Nghiên cứu tối ưu hóa hệ thống nhiệt lạnh

TỐI ƯU HOÁ HỆ THỐNG NHIỆT - LẠNH

LÊ PHẤN DŨNG KỸ THUẬT NHIỆT - LẠNH
1/20

MỤC LỤC

TỐI ƯU HOÁ HỆ THỐNG NHIỆT - LẠNH

LÊ PHẤN DŨNG KỸ THUẬT NHIỆT - LẠNH
2/20

1. Đặt vấn đề
Bài toán tối ưu hoá ngày càng trở nên cần thiết trong mọi hoạt động của
con người và được áp dụng sâu rộng vào các nghành kinh tế, kỹ thuật, công
nghệ và các lĩnh vực xã hội… Các bài toán tuyến tính và phi tuyến đơn giản
đã có rất nhiều cách giải quyết đem lại kết quả khả quan và nhanh chóng.
Song đến các bài toán phi tuyến phức tạp, các hàm tối ưu hoá có dạng khe,
khe sâu, các phương pháp này trở nên khó khăn
để giải quyết và cho kết quả
không tin cậy. Việc tìm ra phương pháp giải cho các bài toán phi tuyến phức
tạp đã và đang được các nhà khao học hoàn thiện. Nhất là với công nghệ máy
tính hiện đại phát triển như ngày nay, là một công cụ rất hữu ích giúp đỡ cho
công việc tìm lời giải tối ưu đó. Tiểu luận sau đây trình bày phương pháp tìm
lời giải tối ưu hoá bằng phương pháp tối ưu hoá “vượt khe” c
ủa tác giả
PGS.TSKH.VS Nguyễn Văn Mạnh.
2. Khái niệm về bài toán tối ưu hoá và ý nghĩa thực tiễn
Trong những năm gần đây lĩnh vực áp dụng các phương pháp của quy
hoạch phi tuyến phát triển rất nhanh. Nếu trước đây, quy hoạch điều khiển các
đối tượng kinh tê thì hiện nay xuất hiện ngày càng nhiều các bài toán cự trị

phi tuyến trong các nghiên cứu kinh tế toán, như lập kế hoạch cho các ngành,
các hệ
thống điều khiển các xí nghiệp…
Trong quá trình lập dự án thiết kế, vận hành và điều khiển hệ thống,
người ta thường mong muốn biết được phương án tốt nhất có thể đạt trong
những điều kiện nhất định. Đó là lời giải cực tiểu (cực đại) của bài toán tối ưu
hóa, cho phép tiết kiệm tiền vốn, chi phí sản xuất, tiết ki
ệm thời gian và nâng
cao sản phẩm,…
Bài toán tối ưu hóa là bài toán tìm điểm cực tiểu (cực đại) của hàm f(x)
trong một miền D nào đó đã cho. Bài toán được phát biểu:

n
Ex
xf
∈
→ min)(
(2.1)
với các điều kiện:
g
i
(x) ≤ 0, i = 1,n (2.2)
h
j
(x) ≤ 0, j = 1,q (2.3)

n
EXx ∈∈
(2.4)
trong đó, x = {x

1
,x
2
,…,x
n
} – vectơ cần tối ưu hóa; E
n
– không gian Ơclit n
chiều; X – là hình hộp khống chế các khoảng biến; f(x) – gọi là hàm mục tiêu;
g
i
(x) – gọi là ràng buộc.
Nếu bài toán ban đầu là cực đại hóa: f(x) Æ max, thì đổi sang cực tiểu
hóa tương đương là; -f(x) Æ min. Ngoài ra, nếu gặp ràng buộc: g
i
(x) ≥ 0, thì
có thể đổi sang: -g
i
(x) ≤ 0.
TỐI ƯU HOÁ HỆ THỐNG NHIỆT - LẠNH

LÊ PHẤN DŨNG KỸ THUẬT NHIỆT - LẠNH
3/20

Tập hợp các điểm x thỏa mãn các điều kiện (2.1) – (2.3) tạo thành miền
D, gọi là miền ràng buộc hay miền lời giải cho phép kí hiệu.
D = {x
∈
X | g
i

