Chương 3. HÀM NHIỀU BIẾN

Bài giảng toàn kinh tế
Chương 3. HÀM NHIỀU BIẾN
ξ
1. M T S KHÁI NI M C B NỘ Ố Ệ Ơ Ả
Không gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiệu (x
1
, x
2
,… x
n
) (xi ∈ R, i
= 1,.. n) được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu là R
n
.
R
n
= {x = (x
1
, x
2
,… x
n
): x
i
∈ R, i = 1,.. n}
Trong đó x
i
là toạ độ thứ i của điểm x.
Khoảng cách 2 điểm: x = (x
1
,x

2
,… x
n
), y = (y
1
,y
2
,… y
n
) ∈ R
n
:
Một số tính chất của d:
a) d(x,y) ≥ 0; d(x,y) = 0 ó x
i
= y
i
, ∀I ó x = y
b) d(x,y) = d(y,x)
c) d(x,y) ≤ d(x,z) + d (z,y)
Lân cận: Cho x
0
∈R
n
và số r > 0. Tập S(x
0
, r) = {x ∈ R
n
: d(x,x
0

) < r} được gọi là một lân cận của
x
0
.
Điểm trong: Điểm x
0
∈R
n
được gọi là điểm trong của D ⊂ R
n
nếu D chứa một lân cận của x
0
Điểm biên: Điểm x
0
∈ R
n
được gọi là điểm biên của D ⊂ R
n
nếu mọi lân cận của x
0
đều chứa ít
nhất các điểm x, y: x ∈ D, y ∉ D. Tập hợp mọi điểm biên của D được gọi là biên của D
Tập đóng: Nếu biên của D thuộc D.
Tập mở: Nếu biên của D không thuộc D.
Hàm 2 biến: D ⊂ R
2
, một ánh xạ f: D → R, được gọi là hàm số 2 biến. Ký hiệu:
• D: miền xác định
• f(D) = {z∈D: z = f(x,y), ∀(x,y) ∈ D} gọi là miền giá trị
Ví dụ: Tìm miền xác định:

z = 2x – 3y +5
z = ln(x + y -1)
Hàm n biến: D ⊂ R
n
, một ánh xạ f: D → R được gọi là hàm số n biến. Ký hiệu:
ξ
2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
Giới hạn hàm số: Cho hàm f(x,y) xác định tại lân cận M
0
(x
0
,y
0
), có thể không xác định tại M0.
Số thực L được gọi là giới hạn của f khi M(x,y) tiến đến M
0
(x
0
,y
0
), nếu:
∀ε > 0, δ∃ > 0: d(M,M
0
) < δ => |f(M) – L| < ε
• Khái niệm vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến.
Nguồn: nguyenngoclam.com
1
∑
=
−=

n
i
ii
yxyxd
1
2
)(),(
22
1 yxz
−−=
),...,(),...,(:
2121 nn
xxxfzxxxf
=

2
0
2
00
)y-(y)x-(x)Md(M,
+=
LMf
MM
=
→
)(lim
0
Lyxf
yxyx
=

→
),(lim
),(),(
00
Lyxf
yy
xx
=
→
→
),(lim
0
0
Bài giảng toàn kinh tế
• Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm số một biến cũng đúng cho
hàm số nhiều biến.
Ví dụ:
Liên tục của hàm: f được gọi là liên tục tại (x
0
,y
0
) nếu
Định lý: Nếu f(x,y) liên tục trên một tập đóng và bị chặn trên D ⊂ R
2
thì:
• Tồn tại số M: |f(x,y)| ≤ M
• f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên D
Tương tự ta có thể định nghĩa giới hạn và sự liên tục của hàm số đối với hàm n biến (n≥3)
ξ
3. ĐẠO HÀM RIÊNG

