TÀI LIỆU THAM KHẢO TÍCH PHÂN

Hunh Ngc Cm - T internet

Trang 1

Chơng 5

Tích phân
5.1 Tích phân bất định
1. Nguyên hàm
Từ ý nghĩa cơ học của đạo hàm, nếu chuyển động của chất điểm có phơng trình: s=s(t), thì
v(t)=s(t) là vận tốc của chuyển động đó. Ngợc lại nếu biết một chuyển động có vận tốc v(t), ta cần
tìm phơng trình chuyển động s(t), nh vậy ta phải tìm hàm s(t) mà s(t)= v(t).
Tổng quát, cho hàm f(x) xác định trên tập X, ta cần xác định tất cả các hàm F(x) mà F(x)=f(x), và
gọi là các nguyên hàm của f(x) trên X.
Định nghĩa1: Hàm F(x) đợc gọi là nguyên hàm của f(x) trên X, nếu xX: F(x)=f(x).
Hiển nhiên nếu xX: F(x)=f(x) thì với C là hằng số tuỳ ý:
(F(x)+C)=f(x)
Hay F(x)+ C là nguyên hàm của f(x). Nh vậy nếu hàm f(x) có nguyên hàm trên X thì nó có vô số
nguyên hàm trên X
Nếu (x) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên X, thì:
[(x)-F(x)]=f(x) f(x)=0
Do đó
(x)=F(x)+C
Với C là một hằng số nào đó. Nh vậy mọi nguyên hàm của f(x) trên X chỉ sai khác nhau một hằng
số. Ta có định lý:
Định lý 1: Nếu trong tập X, hàm f(x) có nguyên hàm F(x) thì:
1. F(x)+C, trong đó C là hằng số tuỳ ý, cũng là nguyên hàm của f(x) trên X.
2. Mọi nguyên hàm của f(x) trên X đều có dạng F(x)+C, với C là hằng số nào đó.
2. Tích phân bất định
Định nghĩa 2: Nếu F(x) là nguyên hàm của F(x) trên X thì biểu thức F(x)+C, trong đó C là hằng
b

số tuỳ ý, đợc gọi là tích phân bất định của f(x) trên X và đợc ký hiệu f ( x)dx , vậy:
a

b

f ( x)dx =F(x)+C
a

Dấu đợc gọi là dấu tích phân, f(x) là hàm dới dấu tích phân, f(x)dx là biểu thức dới dấu tích
phân, x là biến lấy tích phân.
3. Các tính chất của tích phân bất định
Từ định nghĩa ta có:
Tính chất 1:
+

( f ( x)dx) = f ( x)
d ( f ( x )dx ) = f ( x )dx
'

+
Tính chất 2:
+
dF ( x) = F ( x) + C
Tính chất 3: với C là hằng số thì:
+
Cf ( x)dx = C f ( x)dx
Tính chất 4: Nếu f(x), g(x), h(x) đều có nguyên hàm thì:
+
[ f ( x) + g ( x) h( x)]dx

= f ( x)dx + g ( x)dx h( x)dx
Tính chất 5: Nếu
+
f ( x)dx = F ( x) + C và u= (x)

Thì
f (u )du = F (u ) + C
Để chứng minh các tính chất 2,3,4,5 ta chỉ cần lấy đạo hàm hai vế các biểu thức.
4. Bảng các tích phân cơ bản
Từ bảng các đạo hàm cơ bản ta có các công thức tích phân cơ bản sau:
1.
0dx = C


Trang 2

2.

adx = ax + C

3.


x dx =

4.



x +1

+C
+1

dx
= ln x + C
x
ax
x
a
dx
=
+ C do đó:

ln a
cos xdx = sin x + C

5.
6.

e

x

dx = e x + C

sin xdx = cos x + C
dx
cos x = tgx + C

7.

8.

2

dx

sin x = cot gx + C
shxdx = chx + C
chxdx = shx + C
dx
ch x = thx + C

9.

2

10.
11.
12.

2

dx

sh

= coth x + C
x
dx
14.

1 + x 2 = arctgx + C = arc cot gx + C
dx
15.
1 x 2 = arcsin x + C = arccos x + C
5.2 Các phơng pháp tính tích phân
1. Phơng pháp đổi biến
Phơng pháp đổi biến trong tích phân f ( x)dx có hai dạng:
13.

2

a. Nếu đặt x=(t), trong đó (t) là một hàm khả vi đơn điệu đối với t thì ta có công thức:
f ( x)dx = f [ (t )] ' (t )dt

u=(x), trong đó (u) là hàm khả vi và biểu thức f(x)dx trở thành g
[ ( x)] ' ( x)dx = g (u )du thì ta có:

b. Nếu đặt

f ( x)dx = g [ ( x)] ' ( x)dx = g (u )du

Các công thức trên có thể chứng minh bằng phép lấy đạo hàm hai vế mỗi biểu thức.
Chú ý: Khi dùng các phơng pháp đổi biến, sau khi tính tích phân ta phải đổi trở lại biến cũ.
Ví dụ 5.1:
x
d
dx
1
1
x

a
= 2 = arctg + C
1. 2
2
a
a
a
a +x
x
1+
a
x
d
dx
a = arcsin x + C
=
2.
2
2
2
a
a x
x
1
a
3.

a

2

dx
1 1
1
=
+

dx
2
2a a + x a x
x




Trang 3
=

4.

1 d (a + x) 1 d (a x) 1
a+x

=
ln
+C
2a
a+x
2a
ax

2a a x





sin x

tgxdx = cos x dx =

d cos x
= ln cos x + C
cos x

d sin x
= ln sin x + C
sin x
x
d
dx
dx
2
6.
=
=
x
x x
x
sin x
2 sin cos

tg cos 2
2
2
2
2
x
d tg
= 2 = ln tg x + C
x
2
tg
2
dx
dx
x
=
= ln tg + + C

7. cos x


2 4
sin x +
2

dx
8.
x2 + b
Dùng phép đổi biến (phép thế Euler) :
x2 + b = t x t = x 2 + b + x

5.

cot gxdx =

xdx

Suy ra: dt =

x2 + b

hay

x + x2 + b

x2 + b
dx
dt
=
2
t
x +b

dx

dt
= ln | t | +C = ln | x + x 2 + b | +C
2
t
x +b
Chú ý: chúng ta có thể sử dụng phép đổi biến x = asht với b = a 2 hoặc x = acht với b = a 2 .

