Hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp đại học ngành giáo dục tiểu học phần toán cao cấp phần 1 đh huế

Đại học huế
Trung tâm Đo tạo từ xa
TS. Nguyễn Gia Định - pgs.ts. Trần Lộc Hùng
ts. Nguyễn Vũ Tiến - ts.Nguyễn Văn Toản - ts.Tôn Thất Trí

Hớng dẫn ôn thi

tốt nghiệp đại học
ngnh giáo dục tiểu học
phần toán cao cấp
(Tái bản lần thứ nhất)

Nh xuất bản Giáo dục


Lời nói đầu .......................................................................................................... 4
Chơng I: Quan hệ ............................................................................................ 5
Tóm tắt lí thuyết........................................................................................................5
Bi tập v lời giải ......................................................................................................9

Chơng II : ánh xạ ........................................................................................... 16
Tóm tắt lí thuyết...................................................................................................... 16
Bi tập v lời giải .................................................................................................... 22

Chơng III: Nhóm ................................................................................................ 34
Tóm tắt lí thuyết...................................................................................................... 34
Bi tập v lời giải .................................................................................................... 40

Chơng IV : Vnh -Trờng ................................................................................ 50
Tóm tắt lí thuyết...................................................................................................... 50
Bi tập v lời giải .................................................................................................... 58

Chơng V: BIến cố ngẫu nhiên v xác suất ...................................................71
Tóm tắt lí thuyết...................................................................................................... 71
Bi tập v lời giải .................................................................................................... 74

Chơng VI: Biến ngẫu nhiên v phân phối xác suất .........................................111
Tóm tắt lí thuyết.................................................................................................... 111
Bi tập v lời giải .................................................................................................. 113

Chơng VII : Thống kê toán học ..................................................................... 125
Tóm tắt lí thuyết.................................................................................................... 125
Bi tập v lời giải .................................................................................................. 128


Lời nói đầu
Hiện nay các học viên của Trung tâm Đo tạo Từ xa thuộc Đại học Huế (TTĐTTX), có
một số học phần về toán, đều trông chờ một hệ thống các sách bi tập với lời giải chi tiết
hoặc hớng dẫn giải để có thể giúp họ hiểu bi tốt hơn v từ đó có thể giải đợc các đề thi
theo yêu cầu của TTĐTTX. Đặc biệt l các học viên ngnh giáo dục tiểu học, với số lợng
ngy cng đông, đang rất cần một bộ sách nh thế. Hơn thế nữa, cho đến nay vẫn cha có
ti liệu hớng dẫn ôn thi tốt nghiệp đại học ngnh giáo dục tiểu học phần toán cao cấp.
Trong tình hình với yêu cầu bức thiết nh thế, chúng tôi cố gắng hon thnh ti liệu
phục vụ cho việc ôn thi tốt nghiệp v các yêu cầu nói trên. Đây l tuyển tập gồm các bi
tập về đại số v xác suất thống kê dnh cho các học viên của TTĐTTX ngnh giáo dục tiểu
học ôn tập để chuẩn bị thi tốt nghiệp. Nội dung của ti liệu ny đợc bố trí trong 7
chơng, ở mỗi chơng gồm hai phần : tóm tắt lí thuyết v các bi tập với lời giải
chi tiết. Đó l các chơng về quan hệ, ánh xạ, nhóm, vnh-trờng, biến cố ngẫu nhiên
v xác suất, biến ngẫu nhiên v phân phối xác suất, thống kê toán học. Ton bộ nội
dung đều bám sát chơng trình mới của TTĐTTX v Bộ Giáo dục v Đo tạo về toán cao
cấp dnh cho ngnh giáo dục tiểu học. Ti liệu ny còn có thể dùng lm ti liệu tham

khảo tốt cho các sinh viên ngnh toán v giáo dục tiểu học của các trờng đại học v cao
đẳng.
Các tác giả xin chân thnh cảm ơn TTĐTTX v Khoa Toán-Cơ-Tin học (Trờng Đại
học Khoa học-Đại học Huế) về sự giúp đỡ quý báu v tạo điều kiện thuận lợi cho việc xuất
bản cuốn sách ny.
Các tác giả mong nhận đợc sự chỉ giáo của các đồng nghiệp v độc giả về những
thiếu sót khó tránh khỏi của cuốn sách.
Huế, tháng 04 năm 2002


Chơng I:

Quan hệ

Tóm tắt lí thuyết
1.1. Quan hệ hai ngôi
1.1.1. Định nghĩa
Cho hai tập hợp X v Y. Một quan hệ hai ngôi từ X đến Y l một tập con R của tích
Descartes X ì Y. Ta nói phần tử x X có quan hệ R với phần tử y Y nếu (x, y) R v viết
l xRy. Đặc biệt, nếu R X2 thì ta nói R l một quan hệ hai ngôi trên X.
1.1.2. Định nghĩa
Cho R l một quan hệ hai ngôi trên tập hợp X. Khi đó ta nói
R có tính phản xạ nếu x X, xRx ;
R có tính đối xứng nếu x, y X, xRy yRx ;
R có tính phản đối xứng nếu x, y X, xRy v yRx x = y ;
R có tính bắc cầu, nếu x, y, z X, xRy v yRz xRz.
1.1.3. Thí dụ
1) Quan hệ bằng nhau (=) trên một tập hợp X tuỳ ý có các tính chất : phản xạ, đối xứng,
phản đối xứng v bắc cầu.
2) Quan hệ trên tập hợp N các số tự nhiên có các tính chất : phản xạ, phản đối xứng

v bắc cầu.
3) Quan hệ bao hm () trên tập hợp P(X) gồm tất cả các tập con của X l một quan
hệ hai ngôi có các tính chất : phản xạ, phản đối xứng v bắc cầu.
4) Quan hệ đồng dạng () trên tập hợp các tam giác có các tính chất : phản xạ, đối
xứng v bắc cầu.

1.2. Quan hệ tơng đơng
1.2.1. Định nghĩa
Quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X đợc gọi l một quan hệ tơng đơng trên X nếu R
có ba tính chất phản xạ, đối xứng v bắc cầu.
Chẳng hạn, quan hệ bằng nhau v quan hệ đồng dạng nh trong Thí dụ 1.1.3 l
những quan hệ tơng đơng.
1.2.2. Định nghĩa
Cho R l một quan hệ tơng đơng trên tập hợp X v a X. Tập hợp {x X | xRa} gọi
l lớp tơng đơng của a (theo quan hệ R), kí hiệu l a hay [a] hay C(a).
Mỗi phần tử của một lớp tơng đơng gọi l một đại biểu của lớp tơng đơng đó.