Định nghĩa: cho hàm z = f(x,y) xác định trong miền D, M0(x
0
,y
0
) ∈ D. Nếu cho y = y
0
là hằng
số, hàm số một biến f(x,y
0
) có đạo hàm tại x = x
0
, được gọi là đạo hàm riêng của f đối với x tại
M
0
. Ký hiệu:
Đặt ∆xf = f(x
0
+ ∆x, y
0
)-f(x
0
,y
0
): Số gia riêng của f tại M
0
.
Tương tự ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng của f theo biến y.
Tương tự ta cũng có đạo hàm riêng đối với hàm n biến số (n≥3).
Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng:
Đạo hàm riêng cấp cao: Cho hàm số f(x,y). Các đạo hàm riêng f’x, f’y được gọi là những đạo

hàm riêng cấp 1. Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 nếu tồn tại được gọi là đạo hàm
riêng cấp 2.
Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm riêng cấp 3,…
Nguồn: nguyenngoclam.com
2
22
22
)0,0(),(
)sin(
lim
yx
yx
yx
+
+
→
22
)0,0(),(
lim
yx
xy
yx
+
→
),(),(lim
00
),(),(
00
yxfyxf
yxyx

=
→
),(
z
),,(
f
,),(
000000
'
yx
x
yx
x
yxf
x
∂
∂
∂
∂
x
f
x
x
∆
∆
=
→∆ 0
'
x
limf

y
f
y
y
∆
∆
=
→∆
0
'
y
limf
4234
25 yyxxz
+−=
y
xu
=
),(
''
2
2
yxf
x
f
x
f
x
xx
=

∂
∂
=






∂
∂
∂
∂
),(
''
2
yxf
xy
f
x
f
y
yx
=
∂∂
∂
=







∂
∂
∂
∂
),(
''
2
yxf
yx
f
y
f
x
xy
=
∂∂
∂
=








∂

∂
∂
∂
),(
''
2
yxf
yy
f
y
f
y
yy
=
∂∂
∂
=








∂
∂
∂
∂
Bài giảng toàn kinh tế

Định lý (Schwarz): Nếu trong lân cận nào đó của M
0
hàm số f(x,y) tồn tại các đạo hàm riêng và
liên tục tại M
0
thì fxy = fyx tại M
0
.
Định lý này cũng đúng cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn của n biến số (n≥3)
Đạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm z = f(u,v) là các hàm số khả vi của u,v và các hàm số u =
u(x,y), v = v(x,y) có các đạo hàm riêng u
x
, u
y
, v
x
, v
y
thì tồn tại các đạo hàm riêng:
Ví dụ: Tính z = e
u
cosv, u = xy, v = x/y
ξ4. ĐẠO HÀM HÀM ẨN
Định nghĩa hàm số ẩn 1 biến: Cho phương trình
F(x,y) = 0
Nếu tồn tại hàm y = f(x) sao cho F(x,f(x)) = 0, ∀x ∈ (A,B) thì f được gọi là hàm số ẩn từ phương
trình F(x,y) = 0.
Ví dụ: xy – e
x
+ e

y
= 0
Đạo hàm của hàm số ẩn 1 biến:
Ví dụ: Tính y’ nếu:
F(x,y) = x
3
+ y
3
– 3axy = 0
F(x,y) = xy – e
x
+ e
y
= 0
Định nghĩa hàm số ẩn 2 biến: Cho phương trình F(x,y,z) = 0. Nếu tồn tại hàm số hai biến z =
f(x,y) sao cho F(x,y,z) = 0, với mọi x, y thuộc miền xác định của f, thì f gọi là hàm ẩn từ phương
trình F(x,y,z
Đạo hàm của hàm số ẩn 2 biến:
Ví dụ: tính z
x
, z
y
nếu xyz = cos(x+y+z)
ξ4. CỰC T RỊ
Cực trị tự do:
Định nghĩa: Hàm số f(x,y) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm M0(x
0
,y
0
) nếu tồn tại một lân cận ∆

của M
0
sao cho f(M) ≤ f(M
0
), ∀M ∈ ∆ (f(M) ≥ f(M
0
), ∀M ∈ ∆). F(M
0
) gọi chung là cực trị.
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số z = x
2
+ y
2
Điều kiện cần để có cực trị:
Nếu f(x
0,
y
0
) là cực trị của f và f có đạo hàm riêng tại (x
0
,y
0
) thì: f’x(x
0
,y
0
) = 0, f’y(x
0
,y
0

