Các MD5 đại số với ideal dẫn xuất giao hoán bốn chiều và k biểu diễn của các MD5 nhóm liên thông tương ứng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

ĐỀ TÀI

CÁC MD5-ĐẠI SỐ VỚI IDEAL DẪN XUẤT GIAO
HOÁN BỐN CHIỀU VÀ K-BIỂU DIỄN CỦA CÁC MD5NHÓM LIÊN THÔNG TƢƠNG ỨNG

MÃ số: CS2007.19.05
CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI: PGS-TS. LÊ ANH VŨ

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
2007


DANH SÁCH NHỮNG NGƢỜI THAM GIA THỰC HIỆN
VÀ CÁC ĐƠN VỊ PHỐI HỢP THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

I. Cá nhân cùng tham gia thực hiện đề tài
Dƣơng Quang Hòa, học viên cao học khóa 15 chuyên ngành Hình học - Tô pô.

II. Các cơ quan phối hợp chính
1. Viện Toán học, Viện khoa học và Công nghệ quốc gia ( do Giáo sƣ Tiến sỹ
khoa học Đỗ Ngọc Diệp đại diện ).
2. Khoa Toán, trƣờng Khoa học, Đại học Mahidol, Bangkok Thailand ( do Tiến
sỹ Nguyên Văn Sanh đại diện )


MỤC LỤC

Trang

TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ................................................................ i
SUMMARY......................................................................................................... iii
LỜI CẢM ƠN .......................................................................................................v
GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI ............................................................ 1
CÁC BÀI BÁO
Bài báo thứ nhất ...................................................................................... 5
Bài báo thứ hai ...................................................................................... 17
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ............................................................................. 31
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 32


TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ

Tên đề tài: Các MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán bốn chiều và K-biểu
diễn của các MD5-nhóm liên thông tƣơng ứng.
Mã số: CS2007.19.05
Chủ nhiệm đề tài: PGS-TS. Lê Anh Vũ

Tel: (08) 8436496, 0913900689

E-mail: ,
Cơ quan chủ trì đề tài : Trường Đại học Sư phạm Tp.HCM.
Cơ quan và cá nhân phối hợp thực hiện :
• Dƣơng Quang Hòa, học viên cao học Toán KI 5 chuyên ngành Hình học - Tô
pô của trƣờng Đại học Sƣ phạm thành phố Hồ Chí Minh.
• Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ Quốc gia (do GS-TSKH Đỗ
Ngọc Diệp đại diện).

• Khoa Toán, trƣờng Khoa học, Đại học Mahidol Bangkok, Thailand (do TS.
Nguyễn Văn Sanh đại diện).
Thời gian thực hiện: Từ tháng 04/2007 đến hết tháng 04/2008.

1. Mục tiêu
Đề tài nhằm nghiên cứu các nhóm Lie và đại số Lie thuộc lớp MD5. Liệt kê
và phân loại một bộ phận của lớp này. Mô tả K-biểu diễn của chúng.

2. Nội dung chính
a) Tìm các MD5-đại số thỏa mãn điều kiện ideal dân xuât giao hoán bốn chiều.
b) Mô tả hình học các K-quỹ đạo của tất cả các MD5-nhóm liên thông
tƣơng ứng với các MD5-đại số đã tìm đƣợc.

-i-


Kết quả chính đạt đƣợc (khoa học, ứng dụng, đào tạo, kinh tê-xã hội)
3.1. Các kết quả về khoa học cơ bản
a) Liệt kê và phân loại toàn bộ lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất bốn
chiều giao hoán (Kết quả này đã đƣợc bảo cáo tại Hội thảo quốc tế về Đại
số và Tổ hợp lần thứ hai tại Bắc kinh , Trung quốc, 6-10/07/2007 đồng thời
đƣợc nhận đăng trên tạp chí khoa học trường Đại học sư phạm thành phố
Hồ Chí Minh năm 2007).
b) Mô tả hình học các K-quỹ đạo của toàn bộ lớp con các MD5-nhóm liên
thông tƣơng ứng với các MD5-đại số kể trên (Kết quả này đã đƣợc báo cáo
tại Hội thảo quốc tế về Đại số và Tổ hợp lần thứ hai tại Tây An, Trung
quốc, 12-14/07/2007 đồng thời đƣợc nhận đăng trên tạp chí khoa học
trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh năm 2007).
3.2. Kết quả về đào tạo
Với các kết quả về khoa học cơ bản nêu trên, chúng tôi hƣớng dẫn anh

Dƣơng Quang Hòa (học viên cao học Toán khóa 15 chuyên ngành Hình học Tô pô của trƣờng Đại học sƣ phạm thành phố Hồ Chí Minh) hoàn thành luận
văn Thạc sỹ Toán và sẽ bảo vệ vào tháng 1 0 năm 2007.

- ii -


SUMMARY
Project Title: On MD5-algebras which have 4-dimensinal commutative

derived ideals and the K-representation of corresponding connected
MD5-groups.
Code number: CS2007.19.05
Coordinator: Ass. Prof. Dr. Le Anh Vu
Implementing Institution : Ho Chi Minh City University of Pedagogy
Cooperating Institution(s):
 Duong Quang Hoa, Graduate student K 15 of Ho Chi Minh City university
of Pedagogy, speciality of Geometry - Topology.
 Institute of Mathematics, Vietnam Academy of Science anf Technology
(represented by Prof. Dr. of Science Do Ngoc Diep).
 Department of Mathematics, Faculty of Science, Mahidol University,
Bangkok. Thailand (represented by Dr. Nguyen Van Sanh).
Duration: from April 2007 to April 2008.
1. Objectives: Research and Classify MD5-algebras and MD5-groups. Describe
the K-representation of them.

2. Main contents
a) Find out MD5-algebras which have 4-dimensionah commutative derived
ideals.
b) Make the geometrical description of K-orbits of MD5-groups corresponding
to these MD5-algebras.

