TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN TOÀN CỤC VÀ ỔN ĐỊNH MŨ TOÀN CỤC CỦA MÔ HÌNH MẠNG NƠRON VỚI TRỄ KHÔNG BỊ CHẶN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN - TIN
———————o0o——————–
Khóa luận tốt nghiệp
TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN TOÀN CỤC VÀ ỔN ĐỊNH MŨ TOÀN CỤC
CỦA MÔ HÌNH MẠNG NƠRON VỚI TRỄ KHÔNG BỊ CHẶN
Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Giảng viên hướng dẫn: T.S TRẦN THỊ LOAN
Sinh viên thực hiện: NGUYỄN THỊ GÁI
Lớp: K60A
HÀ NỘI 5 - 2014
Mục lục
Lời nói đầu iv
Một số kí hiệu viết tắt v
1 Các kiến thức liên quan 1
1.1 Không gian hàm chấp nhận được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Phương trình vi phân với trễ vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Tích phân Riemann-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 M-ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Một số kiến thức khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Nội dung 10
2.1 Tính ổn định đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Tính ổn định tiệm cận toàn cục và ổn định mũ toàn cục . . . . . . 12
2.3 Mạng nơron Cohen-Grossberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Tài liệu tham khảo 31
i
Mở đầu
Từ công trình mở đầu của Hopfield năm 1982 [14], một vài lớp mô hình
mạng nơron đã trở thành đối tượng nghiên cứu do những ứng dụng rộng rãi của
chúng trong nhiều lĩnh vực khoa học như tối ưu hóa tổ hợp, nhận dạng mẫu

hình, xử lí tín hiệu và hình ảnh, liên kết bộ nhớ.
Năm 1983, Cohen và Grossberg [3] đã đề xuất và nghiên cứu mạng nơron
nhân tạo được mô tả bới hệ phương trình vi phân thường (ODEs)
˙x
i
= −k
i
(x
i
)

b
i
(x
i
) −
n

j=1
a
ij
f
j
(x
j
)

, i = 1, . . . , n (0.1)
và năm 1984 Hopfield nghiên cứu trường hợp riêng của (0.1) với k
i

≡ 1 ,
˙x
i
= −b
i
x
i
+
n

j=1
a
ij
f
j
(x
j
), i = 1, . . . , n. (0.2)
Để hiện thực hóa, các phương trình phân mô tả mạng nơron được gắn thêm
trễ thời gian để đưa vào tính toán thời gian truyền dẫn tín hiệu dọc theo các tế
bào thần kinh hoặc trong mạng nơron nhân tạo là sự truyền đạt thông tin thời
gian giữa các mạch khuếch đại. Năm 1989, Marcus và Westervelt [2] lần đầu tiên
đưa ra một trễ rời rạc trong mô hình Hopfield (0.2) và nhận xét rằng trễ này
có thể làm mất tính ổn định cuả hệ, nó cũng có thể dẫn tới những dáng điệu
tuần hoàn, tái tạo các diện mạo sinh học liên quan tới mạch nơron điều khiển
các hoạt động nhịp nhàng như thở, tim đập, di chuyển.
Trong hơn hai thập kỉ, một vài dạng tổng quát có hoặc không có trễ của
mô hình (0.1) được đưa ra bao gồm hệ thống mạng nơron tĩnh, mạng nơron tế
bào, mạng nơron liên kết bộ nhớ hai chiều,. . . Mới đây, việc nghiên cứu về các
phương trình vi phân có trễ (DDEs) mô tả mạng nơron sinh học hoặc nhân tạo

đã thu hút sự quan tâm rất lớn của các nhà toán học cũng như các nhà khoa
học khác và rất nhiều các ấn phẩm có giá trị đã được giới thiệu. Trong công
trình này các tác giả nghiên cứu về tính ổn định toàn cục của một lớp các mô
ii
MỤC LỤC iii
hình mạng nơron Cohen-Grossberg ô tô nôm với trễ phân phối vô hạn có dạng:
˙x
i
(t) = −a
i
(x
i
(t))

b
i
(x
i
(t)) +
n

j=1
p

p=1
f
(p)
ij

0


−∞
g
(p)
ij
(x
j
(t + s))dη
(p)
ij
(s)


, i = 1, . . . , n.
(0.3)
Dễ thấy rằng mô hình này đã được đề cập ở trên. Các kết quả ở đây mở rộng
các nghiên cứu phần trước cho trường hợp trễ phân phối bị chặn. Trên thực tế,
mô hình Cohen-Grossberg (0.3) được xét ở đây như một trường hợp riêng của
một họ rất nhiều DDEs có dạng
˙x
i
(t) = −ρ
i
(t, x
t
)[b
i
(x
i
(t)) + f

i
(x
t
)], i = 1, . . . , n, (0.4)
trong đó ρ
i
, b
i
, f
i
là các hàm thực liên tục, ρ
i
dương và x
t
xác định bởi
x
t
(s) = x(t + s) với s ≤ 0.
Đối với DDEs có trễ vô hạn, việc chọn một không gian pha Banach chấp
nhận được (thường gọi là không gian fading memory) được đặt biệt quan tâm
nhằm mục đích thu được các kết quả thông dụng về tính đặt đúng bài toán giá
trị ban đầu. Đó về sự tồn tại, tính duy nhất và tính thác triển của các nghiệm,
tính compact tương đối của các quỹ đạo dương bị chặn. Ở đây, để đơn giản hóa
ta luôn giả sử rẳng các điều kiện ban đầu bị chặn trên (−∞, 0]. Điều này thường
mặc định trong các tài liệu về hệ thống mạng nơron với trễ không bị chặn và là
lí do tại sao trong hầu hết các bài viết việc lựa chọn không gian pha một cách
rõ ràng không được đề cập đến.
Bản luận văn này được viết dựa theo nội dung chính của công trình nói trên.
Bố cục luận văn được chia như sau:
Chương 1: Trình bày các kiến thức liên quan về không gian hàm chấp nhận

được, tích phân Riemann-Stieltjes, M- ma trận.
Chương 2 gồm 4 phần:
Phần 1 thiết lập điều kiện tổng quát cho tính bị chặn của các nghiệm và sự
tồn tại, tính ổn định đều của nghiệm không.
Phần 2 giới thiệu các kết quả chính của luận văn về sự tồn tại, tính ổn định
tiệm cận toàn cục và ổn định mũ toàn cục của một điểm cân bằng đối với một
lớp DDEs với trễ vô hạn (0.4).
Phần 3 đưa ra các kết quả được áp dụng để thiết lập các tiêu chuẩn cho tính
ổn định tiệm cận toàn cục và ổn định mũ toàn cục của điểm cân bằng đối với
mô hình mạng nơron (0.3).
Phần 4 dành cho các ứng dụng của các tiêu chuẩn đối với từng mô hình
riêng. Trong suốt phần này là sự so sánh các kết quả đạt được trong luân văn
MỤC LỤC iv
với các tài liệu khác, chỉ ra sự tiến bộ trong phương pháp của chúng ta khi áp
dụng cho một vài mô hình khác nhau.
Để hoàn thành khóa luận này, em đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ quý báu
của thầy cô, gia đình và bạn bè.
Đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo-TS. Trần Thị Loan
người đã trược tiếp hướng dẫn và giúp đỡ em tận tình trong quá trình thực hiện
đề tài.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán-Tin, đặc biệt là các
thầy cô trong tổ bộ môn Giải tích đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ em trong quá trình
học tập và thực hiện đề tài.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới bạn bè và những người thân luôn
động viên giúp đỡ em hoàn thành khóa luận.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 28/4/2014
Sinh viên
NGUYỄN THỊ GÁI
Một số kí hiệu viết tắt

x = (x
1
, . . . , x
n
) ∈ R
n
.
x
∗
= (x
∗
1
, . . . , x
∗
n
) ∈ R
n
là điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân có trễ.
|.| là chuẩn cố định trong R
n
.
|x| = max{|x
i
| : i = 1, . . . , n}.
ODEs: Các phương trình vi phân thường.
DDEs: Các phương trình vi phân có trễ.
FDE : Phương trình vi phân hàm.
UC
g
: Không gian hàm chấp nhận được

