 ) = 0 thì đạo hàm theo
hướng đó đều bằng 0.

Ví dụ 1.3
1

2

3

(Ví dụ 31 trang 25) Nhiệt độ tại M(x, y ) trên là T o C với
T (x, y ) = x 2 .e −y . Theo hướng nào thì tại điểm (2, 1) nhiệt độ tăng
nhanh nhất? Hãy tìm tốc độ tăng của T theo hướng đó.

(Bài tập 17 trang 45) Nhiệt độ T (x, y ) tại các điểm trên mặt
phẳng được cho bởi hàm số T (x, y ) = x 2 − 2y 2 . Từ điểm (2, −1),
một con kiến nên di chuyển theo hướng nào để đi đến nơi có nhiệt
độ mát nhất?
Theo hướng nào thì đạo hàm của hàm số f (x, y ) = xy + y 2 tại
điểm P(3, 2) có giá trị 0?

(CNS)

Chương 1. Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày 3 tháng 8 năm 2015

17 / 47


Bài tập Gradient và Đạo hàm theo hướng I
Trong các bài tập 1 - 6, tìm Gradient của hàm số tại điểm được cho. Sau
đó, vẽ vector gradient và đường mức của hàm số tại điểm đó trên cùng
một đồ thị.
1
2
3

4
5

6

f (x, y ) = y − x
f (x, y ) =

ln(x 2

g (x, y ) =

xy 2

g (x, y ) =

(2, 1)
+

x2

y 2)

y2

(1, 1)

(2, −1)
√
( 2, −1)

−
2
√2
f (x, y ) = 2x + 3y
√
x
f (x, y ) = arctan

y

(−1, 2)

(4, −2)

Trong các bài tập 7 - 10, tìm ∇f tại điểm được cho.
7
8

f (x, y , z) = x 2 + y 2 − 2z 2 + z ln x
f (x, y , z) =

2z 3

(CNS)

−

3(x 2

+

y 2 )z

(1, 1, 1)

+ arctan(xz)

(1, 1, 1)

Chương 1. Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày 3 tháng 8 năm 2015

18 / 47


Bài tập Gradient và Đạo hàm theo hướng II
1

(−1, 2, −2)
π
10 f (x, y , z) = e x+y cos z + (y + 1) arcsin x
(0, 0, ).
6
→
Trong các bài tập 11 - 18, tìm đạo hàm của hàm số tại P0 theo hướng −
u
được cho
−
→
−
→
−
→
11 f (x, y ) = 2xy − 3y 2 ,
P0 (5, 5),
u =4 i +3 j
−
→
−

→
−
→
12 f (x, y ) = 2x 2 + y 2 ,
P0 (−1, 1),
u =3 i −4 j
−
→
−
→
x −y
−
→
13 g (x, y ) =
,
P0 (1, −1),
u = 12 i + 5 j
xy + 2
√
−
→
−
→
y
xy
→
14 h(x, y ) = arctan
+ 3. arcsin
, P0 (1, 1), −
u =3 i −2 j

x
2
−
→
−
→
−
→
−
→
15 f (x, y , z) = xy + z + zx,
P0 (1, −1, 2),
u = 3 i +6 j −2k
→
−
→ −
→ −
−
→
16 f (x, y , z) = x 2 + 2y 2 − 2y 2 ,
P0 (1, 1, 1),
u = i + j + k
−
→
−
→ −
→
−
→
17 g (x, y , z) = 3e x cos(yz),

P (0, 0, 0),
u =2 i + j −2k
9

f (x, y , z) = (x 2 + y 2 + z 2 )− 2 + ln(xyz)

0

(CNS)

Chương 1. Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày 3 tháng 8 năm 2015

19 / 47


Bài tập Gradient và Đạo hàm theo hướng III
18

1
,
h(x, y , z) = cos(xy ) + e yz + ln(zx), P0 1, 0,
2
−
→
−
→
−
→
−
→

u = i +2 j +2k

Trong các bài tập 19 - 24, tìm hướng mà theo đó hàm số tăng hoặc giảm
nhanh nhất tại P0 . Tính giá trị của đạo hàm theo hướng vừa tìm được.
19

f (x, y ) = x 2 + xy + y 2

20

x 2y

21

f (x, y ) =

P0 (−1, 1)

e xy

+
sin y
P0 (1, 0)
x
f (x, y , z) = − yz
P0 (4, 1, 1)
y

22

g (x, y , z) = xe y + z 2

23

h(x, y , z) = ln(xy ) + ln(yz) + ln(zx)

24

f (x, y , z) =

ln(x 2

(CNS)

+

y2

P0 1, ln 2,
− 1 + y + 6z)

1
2
P0 (1, 1, 1)
P0 (1, 1, 0)

Chương 1. Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày 3 tháng 8 năm 2015

