Bài giảng Toán ứng dụng - P5

Cao Hào Thi 23
Chương 3
HÀM TĂNG TRƯỞNG
(Growth Function)
1. HÀM SỐ MŨ:
1.1 Định nghĩa:
Hàm số mũ cơ số a với a>0 và a ≠1 có dạng y = a
x
. Điều kiện a>0 và a ≠ 1
D = R, V = R
+
1.2 Đồ thị của hàm số mũ:
y = 2
x
y
x
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
2
hay y = 2
-x

x -∞ -2 -1 0 1 2 +∞ x -∞ -2 -1 0 1 2 +∞
y 0 1/4 1/2 1 2 4 ∞ y +∞ 4 2 1 1/2 1/4

021 3456-1-2-3-4-5
x
y

a > 1 + 0 < a < 1
x
-∞
0 1
+∞
x
-∞
0 1
+∞

+∞ +∞

a a
1 1
y
0
y
0

y
a
x
1
0
y
a
1
1
0

Cao Hào Thi 24
Nhận xét: f(x) = a
x
, a> 0, a ≠ 1
+ Tất cả đồ thị của hàm số mũ đều đi qua điểm (0,1)
+ a > 1 hàm số đồng biến
+ 0 < a <1 hàm số nghịch biến
+ y = a
x
> 0
+ Hàm số có đường tiệm cận là trục ox.
1.3 Các phép tính về hàm số mũ:
1/ Cho a > 0, a ≠ 1
b > 0, b ≠ 1
∀x, y ∈ R
a
x

a
y
= a
x+y
(ab)
x
= a
x
b
x


a
a
Χ
Υ
= a
ΧΥ−

a
b
a
b
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=

Χ
Χ
Χ


()
aa
Χ
Υ
ΧΥ
=
×
a
a
a
−
==
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Χ
Χ
Χ
11

2/ a
x

= a
y
⇔ x = y
3/ Nếu x ≠ 0, a
x
= a
y
⇔ a = b
1.4 Hàm số mũ cơ số e
y = e
x
e = 2,71828 e = lim 1
1
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
m
m
= 2,71828

m
1
1
+
⎛
⎝

⎜
⎞
⎠
⎟
m
m

1 2
10 2,59374
100 2,70481
… …
∞
2,71828

Vấn đề: Mô Hình Tăng Trưởng Dân Số
P = P
o
* 2
t/d
( Doubling time growth model)
P: dân số ở thời điểm t
P
o
: Dân số ở thời điểm t = 0
d: Số năm để dân số tăng lên gấp đôi, vì t = d ⇒ P = 2P
o
m→∞

Cao Hào Thi 25
Nước Ethiopia hiện

có dân số vào khoảng 42 triệu người, người ta đã ước tính sau 22 năm
dân số Ethiopia đã tăng lên gấp đôi. Nếu mức tăng dân số tiếp tục như trên, thì dân số của
Ethiopia sẽ là bao nhiêu sau 10 năm và 35 năm.
P = P
0
*2
t/d
= 42 *2
t/22

t = 10 ⇒ P = 42 * 2
(10/22)
= 58 triệu
t = 35 ⇒ P = 42 * 2
(35/22)
= 127 triệu

Vấn đề: Lãi Kép (Compounded Interest)
Giả sử vốn gốc là P được đem cho vay với lãi suất là r% năm và ghép lãi theo năm. Hỏi
lượng tiền thu lại được vào năm thứ t sẽ là bao nhiêu.
Cuối năm 0: P
0
= P
(Đầu năm 1):
Cuối năm 1: P
1
= P + Pr = P(1+r)
Cuối năm 2: P
2

= P
1
+ P
1
r = P
1
(1+r) = P(1+r)
2

Cuối năm 3: P
3
= P
2
+ P
2
r = P
2
(1+r) = P(1+r)
3

Cuối năm t: P
t
= P(1+r)
t


2. HÀM SỐ LOGARIT:
2.1 Định nghĩa:
Hàm số Logarit cơ số a với a> 0 và a≠1 có dạng y = log

a
x ⇔ x = a
y

+ D = R
+
= (0,+∞) vì x = a
y
>0.
+ V = R
Hàm Logarit là hàm số mũ ngược của hàm số mũ.
y = log
10
x ⇔ x = 10
y

y = log
e
x ⇔ x = e
y

2.2 Đồ thị của hàm số logarit:
Đồ thị của hàm số mũ đối xứng
với đồ thị của hàm số mũ qua
phân giác thứ 1.

y = a
x

y

a
y = log
a
x
x
a
1
1

Cao Hào Thi 26
2.3 Các phép tính về logaarit:
(b>0, b≠1, M>0, N>0).
log
a
a
x
= x hay
a x
a
log
Χ
=

log
a
1 = 0 a
0
= 1
log
a

MN = log
a
M + log
a
N
log log log
a
M
N
aa
MN=−

log
a
M
k
= k log
a
M

log
a
M = log
a
N ⇔ M = N
Ví dụ:
Giải các phương trình sau:

a/ 2
x

= 4
x+1
2
x
= (2
2
)
x+1
= 2
2(x+1)

x = 2x + 2
x = -2
b/ log
a
x =
3
2
4log
a
-
2
3
82log log
aa
+
= log
a
4
3/2

- log
a
8
3/2
+ log
a
2
= log
a
8 - log
a
4 + log
a
2
=
log
a
82
4
×

log
a
x = log
a
4
x = 4
c/ log
10
x + log

10
(x+1) = log
10
6
Điều kiện
xo
xx
≥
+≥ ⇒ ≥−
⎧
⎨
⎩
10 1
⇒ x ≥ 0
log
10
(x)(x+1) = log
10
6
x(x+1) = 6
x
2
+ x - 6 = 0
⇒ x = -3 hay x = 2
Chọn x = 2