Bài giảng trường điện từ chương 1 giải tích vector

CHƯƠNG 1: GIẢI TÍCH VECTOR
1. Các hệ toạ độ
2. Các yếu tố vi phân
3. Phép tính vector
4. Tích phân
5. Các toán tử

7:43 AM

Chương 1

1

Các hệ toạ độ
 Hệ toạ độ Descartes
z
z

O

y

y

x
x

7:43 AM

Chương 1

2

1


Các hệ toạ độ
 Hệ toạ độ trụ
r,,z
rP,P,zP



P

7:43 AM

Chương 1

3

Chương 1

4

Các hệ toạ độ
 Hệ toạ độ cầu



7:43 AM

2


Các hệ toạ độ
 Liên hệ giữa các hệ toạ độ
Descartes
Descartes
(x,y,z)

Trụ

Cầu

x = rcos
y = rsin
z=z

x = rsincos
y = rsinsin
z = rcos
r = rsin
=
z = rcos

Trụ
(r,,z)
z=z
Cầu
(r,,)

=
7:43 AM

Chương 1

5

Các hệ toạ độ
 Liên hệ giữa các hệ toạ độ
Toạ độ

Vector đơn
vị

Hệ số Larmor

u1

u2

u3

h1

h2

h3

Descartes
(x,y,z)

-< x <

-< y <

-< z <

1

1

1

Trụ
(r,,z)

0 r <

0  <2

-< z <

1

r

1

Cầu
(r,,)

0 r <

0  <

0  <2

1

r

rsin

7:43 AM

Chương 1

6

3


Các yếu tố vi phân
 Hệ toạ độ Descartes

7:43 AM

Chương 1

7

Các yếu tố vi phân
 Hệ toạ độ trụ
rdrd



7:43 AM

Chương 1

8

4


Các yếu tố vi phân
 Hệ toạ độ cầu

rsind


7:43 AM

Chương 1

9

Các yếu tố vi phân
Tìm khối lượng của vật thể hình cầu bán kính a, tâm tại gốc toạ độ có mật độ khối lượng

(r,,) = 0/r.

m = 20a2

Tìm tích phân

với V là nửa trên hình cầu bán kính R.

Áp dụng: r: 0 – R, : 0 - 2, : 0 - /2
x = rsincos
7:43 AM
Chương 1
y = rsinsin

10

5


Phép tính vector
 Biểu diễn vector

 Tích vơ hướng
.

 Tích có hướng

7:43 AM

Chương 1

11

Phép tính vector
 Đạo hàm vector

lim

∆ →

2

∆ , ,
∆

, ,

4

7:43 AM

Chương 1

12

6


Tích phân
 Tích phân đường

.

C là đường cong kín:

. cos

: lưu số của

 Tích phân mặt
.

theo C

S là mặt kín:
: vector pháp tuyến
đơn vị của mặt S

. cos

 Tích phân thể tích
: mật độ khối
7:43 AM

Chương 1

13

Các tốn tử
 Nabla

 Gradient
 Tác dụng lên hàm vô hướng, kết quả là vector
 Độ lớn bằng tốc độ tăng cực đại
 Hướng là hướng có tốc độ tăng cực đại (vng góc với mặt V
= const đi qua điểm đang xét)
1
7:43 AM

1

1
Chương 1

14

7


Các toán tử
 Gradient
 Descartes

 Trụ
1
 Cầu
1

1

7:43 AM

Chương 1

15

Các toán tử
 Gradient
Tìm vector đơn vị vng góc với mặt r 2cos(2) = 1 tại điểm

2, , 0 trong hệ toạ độ trụ.

Hướng vng góc với mặt V = const là gradV  cần tính gradV với V = r 2cos(2)

1
Tại điểm

2

2

2

2 2

2

2

2, , 0
2 2

Vector đơn vị:
7:43 AM

2

6
2

6
8

2

6

1
2

Chương 1

6

3
16

8


Các toán tử

 Divergence
 Tác dụng lên hàm vector, kết quả là vô hướng
 Đặc trưng cho cường độ của nguồn
1

 Descartes

7:43 AM

Chương 1

17

Các toán tử
 Divergence
 Định lý Divergence (định lý Gauss – Ostrograsky)

S: mặt kín bất kỳ bao quanh thể tích V

7:43 AM

Chương 1

18

9


Các toán tử
 Rotation (curl)

 Tác dụng lên hàm vector, kết quả là vector
 Đặc trưng cho tính chất xốy của vector

1

7:43 AM

Chương 1

19

Các toán tử
 Rotation (curl)
 Descartes

 Định lý Stokes
C: đường cong kín bất kỳ bao
quanh diện tích S
7:43 AM

Chương 1

20

10


Các tốn tử
 Laplace
 Tác dụng lên hàm vơ hướng, kết quả là vô hướng

f = div(gradf) = ..f = 2f
1

∆

 Tác dụng lên hàm vector, kết quả là vector
∆

.

.

7:43 AM

Chương 1

21

Các biểu thức cơ bản
1. (f + g) = f + g
.
.
2.
.
3.
4. (fg) = gf + fg
5.
.
6.
7.

.
8.
9.
.
10. .
11. .

7:43 AM

.





.
.

.
0
0

.

Chương 1

.
.

.

22

11


Tính:
1. .

2
2

2.
3.

3

4. gradV

2
2

1

5.
6.
7. ∆
8. ∆
9.

1

10. gradU
7:43 AM

Chương 1

23

12