UC
g
= {φ ∈ C((−∞, 0]; R
n
) : sup
s≤0
|φ(s)|
g(s)
< ∞,
|φ(s)|
g(s)
liên tục đều trên (−∞, 0]}
BC (hay BC
g
): BC = BC((−∞, 0]; R
n
) là không gian con của UC
g
.
.
g
: Chuẩn trong không gian UC
g
cho bởi ||ϕ||
g
= sup
s≤0
|φ(s)|
g(s)
.

||.||
∞
là chuẩn trong không gian BC, ||φ||
∞
= sup
s≤0
|φ(s)|.
Với véc tơ a = (a
1
, . . . , a
n
) ∈ R
n
ta cũng kí hiệu a là hàm hằng ϕ(s) ≡ a trong BC,
hoặc UC
g
.
u>0: kí hiệu véc tơ u = (u
1
, . . . , u
n
)
T
với u
i
> 0, ∀i = 1, . . . , n.
v
Chương 1
Các kiến thức liên quan
1.1 Không gian hàm chấp nhận được

Kí hiệu |.| là một chuẩn trong R
n
. Ta giả sử rằng:
(M1) B là không gian vectơ thực của:
(i) các hàm liên tục ánh xạ từ (−∞, 0] vào R
n
với φ = ψ trong B nếu
φ(s) = ψ(s) trên (−∞, 0].
hoặc
(ii) Các hàm đo được ánh xạ từ (−∞, 0] vào R
n
với các phần tử φ = ψ
(hoặc φ tương đương với ψ ) trong B nếu φ(s) = ψ(s) hầu khắp nơi
trên (−∞, 0] và φ(0) = ψ(0).
(M2) B được cho với chuẩn |.|
B
.
(M3) B là không gian đầy với chuẩn |.|
B
.
Như vậy không gian B với chuẩn |.|
B
là một không gian Banach. Kí hiệu là
(B, |.|
B
) hay đơn giản là B.
Nếu x : (−∞, A) → R
n
, 0 < A ≤ ∞ thì với bất kì t ∈ [0, A) ta xác định
x

t
: (−∞, 0] → R
n
cho bởi
x
t
(s) = x(t + s), s ≤ 0.
Định nghĩa 1.1.1. Không gian B (như định nghĩa trên) được gọi là chấp nhận
được nếu tồn tại các hằng số K, J > 0 và một hàm liên tục M : [0, ∞) → [0, ∞)
sao cho các điều kiện dưới đây được thỏa mãn:
Cho 0 ≤ a < A ≤ ∞, nếu x : (−∞, A) → R
n
xác định trên (−∞, A) và liên tục
trên [a, A) với x
a
∈ B thì với mọi t ∈ [a, A) ta có:
1
Chương 1. Các kiến thức liên quan 2
(N1) x
t
∈ B;
(N2) x
t
∈ B liên tục theo t với chuẩn |.|
B
;
(N3) |x
t
|
B

≤ K max
a≤s≤t
|x(s)| + M(t − a)|x
a
|
B
;
(N4) |φ(0)| ≤ J|φ|
B
với mọi φ trong B.
Ví dụ 1.1.1. Cho g : (−∞, 0] → [1, +∞) là hàm cho trước và các điều kiện sau:
(g1) g là hàm liên tục không tăng và g(0) = 1;
(g2) lim
u→0
g(s + u)
g(s)
= 1 đều trên (−∞, 0];
(g3) g(s) → ∞ khi s → −∞.
Với g thỏa mãn (g1):
Kí hiệu C := C((−∞, 0], R
n
) là không gian vectơ các hàm liên tục ánh xạ từ
(−∞, 0] vào R
n
. Định nghĩa
C
g
:=

φ ∈ C : sup

s≤0
|φ(s)|
g(s)
< ∞

.
Cho φ ∈ C
g
, ta định nghĩa chuẩn của φ bởi:
|φ|
g
:= |φ|
C
g
:= sup
s≤0
|φ(s)|
g(s)
.
Khi đó, (C
g
, |.|
g
) là không gian Banach. Tuy nhiên C
g
không phải là không gian
hàm chấp nhận được. Để chỉ ra một không gian hàm chấp nhận được liên quan
tới C
g
ta xét không gian sau, thường được biết đến là không gian "fading

memory"[11]:
UC
g
:= {φ ∈ C
g
:
φ
g
liên tục đều trên (−∞, 0]}
hay
UC
g
= {φ ∈ C((−∞, 0]; R
n
) : sup
s≤0
|φ(s)|
g(s)
< ∞,
|φ(s)|
g(s)
liên tục đều trên (−∞, 0]},
với g thỏa mãn các giả thiết (g1)-(g3). Không gian UC
g
với chuẩn
||φ||
g
= sup
s≤0
|φ(s)|

g(s)
, là một không gian Banach.
Chương 1. Các kiến thức liên quan 3
Chứng minh. Thật vậy:
Lấy {φ
n
} là dãy Cauchy trong UC
g
suy ra ∀ε > 0, ∃n
0
sao cho ∀m, n > n
0
thì ||φ
n
−φ
m
||
g
< ε hay sup
s≤0
|(φ
n
− φ
m
)(s)
g(s)
< ε.
Cố định s
0
∈ (−∞, 0] ta có

|(φ
n
− φ
m
)(s
0
)|
g(s
0
)
< ε, ∀m, n ≥ n
0
hay
|(φ
n
− φ
m
)(s
0
)| < εg(s
0
), ∀m, n ≥ n
0
, (1.1)
do đó dãy điểm {φ
n
(s
0
)} hội tụ trong R
n

.
Đặt φ(s
0
) = lim
n→∞
φ
n
(s
0
). Ta xây dựng ánh xạ:
φ : (−∞, 0] → R
n
s → φ(s)
Ta chứng minh φ ∈ UC
g
+ Chứng minh φ liên tục
Từ (1.1), cho m → ∞ suy ra
|φ
n
(s) − φ(s)|
g(s)
≤ ε, ∀n ≥ n
0
, ∀s ≤ 0. (1.2)
Xét s
0
∈ (−∞, 0]), do g liên tục nên bị chặn trên [s
0
− 1, s
0

+ 1] nên giả sử rằng
g(s) ≤ M, ∀s ∈ [s
0
− 1, s
0
+ 1].
Trong (1.2), thay ε =
ε
3M
ta có
|φ
n
(s) − φ(s)|
g(s)
≤
ε
3M
, ∀n ≥ n
0
, ∀s ≤ 0.
Do φ
n
0
liên tục tại s nên ∃δ thỏa mãn 0 < δ < 1 sao cho
|φ
n
0
(s) − φ
n
0

