Bài giảng toán ma trận

Đònh thức con
Hạng của ma trận

1

Đònh thức con

2

Hạng của ma trận
Đònh nghóa
Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH


Đònh thức con
Hạng của ma trận

Tính đònh thức dựa vào đònh thức con

Đònh nghóa (Đònh thức con)
Đònh thức của ma trận con cấp k của A = (aij )n×n được gọi là đònh thức
con cấp k của A.
Đònh thức của A có thể được tính thông qua công thức sau
(−1)i1 +···+ik +j1 +···+jk |A{i1 ,...,ik ;j1 ,...,jk } |.|A{i1 ,...,ik ;j1 ,...,jk } |

|A| =
1≤j1

trong đó A{i1 ,...,ik ;j1 ,...,jk } là ma trận con của A có được bằng cách bỏ đi k
dòng i1 , . . . , ik và bỏ đi k cột j1 , . . . , jk .
Công thức này còn được gọi là khai triển đònh thức theo k dòng i1 , . . . , ik .

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH


Đònh thức con
Hạng của ma trận

Tính đònh thức dựa vào đònh thức con

Ví dụ 1
Tính
đònh thức của ma trậ
n
1 1
0 0
 −1 2
0 0 
 bằng cách khai triển theo các dòng 1, 2.
A=
 0 0
3 2 
0 0 −1 1
Ta có
|A| =

(−1)1+2+j1 +j2 |A{1,2;j1 ,j2 } |.|A{1,2;j1 ,j2 } |
1≤j1
|A| = (−1){1+2+1+2} |A{1,2;1,2} |.|A{1,2;1,2} | =

1
−1

1
2

.

3
−1

= 3.5 = 15

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

2
1


Đònh thức con
Hạng của ma trận

Tính đònh thức dựa vào đònh thức con

Tổngquát, xét A = (aij )n×n 
Bk×k
O

A=
O
C(n−k)×(n−k)
Bằng cách khai triển đònh thức theo k dòng đầu tiên ta được:
|A| =
(−1)1+···+k+j1 +···+jk |A{1,...,k;j1 ,...,jk } |.|A{1,...,k;j1 ,...,jk } |
1≤j1 <...
|A| = (−1)1+···+k+1+···+k |A{1,··· ,k;1,··· ,k} |.|A{1,··· ,k;1,··· ,k} |
= (−1)2(1+···+k) |B||C| = |B||C|.

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH


Đònh thức con
Hạng của ma trận

Tính đònh thức dựa vào đònh thức con

Ví dụ 2
Tính
đònh thức của ma trậ
n

0 0
1 1
 0 0 −1 2 
 bằng cách khai triển theo các dòng 1, 2.
A=
 3 2
0 0 
−1 1
0 0
Ta có
|A| =
(−1)1+2+j1 +j2 |A{1,2;j1 ,j2 } |.|A{1,2;j1 ,j2 } |
1≤j1
|A| = (−1){1+2+3+4} |A{1,2;3,4} |.|A{1,2;3,4} |
1 1
3 2
= 3.5 = 15
= (−1)10
.
−1 1
−1 2

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH


Đònh thức con
Hạng của ma trận

Tính đònh thức dựa vào đònh thức con

Tổngquát, xét A = (aij )n×n 
O
Bk×k

A=
O
C(n−k)×(n−k)
Bằng cách khai triển đònh thức theo k dòng đầu tiên ta được:
|A| =
1≤j1 <...
(−1)1+···+k+j1 +···+jk |A{1,...,k;j1 ,...,jk } |.|A{1,...,k;j1 ,...,jk } |

|A| = (−1)1+···+k+(n−k+1)+···+n |A{1,··· ,k;n−k+1,··· ,n} |.|A{1,··· ,k;n−k+1,··· ,n} |
= (−1)k(n+1) |B||C|

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH


Đònh thức con
Hạng của ma trận

Tính đònh thức dựa vào đònh thức con
Ví dụ 3
Tính đònh thức

0 0
1
1 −1
0 0 −1
2
0
0 0
0 −3
2
|A| =
3 2
0
0
0
−1 1
0
0
0
Khai triển đònh thức theo dòng 1,2,3 ta được
|A| =
(−1)1+2+3+j1 +j2 +j3 |A{1,2,3;j1 ,j2 ,j3 } |.|A{1,2,3;j1 ,j2 ,j3 } |
1≤j1
|A| = (−1){1+2+3+3+4+5} |A{1,2,3;3,4,5} |.|A{1,2,3;3,4,5} |
1
1 −1
3 2
2
0 .
= 2.5 = 10

