Bài giảng đại số tuyến tính chương 4 lê xuân đại
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (585.1 KB, 53 trang )
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
TP. HCM — 2011.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
1 / 33
Số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau= n.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
2 / 33
Số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau= n.
∀ tập có số véctơ lớn hơn n
đều PTTT
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
1 tập ĐLTT thì số véctơ
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
n
2 / 33
Số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau= n.
∀ tập có số véctơ lớn hơn n
đều PTTT
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
1 tập ĐLTT thì số véctơ
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
n
2 / 33
Số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau= n.
∀ tập có số véctơ lớn hơn n
đều PTTT
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
1 tập ĐLTT thì số véctơ
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
n
2 / 33
Số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau= n.
∀ tập có số véctơ lớn hơn n
đều PTTT
1 tập ĐLTT thì số véctơ
n
∀ tập có số véctơ nhỏ hơn n
đều không là tập sinh của E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
2 / 33
Số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau= n.
∀ tập có số véctơ lớn hơn n
đều PTTT
∀ tập có số véctơ nhỏ hơn n
đều không là tập sinh của E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
1 tập ĐLTT thì số véctơ
n
1 tập là tập sinh của E thì
số véctơ n.
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
2 / 33
Số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau= n.
∀ tập có số véctơ lớn hơn n
đều PTTT
∀ tập có số véctơ nhỏ hơn n
đều không là tập sinh của E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
1 tập ĐLTT thì số véctơ
n
1 tập là tập sinh của E thì
số véctơ n.
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
2 / 33
1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
3 / 33
1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E .
1 tập gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
3 / 33
1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E .
1 tập gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
3 / 33
1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E .
1 tập gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
3 / 33
1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E .
1 tập gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E .
M = {x1 , x2 , . . . , xk } (k n) ĐLTT, x không là THTT
của k véctơ của M khi đó M ∪ {x} ĐLTT
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
3 / 33
1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E .
1 tập gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E .
M = {x1 , x2 , . . . , xk } (k n) ĐLTT, x không là THTT
của k véctơ của M khi đó M ∪ {x} ĐLTT
Nếu M = {x1 , x2 , . . . , xm } (m n) là tập sinh của E , xi
là THTT của những véctơ còn lại của M thì khi bỏ xi ta
được M = M\{xi } là tập sinh của E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
3 / 33
Tổng và giao không gian con
Giao của các không gian con
Định nghĩa
Giả sử E là một K -kgv; (Fi )i∈I là một họ các
không gian véctơ con của E , thế thì
F = Fi = {x ∈ E \x ∈ Fi , ∀i} được gọi là giao
i∈I
của các không gian con Fi .
Định lý
Giao của các không gian con Fi
Fi là một
i∈I
không gian véctơ con của E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
4 / 33
Tổng và giao không gian con
Tổng của 2 không gian véctơ con
Định nghĩa
Giả sử E là một K −kgv, F1, F2 là 2 không gian
véctơ con của E . Ta ký hiệu F = F1 + F2 = {x ∈
E , ∃(x1, x2) ∈ F1 × F2, x = x1 + x2} được gọi là
tổng của F1 và F2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
5 / 33
Tổng và giao không gian con
Tổng của 2 không gian véctơ con
Định nghĩa
Giả sử E là một K −kgv, F1, F2 là 2 không gian
véctơ con của E . Ta ký hiệu F = F1 + F2 = {x ∈
E , ∃(x1, x2) ∈ F1 × F2, x = x1 + x2} được gọi là
tổng của F1 và F2.
Định lý
Tổng F = F1 + F2 là một không gian véctơ con
của E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
5 / 33
Tổng và giao không gian con
Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con
Định nghĩa
Giả sử E là một K -kgv, F1, F2 là 2 không gian
véctơ con của E . Ta nói rằng, F1, F2 có tổng trực
tiếp khi và chỉ khi F1 F2 = {0}. Khi đó ta ký
hiệu F1 ⊕ F2 là tổng trực tiếp của F1, F2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
6 / 33
Tổng và giao không gian con
Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con
Định nghĩa
Giả sử E là một K -kgv, F1, F2 là 2 không gian
véctơ con của E . Ta nói rằng, F1, F2 có tổng trực
tiếp khi và chỉ khi F1 F2 = {0}. Khi đó ta ký
hiệu F1 ⊕ F2 là tổng trực tiếp của F1, F2.
Ví dụ
K = R, E = R3, các không gian véctơ con
F1 = R × {0} × {0}, F2 = {0} × R × {0} có
F1 F2 = {0} và F1 ⊕ F2 = R × R × {0}
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
6 / 33
Tổng và giao không gian con
Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con
Định lý
Để 2 không gian véctơ con F1, F2 của K -kgv E có
tổng trực tiếp thì điều kiện cần và đủ là mọi phần
tử của F1 + F2 được phân tích một cách duy nhất
thành tổng của một phần tử của F1 và một phần
tử của F2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
7 / 33
Tổng và giao không gian con
Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con
Định nghĩa
Hai không gian véctơ con F1, F2 của K -kgv E
được gọi là bù nhau trong E
⇔
F1 + F2 = E
⇔ F1 ⊕ F2 = E .
F1 F2 = {0}
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
8 / 33
Tổng và giao không gian con
Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con
Định nghĩa
Hai không gian véctơ con F1, F2 của K -kgv E
được gọi là bù nhau trong E
⇔
F1 + F2 = E
⇔ F1 ⊕ F2 = E .
F1 F2 = {0}
Ví dụ
K = R, E = R2, các không gian véctơ con
F1 = R × {0}, F2 = {0} × R có F1 F2 = {0}
và F1 ⊕ F2 = R × R = R2 = E
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
8 / 33
Tổng và giao không gian con
Phần bù của không gian con
Định lý
Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều,
dim(E ) = n, F là một không gian véctơ con của
E , dim(F ) = p(p n). Khi đó
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
9 / 33
Tổng và giao không gian con
Phần bù của không gian con
Định lý
Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều,
dim(E ) = n, F là một không gian véctơ con của
E , dim(F ) = p(p n). Khi đó
F có ít nhất một phần bù trong E
1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
9 / 33
Tổng và giao không gian con
Phần bù của không gian con
Định lý
Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều,
dim(E ) = n, F là một không gian véctơ con của
E , dim(F ) = p(p n). Khi đó
F có ít nhất một phần bù trong E
Mọi phần bù của F trong E đều có số chiều là
n − p.
1
2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
9 / 33
