Bài tập ma trận bài tập về hạng của ma trận

LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP
TOÁN CAO CẤP 2

Lời giải một số bài tập trong tài liệu này dùng để tham khảo. Có một số bài tập do một số
sinh viên giải. Khi học, sinh viên cần lựa chọn những phương pháp phù hợp và đơn giản
hơn. Chúc anh chị em sinh viên học tập tốt

1


BÀI TẬP VỀ HẠNG CỦA MA TRẬN
Bài 1:
Tính hạng của ma trận:


1) A  



2 4 3 1
1 2 1 4
0 1 1 3
1 7 4 4

0
2
1
5






h2
 h1







1 2 1 4
2 4 3 1
0 1 1 3
1 7 4 4

2
0
1
5









 





1 2 1 4 2 


0 0 1 9 4  h2 h3 

0 1 1 3 1 



0 5 3 0
3 

1 2 1 4 2 

0 1 1 3 1 
0 0 1 9 4 
0 5 3 0
3 



h2(5)h4






1 2 1 4 2 


0 1 1 3 1  h3(2)h4 


0 0 1 9 4 



0 0 2 15 8 

1 2 1 4 2 

0 1 1 3 1 
0 0 1 9 4 
0 0 0 33 0 

h1(2)h2
h1(1)h4

 r A 4

2)

2




A





0 2 4 


1 4 5 

3 1
7  h1h2
 

0 5 10 


2 3
0 




 1
h2 


 2







1 4 5 

0 2 4  h13h3 
h12h4
3 1
7  



0 5 10


2 3
0 



1 4
5 
h211h3

0

1
2  h25h4 
h25h5
0 11 22  



0
5 10


0 5 10 


1 4
5 
0
2
4 
0 11 22 
0
5 10 

0 5 10 

1 4 5 
0 1 2 
0 0 0   r A 2
0 0 0 


0 0 0 

 2 1 3 2 4  h1(-2)h2  2 1 3 2 4 


2) A   4 2 5 1 7  h1(-1)h3
  0 0 1 5 1 
 2 1 1 8 2 
 0 0 2 10 2 
 2 1 3 2 4 
h2(-2)h3 

   0 0 1 5 1   r A 2
 0 0 0 0 0 

3)


A 



1 3 5 1
2 1 5 4
5 1 1 7
7 7 9 1








 1

h3 
 6

 h12h2 
5h3 
 h1
7 h4 
 h1






1 3
5 1
0 7 15 6
0 0
1
0
0 0
4 6


1 3

5 1 
h2
2
h3




0 7 15 6  h2
2 h4 


0 14 24 12 



0 14 26 6 



 h4 4 h4 
 
 






1 3

5 1
0 7 15 6
0 0
1
0
0 0
0 6

1 3
5 1
0 7 15 6
0 0
6
0
0 0
4 6









  r A 4



3

4)


A 



3
5
1
7

1 3 2
3 2 3
3 5 0
5 1 4

5
4
7
1





h3
 h1








1
5
3
7

3 5 0 7  h15h2 
h13h3

3 2 3 4  h1
7 h4 

1 3 2 5 



5 1 4 1 



 
 




1 3 5 0 7 
h23h3

0 4 9 1 8  h24h4 


0 12 27 3 31 



0 16 36 4 48 








1 3 5 0 7 

0 4 9 1 8   r A  3

0 0 0 0 7 
0 0 0 0 0 

 1

h3   h2
2

 16 
 7   h4

h3 

1 3 5 0 7
0 4 9 1 8
0 0 0 0 7
0 0 0 0 16

1 3 5 0 7
0 12 27 3 31
0 8 18 2 16
0 16 36 4 48













5)



A






2 2 1 5 1 


1 0 4 2 1 

2 1 5 2 1  h1h2
 


1 2 2 6 1


3 1 8 1 1 



1 2 3 7 2 

1 0 4 2 1 


2 2 1 5 1 
2 1 5 2 1 
1 2 2 6 1 

3 1 8 1 1 
1 2 3 7 2 



h1(2)h2

h1(2)h3
h1h4
h1(3)h5



h1(1)h6





1 0 4 2 1 


0 2 7 9 3 

0 1 3 2 1  h2h3

 


