Bài giảng đại số tuyến tính chương 5 lê xuân đại

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

TP. HCM — 2011.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

1 / 57


Khái niệm tổng quát

Ánh xạ

Định nghĩa
Cho 2 tập hợp tùy ý X , Y = ∅. Ánh xạ f giữa 2
tập X , Y là 1 quy tắc sao cho với mỗi x ∈ X tồn
tại duy nhất y ∈ Y sao cho y = f (x).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

2 / 57


Khái niệm tổng quát

Ánh xạ

Định nghĩa
Cho 2 tập hợp tùy ý X , Y = ∅. Ánh xạ f giữa 2
tập X , Y là 1 quy tắc sao cho với mỗi x ∈ X tồn
tại duy nhất y ∈ Y sao cho y = f (x).
Định nghĩa
Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu từ x1 = x2
⇒ f (x1) = f (x2). Ánh xạ f được gọi là toàn ánh
nếu ∀y ∈ Y , ∃x ∈ X : y = f (x). Ánh xạ f được
gọi là song ánh nếu f là đơn ánh và toàn ánh.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

2 / 57


Khái niệm tổng quát

Ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa

Cho E và F là 2 K -kgv. Một ánh xạ f : E → F
được gọi là tuyến tính (hay một đồng cấu)
nếu và chỉ nếu
f (x + y ) = f (x) + f (y ), ∀x, y ∈ E
f (λx) = λf (x), ∀λ ∈ K , ∀x ∈ E .
Ta ký hiệu tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ E vào
F là L(E , F ).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

3 / 57


Khái niệm tổng quát

Ví dụ

Ví dụ
Ánh xạ f : R2 → R3 cho bởi ∀x = (x1, x2),
f (x) = (3x1 − x2, x1, x1 + x2) là ánh xạ tuyến tính.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

4 / 57


Khái niệm tổng quát

Ví dụ

Ví dụ
Ánh xạ f : R2 → R3 cho bởi ∀x = (x1, x2),
f (x) = (3x1 − x2, x1, x1 + x2) là ánh xạ tuyến tính.
∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2,
f(x+y) = (3(x1 + y1) − (x2 + y2),
x1 + y1, (x1 + y1) + (x2 + y2)) =
(3x1 − x2, x1, x1 + x2) + (3y1 − y2, y1, y1 + y2) =
f(x)+f(y).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

4 / 57


Khái niệm tổng quát

Ví dụ

∀λ ∈ K , ∀x ∈ R2,
f (λx) = (3λx1 − λx2, λx1, λx1 + λx2)

= λ(3x1 − x2, x1, x1 + x2) = λf (x)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

5 / 57


Khái niệm tổng quát

Ví dụ

∀λ ∈ K , ∀x ∈ R2,
f (λx) = (3λx1 − λx2, λx1, λx1 + λx2)
= λ(3x1 − x2, x1, x1 + x2) = λf (x)
Ví dụ
Ánh xạ f : R2 → R2 cho bởi ∀x = (x1, x2),
f (x) = (2x12 − x2, x2) không là ánh xạ tuyến tính.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

5 / 57

Khái niệm tổng quát

Ví dụ

∀λ ∈ K , ∀x ∈ R2,
f (λx) = (3λx1 − λx2, λx1, λx1 + λx2)
= λ(3x1 − x2, x1, x1 + x2) = λf (x)
Ví dụ
Ánh xạ f : R2 → R2 cho bởi ∀x = (x1, x2),
f (x) = (2x12 − x2, x2) không là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy, f (λx) = (2(λx1)2 − λx2, λx2) =
(2λ2x12 − λx2, λx2) = λ(2x12 − x2, x2), nếu λ = 1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

5 / 57


Khái niệm tổng quát

Ví dụ

Định nghĩa
Cho E là một K -kgv. Một ánh xạ f : E → E được
gọi là tự đồng cấu của E nếu và chỉ nếu f là
ánh xạ tuyến tính.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

6 / 57


Khái niệm tổng quát

Hạt nhân và ảnh

Định nghĩa
Cho 2 K -kgv E và F , f ∈ L(E , F ), khi đó
Ker (f ) = {x ∈ E \f (x) = 0} = f −1(0) là hạt
nhân của ánh xạ f .
Im(f ) = {y ∈ F \∃x ∈ E , y = f (x)} = f (E )
là ảnh của ánh xạ f .
1

2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

7 / 57


Khái niệm tổng quát

Hạt nhân và ảnh

Định nghĩa
Cho 2 K -kgv E và F , f ∈ L(E , F ), khi đó
Ker (f ) = {x ∈ E \f (x) = 0} = f −1(0) là hạt
nhân của ánh xạ f .
Im(f ) = {y ∈ F \∃x ∈ E , y = f (x)} = f (E )
là ảnh của ánh xạ f .
1

2

Định lý
Cho 2 K -kgv E và F , f ∈ L(E , F ), khi đó
Im(f ) là không gian véctơ con của F
Ker (f ) là không gian véctơ con của E
1

2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

7 / 57


Khái niệm tổng quát

Hạt nhân và ảnh

Định nghĩa
Ta gọi dim(Im(f )) là hạng của ánh xạ f , ký hiệu
rank(f ) và dim(Ker (f )) là số khuyết của f .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

8 / 57


Khái niệm tổng quát

Ví dụ

Ví dụ
Cho f : P2(x) → R xác định bởi
1

f (p(x)) =

p(x)dx.
0

1

2

Tìm Ker (f )
Tìm dim(Ker (f ))

