Bài tập toán cao cấp 2 bài tập ma trận giải và biện luận theo tham số

LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP
TOÁN CAO CẤP 2

Lời giải một số bài tập trong tài liệu này dùng để tham khảo. Có một số bài tập do một số
sinh viên giải. Khi học, sinh viên cần lựa chọn những phương pháp phù hợp và đơn giản
hơn. Chúc anh chị em sinh viên học tập tốt

BÀI TẬP GIẢI VÀ BIỆN LUẬN THEO THAM SỐ
Bài 1:Giải và biện luận:
3x1  2 x2  5 x3  4 x4  3
2 x  3 x  6 x  8 x  5
 1
2
3
4

 x1  6 x2  9 x3  20 x4  11
4 x1  x2  4 x3   x4  2

Giải:


4
3 
3 2 5
 1 6 9 20 11
2 3 6

8
5  h1 h 3  2 3 6
8

5 

A
B



   1 6 9 20 11
3 2 5
4
3 





2 

2 
4 1 4
4 1 4
1
0
h1( 2)  h 2
h1( 3)  h 3


h1( 4)  h 4
0


0

6 9
15 24
20 32

20
48
64

11
 1 6 9 20 11

1
27  h 2 3   0 5 8
16
9 


36  h 3 14   0 5 8
16
9 



25 40   80 46 
 0 25 40   80 46 

 1 6 9 20 11
 1 6 9 20 11

 0 5 8 16

9  h 3 h 4  0 5 8 16
9 
h 2( 1)  h 3




h 2( 5)  h 4
0 0 0
0 0 0
0
0 

1 





1 
0
0 
0 0 0
0 0 0
 x1  6 x2  9 x3  20 x4  11

(1)  
5 x2  8 x3  16 x4  9 (2)


 x4  1

1   3 t  4

 x1   5 


 x   1  9  8t  16
1) Khi   0 : (2)   2
5

t  R 
 x3  t

x  1
 4 
1x1  6 x2  9 x3  20 x4  11

2) Khi  0 : (3)  15 x2  24 x3  48 x4  27
: heävoânghieä
m
0  1



Bài 2:
Cho hệ phương trình:
2 x1  x2  3x3  4 x4  5
4 x  2 x  5 x  6 x  7

 1
2
3
4

6 x1  3 x2  7 x3  8 x4  9
mx1  4 x2  9 x3  10 x4  11

a) Tìm m với hệ phương trình có nghiệm
b) Giải hệ phương trình khi m = 10
Giải:
a) Ta có:
2

4
 A B    6

m

1 3
2 5

4 5
 1 4


6 7  c1c 4 c1  2 6

 3 8
3 7 8 9 



4 9 10 11
 4 10

2 5

4 7
7 6 9

9 m 11
3
5

 1 4 3
4 5
 1 4 3
4 5




h1( 2)  h 2
0 2 1
0 3  h 2( 2) h3  0 2 1
0 3 
h1( 3)  h 3





h1( 4)  h 4
 0 4 2
0 6  h 2( 3) h 4  0 0 0
0 0




 0 6 3 m  8 9 
 0 0 0 m 8 0 
 1 4 3
4 5


0 2 1
0 3 
h 3 h 4


 0 0 0 m8 0 


0 0 
0 0 0

Ta thấy: m  R : r  A B   r  A  4 . Suy ra hệ có nghiệm với mỗi giá trị cuả m
b) Giải hệ khi m = 10:
Biến đổi số cấp trên hàng ta có:

3 4 5
4
5 
 2 1 3


5 6 7
0 1 6 10 14 
 ...  
 0 0 2 4 6 
7 8 9



9 10 11
0
0 
0 0 0
 x1  0
2 x1  x2  3x3  4 x4  5 

 x  4  2t
(1)   x2  6 x3  10 x4  14   2
t  R 
2 x  4 x  6
 x3  3  2t
3
4


 x4  t

2
4
A
/
B


 
6

10

1
2
3
4

Bài 3
Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số  :
   1 x1  x2  x3  1

 x1     1 x2  x3  

2
 x1  x2     1 x3  

Giải:
Ta có

 1 1
1
D 1
 1 1
1
1
 1
1 1
h1( 1)  h 2
h1( 1)  h 3

1
Dx1  

2

h 3 h 2  h1

 3  3  3
1 1
1
1
 1
1     3 1   1 1
1
1
 1
1 1
 1

1

 0     3  2
0 0 

   3 0
1

1

 1 1
1
 1

h1(   )  h 2
h1(   2 )  h 3

1

1

1

0

1

1 

0 1  2

 2    1

 1

1
1 2

1 
 2    1

  2    1  1   2  1      2    1  1     2   3   3  2    2   2 


 1 1
Dx2  1

1
2
h1( 1)  h 2
h1(  (  1))  h 3

1
1
 1

1
1
 1


 1  2

c1 c 3

 1
1
1

1
1
 1
 1

0
 1

 1  2
    1  2  2
2
2
0     1    2

     1   2  2     2    1         3  2 2   2  2   3   2   
 2 2      2  1

 1 1
1
Dx3  1
 1 
1

1
2
h1(  (  1))  h 2
h1( 1)  h 3



1
 1
  1
1

c1 c 2

1

1

1


2

1
1
1
  2  2
2
 0    2
1  1


0

 2 1

1
 2 1

 2
1
1
 2 1

     2    2  1  1     3  2 2    1

Ta thấy:
   3
Khi đó hệ có nghiệm duy nhất:
  0

(1) D     3   2  0  

2

Dx1   2   
2  2
 x1 


D    3  2    3 



Dx2   2  1
2  1



 x2 
2
D
   3     3 


Dx
 3  2 2    1
 x3  3 
D
   3 


(2) Nếu   3 thì Dx  3(2  9)  21  0 : Hệ vô nghiệm
1

(3) Nếu   0 thì hệ trở thành:


 x1  x2  x3  1

 x1  x2  x3  0
x  x  x  0

 1 2 3

Hệ vô nghiệm

Bài 4
Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số  :
5 x1  3 x2  2 x3  4 x4  3
4 x  2 x  3 x  7 x  1
 1
2
3
4

8 x1  6 x2  x3  5 x4  9
7 x1  3 x2  7 x3  17 x4  

Giải
5
4
 A B    8

7

3 2 4 3 
1

2 3 7 1  h 2( 1) h1  4


2)  h 3

0
6 1 5 9  hh 2(
2( 1)  h 4


3 7 17  
3

1 1 3
2 3
7
2 7 19

2
1
7






1 4 10   1
2 
 1 1 1 3
 1 1 1 3 2 
 0 2 7 19

 0 2 7 19 7 
7 

h1( 4)  h 2
h 2 h3








h1( 3)  h 4
h 2( 1)  h 4
 0 2 7 19


7
0 0 0 0 0




 0 2 7 19   7 
0 0 0 0  
 1 1 1 3 2 
 0 2 7 19 7 
h 4h3

 
0 0 0 0  



0 0 0 0 0 

Hệ phương trình tương đồng với hệ:


x3  3x4  2
 x1  x2 

2 x2  7 x3  19 x4  7


0



Ta thấy:
(1) Khi   0 thì hệ vô nghiệm
(2) Khi   0 thì hệ trở thành:
(1)
 x1  x2  x3  3 x4  2

2 x2  7 x3  19 x4  7 (2)

7
19
(2) : x2   x3  x4  7
2
2
7

19
5
13
(1)  x1  x3  x4  7  x3  3 x4  2  x1   x3  x4  5
2
2
2
2

Vậy nghiệm của hệ khi đó là:
5
13

 x1   2 x3  2 x4  5

7
19

 x2   x3  x4  7
2
2

y yù
 x3 , x4 tuø



Bài 5
Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số 
3x1  2 x2  5 x3  4 x4  3