(x) ≤ 0, i=1,n; h
j
(x) ≤ 0, j = 1,q } (2.5)
Mỗi điểm x
∈
D gọi là một lời giải chấp nhận đuợc. Điểm x
*
∈
D đạt
điểm cực tiểu của hàm mục tiêu (tức f(x
*
) ≤ f(x)
∀
x
∈
D) gọi là lời giải tối ưu,
còn f(x
*
) – giá trị tối ưu bài toán.
Việc nghiên cứu phương pháp giải các bài toán tối ưu hóa là nội dung
chính của môn tối ưu hóa hay Quy hoạch toán học và áp dụng chúng vào các
bài toán kỹ thuật Nhiệt nói riêng và kỹ thuật nói chung có một ý nghĩa thực
tiễn to lớn: như giải quyết bài toán chế độ vận hành tối ưu các tổ máy năng
lượng trong các nhà máy nhiệt điện trong điều kiện khác nhau sẽ đem lại
những l
ợi ích kinh tế to lớn, hay các bài toán về tối ưu các tham số của hệ
thống điều khiển – đây là những bài toán lớn trong thực tế.
3. Sơ lược về bài toán tối ưu hóa hàm một biến và phương pháp giải
Xét bài toán cực tiểu hóa hàm một biến f(x) trong không gian Ơclit n
chiều E

n
:

n
Ex
xf
∈
→
min)(
(3.1)
Trong đó f(x) liên tục, có thể không khả vi (không tồn tại đạo hàm tại điểm
nào đó). Phương pháp tổng quát để tìm cực trị hàm một biến là:
-Phương pháp chia đôi
-Phương pháp lát cắt vàng.
-Phương pháp xấp xỉ hàm.
-Phương pháp dây cung.
-phương pháp tiếp tuyến.
Trong đó ba phương pháp cuối yêu cầu hàm trơn và có đạo hàm liên tục,
hai phương pháp đầu yêu cầu duy nhất đối với hàm mục tiêu là không bị đứt
đ
oạn. Đây là những phương pháp kinh điển, sau đó PGS.TSKH.VS Nguyễn
Văn Mạnh đã đưa ra một phương pháp mới là phương pháp “ vượt khe” đây
là một phương pháp rất mạnh nó cũng chỉ có yêu cầu là hàm mục tiêu không
bị đứt đoạn, và hiệu quả cao đối với những hàm trơn từng khúc so với tất cả
các phương pháp đã biết. Sau đây giới thiệu một số ph
ương pháp nêu trên.
3.1. Xét phương pháp chia đôi
Chia trục x ra thành m khoảng đủ nhỏ để bắt được những khoảng chứa
điểm cực trị. Thông thường ta chia theo cấp số nhân (để mở rộng khoảng
được xét): x

i+1
= x
i
q (q>1).
Sau đó tính f(x) tại các điểm mút x
i
với giả thiết các khoảng chia đủ nhỏ
thì điểm cực tiểu sẽ nằm trong đoạn (x
k-1
, x
k
) nếu thoả mãn điều kiện
TỐI ƯU HOÁ HỆ THỐNG NHIỆT - LẠNH

LÊ PHẤN DŨNG KỸ THUẬT NHIỆT - LẠNH
4/20

f(x
k
)≤f(x
k+1
) và f(x
k
)≥f(x
k-1
). Đối với mỗi khoảng sẽ tìm điểm cực tiểu chính
xác hơn. Với khoảng đủ nhỏ có thể coi hàm trong khoảng đó là lồi. Thuật toán
được thể hiện cụ thể như sau:
Tính c:=(a+b)/2;
Các trường hợp xảy ra:

• f(a) < f(c) < f(b)
Gán b:=c Î miền [a, b] mới
• f(a) > f(c) > f(b)
Gán a:=c Î miền [a, b] mới
• f(c) < f(a) và f(c) < f(b)
d:= (a+c)/2; tính f(d)
Nếu f(c) > f(d) gán b:=c
Nếu f(c) < f(d) gán a:=d
Nếu f(c) = f(d) gán a:=d; b:=c
3.2. Phương pháp “lát cắ
t vàng”
Phương pháp này dựa trên tỉ lệ chia
khoảng tối ưu của đoạn chia tìm điểm tối ưu
tỉ lệ chia tối ưu =
618,0
2
15
=
−