(s
0
)| ≤
ε
3
, ∀s ∈ [s
0
− δ, s
0
+ δ].
Khi đó, ∀s ∈ (−∞, 0] : |s − s
0
| < δ ta có
|φ(s) − φ(s
0
)| ≤ |φ(s) − φ
n
0
(s)| + |φ
n
0
(s) − φ
n
0
(s
0
)| + |φ
n
0
(s

0
) − φ(s
0
)|
≤
ε
3M
+
ε
3
+
ε
3M
≤ ε
Vậy φ liên tục.
+Chứng minh sup
s≤0
|φ(s)|
g(s)
< ∞.
Chương 1. Các kiến thức liên quan 4
∀n ≥ n
0
ta có
|φ(s)|
g(s)
<
|φ(s) − φ
n
(s)|

g(s)
+
|φ
n
(s)|
g(s)
< ε +
|φ
n
(s)|
g(s)
suy ra với mỗi ε > 0 : sup
s≤0
|φ(s)|
g(s)
< ε + sup
s≤0
|φ
n
(s)|
g(s)
< ∞.
+Chứng minh
φ(s)
g(s)
là liên tục đều
Theo giả thiết ta có :
∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho





φ
n
(s)
g(s)
−
φ
n
(s

)
g(s

)




< ε, ∀s, s

∈ (−∞, 0] thỏa mãn
|s − s

| < δ. Suy ra ∀s, s

∈ (−∞, 0] thỏa mãn |s − s

| < δ ta có:





φ(s)
g(s)
−
φ(s

)
g(s

)




≤




φ(s)
g(s)
−
φ
n
(s)
g(s)





+




φ
n
(s)
g(s)
−
φ
n
(s

)
g(s

)




+




φ

n
(s

)
g(s

)
−
φ(s

)
g(s

)




< ε + ε + ε < 3ε.
với n đủ lớn.
suy ra
φ(s)
g(s)
liên tục đều.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Theo chứng minh trong [22] ta có UC
g
là không gian hàm chấp nhận được.
Định nghĩa 1.1.2. Cho B là một không gian chấp nhận được. B được gọi là
một không gian "strong fading memory" nếu trong (N3)

M(t) → 0 khi t → ∞.
Kí hiệu I
n
:= {(t, s) : t ≥ n, s ≤ −n} với mỗi n ∈ N
Định lí 1.1.1. Giả sử g thỏa mãn (g1) và x : (−∞, ∞) → R
n
với x
0
∈ C
g
và x
bị chặn và liên tục đều trên [0, ∞). Hơn nữa, giả sử rằng ánh xạ t → x
t
liên tục
với chuẩn |.|
g
trên [0, ∞). Khi đó, nếu
lim
n→∞
sup
(t,s)∈I
n
|x(t + s)|
g(s)
= 0
thì quỹ đạo dương {x
t
: t ≥ 0} là compact tương đối trong C
g
.

Định lí 1.1.2. Giả sử g : (−∞, ∞) → [1, ∞) thỏa mãn (g1), (g2) với g(s) ≡ 1
trên [0, ∞), khi đó các điều kiện sau là tương đương:
(Q1) lim
n→∞
sup
(t,s)∈I
n
|g(t + s)|
g(s)
= 0.
Chương 1. Các kiến thức liên quan 5
(Q2) UC
g
là không gian "strong fading memory".
(Q3) Nếu x : (−∞, ∞) → R
n
, x bị chặn và liên tục đều trên [0, ∞) với x
0
∈ UC
g
thì {x
t
: t ≥ 0} là tập compact tương đối trong C
g
.
(Q4) Tồn tại một hàm giảm, liên tục đều h : (−∞, ∞) → [0, ∞) với h(t) ≡ 0 trên
[0, ∞) sao cho lim
n→∞
inf
(t,s)∈I

n
[h(s) − h(s + t)] = ∞ và g(s) ≡ e
h(s)
trên (−∞, 0].
(Q5) Tồn tai γ, δ > 0 sao cho e
−γs
≤ g(s) ≤ e
−δs
với mọi |s| đủ lớn, s < 0.
1.2 Phương trình vi phân với trễ vô hạn
Định nghĩa 1.2.1. Phương trình vi phân hàm có trễ [13]
Cho B là không gian Banach với chuẩn |.|
B
.
Một phương trình vi phân hàm có trễ trên Ω, viết tắt là RF DE(f) hoặc
RF DE(f, Ω) là một hệ thức
˙x(t) = f(t, x
t
) (1.3)
trong đó, Ω là tập mở trong R × B và f : Ω → R
n
là hàm liên tục cho trước.
Với mỗi nghiệm của RF DE(f) trên khoảng I ∈ R, ta định nghĩa một hàm
x :

{(−∞, t] : t ∈ I} → R
n
thỏa mãn (t, x
t
) ∈ Ω với t ∈ I, x(t) có đạo hàm liên

tục và thỏa mãn (1.3) trên I. Cho (σ, φ) ∈ Ω, ta nói x(σ, φ) là một nghiệm của
REDF (f) qua (σ, φ) nếu tồn tại một số A > σ sao cho x(σ, φ) là một nghiệm của
RF DE(f) trên [σ, A] và x
σ
(σ, φ) = φ. Ở đây ta có thể kí hiệu x(σ, σ, φ) = φ(0) là
giá trị xác định trong R
n
với |φ(0)|  K|φ|
B
, trong đó x(t, φ, σ) là kí hiệu giá trị
trong R
n
của x(σ, φ) tại t  σ.
Xem tài liệu [21]
Bổ đề 1.2.1. Nếu σ ∈ R, φ ∈ C cho trước, f(t, σ) liên tục thì việc tìm được một
nghiệm của (1.3) qua (σ, φ) tương đương với việc giải phương trình tích phân







x(t) = φ(0) +
t

σ
f(s, x
s
)ds, ∀t ≥ σ.

x
σ
= φ
Định lí 1.2.1. Giả sử Ω là tập con mở của R×C và f ∈ C(Ω, R
n
). Nếu (σ, φ) ∈ Ω
thì có một nghiệm của RF DE(f) qua (σ, φ).
Chương 1. Các kiến thức liên quan 6
Định lí 1.2.2. Giả sử Ω là tập con mở của R × C, f ∈ C(Ω, R
n
) và f(t, φ) là
Lipschitz theo φ trên một tập compact trong Ω. Nếu (σ, φ) ∈ Ω thì có một nghiệm
duy nhất của RFDE(f) qua (σ, φ).
Định lí 1.2.3. [13] Giả sử rằng Ω là tập con mở của R × C, f ∈ C(Ω, R
n
) và
x là một nghiệm của RF DE(f, Ω) không thác triển được trên [σ
0
, δ). Khi đó, với
mỗi tập compact W ∈ Ω tồn tại một số t
w
sao cho (t, x
t
) /∈ W với t
w
< t < δ.
Định lí 1.2.4. [13] Với các điều kiện như trong Định lí 1.2.3, nếu f ánh xạ các
tập con đóng và bị chặn trong Ω thành các tập bị chặn trong R
n
thì với mỗi tập

bị chặn W ∈ Ω tồn tại dãy t
k
→ δ
−
sao cho (t
k
, x
t
k
) /∈ W.
Hơn nữa, nếu ∃ r > 0 và K
∗
thỏa mãn
|φ|
[−r,0]
|  K
∗
|φ|
B
,
thì tồn tại một số t
w
sao cho (t, x
t
) /∈ W với t
w
< t < δ.
1.3 Tích phân Riemann-Stieltjes
Xem tài liệu [20]
Định nghĩa 1.3.1. Cho α là hàm đơn điệu tăng trên đoạn [a, b] (vì α(a) và α(b)