1.2.3. Mệnh đề
Cho R l một quan hệ tơng đơng trên tập hợp X. Khi đó mọi lớp tơng đều khác
rỗng v hai lớp tơng đơng bất kì hoặc rời nhau hoặc trùng nhau.
1.2.4. Định nghĩa
Một phân hoạch của tập hợp X l một họ (Xi)i I gồm các tập con khác rỗng của X sao
cho X = Xi , Xi Xj = (i, j I, i j).
iI

1.2.5. Mệnh đề
Mỗi quan hệ tơng đơng trên tập hợp X xác định một phân hoạch của X bởi các lớp
tơng đơng.
Điều ngợc lại cũng đúng. Cụ thể lm mỗi phân hoạch (Xi)i I của tập hợp X xác định

một quan hệ tơng đơng R trên X, sao cho mỗi Xi l một lớp tơng đơng. Quan hệ R đợc
xác định bởi : xRy nếu có i I sao cho x, y Xi.
1.2.6. Định nghĩa
Cho X l một tập hợp v R l một quan hệ tơng đơng trên X. Tập hợp các lớp tơng
đơng phân biệt của X đối với quan hệ R đợc gọi l tập hợp thơng của X theo quan hệ
tơng đơng R, kí hiệu l X/R.
1.2.7. Thí dụ
1) Cho tập hợp X = {1, 2, 3, 4} v xét quan hệ hai ngôi R trên P(X) nh sau :
A, B P(X). A R B |A| = |B|.
(Kí hiệu |A| để chỉ số phần tử của A.) Dễ dng chứng minh đợc R l một quan hệ tơng
đơng trên P(X). Các lớp tơng đơng theo quan hệ R l : C0 = {} (tập con của X không có
phần tử no). C1 = {{1}, {2}, {3}, {4}} (các tập con của X có một phần tử). C2 = {{1, 2}, {1,
3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}} (các tập con của X có hai phần tử). C3 = {{1, 2, 3}, {1, 2, 4},
{1, 3, 4}, {2, 3, 4}} (các tập con của X có ba phần tử). C4 = {{1, 2, 3, 4}} (tập
con của X có bốn phần tử). Tập hợp thơng của P(X) theo quan hệ R l P(X)/R = {C0, C1, C2,
C3, C4}.
2) Cho n l một số nguyên lớn hơn 1 v xét quan hệ hai ngôi sau trên tập Z các số
nguyên v gọi l quan hệ đồng d môđulô n :
x, y Z, x y (mod n) x y l bội số của n.
Dễ dng chứng minh đợc (mod n) l một quan hệ tơng đơng trên Z. Với mỗi x Z,
tồn tại duy nhất hai số nguyên q v r sao cho x = qn + r với 0 r < n v khi đó x r (mod n).


Do đó các lớp tơng đơng theo quan hệ ny l 0 = {qn | q Z}, 1 = {qn + 1 | q Z}, ..., n 1
= {qn + n 1 | q Z}. Tập hợp thơng của Z theo quan hệ đồng d môdulô n l { 0 , 1 , ...,

n 1 } v thờng kí hiệu l Zn, mỗi phần tử của Zn gọi l một số nguyên môđulô n.

1.3. Quan hệ thứ tự
1.3.1. Định nghĩa

Quan hệ hai ngôi trên tập hợp X đợc gọi l một quan hệ thứ tự trên X nếu nó có các
tính chất phản xạ, phản đối xứng v bắc cầu.
Tập hợp X đợc trang bị một quan hệ thứ tự đợc gọi l một
tập đợc sắp thứ tự. Nếu x y, ta nói x đứng trớc y. Nếu x y v x y thì ta viết x < y.
Tập con Y X đợc gọi l đợc sắp thứ tự ton phần (hay đợc sắp thứ tự tuyến tính) nếu
với mọi x, y Y, ta có x y hoặc y x. Trong trờng hợp ngợc lại ta nói Y đợc sắp thứ tự
bộ phận.
1.3.2. Thí dụ
1) Quan hệ thông thờng trên các tập hợp số N, Z, Q, R l quan hệ thứ tự ton phần.
2) Trên tập hợp N các số tự nhiên, xét quan hệ hai ngôi chia hết (|) nh sau :

x, y N, x 0, x | y k N, y = kx.
Quan hệ ny có hai tính chất : phản đối xứng v bắc cầu, nhng không có tính chất
phản xạ (ta không có 0|0). Vì vậy, quan hệ chia hết không phải l quan hệ thứ tự trên N.
Tuy nhiên, quan hệ chia hết lại l một quan hệ thứ tự trên tập N* các số tự nhiên khác
không. ở đây quan hệ chia hết sắp thứ tự bộ phận tập N*.
3) Quan hệ bao hm () sắp thứ tự bộ phận tập P(X) gồm các tập con của X.
4) Cho X l tập hợp đợc sắp thứ tự ton phần bởi quan hệ . Trên X n, ta định nghĩa

quan hệ hai ngôi D nh sau :
x = (x1, x2, ..., xn), y = (y1, y2, ..., yn) X n.
xDy x = y hoặc i , x1 = y1 , ..., xi 1 = yi 1 , xi < yi.
Khi đó Xn đợc sắp thứ tự ton phần bởi quan hệ D. Quan hệ ny đợc gọi l quan hệ
thứ tự từ điển.


1.3.3. Định nghĩa

Cho X l tập hợp đợc sắp thứ tự bởi quan hệ thứ tự v A X. Ta nói :

Phần tử a X l phần tử tối đại của X nếu
x X, a x x = a ;
Phần tử b X l phần tử tối tiểu của X nếu
x X, x b x = b ;
Phần tử m X l phần tử lớn nhất của X nếu
x X, x m ;
Phần tử n X l phần tử nhỏ nhất của X nếu
x X, n x ;
Phần tử c X l phần tử chặn trên của A nếu
x A, x c ;
Phần tử d X l phần tử chặn dới của A nếu
x A, d x ;
Phần tử nhỏ nhất của tập hợp tất cả các phần tử chặn trên của A l cận trên của A trong X, kí
hiệu l sup A ;
X

Phần tử lớn nhất của tập hợp tất cả các phần tử chặn dới của A l
cận dới của A trong X, kí hiệu l inf A.
N

1.3.4. Chú ý
Phần tử lớn nhất hay nhỏ nhất (nếu có) l duy nhất.

Nếu có phần tử lớn nhất thì đó cũng l phần tử tối đại duy nhất. Tơng tự, nếu có phần tử
nhỏ nhất thì đó cũng l phần tử tối tiểu duy nhất.
Cận trên của A thuộc A khi v chỉ khi nó l phần tử lớn nhất của A. Tơng tự, cận dới
của A thuộc A khi v chỉ khi nó l phần tử nhỏ nhất của A.
1.3.5. Định nghĩa

Cho tập hợp X đợc sắp thứ tự bởi quan hệ . Ta nói X đợc sắp thứ tự tốt bởi quan hệ

ny nếu mọi tập con khác rỗng của X đều có phần tử nhỏ nhất.
1.3.6. Thí dụ
1) Xét tập đợc sắp thứ tự N* bởi quan hệ chia hết (|) v A = {1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10,

11, 12}. Tập A không có phần tử lớn nhất, nhng có phần tử nhỏ nhất v cũng l phần tử


tối tiểu duy nhất l 1, các phần tử tối đại l 7, 8, 9, 10, 11, 12. Cận trên của A trong N* l
BCNN (1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) v cận dới của A trong N* l 1.
2) Xét tập đợc sắp thứ tự P(X) bởi quan hệ bao hm (), trong đó X l một tập khác

rỗng. Phần tử lớn nhất v nhỏ nhất của P(X) lần lợt l X v . Các phần tử tối tiểu của
P(X) \ {} l các tập {a} với a X. Các phần tử tối đại của P(X) \ {X} l các tập X \ {a}

với a X. Cận trên v cận dới của A = {A1, A2, ..., An} trong P(X) lần lợt l A1 A2 ...
An v A1 A2 ... An.
3) Tập hợp sắp thứ tự (N, ) l một tập sắp thứ tự tốt. Các tập hợp sắp thứ tự (R, ), (Z,

) không phải l các tập sắp thứ tự tốt. Tập sắp thứ tự (N* , |) không phải l các tập sắp thứ
tự tốt vì tập con A = {2, 3, 5} không có phần tử nhỏ nhất.

