Bài toán cao cấp 2 nguyễn phương

NGÂN HÀNG NHÀ NƯỚC VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN PHƯƠNG

BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2

Tp. Hồ Chí Minh - 2014



Mục lục
1

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ

3

2

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ

5

3

HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

8

4

TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ

10

5

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

13

6

ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

15

Tài liệu tham khảo

16

2


Chương 1
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM
SỐ MỘT BIẾN SỐ
Bài 1.1. Tìm giới
hạn:
√

1+x−1
a) lim √3
1+x−1

x→0

c) lim
x→0

√

b) lim
x→0

ln(a+x)−ln a
x

1+2x−1
tan 3x

x−1
d) lim ln1−e
x→e

x

x

e) lim xx ln−1x

e) lim xx ln−1x

x→1

x→1

2x

2x

e −1
g) lim ln(1−4x)

e −1
g) lim ln(1−4x)

ln cos x
k) lim ln(1+x
2)

ln cos x
k) lim ln(1+x
2)

x→0

x→0

x→0

x→0

Bài 1.2. Tìm giới hạn:
x − 1 x+1
a) lim 2
x→∞ x − 1
c) lim

x→∞

x
x+2

e) lim 1 + x2

1
b) lim 2
x→∞ x

x

d) lim

x→∞

cot2 x

x−1
x+3

x→1

1
1
g) lim sin + cos
x→∞
x
x

cot

1
x

1 + tan x
h) lim
x→0 1 + sin x
√x
l) lim 1 − 2x

1

k) lim (cos x) x2
x→0

x→0

1
1
sin .

x
x
Tìm lim f (x), lim f (x). Cho biết lim f (x) có tồn tại hay không?

Bài 1.3. Cho hàm số f (x) =
x→+∞

x→0

Bài 1.4. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên miền xác định:
a) f (x) =

x+2

f) lim (1 + sin πx)cot πx

x→0

x→−∞

2x
3x+1

x2
2 − x2

nếu 0 ≤ x ≤ 1
nếu 1 < x ≤ 2
3

1
sin x


b) f (x) =





c) f (x) = 




sin πx
x−1

−π

ln(1+2x)
−1+e3x
2
3



1−x








cos πx
d) f (x) = 
2






 x−1
 1+cos x

2


 (x−π)
e) f (x) = 


 1
2

nếu x 1
nếu x = 1
nếu x > − 12

nếu x ≤ − 12
nếu x < −1
nếu − 1 ≤ x ≤ 1
nếu x > 1
nếu x

π

nếu x = π

Bài 1.5. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên miền xác định:
 3
x − 3x2 + 4x



nếu x 1
a) f (x) = 

 2m +x 1− 1
nếu x = 1
b) f (x) =

2x2 + 3x − 1 nếu x < 2
2mx + 8
nếu x ≥ 2



2x + a



 2
2x + ax − b
c) f (x) = 


 x + 3b

1


 1 − x cos
d) f (x) = 

 2m + 1 x

nếu x < −1
nếu − 1 ≤ x ≤ 2
nếu x > 2
nếu x

0

nếu x = 0


ln(1 + x) − ln(1 − x)




nếu x 0
e) f (x) = 
x

 m
nếu x = 0
f) f (x) =

ex
nếu x < 2
x+k
nếu x ≥ 2

4


Chương 2
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM SỐ
MỘT BIẾN SỐ
Bài 2.1. Tính đạohàm của các hàm số sau tại x = 0:
1 − cos 2x


x

nếu x 0
b)
f
(x)

=
a) f (x) = 
x

2 + |x|
 0
nếu x = 0
c) f (x) =

x2 + 2x
0

d) f (x) =

nếu x 0
nếu x = 0

e2x
nếu x ≥ 0
1 + x + x2
nếu x < 0

Bài 2.2. Tìm giá trị của tham số m để hàm số có đạo hàm tại x = 0:
e2x
nếu x ≥ 0
x2 + x + 1 nếu x 0
b) f (x) =
a) f (x) =
1 + mx + x3 nếu x < 0
m

nếu x = 0


1
1




 x2 sin
 x sin
nếu x 0
nếu x 0
d) f (x) = 
c) f (x) = 
x
x


 m
 m
nếu x = 0
nếu x = 0
Bài 2.3. Tính đạo hàm và vi phân của các hàm số sau:
a) y = 3cos2 x + 2sin3 x
b)
√
c) y = ln(x + x2 + 3)
d)
√

e) y = 1 + 3cos2 x
f)
ln x + 1
g) y =
h)
ln x − 1
√
l)
k) y = x2 ln( x2 + 4)

y = cot(x2 + 2x)
y = (1 + tan x)3
y=

sin x + cos x
sin x − cos x

y = (sin x + cos x)ex
y = (x2 + 1)x

n) y = xln x

m) y = logcos x sin x

p) y = xx .2x .x2

2

o) y = ex .x4 . sin 3x

Bài 2.4. Tìm đạo hàm cấp 2 và vi phân cấp 2 của các hàm số:

5


a) y =

x2 − 1
x2 + 2

b) y = ln(x2 + 1)
d) y = x3 (ln x − 1)

2

c) y = ex
e) y =

f) y = sin 2x + cos 3x

x3
ex

h) y = (1 + x2 ) arctan x

g) y = ln(x2 +1) (x + 2)
Bài 2.5. Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số:
a) y = xex

b) y =

c) y = ln(ax + b)

1
x+1

d) y = 5 − 3cos2 x



1
1


− x
nếu x 0

Bài 2.6. Cho hàm số: f (x) = 
.
x e −1


 2m
nếu x = 0
a) Tìm m để hàm số f (x) liên tục tại x = 0.
b) Với m vừa tìm được, hãy cho biết hàm số f (x) có khả vi tại x = 0 hay không?



 x2 nếu x ≤ 1

Bài 2.7. Cho hàm số: f (x) = 
.

 2ax + b nếu x > 1
Hãy xác định a và b để hàm số liên tục và khả vi tại x = 1.
Bài 2.8. Tìm giới hạn:
x3 − 2x2 − x + 2
a) lim
x→1
x3 − 7x + 6

b) lim
x→0

ln x
c) lim √3
x→+∞
x
e) lim

d) lim+ ln x. ln(x − 1)
x→1

x − sin x
x→∞ x + sin x

x2 sin 1x

f) lim

sin x
√3
√
1+x− 1+x
g) lim
x→0
x
x→0

k) lim
x→0

x cos x − sin x
x3

h) lim
x→0

1
1
−
2
sin x x

l) lim+ xα ln x
x→0

1
− cot2 x
x2

n) lim

m) lim(1 − cos x) cot x

x→0

x→0

p) lim

x
1
o) lim
−
x→1 x − 1
ln x

x→2

Bài 2.9. Tìm giới hạn:

6

x3
sin x − x
1
2
− 2
x − 2 x − 5x + 6

x→0

x→0

c) lim 1 + x2

1
x

b) lim 1 + x2

a) lim+ xsin x

2

1
ex −1−x

d) lim+ (cot x) ln x
x→0

x→0

2

f) lim+ (sin x)x

1

e) lim (cos 4x) x2

x→0

x→0

1

h) lim (ex + x) x

1

g) lim (ex + x) x

x→+∞

x→0

1

sin x
l) lim
x→0
x

k) lim (ln(e + x)) x
x→0

1

x2

Bài 2.10. Tìm khai triển Mac-Laurin của các hàm số sau:
a) y =

1
đến số hạng x5 .
1 − sin x

b) y = cos (sin 2x) đến số hạng x6 .
c) y = arctan (sin 3x) đến số hạng x5 .
d) y = ln (cos 2x) đến số hạng x6 .
e) y = arctan (1 − cos x) đến số hạng x6 .
Bài 2.11. Tìm khai triển Taylor tại x0 của các hàm số sau đến số hạng (x − x0 )5 :
b) y = x2 cos x; x0 = π3
π
a) y = x sin x; x0 = 6
x
d) y = x ; x0 = 1
c) y = x3 ex ; x0 = 1
e
e) y = x4 ln x; x0 = 1

f) y =

x2

Bài 2.12. Tìm giá trị gần đúng của:
a) arctan 1, 05

b) ln 1, 03

Bài 2.13. √
Tìm giá trị gần đúng của:
3
a) 1, 02

b) sin 290

7

x+1
; x0 = 2
+ 2x − 3


Chương 3
HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
Bài 3.1. Tìm đạo hàm riêng cấp 1 và vi phân toàn phần cấp 1 của các hàm số sau:
a) z = x3 + y3 − 3xy
b) z = ln(2x2 + 3y3 )
c) z = cos(x + 2y2 )

d) z = ysin x

e) z = ex (cos y + x sin y)

f) z =

g) w = 3x2 y + yz

h) w = x y

x2 + 2y2
z

Bài 3.2. Tìm đạo hàm riêng cấp 2 và vi phân toàn phần cấp 2 của các hàm số sau:
a) z = 4x3 + 3x2 y + 3xy2 − y3
b) z = xy + sin(x + y)
x+y
c) z = ln
d) z = ex sin y
1 − xy
e) z =

f) z = cos(x + y)