3. Results obtained
a) The classification up to an isomorphism of all MD5-algebras with the derived
ideals is a 4-dimensional commutative Lie algebra ( t o appear

- iii -


in Journal of Science-Natural Sciences of Ho Chi Minh City University of
Pedagogy, 2007).
b) The description the geometry of K-orbits of corresponding subclass of
connected MD5-groups (to appear in Journaỉ of Science-Natural Sciences
of Ho Chi Mình City University of Pedagogy, 2007).

- iv -


LỜI CẢM ƠN











Tác giả chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu, Ban Chủ Nhiệm và Tổ Hình
học khoa Toán - Tin học, phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học, phòng

Kế hoạch - Tài chính Trƣờng Đại học Sƣ phạm thành phố Hồ Chí Minh đã
giúp đỡ, tạo điều kiện vật chất và tinh thần cho tác giả hoàn thành đề tài
khoa học này.
Tác giả hân hạnh đƣợc cám ơn Đại học Beihang, Bắc Kinh, Trung Quốc
(BeiHang University, Beijing, China), đặc biệt là Giáo sƣ giáo sƣ Shangzhi
Li đã mời tác giả tham dự và đọc báo cáo kết quả nghiên cứu tại Hội thảo
quốc tế
lần thứ hai về Đại số và Tổ hợp (ICAC-07) ở Bắc kinh, Trung Quốc trong
các ngày 6-10 tháng 7 năm 2007.
Tác giả chân thành cám ơn Đại học Kiến trúc và Kỹ thuật, Tây An, Trung
Quốc (Xi'an University of Architecture and Technology, China), đặc biệt là
Giáo sƣ Karping Shum và Giáo sƣ Xueming Ren đã mời tác giả tham dự và
đọc báo cáo kết quả nghiên cứu tại Hội thảo quốc tế lần thứ hai về Đại số và
Tổ hợp (ICAC-07) ở Tây An, Trung quốc trong các ngày 12-15 tháng 7 năm
2007.
Tác giả xin tỏ lòng biết ơn Giáo sƣ Tiến sỹ khoa học Đỗ Ngọc Diệp, ngƣời
thầy đáng kính luôn dành cho tác giả sự động viên khích lệ và sự tài trợ vật
chất quý giá giúp tác giả hoàn thành đề tài.
Tác giả cũng xin chân thành cám ơn Tiến sỹ Nguyễn Hà Thanh, Tiến sỹ
Huỳnh Quang Vũ đã đọc kỹ bản báo cáo đề tài và cho những nhận xét xác
đáng. Cám ơn Tiến sỹ Nguyễn Văn Sanh, Phó Giáo sƣ Tiến sỹ Bùi Xuân
Hải đã thƣờng xuyên quan tâm động viên tác giả trong nghiên cứu đề tài.

-v-


Các MD5 – đại số với iđean dẫn xuất giao hoán bốn chiều……

GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI

1. Xuất xứ và tính cấp thiết của đề tài
Trong lĩnh vực Hình học - Tô pô, lý thuyết biểu diễn nhóm Lie là một
hƣớng nghiên cứu lớn và có rất nhiều ứng dụng trong Cơ học, Vật lý. Năm 1962,
Kirillov (xem [Ki]) phát minh ra phƣơng pháp quỹ đạo và nó nhanh chóng trở thành
phƣơng pháp hiệu quả nhất để nghiên cứu lý thuyết biểu diễn nhóm Lie. Phƣơng
pháp này cho phép ta nhận đƣợc tất cả các biểu diễn bất khả quy unitar của mỗi
nhóm Lie liên thông, đơn liên, giải được từ các K - quỹ đạo nguyên của nó. Trong
khoảng thập niên 60 và 70 của thế kỷ trƣớc, phƣơng pháp quỹ đạo Kirillov đƣợc
nghiên cứu cải tiến, mở rộng và áp dụng trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie bởi
nhiều nhà Toán học trên thế giới nhƣ L. Auslander, B. Kostant, Đỗ Ngọc Diệp, ...
Đóng vai trò then chốt trong phƣơng pháp quỹ là các K-quỹ đạo của biểu
diễn đối phụ hợp (còn gọi là K-biểu diễn). Do đó, việc mô tả các K-quỹ đạo của
mỗi nhóm Lie, nhất là các nhóm Lie liên thông giải đƣợc, đặc biệt có ý nghĩa trong
lý thuyết biểu diễn nhóm Lie.
Các nhóm Lie và đại số Lie giải đƣợc có cấu trúc không quá phức tạp, tuy
nhiên việc phân loại chúng cho đến nay vẫn chƣa đƣợc giải quyết triệt để. Năm
1980, trong quá trình nghiên cứu vấn đề tìm lớp các C*- đại số hoặc lớp các nhóm
Lie mà C*- đại số của chúng có khả năng mô tả đƣợc bàng phƣơng pháp KK-hàm
tử, Đỗ Ngọc Diệp (xem [Di]) đã đề nghị xét một lớp con các nhóm Lie và đại số
Lie thực giải đƣợc mà rất đơn giản về phƣơng diện phân tầng các K-quỹ đạo. Đó là
lớp các MD-nhóm và MD-đại số. Một nhóm Lie thực giải đƣợc mà các K-quỹ đạo
của nó hoặc không chiều hoặc chiều cực đại đƣợc gọi là MD-nhóm. Ngay lập tức
một bài toán lớn đƣợc đặt ra là phân loại các MD-đại số đồng thời mô tả C*- đại
số của các MD-nhóm băng phương pháp KK-hàm tử.
Việc phân loại lớp các MD-đại số đến nay vẫn còn là một bài toán mở. Để
đơn giản hơn, ta phân nhỏ lớp các MD-nhóm và MD-đại số theo số chiều. Tức là
xét các lớp con MDn-nhóm (và MDn-đại số) gồm các MD-nhóm (và MD-đại số) nchiều. Dễ thấy rằng tất cả các đại số Lie dƣới 4-chiều đều là các MD-đại số và đã
đƣợc liệt kê hết từ lâu nên ta chỉ xét các lớp MDn-nhóm và MDn-đại số với n>4.
Năm 1984, Đào Văn Trà (xem [Tr]) đã liệt kê toàn bộ lớp các MD4-đại số.
Đến năm 1990, lớp các MD4-đại số đƣợc chúng tôi (xem các tài liệu [Vu2], [Vu3],