Bi tập v lời giải
1. Xác định xem quan hệ R trên tập Z các số nguyên có tính phản xạ, đối xứng, phản đối

xứng, bắc cầu không ? Với xRy nếu v chỉ nếu :
a) x y ;
b) xy 1 ;
c) x = y + 1 hay x = y 1 ;
d) x l bội số của y ;
e) x v y cùng âm hoặc cùng không âm ;

f) x = y2 ;
g) x y2.

Giải
a) R chỉ có tính đối xứng.
b) R có tính đối xứng v bắc cầu.
c) R chỉ có tính đối xứng.
d) R có tính phản xạ v bắc cầu.
e) R có tính phản xạ, đối xứng v bắc cầu.
f) R chỉ có tính phản đối xứng.
g) R có tính phản đối xứng v bắc cầu.
2. Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Z. Hãy liệt kê tất cả các phần tử của quan hệ R sau

trên X v xét xem quan hệ R có các tính chất no ?
a) x, y X, xRy x + y l số chẵn.


b) x, y X, x 0, xRy x | y.
Giải
a) R = {(0, 0), (0, 2), (0, 4), (1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 0), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (3,
5), (4, 0), (4, 2), (4, 4), (5, 1), (5, 3), (5, 5)}. Dễ dng chứng minh đợc R có các tính chất
: phản xạ, đối xứng v bắc cầu.
b) R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 0), (2,
0), (3, 0), (4, 0), (5, 0)}. Dễ dng có đợc R có các tính chất : phản đối xứng v bắc cầu.
3. Một quan hệ R trên tập X đợc gọi l quan hệ vòng quanh nếu xRy v yRz kéo theo zRx.
Chứng minh rằng quan hệ R l phản xạ v vòng quanh nếu v chỉ nếu R l một quan hệ
tơng đơng.
Giải

() Ta đã có R l phản xạ. x, y X, xRy xRy yRy yRx (do tính vòng quanh),

tức l R có tính đối xứng. x, y, z X, xRy yRz zRx xRz, tức l R có tính bắc cầu.
Vậy R l một quan hệ tơng đơng.
() R l một quan hệ tơng đơng nên R có tính phản xạ. x, y, z X, xRy yRz xRz
zRx, tức l R có tính vòng quanh.
4. Cho L0 l một đờng thẳng cho trớc trong mặt phẳng R2. Một quan hệ R trên tập L tất

cả các đờng thẳng trong mặt phẳng R2 đợc xác định nh sau :
L1, L2 L, L1 R L2 L1 L0 v L2 L0 .
Xác định xem R có l một quan hệ tơng đơng hay không ?
Giải
R có tính đối xứng v bắc cầu, nhng R không có tính phản xạ. Do đó R không l một

quan hệ tơng đơng. Tuy nhiên, nếu L l tập các đờng thẳng trong mặt phẳng R2 cắt L0 thì
R l một quan hệ tơng đơng trên L.
5. Cho M l một tập hợp khác rỗng v a M. Trên X = P(M), ta định nghĩa quan hệ hai

ngôi nh sau :
R = {(A, B) X 2 | A = B hay a A B}.
Chứng minh rằng R l một quan hệ tơng đơng trên X. Hãy chỉ ra tập hợp thơng.
Giải

Từ A = A, ta có (A, A) R hay R có tính phản xạ.
A, B X, (A, B) R A = B a A B B = A a B A (B, A) R, tức l
R có tính đối xứng.


A, B, C X, (A, B) R (B, C) R (A = B a A B) (B = C a B C) (A
= B B = C) (A = B a B C) (a A B B = C) (a A B a B C) A =
C a A C (A, C) R, tức l R có tính bắc cầu. Vậy R l một quan hệ tơng đơng.
Với mỗi A X, nếu a A thì (A, B) R A = B nghĩa l lớp tơng đơng A = {A}

v nếu a A thì (A, B) R a B nghĩa l lớp tơng đơng A = {B X | a B}. Do đó
tập thơng của X theo R l
X / R = {{A} | A M, a A} {{A X | a A}}.
6. Gọi X l tập hợp mọi hm thực biến số thực. Chứng tỏ quan hệ R sau l quan hệ tơng
đơng trên X :

a) x, y X, xRy C > 0, x(t) = y(t), t R, |t| < C.
b) x, y X, xRy lim
t 0

x (t ) y( t )
= 0 , trong đó n N cho trớc.
tn

Giải

a) x X, x(t) = x(t), t R, nghĩa l R có tính phản xạ, x, y X, xRy C > 0,
x(t) = y(t), t R. |t| < C C > 0, y(t) = x(t), t R, |t| < C yRx, nghĩa l R có tính
đối xứng.
x, y, z X, xRy yRz C1, C2 > 0, (x(t) = y(t), t R, |t| < C1) (y(t) = z(t). t
R,

|t|

<

C2)

C

=

min

(C1,

C2),

x(t)

=

z(t),

t



R,

|t| < C, nghĩa l R có tính bắc cầu. Vậy R l quan hệ tơng đơng.
x (t ) x (t )
= 0 hay xRx, nghĩa l R có tính phản xạ.
t 0
tn
x ( t ) y( t )
y(t ) x (t )
x, y X, xRy lim

= 0 lim
= 0 yRx, nghĩa l R có tính đối
n
t 0
t

0
t
tn
x ( t ) y( t )
y(t ) z(t )
x (t ) z(t )
xứng. x, y, z X, xRy yRz lim
= 0 lim
= 0 lim
n
n
t 0
t 0
t 0
t
t
tn
x ( t ) y( t )
y(t ) z(t )
= lim
+ lim
= 0 xRz, nghĩa l R có tính bắc cầu. Vậy R l quan hệ
n
t 0

t 0
t
tn
tơng đơng.
b) x X,

lim

7. Xét quan hệ hai ngôi R trên N2 nh sau :

(m1, n1), (m2, n2) N2, (m1, n1) R (m2, n2) m1 + n2 = m2 + n1. Chứng minh rằng R l
một quan hệ tơng đơng trên N2. Hãy chỉ ra tập hợp thơng.


Giải

Rõ rng R có tính phản xạ. (m1, n1), (m2, n2) N2, (m1, n1) R (m2, n2) m1 + n2 = m2
+ n1 m2 + n1 = m1 + n2 (m2, n2) R (m1, n1), nghĩa l R có tính đối xứng.
(m1, n1), (m2, n2), (m3, n3) N2, (m1, n1) R (m2, n2) (m2, n2) R (m3, n3) m1 + n2 = m2
+ n1 m2 + n3 = m3 + n2 m1 + n2 + m2 + n3 = m2 + n1 + m3 + n2 m1 + n3 = m3 + n1
(m1, n1) R (m3, n3), nghĩa l R có tính bắc cầu. Vậy R l một quan hệ tơng đơng.
(m, n) N2, lớp tơng đơng

(m, n) = {(m, n) N2 | m n = m n}.
Tập hợp thơng l N2 / R = { (m, n) | (m, n) N2} v chính l tập Z các số nguyên.
8. Trên Z ì N*, xét quan hệ hai ngôi sau :

(z1, n1), (z2, n2) Z ì N*, (z1, n1) R (z2, n2) z1n2 = z2n1.

