Chương 1 phép tính vi phân hàm một biến

Ch
Ch
Ch
Ch
Ch

( 45 ti t )
ng 1 : Phép tính vi phân hàm m t bi n
ng 2 : Phép tính tích phân hàm m t bi n
ng 3 : Lý thuy t chu i
ng 4 : Phép tính vi phân hàm nhi u bi n
ng 5 : ng d ng c a hàm nhi u bi n
TÀI LI U THAM KH O

[1] Toán h c cao c p, t p 2&3, Nguy n ình Trí (ch biên),
NXB Giáo d c, 2009
[2] Toán cao c p, Gi i tích hàm m t bi n & Gi i tích hàm
nhi u bi n,
Công Khanh (ch biên), NXB HQG
TP.HCM, 2010


Ch

ng 1. Phép tính vi phân hàm m t bi n

1.1. Các khái ni m c b n v hàm s m t bi n
1.1.1.

nh ngh a.

Cho X và Y là các t p h p khác r ng. M t ánh x t t p X vào t p
Y là m t quy t c

tt

ng ng m i ph n t c a X v i duy nh t m t

ph n t c a Y. Ký hi u là f : X

Y

x

y

trong ó: y
x
VD. f :

f x

c g i là nh c a x qua ánh x f
c g i là t o nh c a y qua ánh x f

là ánh x ; f :
x

x2

không là ánh x (vì s 0

x

1
x

không có nh)


N u y

Y ta có t p h p f

1

y

có không quá m t ph n t (ho c f x 1
thì f là

x

X f x

f x2

x1

y
x2 )

n ánh.

N u y

Y ta có t p h p f

1

y

(ho c f X

Y ) thì

f là toàn ánh.
N ufv a
y

VD.

n ánh v a toàn ánh thì f là song ánh. T c v i m i

Y , t n t i duy nh t m t ph n t x

X sao cho f(x) = y.

là song ánh

f :
x

x3

không

f :
x

x2

n ánh, không toàn ánh


Cho f : X

Y là song ánh. Khi ó, v i m i y

duy nh t m t ph n t x
tt

X sao cho f(x) = y. Ánh x f

ng ng ph n t y v i ngh ch nh x c a nó

x ng

Y, t n t i
1

:Y

X

c g i là ánh

c c a f.

V y:

y

Y,f

(Ánh x ng

1

y

cf

x
1

f x

y

c a f c!ng là song ánh)
. Ánh x f : X

Cho hai t p khác r ng X , Y

Y

c

g i là m t hàm s . Ký hi u y = f(x).
T pX

c g i là t p xác

T pY

y

f x x

nh c a f, ký hi u Df.
X

c g i là mi n giá tr c a f.


1.1.2. Hàm s ng

c

nh ngh a. Cho song ánh f : X
f

1

x

g i là hàm s ng
y ; y

N uy

f

c a chúng

1

Y . Ánh x ng

c c a hàm y = f(x), và vi t là

Y

x là hàm s ng

i x ng qua

c c a hàm y = f(x) thì

"ng th#ng y = x.

VD.
f x

2x

f

c c a f là

1

x

lo g 2 x ; x > 0

th


1.1.3. Hàm s l
Hàm s y
ng

c là y

ng giác ng

sin x ;
a rcs in x ;

c

x

2
1

2
x

;

1;

1
2

y
y

1 có hàm
2


Hàm s
y

c o sx ; 0

có hàm ng
y

x

có hàm ng
y

Quy

1

y

1

c là

a rcco sx ;

Hàm s y

;

1

x

ta n x ; x

c là

a rcta n x ; x

1; 0

y
;

2 2

;y

;

2 2

c: arctan
arctan

2
2

;y


Hàm s y
y

Quy

cot x ; x

a rc c o t x ; x

;y

c:

arctan
arctan

0;

0

;y
0;

có hàm ng

c là


1.2. Gi i h n c a hàm s m t bi n
1.1.1.

nh ngh a.

Cho D

là t p s th$c. i%m xo

c g i là i m gi i h n

(hay i m t ) c a t p D n u trong m i kho ng x o

, xo

u ch a vô s các ph n t c a t p D.
VD.