[Vu4]) phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie). Hiện tại, lớp các
MD5-đại số vẫn chƣa đƣợc liệt kê và phân loại đầy đủ.
Mặt khác, về phƣơng diện hình học, nếu bỏ đi các K-quỹ đạo 0-chiều, họ các K-quỹ
đạo chiều cực đại của mỗi MD-nhóm liên thông có những tính chất

Lê Anh Vũ

1


Các MD5 – đại số với iđean dẫn xuất giao hoán bốn chiều……

hoàn toàn giống nhƣ họ các lá của một không gian phân lá. Điều này gợi cho
chúng ta xét các phân lá tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của
mỗi MD-nhóm. Nhƣ vậy, có thể kết hợp việc nghiên cứu K-biểu diên của
các MD-nhóm và MD-đại số với các phân lá.
Khái niệm về không gian phân lá lần đầu tiên xuất hiện khi khảo sát
các lời giải của một hệ khả tích các phƣơng trình vi phân thƣờng. Kể từ công
trình của Reeb [Re] năm 1952, các phân lá mới thực sự trở thành đối tƣợng
nghiên cứu mang tính chất hình học và nhanh chóng phát triển thành ngành
tôpô phân lá - một ngành thuộc lĩnh vực Hình học - Tô pô.
Năm 1982, A. Connes (xem [Co]) đƣa ra khái niệm độ đo hoành rất
thích hợp đối với việc nghiên cứu các phân lá. Ta gọi mỗi phân lá với một
độ đo hoành đã cho trên nó là phân lá đo đƣợc. Để nghiên cứu tô pô phân lá
một cách hiệu quả, Connes liên kết mỗi phân lá đo đƣợc với một C*-đại số
mà đƣợc gọi là C*-đại số của phân lá đó. Điều đáng lƣu ý là họ các K-quỹ
đạo chiều cực đại của mỗi MD-nhóm liên thông đều lập thành một phân lá
đo đƣợc. Chúng ta gọi đó phân lá đó là MD-phân lá lien kết vớ MD-nhóm
đang xét. Từ đây nảy sinh bài toán lớn là mô tả cấu trúc C *-đại sổ của các
MD-phân lá bằng phương pháp KK-hàm tử. Bài toán này có ý nghĩa khoa

học rất lớn vì nó kết hợp đƣợc phƣơng pháp quỹ đạo nổi tiếng của Kirillov
với ý tƣởng đặc sắc của Connes trong Hình học vi phân không giao hoán.
Trong khoảng thời gian từ 1987 đến 1990, chúng tôi quan tâm giải
quyết các bài toán liên quan đến lớp MD4. Cụ thể, luận án tiến sỹ của chúng
tôi (xem [Vui]) đã giải quyết các vấn đề sau: phân loại triệt để (chính xác
đến đẳng cấu đại số Lie) toàn bộ lớp MD4-đại số; mô tả triệt để hình học
các K-quỹ đạo của mọi MD4-nhóm liên thông đơn liên; phân loại tô pô toàn
bộ lớp MD4-phân lá tương ứng với lớp MD4-nhóm đồng thời mô tả tất cả
các C *- đại số liên kết với từng MD4-phân lá bằng phương pháp KK-hàm
tử. Nói một cách vắn tắt, bài toán nghiên cứu lớp MD4 xem nhƣ đã đƣợc
giải quyết trọn vẹn về phƣơng diện Tôpô - Hình học và đại số toán tử! Kể từ
thời điểm đó, có thể bắt đầu "tấn công" lớp MDn với n ≥ 5.
Phƣơng pháp và công cụ nghiên cứu cho trƣờng hợp MD5 về cơ bản
vẫn nhƣ trƣờng hợp MD4 nhƣng vì số chiều tăng lên 1 đơn vị nên mọi tính
toán trở nên phức tạp hơn nhiều. Do đó việc nghiên cứu đòi hỏi tốn nhiều
thời gian và cần công sức đóng góp của nhiều ngƣời. Cho đến trƣớc năm
2003, không một MD5-đại số bất khả phân nào đƣợc biết đến.
Chú ý rằng, điều kiện cần (nhƣng không đủ) để một đại số Lie  thuộc
lớp MD là ideal dẫn xuất thứ hai 2 = [ ,, ] , [ , G]] của nó giao hoán
(xem [So-Vi]). Do đó để tiếp cận các MD5- đại số, trƣớc hết ta xét các đại số
Lie giải đƣợc 5 chiều với 2 tầm thƣờng, tức là 1: = [ , ] giao hoán.
Trong mấy năm gần đây, từ 2003 đến 2006, chúng tôi đã phân loại được tất
cả các MD5- đại số với ideal dẫn xuất giao hoán không quá ba chiều, mô tả
hình học K- biểu diễn của các MD5-nhóm liên thông bất khả phân tương
ứng và xét các MD5-phân lá tương
Lê Anh Vũ

2

Các MD5 – đại số với iđean dẫn xuất giao hoán bốn chiều……
ứng với các MD5-nhỏm đã xét (xem [Vu5], [Vu6], [Vu-Tr], [Vu-Th]). Nhƣ vậy,
để hoàn thành việc phân loại các MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán, yêu
cầu cấp thiết đặt ra là nhanh chóng nghiên cứu các MD5-đại số với ideal dẫn
xuất giao hoán bốn chiều. Chính vì những lý do trên, chúng tôi đăng ký thực
hiện đề tài "Các MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán bốn chiều và K-biểu
diễn của các MD5-nhóm liên thông tương ứng".

2. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của đề tài này là tìm các MD5-đại số và MD5-nhóm mới với
ideal dẫn xuất bốn chiều rồi nghiên cứu K-biểu diễn của chúng.
3. Cách tiếp cận và phƣơng pháp nghiên cứu
Chúng tôi sẽ tiếp cận và nghiên cứu đề tài bằng phƣơng pháp kết hợp các
kỹ thuật liệt kê kinh điển các đại số Lie số chiều thấp với các tính toán hình họ tô pô và giải tích trong K-biểu diễn.
4. Phạm vi và nội dung nghiên cứu
Về phạm vi nghiên cứu, chúng tôi giới hạn chỉ xét các MD5-đại số bất
khả phân với ideal dẫn xuất giao hoán bổn chiều vì việc nghiên cứu các MD5đại sổ khả phân dễ dàng quy về trƣờng hợp MD4. Khi mô tả K-quỹ đạo, ta cũng
chỉ cân xét các MD5-nhóm liên thông đơn liên bất khả phân vì mỗi MD5-nhóm
liên thông có bức tranh K-quỹ đạo hoàn toàn giống với phủ đơn liên của nó. Cụ
thể nội dung nghiên cứu của đề tài bao gồm hai bƣớc dƣới đây.
• Bƣớc 1: Liệt kê và phân loại các MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán 4
chiều.
• Bƣớc 2: Mô tả bức tranh hình học các K-quỹ đạo của mỗi MD5-nhóm liên
thông đơn liên ứng với MD5—đạỉ sổ đã liệt kê.
Các kết quả chính mà chúng tôi nhận đƣợc là:
1. Liệt kê đầy đủ và phân loại (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) lớp con tất
cả các MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán bốn chiều (xem bài báo thứ
nhất; §3, Định lý 3.2).
2. Mô tả hình học các K-quỹ đạo của toàn bộ lớp con các MD5-nhóm liên
thông đơn liên bất khả phân tương ứng với các MD5-đại số mà ideal dẫn xuất

bốn chiều giao hoán (xem bài báo thứ hai, §3, các định lý 3.3.1, 3.3.2, 3.3.3,
3.3.4 và mệnh đề 3.4.2).
Đây là những kết quả mới và có nhiều ý nghĩa quan trọng trong việc
nghiên cứu lớp MD5 nói riêng, lớp các đại số Lie và nhóm Lie giải đƣợc nói
chung. Chúng tôi đã báo cáo các kết quả này tại Hội thảo quốc tế lần thứ hai về
Đại số & Tổ hợp lần lƣợt ở Bắc kinh 6-10/07/2007 và ở Tây An 11-14/07/2007.
Đồng thời

Lê Anh Vũ

3


Các MD5 – đại số với iđean dẫn xuất giao hoán bốn chiều……

các kết quả này cũng đã đƣợc nhận đăng trên Tạp chí Khoa học trƣờng Đại học Sƣ
phạm thành phố Hồ Chí Minh năm 2007 này.
Với các kết quả đó, chúng tôi đã hƣớng dẫn anh Dƣơng Quang Hòa hoàn
thành luận văn Thạc sỹ Toán và sẽ bảo vệ trong tháng 1 0 năm 2007.
Vì thời gian thực hiện đê tài có hạn, bản báo cáo tổng kết đề tài khó tránh
khỏi những thiếu sót, rất mong nhận đƣợc những góp ý của độc giả. Chúng tôi xin
chân thành cám ơn những ai đã, đang và sẽ quan tâm đóng góp ý kiến cho đề tài và
hƣớng nghiên cứu khoa học này.
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng 9 năm 2007

Chủ nhiệm đề tài

Lê Anh Vũ

4

CÁC BÀI BÁO
VIẾT VỀ
CÁC KẾT QUẢ
CỦA ĐỀ TÀI


Các MD5 – đại số với iđean dẫn xuất giao hoán bốn chiều……

Bài báo thứ nhất

PHÂN LOẠI LỚP CÁC MD-ĐẠI SỐ NĂM CHIỀU VỚI
IDEAL DẪN XUẤT GIAO HOÁN BỐN CHIỀU
Lê Anh Vũ
Khoa Toán - Tin học, Trƣờng Đại học Sƣ phạm thành phố Hồ Chí Minh

§1. LỊCH SỬ VẤN ĐỀ
1.1. MD-đại số là gì? Tại sao cần nghiên cứu lớp MD-đại số ?
Xuất phát điểm của vấn đề mà chúng tôi quan tâm là bài toán mô tả cấu
trúc các C*- đại số bằng phương pháp K-hàm tử.
Năm 1943, I. Gelfand và A. Naimark [Ge-Na] đƣa ra khái niệm C*- đại
số. Các C*- đại số nhanh chóng tìm thấy nhiều ứng dụng trong Toán học cũng
nhƣ trong Vật lý, Cơ học. Tuy nhiên chính vấn đề mô tả cấu trúc C*- đại số
trong trƣờng hợp tổng quát lại rất phức tạp và cho đến nay vẫn còn là bài toán
mở.
Năm 1974, Đỗ Ngọc Diệp [Di] đã sử dụng các K-hàm tử đồng điều của
Brown-Douglas-Fillmore (còn gọi là K-hàm tử BDF) để đặc trưng C*- đại số
C*(AffR) của nhóm các phép biến đổi Affine trên đƣờng thẳng thực R. Bởi thế
phƣơng pháp mô tả cấu trúc C*-đại số bằng các K-hàm tử BDF còn gọi là