Chứng minh rằng R l một quan hệ tơng đơng trên Z ì N*. Hãy chỉ ra tập hợp

thơng.
Giải

Rõ rng R có tính phản xạ. (z1, n1), (z2, n2) Z ì N*, (z1, n1) R (z2, n2) z1n2 = z2n1
z2n1 = z1n2 (z2, n2) R (z1, n1), nghĩa l R có tính đối xứng.
(z1, n1), (z2, n2), (z3, n3) Z ì N*, (z1, n1) R (z2, n2) (z2, n2)

R (z3, n3) z1n2 = z2n1 z2n3 = z3n2 z1n2z2n3 = z2n1z3n2 z1z2n3 = z2z3n1 ; nếu z2 0 thì z1n3
= z3n1, nếu z2 = 0 thì z1n2 = 0 ( z1 = 0) v z3n2 = 0 (z3 = 0) nên z1n3 = z3n1 = 0 hay (z1, n1) R
(z3, n3), nghĩa l R có tính bắc cầu. Vậy R l một quan hệ tơng đơng.
(z, n) Z ì N*, lớp tơng đơng (z, n) = {(z, n) Z ì N* |

z z
= }.
n n

Tập hợp thơng l (Z ì N*) / R = { (z, n) | (z, n) Z ì N*} v chính l tập Q các số
hữu tỉ.
9. Trong mặt phẳng có hệ toạ độ vuông góc, hai điểm P1(x1, y1), P2(x2, y2) đợc gọi l quan
hệ với nhau bởi R nếu v chỉ nếu x1y1 = x2y2. Chứng tỏ rằng R l một quan hệ tơng đơng
v tìm các lớp tơng đơng. Bây giờ nếu định nghĩa

P1 S P2 x1y1 = x2y2 v x1x2 0


thì S còn l một quan hệ tơng đơng nữa không ?
Giải
Dễ dng chứng minh đợc R có tính phản xạ, đối xứng v bắc cầu, nghĩa l R l một

quan hệ tơng đơng. Với điểm P(a, b) trong mặt phẳng, lớp tơng đơng P(a, b) = {P(x,

y) | xy = c} (với c = ab). Nếu c = 0 thì P(a, b) chính l hai trục tọa độ x = 0 v y = 0. Nếu c
0 thì P(a, b) chính l hyperbol có phơng trình xy = c. Tập hợp thơng l tập

{{P(x, y) | xy = c} | c R}.
S không l một quan hệ tơng đơng vì nó không có tính bắc cầu
((1, 0) S (0, 1) , (0, 1) S (1, 0) nhng không có (1, 0) S (1, 0)).
10. Trên tập hợp R các số thực, xét quan hệ hai ngôi R sau :

x, y R, xRy x3 y3 = x z.

Chứng minh rằng R l một quan hệ tơng đơng. Tìm các lớp tơng đơng v tìm tập
hợp thơng.
Giải

x, y, z R, x3 x3 = x x = 0, tức l xRx hay R có tính phản xạ ;

x3 y3 = x y y3 x3 = y x tức l xRy yRx hay R có tính
đối xứng ; x3 y3 = x y v y3 z3 = y z x3 z3 = (x3 y3) +
(y3 z3) = (x y) + (y z) = x z, tức l xRy v yRz xRz hay R có tính bắc cầu. Vậy
R l một quan hệ tơng đơng.
a R, a = {x R | x3 a3 = x a}

= {x R | (x a) (x2 + ax + a2 1) = 0}.
Nếu a <

2

Nếu a =

2

3

2

Nếu a =
Nếu

3

3

2
3

hay a >
hay a =

hay a =


2
3

2
3
1
3
1
3

thì a = {a} ;
thì a = {
thì a = {

v a

a = {a,

1
3

2
3
2
3

,

1

,

3

};

1
3

};

thì

a 4 3a 2 a + 4 3a 2
,
}.
2
2


11. Cho f l một đơn ánh từ tập X vo tập N các số tự nhiên. Chứng minh rằng quan hệ R

đợc xác định bởi :
x, y X, xRy f(x) f(y)

l một quan hệ thứ tự ton phần trên X.
Giải

x, y, z X, f(x) f(x) hay R có tính phản xạ, nếu f(x) f(y) v f(y) f(z) thì f(x) f(z)
hay R có tính bắc cầu. Ngoi ra, nếu f(x) f(y) v f(y) f(x) thì f(x) = f(y) v do f l đơn
ánh nên x = y hay R có tính phản đối xứng. x, y X, ta luôn có f(x) f(y) hoặc f(y) f(x)
hay xRy hoặc yRx. Vì vậy, R l một quan hệ thứ tự ton phần trên X.
12. Cho tập hợp X = {2, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12}. Hãy xác định phần tử tối đại, tối tiểu, lớn

nhất v nhỏ nhất của tập hợp X với quan hệ thứ tự chia hết | v của tập hợp P(X) \ {}
với quan hệ thứ tự bao hm .
Giải

Đối với quan hệ thứ tự chia hết | trên X, các phần tử tối đại l 7, 8, 10, 11, 12, các

phần tử tối tiểu l 2, 7, 11, không có phần tử lớn nhất cũng nh nhỏ nhất.
Đối với quan hệ bao hm trên P(X) \ {}. Phần tử tối đại duy nhất cũng nh phần
tử lớn nhất l X, các phần tử tối tiểu l các tập con có một phần tử của X, không có phần tử
nhỏ nhất.
13. Xét quan hệ chia hết trên tập hợp N* v các tập con A = {4, 8, 12},

B = {2, 3, 4, 5}.
a) Tìm các phần tử lớn nhất, nhỏ nhất của A v B.
b) Tìm các phần tử tối đại, tối tiểu của A v B.
c) Tìm các phần tử cận trên, cận dới của A v B.
Giải

a) A không có phần tử lớn nhất v có phần tử nhỏ nhất l 4. B không có phần tử lớn
nhất hoặc nhỏ nhất.
b) A có các phần tối đại l 8, 12 v tối tiểu duy nhất l 4. B có các phần tử tối đại l 3,
4, 5 v có các phần tử tối tiểu l 2, 3, 5.
c) A v B lần lợt có cận trên l BCNN(4, 8, 12) = 24 v BCNN (2, 3, 4, 5) = 60, A v
B lần lợt có cận dới l UCLN(4, 8, 12) = 4 v UCLN(2, 3, 4, 5) = 1.
14. Tập A đợc gọi l sắp thứ tự đầy đủ bởi quan hệ thứ tự nếu mọi tập con khác rỗng
của A bị chặn trên đều có cận trên.

a) Chứng minh rằng sắp thứ tự tốt l sắp thứ tự đầy đủ.
b) Chứng tỏ rằng N v R sắp thứ tự đầy đủ bởi quan hệ thông thờng, nhng Q sắp
thứ tự không đầy đủ bởi .