1
ln(x2 + y2 )
2

Bài 3.3. Tính các đạo hàm riêng:
∂3 u
a)
với u = x2 y + sin(2x + y)
∂x2 ∂y

b)

∂3 u

2
với u = e2x +y
2
∂x ∂y

c)

∂3 u
x
với u = arctan
y+1
∂x∂y∂x

d)

∂3 u
với u = sin(2x + sin y)
∂x2 ∂y

e)

∂3 u
với u = ln(x2 + 2 sin y)
∂y2 ∂x

f)

∂3 u
với u =
∂x2 ∂y

Bài 3.4. Tìm ∂u
biết:
∂x
3
a) u = x + y3 , y = x2

b) u = x2 + 2x + y2 , y =

c) u = x + y + z , z = 4x + y
2

2

2

z

2

g) u = ln(2x − 3y), y = e

f) u = e3x+2y , y = 2x2

x

h) u = x2 + y2 , y = xz

k) u = x ln y, y = 2x + x
2

Bài 3.5. Tìm

∂u ∂u ∂2 u ∂2 u ∂2 u
, ,
,
,
∂t ∂s ∂2 t2 ∂t∂s ∂2 s2

1
x

d) u = 3x2 y + yz, z = x2 + xy + y2

e) u = wt , w = x, t = x , y = x
s

x + 2y

với:
8


a) u = x3 + y3 , x = t2 − s2 , y = t2 + s2

b) u = x2 y − xy2 , x = t2 s, y = ts2

c) u = x + y , x = t cos s, y = t sin s
2

2

d) u = arctan xy , x = t sin s, y = t cos s

e) u = 3x y + yz, x = t − s , y =
t, z = s2
2

2

2

f) u = x2 y − xy + 3y2 , x =
t2 + 2s2 , y = 2t2 − s2

g) u = x2 y−3xy, x = 2ts−s, y = t−3ts
k) u = f (z), z = ts +
Bài 3.6.

h) u = ln(x2 − 3y), x = t2 , y = tes

t
s

a) u = ev , v = sin(xyz). Tìm

∂2 u
∂t∂s

∂

b) Tìm ∂x∂y
f (x2 − y, x + y2 )
2

dy

Bài 3.7. Tìm dx biết:
a) x2 y − x + 2y = 0

b) x3 + x2 y + y2 = 0
y

d) arctan x = 12 ln(x2 + y2 )

c) tan y = xy
∂z ∂z
Bài 3.8. Tìm ∂x
, ∂y biết:
a) xy − yz + xz = 0

b) xy + yz − xz = 2

c) ln xz + z ln x = y

d) z = xz + z y

Bài 3.9. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) z = x2 + xy + y2 − 3x − 6y
c) z = x +

1
x y
b) z = xy + (47 − x − y) +
2
3 4

2

y
1
+ +2
4x y

d) z = x3 + y3 − 18xy

e) z = x3 + y2
g) z = xy +

50 20
+
x
y

f) z = x4 + 4y2
h) z = x + y − yex

(x > 0, y > 0)

Bài 3.10. Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số sau:
a) z = 2x + y với x2 + y2 = 5.

b) z = x2 + y2 − xy + x + y − 4 với x + y + 3 = 0.
c) z = xy với 2x + y = 6.
d) z =

1
1
1 1
1
+ với 2 + 2 =
x y
x
y
4

Bài 3.11. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm:
a) z = x2 −xy+y2 −4x trong miền đóng giới hạn bởi các đường x = 0, y = 0, 2x+3y−12 = 0.
b) z = xy trong hình tròn x2 + y2 ≤ 1.
c) z = x2 − y2 trong hình tròn x2 + y2 ≤ 4.
d) z = x2 y(4 − x − y) trong tam giác giới hạn bởi các đường x = 0, y = 0, x + y = 6.
9


Chương 4
TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT
BIẾN SỐ
Bài 4.1. Sử dụng phương pháp đổi biến số tính các tích phân sau:
a) I = 4x(2x − 1)5 dx
b) I = x26x−3
dx
−x+5

