Đề thi và đáp án giải tích 1 nhóm 1 2011 2012 đại học cần thơ

MÔN THI: GIẢI TÍCH 1 – TTK

MSHP: TN188

HỌC KỲ 1 – NĂM HỌC 2011 – 2012

NHÓM: 01

ĐÁP ÁN
x − F ( x)
2
với F ( x ) = ∫ cos x dx .
5
x
0
x

Câu 1. (1,00 điểm) Tính giới hạn: lim
x →0

Giải.
x

cos x 2 dx = 0 nên giới hạn đã cho có dạng vô định
Vì lim
x →0 ∫
0

0
.
0

Áp dụng qui tắc L’Hospital ta có:
x

x − F ( x)
lim
x →0
x5

= lim

x − ∫ cos x 2 dx
0

x5
1 − cos x 2 1
2 x.sin x 2
= lim
=
lim
x →0
5x4
5 x →0 4 x 4
1
sin x 2 1
=
lim 2 =
10 x →0 x
10
x →0

 x ln x 2 khi
f
x
=
Câu 2. (1,00 điểm) Khảo sát sự khả vi của hàm số: ( ) 
khi
a

x≠0
.
x=0

Giải.
2
Với x ≠ 0 ta có f ( x ) = x ln x là hàm số sơ cấp xác định trên từng khoảng ( −∞;0 ) và ( 0; +∞ ) .

Do đó, f ( x ) khả vi tại mọi x ≠ 0 .

2
ln x
f ( x ) = lim
= lim x = − lim x = 0 .
Tại x = 0 ta có, lim
x →0
x →0
x →0
x →0
1
1

− 2
x
x
2

Suy ra, nếu a ≠ 0 thì f ( x ) không khả vi tại x = 0 .
Nếu a = 0 , ta có lim

∆x → 0

f ( 0 + ∆x ) − f ( 0 )
∆x ln ∆x 2
= lim
= −∞ .
∆x → 0
∆x
∆x

Do đó, f ( x ) không khả vi tại x = 0 .
Vậy f ( x ) khả vi với mọi x ≠ 0 và không khả vi tại x = 0 với mọi a.
Câu 3. (1,00 điểm) Chứng minh phương trình: ( x − a )

2

( x − b)

2

+x=

a+b
luôn có nghiệm trên ( a, b )
2

Giải.
Ta có, ( x − a )

2

( x − b)

2

+x=

a+b
a+b
2
2
⇔ ( x − a) ( x − b) + x −
=0
2
2


Đặt f ( x ) = ( x − a )

2

( x − b)

2

+x−

a+b
2

Khi đó, f ( x ) là hàm đa thức nên nó liên tục trên [ a, b ]
Ta có,

a +b a −b

f
a
=
a
−
=
(
)

2
2

 f ( b) = b − a + b = − a − b

2
2
Do đó, f ( a ) f ( b )

( a − b)
=−
4

2

< 0.

Suy ra, phương trình f ( x ) = 0 luôn có nghiệm trên ( a, b ) . Suy ra điều phải chứng minh.
Câu 4. (1,50 điểm)
Gọi x và y lần lượt là độ dài của cạnh song song và vuông góc với bờ sông ( x, y > 0 ).
2
Chi phí làm hàng rào: 6000 x + 3.5000 y = 1500000 ⇔ y = 100 − x .
5
2 
2 2

Diện tích của miếng đất: xy = x 100 − x ÷ = 100 x − x .
5 
5

2 2
Đặt S ( x ) = 100 x − x . Ta tìm giá trị lớn nhất của S ( x ) .
5
S ' ( x ) = 100 −

4
x
5

4
S ' ( x ) = 0 ⇔ 100 − x = 0 ⇔ x = 125 ⇒ y = 50
5
4
4
S '' ( x ) = − ⇒ S '' ( 125 ) = − < 0 .
5
5
Suy ra S ( x ) đạt cực đại và cũng là giá trị lớn nhất tại x = 125 .
Vậy kích thước của miếng đất là 125m x 50m thì diện tích của nó là lớn nhất.
Câu 5. (1,50 điểm)
2
Đặt f ( x ) = x . Ta có, f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;1] nên nó khả tích trên đoạn [ 0;1] .

Phân hoạch đoạn [ 0;1] bởi các điểm xi =
Chọn ξi =

i
1
, i = 0, n suy ra ∆xi = với i = 1, n .
n
n

i
với i = 1, n , ta được:
n
1

n

n ( n + 1) ( 2n + 1) 1
1 n i2
= lim
= .
∑
2
n→∞ n
n→∞
n3
3
i =1 n

2
∫ x dx = lim ∑ f ( ξi ) .∆xi = lim
0

n →∞

i =1

Ý nghĩa hình học của kết quả trên: Kết quả trên là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol
y = x và các đường thẳng y = 0 và x = 1 .
2


Câu 6. (1,00 điểm) Cho hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y 2 = 6 x và x 2 + y 2 = 16 (miền bên
phải đường y 2 = 6 x ). Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên khi quay hình phẳng quanh trục Oy.
Giải.
Vì miền D nhận trục Ox làm trục đối xứng nên ta chỉ cần tính thể tích của vật thể tạo thành khi

quay nửa trên của miền D quanh Oy sau đó nhân đôi kết quả.
Tung độ giao điểm (y >0) của hai đường cong y 2 = 6 x và x 2 + y 2 = 16 là nghiệm của phương

y = 2 3
 y 2 = 12
y4
2
+ y = 16 ⇔  2
⇔
⇔ y=2 3
trình
36
 y = −48
y
=
−
2
3


Khi quay miền D quanh trục Oy thì thể tích vật thể tạo thành được tính theo công thức:

V = 2.π

2 3



∫ 16 − y
0

2

−

1 4
y ÷dy
36 
2 3

1
1 5

= 2.π 16 y − y 3 −
y ÷
3
180  0


8  224

= 2π  32 3 − 8 3 −
3 ÷=
π 3
5 
5

224
π 3 đơn vị thể tích.
Vậy thể tích vật thể là

5