Đề thi và đáp án giải tích 1 2007 2008 đại học cần thơ

ĐÁP ÁN HKI NĂM 2008 – 2009
MÔN: GIẢI TÍCH I - TTK
LỚP: TUD K.34

 1

− cot 2 x ÷.
2
x


Câu 1. Tính giới hạn: lim 
x →0
Giải.

tan 2 x − x 2
tan 2 x − x 2 x 2
 1
2 
−
cot
x
=
lim
=
lim
. 2
÷ x →0 2
2
x →0
x .tan 2 x

x4
tan x
x


Ta có, lim 
x →0

x2
x2
Mặt khác, A = lim
= lim 2 .cos 2 x = 1
2
x →0 tan x
x →0 sin x
Và

2 tan x ( tan 2 x + 1) − 2 x 1
tan 2 x − x 2
tan 3 x + tan x − x
B = lim
=
lim
=
lim
x →0
x →0
x4
4 x3
2 x →0

x3
3tan 2 x ( tan 2 x + 1) + tan 2 x + 1 − 1 1
1
tan 2 x
1
2
= lim
=
lim
3tan 2 x + 4 ) = .4 =
(
2
2
2 x →0
3x
6 x →0 x
6
3
2
 1

− cot 2 x ÷ = A.B =
2
3
x


Vậy lim 
x →0

Câu 2. Chứng minh phương trình: ( x − a )

2

( x − b)

2

+x=

a+b
luôn có nghiệm trên ( a, b )
2

Giải.
Ta có, ( x − a )

2

( x − b)

Đặt f ( x ) = ( x − a )

2

2

a+b
a+b
2

2
⇔ ( x − a) ( x − b) + x −
=0
2
2

+x=

( x − b)

2

+x−

a+b
2

Khi đó, f ( x ) là hàm liên tục trên [ a, b ]
Ta có,

a +b a −b

 f ( a ) = a − 2 = 2

 f ( b) = b − a + b = − a − b

2
2
Do đó, f ( a ) f ( b )

( a − b)
=−
4

2

< 0.

Suy ra, phương trình f ( x ) = 0 luôn có nghiệm trên ( a, b ) . Suy ra điều phải chứng minh.
Trang 1


ĐÁP ÁN HKI NĂM 2008 – 2009
MÔN: GIẢI TÍCH I - TTK
LỚP: TUD K.34

kx khi x ≥ 0
Câu 3. Chứng minh: hàm số f ( x ) = 
khả vi tại x = 0 khi và chỉ khi k = l .
lx khi x < 0
Giải.


f ( ∆x ) − f ( 0 )
k ∆x
= lim+
= k = f +' ( 0 )
 xlim
+
→0

x
→
0
∆x
∆x
Ta có, 
 lim f ( ∆x ) − f ( 0 ) = lim l ∆x = l = f ' ( 0 )
−
 x→0−
x →0− ∆x
∆x
'
'
Ta có, f ( x ) khả vi tại x = 0 khi và chỉ khi f + ( 0 ) = f − ( 0 ) ⇔ k = l . Ta có đpcm.

Câu 4. Một dụng cụ lược cà phê hình nón có chiều cao và đường kính đáy cùng bằng 6cm. Cà
phê đang chảy từ dụng cụ này vào bình chứa hình trụ (có bán kính đáy là 6cm) với tốc độ
10cm3/phút. Giả sử mực cà phê trong dụng cụ lược đang ở mức 5cm. Khi đó mực cà phê trong
bình chứa và trong dụng cụ lược đang thay đổi theo các tốc độ tương ứng nào?
Giải.
Gọi V ( t ) , r ( t ) , h ( t ) lần lượt là thể tích, bán kính bề mặt và chiều cao mực cà phê
trong dụng cụ lược.
Khi đó,

h ( t ) = 2r ( t ) ⇒ r ( t ) =

1
h( t)
2

Và

1
1
V ( t ) = π r 2 ( t ) .h ( t ) = π h3 ( t )
3
12
V ' ( t0 ) = −10 ( cm3 / phút )
'
Tại thời điểm t0 đang xét ta có, 
. Ta tính h ( t0 ) .
h ( t0 ) = 5cm
Ta có, V ( t ) =

1 2
1
π h ( t ) h ' ( t ) ⇒ V ( t0 ) = π h 2 ( t0 ) h ' ( t0 )
4
4

Do đó, −10 =

1
8
π .25.h' ( t0 ) ⇒ h' ( t0 ) = − ( cm/phút )
4
5π

Gọi, V1 ( t ) , h1 ( t ) lần lượt là thể tích và mực cà phê trong bình chứa.
Suy ra, V1 ( t ) = 36π .h1 ( t ) .