D

0 ,1

D

!# 1
$ ;n
##& n

D

!#
$
#&#

1

i%m t c a D là [0, 1]
"
#

%
#
#
'
n

n
n

1
;n
2

D có duy nh t m t i%m t là 0
"
#
%
#
#
'

D có 2 i%m t là 1 và –1


nh ngh a 1. (theo ngôn ng “
Cho hàm s y = f(x) xác
h n c a t p X. S l
d n

n xo n u

nh trên t p X

x

xo

Khi ó ký hi u: lim f x
x

và xo là i%m gi i

c g i là gi i h n c a hàm s f khi x
0, ) ( 0 : x

0

(”)

xo

(

X mà
f x

l hay f x

l
l khi x

xo

Chú ý.
Trong
VD.

nh ngh&a không òi h'i hàm f ph i xác
x2
lim
x 2 x

4
2

4 m c dù hàm không xác

nh t i xo.
nh t i x = 2.


nh ngh a 2. (theo ngôn ng dãy)
Hàm f

c g i là có gi i h n l khi x d n

s th$c x n
f xn

n

X mà

xn

x o và x n

n xo n u v i m i dãy
x o khi n

thì

l khi n

Chú ý. Th "ng dùng

nh ngh&a này % ch ng t' hàm không có

gi i h n.
(N u tìm

c hai dãy x n , x n*

x o mà f x n , f x n* h i

t v hai s khác nhau thì hàm không có gi i h n).
1
VD. Ch ng t' không t n t i gi i h n lim sin
x 0
x

nh lý. Gi i h n c a hàm s f khi x

x o n u có là duy nh t.


1.1.2. Gi i h n

vô cùng và gi i h n vô cùng. (Xem giáo trình)

1.1.3. Gi i h n m t phía.
Cho hàm s y = f(x) xác
h n trái c a hàm f khi x
0 xo

x (

f x

nh trên X. S l
xo n u

x

Cho hàm s y = f(x) xác
0 x

xo (

f x

nh lý. lim f x
x

xo

l

lim f x
xo

X mà

0, ) ( 0 : x
x

x

f xo

c g i là gi i

. Ký hi u: lim f x

l

l

xo

nh trên X. S l

xo n u

X mà

0, ) ( 0 : x

. Ký hi u: lim f x

l

h n ph i c a hàm f khi x

c g i là gi i

xo

lim f x

x

xo

l

f xo

l


Chú ý.

nh lý trên th "ng

c dùng % ch ng t' hàm không có

gi i h n. Gi i h n m t phía th "ng

c dùng trong các tr "ng

h p hàm ch a c(n b c ch)n, ch a tr tuy t

i ho c hàm ghép.
sin x
VD 1. Ch ng t' không t n t i gi i h n lim
x 0
x
!
2
x
3;
x
+
0
#
#
#
VD 2. Cho f x
. Tìm lim f x
$
1

x 0
#
x sin ; x 0
#
#
x
&
1.1.4. Tính ch t và các phép toán c a gi i h n hàm s .
(Xem Giáo trình)
nh lý. Gi s ba hàm s f, g, h th'a mãn b t #ng th c:
f x

Khi ó, n u lim f x
x

xo

g x

h x v ix

lim h x

x

xo

a, b

l thì lim g x

x

xo

l


1.1.5. M t s k t qu gi i h n c n nh .

1)

x

lim
,

x

0

3) lim 1
x

0

1
x

1

2) lim 1

x

e

x

1
x

x

1
x

sin x
4) lim
x 0
x
ex 1
5) lim
x 0
x

6 ) lim
7)

1
e

8)

1

9)

1

10)

x

1

x
tan x
lim
1
x 0
x
arcsin x
lim
1
x 0
x
arctan x
lim
1
x 0

x
1 cos x
1
lim
x 0
x2
2
x

e

ln 1

0


1.3. Vô cùng bé (VCB) và vô cùng l n (VCL)
nh ngh a.
Hàm f

c g i là m t VCB khi x

ho c vô cùng) n u lim f x
x

Hàm f

xo

x o (xo có th% là h*u h n

0

c g i là m t VCL khi x

x o (xo có th% là h*u h n

ho c vô cùng) n u lim f x
x

xo

VD. x, sinx, tanx, ex – 1, ln(1+x), 1 – cosx là các VCB khi x
x, lnx, ex là các VCL khi x

0


T+ng ho c tích c a hai VCB khi x
Tích c a m t VCB khi x
xo là m t VCB khi x
lim f x

x

l

xo

x o là m t VCB khi x

xo

x o và m t hàm b ch n trong lân c n c a

xo .
f x

l

* Gi s f và g là hai VCB khi x

g x ; trong ó g là VCB khi x
x o và lim
x

xo

f x

xo

l . Khi ó

g x

N u l = 0 thì ta nói f là VCB b c cao h n g, ký hi u là f = o(g)
N ul=
N u0

thì ta nói f là VCB b c th p h n g
l

thì ta nói f và g là các VCB cùng b c, ký hi u là

f = O(g)
c bi t, n u l = 1 thì ta nói f và g là các VCB t
là f

g

ng

ng, ký hi u


– Các VCB t
h thì f

g

ex

ng c n nh khi x

ng

x ; ta n x
1

g và

h

VD. Các VCB t
s in x

ng có tính ch t b c c u, t c n u f

ng

x ; ln 1

x ; a rcsin x
x

* Ta có th% dùng các VCB t

0

x ; a rctan x

x;

x

ng

ng % kh các d ng vô

nh

C th% ta dùng các k t qu sau:
nh lý.

i u ki n c n và

% f, g là hai VCB t

f – g là VCB b c cao h n f ho c g

ng

ng là

0
.
0


. a) N u f , g , f * , g * là các VCB khi x
f x
f* x
g * thì lim
lim
x xo g x
x xo g * x

M nh
g

b) N u f, g là hai VCB khác b c thì f + g t

ng

x o và f

f *,

ng v i VCB b c

th p h n
x o và chúng u là t+ng c a nhi u
c) N u f, g là hai VCB khi x
f x
VCB. Khi ó lim
b,ng gi i h n c a t- s c a hai VCB b c
x xo g x

th p nh t . t và . m/u (V t b' các VCB b c cao h n)
VD. Tìm gi i h n:
x2
a ) lim
;
x 0 s in x
x 3 co s x
b ) lim
x 0
x4
x2

c ) lim
x

1

0

x

sin 3 x
3x x2

ta n 3 x
9 x6


* T
ngh ch
t

nh ngh&a suy ra: ngh ch

o c a m t VCB là m t VCL và

o c a m t VCL là m t VCB nên ta c!ng có các k t qu

ng t$ nh trên

kh các d ng vô

i v i VCL và ta dùng các VCL t

ng

ng %

nh

VD 1. Tìm gi i h n

x

lim

x2

4
x2

2x
4

3 x
x

(v t b' các VCL b c th p h n)


VD 2. Tìm gi i h n

1) I
2) I
3) I

lim

x

0

lim

x

0

lim

x

0

ln 1

x tan x

2

3

x
sin x
ln cos x
ln 1
e

x2

x

2

cos x
sin 2 x

4) I
5) I
6) I

lim

x

sin e x

lim
0

1

ln x

1

esin 5 x
lim
x 0 ln 1

x

1

ex

esin x
2x
1 cos x

sin 3 x

2x4

1


1.4.

o hàm và vi phân hàm m t bi n. (Xem giáo trình)
M t s công th c

1)
2)
3)

a *
x

o hàm c b n.

x

a ln a

1
x ln a
1
*
arcsin x
1 x2
loga x *

4)

arccos x *

5)

arctan x *

6)

arc cot x *

1
1 x2
1
x2
1

1
1

x2


1.5. Công th c Taylor
nh lý.
N u hàm f có

o hàm

n c p n + 1 trong lân c n c a i%m

Khi ó ta có công th c Taylor c a hàm f
*

Trong ó: Rn(x – xo)

nc pnt i

.

là:

**

c g i là ph n d th n, ta có:
-

0 < - <1
(d ng Lagrange)
(d ng Peano)


– Khai tri%n Taylor t i i%m xo = 0

c g i là khai tri%n

Maclaurin c a hàm f. Khi ó ta có:
*

**

– Khai tri%n Maclaurin c a m t s hàm s c p:
a)
b)
c)

d)

e)

f)

g)

h)

.

.

..

..

.


Chú ý. Công th c Taylor

c ng d ng % tính g n úng và tính

gi i h n (Xem giáo trình)
VD 1. Tìm khai tri%n Maclaurin

n c p 3 c a hàm

VD 2. Tìm khai tri%n Maclaurin

n c p 5 c a hàm

VD 3. Tìm khai tri%n Taylor t i xo = 2

n c p 3 c a hàm