Giải

a) Giả sử A đợc sắp thứ tự tốt bởi v B l một tập con tuỳ ý khác rỗng của A có
chặn trên. Khi đó tập C gồm các chặn trên của B l tập con khác rỗng của A. Vì vậy, C có

phần tử nhỏ nhất c v c chính l cận trên của B. Do đó A đợc sắp thứ tự đầy đủ bởi .
b) N l tập đợc sắp thứ tự tốt bởi quan hệ thông thờng, nên theo Câu a) N đợc
sắp thứ tự đầy đủ bởi quan hệ ny.
Theo nguyên lí về cận của tập các số thực R, mọi tập con khác rỗng của R bị chặn trên thì
có cận trên. Do đó R đợc sắp thứ tự đầy đủ bởi quan hệ .
Xét tập B = {q Q | 0 < q <
trên l c thì sẽ dẫn đến vô lí vì giữa

2 } thì B v có chặn trên trong Q. Nếu B có cận
2 v c có vô số số hữu tỉ (tính chất trù mật của Q

trong R).
15. Cho X l một tập khác rỗng v M l tập các ánh xạ từ X vo tập
{0, 1}. Trên M, xét quan hệ R nh sau :

f, g M, fRg x X, f(x)g(x) = f(x).

Chứng minh rằng R l một quan hệ thứ tự. M có đợc sắp thứ tự ton phần bởi R hay
không ? Hãy xác định các phần tử tối đại v tối tiểu của M.
Giải

f, g, h M, x X.

f(x) f(x) = f(x) hay fRf. Do đó R có tính phản xạ ;
Nếu fRg v gRf tức l f(x) g(x) = f(x) v g(x) f(x) = g(x) thì f(x) = g(x) hay f = g, do đó R
có tính phản đối xứng ;
Nếu fRg v gRh tức l f(x) g(x) = f(x) v g(x) h(x) = g(x) thì
f(x) g(x) h(x) = f(x) ; khi đó, nếu g(x) = 0 thì f(x) h(x) = f(x) = 0 v nếu g(x) = 1 thì f(x) h(x)
= f(x) ; nghĩa l, ta có fRh, do đó R có tính bắc cầu.
Vì vậy, R l một quan hệ thứ tự trên M. Nếu M chỉ có 1 phần tử x thì f, g M, ta

luôn có f(x) g(x) = f(x) hoặc g(x) f(x) = g(x), tức l fRg hay gRf, do đó R l quan hệ thứ tự
ton phần. Nếu M có hơn 1 phần tử thì với x1, x2 X, x1 x2. chọn f, g M thỏa mãn f(x1)
= 1, g(x1) = 0 v f(x2) = 0, g(x2) = 1. Ta có (f, g) R v (g, f) R. Do đó R có quan hệ thứ
tự không ton phần.
Chọn a M thoả mãn a(x) = 1, x X thì f M, ta có f(x) a(x) = f(x) hay fRa, do
đó a l phần tử tối đại duy nhất cũng l phần tử lớn nhất của M. Chọn b M thỏa mãn b(x)
= 0, x X thì f M, ta có b(x) f(x) = b(x) hay bRf, do đó b l phần tử tối tiểu duy nhất
cũng l phần tử nhỏ nhất của M.


Chơng II :

ánh xạ

Tóm tắt lí thuyết
2.1. Khái niệm v các tính chất
2.1.1. Định nghĩa

Cho hai tập hợp A v B. Một ánh xạ f từ A vo B l một sự ghép đôi mỗi phần tử a A
với một phần tử duy nhất của B, kí hiệu l f(a). Phần tử f(a) B đợc gọi l giá trị của f tại
a. A đợc gọi l tập nguồn hay miền xác định v B gọi l tập đích hay miền giá trị. Một
ánh xạ f từ A vo B còn đợc gọi l một hm từ A v B v đợc kí hiệu bởi f : A B hay
f
A
B hay f : a A 6 f(a) B.

Vậy một ánh xạ hon ton đợc xác định bởi tập nguồn, tập đích v giá trị tại mọi
phần tử của tập nguồn. Vì lí do đó, đẳng thức f = g giữa hai ánh xạ xảy ra khi v chỉ khi f
v g có cùng tập nguồn, cùng tập đích v f(a) = g(a) với mọi a thuộc tập nguồn.
Cho ánh xạ f : A B. Tập hợp {(a, f(a)) | a A} gọi l đồ thị của ánh xạ f, kí hiệu Gf.

2.1.2. Thí dụ
1) Cho A l một tập hợp v B l một tập con của A. Phép tơng ứng
f : A A cho bởi f(a) = a l một ánh xạ, gọi l ánh xạ đồng nhất, kí hiệu idA hay 1A ; g : B

A cho bởi g(a) = a cũng l một ánh xạ, gọi l phép nhập hay phép bao hm, kí hiệu iAB .
2) Cho ánh xạ f : A B, X l một tập con của A v Y l một tập chứa A. Khi đó ta có

ánh xạ g : X B cho bởi g(x) = f(x) với mọi x X. ánh xạ g gọi l thu hẹp của f lên X, kí
hiệu g = f | X. Ngoi ra, nếu có ánh xạ h: Y B sao cho h | A = f thì h gọi l một mở rộng
của f.
3) Các hm số y =

1 + x2 , y =

x,y=

1
xác định lần lợt các ánh xạ sau :
1+ x

f : R R+, g : R 0+ R 0+ , h: R \ {1} R.
trong đó R+ = {x R | x > 0} v R 0+ = {x R | x 0}.
4) Cho các ánh xạ f, g, h : R R xác định bởi f(x) = |x| (trị tuyệt đối của x), g(x) = [x]

(phần nguyên của x), h(x) = x [x] (phần lẻ của x), trong đó phần nguyên của x l số
nguyên [x] thoả mãn [x] x < [x] + 1. Khi đó, f |R+ = idR+ , g | Z = idZ , h | Z = 0.
0

0

2.1.3. Định nghĩa

Cho f : A B l một ánh xạ, x A, X l một tập con của A v Y l một tập con của
B. Khi đó ta nói


f(x) l ảnh của x bởi f,
f(X) = {f(a) B | a X} l ảnh của X tạo bởi f.
f1(Y) = {a A | f(a) Y} l tạo ảnh của Y bởi f.
Đặc biệt, với b B, f1({b}) = {a A | f(a) = b} v viết đơn giản l f1(b). Mỗi a f1(b)
gọi l một tạo ảnh của b bởi f. Khi X = A ta gọi f(X) l ảnh của f v kí hiệu l Imf. Khi X = , ta
có f() = .
2.1.4. Tính chất

Cho ánh xạ f : A B, X v Y l các tập con của A, S v T l các tập con của B. Khi đó
ta có :
1) X f1(f(X)).
2) f(f1(S)) S.
3) f(X Y) = f(X) f(Y).
4) f(X Y) f(X) f(Y).
5) f1(S T) = f1(S) f1(T).
6) f1(S T) = f1(S) f1(T).

7) f(A \ X) f(A) \ f(X)
8) f1(B \ S) = A \ f1(S).

2.2. Đơn ánh - Ton ánh - Song ánh
2.2.1. Định nghĩa
ánh xạ f : A B gọi l một đơn ánh nếu với mọi a, a A, a a kéo theo f(a) f(a)
hay f(a) = f(a) kéo theo a = a. Ngời ta còn gọi đơn ánh l ánh xạ một đối một.

2.2.2. Định nghĩa
ánh xạ f : A B gọi l một ton ánh nếu với mọi b B tồn tại a A sao cho b = f(a)
hay f(A) = B. Ngời ta còn gọi ton ánh f l ánh xạ từ A lên B.
2.2.3. Định nghĩa
ánh xạ f : A B gọi l một song ánh nếu f vừa đơn ánh vừa ton ánh, nghĩa l với mỗi
b B tồn tại duy nhất a A sao cho b = f(a).
2.2.4. Thí dụ
1) Cho A l một tập hợp v B l một tập con của A. Khi đó ánh xạ đồng nhất idA của A

l một song ánh, phép bao hm iAB l một đơn ánh.


