Đề thi và đáp án giải tích 1 2010 2011 đại học cần thơ

ĐÁP ÁN MÔN GIẢI TÍCH 1 - TTK
HỌC KỲ I NĂM HỌC 2010 - 2011
LỚP TOÁN ỨNG DỤNG K36

-----------------------------------------------------------------------------------------------THANG ĐIỂM
Câu 1. 0,75 điểm.
Câu 2. 1,5 điểm.
Câu 3. 1 điểm.
Câu 4. 1 điểm.
Câu 5. 1,5 điểm.
Câu 6. 1,25 điểm
-----------------------------------------------------------------------------------------------Câu 1.

1 
 1
− 2 ÷.
Tính giới hạn lim

2
x →0 sin x
x 


Giải.
Ta có,
1 
 1
lim  2 − 2 ÷
x →0 sin x
x 


2
2
x − sin x
x 2 − sin 2 x x 2
= lim 2
= lim
. 2
x →0 x .sin 2 x
x →0
x4
sin x
x2
=1
x →0 sin 2 x
• Áp dụng quy tắc L'Hospital ta có,
x 2 − sin 2 x 1
2 x − sin 2 x 1
1 − cos 2 x 1
sin 2 x 1
lim
= lim
= lim
= lim 2 =
x →0
x4
4 x →0
x3
6 x →0
x2
3 x →0 x

3
1  1
 1
− 2 ÷=
Vậy lim

x →0 sin 2 x
x  3

• lim

Câu 2.
Giải.

2
Xác định những điểm mà tại đó hàm số f ( x ) = x − 1 không khả vi.

 x 2 − 1,
Ta có, f ( x ) = 
2
1 − x

x ≤ −1, x ≥ 1
−1 < x < 1

.

2
Nếu x ∈ ( −∞, −1) ∪ ( 1, +∞ ) thì f ( x ) = x − 1 là hàm số sơ cấp nên khả vi.
2

Nếu x ∈ ( −1,1) thì f ( x ) = 1 − x là hàm số sơ cấp nên khả vi.

( 1 + ∆x ) − 1 ∆x 2 + ∆x
Tại x = 1 , ta có, ∆f = f ( 1 + ∆x ) − f ( 1) =
=
∆x
∆x
∆x
∆x
∆f
∆x →0−
= − 2 + ∆x →
−2 .
Nếu ∆x < 0 thì
∆x
∆f
∆x → 0+
= 2 + ∆x →
2.
Nếu ∆x > 0 thì
∆x
∆f
Do đó, lim
không tồn tại. Suy ra, f không có đạo hàm tại x = 1 hay f không
∆x → 0 ∆x
khả vi tại x = 1 .
2

( 1 − ∆x ) − 1 ∆x 2 − ∆x
Tại x = −1 , ta có, ∆f = f ( −1 + ∆x ) − f ( −1) =

=
∆x
∆x
∆x
∆x
2


∆f
∆x → 0 −
= − 2 − ∆x →
−2 .
∆x
∆f
∆x →0+
= 2 − ∆x →
2.
Nếu ∆x > 0 thì
∆x
∆f
Do đó, lim
không tồn tại. Suy ra, f không có đạo hàm tại x = −1 hay f không
∆x → 0 ∆x
khả vi tại x = −1 .
Nếu ∆x < 0 thì

Giả sử nhiệt độ ở một địa phương tại tời điển t tính từ 12 giờ trưa trở đi là T 0C , với
1
T = t 3 − 3t 2 + 8t + 10 ( 0 ≤ t ≤ 5 ) .
3

Tìm tốc độ biến thiên của nhiệt độ tại thời điểm 1 giờ chiều? 2 giờ chiều? Trong khoảng thời
gian nào nhiệt độ ở địa phương đó giảm?
Câu 3.

Giải.
Tốc độ biến thiên của hàm nhiệt độ tại thời điểm t tùy ý là:
T ' = t 2 − 6t + 8
Tốc độ biến thiên của nhiệt độ tại thời điểm t = 1 là T ' ( 1) = 3 .