a, b cho trước:
Tính [a,c] = 0,382[a,b] = γ[a,b]
[a,d] = 0,681[a,b] = (1-γ)[a,b]
Tính f(a), f(b), f(c), với c = γ(b-a)+a
Nếu: f(a) > f(c) > f(b) → a:=c;
f(a) < f(c) < f(b) → b:=c;
f(c) < f(a) và f(c) < f(b);
d:= c+γ(b-c); tính f(d);
Nếu f(c) < f(d) < f(b) → b:=d;
f(c) > f(d) → a:=c;

f(c) = f(d) → a:=c; b:=d;
Và trình tự quay lại từ đầu, nếu ta biết rằng trong [a,b] có một điểm thấp
nhất nhưng không có cực trị địa phương thì hai thuật toán trên sẽ hội tụ về
Hình 3.1
Hình 3.2
f(b
x
f
(x)
f
(a

x
*
d
c
e
f(b)
x
f
(x)
f(a)
c
x
*
d
a b
TỐI ƯU HOÁ HỆ THỐNG NHIỆT - LẠNH

LÊ PHẤN DŨNG KỸ THUẬT NHIỆT - LẠNH

5/20

điểm thấp nhất đó. Nếu có nhiều điểm cực trị địa phương thì nghiệm tối ưu sẽ
rơi vào một trong những điểm cực tiểu địa phương đó.
3.3. Phương pháp xấp xỉ bậc hai
Phương trình bậc hai: f(x) = ax
2
+ bx + c (3.2)
Nếu biết 3 điểm x
1
, x
2
, x
3
thì thay vào (3.2)
Viết lại dưới dạng:
f(x) = a
0
+ a
1
(x-x
1
) + a
2
(x-x
1
)(x-x
2
)
 f(x

1
) = a
0

f(x
2
)= a
0
+ a
1
(x
2
– x
1
)
Vậy
12
12
2
xx
ff
a
−
−
=

f(x
3
)= a
0

+ a
1
(x
3
– x
1
) +a
2
(x
3
– x
1
)(x
3
– x
2
)
Vậy
23
12
12
13
13
3
xx
xx
ff
xx
ff
a

−
−
−
−
−
−
=

f’(x) = a
1
+ a
2
(x-x
1
) + a
2
(x-x
2
) = 0
→
2
121
22 a
axx
x −
+
=

Nếu
ε

<−
31
xx
thì dừng lại
Nếu không tính
2
121
22 a
axx
x −
+
=

• Nếu x
2
≤
x
≤ x
3
thì tính f(
x
)
- Nếu f(
x
) < f(x
2
) thì bỏ x
1
, gán x
1

= x
2
, x =
x

- Nếu f(
x
) ≥ f(x
2
) thì gán x
3
=
x
rồi quay về bước đầu tiên.
• Nếu x
1
>
x
≥ x
2
thì tính f(
x
)
- Nếu f(
x
) < f(x
2
) thì bỏ x
3
, gán x

3
= x
2
, x
2
=
x

- Nếu f(
x
) ≥ f(x
2
) thì gán x
1
=
x
rồi quay về bước đầu tiên.
4. Khái quát về hàm tối ưu hóa đa biến
Hình 3.3
x
f
(x)
f
1


x
1
x
2

x
3
f
2

f
3

x

TỐI ƯU HOÁ HỆ THỐNG NHIỆT - LẠNH

LÊ PHẤN DŨNG KỸ THUẬT NHIỆT - LẠNH
6/20

Xét bài toán cực tiểu hàm nhiều biến f(X) trong không gian Euclide n
chiều E
n


n
EX
Xf
∈
→
min)(
(4.1)
với các điều kiện: g
i
(X) ≤ 0, i = 1,n

n
EX ∈

Nếu một trong những hàm f(X), g
i
(X) là phi tuyến, thì phương pháp
giải gọi là thuật toán tối ưu hóa phi tuyến. Phương pháp giải là dùng hàm
phạt chuyển bài toán về bài toán tối ưu hóa tương đương:
∑
Ψ+= )()()( XpXfXJ
i