phương pháp của Đỗ Ngọc Diệp (Diep's method). Năm 1975, J. Rosenberg [Ro]
đã sử dụng phƣơng pháp này để mô tả C*-đại số C*(AffC) của nhóm các phép
biến đổi Affine trên đƣờng thẳng phức C và C*-đại số của một vài nhóm Lie
giải đƣợc khác. Năm 1977, Đỗ Ngọc Diệp [Di] đã cải tiến phƣơng pháp của
mình để đặc trƣng các C*-đại số kiểu I bằng các mở rộng lặp nhiều tầng. Đến
lúc này, các K-hàm tử BDF dƣờng nhƣ không còn thích hợp với việc mô tả C*đại số của các nhóm Lie khác cũng nhƣ các C*-đại số khác nữa. Một cách tự
nhiên nảy sinh hai vấn đề lớn.
• Vấn đề 1: Tổng quát hóa các K-hàm tử BDF theo cách nào đó để có thể mô tả
được một lớp rộng hơn các C*-đại số.
• Vấn đề 2: Đi tìm lớp các C*-đại số hoặc lớp các nhóm Lie mà C*-đại số của
chúng có khả năng mô tả được bằng các K-hàm tử mở rộng.
Năm 1980, G. G. Kasparov [Ka] đã nghiên cứu vấn đề thứ nhất và thành
công trong việc tổng quát hóa các K-hàm tử BDF thành các K-song hàm tử toán
tử (còn gọi là các KK-hàm tử) vừa đồng điều vừa đối đồng điều. Ngay sau

Lê Anh Vũ

5


Các MD5 – đại số với iđean dẫn xuất giao hoán bốn chiều……
đó, Kasparov đã sử dụng các KK-hàm tử của mình để mô tả C*-đại số C*(H3)
của nhóm Heisenberg H3.
Vấn đề thứ hai có liên quan mật thiết với một phƣơng pháp nổi tiếng và
đóng vai trò then chốt trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie - đó là phương pháp
quỹ đạo do Kirillov khởi xƣớng vào năm 1962. Năm 1980, chính phƣơng pháp
quỹ đạo của Kirillov đã gợi ý để Đỗ Ngọc Diệp đề nghị xét lớp các MD- đại số
và MD- nhóm. Lớp này rất đơn giản về phƣơng diện phân tầng các K- quỹ đạo
nên nói chung C*-đại số của chúng có thể mô tả đƣợc nhờ các KK- hàm tử.
Giả sử G là một nhóm Lie thực giải đƣợc n chiều (n là một số tự nhiên

dƣơng). G đƣợc gọi là một MDn-nhóm nếu các K-quỹ đạo của nó hoặc là không
chiều hoặc có chiều là một hằng số k (chẵn) nào đó không vƣợt quá n. Khi k = n
thì G còn đƣợc gọi là một MDn -nhóm. Đại số Lie(G) của mỗi MDn-nhóm
(tƣơng ứng MDn - nhóm) đƣợc gọi là một MDn-đại số (tƣơng ứng MDn -đại
số). Rõ ràng lớp MD là con của lớp MD. Đến đây, một bài toán lớn đƣợc đặt ra
là phân loại các MD-đại số đồng thời mô tả C*-đại số của các MD - nhóm bằng
phương pháp KK-hàm tử.
Năm 1984, Hồ Hữu Việt [So-Vi] đã phân loại triệt để các MD-đại số. Lớp
này chỉ gồm các đại số Lie giao hoán Rn, đại số Lie (AffR) và đại số Lie
(AffC). Ngay sau đó, Hồ Hữu Việt đã dùng phƣơng pháp KK-hàm tử để mô tả
C* AffC của AffC , ở đó AffC là phủ phổ dụng của nhóm AFFC. Nhƣ vậy,
cùng với các kết quả có trƣớc của Đỗ Ngọc Diệp và Rosenberg, bài toán đối với
các MD -đại số và MD -nhóm xem nhƣ đã đƣợc giải quyết triệt để.
Thế còn các MD-đại số và MD-nhóm thì sao? Đáng tiếc là đối với chúng,
vấn đề trở nên phức tạp hơn nhiều. Chú ý rằng mọi nhóm (tƣơng ứng đại số)
Lie thực giải đƣợc không quá 3 chiều đều là MD-nhóm (tƣơng ứng MD-đại số),
hơn nữa chúng đã đƣợc liệt kê hết từ lâu trong lý thuyết đại số Lie. Bởi vậy
chúng ta chỉ cần bắt đầu từ các MDn-đại số và MDn-nhóm với n ≥ 4.
Ngoài ra, chúng ta quan tâm nghiên cứu các MD-nhóm và MD-đại số còn do
sự kiện quan trọng sau đây: đối với mỗi MD-nhóm, họ các K-quỹ đạo chiều cực
đại của nó tạo thành một phân lá đo được theo nghĩa của A. Connes [Co]. Các
phân lá này đƣợc gọi là các MD-phân lá liên kết với các MD-nhóm đã xét. Phân
lá là khái niệm xuất xứ từ lý thuyết các phƣơng trình vi phân nhƣng kể từ công
trình của G. Reeb [Re] năm 1952, lý thuyết các phân lá đã trở thành một nhánh
thuộc lĩnh vực Tô pô - Hình học và nhanh chóng phát triển. Năm 1982, nghiên
cứu các đa tạp phân lá, A. Connes [Co] đƣa ra khái niệm phân lá đo đƣợc và
gắn mỗi phân lá đo đƣợc với một C*-đại số mà đƣợc gọi là C*- đại số của
phân lá đó. Lập tức nảy sinh câu hỏi là liệu các C*-đại số phân lá có thích hợp
với phương pháp KK-hàm tử hay không? Câu trả lời là khẳng định. Năm 1985,
A. M. Torpe [To] đã dùng các KK-hàm tử để mô tả thành công C*-đại số của

các phân lá Reeb trên xuyến 2 chiều. Đến đây, lại xuất hiện thêm bài toán mô tả
C*-đại số của các MD-phân lá.
Đó chính là các lý do cơ bản để chúng ta quan tâm nghiên cứu lớp các MDđại số và MD-nhóm



Lê Anh Vũ



6


Các MD5 – đại số với iđean dẫn xuất giao hoán bốn chiều……
1.2. Các két quả trƣớc đây liên quan trực tiếp đến bài báo
• Giải quyết triệt để lớp MD4. Cụ thể là phân loại tất cả các MD4-đại số, mô tả
hình học K-biểu diễn của các MD4-nhóm liên thông bất khả phân, phân loại tô pô
tất cả các MD4-phân lá đồng thời mô tả tất cả các C*-đại số của các MD4-phân lá
bằng phương pháp KK-hàm tử (xem [Vui], [Vu2], [Vu3]).
• Phân loại các MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán chiều không quá 3, mô
tả hình học K-biểu diễn của các MD5-nhóm liên thông bất khả phân tương ứng và
xét các MD5-phân lá tương ứng với các MD5- đã xét (xem [Vu4], [Vu5], [Vu-Tr],
[Vu-Th]).

