Bài giảng tích phân suy rộng

2. Bài giải mẫu:
1. Ví dụ 1: Xét sự hội tụ của tích phân:

Xét:

.
Rõ ràng:

Ta sẽ tìm cách sử dụng dấu hiệu so sánh 2 bằng cách xây dựng hàm g(x) tương đương
với hàm f(x).


Muốn vậy, ta sẽ thay thế các vô cùng bé (vô cùng lớn) khi
các VCB (VCL) tương đương .
Ở đây ta có:

có trong f(x) bằng

Do đó:
Vậy hàm số g(x) cần xét ở đây là:

Khi đó:

Mà:

(việc kiểm tra dành cho bạn)

hội tụ (do s =

).

Vậy theo dấu hiệu so sánh ta có:

hội tụ.

2.2.Ví dụ 2 : Xét sự hội tụ của tích phân:

Ta tìm các xây dựng hàm g(x) bằng cách thay thế các VCL tương đương.
Do

nên x là VCL bậc cao hơn sinx.

Vậy:

Nên:
Vậy hàm g(x) cần xét là:

.

Đến đây dễ kết luận tích phân cần xét là hội tụ.
2.3. Ví dụ 3: Xét sự hội tụ của tích phân:

.


Rõ ràng, không thể tính trực tiếp tích phân này vì hàm lấy tích phân không thể có nguyên
hàm là các hàm sơ cấp.

Mặc dù,

là VCB khi

thay thế. Cũng vậy, nếu viết
nào với .

nhưng ta không thể tìm được VCB tương đương nào để
thì ta cũng không chỉ ra được VCL tương đương

Vậy không thể xây dựng hàm g(x) tương đương.
Tích phân này cũng không thể sử dụng dấu hiệu Dirichlet để so sánh.
Ta tìm cách chặn hàm f(x) bởi các bất đẳng thức.
Ta có:
Do vậy:

.

Tuy nhiên, ta không thể xét hàm

. Vì hàm f(x) xác định tại x = 0 trong

khi hàm g(x) lại không xác định. Nếu không chú ý ta sẽ dễ dẫn đến ngộ nhận là
phân kỳ vì

phân kỳ.

Ta phải xét trên các khoảng mà cả f(x) lẫn g(x) đều cùng xác định. Do đó:

Tích phân đầu tiên ở vế phải là tích phân xác định nên hội tụ, tích phân còn lại cũng

hội tụ (do s = 3 > 1) .
Vậy theo dấu hiệu so sánh thì tích phân cần xét phải hội tụ.
>

Chú ý:

hội tụ, nhưng

phân kỳ.

Còn về kỹ thuật có thể nói “làm nhiều quen tay”, ta chú ý đến dấu hiệu so sánh 2 để xây dựng hàm g(x) tương đương với hàm f(x) vì khi đó giới
hạn của f(x)/g(x) sẽ bằng 1. Và khi đó hai hàm có cùng tính chất. Mà muốn xây dựng hàm g(x) tương đương thì phải thay thế các VCB, VCL có

trong f(x) bằng các VCB , VCL tương đương. Lúc đó hàm g(x) chắc chắn sẽ có dạng:

và tùy vào loại tích phân đang xét ta sẽ có kết luận.

Có lẽ, để nhìn ngay được thì chỉ có cách này.
Nếu trường hợp không thể thay thế các VCB, VCL để xây dựng hàm g(x) được thì ta sẽ chú ý đến các dấu hiệu của định lý Dirichlet và Abel. Còn


cuối cùng, nếu vẫn không sử dụng được Dirichlet và Abel thì phải tìm cách chặn bất đẵng thức để sử dụng dấu hệu so sánh 1.
Chỉ bằng các cách trên (nhất là xây dựng hàm tương đương) mới có thể nhận biết “thằng” nào là hội tụ, “thằng” nào là phân kỳ chứ không thể
nhìn vào thấy ngay được. Bởi nếu nhìn vào “thấy” ngay được thì còn gì là vẻ đẹp của Toán học nữa!? Tuy nhiên, nếu làm nhiều, “level” sẽ lên
cao và ta cũng có thể dễ dàng biết hàm f(x) tương đương với hàm g(x) nào. Và từ g(x) ta biết ngay tích phân hội tụ hay phân kỳ.