2. Phơng pháp tích phân từng phần
Giả sử u(x) và v(x) có các đạo hàm liên tục u(x) và v(x). Khi đó:
udv = uv vdu
Thật vậy, từ:
d(uv)=udv+vdu
Nên
udv=d(uv) vdu
Lấy tích phân hai vế ta đợc công thức tích phân từng phần.
Ví dụ 5.2:
x 2 dx
1. x 2 + b dx = x x 2 + b
x2 + b
x2 + b b
2
x
x
+
b

=
x 2 + b dx
b
2
dx x 2 + b dx
=x x +b +
2
x +b
b
2 x 2 + b dx = x x 2 + b +
dx

Hay
x2 + b
dx
Do
x 2 + b = ln x + x 2 + b + C nên
Vậy



dx

+ dx =

=


Trang 4



x 2 + b dx =

2. Tơng tự



a 2 x 2 dx =

x 2
b

x + b + ln x + x 2 + b + C
2
2

x
a2
x
a2 x2 +
arcsin + C
2
2
a

Các tích phân trên đợc bổ sung thành các tích phân cơ bản:
dx
1
x
= arctg + C
2
a
a
+x
dx
x
= arcsin + C
a
a2 x2

16.

a

17.



18.

a

2

2

dx
1
a+x
=
ln
+C
2
2a a x
x

tgxdx = ln cos x + C
cot gxdx = ln sin x + C

19.
20.

dx

x

21.

sin x = ln tg 2 + C

22.

cos x = ln tg 2 + 4 + C

23.



24.



x 2 + b dx =

x 2
b
x + b + ln x + x 2 + b + C
2
2

25.

a 2 x 2 dx =

x
a2
x
a2 x2 +
arcsin + C
2
2
a

Ví dụ 5.3:
a. Tính
a.

x

dx

(x

dx
x +b
2



= ln x + x 2 + b + C

dx

(a>0)
a2 ) x2 a2
Hàm có nghĩa khi: x <- a, hoặc x > a. Đặt:
2



0
a

2
x=


cos t
< t <
2

khi

x>a

khi

x < a

Khi đó x khả vi đơn điệu theo t. Ta có:

(x

dx

=

Do

2

2

2

atgtdt
cos t

1
atgtdt
2
a tg t tgt cos t
3

a ) x a
1
1 cos tdt
a 2 sin 2 t = a 2 sin t + C
=

1 cos tdt = 1 + C
a 2 sin 2 t
a 2 sin t
2

dx=

sin t = 1 cos 2 t = 1

a2
x2

(0 < t <
(


)
2


< t <)
2


Trang 5

 x2 − a2
( x > a)

x2 − a2 

x
=
=
x
x2 − a2

−
( x < −a)

x
dx
−x
Do ®ã:
∫ (x 2 − a 2 ) x 2 − a 2 = a 2 x 2 − a 2 + C
xe x dx
b. I= ∫
, §Æt 1 + e x = t ta cã:
x
1+ e
2
I = 2 ln(t 2 − 1)dt = 2t ln(t 2 − 1) − 2 22 t dt
∫
∫ t −1
= 2t ln(t 2 − 1) − 4t + 2 ln

1+ t
+C
1− t

=2(x-2) 1 + e x +4ln(1+ 1 + e x ) – 2x+C

VÝ dô 5.4:
x 2 dx
1− x2
dx
= −∫
dx + ∫
a. ∫
1− x2
1− x2
1− x2
dx
2
= − ∫ 1 − x dx + ∫
1− x2
x
1
=−
1 − x 2 − arcsin x + arcsin x + C
2
2
x
1
=−
1 − x 2 + arcsin x + C
2
2
1
b. ∫ x arcsin xdx = ∫ arcsin xdx 2 =
2

1
1 x 2 dx
=
= x 2 arcsin x − ∫
2
2 1− x2
1
x
1
= x 2 arcsin x +
1 − x 2 − arcsin x + C
2
4
4
dx
dx
=∫
∫
c. I= x 1 − x 2
( x <1)
1
xx
−1
2
x
NÕu x<0 ta cã:
I =

−

∫

dx
2

x2

1
  −1
 x

=

∫

1
d 
 x
2

1
  −1
 x

2

1
1 1
1
= ln +   − 1 = ln +

1 − x2
x
x x
 x
1
= ln 1 − 1 − x 2  = ln
x

NÕu x>0 ta cã:



x
1 + 1 − x2

+C


Trang 6

I =



dx
2

1
1
x

x2

=





1
d
x
2

1
1
x

2

1
1 1
1
= ln + 1 = ln +
1 x2
x
x x
x
1
= ln 1 + 1 x 2 = ln

x

d.





x
1+ 1 x2

+C

arccos x
1
dx = arccos xd
2
x
x
1
dx
= arccos x
x
x 1 x2
x
1
= arccos x ln
+C
x
1+ 1 x2

5.3 Tích phân của một số lớp hàm
1. Tích phân các phân thức hữu tỉ
Ta gọi hàm hữu tỉ là các hàm có dạng:
P ( x)
R ( x) =
Q( x)
trong đó P (x ) và Q(x) là các đa thức. Nếu bậc của đa thức P(x) nhỏ hơn bậc của đa thức Q(x) thì
R(x) gọi là phân thức hữu tỷ thực sự. Hiển nhiên nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của đa
thức Q(x) thì thực hiện phép chia đa thức ta luôn nhận đợc R(x) là tổng của một đa thức với một
phân thức hữu tỷ thật sự.
Tích phân một đa thức luôn thực hiện đợc, do đó trong phần này ta chỉ quan tâm đến tính tích phân
của một phân thức hữu tỷ thực sự.
a. Tích phân các phân thức hữu tỷ đơn giản
Ta gọi các phân thức hữu tỷ thực sự sau là phân thức hữu tỷ đơn giản:
1
Mx + N
Mx + N
1
,
,
k ,
2
2
( x + a)
x + px + q ( x + px + q ) k
x+a
Trong đó p2-4q <0, k2. Khi đó ta có:
dx
(1)

= ln | x + a | +C
x+a
(2)
(3)

(4)

dx

( x + a)

k

=

1
+ C,
(1 k )( x + a) k 1

( k = 2,3,...)

( Mx + N )dx M ( x 2 + px + q )' dx
x 2 + px + q = 2 . x 2 + px + q
pM
dx

+N

2
2

p
p 2 4q
x +

2
4

M
=
ln | x 2 + px + q |
2
pM
2
2x + p

+N
arctg
+C

2
2 4q p

4q p 2



( Mx + N ) dx
M ( x 2 + px + q )'
=

dx
2 ( x 2 + px + q) k
( x 2 + px + q) k




Trang 7
M.p
dx

+ N

2
2 ( x + px + q) k

M
1
=
2
2(1 k ) ( x + px + q) k 1



M.p
dx

+ N

k

2
2

p
p 2 4q

x +

2
4




Đặt t = x +

p p 2 4q
,
= a12 ta chuyển về xét tích phân:
2
4
dt
Ik = 2
(t + a12 ) k

t 2 dt
Đặt J = I k 1 a I = 2
(t + a12 ) k
Sử dụng tích phân từng phần bằng cách đặt
tdt

dv = 2
và
u=t
(t + a12 ) k
1
t
1
+
I k 1
ta thu đợc: J =
2
2 k 1
2(k 1) (t + a1 )
2( k 1)
Từ đó, chúng ta có công thức truy hồi
1
t
1 2k 3
I k = 2 ( I k 1 J ) = 2
+ 2
I k 1
2
2 k 1
a1
2a1 (k 1)(t + a1 )
a1 2(k 1)
b. Phân tích một phân thức hữu tỷ thực sự thành tổng các phân thức đơn giản
Để tính tích phân của một phân thức hữu tỷ thực sự chúng ta công nhận một số kết quả sau:
Định lý 2: Nếu Q(x) là một đa thức bậc n với các hệ số thực thì nó có n nghiệm (kể cả bội) bao
gồm các nghiệm thực và các cặp nghiệm phức liên hợp.

