Đề thi và đáp án giải tích 1 2011 2012 đại học cần thơ

MÔN THI: GIẢI TÍCH 1 – TTK

MSHP: TN188

HỌC KỲ 1 – NĂM HỌC 2011 – 2012

NHÓM: B01

ĐÁP ÁN
 1
2 
Câu 1. (1,00 điểm) Tính giới hạn: L = lim
 − cot x ÷ .
x→0 x 2


Giải.
Cách 1.

tan 2 x − x 2
tan 2 x − x 2 x 2
 1
2 
= lim
. 2
Ta có, lim  2 − cot x ÷ = lim 2
2
x →0 x
x →0
x4
tan x


 x→0 x .tan x
x2
x2
Mặt khác, A = lim
= lim 2 .cos 2 x = 1
2
x →0 tan x
x →0 sin x
Và

2 tan x ( tan 2 x + 1) − 2 x 1
tan 2 x − x 2
tan 3 x + tan x − x
B = lim
= lim
= lim
x →0
x →0
x4
4 x3
2 x →0
x3
3tan 2 x ( tan 2 x + 1) + tan 2 x + 1 − 1 1
1
tan 2 x
1
2
= lim
= lim 2 ( 3tan 2 x + 4 ) = .4 =

2
2 x →0
3x
6 x →0 x
6
3
2
 1

− cot 2 x ÷ = A.B = .
2
3
x


Vậy lim 
x →0
Cách 2.

sin 2 x − x 2 .cos 2 x
Ta có, L = lim
.
x →0
x 2 .sin 2 x
sin 2 x − x 2 .cos 2 x
.
x →0
x4

Theo nguyên lý thay vô cùng bé tương đương ta có: L = lim

Áp dụng quy tắc L’Hospital ta được:

sin 2 x − 2 x.cos 2 x + x 2 .sin 2 x
x →0
4 x3
2cos 2 x − 2cos 2 x + 2 x.sin 2 x + 2 x.sin 2 x + 2.x 2 .cos 2 x
= lim
x →0
12 x 2
 2 ( cos 2 x − 1) 4sin 2 x

1

= lim 
+
+
2cos
2
x
12 x→0 
x2
x


1
2
= ( −2 + 8 + 2 ) =
12
3

L = lim

kx khi x ≥ 0
khả vi tại x = 0 khi và chỉ
lx khi x < 0

Câu 2. (1,00 điểm) Chứng minh rằng hàm số f ( x ) = 

khi k = l .


Giải.


f ( ∆x ) − f ( 0 )
k ∆x
= lim+
= k = f +' ( 0 )
 xlim
+
→0
x →0 ∆x
∆x
Ta có, 
 lim f ( ∆x ) − f ( 0 ) = lim l ∆x = l = f ' ( 0 )
−
 x→0−
x →0 − ∆x
∆x
'

'
Ta có, f ( x ) khả vi tại x = 0 khi và chỉ khi f + ( 0 ) = f − ( 0 ) ⇔ k = l . Ta có đpcm.

Câu 3. (1,50 điểm) Nước được bơm vào một hồ chứa hình nón với tốc độ 2m3 /phút. Hãy tìm tốc độ biến
thiên của mực nước trong hồ tại thời điểm mà thể tích nước trong hồ là 10m3 , bán kính đáy của khối
nước này là 3m và đang tăng với tốc độ 0,2 m/phút.
Giải.