2) ánh xạ n Z 6 n Z l một song ánh. ánh xạ n Z 6 2n Z l một đơn ánh

nhng không phải l ton ánh. ánh xạ n Z 6 n2 Z không phải l đơn ánh cũng không
phải l ton ánh.
3) ánh xạ f : R R xác định bởi x 6 x3 l một song ánh, nhng ánh xạ g: Q R xác

định bởi x 6 x3 l một đơn ánh v không phải l ton ánh.
4) ánh xạ R R xác định bởi x 6 sinx không phải l ton ánh. Tuy nhiên, ánh xạ R

[1, 1] xác định bởi x 6 sinx l một ton ánh ; ánh xạ ny không l đơn ánh.

2.3. Hợp thnh của các ánh xạ
2.3.1. Định nghĩa

Cho hai ánh xạ f : A B v g : B C. Khi đó ta có ánh xạ h : A C cho bởi h(a) =
g(f(a)) v đợc gọi l ánh xạ hợp thnh (hay ánh xạ tích) của f v g, kí hiệu g D f hay gọn
hơn l gf.
2.3.2. Thí dụ

1) Cho ánh xạ f : A B. Khi đó, idB D f = f D idA = f.
2) Cho hai ánh xạ f : R \ {0} R v g : R R + cho bởi f(x) =

Khi đó g D f : R \ {0} R + xác định bởi x 6 g(f(x)) =

1
v g(x) = x2 + 1.
x

x2 +1
.
x2

2.3.3. Tính chất

Cho ba ánh xạ f : A B, g : B C v h : C D. Khi đó ta có (h D g) D f = h D (g D f) .
2.3.4. Mệnh đề

Cho hai ánh xạ f : A B v g : B C. Khi đó ta có
1) Nếu f v g l các đơn ánh thì g D f l đơn ánh.
2) Nếu f v g l các ton ánh thì g D f l ton ánh.
3) Nếu f v g l các song ánh thì g D f l song ánh.
2.3.5. Định nghĩa

Cho f : A B v g : B A l hai ánh xạ sao cho g D f = idA v f D g = idB. Khi đó ta gọi g l
ánh xạ ngợc của f.
2.3.6. Mệnh đề
ánh xạ f: A B l một song ánh khi v chỉ khi f có ánh xạ ngợc g: B A v g đợc
xác định duy nhất bởi f.

ánh xạ ngợc của f thờng đợc kí hiệu l f 1.
2.3.7. Mệnh đề

Cho A v B l hai tập hữu hạn có cùng số phần tử v ánh xạ f : A B. Khi đó các điều
sau tơng đơng :
1) f l một đơn ánh.
2) f l một ton ánh.
3) f l một song ánh.

2.4. Giải tích tổ hợp
2.4.1. Những nguyên lí đếm cơ bản
2.4.1.1. Nguyên lí cộng

Giả sử có hai công việc. Việc thứ nhất có thể lm bằng n1 cách, việc thứ hai có thể lm
bằng n2 cách v nếu hai việc ny không thể lm đồng thời thì sẽ có n1 + n2 cách lm một
trong hai việc đó.
Nguyên lí cộng có thể phát biểu dới dạng ngôn ngữ tập hợp nh sau : Nếu A1, A2, ... , An
l các tập hữu hạn đôi một rời nhau, khi đó số phần tử của hợp các tập hợp ny l
|A1 A2 ... An| = |A1| + |A2| + ... + |An|.
2.4.1.2. Nguyên lí nhân

Giả sử một nhiệm vụ no đó đợc tách lm hai việc. Việc thứ nhất có thể lm bằng n1
cách, việc thứ hai có thể lm bằng n2 cách sau khi việc thứ nhất đã đợc lm, khi đó sẽ có
n1n2 cách thực hiện nhiệm vụ ny.
Nguyên lí nhân có thể phát biểu dới dạng ngôn ngữ tập hợp nh sau : Nếu A1, A2, ... ,
An l các tập hữu hạn, khi đó số phần tử của tích Descartes A1 ì A2 ì ... ì An l
|A1 ì A2 ì ... ì An| = |A1| . |A2| ... |An|.
2.4.1.3. Thí dụ
1) Một sinh viên có thể chọn bi thực hnh máy tính từ một trong ba danh sách tơng

ứng có 23, 15 v 19 bi. Vì vậy, theo nguyên lí cộng có 23 + 15 + 19 = 57 cách chọn bi
thực hnh.
2) Ngời ta có thể ghi nhãn cho những chiếc ghế trong một giảng đờng bằng một chữ
cái v một số nguyên dơng không vợt quá 100. Bằng cách nh vậy có bao nhiêu chiếc
ghế có thể ghi nhãn khác nhau?
Thủ tục ghi nhãn cho những chiếc ghế gồm hai việc, gán một trong 26 chữ cái v sau
đó gán một trong 100 số nguyên dơng. Nguyên lí nhân chỉ ra rằng có 26 ì 100 = 2600
cách khác nhau để gán nhãn cho những chiếc ghế. Nh vậy nhiều nhất ta có thể gán nhãn
cho 2600 chiếc ghế.
3) Có bao nhiêu ánh xạ từ một tập A có m phần tử vo một tập B có n phần tử?


Giả sử A = {a1, a2, ..., am}. Mỗi ánh xạ f: A B hon ton đợc xác định, bởi dãy (f(a1),
f(a2), ..., f(am)) trong đó các f(ai) (1 i m) đợc chọn trong số n phần tử của B. Vì vậy theo
nguyên lí nhân, có n ì ... ì n = nm ánh xạ xác định trên A nhận giá trị trên B.
4) Có bao nhiêu đơn ánh từ một tập A có m phần tử vo một tập B có n phần tử ?

Nếu m > n thì không có đơn ánh no từ A vo B. Giả sử m n v A = {a1, a2, ..., am}.
Mỗi đơn ánh f : A B hon ton xác định bởi dãy (f(a1), f(a2), ..., f(am)) trong đó các f(ai)
(1 i m) đợc chọn đôi một khác nhau trong số n phần tử của B, nghĩa l có n cách chọn
cho f(a1), n 1 cách chọn cho f(a2), ..., n m + 1 cách chọn f(am). Vì vậy theo nguyên lí
n!
nhân, ta có n (n 1) ... (n m + 1) =
đơn ánh từ A vo B.
(n m)!
2.4.2. Hoán vị v chỉnh hợp
2.4.2.1. Định nghĩa
Hoán vị của một tập các đối tợng khác nhau l một cách sắp xếp có thứ tự các đối
tợng ny. Nếu A l một tập hợp có n phần tử thì một hoán vị của A chính l một song ánh
từ A lên A, ngời ta gọi đây l một hoán vị (hay phép thế) bậc n của A. Một cách tổng

quát, nếu A l một tập hợp tuỳ ý thì mỗi song ánh từ A lên A cũng đợc gọi l một hoán vị
(hay phép thế) của A.
Số các hoán vị bậc n l n(n 1) ... 2.1 = n!
2.4.2.2. Định nghĩa
Một cách sắp xếp có thứ tự r phần tử của một tập hợp n phần tử đợc gọi l một
chỉnh hợp chập r của tập hợp n phần tử.

Gọi Anr l số các chỉnh hợp chập r của tập hợp n phần tử thì
Anr = n(n 1)(n 2) ... (n r + 1) =

n!
.
(n r )!