= (−1)18 −1
−1 1
0 −3
2

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH


Đònh thức con
Hạng của ma trận

Đònh nghóa
Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp

Hạng của ma trận

Đònh nghóa
Hạng của A = (aij )m×n , được kí hiệu là rank(A), là cấp cao nhất của ma
trận con của A sao cho tồn tại một ma trận con cấp đó có đònh thức
khác không.
Lưu ý:
rankA ≤ min{m; n}
Ví dụ 4
1 2 3
2 4 5
Ta có rank(A) ≤ 2 và tồn tại đònh thức con cấp 2:
2 3
A{1,2;2,3} =

= −2 = 0 nên rankA = 2.
4 5
Cho A =

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH


Đònh thức con
Hạng của ma trận

Đònh nghóa
Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp

Hạng của ma trận

Đònh lý
1
2

Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận.
Ma trận bậc thang theo dòng có hạng bằng số dòng khác không của
nó.
biến đổi sơ cấp

→
Trong thực hành ta biến đổi A
B, với B là ma trận BTTD. Theo
đònh lý trên ta dễ dàng xác đònh rankA.

Ví dụ 5


1
1
0 −2
0 
Xác đònh hạng của A =  1 −2 −1
−2
1
1
2

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH


Đònh thức con
Hạng của ma trận

Đònh nghóa
Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp

Hạng của ma trận

Đònh lý
1

Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận.

2

Ma trận bậc thang theo dòng có hạng bằng số dòng khác không của
nó.
biến đổi sơ cấp

→
Trong thực hành ta biến đổi A
B, với B là ma trận BTTD. Theo
đònh lý trên ta dễ dàng xác đònh rankA.
Ví dụ 5


1
1
0 −2
0 
Xác đònh hạng của A =  1 −2 −1
−2
1
1
2

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH


Đònh thức con

Hạng của ma trận

Đònh nghóa
Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp

Hạng của ma trận
Đònh lý
1

Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận.

2

Ma trận bậc thang theo dòng có hạng bằng số dòng khác không của
nó.
biến đổi sơ cấp

→
Trong thực hành ta biến đổi A
B, với B là ma trận BTTD. Theo
đònh lý trên ta dễ dàng xác đònh rankA.
Ví dụ 5


1
1
0 −2
0 
Xác đònh hạng của A =  1 −2 −1
−2

1
1
2
Ta có




1
1
0 −2
1
1
0 −2
d =d3 +d2
d =d2 −d1
 0 −3 −1
 0 −3 −1
2  3 −→
2  = B.
A 2 −→
d3 =d3 +2d1
0
0
0
0
0
3
1 −2
Ta có rankA = rankB = 2.

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH


Đònh thức con
Hạng của ma trận

Đònh nghóa
Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp

Hạng của ma trận

Ví dụ 6



2 −1
0
1
1 −1
0 
Xác đònh hạng của A =  3
−2
1
2 −1


2 −1
0

1
d2 =2d2 −3d1
5 −2 −3  = B
Ta có A −→  0
d3 =d3 +d1
0
0
2
0
Ta có rankA = rankB = 3.

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH


Đònh thức con
Hạng của ma trận

Đònh nghóa
Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp

Hạng của ma trận
Ví dụ 7

3 1
1 4
 a 4 10 1 

Biện luận theo a hạng của A = 

 1 7 17 3 
2 2
4 3



3 1
1 4
4 1
1
 c1 ↔c4  3 2
2
2
4
3
4
d2 ↔d4 


Ta có A −→ 
 1 7 17 3  −→  3 7 17
a 4 10 1
1 4 10



1 4 1 3
1
4
1

d2 =d2 +(−2)d1
 d3 =d3 +(−7)d1  0
2
3
4
2
−5
2
c1 ↔c2 


−→ 
 7 3 17 1  d4 =d−→
 0 −25 10
4 +(−4)d1
4 1 10 a
0 −15
6


Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM


3
2 

1 
a

3

−4 

−20 
a − 12

TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH


Đònh thức con
Hạng của ma trận

Đònh nghóa
Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp

Hạng của ma trận



1
 0

 0
0

4
1
3
−5 2
−4
−25 10

−20
−15
6 a − 12

1
4 1
3

0
−5
2
−4
d3 ↔d4 
−→ 
0
0 0
a
0
0 0
0
Ta có rankA = rankB =





1
 d3 =d3 +(−5)d2  0



 d4 =d−→
 0
4 +(−3)d2
0



4 1
3
−5 2 −4 

0 0
0 
a
0 0


=B

2
3

, nếu a = 0
.
, nếu a = 0

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH