Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán học chương 6 PGS TS trần lộc hùng

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học
PGS.TS. Trần Lộc Hùng
Tp. Hồ Chí Minh, 10/ 2013

Ngày 12 tháng 10 năm 2013

PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013)

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Ngày 12 tháng 10 năm 2013

1 / 60


TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETING
KHOA CƠ BẢN, BỘ MÔN TOÁN-THỐNG KÊ

PGS. TS. TRẦN LỘC HÙNG

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC

Tp. Hồ Chí Minh, 10/2013

PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013)

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Ngày 12 tháng 10 năm 2013

2 / 60

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học
PGS.TS. Trần Lộc Hùng
Tp. Hồ Chí Minh, 10/ 2013

Ngày 12 tháng 10 năm 2013

Chương 6. Ước lượng tham số tổng thể

PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013)

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Ngày 12 tháng 10 năm 2013

3 / 60


Từ khóa (Key Words)

Ước lượng tham số

PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013)

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Ngày 12 tháng 10 năm 2013

4 / 60

Từ khóa (Key Words)

Ước lượng tham số
Độ tin cậy

PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013)

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Ngày 12 tháng 10 năm 2013

4 / 60


Từ khóa (Key Words)

Ước lượng tham số
Độ tin cậy
Khoảng ước lượng

PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013)

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Ngày 12 tháng 10 năm 2013

4 / 60

Chương 6. Ước lượng tham số tổng thể

1

Đặt vấn đề

PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013)

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Ngày 12 tháng 10 năm 2013

5 / 60


Chương 6. Ước lượng tham số tổng thể

1

Đặt vấn đề

2

Ước lượng điểm

PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013)

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Ngày 12 tháng 10 năm 2013

5 / 60


Chương 6. Ước lượng tham số tổng thể

1

Đặt vấn đề

2

Ước lượng điểm

3

Ước lượng khoảng

PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013)

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Ngày 12 tháng 10 năm 2013

5 / 60


Chương 6. Ước lượng tham số tổng thể

1

Đặt vấn đề

2

Ước lượng điểm

3

Ước lượng khoảng

4

Ước lượng và cỡ mẫu

PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013)

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Ngày 12 tháng 10 năm 2013

5 / 60


Chương 6. Ước lượng tham số tổng thể

1

Đặt vấn đề

2

Ước lượng điểm

3

Ước lượng khoảng

4

Ước lượng và cỡ mẫu

5

Bài tập

PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013)

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Ngày 12 tháng 10 năm 2013

5 / 60


Đặt vấn đề

Giả sử ωn = {X1 , X2 , . . . , Xn } là một mẫu ngẫu nhiên sinh bởi biến ngẫu
nhiên X có quy luật xác suất Q(x, θ). Vấn đề đặt ra là:

1

Ước lượng tham số chưa biết θ của tổng thể Ω bao gồm µ, σ 2 , p.

PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013)

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Ngày 12 tháng 10 năm 2013

6 / 60


Đặt vấn đề

Giả sử ωn = {X1 , X2 , . . . , Xn } là một mẫu ngẫu nhiên sinh bởi biến ngẫu
nhiên X có quy luật xác suất Q(x, θ). Vấn đề đặt ra là:
1
2

Ước lượng tham số chưa biết θ của tổng thể Ω bao gồm µ, σ 2 , p.
Hàm ước lượng là các thống kê của mẫu
θˆ = f (ωn ) = f (X1 , X2 , . . . , Xn )

PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013)

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Ngày 12 tháng 10 năm 2013

6 / 60


Đặt vấn đề

Giả sử ωn = {X1 , X2 , . . . , Xn } là một mẫu ngẫu nhiên sinh bởi biến ngẫu
nhiên X có quy luật xác suất Q(x, θ). Vấn đề đặt ra là:
1

Ước lượng tham số chưa biết θ của tổng thể Ω bao gồm µ, σ 2 , p.

2

Hàm ước lượng là các thống kê của mẫu
θˆ = f (ωn ) = f (X1 , X2 , . . . , Xn )

3

Ước lượng điểm

PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013)

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Ngày 12 tháng 10 năm 2013

6 / 60


6.1 Ước lượng điểm

1

Ước lượng không chệch

2

Ước lượng vững

3

Ước lượng hiệu quả

4

Ước lượng hợp lý cực đại

5

Ước lượng theo mô men

PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013)

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Ngày 12 tháng 10 năm 2013

7 / 60

Ước lượng không chệch

Định nghĩa
Thống kê θˆ được gọi là một ước lượng không chệch của tham số θ, nếu
ˆ =θ
E (θ)
1

Bản chất là đẳng thức
E (θˆ − θ) = 0

PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013)

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Ngày 12 tháng 10 năm 2013

8 / 60


Ước lượng không chệch

Định nghĩa
Thống kê θˆ được gọi là một ước lượng không chệch của tham số θ, nếu
ˆ =θ
E (θ)
1