2.4.2.3. Thí dụ
1) Giả sử có 8 vận động viên chạy thi. Ngời thắng sẽ nhận đợc huy chơng vng,
ngời về đích thứ hai nhận huy chơng bạc, ngời về đích thứ ba nhận huy chơng đồng.
Có bao nhiêu cách trao huy chơng ny cho tất cả các kết quả của cuộc thi có thể xảy ra.
Số cách trao huy chơng chính l số chỉnh hợp chập 3 của tập hợp 8 phần tử. Vì thế có
3
A8 = 6 ì 7 ì 8 = 336 cách trao huy chơng.
2) Giả sử một thơng nhân đi bán hng tại 8 thnh phố. Chị ta bắt đầu cuộc hnh trình
tại một thnh phố no đó, nhng có thể đến 7 thnh phố kia theo bất kì thứ tự no m chị
ta muốn. Hỏi chị ta có thể đi qua các thnh phố ny theo bao nhiêu lộ trình khác nhau ?
Số lộ trình có thể giữa các thnh phố bằng số hoán vị của 7 phần tử, vì thnh phố đầu
tiên đã đợc xác định, nhng 7 thnh phố còn lại có thể có thứ tự tuỳ ý. Do đó có 7! =
5040 cách để ngời bán hng chọn hnh trình của mình.


2.4.3. Tổ hợp

2.4.3.1. Định nghĩa

Một tổ hợp chập r của một tập hợp l một cách chọn không có thứ tự r phần tử của tập
hợp đã cho. Nh vậy, một tổ hợp chập r chính l một tập con r phần tử của tập ban đầu.
Ta có thể xác định đợc số tổ hợp chập r của tập hợp n phần tử. Để lm điều đó, chú ý
rằng các chỉnh hợp chập r của một tập hợp có thể nhận đợc bằng cách trớc hết lập các tổ
hợp chập r, rồi sắp thứ tự cho các phần tử thuộc các tổ hợp đó. Do đó nếu gọi Cnr l số các
tổ hợp chập r từ tập hợp n phần tử thì ta có
Anr = Cnr . r! hay Cnr =

n!
.
r !(n r )!

Số Cnr chính l số các tập con r phần tử của tập n phần tử v l số các xâu nhị phân độ
di n có đúng r bit 1. Số Cnr còn đợc gọi l hệ số nhị thức. Sở dĩ có tên nh vậy l vì nó
xuất hiện trong khai triển nhị thức :
n

(a + b)n =

C
r =0

r
n

ar bnr .

2.4.3.2. Tính chất

Hằng đẳng thức Pascal : Cho n v k l các số nguyên dơng với n k. Khi đó
k
Cnk 1 + Cnk = Cn+1
.

Hằng đẳng thức Vandermonde : Cho m, n, r l các số tự nhiên sao cho r m v r n.
Khi đó
r
Cm+n
=

r

C
k =0

k
m

Cnr k .

2.4.3.3. Thí dụ
1) Tìm số giao điểm tối đa của : a) 12 đờng thẳng phân biệt ; b) 6 đờng tròn phân
biệt ; c) 12 đờng thẳng v 6 đờng tròn trên.

a) 2 đờng thẳng phân biệt có tối đa 1 giao điểm, nên số giao điểm tối đa của 12
12!
đờng thẳng phân biệt l C122 =
= 66.

2! 10!
b) 2 đờng tròn phân biệt có tối đa 2 giao điểm nên số giao điểm tối đa của 6 đờng
tròn phân biệt l 2 C62 = 2 . 15 = 30.

c) 1 đờng thẳng cắt 1 đờng tròn tối đa tại 2 điểm, nên số giao điểm tối đa của
12 đờng thẳng v 6 đờng tròn trên l 66 + 30 + 12 ì 6 ì 2 = 240 điểm.


2) Một lớp học gồm 20 nam v 11 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách thnh lập một tốp ca gồm
4 nam v 3 nữ sao cho anh A v chị B (trong lớp học đó) không đồng thời có mặt.

Số cách chọn 4 nam l C204 v số cách chọn 3 nữ l C113 , nên số cách chọn tốp ca l C204
ì C113 . Số cách chọn 4 nam, trong đó có anh A l C193 v cách chọn 3 nữ, trong đó có chị B

l C102 . Vì vậy, số cách chọn tốp ca theo yêu cầu l C204 ì C113 C193 ì C102 .

Bi tập v lời giải
1. Tìm miền xác định của các ánh xạ cho bởi các biểu thức sau :

a) f(x) = (x + 1)

2+ x
.
2x

x 2 3x + 2
.
b) f(x) = ln
x +1

c) f(x) =

sin x .

d) f(x) = ln(sin
e) f(x) =


).
x

x
.
sin x

f) f(x) = (x + | x | x sin 2 x .
Giải
a) ánh xạ đợc xác định khi

2+ x
> 0, tức l khi 2 x < 2.
2x

b) ánh xạ đợc xác định khi

x 2 3x + 2
> 0, tức l khi 1 < x < 1 hay
x +1

x > 2.

c) ánh xạ đợc xác định khi x 0 v sin x 0, tức l khi 4k22 x (2k + 1)22 với

k N.


> 0, tức l khi 2k <
< (2k + 1) với k Z. Nếu k =
x
x
1
1
1
1
0 thì 0 <
< 1 nên x > 1. Nếu k > 0 thì 2k <
< 2k + 1. Do đó
với k = 1,
x
x
2k
2k + 1
1
1
2.... Nếu k < 0 thì
với k = 1, 2, ...
2k + 1
2k
d) ánh xạ đợc xác định khi sin

e) ánh xạ đợc xác định khi x 0 v sinx 0, tức l khi k < x < k + 1 với k = 0, 1, 2, ...
f) ánh xạ đợc xác định khi xsin2x 0, tức l khi x 0.


2. Cho một thí dụ về một ánh xạ f : N N l

a) Đơn ánh nhng không ton ánh ;
b) Ton ánh nhng không đơn ánh ;
c) Vừa ton ánh vừa đơn ánh (nhng khác ánh xạ đồng nhất) ;
d) Không đơn ánh cũng không ton ánh.
Giải
a) f(n) = 2n.

n
b) f(n) = (hm phần nguyên).
2
nếu n = 3k
n,

c) f(n) = n + 1, nếu n = 3k +1 .
n 1, nếu n = 3k + 2


d) f(n) = k, trong đó k {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} l chữ số cuối cùng của số n.
3. Chứng minh các ánh xạ sau l song ánh v tìm các ánh xạ ngợc của chúng:

a) f : R R cho bởi f(x) =

e x e x

.
2

b) f : [0, +) [1, ) cho bởi f(x) =
c) f : R (1, 1) cho bởi f(x) =

e x + e x
.
2

x
.
1+ | x |

Giải
a) y =

e x e x
e2x 2yex 1 = 0 ex = y +
2

x = ln(y +

y2 + 1

y 2 + 1 ) (vì ex > 0 nên không chọn ex = y

y 2 + 1 ). Do đó f l một

song ánh v ánh xạ ngợc của nó l f1: R R cho bởi f1(x) = ln(x +

b) y =

e x e x
e2x 2yex + 1 = 0 ex = y +
2

x = ln(y +

x 2 + 1 ).