1.3. Tóm tắt kết quả chính của bài báo
Bài báo sẽ cho một phân loại (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) tất cả các
MD5-đại số với ideal dẫn xuôi giao hoán 4 chiều.
Trƣớc khi phát biểu và chứng minh kết quả chính, chúng ta sẽ nhắc lại một
số khái niệm có liên quan để bạn đọc tiện theo dõi.

§2. NHẮC LẠI VÀI KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN
2.1. Biểu diễn phụ hợp, K-biểu diễn và dạng song tuyến Kirillov

2.1.1. Biểu diễn phụ hợp
Cho G là một nhóm Lie tuy ý và  là đại sổ Lie của nó. Giả sử G tác động
lên  bởi Ad: G  Aut  đƣợc định nghĩa nhƣ sau:





Ad(g) : Lg .R g1 . :   , g  G

trong đó Lg (tƣơng ứng R g1 ) là phép tinh tiến trái (tƣơng ứng, phải) của G theo
phân tử g G (tƣơng ứng, R g1  G ). Tác động Ad còn gọi là biểu diễn phụ hợp
của G trong .

2.1.2. Biểu diễn đối phụ hợp
Ký hiệu * là không gian đối ngẫu của . Khi đó biểu diễn Ad cảm sinh ra
tác động K: G  Aut * của G lên * theo cách sau đây:
<K(g)F, X > : = < F, Ad (g-1) X > ,

Lê Anh Vũ

7

F *, F , F  G


Các MD5 – đại số với iđean dẫn xuất giao hoán bốn chiều……

ở đó với mỗi F *, X  , ký hiệu < F, X > chỉ giá trị của dạng tuyển tính F
* tại trƣờng vectơ (bất biến trái) X   . Tác động K đƣợc gọi là K-biểu diễn hay
biểu diễn đối phụ hợp của G trong *. Mỗi quỹ đạo ứng với K- biểu diễn đƣợc gọi
là K-quỹ đạo hay quỹ đạo Kirillov của G (trong *). Nhƣ vậy, K-quỹ đạo  F chứa
phần tử F đƣợc cho bởi
QF: = { K( g ) F / g e G } .
Mỗi K-quỹ đạo của G luôn là một G-đa tập vi phân thuần nhất với số chiều
chẵn và trên đó có thể đƣa vào một cấu trúc symplectric tự nhiên (tƣơng thích với
tác động của G) cảm sinh bởi dạng song tuyến tính phản xứng Kirillov.

2.1.3. Dạng song tuyến tính Kirillov
Với mỗi F *, ta xác định dạng BF nhƣ sau:

BF(X, Y): = <F, [X, Y]>, X, Y  

Hiển nhiên BF là dạng song tuyến tính phản xứng vì móc Lie có tính chất
đó. Ký hiệu G F là cái ổn định hóa của F dƣới tác động K của G trong *, tức là
GF: = { g e G / K( g ) F = F } .
Đặt F: = Lie (GF) là đại số Lie của GF. Đại số Lie F và dạng song tuyến
tính Kirillov BF có quan hệ mật thiết với nhau, hơn nữa chúng rất có ích trong việc
xác định số chiều của K-quỹ đạo  F chứa F.
2.1.4. Mệnh đề (xem [Ki]) Hạt nhân của BF và số chiều của QF được cho bởi các
hệ thức sau đây:
KerBF = F và dim F = dim - dimF

2.2. Các MD-nhóm và MD-đại số
2.2.1. Định nghĩa. Giả sử G là một nhóm Lie thực giải đƣợc n chiều (n là
một số tự nhiên dƣơng nào đó). G đƣợc gọi là một MDn-nhóm nếu

Lê Anh Vũ

8


Các MD5 – đại số với iđean dẫn xuất giao hoán bốn chiều……

các K-quỹ đạo của nó hoặc là không chiều hoặc có chiều là một hằng số k (chẵn)
nào đó không vƣợt quá n.
2.2.2. Định nghĩa. Đại số Lie của mỗi MDn - nhóm đƣợc gọi là một MDn-đại số.
2.2.3. Mệnh đề (xem [So-Vi]) Điều kiện cần để đại số Lie giải được  thuộc lớp
MD-đại số là ideal dẫn xuất thứ hai
2 : = [1, 1 ] = [ [,  ], [, ] ]
của nó giao hoán .
Chú ý rằng điều kiện cần nêu trên không phải là điều kiện đủ. Nói một cách
khác, có những đại số Lie giải đƣợc với ideal dẫn xuất thứ hai giao hoán, thậm chí
triệt tiêu nhƣng vẫn không phải là MD- đại số. Tuy nhiên, nhờ điều kiện này, để
phân loại các MD- đại số, ta chỉ cần xét các đại số Lie giải đƣợc với .2 giao hoán.
Nói riêng có thể xét lớp con các đại số Lie giải đƣợc với .2 triệt tiêu, tức là
ideal
dẫn xuất thứ nhất .1 giao hoán. Gần đây, trong [Vu4], [Vu5], [Vu-Tr], [Vu-Th] tác
giả đã xét các MD5-đại số với ideal dẫn xuất thứ nhất giao hoán không quá 3 chiều.
Bài này sẽ phân loại nốt các MD5-đại số với 1 giao hoán 4 chiều

§3. KẾT QUẢ CHÍNH
3.1. Các ký hiệu
Từ đây về sau,  sẽ là ký hiệu để chỉ một đại số Lie thực giải đƣợc 5 chiều.
Ta luôn chọn một cơ sở thích hợp ( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 ) trong . Lúc đó, với tƣ
cách là một không gian vectơ 5 chiều,    5 . Không gian đối ngẫu của  đƣợc
ký hiệu là *. Ta cũng có đồng nhất thức *5 với cơ sở đối ngẫu

 X , X , X , X , X  . Đối với các MD5- đại số với ideal dẫn xuất giao hoán 4
*
1

*
2

*
3

*
4

*
5

chiều, ta có định lí phân loại sau.

