Bài giảng Toán ứng dụng - P3

GV: Cao Hào Thi 17
Chương 2
HÀM CHI PHÍ VÀ ĐƯỜNG GIỚI HẠN SẢN XUẤT
(Cost Function and Production Frontier)
1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 VÀ HÀM BẬC 2:
1.1 Phương trình bậc 2:
Dạng tổng quát: ax
2
+ bx + c = 0
Cách giải: Tính ∆ = b
2
- 4ac
+ ∆ > 0 (2 nghiệm) + ∆ = 0 (nghiệm kép) + ∆ < 0 (vô nghiệm)
x
b
a
1
2
=
−+ ∆

xx
b
a
12
2
==−

x
b
a

2
2
=
−− ∆

Ví dụ:
a. Giải phương trình x
2
-2x -8 = 0.
Ta có: a = 1, b = -2, c = -8
∆ = (-2)
2
- 4*1*(-8) = 36 > 0 →
∆
= 6
x
1
26
2
4=
+
=

x
1
26
2
2=
−
=−

b. Giải phương trình x
2
- 4x + 4 = 0
∆ = (-4)
2
- 4*1 * 4 = 0
x
1
= x
2
=
4
2
2=

c. Giải phương trình x
2
+ x + 1= 0
∆ = 1
2
-4 *1 * 1 < 0 → Phương trình vô nghiệm.
1.2 Xét dấu tam thức bậc 2:

Cho tam thức bậc 2 P(x) = ax
2
+ bx + c:
∆
> 0
∆

= 0
∆
< 0
x
−∞
x
1
x
2
+∞
x
−∞
x
1
= x
2
+∞
x
−∞ +∞
f(x) 0
Trái
dấu a
0f(x)0f(x)
Cùng dấu a
Cùng
dấu a
Cùng
dấu a
Cùng
dấu a

Cùng
dấu a

Trong trái ngoài cùng
GV: Cao Hào Thi 18
Ví dụ: Tìm miền xác định của hàm số.
yx x=−−
2
28
y được xác định khi x
2
- 2x -8 ≥ 0
x
−∞
24
+∞
f(x) = x
2
- 2x - 8
0-0
++

Vậy D = ( -∞ , 2}∪ [ 4, +∞)

Nhắc lại: Dấu của nhị thức bậc 1: P(x) = ax + b
ax + b = 0 ⇒ x
0
=
−
b

a
(Điều kiện a ≠ 0)
x
−∞
x
o
+∞
f(x) = ax + b 0
Trái dấu a Cùng dấu a

1.3 Hàm bậc 2

a. Định nghĩa:
y = f(x) = ax
2
+ bx + c với D = R
b. Đồ thị của hàm bậc 2
Vẽ đồ thị của hàm y = f(x) = x
2
- 2x-8
-4-3-2-1 123456
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1

1
2
3
4
5
6
7
8
x
y

Đồ thị của hàm bậc hai gọi là Parabol:
- Có trục đối xứng // trục tung
- Có đỉnh là giao điểm của Parabol và trục đối xứng.
- Bề lõm của Parabol hướng trên nếu a > 0 và hướng xuống dưới nếu a < 0.
GV: Cao Hào Thi 19
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-

8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y


- Phương trình trục đối xứng x =
a2
b
−
-

Toạ độ đỉnh:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠

⎞
⎜
⎝
⎛
−−
a2
b
f;
a2
b

-

Miền xác định: D =R
-

Miền giá trị V được xác định từ đồ thị
-

Giao điểm với trục tung: x = 0 ⇒ y = C
-

Giao điểm với trục hoành: y = 0 ⇒ x = x
1
hay x = x
2
(nếu phương trình có 2
nghiệm)
2. PHƯƠNG TRÌNH CỦA CÁC ĐƯỜNG BÂC 2 THÔNG DỤNG:
2.1

Phương trình đường tròn:
-

Phương trình của đường tròn tâm I(a,b) bán kính R: (x - a)
2
+ (y-b)
2
= R
2
-

Phương trình đường tròn tâm O bán kính R: x
2
+ y
2
= R
2
GV: Cao Hào Thi 20
x
y
M(x
1
, y
1
)
y
1
x
1
x

0
y
0
I

2.2
Phương trình của Ellip.
p
x
y
-a
a
b
-b
0
A
1
A
2
B
1
B
2
F
1
F
2
M

Trục lớn: A
1
A
2
= 2a Tiêu điểm: F
1
F
2

Trục nhỏ: B
1
B
2
= 2b Tiêu cự : F
1
F
2
= 2c
Với 2 tiêu điểm F
1
, F
2
phân biệt cho trước, F
1
F
2
= 2c (c
2
= a
2

– b
2
)
Đường ellip là tập hợp các điểm M sao cho MF
1
+ MF
2
= 2a (a>c)
Phương trình chính tắc của ellip:
x
a
y
b
2
2
2
2
1+=

Lưu ý:
Khi a = b thì ellip sẽ trở thành vòng tròn.
Tính y theo x
(để ứng dụng vào đường giới hạn sản xuất)
y
b
a
ax=± −
22

v

ớ
i 0
≤
x
≤
a

y
b
a
ax=± −
22


GV: Cao Hào Thi 21
Vấn đề: Đường Giới Hạn Sản Xuất (Production Frontier)
Đường giới hạn sản xuất cho thấy các phương án kết hợp để công ty có thể sản xuất có
hiệu quả trong điều kiện giới hạn về nguồn lực.

Vấn đề: Bài Toán Nghiên Cứu Thị Trường.
Sau khi thăm dò và phân tích thị trường, một Công ty nhậb thấy rằng:
-

Phương trình đường cầu (Demand Equation): x = f(p) = 6000 - 30p
x: Số đơn vị sản phẩm tiêu thụ ở mức giá p
-

Phương trình chi phí (Cost Equation): C = g(x) = 72000+60x
-

Phương trình doanh thu (Revenue Equation): R = xp
-

Phương trình lợi nhuận (Profit Equation): P = R – C
Yêu cầu:
a.

Trình bày C = f(p)
b.

Trình bày R = f(p)
c.

Xác định giá bán hòa vốn.
d.

Xác định sản lượng hòa vốn.
e.

Xác định giá bán để có lợi nhuận lớn nhất.
Giải:

a. C = 72000+60(6000-30p) = 432000-1800p
b. R= (6000-30p)p = 6000p -30p
2

c. Tại điểm hòa vốn R = C
432000-1800p = 6000p-30p
2

p
2
-260p+14400 = 0
Số lượng sản phẩm x
P
2

P
1

Y
2

Y
1

x
2
x
1

P
U
Số lượng
Sản phẩm y