y2 1

y 2 1 ) (vì x 0 nên không chọn ex = y

y 2 1 ). Do đó f l một

song ánh v ánh xạ ngợc của nó l f1 : [1, ) [0, +) cho bởi f1(x) = ln(x +
x 2 1 ).
x

y =
c)
1+ x
x 0

y

x =
1 y v

y 0, y 1



x

y =
1+ x

x 0

y

x =
1+ y

.
y 0, y 1


Do đó f l một song ánh v ánh xạ ngợc của nó l f1 : (1, 1) R cho bởi f1(x) =
x
.
1 | x |
4. Chứng minh rằng nếu f : A A l một ton ánh v f D f = f thì f l ánh xạ đồng nhất.
Giải

a A, a A sao cho f(a) = a (vì f l một ton ánh). Khi đó
f(a) = f(f(a)) = f D f(a) = f(a) = a, tức l f l ánh xạ đồng nhất.
5. Cho ánh xạ f : A B, X v Y l các tập con của A, S v T l các tập con của B. Chứng

minh rằng :

a) f(X Y) = f(X) f(Y).
b) f(X Y) f(X) f(Y).
c) f(A) \ f(X) f(A \ X).
d) f1(S T) = f1(S ) f1(T).
e) f1(S T) = f1(S ) f1(T).
f) f1(B \ S) = A \ f1(S ).
Trong mỗi trờng hợp b) v c), hãy lấy một thí dụ để chứng tỏ bao hm thức ngợc
lại không đúng.
Giải
a) X, Y X Y nên f(X), f(Y) f(X Y). Do đó f(X) f(Y) f(X Y).

y f(X Y) x X Y, y = f(x) (y = f(x), x X) (y = f(x), x Y) y f(X)
f(Y). Do đó f(X Y) f(X) f(Y).
b) y f(X Y) x X Y, y = f(x) (y = f(x), x X)

(y = f(x), x Y) y f(X) f(Y). Do đó f(X Y) f(X) f(Y).
Nếu chọn A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2}, X = {1, 2}, Y = {3, 4}, f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 1,
f(4) = 1 thì X Y = , trong khi f(X) f(Y) = {1} .
c) y f(A) \ f(X) (y f(A)) (y f(X)) (x A, y = f(x)) (x X) x A \ X, y =

f(x) y f(A \ X). Do đó f(A) \ f(X) f(A \ X).


Nếu chọn A, B, X, f nh trên thì f(A) = f(X) = {1, 2}, nên f(A) \ f(X) = , trong khi f(A \ X)
= {1} .
d) x f1(S T) f(x) S T (f(x) = S) (f(x) T) (x f1(S )) (x f1(T))

x (f1(S ) f1(T)).

e) x f1(S T) f(x) S T (f(x) S) (f(x) T) (x f1(S)) (x f1(T))

x (f1(S ) f1(T)).
f) x f1(B \ S) f(x) B \ S (f(x) B) (f(x) S) (x A)
(x f1(S )) x A \ f1(S ).
6. Cho ánh xạ f : A B, X l một tập con của A v S l một tập con của B. Chứng minh rằng:

a) X f1(f(X)).
b) f(f1(S )) S.
c) f(X f1(S )) = f(X) S.
Giải
a) x X f(x) f(X) x f1(f(X)).
b) y f(f1(S )) x f1(S ), y = f(x) y = f(x) S.
c) y f(X f1(S )) x X f1(S), y = f(x) (x X, y = f(x)) (x f1(S), y

= f(x)) (y f(X)) (y S) y f(X) S.
7. Giả sử n l một số tự nhiên cho trớc, f l một ánh xạ từ tập các số tự nhiên N đến chính nó

đợc xác định bởi :

n k, nếu k < n
f(k) =
.
n + k, nếu k n
f có phải l đơn ánh, ton ánh, song ánh không ?
Giải

Nếu n = 0 thì f l ánh xạ đồng nhất idN.
Nếu n > 0 thì f l một đơn ánh, nhng không l ton ánh. Thật vậy, với k1, k2 N, k1 <
k2 ; nếu k1 < k2 < n thì f(k1) = n k1 n k2 = f(k2) ; nếu n k1 < k2 thì f(k1) = n + k1 n

+ k2 = f(k2). Ngoi ra, k N sao cho f(k) = 0.
8. Cho hai ánh xạ f : A B, g : B C. Chứng minh rằng :

a) Nếu g D f l đơn ánh thì f l đơn ánh.


b) Nếu g D f l ton ánh thì g l ton ánh.
c) Nếu g D f l đơn ánh v f l ton ánh thì g l đơn ánh.
d) Nếu g D f l ton ánh v g l đơn ánh thì f l ton ánh.
Giải
a) a, a A, f(a) = f(a) g D f(a) = g(f(a)) = g(f(a)) = g D f(a)
a = a (vì g D f l đơn ánh). Vậy f l đơn ánh.
b) Ta có f(A) B, g(B) C v g D f l ton ánh nên C = g D f(A) = g(f(A)) g(B) C.
Do đó g(B) = C hay g l ton ánh.
c) Vì g D f l đơn ánh nên theo a) f l đơn ánh. Ngoi ra theo giả thiết f l ton ánh nên f l
song ánh. Do đó f có ánh xạ ngợc f1 cũng l song ánh.

Do g = g D idB = g D ( f D f1) = (g D f) D f1 nên g l đơn ánh (hợp thnh của 2 đơn ánh).
d) Vì g D f l ton ánh nên theo b) g l ton ánh. Ngoi ra theo giả thiết g l đơn ánh
nên g l song ánh, do đó g có ánh xạ ngợc g1 cũng l song ánh.

Do f = idB D f = (g1 D g) D f = g1 D (g D f) nên f l ton ánh (hợp thnh của 2 ton ánh).

9. Cho ánh xạ f : A B. Chứng minh rằng :
a) f l đơn ánh khi v chỉ khi với mọi tập X v với mọi g, g : X A, f D g = f D g kéo
theo g = g.
b) f l ton ánh khi v chỉ khi với mọi tập Y v với mọi h, h : B Y, h D f = h D f kéo
theo h = h.
c) f l đơn ánh khi v chỉ khi với mọi X, Y A, f(X Y) = f(X) f(Y).
Giải

a) () X v g, g : X A, sao cho f D g = f D g, ta có x X,
f D g(x) = f D g(x) hay f(g(x)) = f(g(x)). Do f l đơn ánh nên g(x) = g(x) hay g = g.

()a1, a2 A, f(a1) = f(a2). Lấy X l tập khác rỗng, g, g : X A xác định bởi g(x) =
a1 v g(x) = a2, x X. Ta có, f D g(x) = f(g(x)) = f(a1) = f(a2) = f(g(x)) = f D g(x), x X,
tức l f D g = f D g. Theo giả thiết, ta có g = g hay a1 = a2. Do đó f l đơn ánh.
b) () Y v h, h : B Y, sao cho h D f = h D f, ta có b B, a A, b = f(a) (do f l
ton ánh) v h(b) = h(f(a)) = h D f(a) = h D f(a) = h(f(a)) = h(b), tức l h = h.

() Giả sử f không l ton ánh. Khi đó B \ f(A) . Lấy Y = {y1, y2} v h, h : B Y
cho bởi :
y , nếu b f (A)
, b B.
h(b) = y1, h(b) = 1

y
,
nếu
b
B
\
f
(
A
)
2

Ta có h D f = h D f, nhng h h.
c) () Ta đã có : X, Y A, f(X Y) = f(X) f(Y).