2
|])(|)([)( XgXgX
iii
==Ψ

p>0
J(X) là hàm mục tiêu tương đương, nhưng điểm cực tiểu của nó trùng
với nghiệm bài toán ban đầu (p đủ lớn). Hầu hết các phương pháp tối ưu hóa
phi tuyến xây dựng theo nguyên tắc lặp, tức thay đổi vectơ tối ưu hóa theo
từng bước, từ điểm bắt đầu x
o
, đến điểm tối ưu x
*
. Phương trình lặp của thuật
toán tối ưu hóa lặp:
x
k+1

= x
k
+
α
k+1
s
k
, k= 0,1,..., (4.2)
x
k+1
, x
k
– điểm đầu và điểm cuối của bước lặp thứ k+1; s
k
– hướng dịch
chuyển;
α
k+1
- độ dài bước thứ k+1; x
k+1
, x
k
,s
k
∈
E
n
; E
n
– không gian Ơclit n

chiều.
Khi số bước lặp tăng dần: k=0,1,…theo phương trình (4.2) sẽ hình thành
trong không gian một quỹ đạo chuyển dịch có hình gấp khúc, bao gồm các
điểm tiến dần đến nghiệm tối ưu: x → x
1
→ …x
k
→ x
k+1
…→x
*
. Với ý nghĩa
phải tính toán xác định quỹ đạo từng bước trong không gian để đi đến điểm
tối ưu, người ta gọi đó là quỹ đạo tìm kiếm tối ưu với: x
k
– là các điểm tìm
kiếm, s
k
– các hướng tìm kiếm,
α
k+1
– các bước tìm kiếm.
Những vấn đề đáng quan tâm nhất của mỗi thuật toán tối ưu hoá phi
tuyến là tốc độ hội tụ, độ chính xác của lời giải, và phạm vi áp dụng của thuật
toán.




Quỹ đạo đi tìm điểm tối ưu của thuật toán “hạ nhanh nhất”

5. Các quy tắc xác định bước chuyển dịch
o
x
o
J
1
x
1
x
2
x
*
TI U HO H THNG NHIT - LNH

Lấ PHN DNG K THUT NHIT - LNH
7/20

Giả sử ta có bi toán cực tiểu hoá hm đa biến vô điều kiện nh sau:

n
Ex
xf

min)(
(5.1)
Trong đó, E
n
l không gian ơclít n chiều.
Các thuật toán tối u hoá lặp đợc xây dựng trên cơ sở hai khái niệm cơ
bản l hớng tìm kiếm (hớng thay đổi các biến) v qui tắc điều chỉnh độ di

bớc lặp. Qúa trình tối u hoá lặp liên tiếp từ bớc thứ k sang bớc thứ k+1
thực hiện theo quan hệ:
x
k+1
= x
k
+

k+1
s
k
, k= 0,1,..., (5.2)
trong ú: x
k+1
, x
k

E
n
im u v im cui (cũn gi l im tỡm kim)
ca bc lp th k+1; s
k


E
n
hng dch chuyn;

k+1
- di bc th

k+1.
Nếu xét một cách tổng thể về vấn đề xây dựng thuật toán tối u hoá hm
đa biến dới dạng tổng quát, thì khái niệm hớng tìm kiếm v độ di bớc
chuyển động có ý nghĩa tơng đơng trong việc đảm bảo sự hội tụ v tốc độ
hội tụ của một quá trình lặp.
Chỉ khi kết hợp một cách hợp lý giữa hớng chuyển động v nguyên tắc
xác định độ di bớc mới đảm bảo hiệu quả hội tụ thực tế cao. Có thể kết hợp
một phơng thức xác định hớng chuyển động với nhiều qui tắc điều chỉnh
bớc hoặc ngợc lại kết hợp một qui tắc điều chỉnh bớc với nhiều phơng
thức xác định hớng chuyển động, sẽ tạo ra nhiều thuật toán khác nhau.
Hiện nay số lợng những thuật toán tối u hoá đã đề xuất đạt tới con số
hng trăm, m chúng chủ yếu khác nhau về phơng thức xác định hớng tìm
kiếm. Song số lợng những qui tắc điều chỉnh bớc thì lại rất ít, không quá 6
qui tắc cơ bản.
5.1. Qui tắc điều chỉnh bớc thứ nhất
L cách đơn giản nhất l cách điều chỉnh bớc chỉ căn cứ theo điều kiện
sao cho hm mục tiêu luôn luôn giảm sau kết quả tìm kiếm trên mỗi bớc lặp
nh sau:
(x
k+1
) = J(x
k
+

k+1
s
k
) < J(x
k
), k =0,1,... (5.3)