3
6x
c) I = √ 4 dx
3−x
2
d) I = 3xex dx
√
e) I = ex ex − 1dx
f) I = sin xcos5 xdx
3
g) I = xln3 x dx
cos x
h) I = sin
2 dx
x
cot x
k) I = sin
dx
4
x
Bài 4.2. Sử dụng phương pháp tích phân từng phần tính các tích phân sau:
a) I = xarc sin xdx
b) I = x2 arctanxdx
√
c) I =
x ln xdx
d) I = x2 sin 3xdx
2 −x
e) I = x e dx
f) I = sin(ln x)dx

g) I = ex cos xdx
h) I = x cos 3xdx
2 2x
k) I = x e dx
Bài 4.3. Tích tích phân các hàm hữu tỉ sau:
x2 +2x+6
a) I = (x−1)(x−2)(x−4)
dx
c) I =

x
dx
x4 +6x2 +5

e) I =

x3 +2

g) I =

x
dx
(x−1)(x+1)2

x3 −x

dx

b) I =

x2 +2x−1
dx
(x−1)(x2 +1)

d) I =

1
dx
x(x−1)

f) I =

Bài 4.4. Tích tích phân các hàm lượng giác sau:

10

2x
2 dx
(1+x)(1+x2 )


a) I =

sin 2x cos 5xdx

c) I =

sin x+sin3 x
dx
cos2x

e) I =

sin3 x
√
dx
cos x 3 cos x

g) I =

sin4 xdx

k) I =

sin3 x cos xdx

b) I =

1
dx
4 sin x+3 cos x+5

d) I =

sin4 xcos5 xdx

f) I =

cos4 xdx

h) I =

1
dx
sin x+1

Bài 4.5. Sử dụng phương pháp đổi biến số tính các tích phân sau:
1 √
2
a) I =
1 − x2 dx
b) I = (3x + 1)4 dx
0

−1

π
2

c) I =

5

π
2

d) I =

cos xdx
0

0

π
2

e) I =

ln 2 √

f) I =

1
dx
1+cosx

ex − 1dx
0

0
1

g) I =

√
x2 a2 − x2 dx

a

√

√

0

cos x
dx
(1+sin x)4

h) I =

ex
dx
ex +e−x

0

Bài 4.6. Sử dụng phương pháp tích phân từng phần tính các tích phân sau:
π
2

a) I =

1

b) I =

x cos xdx

x2 e−x dx
0

0
1

c) I =

x ln(1 + x2 )dx

d) I =

cos(ln x)dx

f) I =

π
3

0
2

e) I =

1

1

x arctan xdx
−1

π

4

g) I =

x+sinx
dx
1+cos x

π
3

h) I =

0

x
1

xsinx
dx
cos2 x

0

Bài 4.7. Tính:
d
a)
dx

x

dx
sin2 x

π
3

d
b)
dx

cos t sin t
dt
t2

x2

sin t2 dt
0
x

3
d x √
c)
1 + t2 dt
dx x2

cos t2 dt
d) lim
x→0

Bài 4.8. Xét sự hội tụ và tính tích phân nếu nó hội tụ:

11

0

x


a) I1 =

+∞

−1

b) I2 =

cos xdx
0

c) I3 =

−∞

+∞

2

0

e) I5 =

+∞
1

−∞

ln(1 + x)
dx
1+x

f) I =

+∞
0

e) I5 =

+∞
1

g) I7 =

+∞
−∞

k) I9 =

ln(1 + x)
dx

x

f) I6 =

e

+∞
1

h) I8 =

+∞
0

l) I10 =

ln xdx

12

(x2 + 1)2
dx
(x2 + x + 1)2
x arctan x
dx
√
1 + x3
x3/2
dx
1 + x3

+∞

1 − cos
1

0

dx

+∞
−∞

|sin x|
dx
2
x + 3x + 1
−x3

arctan x
dx
x2 + 1

−∞

d) I4 =

dx
x2 + x + 1

+∞

b) I2 =

xp
dx
1 + x3

+∞

+∞
0

Bài 4.9. Xét sự hội tụ của các tích phân sau:
+∞
sin x
a) I1 =
dx
x2
1
c) I3 =

+∞

d) I4 =

xe−x dx

dx
x2

2
dx
x


Chương 5
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài 5.1. Giải các phương trình đưa về biến số phân li:
b) y cos x = y
a) x(1 + y2 )dx + y(1 + x2 )dy = 0
c) x(y − 3)dy = 4ydx
e) y =