20 / 47

Bài tập Gradient và Đạo hàm theo hướng IV
25

→
Cho hàm số f (x, y ) = x 2 − xy + y 2 . Tìm vector đơn vị −
u và giá trị
→
−
của D u f (1, −1) biết rằng
1
2
3

26

−
D→
u f (1, −1) lớn nhất.
→
D−u f (1, −1) bé nhất.
−
D→
u f (1, −1) = 0

Cho hàm số f (f , y ) =
−
D→
uf

1 3
− ,
2 2

1

−
D→
uf

2

−
D→
uf

3

−
D→
uf

−
D→
u f (1, −1) = 4

5

−
D→

u f (1, −1) = −3

x −y
→
. Tìm vector đơn vị −
u và giá trị của
x +y

biết rằng

1 3
− ,
2 2
1 3
− ,
2 2
1 3
− ,
2 2

(CNS)

4

lớn nhất

4

−
D→

uf

bé nhất

5

−
D→
uf

1 3
− ,
2 2
1 3
− ,
2 2

= −2
=1

=0
Chương 1. Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày 3 tháng 8 năm 2015

21 / 47


Bài tập Gradient và Đạo hàm theo hướng V
27

Theo hướng nào thì đạo hàm của hàm số f (x, y ) =

x2 − y2
tại điểm
x2 + y2

(1, 1) bằng 0.
28

29

→
Tồn tại hay không vector −
u mà theo hướng đó đạo hàm của hàm số
2
2
f (x, y ) = x − 3xy + 4y tại điểm P(1, 2) có giá trị 14. Hãy giải thích
câu trả lời của bạn.
→
Tồn tại hay không vector −
u mà theo hướng đó tốc độ biến thiên của
hàm nhiệt độ

T (x, y , z) = 2xy − yz,

với nhiệt độ tính bằng o C và khoảng cách tính bằng feet, tại điểm
P(1, −1, 1) là −3(o C /ft). Hãy giải thích câu trả lời của bạn.

(CNS)

Chương 1. Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày 3 tháng 8 năm 2015

22 / 47


Bài tập Gradient và Đạo hàm theo hướng VI
30

31

−
→ −
→
Đạo hàm của hàm số f (x, y ) tại điểm P0 (1, 2) theo hướng i + j là
√
−
→
2 2, và theo hướng −2 j là −3. Đạo hàm của hàm f theo hướng
−
→
−
→
− i − 2 j nhận giá trị là bao nhiêu? Hãy giải thích câu trả lời của
bạn.
Hàm số đạo hàm của hàm f (x, y , z) tại điểm P đạt giá trị lớn nhất
√
→
−
→ −
→ −
→

theo hướng −
v = i + j − k và giá trị lớn nhất đó là 2 3.
1
2

Tìm tọa độ của ∇f tại P. Giải thích câu trả lời đó.
−
→ −
→
→
Đạo hàm của hàm f tại P theo hướng −
v = i + j bằng bao nhiêu?
Tại sao?

(CNS)

Chương 1. Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày 3 tháng 8 năm 2015

23 / 47


Hàm ẩn
Định nghĩa 1.3 (17 trang 25)
Hàm số y = y (x) được gọi là hàm ẩn xác định bởi phương trình
F (x, y ) = 0 nếu F (x, y (x)) = 0 với mọi x
Hàm số z = z(x, y ) được gọi là hàm ẩn xác định bởi phương trình
F (x, y , z) = 0 nếu F (x, y , z(x, y )) = 0 với mọi (x, y ).

Ví dụ 1.4 (32 trang 25)
Phương trình x 3 + y 3 = 1 xác định hàm ẩn y =

√
3

1 − x 3.

Phương trình x 2 + y 2 + z 2 = 1 xác định hai hàm ẩn
z = − 1 − x 2 − y 2 và z = 1 − x 2 − y 2 .

Phương trình x 2 + y 2 + 1 = 0 không xác định được hàm ẩn nào.

(CNS)

Chương 1. Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày 3 tháng 8 năm 2015

24 / 47


Đạo hàm hàm ẩn một biến
1

2

Đạo hàm của hàm ẩn một biến. Giả sử hàm ẩn y = y (x) xác định
F
bởi phương trình F (x, y ) = 0. Khi đó, y (x) = − x .
Fy
Đạo hàm của hàm ẩn hai biến. Giả sử z = z(x, y ) là hàm ẩn hai
biến xác định bởi phương trình F (x, y , z) = 0. Khi đó,
Fy

F
∂z
∂z
=− x
và
=− .
∂x
Fz
∂y
Fz

Ví dụ 1.5
1

2

Tìm phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong
e y /x + sin y + y 2 = 1 tại điểm (2, 0).
Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cầu
x 2 + y 2 + z 2 = 14 tại điểm (1, −2, 3).

(CNS)

Chương 1. Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày 3 tháng 8 năm 2015

25 / 47