) = 0
Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số z = f(x,y). Tại những điểm thỏa z
x
= z
y
0, ta gọi định
thức Hessian:
Nguồn: nguyenngoclam.com
3
y
x
F
F
y
−=
'
z
x
F
F
x
z
−=
∂
∂
z
y
F
F
y

z
−=
∂
∂
yyyx
xyxx
zz
zz
H
=
x
v
v
f
x
u
u
f
x
z
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=

∂
∂
y
v
v
f
y
u
u
f
y
z
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
Bài giảng toàn kinh tế
Đặt:
• Nếu |H
1
|>0, |H
2

|>0: z đạt cực tiểu
• Nếu |H
1
|<0, |H
2
|>0: z đạt cực đại
Ví dụ: tìm cực trị hàm số z = x
2
+ y
2
+ 4x – 2y + 8,
z = x
3
+ y
3
Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số y = f(x
1
,x
2
…x
n
). Tại những điểm thỏa f
x1
= f
x1
= … f
x1
=
0, giả sử tại đó tồn tại các đạo hàm riêng cấp 2, đặt
Ta có định thức Hessian:

• Nếu |H
1
|>0, |H
2
|>0,… |H
n
|>0 : z đạt cực tiểu
• Nếu |H
1
|<0, |H
2
|>0,… (-1)
n
|H
n
|>0 : z đạt cực đại
Ví dụ: Tìm cực trị hàm số y = x
3
+ y
2
+ 2z
2
-3x - 2y – 4z
Cực trị có điều kiện:
Định nghĩa: Cực trị của hàm số z = f(x,y) với điều kiện g(x,y) = c gọi là cực trị có điều kiện.
Định lý: Nếu M
0
(x
0
,y

0
) là cực trị có điều kiện trên.
Đặt hàm Lagrange: L(x,y,λ) = f(x,y) + λ(c-g(x,y)) với g’x,g’y không đồng thời bằng 0 thì:
λ là nhân tử Lagrange, điểm M0(x
0
,y
0
) của hệ trên gọi là điểm dừng.
Ví dụ: Tìm điểm dừng của z(x,y), với điều kiện x + y = 1.
Mở rộng hàm n biến: Hàm số f(x
1
,x
2
,…x
n
) với điều kiện g(x
1
,x
2
,…x
n
) = c. Hàm Lagrange L = f
+ λ(c-g)
Điều kiện đủ để có cực trị có điều kiện:
Định lý: Nếu f, g có đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại điểm dừng M
0
, xét định thức Hessian
đóng:
Nguồn: nguyenngoclam.com
4

yyyx
xyxx
xx
zz
zz
HzH
==
2 ,1
nnnn
n
n
n
fff
fff
fff
H
ff
ff
HfH
...
............
...
...
,...,
21
22221
11211
2221
1211
2111

===





=−=
=−=
=−=
0),(
0
0
yxgcL
gfL
gfL
yyy
xxx
λ
λ
λ
22
1 yxz
−−=










=−=
=−=
=−=
=−=
0
0
........................
0
0
222
111
gcL
gfL
gfL
gfL
nnn
λ
λ
λ
λ
yyyxy
xyxxx
yx
LLg
LLg
gg
H
0

=
Bài giảng toàn kinh tế
• Nếu |H|>0: f đạt cực đại có điều kiện
• Nếu |H|<0: f đạt cực đại có điều kiện
Ví dụ: Tìm cực trị có điều kiện của hàm số:
f = 6 – 4x – 3y với điều kiện x
2
+ y
2
= 1
Mở rộng hàm n biến: Xét hàm số f(x
1
,x
2
,…x
n
) với điều kiện g(x
1
,x
2
,…x
n
) = c. Hàm Lagrange:
L = f + λ(c-g). Xét tại điểm dừng M
0
(x
0
,y
0
), ta xét định thức Hessian đóng:

• Nếu |H
2
|<0, |H
3
|<0,… |Hn|<0 : z đạt cực tiểu
• Nếu |H
2
|>0, |H
3
|<0,… (-1)
n
|H
n
|>0 : z đạt cực đại
Ví dụ: Tìm cực trị hàm số u = x – 2y + 2z
với điều kiện x
2
+ y
2
+ z
2
= 1
Nguồn: nguyenngoclam.com
5
nnnnn
n
n
n
LLLg
LLLg

LLLg
ggg
H
...
...............
...
...
...0
21
222212
112111
21
=