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

9 / 57


Khái niệm tổng quát

1

Ví dụ

p(x) = ax 2 + bx + c ∈ P2(x)
1

⇒ f (p(x)) = (ax 2 + bx + c)dx

0

= + + c = 0 ⇒ c = − 3a − b2 . Vậy
Ker (f ) = {ax 2 + bx + (− 3a − b2 ) : ∀a, b ∈ R}
a
3

b
2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

10 / 57


Khái niệm tổng quát

1

Ví dụ

p(x) = ax 2 + bx + c ∈ P2(x)
1

⇒ f (p(x)) = (ax 2 + bx + c)dx
0

= + + c = 0 ⇒ c = − 3a − b2 . Vậy
Ker (f ) = {ax 2 + bx + (− 3a − b2 ) : ∀a, b ∈ R}
Ta có
ax 2 + bx + (− 3a − b2 ) = a(x 2 − 13 ) + b(x − 12 )
và x 2 − 31 , x − 12 ĐLTT nên chúng là cơ sở của
Ker (f ) ⇒ dim(Ker (f )) = 2.
a
3

2

b
2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

10 / 57


Khái niệm tổng quát

Ví dụ

Ví dụ
Cho f : R4 → R3 xác định bởi

f (x1, x2, x3, x4) = (x1 − x2, x2 + x3, x1 + x3 + 2x4)
Tìm Ker (f ), cơ sở và số chiều của nó
Tìm Im(f ), cơ sở và số chiều của nó
1

2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

11 / 57


Khái niệm tổng quát

Ví dụ

Ví dụ
Cho f : R4 → R3 xác định bởi
f (x1, x2, x3, x4) = (x1 − x2, x2 + x3, x1 + x3 + 2x4)
Tìm Ker (f ), cơ sở và số chiều của nó
Tìm Im(f ), cơ sở và số chiều của nó
1

2

Ker (f ) = {(x1, x2, x3, x4) : x1 − x2 = 0, x2 + x3 =

0, x1 + x3 + 2x4 = 0}. Giải hệ phương trình này ta
được x4 = 0, x1 = α, x2 = α, x3 = −α, ∀α ∈ R.
Vậy Ker (f ) = {α(1, 1, −1, 0) : ∀α ∈ R}. Cơ sở
của Ker (f ) là (1, 1, −1, 0). Dim(Ker (f )) = 1.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

11 / 57


Khái niệm tổng quát

Ví dụ

Bước 1. Chọn cơ sở của E = R4 là
e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0),
e4 = (0, 0, 0, 1).
Bước 2. Tính f (e1) = (1, 0, 1),
f (e2) = (−1, 1, 0), f (e3) = (0, 1, 1),
f (e4) = (0, 0, 2)
Bước 3. Rõ ràng lúc này ta có
f (x1, x2, x3, x4) = f (x1e1 + x2e2 + x3e3 + x4e4) =
x1f (e1) + x2f (e2) + x3f (e3) + x4f (e4)
⇒ Im(f ) =< f (e1), f (e2), f (e3), f (e4) >
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

12 / 57


Khái niệm tổng quát





Ví dụ





1 −1 0 0
1 −1 0 0
0 1 1 0→0 1 1 0
1 0 1 2
0 0 0 2
Vậy (1, 0, 0), (−1, 1, 0), (0, 0, 2) là cơ sở của
Im(f ) và dim(Im(f )) = 3 ⇒ Im(f ) = F .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

13 / 57


Khái niệm tổng quát

Tính chất của ánh xạ tuyến tính

Định lý
Cho 2 K -kgv E và F , ∀f ∈ L(E , F ), M là một họ
véctơ gồm hữu hạn phần tử của E . Khi đó
f (< M >) =< f (M) >, M = {x1, x2, . . . , xn } ⊂ E

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

14 / 57


Khái niệm tổng quát

Tính chất của ánh xạ tuyến tính

Định lý
Cho 2 K -kgv E và F , ∀f ∈ L(E , F ), M là một họ
véctơ gồm hữu hạn phần tử của E . Khi đó

f (< M >) =< f (M) >, M = {x1, x2, . . . , xn } ⊂ E
1. Chứng minh f (< M >) ⊂< f (M) > . Với mọi
y ∈ f (< M >) ⇒ ∃x ∈< M >: y = f (x). Do đó
n

∃λ1, λ2, . . . , λn ∈ K : x =
n

f (x) = f (

n

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

i=1

λi f (xi ) ∈< f (M) > .

λi xi ) =
i=1

λi xi . Khi đó y =

i=1
CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

14 / 57

Khái niệm tổng quát

Tính chất của ánh xạ tuyến tính

2. Chứng minh < f (M) >⊂ f (< M >). Với mọi
y ∈< f (M) >⇒ ∃λ1, λ2, . . . , λn ∈ K :
n

y=

n

λi xi ) ∈ f (< M >).

λi f (xi ) = f (
i=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

i=1

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

15 / 57


Khái niệm tổng quát

Tính chất của ánh xạ tuyến tính

Hệ quả
Nếu f ∈ L(E , F ) là toàn ánh và nếu M sinh ra E
thì f (M) sinh ra F .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

16 / 57


Khái niệm tổng quát

Tính chất của ánh xạ tuyến tính

Hệ quả
Nếu f ∈ L(E , F ) là toàn ánh và nếu M sinh ra E
thì f (M) sinh ra F .
Thật vậy, do f là toàn ánh nên
F = f (E ) = f (< M >) =< f (M) > .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

16 / 57