0 2 6 8 2


0 1 4 5 2 



0 2 7 9 3 




h2(2)h3
h2(2)h4
h2h5
 

h2(2)h6




1
0
0
0
0

0

0 4 2 1
1 3 2 1
0 1 3 1
0 0 4 0
0 1 3 1
0 1 3 1







h3h5
 

 h3(1)h6 







1 0 4 2 1 

0 1 3 2 1 
0 2 7 9 3 

0 2 6 8 2 

0 1 4 5 2 
0 2 7 9 3 
1
0
0
0
0
0

0 4 2 1 

1 3 2 1 
0 1 3 1   r A  4

0 0 4 0 

0 0 0 0 
0 0 0 0 
4


6)



A






1 1 2 3
4 
2 1 1 2
0  h1( 2)h2 
1 2 1 1
3  h1h3


h1(1)h4
h1(3)h5


1 5 8 5 12


3 7 8 9 13 





h2h3
 




1 1 2
3
4 
0 3 5 4 8 
0 1
1
3
7 
0 6 10 8 16 

0 4 2
0
1 


1 1 2
3
4 
0 1
1
3
7  h2( 3)h3 
6)h4
0 3 5 4 8  h2(


h2( 4)h5


0 6 10 8 16



0 4 2
0
1 




h3( 1)h4

h3h5







1 1 2
3
4 


0 1 1
3
7 

0 0 8 13 29  h5(4)h3




0 0 0
0
0 


0 0 2 1
0 





h5h4h3
 




1 1 2 3
4 

0 1 1 3
7 
0 0 2 1 0   r( A)  4
0 0 0 9 29 

0 0 0 0
0 

1 1 2
3
4 
0 1
1
3
7 
0 0 8 13 29 
0 0 16 26 58 

0 0
6
12 29 
1 1 2
3
4 

0 1 1
3
7 
0 0 0 9 29 
0 0 0 0
0 

0 0 2 1 0 

5

7)


A




3 2 7 8 


1 0
5 8  h1h2
 
4 2 2 0 



1 0
3 7 



h2(1)h3





1

0
0
0

0 5 8
2 22 32
0 0
0
0 8
1


1 0
5 8 
 h1(3)h2 
3 2 7 8  h1(4)h3


h1h4
4 2 2 0 



1 0
3 7 






 h3h4
 





1
0
0
0

1 0
5
8 

0 2 22 32 
0 2 22 32 
0 0
8
1 

0 5 8 

2 22 32   r( A)  3
0 8
1 
0 0
0 

8)


A



 1


1 3 3 4 
 h1( 4)h2 
4 7 2 1  h1( 3)h3 
h1(2)h4


3 5 1 0 


2 3 0
1 



h2h3
h2h4





1
0
0
0

3
1
0
0

h2 

 5
1 3 3 4 
 h3 1  
0 5 10 15 
 4


 1
0 4 8 12  h4 3 

0 3 6 9 

1 3 3 4 

0 1 2 3 
0 1 2 3 
0 1 2 3 

3 4 

2 3 
 r( A)  2
0 0 
0 0 

9)


A



1
7
17
3

3
1
1
4




h2(1)h3



h2( 1)h4




1 6 
 h1( 7)h2 
3 10  h1(
17)h3


h1( 3)h4
7 22 



2 10 


1 3 1 6 
 1
 h2  
0 20 4 32  
 4

 1
0 50 10 80  h3 10  

0 5 1 8 

1 3 1 6 

0 5 1 8 
0 5 1 8 
0 5 1 8 

1 3 1 6 

0 5 1 8   r( A)  2
0 0 0 0 
0 0 0 0 

6


10)