Đây l một điều kiện quá yếu, không đủ để đảm bảo sự hội tụ v, hơn
nữa, cng không thể có tác dụng tăng tốc độ hội tụ của hầu hết các thuật toán
tối u hoá hm trơn v không trơn.
Qui tắc điều chỉnh bớc nói trên khá thô thiển nên chỉ áp dụng trong các
thuật toán đơn giản, ví dụ thuật toán tụt theo toạ độ.
Trong thuật toán đa diện biến dạng, qui tắc điều chỉnh bớc (5.3) thể
hiện một cách ẩn thông qua ba phép toán đặc biệt là phản xạ, kéo dãn và co
đa diện. Đây là những phép biến đổi hình học thuần tuý, không có mối liên hệ
TI U HO H THNG NHIT - LNH

Lấ PHN DNG K THUT NHIT - LNH
8/20

chặt chẽ với tính chất hình học của hàm cực tiểu hoá. Do vậy, việc chứng
minh sự hội tụ của thuật toán gặp nhiều khó khăn. Về mặt thực tế, nhiều
trờng hợp áp dụng cho thấy thuật toán này hội tụ khá nhanh, nhng lại có
nhiều trờng hợp thuật toán bị mắc ở khe hoặc hoàn toàn không hội tụ
5.2. Qui tắc điều chỉnh thứ hai
L chọn cố định theo điều kiện Lipchits, ví dụ:



k+1
=

, 0<

<1/L, k =0,1,..., (5.4)

trong đó L l hằng số Lipchits, l độ dốc lớn nhất của hm mục tiêu.
Qui tắc điều chỉnh bớc (5.4) thờng áp dụng đối với các thuật toán
gradien đơn giản để cực tiểu hoá các hm trơn, tuân theo phơng trình lặp
(5.2). Điều kiện (5.4) đủ để đảm bảo tính đơn điệu v sự hội tụ lý thuyết của
quá trình tối u hoá, khi hớng tìm kiếm l véctơ đối gradien của hm mục
tiêu.
Nhợc điểm thứ nhất của qui tắc điều chỉnh bớc nói trên là vấn đề hằng
số Lipchits mà trong đa số các trờng hợp thực tế là không biết trớc và
không thể xác định đợc. Nhợc điểm thứ hai, một nhợc điểm có bản của qui
tắc điều chỉnh bớc kiểu này là chỉ đảm bảo hình thành những thuật toán hội
tụ chậm
5.3. Qui tắc điều chỉnh bớc thứ ba
Dựa trên sự tận dụng triệt để khả năng giảm của hm mục tiêu trong mỗi
bớc, tức l điểm tìm kiếm đạt cực tiểu của hm mục tiêu theo hớng chuyển
dịch. Điều kiện đạt cực tiểu theo hớng viết nh sau:


).(minarg
kk
0
1k
sx


+=

+
J
, k = 0,1,... (5.5)
Độ di bớc xác định theo điều kiện (1.5) có tên gọi l bớc triệt

để.Trong các trờng hợp hm mục tiêu khe rõ rệt, với bớc chuyển dịch triệt
để, điểm tìm kiếm thờng đạt tới đúng lòng khe. Do đó có thể gọi l bớc
tới khe hay bớc khe.
Qui tắc điều chỉnh (5.5) không chỉ đảm bảo hội tụ cho các thuật toán
gradien thuần tuý đối với các hm trơn, m còn đảm bảo tốc độ hội tụ cao so
với các thuật toán gradien khác.
Khi quá trình tối u hoá xuất phát từ vị trí nằm cách xa lân cận tối u,
thì các hàm mục tiêu thờng không phải là toàn phơng và thậm chí là không
lồi, qui tắc điều chỉnh bớc triệt để không mang lại hiệu quả hội tụ cao
nhất. Đặc biệt, khi hàm cực tiểu hoá có khe cong hoặc là không trơn, bớc