hữu hạn nên hàm α bị chặn trên [a, b]). Nếu P là phép phân hoạch nào đó của
đoạn [a, b] thì đặt
∆α
i
= α(x
i
) − α(x
i−1
)
Rõ ràng ∆α
i
≥ 0. Bây giờ ta cho f là hàm thực bị chặn, xác định trên đoạn
[a, b]. Với mỗi phép phân hoạch P đoạn [a, b] có tương ứng các số
M
i
= sup{f(x) : x
i−1
≤ x ≤ x
i
},
m
i
= inf{f(x) : x
i−1
≤ x ≤ x
i
},
U(P, f, α) =
n


i=1
M
i
∆α
i
,
L(P, f, α) =
n

i=1
m
i
∆α
i
.
Ta đặt, xem như định nghĩa
¯
I = inf U(P, f, α), (1.4)
Chương 1. Các kiến thức liên quan 7
I = sup L(P, f, α), (1.5)
trong đó các cận trên và cận dưới cũng lấy theo mọi phép phân hoạch.
Nếu vế trái của các đẳng thức (1.4), (1.5) bằng nhau thì giá trị chung của
chúng được kí hiệu là
b

a
fdα (1.6)
b

a

f(x)dα(x) (1.7)
Đó là tích phân Riemann-Stieltjes (hoặc nói gọn là tích phân Stieltjes) của
hàm f đối với hàm α trên đoạn [a, b]
Định lí 1.3.1. (a) Nếu f ∈ R(α) trên [a, b] và nếu a < c < b thì f ∈ R(α) trên
[a, c] và
c

a
fdα +
b

c
fdα =
b

a
fdα.
(b) Nếu f ∈ R(α) trên [a, b] và nếu |f(x) ≤ M trên [a, b] thì






b

a
fdα







≤ M [α(b) − α(a)] .
1.4 M-ma trận
Định nghĩa 1.4.1. Ta kí hiệu ma trân A = (a
ij
) là ma trận vuông cấp n có các
thuộc tính sau:
(i) Các phần tử ngoài đường chéo chính của A không dương, nghĩa là
a
ij
≤ 0, ∀i, j = 1, . . . , n, i = j.
(ii) Cho một vectơ u > 0 ta có Au  0, Au = 0.
(iii) Mọi giá trị riêng của A đểu dương hoặc mọi định thức con chính của A
dương.
Ma trận A được gọi là một M-ma trận nếu A có các thuộc tính (i) và (ii).
Ma trận A được gọi là M-ma trận không suy biến nếu A có các thuộc tính
(i)-(iii).
Chương 1. Các kiến thức liên quan 8
- Ta thường dùng ký hiệu diag(a
1
, a
2
, . . . , a
n
) để chỉ một ma trận đường chéo
cấp n có các phần tử trên đường chéo lần lượt là a
1

, a
2
, . . . , a
n
.
Kí hiệu lớp Z
n
(n ≥ 1) là tập tất cả các ma trận vuông cấp n có các phần tử
ngoài đường chéo chính đều không dương:
Z
n
= {A = (a
ij
), i, j = 1, . . . , n; a
ij
 0, i = j}.
Hợp của các tập Z
n
được kí hiệu là Z:
Z =

n=1,2,
Z
n
Định lí 1.4.1. Cho A là một ma trận thuộc Z
n
, khi đó, các khẳng định sau
tương đương:
(i) Tồn tại một vectơ x  0 sao cho Ax > 0.
(ii) Tồn tại một vectơ x > 0 sao cho Ax > 0.

(iii) Tồn tại một ma trận đường chéo D có các phần tử trên đường chéo dương
sao cho các phần tử của ma trận AD = (w
ij
) thỏa mãn điều kiện với mỗi i
thì w
ii
>

i=j
|w
ij
|.
(iv) Mọi giá trị riêng thực của các ma trận con chính của A đều dương.
(v) Mọi định thức con chính của A dương.
(vi) Mọi giá trị riêng thực của ma trân A dương.
1.5 Một số kiến thức khác
Bổ đề 1.5.1. [8] Giả sử ánh xạ liên tục H : R
n
→ R
n
thỏa mãn các giả thiết:
(i) H là đơn ánh;
(ii) ||H(x)|| → ∞ khi ||x|| → ∞.
Khi đó, H là đồng phôi từ R
n
vào chính nó.
Chương 1. Các kiến thức liên quan 9
Tính ổn định của nghiệm x = 0 của phương trình vi phân hàm
Cho f : R × C → R
n

là một hàm liên tục. Xét phương trình vi phân hàm:
˙x(t) = f(t, x
t
) (1.8)
trong đó f(0, t) = 0, ∀t ∈ R, C = C([ − r, 0], R
n
).
Định nghĩa 1.5.1. (i) Ngiệm x = 0 của phương trình (1.8) được gọi là ổn
định nếu với bất kì σ ∈ R, ε > 0 tồn tại δ = δ(ε, σ) sao cho nếu φ ∈ B(0, δ)
thì x(σ, φ)(t) ∈ B(0, ε) với t ≥ σ.
(ii) Nghiệm x = 0 của phương trình (1.8) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó
ổn định và tồn tại b
0
= b
0
(σ) sao cho nếu φ ∈ B(0, b
0
) kéo theo x(σ, φ)(t) → 0
khi t → +∞.
(iii) Nghiệm x = 0 của phương trình (1.8) được gọi là ổn định tiệm cận toàn
cục nếu nó ổn định và hút toàn cục.
Chương 2
Nội dung
2.1 Tính ổn định đều
Xét không gian BC = BC((−∞, 0]; R
n
) các hàm liên tục và bị chặn
φ : (−∞, 0] → R
n
. Rõ ràng BC ⊆ UC

g
với ||φ||
g
= ||φ||
∞
. Khi đó BC được
xem như một không gian con của UC
g
, thường được viết là BC
g
.
Cho một tập mở D ⊆ UC
g
và f : [0, +∞) × D → R
n
liên tục, xét phương trình
vi phân hàm (FDE)
.
x
(t) = f(t, x
t
), t ≥ 0 (2.1)
trong đó, hàm x
t
: (−∞, 0] → R
n
xác định bởi x
t
(s) = x(t + s) với s ≤ 0. Với
g thỏa mãn (g1) − (g3), không gian pha UC

g
là một không gian Banach chấp
nhận được đối với (2.1). Do đó, các kết quả về sự tồn tại, tính duy nhất và liên
tục là hợp lí [13]. Ta luôn giả sử rằng f thỏa mãn các giả thiết để có tính duy
nhất nghiệm đối với bài toán giá trị ban đầu. Nghiệm của (2.1) với điều kiện
ban đầu x
t
0
= ϕ được kí hiệu là x(t, t
o
, ϕ).
Trong các ứng dụng cho hệ thống mạng nơron, chúng ta chỉ quan tâm tới
điều kiện ban đầu bị chặn
x
t
o
= ϕ, với ϕ ∈ BC, t
0
≥ 0 (2.2)
Từ [13], nếu f ánh xạ các tập con đóng và bị chặn trong miền xác định của
nó thành các tập bị chặn trong R
n
thì nghiệm của (2.1) với điều kiện ban đầu
(2.2) tồn tại trong đoạn [0, a] khi mà nó còn bị chặn.
Trong [5], ta đã thu được kết quả về tính bị chặn của tập nghiệm của phương
trình vi phân với trễ hữu hạn (2.1) với chuẩn |x| được chọn trong R
n
. Sau đây,
một kết quả tổng quát được đưa ra với chuẩn đó nhưng cho trường hợp trễ
không bị chặn.

10
Chương 2. Nội dung 11
Bổ đề 2.1.1. Xét phương trình (2.1) trong UC
g
và giả sử rằng f biến các tập
đóng và bị chặn trong [0, +∞) × D thành các tập bị chặn trong R
n
. Cũng giả sử
rằng:
(H1) Với mọi t ≥ 0 và ϕ ∈ UC
g
sao cho
|ϕ(s)|
g(s)
< |ϕ(0)|, s ∈ (−∞, 0) và với
i ∈ {1, . . . , n} sao cho |ϕ(0)| = |ϕ
i
(0)| thì ϕ
i
(0)f
i
(t, ϕ) < 0. Khi đó, các nghiệm
x(t) = x(t, 0, ϕ), ϕ ∈ UC
g
của (2.1) được xác định trên [0, +∞) và thỏa mãn
|x(t, 0, ϕ)| ≤ ||ϕ||
g
với t ≥ 0.
Chứng minh. Từ [13], ta có một nghiệm với điều kiện ban đầu x
0

= ϕ ∈ UC
g
được xác định với t ≥ 0 nếu như nó bị chặn trên mọi đoạn [0, a] (a > 0). Bây giờ
ta chứng minh rằng nghiệm x(t) xác định trên [0, a] thỏa mãn |x(t)| ≤ ||x
0
||
g
với
0 ≤ t ≤ a. Chứng minh tương tự Bổ đề (3.2) trong [5] ( cũng như Định lí 3.1
trong [4]).
Cho x(t) = x(t, 0, ϕ) là một nghiệm của (2.1) trên [0, a] với a > 0, và ||ϕ||
g
= k.
Giả sử rằng tồn tại t
1
> 0 sao cho |x(t
1
)| > k và xác định
T = min{t ∈ [0, t
1
] : max
s∈[0,t
1
]
|x(s)| = |x(t)|}.
Ta có |x(T)| > k và
|x
T
(s)|
g(s)

=
|x(T + s)|
g(s)
≤
|x(T + s)|
g(T + s)
≤ k < |x(T )| với s ≤ −T,
và
|x
T
(s)|
g(s)
≤ |x
T
(s)| = |x(T + s)| < |x(T )| với s ∈ [−T, 0).
Do đó,
|x
T
(s)|
g(s)
< |x(T )| với s ∈ (−∞, 0). Theo (H1) tồn tại i ∈ {1, . . . , n} sao cho
|x
i
(T )| = |x(T )| và x
i
(T )f
i
(T, x
T
) < 0. Giả sử rằng x

i
(t) > 0 (trường hợp x
i
(t) < 0
tương tự). Vì x
i
(t) ≤ |x(t)| < x
i
(T ) với t ∈ [0, T ) nên
.
x
i
(T ) ≥ 0. Mặt khác, ta có
.
x
i
(T ) = f
i
(T, x
T
) < 0, mâu thuẫn. Chứng tỏ rằng |x(t, 0, ϕ)| ≤ ||ϕ||
g
với mọi t ≥ 0,
khi mà x(t, 0, ϕ) còn được xác định.
Để thu được tính bị chặn của các nghiệm và tính ổn định đều của nghiệm
không trong BC, ngoài (H1) ta có thể cho thêm một vài giả thiết ít hạn chế
hơn được trình bày trong bổ đề tiếp theo. Phần chứng minh tương tự bổ đề
trên
Chương 2. Nội dung 12
Bổ đề 2.1.2. Xét phương trình (2.1) trong không gian UC

g
và giả sử rằng f biến
các tập đóng và bị chặn trong [0, +∞) × D thành các tập bị chặn trong R
n
. Giả
sử thêm rằng:
(H2) Với mọi t ≥ 0 và ϕ ∈ BC sao cho |ϕ(s)| < |ϕ(0)|, với s ∈ (−∞, 0) và với
i ∈ {1, . . . , n} sao cho |ϕ(0)| = |ϕ
i
(0)| thì ϕ
i
(0)f
i
(t, ϕ) < 0.
Khi đó, mọi nghiệm của (2.2) với điều kiện ban đầu trong BC được xác định
và bị chặn trong [0, −∞). Hơn nữa, nếu x(t) = x(t, 0, ϕ), ϕ ∈ BC là một nghiệm
của (2.2) thì |x(t, 0, ϕ)| ≤ ||ϕ||
∞
với mọi t ≥ 0.
2.2 Tính ổn định tiệm cận toàn cục và ổn định mũ
toàn cục
Trong phần này, ta nghiêm cứu tính ổn định tiệm cận toàn cục và ổn định
mũ toàn cục của một điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân hàm với trễ
vô hạn có dạng:
.
x
i
(t) = −ρ
i
(t, x

t
)[b
i
(x
i
(t)) + f
i
(x
t
)], i = 1, . . . , n, t ≥ 0 (2.3)
trong đó, ρ
i
: [0, ∞) × UC
g
→ (0, ∞), b
i
: R → R và f
i
: UC
g
→ R là các hàm liên
tục, i = 1, . . . , n.
Lớp các phương trình vi phâm hàm tổng quát này bao gồm hầu hết các mô
hình mạng nơron (ô tô nôm) với trễ vô hạn giới thiệu trong tài liệu, được đưa
ra ở Phần 3 và 4 Chương 2. Như đã đề cập ở phần trước, với các mô hình mạng
nơron với trễ không bị chặn, các điều kiện ban đầu luôn luôn được giả sử là bị
chặn. Do đó, xuyên suốt bài này, ta lấy BC là tập với các điều kiện ban đầu
chấp nhận được và chỉ xét các nghiệm của mô hình tổng quát (2.3) với các điều
kiện ban đầu (2.2).
Định nghĩa 2.2.1. Nếu x

∗
∈ R
n
là một điểm cân bằng của (2.3),
(i) x
∗
được gọi là ổn định tiệm cận toàn cục (trong tập nghiệm chấp
nhận được) nếu nó hút toàn cục trong R
n
, nghĩa là x(t) → x
∗
khi t → ∞,
với mọi nghiệm x(t) với điều kiện ban đầu trong BC
g
, và ổn định trong UC
g
.
(ii) x
∗
được gọi là ổn định mũ toàn cục nếu tồn tại các hằng số dương ε, M sao
cho
|x(t, 0, ϕ) − x
∗
| ≤ Me
−εt
||ϕ − x
∗
||, với mọi t > 0, ϕ ∈ BC.
Chương 2. Nội dung 13
Có thể thấy rằng định nghĩa trên về tính ổn định mũ của một điểm cân bằng

x
∗
là phổ biến trong các tài liệu về mạng nơron có trễ vô hạn nhưng nó không
bao gồm tính ổn định của x
∗
trong không gian pha UC
g
với chuẩn ||.||
g
Do đó, đối với hệ (2.3) ta xét các giả thiết sau đây:
(A1) Cho M > 0 nào đó, sup{ρ
i
(t, φ) : φ ∈ BC, ||φ||
∞
≤ M, t ≥ 0} < ∞ và
r
i
(t) := inf{ρ
i
(t, φ) : φ ∈ BC, ||φ||
∞
≤ M} thỏa mãn
∞