3.2. Định lý
Giả sử  là một MD5-đại số với 1 : = [ , ]   4 (đại số Lie giao hoán 4
chiều).
• Nếu  khả phân thì nó có dạng  = h, ở đó h là một MD4-đại số.
• N ế u  bất khả phân thì ta luôn có thể chọn được một cơ sở thích hợp
( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 ) trong  sao cho ’ = < X 2 , X 3 , X 4 , X 5 >  R 4

Lê Anh Vũ

9

Các MD5 – đại số với iđean dẫn xuất giao hoán bốn chiều……

ad x1  End (1) (  Mat4 (), và  đẳng cấu với một và chỉ một trong các đại số Lie
dƣới đây:
5, 4, 1 (1, 2, 3, ) :
1 0 0 0 
0 
0 0 
2

ad x1 
;  ,  ,   \{0,1}, 2. 5, 4, 2 (1, 2,) :
 0 0 3 0 1 2 3


 0 0 0 1
1 0 0 0 
 0  0 0
2
 ;  ,   \{0,1}, 1  2.
ad x1  
 0 0 1 0 1 2


 0 0 0 1


0
3. 5, 4, 3 () ad x1  
0


0

0 0 0
 0 0 
;   \{0,1}
0 1 0

0 0 1

1
0
4. 5, 4, 4 () : ad x1  
0

0
1
0
5, 4, 5 : ad x1  
0

0

0 0 0
1 0 0 
;   \{0,1}.
0 1 0

0 0 1

0 0 0
1 0 0 
0 1 0

0 0 1

1 0
0 
2
6. 5, 4, 6 (1, 2,) : ad x1  
0 0

0 0

Lê Anh Vũ

10

0 0
0 0 
; 1 ,  2 ,  \{0,1}, 1  231
1 1

0 1


Các MD5 – đại số với iđean dẫn xuất giao hoán bốn chiều……

Lê Anh Vũ

11


Các MD5 – đại số với iđean dẫn xuất giao hoán bốn chiều……

3.3. Phép chứng minh của định lý

3.3.1. Bổ đề
Mỗi đại số Lie thực hiện 5 chiều  với ideal dẫn xuất thứ nhất 1 giao hoán 4 chiều
đều là MD5-đại số.

3.3.2. Chứng minh bổ đề
Giả sử  là một đại số Lie thực 5 chiều với 1 = 4. Hiển nhiên là ta luôn chọn đƣợc một
cơ sở ( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 ) thích hợp trong  sao cho
1 = < X 2 , X 3 , X 4 , X 5   4 , ad x1  ( 1)  M a t 4 (  ) .

Giả sử a d x 1 = ( a i j ) 4 ; i, j  {2, 3, 4, 5}. Lấy phần tử

F  a1X1*  a 2 X*2  a 3X*3  a 4X*4  a 5X*5   a1,a 2 ,a 3 ,a 4 ,a 5 
bất kỳ của không gian đối ngẫu * = 5 với cơ sở đối ngẫu  X1* , X*2 , X*3 , X*4 , X*5  của cơ sở
( X X , X 2 , X3, X 4 , X 5 ) . Xét K-quỹ đạo  F chứa F. Ta cần chứng tỏ rằng  F hoặc không
chiều, hoặc có chiều là một hằng số chẵn nào đó không vƣợt quá 4. Theo mệnh đề 2.1.4, ta
có KerBF = F và dim F = dim - dimF.
Nhớ rằng KerBF = {U   / < F, [U, Xi] > = 0; i =1, 2, 3, 4, 5}. Do đó ta có:
U = a1X1 + a2X2 + a3X3 + a4X4 + a5X5  (a1, a2, a3, a4, a5)  KerBF.
 < F, [U, Xi] > = 0; I = 1, 2, 3, 4, 5
 B (a1, a2, a3, a4, a5)T = 0;

Lê Anh Vũ

12


Các MD5 – đại số với iđean dẫn xuất giao hoán bốn chiều……

ở đó (.)T chỉ phép lấy chuyển vị ma trận, còn B là ma trận sau đây

Suy ra dim  F = dim = dimF = rank(B). Tính toán trực tiếp, ta đƣợc:

Dễ thấy rằng rank(B)  {0, 2}. Do đó  F chỉ hoặc không chiều hoặc 2 chiều. Vậy  là
MD5-đại số. 
3.3.3. Chứng minh định lý
Bây giờ phép chứng minh định lý dựa vào phân loại đồng dạng của ma trận thực cấp
bốn adX1 . Chú ý rằng trong dạng chuẩn tắc của ma trận adX1, ta luôn có thể đổi cơ sở một
cách thích hợp để cho một trong các giá trị riêng thực hoặc mô đun của giá trị riêng phức của
adX1 bằng một. Từ đó ta nhận đƣợc đúng 14 dạng khác nhau của adX1 nhƣ đã liệt kê trong
định lý 3.2. Hơn nữa hai đại số ứng với hai dạng khác nhau của ad X1 không đẳng cấu. Định lý
3.2 đƣợc chứng minh hoàn toàn. 