Bản chất là đẳng thức
E (θˆ − θ) = 0

2

ˆ = θ, thì thống kê θˆ là ước lượng chệch so với tham số θ
Nếu E (θ)

PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013)

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Ngày 12 tháng 10 năm 2013

8 / 60


Ước lượng không chệch

Ví dụ 1
Trung bình mẫu X =
số tổng thể µ
1

1
n

n
j=1 Xj

là một ước lượng không chệch của tham

Dùng định nghĩa và tính chất của kỳ vọng, ta có
1
E (X ) = E (
n

PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013)

n
j=1

1
Xj ) =
n

n

E (Xj ) = µ
j=1

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Ngày 12 tháng 10 năm 2013

9 / 60


Ước lượng không chệch

Ví dụ 1
Trung bình mẫu X =

số tổng thể µ
1

1
n

n
j=1 Xj

Dùng định nghĩa và tính chất của kỳ vọng, ta có
1
E (X ) = E (
n

2

là một ước lượng không chệch của tham

n
j=1

1
Xj ) =
n

n

E (Xj ) = µ
j=1

Điều này không phụ thuộc vào cỡ mẫu và đúng cho mọi quy luật xác
suất

PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013)

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Ngày 12 tháng 10 năm 2013

9 / 60


Ước lượng không chệch
Ví dụ 2
Phương sai mẫu Sn2 = n1
phương sai tổng thể σ 2
1

n
j=1 (Xj

− X )2 là một ước lượng chệch của

Dùng định nghĩa và tính chất của kỳ vọng, ta có
E (Sn2 ) = E (

PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013)

1
n

n

(Xj − X )2 ) =
j=1

n−1 2
σ = σ2
n

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Ngày 12 tháng 10 năm 2013

10 / 60


Ước lượng không chệch
Ví dụ 2
n
j=1 (Xj

Phương sai mẫu Sn2 = n1
phương sai tổng thể σ 2
1

Dùng định nghĩa và tính chất của kỳ vọng, ta có
E (Sn2 ) = E (

2

− X )2 là một ước lượng chệch của

1
n

n

(Xj − X )2 ) =
j=1

n−1 2
σ = σ2
n

Điều này là lý do cần phải có phương sai mẫu điều chỉnh
Sˆn2 =

PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013)

1
n−1

n

(Xj − X )2 =
j=1

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

n
S2
n−1 n

Ngày 12 tháng 10 năm 2013

10 / 60


Ước lượng không chệch
Ví dụ 3
n
1
2
Phương sai mẫu điều chỉnh Sˆn2 = n−1
j=1 (Xj − X ) là một ước lượng
không chệch của phương sai tổng thể σ 2

1

Dùng định nghĩa và tính chất của kỳ vọng, ta có
n−1 n
E (Sˆn2 ) = E (
.
σ2) = σ2
n n−1

PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013)

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Ngày 12 tháng 10 năm 2013

11 / 60


Ước lượng không chệch
Ví dụ 3
n
1
2
Phương sai mẫu điều chỉnh Sˆn2 = n−1
j=1 (Xj − X ) là một ước lượng
không chệch của phương sai tổng thể σ 2

1

Dùng định nghĩa và tính chất của kỳ vọng, ta có
n−1 n
E (Sˆn2 ) = E (
.
σ2) = σ2
n n−1

2

Khi n lớn thì phương sai mẫu là ước lượng không chệch tiệm cận của
tham số σ 2 , vì
lim E (Sn2 ) = lim

n→∞

PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013)

n→∞

n−1 2
σ = σ2
n

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Ngày 12 tháng 10 năm 2013

11 / 60


Ước lượng không chệch
Giả sử X ∼ Bn (p), k là số phép thử thành công của n phép thử độc lập
Bernoulli. Khi đó,
Ví dụ 4
Tần suất mẫu fn =
1

k
n

là là một ước lượng không chệch của tham số p

Dùng định nghĩa và tính chất của kỳ vọng, ta có

E (k)
np
k
=
=p
E( ) =
n
n
n

PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013)

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Ngày 12 tháng 10 năm 2013

12 / 60


Ước lượng không chệch
Giả sử X ∼ Bn (p), k là số phép thử thành công của n phép thử độc lập
Bernoulli. Khi đó,
Ví dụ 4
Tần suất mẫu fn =
1

k
n

là là một ước lượng không chệch của tham số p

Dùng định nghĩa và tính chất của kỳ vọng, ta có
E (k)
np
k
=
=p
E( ) =
n
n
n

2

Khi n lớn thì tần suất mẫu fn ≈ p. Đây là bản chất của thống kê
(Luật yếu các số lớn)

PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013)

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Ngày 12 tháng 10 năm 2013

12 / 60