0
r
i
(t)dt = ∞,
i ∈ {1, . . . , n};
(A2) Với mỗi i ∈ {1, . . . , n}, tồn tại β

i
> 0 sao cho
b
i
(u) − b
i
(v)
u − v
≥ β
i
,
∀u, v ∈ R, u = v;
(A3) f
i
: UC
g
→ R là một hàm Lipschitz với hằng số Lipschitz l
i
, i ∈ {1, . . . , n};
(A4) β
i
> l
i
với mọi i ∈ {1, . . . , n}.
Bổ đề 2.2.1. Với các giả thiết (A2)-(A4), hệ (2.3) có một điểm cân bằng duy
nhất x
∗
.
Chứng minh. Xác định hàm liên tục
H :R

n
→ R
n
x → H(x) = (b
1
(x
1
) + f
1
(x
1
), . . . , b
n
(x
n
) + f
n
(x
n
)) với x = (x
1
, . . . , x
n
).
Đầu tiên ta chứng minh rằng H là đơn ánh.
Giả sử tồn tại x, y ∈ R, x = y sao cho H(x) = H(y), suy ra b
i
(x
i
) + f

i
(x) =
b
i
(y
i
)+f
i
(y) với mọi i = 1, . . . , n hay b
i
(x
i
)−b
i
(y
i
) = f
i
(y)−f
i
(x) với mọi i = 1, . . . , n.
Vì x = y nên tồn tại x
i
= y
i
sao cho x − y = |x
i
− y
i
| = 0. Do đó ta có

b
i
(x
i
) − b
i
(y
i
)
x
i
− y
i
=
f
i
(y) − f
i
(x)
x
i
− y
i
⇒




b
i

(x
i
) − b
i
(y
i
)
x
i
− y
i




=




f
i
(x) − f
i
(y)
x
i
− y
i





Từ giả thiết suy ra
β
i
≤




b
i
(x
i
) − b
i
(y
i
)
x
i
− y
i




=





f
i
(x) − f
i
(y)
x
i
− y
i




=
|f
i
(x) − f
i
(y)|
x − y
≤ l
i
mà β
i
> l
i
, i = 1, . . . , n, mâu thuẫn. Vậy H là đơn ánh.

Tiếp theo ta chứng minh lim
x→∞
H(x) = 0.
Ta có
H(x) − H(0) = max
i=1,n
|b
i
(x
i
) − b
i
(0) + f
i
(x) − f
i
(0)|
Chương 2. Nội dung 14
≥ |b
i
(x
i
) − b
i
(0)| − |f
i
(x) − f
i
(0)|, i = 1, . . . , n
≥ β

i
|x
i
| − l
i
x , i = 1, . . . , n.
Đặt γ = min
1=1,n
(β
i
− l
i
) > 0, ∀i = 1, . . . , n. Cho x ∈ R
n
và i
0
∈ {1, . . . , n} thỏa
mãn |x
i
0
| = x, ta có
H(x) − H(0) ≥ β
i
0
||x|| − l
i
0
||x|| = (β
i
0

− l
i
0
)||x|| ≥ γ||x||.
Vậy có điều phải chứng minh.
Từ Bổ đề 1.5.1, ta kết luận H là một đồng cấu của R
n
và do đó tồn tại
x
∗
∈ R
n
sao cho H(x
∗
) = 0.
Bây giờ, ta phát biểu kết quả chính về tính ổn định tiệm cận toàn cục của
điểm cân bằng x
∗
của (2.3).
Định lí 2.2.1. Với các giả thiết (A1)-(A4), hệ (2.3) có một điểm cân bằng
duy nhất ổn định tiệm cận toàn cục.
Chứng minh. Từ Bổ đề 2.2.1, hệ (2.3) có một điểm cân bằng duy nhất x
∗
∈ R
n
.
Biến đổi x
∗
về nghiệm tầm thường bằng phép biến đổi x(t) = x(t) − x
∗

, (2.3) trở
thành
˙
x
i
(t) = −ρ
i
(t, x
t
)[b
i
(x
i
(t) + f
i
(x
t
)], i = 1, . . . , n, t ≥ 0 (2.4)
trong đó, ρ
i
(t, ϕ) = ρ
i
(t, ϕ + x
∗
), b
i
(u) = b
i
(u + x
∗

) và f
i
(ϕ) = f
i
(x
∗
+ ϕ) với không
là điểm cân bằng duy nhất, nghĩa là b
i
(0) + f
i
(0) = 0 với i = 1, . . . , n. Rõ ràng
ρ
i
, b
i
và f
i
thỏa mãn (A1)-(A4) nếu và chỉ nếu ρ
i
, b
i
, f
i
thỏa mãn (A1)-(A4).
Do đó ta có thể xét (2.4), ở đó, để đơn giản ta có thể bỏ gạch ngang.
Lấy ϕ ∈ BC
g
thỏa mãn ||ϕ||
g

= |ϕ(0)| > 0 và xét i ∈ {1, , n}
sao cho |ϕ
i
(0)| = ||ϕ||
g
. Nếu ϕ
i
(0) > 0 (tương tự với ϕ
i
(0) < 0) thì ||ϕ||
g
= ϕ
i
(0)
và từ giả thiết ta có
b
i
(ϕ
i
(0)) + f
i
(ϕ) = [b
i
(ϕ
i
(0)) − b
i
(0)] + [f
i
(ϕ) − f

i
(0)] ≥ (β
i
− l
i
)||ϕ||
g
> 0 (2.5)
Đặc biệt, giả thiết (H1) thỏa mãn, từ Bổ đề 2.1.1 ta suy ra mọi nghiệm đều
xác định và bị chặn trong [0, ∞) và x = 0 ổn định đều. Ta còn phải chứng minh
rằng nghiệm không hút toàn cục. Cho x(t) = (x
i
(t))
n
i=1
là một nghiệm của (2.4),
xác định các giới hạn
−v
i
= lim
t→∞
inf x
i
(t), u
i
= lim
t→∞
sup x
i
(t), i = 1, . . . , n

và
−v = max
i
{v
i
}, u = max
i
{u
i
},
Chương 2. Nội dung 15
với u, v ∈ R và −v ≤ u. Chỉ cần chứng minh cho max(u, v) = 0. Giả sử |v| ≤ u,
suy ra max(u, v) = u (Tương tự đối với |u| < v).
Lấy i ∈ {1, , n} sao cho u
i
= u. Bây giờ ta kí hiệu h
i
(ϕ) := −[b
i
(ϕ
i
(0))+ f
i
(ϕ)],
với ϕ ∈ BC
g
và chứng minh rằng tồn tại một dãy (t
k
)
k∈N

sao cho
t
k
 ∞, x
i
(t
k
) → u và h
i
(x
t
k
) → 0 khi k → ∞ (2.6)
+ Trường hợp 1:
Giả sử rằng x
i
(t) đơn điệu về cuối. Trong trường hợp này, lim
t→∞
x
i
(t) = u và
với t đủ lớn thì hoặc
.
x
i
(t) ≤ 0 hoặc
.
x
i
(t) ≥ 0. Giả sử rằng

.
x
i
(t) ≤ 0 với t đủ lớn
(trường hợp
.
x
i
(t) ≥ 0 tương tự). Khi đó, h
i
(x
t
) ≤ 0 với t đủ lớn, do đó
lim
t→∞
sup h
i
(x
t
) := c ≤ 0.
Với M = sup
t∈R
|x(t)|, xét r
i
(t) = inf{ρ
i
(t, φ) : ||φ||
∞
} ≤ M. Nếu c < 0 thì tồn tại
t