Gọi V ( t ) , R ( t ) , h ( t ) lần lượt là thể tích, bán kính mặt nước và chiều cao cột nước tại thời điểm t.
3V ( t )
1
2
Ta có, V ( t ) = π R ( t ) h ( t ) ⇒ h ( t ) =
3
π R2 ( t )
V ' ( t0 ) = 2

V ( t0 ) = 10
Ta cần tính h ' ( t ) tại thời điểm t0 thỏa: 
 R ( t0 ) = 3
 R ' t = 0, 2
 ( 0)
Ta có: h ' ( t ) =

3 V ' ( t ) R ( t ) − 2V ( t ) R ' ( t )
π
R3 ( t )

Tại thời điểm t0 ta có
h ' ( t0 ) =

3 V ' ( t0 ) R ( t0 ) − 2V ( t0 ) R ' ( t0 ) 3 2.3 − 2.10.0, 2 2
= .
=
(m/phút)
π
R 3 ( t0 )
π
27
9π

Vậy tại thời điểm đang xét chiều cao mực nước đang tăng với tốc độ

2
m/phút.
9π

Câu 4. (1,00 điểm) Một xe bus có sức chứa tối đa 60 hành khách. Nếu một chuyến xe chở được x
2

x 

hành khách thì giá cho mỗi hành khách là  3 − ÷ . Hãy tính số hành khách trên mối chuyến xe
40 


để số tiền thu được cho mỗi chuyến là lớn nhất.
Giải.
2

x 

Tổng số tiền thu được trên mỗi chuyến xe là: L ( x ) = x  3 − ÷ với 0 < x ≤ 60 .
40 

Ta tìm x để L ( x ) đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có,
2

x 
1 
x 
3
3 2

L '( x) =  3 − ÷ −
x  3 − ÷= 9 − x +
x
40  20 
40 
10
1600

 x = 40
L '( x) = 0 ⇔ 
( ta nhận x = 40 ).
 x = 120


L '' ( x ) = −

3
3
3
+
x ⇒ L '' ( 40 ) = −
<0.
10 800
20

Suy ra, L ( x ) đạt cực đại và cũng là giá trị lớn nhất tại x = 40 .
Vậy số hành khách trên mỗi chuyến xe là 40 thì tổng doanh thu lớn nhất.
Câu 5. (1,50 điểm) Nếu hàm số f ( x ) liên tục trên [ a, b ] , hãy chứng minh rằng:
b−a n
∑
n →∞
n k =1

lim

b

b−a

f  a + k.
÷ = f ( x ) dx .
n  ∫a


Giải.

b−a 

f  a + k.
÷ là một tổng tích phân của hàm f(x) trên đoạn [ a, b ] .
n 

Thật vậy, với mỗi n ta phân hoạch đoạn [ a, b ] bởi các điểm chia
Ta chứng minh S n =

b−a n
∑
n k =1

b−a
, k=0,1,…,n
n
b−a
Khi đó, độ dài của mỗi đoạn con ∆xk = xk − xk −1 =
, k=1,…,n
n
b−a
Trên mỗi đoạn [ xk , xk +1 ] , k=1,…,n, chọn ξ k = xk = a + k
, k=1,…,n.
n
xk = a + k .

n

Suy ra, S n = ∑ f ( ξ k ) .∆xk là một tổng tích phân của hàm f(x) trên đoạn [ a, b ] .
k =1

Vì f liên tục trên [ a, b ] nên f khả tích trên [ a, b ] .
Theo định nghĩa của tích phân xác định ta có
n

b

k =1

a

lim ∑ f ( ξ k ) .∆xk = ∫ f ( x ) dx

n →∞

b

b−a n 
b−a
f  a + k.
Vậy ta có, lim
∑
÷ = f ( x ) dx .
n →∞
n k =1 
n  ∫a
Câu 6. (1,00 điểm) Cho miền phẳng D nằm giữa trục Ox, đường cong y =

1

( x + 1)

Oy ( x ≥ 0 ). Tính diện tích của D.
Giải.
Diện tích miền D được tính theo tích phân:
+∞
b
1
1
S = ∫
dx
=
lim
dx
3
3
∫
b →+∞
0 ( x + 1)
0 ( x + 1)
b


1
1
1
1  1
= − lim
= lim 1 −
÷=

2
2 b→+∞ ( x + 1)
2 b→+∞  ( b + 1) 2 ÷
 2
0

Vậy diện tích miền D là

1
(đvdt).
2

3

và bên phải của trục