Hệ quả: Mọi đa thức bậc n với các hệ số thực:
(a n 0)
Q( x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a1 x + a 0
luôn phân tích đợc thành tích của các nhân tử có dạng:
Q( x) = a n ( x + a ) ...( x + b) ( x 2 + px + q ) à ( x 2 + rx + s)
2
1 k

trong đó a,,bR là các nghiệm bội ,, của Q(x) và p,q,r,s R mà: p 2 4q < 0 , . . . ,
r 2 4s < 0 và :
+ ... + + 2( à + + ) = n
P ( x)
Định lý 3: Mọi phân thức hữu tỷ thực sự 1
luôn phân tích đợc thành tổng các phân thức hữu
Q( x)
tỷ đơn giản:
A
A 1
P( x)
=
+
+

Q( x) ( x + a)
( x + a ) 1
B
B 1
A
B
+ 1 +

+
+ + 1 + ...

1
x + a ( x + b)
x+b
( x + b)
M à x + Nà
M à 1 x + N à 1
M x + N1
+ 2
+ 2
++ 2 1
à
à 1
( x + px + q )
( x + px + q )
x + px + q
T x + U
T x + U 1
T x + U1
++ 2
+ 2 1
+ + 21
à
1
( x + rx + s )
( x + rx + s )
x + rx + s
Trong đó A , A 1 , , A1 ; B , B 1 , , B1 ; M à , N à , , M 1 , N 1 ; T ,U , , T1 , U 1 là các hằng số

cha biết và chúng đợc xác định bằng phơng pháp hệ số bất định.


Trang 8

Nh vậy để tính tích phân của một phân thức hữu tỷ R ( x) =

P ( x)
ta tiến hành các bớc sau:
Q( x)

P ( x)
cha là phân thức hữu tỷ thực sự, thực hiện phép chia đa thức ta đợc:
Q( x)
P ( x)
R ( x) = P1 ( x) + 2
Q( x)
(2) Tìm nghiệm của đa thức Q(x).
P ( x)
(3) Phân tích đa thức hữu tỷ thực sự: 2
thành tổng của các phân thức hữu tỷ đơn giản bằng phQ( x)
ơng pháp hệ số bất định.
(4) Tính tích phân của các phân thức hữu tỷ đơn giản trong biểu thức.
Ví dụ 5.5: Tính tích phân
xdx
I=
( x 1)( x + 1) 2
B
B2
x

A
=
+ 1 +
Ta có
2
x 1 x + 1 ( x + 1) 2
( x 1)( x + 1)
Quy đồng mẫu số hai vế ta đợc hai vế của tử số:
x A( x + 1) 2 + B1 ( x 1)( x + 1) + B2 ( x 1)
Khai triển biểu thức vế phải ta đợc:
x ( A + B1 ) x 2 + (2 A + B2 ) x + ( A B1 B2 )
Đồng nhất các hệ số của các luỹ thừa của biến x ở hai vế ta có hệ
A + B1 = 0

2 A + B2 = 1
A B B = 0
1
2

(1) Nếu R ( x) =

1
1
1
,
B1= ,
B2= .
4
4
2

1 dx
1 dx
1
dx
I=

+
Vậy:
4 x 1 4 x + 1 2 ( x + 1) 2
1
1
1 1
= ln | x 1 | ln | x + 1 | .
+C
4
4
2 x +1
1
1 x 1
=
+ ln
+C
2( x + 1) 4 x + 1
dx
Ví dụ 5.6: Tính tích phân I = 3
x 1
1
A
Mx + N
Ta có:

=
+
x3 1 x 1 x2 + x + 1
quy đồng mẫu số hai vế ta đợc:
1 A( x 2 + x + 1) + ( Mx + N )( x 1)
hay
1 ( A + M )x 2 + ( A M + N )x + ( A N )
Đồng nhất hệ số hai vế ta có hệ
A+ M = 0

A M + N = 0
A N = 1

Hệ cho nghiệm: A =

1
1
Hệ cho nghiệm: A= ,
M= ,
3
3
1 dx 1
x+2
Vậy I =

dx
3 x 1 3 x2 + x +1

N=

2
3


Trang 9

1
1
1
2x + 1
= ln | x 1 | ln | x 2 + x + 1 |
arctg
+C
3
6
3
3
Chú ý: Trong nhiều trờng hợp, thực hiện các phép đổi biến ta có thể tính tích phân của các phân
thức đơn giản hơn nhiều.
Vi dụ 5.7: Tính các tích phân
a)

I=



( x 4 x 2 + 1) + x 2
x4 +1
dx
=

dx
x6 + 1
x6 + 1



Do x +1=(x +1)(x -x2+1) nên:
1
x2
1
dx = arctgx + arctgx 3 + C
I = 2
+ 6
3
x + 1 x +1
6

2

b) J =

4

4

(2 x 1) 4 dx
dx
2x 1
=

6
2
( x + 1)
x + 1 ( x + 1)
4

5

1
3
3 1
3
= 2
d2
= 2
+C
3
x +1
x + 1 15
x +1
c)

K=



x 2 + 3x + 2
2x + 1

dx = 1 + 2

dx
2
x + x +1
x + x + 1




d ( x 2 + x + 1)
= x + ln( x 2 + x + 1) + C
x2 + x +1
2. Tích phân hàm lợng giác
Xét tích phân
R(sin x, cos x)dx
với R là hàm hữu tỉ.
Tích phân hàm lợng giác nêu trên bao giờ cũng quy về đợc tích phân hàm hữu tỉ thông qua phép
x
đổi biến t = tg
và ta có:
2
= x+



2t 1 t 2
R (sin x, cos x) dx = R
,
2
2
1 + t 1 + t

Ví dụ 5.8: Tính tích phân

I =

2dt

1+ t2


dx
3 sin x 4 cos x + 5

x
khi đó :
2
2dt
2t
1 t2
,
x = 2arctgt , dx =
sin
x
=
,
cos
x
=

1+ t2
1+ t2
1+ t2
2dt
2dt
1+ t2
I=
=
2
6t
4 4t
(3t + 1) 2

+
5
1+ t2 1+ t2
2
2
=
+C
=
+C
x
3(3tg + 1)
3(3t + 1)
2
Tuy nhiên phép đổi biến trên thờng dẫn tới các tích phân có biểu thức phức tạp nên ta thờng chọn
các phép đổi biến khác trong trờng hợp có thể nh sin x = t , cos x = t , tgx = t ,...
Ví dụ 5.9: Tính các tích phân sau
a. cos 5 xdx = (1 sin 2 x) 2 d (sin x )