2 x  3 x  6 x  8 x  5
 1
2
3
4

 x1  6 x2  9 x3  20 x4  11
4 x1  x2  4 x3   x4  2


Giải
Ta có:
3 2 5
4

2 3 6
8
 A B    1 6 9 20

4

4 1
1

h1( 2)  h 2
h1( 3)  h 3
0


h1( 4)  h 4

0

0

3 
 1 6 9 20 11



5  h 3 h1  2 3 6
8 5 

3 2 5
11
4 3 



2 
4
 2 
4 1

6 9
15 24

20 11
 1 6 9 20 11 
 h 3 1  h 2 


48 27 
0 5 8
16
9 
 
4


 0 15 24
20 32
64 36 
48 27 



25 40   80 46 
 0 25 40   80 46 

 1 6 9 20 11
 1 6 9 20 11




0 5 8 16 9  h3 h 4  0 5 8 16 9 
h 2( 3)  h 3





h 2( 5)  h 4
0 0 0
0 0 0
0 0 
 1 




 1 
0 0 
0 0 0
0 0 0

Khi đó:
(1) Nếu   0 thì r  A B   r  A   3  4 : hệ có vô số nghiệm (tìm nghiệm như bài trên)
(2) Nếu   0 thì :
r  A B   3
  r  A B   r  A  : hệ vô nghiệm
r  A  2 

Baøi 6
Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số 
   1 x1  x2  x3   2  3

3
2
 x1     1 x2  x3    3

4

3
 x1  x2     1 x3    3


Giải
Ta có:
 1 1
1
D 1
 1 1
1
1
 1
1 1
   3 0 

h1( 1)  h 2
h1( 1)  h 3

 3  3  3
1
1
1
1
 1
1     3 1   1
1
1
1
 1

1
1
 1

h 3 h 2  h1

1
0     3  2

0 0 

 2  3
1
1
    3
1
1
1
3
2
2
Dx1    3   1
1      3   1
1      3 
4
3
3
  3
1
  1     3

1
 1
2
h1(   )  h 2
2

h1(   )  h 3

1
    3 0

1
1

0 1  2

1
1 

     3 1

 2    1

1
1 2

1
 1

1

1

1

 1

1 
 2    1

     3    2    1  1   2  1          3   2    1  1     2   3 
     3    3  2    2    3  2   2 

  1  2  3
1
  1     3
1
 1 1
1
3
2
2
Dx2  1
  3
1  1
    3
1      3 1

1
1
 4  3 3   1

1
 3    3   1
1
2  1
1
c1 c 3

    3  1

     3   1

1


 1 2

 1
1
1

 1
    3  0
 1

2
0     1   2  2
1

h1( 1)  h 2
h1(  (  1))  h 3

 1

    1   2  2
2

     3    1   2  2     2    1    
     3    3  2 2   2  2   3   2   
     3  2 2      2    3 2  1

1


 1 1
 2  3
 1 1
    3
 1 1
1
3
2
2
Dx3  1
  1   3  1
  1     3      3 1
 1 
1
1
 4  3 3
1

1
 3    3
1
1
2
c1 c 2

1
 1 1
    3    1 1

1
1
2

  2  2
     3   1


h1(  (  1))  h 2
h1( 1)  h 3

1
1
1
    3 0   2  2
1
0

 2 1

 2
1
1
  2    3
2
1
 2 1
 1

  2    3    2    2  1  1   2    3   3  2 2    1

Ta thấy:
  0
 D  0 . Suy ra hệ có nghiệm duy nhất:
  3

(1) Khi: 

2
2

Dx1     3  2   
 x1 

 2  2
2
D
   3 



2
Dx2     3 2  1


 2  1
 x2 
D
   3  2


2
3
2
 x  Dx3     3     2    1   3  2 2    1
 3
D
   3  2


  0
(2) Khi 
 D  0 và Dx  Dx  Dx  0 suy ra hệ có vô số nghiệm
   3
1

2

3