A



0 1 10 3
2 0 4 1
16 4 52 9
8 1 6 7




h24 h3

 

h2h4







 h1h2
 





2 0 4 1
0 1 10 3
16 4 52 9
8 1 6 7



 h1 8 h3 
 
 h1
4 h4  






2 0
4 1 

0 1 10
3 
0 4 20 17 
0 1 10 3 

0 4 1 

1 10 3   r( A)  3
0 20 5 
0 0
0 

2
0
0
0

Bài 2:
Biện luận theo tham số  hạng của các ma trận:


1) A  





1 1 4 


4 10 1  h2  h4 

7 17 3 



2 4 1 

3

1
2



h2
h1





1

4
3
1



h2  h3
 



1 2
4
2
0 1
5
5
0 7 15 5
0 2
6 2







 1
 5   h4

h3

2 4 2
1 1 3
7 17 1
4 10 

1
0
0
0

3
2
1


 h14 h2 
3h3 
 h1
1h4 
 h1







1 1 4 



2 4 1  c1 c4 


7 17 3 


4 10 1 

1 2
4
2
0 7 15 5
0 1
5
5
0 2
6 2



7 h3
 h2

2 h4 
 h2








1
0
0
0

4
1
3
1

1 1 3 

2 4 2 
7 17 1 
4 10  







2 4
2
1 5
5

0 20 40
0 4   8







2 4
2 
1 5 5 
0 20 40 
0 0
 

Vậy :
-

Nếu  = 0 thì r(A) = 3
7


-

Nếu   0 thì r(A) = 4



2) A  




3

1
2


1 1 4 


4 10 1  h2  h4 

7 17 3 


2 4 3 



c2
c1





1
2

7
4



 



h25h3
h23h4

4 1 3
3 4 2
3 17 1
1 10 

3
2
1



1 1 4 


2 4 3  c1 c4 


7 17 3 



4 10 1 

 h12 h2 
7 h3 
 h1
4 h4 
 h1







1 4 1 3 


0 5 2 4  h3 h4 
 
0 0 0 0 



0 0 0  

4
3
3

1

1 4
1
3
0 5 2
4
0 25 10 20
0 15 6   12

1 1 3 

2 4 2 
7 17 1 
4 10  







1 4 1 3 

0 5 2 4 
0 0 0  
0 0 0 0 

Vậy:
-

Nếu  = 0 thì r(A) = 2

-

Nếu   0 thì r(A) = 3



3) A  




4 1 3 3 


0 6 10 2  C2 C4 

1 4 7 2 



6  8 2 

4
0
1
6

3 3 1
2 10 6
2 7 4
2 8 





h3
 h1







1
0
4
6

2 7
2 10
3 3
2 8

4
6

1








8









1 2
7
4
0 2
10
6
0 5 25 15
0 10 50   24









1
0
0
0

h14h3
h16h4

h25h3
h210 h4

2
1
0
0

7
4
5
3
0
0
0 6




 1
 h2 2  
 










h4
 h3







1 2
7
4
0 1
5
3
0 5 25 15

0 10 50   24

1 2 7
4
0 1 5 3
0 0 0  6
0 0 0
0













Vậy:



4) A  



-

Khi   6  0    6 thì r(A) = 2

-

Khi   6  0    6 thì r(A) = 3

3
0
1
3


9 14 1 


6 10 2  C2 C4 

4 7 2 



 1 2 



 




h13h3
h13h4



 



h27 h3
h24h4

3
0
1
3

1 2
7
4
0 2 10
6
0 7
35
21
0 4 20   12

1
0
0

0

2
1
0
0

1 14 9
2 10 6
2 7 4
2 1 


 1
h2

 2  
 







7 4 


5 3  h3 h4 
 

0 0 


0  

1
0
0
0





h3
 h1







1
0
3
3

2 7 4 


2 10 6 
1 14 9 
2 1  

1 2
7
4
0 1
5
3
0 7
35
21
0 4 20   12

2
1
0
0







7 4 

5 3 
0  

0 0 

Vậy :
-

Nếu  = 0 thì r(A) = 2

-

Nếu   0 thì r(A) = 3

9