0
> 0 sao cho h
i
(x
t
) <
c
2
với t ≥ t
0
suy ra
x
i
(t) ≤ x
i
(t
o
) +
c
2
t

t
o
r
i
(s)ds
Từ (A1) và bất đẳng thức trên, ta thu được x
i
(t) → −∞ khi t → ∞, mâu

thuẫn. Do đó, c = 0, (2.6) được chứng minh.
+ Trường hợp 2:
Giả sử rằng x
i
(t) không đơn điệu về cuối. Trong trường hợp này tồn tại
một dãy (t
k
)
k∈N
sao cho t
k
 ∞,
.
x
i
(t
k
) = 0 và x
i
(t
k
) → u khi k → ∞. Khi đó
h
i
(x
t
k
) = 0 với mọi k ∈ N và có (2.6).
Tiếp theo, ta chỉ ra u = 0 và do đó v = 0.
Do x(t) bị chặn trên [0, ∞) nên tồn tại L > 0 sao cho ||x(t)||

g
< L với mọi t ≥ 0.
Do đó, từ (A1), (A3) ta suy ra tồn tại K > 0 sao cho | ˙x
j
(t)| = |ρ
j
(t, x
t
)[b
j
(x
j
(t))+
f
j
(x
t
)]| < K với mọi t ≥ 0 và j ∈ {1, . . . , n}. Cùng với điều kiện ban đầu x
o
bị
chặn trên (−∞, 0] và Định lí 1.1.1 ta suy ra {x
t
: t ≥ 0} là compact tương đối
trong UC
g
. Do đó, với một dãy con của (x
t
k
)
k

, cũng kí hiệu là (x
t
k
)
k
tồn tại
φ ∈ UC
g
sao cho x
t
k
→ φ trong UC
g
khi t → ∞.
Mặt khác, cố định ε > 0, tồn tại T = T (ε) > 0 sao cho |x(t)| < u
ε
:= u + ε với
t ≥ T . Vì thế với s ≤ 0 bất kì ta có
|φ(s)|
g(s)
≤ ||x
t
k
−φ||
g
+
|x(t
k
+ s)|
g(s)

≤ ||x
t
k
−φ||
g
+u
ε
với k đủ lớn, do đó ||φ||
g
≤ u
2ε
. Vì ε > 0 tùy ý nên ta suy ra ||φ||
g
≤ u. Từ (2.6)
Chương 2. Nội dung 16
ta có |φ
i
(0)| = u và h
i
(φ) = 0. Rõ ràng, ||φ||
g
= |φ(0)| = u. Bây giờ, nếu u > 0, lập
luận như (2.5) ta suy ra h
i
(φ) < 0, mâu thuẫn.
Vậy u = 0. Định lí được chứng minh.
Chú ý 2.2.1. Như một trường hợp đặc biệt, ta có thể xét lớp con của FDEs
(2.3), trong đó ρ
i
(t, φ) = r

i
(t)a
i
(φ
i
(0)), với r
i
: [0, ∞) → (0, ∞) và a
i
: R → (0, ∞)
là các hàm liên tục, khi đó (2.3) trở thành
˙x
i
(t) = −r
i
(t)a
i
(x
i
(t))[b
i
(x
i
(t)) + f
i
(x
t
)], i = 1, . . . , n, t ≥ 0 (2.7)
Trong tường hợp này, giả thiết (A1) được viết dưới dạng đơn giản hơn như
sau:

(A1’) r
i
(t) bị chặn đều trên [0, ∞) và
∞

0
r
i
(t)dt = ∞, i ∈ {1, . . . , n}.
Chú ý 2.2.2. Trong phần chứng minh Định lí 2.2.1 chủ yếu thu được kết quả
trên tập compact tương đối của các quỹ đạo dương của (2.3). (Trong thực tế, lập
luận tương tự chỉ ra rằng ||x
t
− x
∗
||
g
→ 0 khi t → ∞ đối với bất kì nghiệm x(t)
nào với dữ kiện ban đầu trong BC, như vậy x
∗
hút toàn cục trong UC
g
). Các quỹ
đạo dương của các nghiệm x(t) mà bị chặn và liên tục đều trên [0, ∞) luôn luôn
là compact tương đối trong UC
g
nếu như
|x(s)|
g(s)
→ 0 khi s → −∞. Rõ ràng các

điều kiện cuối này luôn được thỏa mãn nếu ta chỉ xét điều kiện ban đầu x
o
= φ
với φ ∈ BC.
Mặt khác Định lí 1.1.2 khẳng định rằng nếu UC
g
là một không gian "strong
fading memory" thì quỹ đạo dương x
t
: t ≥ 0 của nghiệm x(t) mà bị chặn và liên
tục đều trên [0, ∞) là compact tương đối. Do đó, trong trường hợp này chúng ta
có thể nới lỏng các ràng buộc ban đầu và lấy không gian UC
g
như là tập các điều
kiện chấp nhận được.
Bây giờ, ta chỉ ra tính ổn định mũ toàn cục của hệ (2.3). Xét không gian
UC
g
với g(s) = e
−αs
, s ∈ (−∞, 0], với α > 0. Nhắc lại rằng, với mỗi sự lựa chọn
hàm g như vậy thì UC
g
là một không gian "strong fading memory". Trong tài
liệu, chúng ta tìm thấy các ví dụ về mô hình mạng nơron cho bởi FDEs có trễ
vô hạn, ở đó UC
g
với g có dạng g(s) = e
−αs
như trên (α > 0 cố định) có thể

được lấy như không gian pha, mặc dù điều đó không phải lúc nào cũng rõ ràng.
Thực tế cho thấy, hầu hết các bài báo liên quan tới mạng nơron có trễ không
bị chặn đều không đưa ra một không gian pha rõ ràng. Vì lí do đó, ta luôn xét
các điều kiện ban đầu bị chặn x
0
= φ ∈ BC.
Chương 2. Nội dung 17
Định lí 2.2.2. Xét hệ (2.3) trong UC
g
, cho g(s) = e
−αs
, s ∈ (−∞, 0], với α > 0.
Với các giả thiết (A2)-(A4) và
(A1*) ρ := inf{ρ
i
(t, ϕ) : t ≥ 0, ϕ ∈ BC
g
, 1 ≤ i ≤ n} > 0
thì điểm cân bằng duy nhất x
∗
của (2.3) ổn định mũ toàn cục.
Chứng minh. Như trong chứng minh trên, bằng một phép biến đổi ta có thể giả
sử rằng điểm cân bằng là 0, nghĩa là b
i
(0) + f
i
(0) = 0 với i = 1, . . . , n, từ giả thiết
β
i
> l

i
và ρ > 0 ta chọn ε ∈ (0, α) sao cho ε − ρ(β
i
− l
i
) với mọi i = 1, . . . , n. Lấy
x(t) = x(t, 0, ϕ) là một nghiệm của (2.3). Phép đổi biến z(t) = e
εt
x(t) biến (2.3)
thành
˙z(t) = F
i
(t, z
t
), t ≥ 0, i = 1, . . . , n (2.8)
trong đó
F
i
(t, φ) = εφ
i
(0) − ρ
i
(t, e
−ε(t+.)
φ)e
εt
[b
i
(e
−εt

φ
i
(0)) + f
i
(e
−ε(t+.)
φ)]
Lấy t ≥ 0 và φ ∈ BC sao cho |φ(s)| < |φ(0)|, với s ∈ (−∞, 0] và xét i ∈ {1, . . . , n}
sao cho |φ
i
(0)| = |φ(0)|.
Nếu φ
i
(0) > 0 (trường hợp φ
i
(0) < 0 tương tự) thì từ các giả thiết ta suy ra
F
i
(t, φ) = εφ
i
(0) − ρ
i
(t, e
−ε(t+.)
φ)e
εt
[b
i
(e
−εt

φ
i
(0)) − b
i
(0) + f
i
(e
−ε(t+.)
φ) − f
i
(0)]
≤ εφ
i
(0) − ρ
i
(t, e
−ε(t+.)
φ)e
εt

β
i
e
−εt
φ
i
(0) − l
i
||e
−ε(t+.)