x−y+1
x−y+2

g) y =

x+y−1
2x − y + 1

d) y =
f) y =
h) y =

1
2x + y
2x + y − 3
x+y

x−y

l) (x2 + 2xy)dx + xydy = 0

k) xy y = y2 + 2x2

Bài 5.2. Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp 1:
a) y + 2xy = 4x
b) xy = y + x3 + 3x2 − 2x
y
2
c) y + = 3x với y(1) = 1
d) y + 2xy = xe−x
x
f) 2x(y + x2 )dx = dy
e) (x + y2 )dy = ydx
Bài 5.3. Giải các phương trình Bernoulli sau:
a) y − 2xy = 3x2 y2
c) y +

y
= x2 y4
x

b) y −

y 1
=
x y

√
d) y + y = ex/2 y

Bài 5.4. Giải các phương trình vi phân toàn phần sau:
a) (x2 + y2 + 2x)dx + 2xydy = 0
b) (x3 −3xy2 +2)dx−(3x2 y− y2 )dy = 0
c) (x + y2 )dx − 2xydy = 0

d) y(1 + xy)dx − xdy = 0

Bài 5.5. Giải các phương trình sau bằng cách hạ cấp:
a) y = x2 + xex + 1
b) y = x −

y
x

c) y (1 + x2 ) = 2xy với y(0) = 1 và y (0) = 3
d) y.y − (y )2 = 0
13


Bài 5.6. Giải phương trình vi phân cấp 2 sau:
a) y − 2y + y = 0 với y(0) = 2, y (0) = 1
b) y + 4y = 0 với y(0) = 0, y (0) = 2
c) y + 3y = 0 với y(0) = 0, y(3) = 0
d) y + 3y + 2y = 0 với y(0) = 1, y (0) = −1
Bài 5.7. Giải phương trình vi phân cấp 2 sau:
a) y − 4y + 3y = e2x

b) y − 3y + 2y = ex

c) y + 5y + 4y = 3 − 2x

d) y + y − 2y = 3xex

e) y + y = sin 2x

f) y − 9y = e3x . cos x

g) y + y = x sin x

h) y − 3y + 2y = 3e2x + 2x2

14


Chương 6
ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ
Bài 6.1. Tìm giá trị cận biên của các hàm sau:
a) C = 0, 1Q2 + 3Q + 2 tại Q = 3
b) C = 0, 04Q3 − 0, 5Q2 + 4, 4Q + 7500 tại Q = 5
c) R = 250Q + 45Q2 − Q3 tại Q = 5
√
√
10 I + 0, 7 I3 − 0, 2I
Bài 6.2. Giả sử hàm tiêu dùng của một quốc gia cho bởi phương trình C =
√
I
với đơn vị của I và C là tỉ đô la. Tìm xu hướng tiết kiệm biên nếu thu nhập là 25 tỉ đô la.

Bài 6.3. Bà Cẩm có thu nhập hàng tháng là 1 triệu đồng để mua 2 hàng hóa là thịt và khoai
tây.Hàm hữu dụng là TU = (M − 2)P với M là thịt và P là khoai.
a) Giả sử giá thịt là 20 ngàn đồng/kg, giá khoai tây là 5 ngàn đồng/kg. Phối hợp nào giữa
thịt và khoai tây mà bà Cẩm cần mua để tối đa hóa hữu dụng.
b) Nếu giá khoai tây tăng đến 10 ngàn đồng/kg thì phối hợp nào giữa thịt và khoai tây để
tối đa hóa hữu dụng?
Bài 6.4. Một người tiêu dùng có thu nhập I = 3500 để mua hai sản phẩm X và Y với giá tương
ứng PX = 500, PY = 200. Sở thích của người này được biểu thị qua hàm số:
TUX = −Q2X + 26QX
5
TUY = − Q2Y + 58QY
2
Xác định phương án tiêu dùng tối ưu và tính tổng hữu dụng tối đa có thể đạt được.
Bài 6.5. Một nhà sản xuất cần 2 yếu tố K và L để sản xuất sản phẩm X. Biết người này đã
chi ra một khoản tiền là TC = 15.000 để mua 2 yếu tố này với giá tương ứng là PK = 600 và
PL = 300. Hàm sản xuất được chọn là Q = 2K(L − 2).
a) Xác định hàm năng suất biên (MP) của các yếu tố K và L.
b) Tìm phương án sản xuất tối ưu và sản lượng tối đa đạt được.
c) Nếu xí nghiệp muốn sản xuất 900 đơn vị, tìm phương án sản xuất tối ưu với chi phí sản
xuất tối thiểu.
15


Bài 6.6. Cho biết hàm tổng chi phí để sản xuất một loại sản phẩm là C(Q) = Q2 +2000Q+

500
.
Q

a) Tìm chi phí biên.

b) Xác định Q để chi phí trung bình bé nhất. So sánh chi phí biên tế và chi phí trung bình
tại điểm trên.
Bài 6.7. Biết hệ số co dãn của hàm cầu là εD =
Q = 900 nếu P = 50.
Bài 6.8. Biết hệ số co dãn của hàm cầu là εD =
Q = 500 nếu P = 10.