Đặt t = tg

= (1 2 sin 2 x + sin 4 x)d (sin x )

2
1
= sin x sin 3 x + sin 5 x + C
3
5


Trang 10

(sin

b)

4

x + cos 4 x) sin x cos xdx
= sin 5 xd (sin x ) cos 5 xd cos x

sin 6 x cos 6 x
+C
6
dx
dx
=
c.
sin 2 x cos 2 x

2 sin x cos 3 x
d (tgx)
=
= 2tgx + C
2tgx
Ví dụ 5.10: Tính các tích phân
cos xdx
a.
I= 2
sin x 6 sin x + 5
Đặt sin x = t cos xdx = dt , ta có
dt
dt
1 1
1
I= 2
=
=

dt
(t 1)(t 5) 4 t 5 t 1
t 6t + 5
1
1
= ln | t 5 | ln | t 1 | +C
4
4
1 t 5
1 sin x 5
= ln

+ C = ln
+C
4 t 1
4 sin x 1
=

b. J =

Ta có:

cos x cos 3x
dx
1 sin 4 x

cos x cos 3 x
1 sin 4 x

=

2 sin 2 x sin x
1 sin 4 x

Đặt sin x = t cos xdx = dt

=

4 sin 2 x cos x
1 sin 4 x

(1 + t 2 ) (1 t 2 )

4t 2 dt
dt
dt
=
2
dt = 2
2
4
2
2
2
1 t
(1 + t )(1 t )
1 t
1+ t2
1+ t
1 + sin x
= ln
2arctgt + C = ln
2arctg (sin x) + C
1 t
1 sin x

J=

3. Tích phân hàm vô tỉ
Nói chung, để tính tích phân của hàm vô tỉ ta tìm cách để quy chúng về tích phân của các hàm hữu
tỉ, sau đó tính tích phân.
a. Tích phân có chứa một biểu thức bậc nhất dới dấu căn



m

r

I = R[ x, ( ax + b) n ,..., (ax + b) s ]dx

Chúng ta đặt ax + b = t k và chọn k để khử hết các căn ở biểu thức trên (chọn k là bội chung nhỏ
nhất: n,...,s) ta quy về đợc tích phân hữu tỉ.
Ví dụ 5.11: Tính tích phân
dx
I=
a.
2x + 3 3 2x + 3
6
Đặt 2 x + 3 = t 6 x = t 3 dx = 3t 5 dt ta đợc:
2
5
3
3t dt
t dt

1

I = 3 2 = 3
= 3 t 2 + t + 1 +
dt
t 1
t 1
t t

t3 t2

= 3 + + t + ln | t 1 | + C
3 2

1
1
1
1
1

1
= 3 ( 2 x + 3) 2 + (2 x + 3) 3 + ( 2 x + 3) 6 + ln | ( 2 x + 3) 6 1 | + C
3

2




Trang 11

I =

b.

Đặt x = t 6

x dx
1+ 3 x

dx

dx = 6t 5 dt . Vậy

(t 8 1) + 1
1

dt = 6 (t 2 1)(t 4 + 1) +
dt
2
2
1+ t
1+ t
1 + t 2

t 7 t 5 t 3

= 6 + t + arctgt + C
7 5 3

6
5
x6 x

x
x 6
= 6

+
x + arctg 6 x + C
5
3
7


I =6

t 8 dt



=6





b. Tích phân có chứa căn thức dới dấu căn thuộc dạng

m

r


ax + b n
ax + b s

I = R x,
,...,


dx
cx + d
cx + d


ax + b
Chúng ta cũng đặt:
= t k , với k là bội số chung nho nhất của n,,s.
cx + d



Ví dụ 5.12: Tính tích phân

2 x + 1 dx
.
2x 1 x
2tdt
1+ t2
2x +1

dx = 2
=t x=
2
(t 1) 2
2(t 1)
2x 1
I=

Đặt
Suy ra

I=

(t

4t 2 dt
2





= 2 (

1

+

1

)dt
t + 1 t 1
1
t 1
= 2( arctgt + ln |
|) + C
2
t +1
2x + 1
2x + 1
2x + 1
= ln
+ 1 ln
1 2arctg
+C
2x 1
2x 1
2x 1
2

+ 1)(t 1)

2

2

c. Xét các tích phân có dạng
I = R ( x, ax 2 + bx + c )dx
Trong đó R là một hàm hữu tỉ, trong tích phân có chứa căn bậc hai của một tam thức bậc hai
Bằng cách biến đổi tam thức bậc hai về dạng chính tắc

b

ax 2 + bx + c = a[( x + ) 2 2 ] , = b 2 4ac
2a
4a
b
và thực hiện việc đặt ẩn phụ: t = x +
chúng ta đa đợc tích phân trên về một trong ba tích phân dới
2a
đây, và khử dấu căn bằng phép đổi biến tơng ứng
(i) R (t , a 2 t 2 )dt
t = a sin u

R(t ,
(iii) R (t ,
(ii)

a 2 + t 2 )dt

t = atgu

t 2 a 2 )dt

t=

a
cos u

sau đó chuyển đợc tích phân về tích phân hàm hữu tỉ.
Ví dụ 5.13: Tính tích phân

a.

I=



dx
(1 x 2 ) 3

Đặt x = sin t t = arcsin x , dx = cos tdt và 1 x 2 = cos t


Trang 12

Ta có I =
b.

x

I=

Đặt x =
Ta có:

dt
x
= tgt + C =
+C
2
cos t

1 x2
dx
3

x2 1

1
sin t
(| x |> 1) dx =
dt và
cos t
cos 2 t



I = cos 2 tdt =
=

x 2 1 = tgt

1
t sin 2t
(1 + cos 2t ) dt = +
+C
2
2
4

1 x 2 1
1
(
+ arccos ) + C
2
2
x
x

Trong một số trờng hợp ta có thể áp dụng trực tiếp các công thức trong mục 5.2 để tính các tích
phân.
Ví dụ 5.14: Tính các tích phân
a.

b)




x 2 + 4 x + 8dx =

dx
x x2

=



x+2
x 2 + 4x + 8

2

+ 2 ln | x + 2 + x 2 + 4 x + 8 | +C
dx
= arcsin(2 x 1) + C
1
1 2
(x )
4
2

Chú ý: Một số hàm số không có nguyên hàm sơ cấp, chẳng hạn
sin x
x
, e x2 ,
,...
x
ln x
5.4 Tích phân xác định
1. Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân xác định
Diện tích hình thang cong: Cho f(x) là hàm liên tục và f ( x) 0, x [ a, b] . Ta gọi miền giới hạn
bởi các đờng: x=a, x=b, y=f(x) và trục Ox là hình thang cong. Đặt m=min f(x), M=max f(x) với
x [ a, b ] . Vẽ các hình chữ nhật có đáy là đoạn [a,b] và có các chiều cao là m, M. Ta thấy rằng hình
thang cong chứa hình chữ nhật nhỏ và nằm trong hình chữ nhật lớn, gọi diện tích của hình thang cong
là S, khi đó:
m (b a ) S M (b a )
S
hay
m
M

ba
Do f(x) liên tục trên [a,b] nên tồn tại c [a, b] sao cho:
S
S=f(c)(b-a)
= f (c) hay
ba
Nếu ta có thể tìm đợc c [a, b] thì ta tính đợc chính xác S từ hàm f(x). Với mỗi c [a, b] lấy
S f (c )(b a ) thì sai số tối đa là = ( M m)(b a ) .
Để giảm sai số của cách làm trên ta chia nhỏ hình thang đã cho thành nhiều hình thang nhỏ. Khi
đó sai số xấp xỉ sẽ giảm đi khi số hình thang nhỏ tăng lên. Cụ thể, ta thực hiện nh sau:
Chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia
a = x 0 < x1 < x 2 < ... < x n = b

và gọi là một phép phân hoạch đoạn [a,b].


Trang 13

Hình 16
Đặt xi = xi xi 1 và d = max xi . Khi đó, hình thang ban đầu đợc chia thành n hình thang nhỏ.
Hình thang nhỏ thứ i, có các đáy thuộc hai đờng thẳng x = xi 1 và x = xi , một cạnh bên là đoạn
[ xi 1 , xi ] , cạnh cong là y=f(x). Lấy i [ xi 1 , xi ] tuỳ ý, ta xấp xỉ diện tích si của hình thang nhỏ
thứ i là si f ( i )xi . Đặt mi , M i tơng ứng là các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của f(x) trên đoạn
nhỏ [ xi 1 , xi ] . Khi đó phép tính xấp xỉ diện tích của hình thang nhỏ thứ i có sai số tối đa là
( M i mi )xi . Nh vậy, ta có thể lấy xấp xỉ:
n

S f ( i )xi ,

(5)

i =1

n

và sai số của phép tính trên không vợt quá n = ( M i mi )xi .
i =1

Khi cho n , sao cho d 0 ta thấy rằng, do f(x) liên tục vì thế cũng liên tục đều trên [a,b],
bởi vậy với > 0 cho trớc tuỳ ý chỉ cần chọn d đủ nhỏ thì | M i mi |<

i = 1,2,.., n. Suy ra

n

n .xi = (b a ) nên n 0 . Nh vậy, khi n , sao cho d 0 thì vế phải của (5) có giới
i =1

hạn và giới hạn đó chính là S.
n

S = lim
n

( d 0 )

f ( )x .
i

i =1

i

2. Định nghĩa tích phân xác định
Cho hàm f(x) xác định trên [a,b]. Chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia
a = x 0 < x1 < x 2 < ... < x n = b

Đặt xi = xi xi 1 và d = max xi . Lấy i [ xi 1 , xi ] tuỳ ý, lập tổng:
n

I n = f ( i )xi
i =1

và gọi là tổng tích phân. Khi cho n , sao cho d 0 , nếu I n có một giới hạn hữu hạn là I
không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a,b] và cách chọn các điểm i [ xi 1 , xi ] thì ta nói rằng hàm
f(x) khả tích trên đoạn [a,b] và gọi I là tích phân xác định của f(x) trên [a,b]. Ký hiệu:
b

I = f ( x) dx
a

Gọi mi , M i tơng ứng là các inf f(x) và sup f(x) khi x chạy trên đoạn nhỏ [ xi 1 , xi ] . Khi đó, các
tổng sau
n

n

I n = mi xi ,

I n = M i x i

i =1

i =1

đợc gọi là các tổng Đacbu (Darboux) bên dới và bên trên của phép phân hoạch.
Ta thấy ngay rằng: I n I n I n với mọi cách chia [a,b].
3. Điều kiện để hàm khả tích
Định lý 4. Điều kiện cần và đủ để hàm f(x) khả tích trên [a,b] là
lim I n I n = 0
n

(

)

n

Ta gọi i = M i mi là giao độ của f(x) trên [ xi 1 , xi ] . suy ra I n I n = i xi và ta có thể viết
i =1

lại điều kiện trên nh sau:
n

lim i xi = 0
n

i =1

Định lý 5. (Điều kiện cần để hàm khả tích)

Nếu hàm f(x) khả tích trên [a,b] thì f(x) giới nội trên đoạn đó.
Chú ý: Đảo lại của định lý 5 không đúng, tức là nếu f(x) giới nội trên [a,b] thì cha chắc đã khả
tích trên đoạn đó. Chẳng hạn, xét hàm Đirichlet


Trang 14

1 x Q
f ( x) =
0 x Q
Khi đó trên mỗi đoạn [a,b] cho trớc và với mọi phép phân hoạch đoạn [a,b] ta đều có: I n = 0 và
I n = b a nên theo định lý 4 hàm f(x) không khả tích trên [a,b].
Ví dụ 5.15: Dùng định nghĩa tính tích phân
2
dx
I=
x
1
Chia đoạn [1,2] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia
1 = x 0 < x1 < x 2 < ... < x n = 2

Đặt xi = xi xi 1 và d = max xi . Lấy i [ xi 1 , xi ] tuỳ ý, lập tổng:
n

n

1
xi
i =1
i =1 i

áp dụng định lý Largrange cho f(x)=lnx trên các đoạn [ xi 1 , xi ] , chúng ta có:
I n = f ( i )xi =
n

n

1
xi
i =1 i

ln 2 = (ln xi ln xi 1 ) =
i =1

trong đó i [ xi 1 , xi ] . Suy ra
I n ln 2 =

1

n


i =1

Do hàm y =



i

1

i


xi , i , i [ xi 1 , xi ]


1
liên tục nên liên tục đều trên [1,2], bởi vậy với mọi > 0 bé tuỳ ý cho trớc ta luôn
x