'
'
Vì cà phê chảy từ dụng cụ lược sang bình chứa nên V1 ( t ) = −V ( t ) .

Trang 2


ĐÁP ÁN HKI NĂM 2008 – 2009
MÔN: GIẢI TÍCH I - TTK
LỚP: TUD K.34

(

)

'
3
'
Tại thời điểm t0 đang xét ta có, V1 ( t0 ) = 10 cm / phút . Ta tính h1 ( t0 ) .

Ta có,

V1' ( t ) = 36π .h1' ( t ) ⇒ V1' ( t0 ) = 36π .h1' ( t0 ) ⇒ h1' ( t0 ) =

5
( cm/phút )
18π

Vậy, chiều cao mực cà phê trong dụng cụ lược đang giảm với tốc độ
trong khi đó, chiều cao mực cà phê trong bình chứa lại tăng với tốc độ

8
( cm/phút ) ,
5π

5
( cm/phút ) .
18π

Câu 5. Tìm khối lượng của bản kim loại hình tròn bán kính a chứng minh, nếu mật độ tại điểm

( x, y )

của bản là δ = k ( 2a + x )

( g/cm ) .
2

Giải.
Đặt bản tròn này vào hệ trục. Khi đó, phương trình của đường tròn là: x 2 + y 2 = a 2 .
Xét dải hẹp tại vị trí x trên trục Ox có bề dày dx và chiều dài là 2 a 2 − x 2
Yếu tố diện tích cản dải là: dA = 2 a 2 − x 2 dx
Yếu tố khối lượng:

dm = 2k ( 2a + x ) a 2 − x 2 dx
Suy ra, khối lượng của bản:
a

m = 2k ∫ ( 2a + x ) a 2 − x 2 dx
−a

a
a

2
2
= 2k  ∫ 2a a − x dx + ∫ x a 2 − x 2 dx 
−a
−a

a

x 2
a2
x
Ta có, ∫ 2a a − x dx = 2a 
a − x 2 + arcsin ÷ = π a 3
2
a  −a
2
−a
a

2

2

a

Và

∫x

−a

a 2 − x 2 dx = 0 vì x a 2 − x 2 là hàm số lẻ.

3
Do đó, m = 2kπ a ( g ) .
3
Vậy khối lượng của bản là m = 2kπ a ( g ) .

Trang 3


ĐÁP ÁN HKI NĂM 2008 – 2009
MÔN: GIẢI TÍCH I - TTK
LỚP: TUD K.34
Câu 6. Cho miền phẳng D nằm giữa trục Ox và đường y =

1
.
1 + x2

a. Tính diện tích của miền D.
b. Chứng minh rằng thể tích vật thể được tạo thành khi quay miền D quanh trục Oy
không các định.
Giải.
a. Vì D là miền đối xứng qua trục Oy nên diện tích miền D:
+∞

S =2∫
0

b
dx
= 2 lim ( arctan x ) 0 = 2 lim arctan b = π ( dvdt )
2
b →+∞
b →+∞
1+ x

b. Vì D là miền đối xứng qua trục Oy nên chỉ cần quay nửa
miền D với (x>0) quanh Oy là được vật thể. Do đó, thể tích của vật
được tính theo công thức:

V = 2π

+∞

b
xdx
2
=
2
π
lim
ln
1
+

x
= 2π lim ln ( 1 + b 2 ) = +∞
(
)
∫0 1 + x 2
b →+∞
b →+∞
0

Suy ra, thể tích vật thể không xác định (đpcm).

Trang 4