φ||
g

≤ εφ
i
(0) − ρe
εt

β
i
e
−εt
φ
i
(0) − l
i
sup
s≤0
e
−εt
e
−εs
|φ(s)|
e
−αs

≤ εφ
i
(0) − ρ[β
i

φ
i
(0) − l
i
sup
s≤0
e
(α−ε)s
|φ(s)|] (2.9)
Vì α > ε nên ta có F
i
(t, φ) ≤ φ
i
(0)[ε − ρ(β
i
− l
i
)] < 0 và (H2) được thỏa mãn
với F = (F
1
, . . . , F
n
). Từ Bổ đề 2.1.2 nghiệm z(t) được xác định trên [0, ∞) và
thỏa mãn |z(t)| = sup
s≤0
|z(s)| với t ≥ 0. Do đó ta có
|x(t, 0, ϕ)| = |e
−εt
z(t, 0, e
ε.

ϕ)| ≤ e
−εt
sup
s≤0
|ϕ(s)|, t ≥ 0, ϕ ∈ BC.
Định lí 2.2.3. Xét hệ
˙x
i
(t) = −ρ
i
(t, x
t
)[b
i
(x
i
(t)) + f
i
(t, x
t
)], i = 1, . . . , n, t ≥ 0,
với ρ
i
, b
i
như trong (2.3) và f
i
: [0, ∞) × UC
g
→ R

n
liên tục và giả sử rằng tồn
tại một điểm cân bằng x
∗
∈ R
n
. Khi đó các khẳng định của Định lí 2.2.1 và 2.2.2
về tính ổn định của x
∗
vẫn đúng nếu thay giả thiết (A3) bởi giả thiết sau:
(A3*) |f
i
(t, ϕ) − f
i
(t, ψ)| ≤ l
i
||ϕ − ψ||
g
, với t ≥ 0 và ϕ, ψ ∈ UC
g
.
Chứng minh. Chứng minh tương tự Định lí 2.2.2, trong đó, ta thay f
i
(e
−ε(t+.)
φ)
bởi f
i
(t, e
−ε(t+.)

φ), φ ∈ UC
g
.
Chương 2. Nội dung 18
2.3 Mạng nơron Cohen-Grossberg
Trong phần này, chúng ta áp dụng những kết quả của phần trước cho mô
hình mạng nơron Cohen-Grossberg thường với trễ phân phối vô hạn:
˙x
i
(t) = −a
i
(x
i
(t))

b
i
(x
i
(t)) +
n

j=1
P

i=1
f
(p)
ij


0

−∞
g
(p)
ij
(x
j
(t + s))dη
(p)
ij
(s)


, i = 1, . . . , n,
(2.10)
trong đó, a
i
: R → (0, ∞), b
i
: R → R và f
(p)
ij
, g
(p)
ij
: R → R là các hàm liên
tục và η
(p)
ij

: (−∞, 0] → R là các hàm không giảm, bị chặn, chuẩn hóa sao cho
η
(p)
ij
(0) − η
(p)
ij
(−∞) = 1 với mọi i, j ∈ {1, . . . , n}, p ∈ {1, . . . , P }. Ta thêm giả thiết
rằng hàm b
i
thỏa mãn (A2) và f
(p)
ij
, g
(p)
ij
là các hàm Lipschitz với các hằng số
Lipschitz tương ứng là µ
(p)
ij
, σ
(p)
ij
. Đối với (2.10), BC được chọn là tập với các
điều kiện ban đầu nhằm đảm bảo rằng các nghiệm thác triển được trên [0, ∞).
Mô hình (2.10) rất phù hợp trong giới hạn ứng dụng vì thế chúng ta sẽ minh
họa rõ hơn trong phần tiếp theo với một số ví dụ.
Xác định các ma trận thực vuông
B = diag(β
1

, . . . , βn), L = [l
ij
] và N = B − L (2.11)
trong đó β
1
, . . . , β
n
như trong (A2) và l
ij
=
p

i=1
µ
(p)
ij
σ
(p)
ij
, i, j = 1, . . . , n.
Bây giờ ta chứng minh một kết quả phụ là mở rộng của kết quả trong [12]
Bổ đề 2.3.1. Xét η
i
: (−∞, 0] → R, i = 1, . . . , m là các hàm không giảm bị chặn
và α > 0 thỏa mãn
0

−∞
dη
i

(s) < α, i = 1, . . . , m.
Khi đó, tồn tại một hàm liên tục g : (∞, 0] → [1, +∞) thỏa mãn (g1)-(g3) sao
cho
0

−∞
g(s)dη
i
(s) < α, i = 1, . . . , m.
Chứng minh. Ta sử dụng quy tắc tương tự như trong [12]. Đầu tiên ta xác định
α
i
:= η
i
(0) − η
i
(−∞) =
0

−∞
dη
i
(s) < α, i = 1, . . . , m. (2.12)
Chương 2. Nội dung 19
Với mỗi n ∈ N và i ∈ {1, . . . , m}, chọn ε
i,n
=
α − α
i
2

n+1
(n + 1)
. Vì η
i
là hàm không giảm
và bị chặn nên tồn tại một dãy (r
n
)
n∈N
các số thực dương (không phụ thuộc vào
i) sao cho r
n+1
≥ r
n
+ 1 và
−r
n

−∞
dη
i
(s) <ε
i,n
, i = 1, . . . , m, n ∈ N. Bây giờ ta xác
định hàm g : (∞, 0] → [1, +∞) như sau:
(i) g(s) = 1 trên [−r
1
, 0];
(ii) g(−r
n

) = n, n ∈ N;
(iii) g liên tục và tuyến tính từng khúc (tuyến tính trên đoạn [−r
n+1
, −r
n
]).
Từ (i) và (2.12) ta có
0

−r
1
g(s)dη
i
(s) <
α + α
i
2
.
Do đó, với mỗi i = 1, . . . , n ta có
0

−∞
g(s)dη
i
(s) =
0

−r
1
g(s)dη

i
(s) +
∞

n=1
−r
n

−r
n+1
g(s)dη
i
(s)
<
α + α
i
2
+
∞

n=1
g(−r
n+1
)
_r
n

−r
n+1
dη

i
(s)
≤
α + α
i
2
+
∞

n=1
(n + 1)ε
i,n
=
α + α
i
2
+
∞

n=1
α − α
i
2
n+1
= α
Định lí 2.3.1. Cho hệ (2.10) với giả thiết (A2), hơn nữa, giả sử rằng f
(p)
ij
,
g

(p)
ij
là các hàm Lipschitz với các hằng số Lipschitz tương ứng là µ
(p)
ij
, σ
(p)
ij
và η
(p)
ij
là hàm liên tục không giảm, chuẩn hóa sao cho η
(p)
ij
(0) − η
(p)
ij
(−∞) = 1 với mọi
i, j ∈ {1, . . . , n}, p ∈ {1, . . . , P }.
Với N xác định trong (2.11), nếu N là một M-ma trận không suy biến thì tồn
tại một điểm cân bằng của (2.10) ổn định tiệm cận toàn cục.