−P
. Hãy tìm hàm cầu QD = D(P) biết
500 − P

−2P2 + 5P
. Hãy tìm hàm cầu QD = D(P) biết
Q

Bài 6.9. Hàm của một loại hàng theo giá có phương trình QD = 400 − 2P. Tại điểm P = 40
nếu giá tăng, doanh thu giảm hay tăng? Tìm mức giá để loại hàng trên không co dãn.
Bài 6.10.

a) Cho MR = 1000 − Q, tìm R(Q).

b) Cho MC = 12 Q + 3, tìm C(Q) biết FC = 100.
c) Cho Mπ = 3Q + 700 và nếu chỉ bán được 60 (đơn vị) thì bị lỗ 7500 (đơn vị tiền). Tính
π(Q).
Bài 6.11. Một doanh nghiệp có MR = −0, 01Q + 20
a) Tìm R nếu số lượng sản phẩm bán được Q = 300.
b) Hỏi doanh thu thêm là bao nhiêu nếu họ bán sản phẩm từ đơn vị 200 đến đơn vị thứ 300.
Bài 6.12. Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất và kinh doanh một loại sản phẩm, biết hàm
cầu của sản phẩm đó trên thị trường là QD = 656 − 21 P và hàm chi phí là C = Q3 − −77Q2 +
1000Q + 100. Tìm mức sản lượng doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận đạt cực đại.

Bài 6.13. Cho doanh nghiệp độc quyền sản xuất và kinh doanh một loại hàng, biết hàm cầu
của loại hàng đó trên thị trường là QD = 2640 − P và hàm chi phí là C = Q2 + 1000Q + 100.
a) Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để thu được của doanh nghiệp nhiều
thuế nhất.
b) Tìm mức sản lượng doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận đạt cực đại.
Bài 6.14. Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm. Biết hàm cầu của hai
loại sản phẩm trên là QD1 = 800 − 2P1 + P2 và QD2 = 960 + P1 − P2 , hàm tổng chi phí là
C = 160Q1 + 240Q2 + 150.
a) Tìm mức sản lượng của mỗi loại sản phẩm để doanh nghiệp có lọi nhuận tối đa.
b) Tìm mức sản lượng của mỗi loại sản phẩm để doanh nghiệp có lọi nhuận tối đa với điều
kiện hạn chế về chi phí C = 41750.
1

1

Bài 6.15. Giả sử một doanh nghiệp có hàm sản xuất Cobb - Douglas như sau:Q = L 2 K 2 .
Biết rằng w = 1, r = 3, P = 9, tìm lượng vốn và lượng lao động doanh nghiệp cần sử dụng để
đạt lợi nhuận cực đại.
16


Tài liệu tham khảo
[1] Lê Sĩ Đồng, Toán cao cấp - Giải tích, NXB Giáo dục, 2008.
[2] Bộ môn Toán - ĐH Ngân Hàng, Bài tập Toán cao cấp - Giải tích, Lưu hành nội bộ.
[3] Phạm Hồng Danh (chủ biên), Toán cao cấp - Giải tích, NXB Thống kê, 2008.
[4] Bộ môn Toán - ĐH Kinh Tế, Bài tập Toán cao cấp, NXB Thống kê, 2008.
[5] Nguyễn Quốc Hưng, Toán cao cấp 1 và một số ứng dụng trong kinh doanh, NXB ĐH
QG TP.HCM,2009.
[6] Lê Bảo Lâm (chủ biên), Kinh tế vi mô, NXB Thống kê, 2010.
[7] Trương Thị Hạnh (chủ biên), Kinh tế vi mô, NXB Thống kê, 2010.

[8] Nguyễn Như Ý (chủ biên), Câu hỏi – Bài tập – Trắc nghiệm Kinh tế Vi mô, NXB Thống
kê, 2010.

17