1 1
< khi < . Nh vậy, với mọi cách chia [1,2] sao cho

d < , thì với mọi cách chọn i [ xi 1 , xi ] ta có:

tìm đợc > 0 đủ nhỏ sao cho:

| I n ln 2 |

n


i =1

1
1
xi <
i i

n

x

i

=

i =1

Cho nên khi cho n , sao cho d 0 , I n có giới hạn là ln2, không phụ thuộc và cách chia đoạn
[1,2] và cách chọn các điểm i [ xi 1 , xi ] . Vậy theo định nghĩa ta có:
2

dx
= ln 2 .
x
1
Định lý 6: Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b] thì khả tích trên đoạn đó.
Chứng minh: Vì f(x) liên tục trên khoảng đóng [a,b] nên liên tục đều trên [a,b], do đó với mọi
> 0, luôn tìm đợc >0, sao cho xi , xi 1 [a, b] mà xi-xi-1< thì f(xi) f(xi-1)< hay i<, do
đó:
I=

n

n

i xi < xi = (b a)
i =1

i =1

n

Vì bé tuỳ ý nên: lim
i xi = 0 , hay f(x) khả tích trên [a,b].
n
i =1

1

Ví dụ 5.16: Tính

x

2

dx

0

Vì f(x)=x2 liên tục trên [0,1] nên ta chia đều [0,1] thành n đoạn bằng nhau, khi đó ta có: xi=
i
đồng thời chọn i= . Khi cho n , thì xi 0 nên ta có:
n
1
2
n
n
2

2
i 1 lim 1
=
x
dx
lim
= n 3 i
0
n
n i =1
i =1 n n

1
;
n


Trang 15

1 n(n + 1)(2n + 1) 1
.
=
6
3
n3
Suy rộng định lý 6 chúng ta có định lý sau:
Định lý 7: Nếu f(x) giới nội trên [a,b] và liên tục tại mọi điểm
trên đó, chỉ trừ ra một số hữu hạn điểm gián đoạn loại 1, thì f(x) khả tích trên [a,b].
Định lý 8: Nếu f(x) đơn điệu trên [a,b] và bị chặn trên đó thì f(x) khả tích trên [a,b].
Chứng minh: Giả sử f(x) đơn điệu tăng trên [a,b]. Với > 0 cho trớc, chọn:

=
f (b ) f ( a )
Gọi i=Mi-mi=f(xi)-f(xi-1), khi đó chỉ cần phân hoạch sao cho xi < ta sẽ có:
= lim
n

n

n

i =1

i =1

i xi < [ f ( xi ) f ( xi 1 )] =[f(b)-f(a)]=
Chứng tỏ f(x) khả tích trên [a,b].
Ví dụ 5.17: Hàm
khi x = 0
0

f ( x) = 1
1
1
khi
< x , n = 1,2,...
n
n +1
n
Có đếm đợc điểm gián đoạn loại một trên [0,1], nhng theo định lý 8 nó khả tích trên [0,1].

Chú ý :
1. Giá trị của tích phân xác định không phụ thuộc vào biến lấy tích phân:
b

b

a

a

f ( x)dx = f (t )dt
2. Diện tích của hình thang cong:
b

S = f ( x)dx
a

3. Khi đổi cận cho nhau tích phân đổi dấu:
a


b

b

f ( x)dx = f ( x)dx
a

a

f ( x)dx = 0

Từ đó ta có:

a

4. Các tính chất của tích phân xác định
Dùng định nghĩa chúng ta chứng minh đợc các tính chất sau của tích phân xác định:
1.
2.

b

b

a

a

f ( x)dx = f ( x)dx Với là hằng số
b

b

b

a

a

a

[ f ( x) g ( x)]dx = f ( x)dx g ( x)dx

3. Nếu f ( x) 0 x [ a, b] và f(x) khả tích trên đó thì
b

f ( x)dx 0
a

4. Nếu f ( x) g ( x) , x [ a, b] và f(x), g(x) khả tích trên đó thì:
b


a

b

f ( x)dx g ( x)dx
a

5. Nếu f(x) khả tích trên [a,b] thì |f(x)| cũng khả tích trên đó và:
b


a

b

f ( x )dx | f ( x) | dx

a

6. Nếu m f ( x) M x [ a, b] và f(x) khả tích trên đó thì:


Trang 16
b

m(b a ) f ( x)dx M (b a ).
a

7. Với mọi c, nếu f(x) khả tích trên các đoạn [a,b], [a,c], [c,b] thì ta có:
b

c

b

a

a

c

f ( x)dx = f ( x)dx + f ( x)dx
5. Định lý về giá trị trung bình
Định lý 9: Nếu f(x) liên tục trên [a,b] thì tồn tại [a, b] để:
f ( ) =

b

1
f ( x)dx
b a a

b

Hay

f ( x)dx =

f ( )(b a )

a

Chứng minh: Gọi:
min f ( x ) , M= max f ( x )
m= x
[ a ,b ]
x[ a ,b ]
Theo tính chất (6) ta có:
b
1
m
f ( x)dx M
b a a
Vì f(x) liên tục trên [a,b] nên tồn tại [a,b] sao cho:
b
1
f ( ) =

f ( x)dx
b a a
b

1
f ( x)dx
b a a
là giá trị trung bình của f(x) trên [a,b].
Nh vậy, nếu f(x) không âm trên [a,b], diện tích hình thang cong, bằng diện tích hình chữ nhật có
các kích thớc f() và (b-a).
Suy rộng kết quả trên ta có:
Định lý 10: Nếu f(x) liên tục và tích f(x).g(x) khả tích trên [a,b] và g(x) không đổi dấu trên [a,b] thì
tồn tại [a, b] để
Ta gọi

mf =

b


a

b

f ( x) g ( x)dx = f ( ) g ( x) dx
a

5. Công thức Newton_Lepnit
a. Định lý đạo hàm theo cận trên
Định lý 11: Cho f(x) là một hàm liên tục trên [a,b] khi đó hàm số

x

( x) = f (t )dt
a

là một hàm khả vi trên [a,b] và ' ( x ) = f ( x) .
Chứng minh:
Cho x (a, b) một số gia x . Ta có
= ( x + x ) ( x) =

x + x


a

x

x + x

a

x

f (t )dt f (t )dt =

f (t )dt

Vì hàm f(x) liên tục trên [a,b] cũng liên tục trên [ x, x + x ] nên tồn tại c nằm giữa x và x + x sao
cho = f (c)x . Do đó

= f (c )
x
Cho x 0 , khi đó c x , do f(x) liên tục ta có:

' ( x) = lim
= lim f (c) = f ( x)
x 0 x
x 0
Chứng minh tơng tự, ta có:


Trang 17

' (a + 0) = f (a ) và ' (b 0) = f (b)
Hệ quả: Mọi hàm f(x) liên tục trên [a,b] đều có nguyên hàm trên khoảng đó.
áp dụng định lý cho hàm số

u

(u ) = f (t )dt trong đó u=u(x) ta có công thức:
a






/

f (t ) dt = f [u ( x)]u x/ ( x)



u( x)


a

(1)

Từ đó ta suy ra công thức
/

v( x)

f (t ) dt = f [v( x)]v' ( x) f [u ( x)]u ' ( x)


u( x)




(2)

Ví dụ 5.18: Tính đạo hàm theo cận trên
/

x t2

2
e dt = e x


0


a.

/

x 5

b.
t + 1dt = x 5 + 1


0

Ví dụ 5.19: Tính giới hạn
sin x



I = lim

0
x 0 tgx

tgt dt
sin t dt

0

áp dụng công thức Lôpitan và công thức đạo hàm theo cận trên ta có:
tg (sin x) . cos x
tg (sin x )
I = lim
= lim
x 0
x 0
1
sin(tgx )
sin(tgx ) .
2
cos x
= lim
x 0

tgx
sin x

= lim
x 0

1
=1
cos x

(vì khi x 0 thì tg (sin x) ~ tgx và sin(tgx) ~ sin x )
b. Định lý Newtơn-Lépnit
Định lý 12: Nếu f(x) là hàm liên tục và có nguyên hàm F(x) trên đoạn [a,b] thì ta có
b



b

f ( x)dx = F ( x ) | = F (b) F (a )
a

a

(Công thức Newtơn - Lépnit)
Chứng minh:
Vì F(x) là nghuyên hàm của f(x) trên [a,b] nên ta có:
x

( x) = f (t )dt =F(x)+C
a

Cho x=a ta đợc:
(a ) = F (a) + C =0
Hay
C= - F(a)
Cho x=b ta đợc:
b

(b) = f ( x )dx = F (b) F ( a)
a

b

Chú ý: Ký hiệu F ( x) | đọc là: F(x), thế cận từ a tới b.
a
Ví dụ 5.20: Tính các tích phân xác định
1
1
1

dx
ex
x


a.
=
1

dx
=
[
x

ln
|
1
+

e
|]
= 1 ln 2
|
x
0 1 + e x
0
0 1+ e


Trang 18
1

b.


0

1

dx
1
1
=

dx
2
x + 3x + 2 0 x + 1 x + 2

= ( ln | x + 1 | ln | x + 2 |) = ln
1

|

0

2
3

Ví dụ 5.21: Tính giá trị trung bình của hàm f ( x ) = x 3 + 2 x trên đoạn [0,2].
2
2
1
1 x4
3
m f = ( x + 2 x) dx = + x 2 .| = 4
20
2 4
0
Ví dụ 5.22: Tính giới hạn
1
1
1
I = lim n 2
+ 2
++ 2 .
2
n

2n
n +1 n + 2
1
1
1
Đặt u n = n 2
+ 2
++ 2
2
2n
n +1 n + 2
1
Xét f ( x) =
, do f(x) liên tục trên [0,1] nên khả tích trên đó và theo công thức Newtơn1+ x2
Lépnit ta có
1
1
dx

J =
= arctgx | =
2
0
4
0 1+ x

Mặt khác chia [0,1] thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia x0 = 0, x1 =
Lập tổng tích phân:
In =

1
.
n

1
1
1+ 2
n

+

1
.
n

1
1
1
++ .
= un
2
n
2
n2
1+ 2
1+ 2
n
n

Do hàm f(x) khả tích trên [0,1] nên: lim u n = lim I n = J =

n

n

Ví dụ 5.23:
1

a.

Cho

I=
0

Đặt f(x)=

1
1 + x3

arctgx
1 + x3


4

dx

, g(x)=arctg x ta thấy g(x) không đổi dấu trên [0,1] và:

1

arctgxdx = xarctgx

1

1
0



0

xdx

1+ x

2

0

1
2

= xarctgx 10 ln(1 + x 2 ) 10 =


ln 2
4

Vì f(x) và g(x) thoả mãn định lý trung bình 2 nên ta có:

1

I=
0

Do đó ta có:


ln 2
dx = 4
, ( [0,1])
1 + x3
1+ 3

arctgx


1
arctgx
ln 2


dx < ln 2
<
4
3
4

0 1+ x
2

1

xn
dx = 0
n + 1 + x
0

b. Chứng minh In= lim
Đặt f(x)=



1
, g(x)= xn . áp dụng định lý trung bình đợc:
1+ x

1
2
, x 2 = ,... , x n = 1 .
n
n


Trang 19
1

xn
1
dx = lim
= 0, [0,1]

n + 1 + x
n + (1 + n)(1 + )
0



lim

5.5 Các phơng pháp tính tích phân xác định
1. Phơng pháp đổi biến
Tơng tự nh khi tính tích phân bất định, ta có các phơng pháp đổi biến để tính tích phân xác định.
Định lý 13: Cho hàm f(x) liên tục trên [a,b]. Giả sử ta có hàm số x=x(t) xác định trên [ , ] thỏa
mãn đồng thời các điều kiện
1) x(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ , ] .
2) x( [ , ] ) [a, b] .
3) x( )=a, x( )=b.
khi đó có công thức đổi biến


b

f ( x)dx = f [ x(t )]x' (t )dt
a

Chú ý: Theo công thức trên, trong tích phân xác định, khi đổi biến ta phải đổi cận, và không phải
đổi trở lại biến cũ.
Ví dụ 5.24: Tính tích phân
1

a. I = x 2 1 + 4 x 2 dx

0

Đổi biến 2x=sht ta có:
2dx=cht dt, x=0: t=0, x=1: t = ln(2 + 5 ) , 1 + 4 x 2 = cht
Do đó:
I=
=

1
8

ln( 2 + 5 )



sh 2 2tdt =

0

1
8

1 sh 4t
2+
2t ln(

0
32 2

ln( 2 + 5 )


0

5)

=

ch4t 1
dt
2

9 5 1
ln(2 + 5 )
8
16

2

(2 x x 2 )dx
1 + 2 x 1
0
Đặt x=2-t dx=-dt; x=0 t=2; x=2 t=0. Ta có:
I =

b.

2

I=


0

2

2

( 2t t 2 ) dt
2 t 1 ( 2t t 2 ) dt
2 x 1 ( 2 x x 2 ) dx
=
=
1 + 21t
1 + 2 t 1
1 + 2 x 1
0
0





Kết hợp biến đổi nêu trên và biểu thức ban đầu ta đợc
2

2I = I + I =

0

2

( 2 x x 2 ) dx
2 x 1 (2 x x 2 ) dx
+
1 + 2 x 1
1 + 2 x 1
0



2


x3 2 4
=
= ( 2 x x 2 ) dx = x 2
0 3
3


0

|



2

.
3
Ví dụ 5.25: Cho hàm f(x) liên tục trên [-a,a]. Chứng minh rằng:

Suy ra I =
a

(1)

f ( x)dx = 0

nếu f(x) là hàm lẻ trên [-a,a].

a
a

(2)



a

a

f ( x)dx = 2 f ( x)dx

Ta có: I =

nếu f(x) là hàm chẵn trên [-a,a].