Lê Anh Vũ

13


Các MD5 – đại số với iđean dẫn xuất giao hoán bốn chiều……

3.4. Nhận xét
Nhắc lại rằng, mỗi đại sổ Lie thực  xác định duy nhất một nhóm Lie liên
thông đơn liên G sao cho Lie (G) =  . Do đó ta cùng nhận đƣợc 14 họ MD5nhóm liên thông đơn liên tƣơng ứng với các MD5 - đại số đƣợc liệt kê trong định
lý 3.2. Chẳng hạn, G = G 5,4,1 ( 1 ,  2 ,  3 ) là MD5- nhóm liên thông đơn liên tƣơng

ứng với MD5- đại số  =  5,4,1 ( 1 ,  2 ,  3 ). Các họ MD5- nhóm này đều bất khả
phân. Trong bài báo khác, chúng tôi sẽ mô tả K-biểu diễn của 14 họ các MD5nhóm này và sét họ các MD5-phân lá tƣơng ứng với chúng.

3.5. Vài bài toán mở cần tiếp tục nghiên cứu
3.5.1. Đối với tất cả các MD5-đại số và MD5-nhóm liên thông đơn liên đã xét,
cần phân loại tô pô các MD5-phân lá tƣơng ứng và mô tả C*- đại số của các kiểu
MD5- phân lá không phải phân thớ bàng phƣơng pháp KK-hàm tử.
3.5.2. Xây dựng lƣợng tử hóa biến dạng trên các MD5-nhóm đã phân loại.
3.5.3. Phân loại các MD5-đại số với ideal dẫn xuất thứ nhất không giao hoán để
hoàn thành việc phân loại triệt để toàn bộ lớp MD5-đại số.
3.5.4. Giải quyết các vấn đề tƣơng tự nhƣ đã làm cho các MD5 -đại số và MD5nhóm đã xét cho các MD5-đại số và MD5-nhóm còn lại.
3.5.5. Tiếp tục xét lớp MDn với n ≥ 6 đồng thời xét trƣờng hợp n tổng quát.
Một số két quả tiếp theo bài báo của tác giả liên quan đến các vấn đề nêu ở
3.5.1 và 3.5.2 sẽ đƣợc đăng ngay trong quyển tạp chí này, đó là các bài của
Dƣơng Minh Thành và bài của tác giả cùng với Dƣơng Quang Hòa.

Lời cám ơn : Kết quả chính của bài này đã đƣợc tác giả báo cáo tại Hội thảo quốc
tế lần thứ hai về Đại số và Tổ hợp (ICAC-07) ở Bắc Kinh, Trung Quốc trong các
ngày 6-10 tháng 7 năm 2007. Tác giả hân hạnh đƣợc cám ơn Ban tổ chức Hội

Lê Anh Vũ

14


Các MD5 – đại số với iđean dẫn xuất giao hoán bốn chiều……
thảo, đặc biệt là giáo sƣ Shangzhi Li đã tài trợ cho tác giả tham dự và đọc báo cáo tại Hội
thảo.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. [Co] A. Connes, A Survay of Foliations and Operator Algebras, Proc. Symp.
Pure Math., 38(1982), 512 - 628, Part I.
2. [Di] Do Ngoc Diep, Method of Nocommutative Geometry for Group C*-algeras,
Chapman and Hall/ CRC Press Research Notes in Mathematics Series, #416,
1999.
3. [Ge-Na] I. Gelfand and A. Naimark, On the imbedding of normed rings into the
ring of operators in Hilbert space, Mat. Sbornik, 12 (1943), 197 -213 (In Russian).
4. [Ka] G. G. Kasparov, The operator K-functor and extensions of C*-algebras,
Math. USSR Izvestija, 16 (1981), No 3, 513 - 572.
5. [Ki] A. A. Kirillov, Elements of the Theory of Prepresentations, Springer Verlag, Berlin - Heidenberg - New York, 1976.
6. [Re] G. Reeb, Sur certains proprie'te's topologiques de varie'te's feuillete'es,
Actualite' Sci. Indust. 1183, Hermann, Paris, 1952.
7. [Ro] J. Rosenberg, The C*-algebras of some real p-adic solvable groups, Pacific
J. Math, 65 (1976), No I, 175 - 192.
8. [So-Vi] V. M. Son et H. H. Viet, Sur la structure des C*-algebres d'une classe
de groupes de Lie, J. Operator Theory, 1 1 (1984), 77 - 90.
9. [To] A.M. Torpe, K-theory for the Leaf Space of Foliations by Reeb Component,
J. Func. Anal, 61 (1985), 15-71.
10. [Vu1] Le Anh Vu, On the Structure of the C*- algebra of the Foliation Formed
by the K-orbits of Maximal Dimension of the Real Diamond Group, J. Operator
Theory, 24(1990), 227 - 238.
11. [Vu2] Le Anh Vu, On the Foliations Formed by the Generic K- orbits of the
MD4-Groups, Acta Math. Vietnam, N° 2 (1990), 39 - 55.
12. [Vu3] Le Anh Vu, Foliations Formed by Orbits of Maximal Dimension in the
Co- adjoint Representation of a Class of Solvable Lie Groups, Vest. Moscow Uni.,
Math. Bulletin, Voi. 48( 1993), N° 3, 24 - 27.
13. [Vu4] Le Anh Vu, Foliations Formed by K - orbits of Maximal Dimension of
Some MD5-Groups, East-West Journal of Mathematics, Voi. 5 (2003), N°3, pp.
159- 168.
14. [Vu5] Le Anh Vu, On a subclass of 5-dimensional Lie Algebras Which have 3dimensional Commutative Derived Ideals, East-West J. Math, 7 (2005) N° 1, 1322.

15. [Vu - Tr] Lê Anh Vũ - Nguyễn Công Trí, Vài ví dụ về các MD5-đại số và các
MD5- phân lá đo đƣợc liên kết với các MD5- nhóm tƣơng ứng, Tạp

Lê Anh Vũ

15