Đề thi giải tích 1 2013 2014 đại học cần thơ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BỘ MÔN TOÁN HỌC

ĐỀ THI HỌC KỲ III NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN GIẢI TÍCH 1 – TTK (TN188)
Thời gian làm bài 120 phút

NỘI DUNG
(Đề thi gồm 08 câu được in trên 01 trang)

Câu 1. a) Khảo sát tính chất đơn ánh, toàn ánh và song ánh của ánh xạ

f

:

 π
[ 0,1]
0, 2  →
x
a −4sin 2 x + 4sin x

b) Cho hai tập hợp X, Y và f : X → Y là một ánh xạ. Gọi A và B là các tập hợp con của Y. Chứng
−1
−1
−1
minh rằng f ( A ∪ B ) = f ( A ) ∪ f ( B )

2n sin n
=0

n →∞ n 3 + 1

Câu 2. Dùng định nghĩa giới hạn của dãy số, hãy chứng minh đẳng thức lim

x ≤ −1
 cx − d ,

−1 < x < 2 liên tục trên ( −∞, +∞ ) .
Câu 3. Tìm các số thực c và d sao cho hàm số f ( x) =  3x,
dx 2 − c,
x≥2

Câu 4. Một câu lạc bộ thu phí của mỗi thành viên là 200$ một năm. Tuy nhiên, khi số thành viên của câu lạc
bộ này vượt quá 60 thì cứ mỗi thành viên tăng thêm thì phí sẽ được giảm 2$. Số thành viên của câu lạc
bộ này nên là bao nhiêu để số tiền thu được lớn nhất?
Câu 5. Nhúng một viên sắt hình cầu vào dung dịch axit để làm thí nghiệm. Giả sử quá trình viên sắt tan
trong dung dịch nó vẫn giữ dạng hình cầu. Tính tốc độ biến thiên của bán kính viên sắt tại thời điểm

(

)

(

)

2
2
diện tích mặt của nó là 64π cm và đang giảm với tốc độ 2 cm / phút .
2

b
b
 b
2
2
Câu 6. Ta có bất đẳng thức Schwarz đối với tích phân,  ∫ f ( x ) .g ( x ) dx ÷ ≤ ∫ { f ( x ) } dx.∫ { g ( x ) } dx trong
a
a
 a

đó f ( x ) và g ( x ) là hai hàm số liên tục trên đoạn [ a, b ] . Áp dụng bất đẳng thức trên để ước lượng
chặn trên cho tích phân

π
2

∫ x.sin xdx . Từ đó suy ra π

4

> 96 .

0

(

)

2

Câu 7. Tính độ dài cung phẳng được cho bởi phương trình y = ln 1 − x từ x = −

1
1
đến x = .
2
2

Câu 8. Hàm số f ( x ) xác định trên [ 0, +∞ ) được gọi là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X ≥ 0 nếu

f ( x ) ≥ 0 và

+∞

∫ f ( x ) dx = 1 . Hãy tìm giá trị C để hàm số f ( x ) = Cxe
0

biến ngẫu nhiên X ≥ 0 nào đó.
- - - - - - - - - - - - - - HẾT - - - - - - - - - - - - - -

− x2

là hàm mật độ của một


ĐÁP ÁN