Tốc độ biến thiên của nhiệt độ tại thời điểm t = 2 là T ' ( 2 ) = 0 .
Nhiệt độ tại địa phương này giảm khi
T '<0
⇔ t 2 − 6t + 8 < 0
⇔ 2Vậy nhiệt độ giảm trong khoảng từ 2 giờ đến 4 giờ.
Câu 4. Cho một hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục tọa độ và nội tiếp trong ellipse
x2 y 2
+
=1
a 2 b2
Tìn diện tích lớn nhất của hình chữ nhật này.
Giải.

Gọi x và y lần lượt là nửa độ dài cạnh của hình chữ nhật x ∈ ( 0, a ) , y ∈ ( 0, b ) .
Suy ra điểm A ( x, y ) thuộc Ellipse

x2 y 2
+
=1.
a 2 b2

A

y

x2
Do đó, y = b 1 − 2 .
a

x

Diện tích hình chữ nhật là: 4 xy = 4bx 1 −
Ta tìm giá trị lớn nhất của S ( x ) .
Ta có,

2

x
= S ( x) .
a2


x2 
2x2

÷
1
−
2
2

x
a2
÷ = 4b
S ' ( x ) = 4b  1 − 2 − a

a
x2 ÷
x2
1− 2 ÷
1− 2

a 
a



S '( x) = 0 ⇔ 1 −

2x2
a 2
=
0
⇔
x
=
a2
2

Bằng cách lập bảng biến thiên ta có, S ( x ) đạt giá trị lớn nhất tại x =

a 2
a 2
max S ( x ) = S 
÷ = 4b.
2
 2 

a 2
và
2

1
= 2ab
2

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục tọa độ và nội
tiếp trong một ellipse là 2ab .
Câu 5. Nếu hàm số f ( x ) liên tục trên [ a, b ] , hãy chứng minh rằng:
b−a n
lim
∑
n →∞
n k =1

b

b−a

f  a + k.
÷ = f ( x ) dx .

n  ∫a


Giải.
b−a n
Ta chứng minh
∑
n k =1

b−a

f  a + k.
÷ là một tổng tích phân của hàm f(x) trên đoạn [ a, b ] .
n 

Thật vậy, với mỗi n ta phân hoạch đoạn [ a, b ] bởi các điểm chia

b−a
, k=0,1,…,n
n
b−a
Khi đó, độ dài của mỗi đoạn con ∆xk = xk − xk −1 =
, k=1,…,n
n
b−a
Trên mỗi đoạn [ xk , xk +1 ] , k=1,…,n, chọn ξ k = xk = a + k
, k=1,…,n.
n
xk = a + k .

Ta có,

b−a n
∑
n k =1

trên đoạn [ a, b ] .

b−a

f  a + k.
÷ có dạng
n 


n

∑ f ( ξ ) .∆x
k =1

k

k

là một tổng tích phân của hàm f(x)

Vì f liên tục trên [ a, b ] nên f khả tích trên [ a, b ] .
Theo định nghĩa của tích phân xác định ta có
b

n

lim ∑ f ( ξ k ) .∆xk = ∫ f ( x ) dx

n →∞

Câu 6.
Giải.

k =1

a

b

b−a
b−a

f  a + k.
∑
÷ = f ( x ) dx .
n k =1 
n  ∫a
Cho miền D giới hạn bởi: y = x , y = 0 và x = 1 . Tính thể tích vật thể được tạo thành khi
quay miền D quanh đường thẳng x = −2 .

Vậy ta có, lim
n →∞

n

X = x + 2
x = X − 2
⇔
thì trong hệ trục IXY miền D được giới hạn
Y = y
y = Y
bởi các đường thẳng Y = X − 2 , Y = 0 và X = 3 , và trục quay là trục tung.
Bằng phép đổi trục 

Y = X − 2

Miền D có thể biểu diễn lại như sau: Y = 0
.
2 ≤ X ≤ 3


Khi quay miền D quanh trục IY ta được vật thể có thể tích được tính theo công thức:


3

3

8
1

V = 2π ∫ X ( X − 2 ) dX = 2π  X 3 − X 2 ÷ = π (đvtt).
3
2 3

2
Y

y

X
I

O

x