0

a

0

a

a

a

0

f ( x)dx = f ( x)dx + f ( x)dx

Biến đổi số hạng thứ nhất ở vế phải của đẳng thức trên ta có:


Trang 20
0

0

a

a

a

a

0

0

f ( x)dx = f (t )(dt ) = f (t )dt = f ( x)dx

Nh vậy, ta luôn có:
a

a

a

0

f ( x)dx = [ f ( x) + f ( x)]dx

Sử dụng tính chất chẵn, lẻ của hàm f(x) ta thu đợc các đẳng thức cần chứng minh.
Định lý 14: Giả sử f(x) liên tục trên [a,b]. Khi đó nếu dùng phép đổi biến t = (x) trong đó (x) là
hàm số thỏa mãn các điều kiện
(1) (x) là hàm đơn điệu và khả vi liên tục trên đoạn [a,b].
(2) Biểu thức f(x)dx biến đổi về đợc biểu thức g(t)dt, trong đó g(t) là một hàm liên tục trên [
(a), (b) ] (hoặc trên đoạn [ (b), (a) ]).
Khi đó ta có công thức đổi biến:
b

(b )

a

(a)

f ( x)dx = g (t )dt

Ví dụ 5.26: Tính tích phân


x sin xdx
1 + cos 2 x
0
Đổi biến t= x dt= - dx, x=0: t= , x=: t=0 nên:

I=

a.



0



( t ) sin t
sin tdt
t sin tdt
dt =

I=

2
2
1 + cos t
1 + cos t 0 1 + cos 2 t

0







Do tích phân xác định không phụ thuộc biến số nên:


d cos t
I = arctg (cos t ) 0 I
2
1 + cos t
0

I=
Do đó: I=


2
arctg (cos t ) 0 =
2
4

ln 2

b. I =



e x 1dx

0

Đặt t = e x 1 e x 1 = t 2 x = ln(t 2 + 1) dx =
x=0 t=0;

Vậy

1



I = t.
0

x=ln 2 t=1.
1

2tdt
.
t 2 +1

1
2tdt
1


= 2 1 2
dt = 2( t arctgt ) = 2
2
0
2
t +1
t + 1
0

|



2. Phơng pháp tích phân từng phần
Định lý 15: Giả sử u(x) và v(x) là các hàm khả vi liên tục trên [a,b]. Khi đó
b

b

b

udv = uv | vdu
a

a

Ví dụ 5.27: Tính tích phân

a

1

I = arctgxdx

a.

0

u = arctgx


dv = dx

Đặt
Suy ra

1

1

| x

I = x.arctgx
0

0

dx

du = 2

x +1
v = x

1
xdx
1
ln 2
= ln( x 2 + 1) =
2
0
4
2
+1 4 2

|


Trang 21
1

I = ∫ e arcsin x dx

b.

0

§Æt t = arcsin x ⇒ x = sin t ⇒ dx = cos tdt ; x=0 ⇒ t=0;
π

2

I = ∫ cos t.e t dt . Liªn tiÕp ®Æt etdt=det ta ®îc:
0

I = e t cos t

= −1 +

π
2

| + ∫ sin te dt
t

0

π
2

π
t 2
sin t.e
0

| − ∫ cos t.e dt = −1 +
t

π
e2

−I

0

π

1  2
e − 1 .

2 


I=

Suy ra:

π
2
0

π
2

c. I = cos m x sin(m + 2) xdx

∫
Ta cã:

0

π
2

π
2

∫

∫

I = cos m +1 x sin( m + 1) xdx + cos m x cos( m + 1) x sin xdx = I 1 + I 2
0

0

π
2

XÐt tÝch ph©n I = cos m +1 x sin(m + 1) xdx
1
∫
0

du = (m + 1) cos m x.(− sin x)dx
 u = cos m +1 x


§Æt 
⇒ 
1
v
=
−
cos(m + 1) x
dv = sin( m + 1) xdx

m +1
Ta ®îc:
I 1 = − cos m +1 x.

1
cos(m + 1) x
m +1

π
2

∫

π
2
0

|

− cos(m + 1) x. cos m x sin xdx =

0

Nh vËy: I = I 1 + I 2 =

1
− I2
m +1

1
1
.
− I2 + I2 =
m +1
m +1

π
2

d. I = cos n x. cos nxdx
n
∫
0

Do cos(n − 1) x = cos nx cos x + sin nx sin x nªn:
π
2

π
2

∫

∫

I n = cos n −1 x cos( n − 1) xdx − cos n −1 x sin nx sin xdx = I n −1 − J
0

0

π
2

XÐt tÝch ph©n J = cos n −1 x sin nx sin xdx . §Æt
∫
0

x=1 ⇒

t=

π
.
2

Suy ra


Trang 22

du = n cos nxdx

v = 1 cos n x

n

u = sin nx



n 1
dv = cos x sin xdx
Ta thu đợc
1
J = cos n x sin nx
n


2
0


2

| + cos

n

x cos nxdx = 0 + I n = I n

0

Nh vậy: I n = I n 1 J = I n 1 I n , nên ta có công thức truy hồi:
1
I n = I n 1
2
áp dụng liên tiếp công thức truy hồi trên ta có:
In =

1
1
1
1
I n 1 = 2 I n 2 = = n I 0 = n
2
2
2
2


2



dx = 2

n +1

0

3. Tính gần đúng tích phân xác định
ở trên ta đã nêu cách tính tích phân xác định bằng công thức Niutơn-Lépnit. Tuy nhiên trong thực

tế ta thờng có nhu cầu tính giá trị của tích phân trong khi biểu thức dới dấu tích phân lại không có
nguyên hàm sơ cấp. Ví dụ trong lý thuyết xác suất chúng ta cần tính giá trị của tích phân:
x

( x) = e



x2
2

dx , (hàm Lapplace).

0

Vì hàm dới dấu tích phân không có nguyên hàm, do đó, ngời ta cần tính gần đúng tích phân này.
Ngay cả khi biểu thức dới dấu tích phân có nguyên hàm sơ cấp thì để cho đơn giản mà vẫn có độ
chính xác thích hợp chúng ta cũng tính gần đúng. Dới đây sẽ giới thiệu hai công thức tính gần đúng
tích phân xác định là công thức hình thang và công thức Simpson.
a. Công thức hình thang
Giả sử f(x) là hàm liên tục trên [a,b] và ta cần tính tích phân
b

I = f ( x) dx
a

Chia đoạn [a,b] thành n đoạn bằng nhau bởi các điểm chia
x0 = a , x1 = a + h , x 2 = a + 2h , ..., xi = a + ih ,..., x n = b
ba
trong đó: h := xi = xi xi 1 =

. Tại các điểm chia ta tính y i = f ( xi ) , i = 1, n .
n

Hình 17

Khi đó:
b

x1

x2

xn

a

x0

x1

xn 1

I = f ( x)dx =

f ( x)dx + f ( x)dx + + f ( x)dx

Để tính tích phân ở vế phải trong tích phân thứ i (i= 1, n ) trên đoạn [ xi 1 , xi ] ta thay f(x) bằng nhị
thức bậc nhất mà đồ thị đi qua các điểm ( xi 1 , y i 1 ) và ( xi , y i ) :
y y i 1
y= i

( x xi 1 ) + y i 1
xi xi 1
Ta có:
xi

y i y i 1
( x xi 1 ) + y i 1 ]dx
i x i 1

[x

xi 1


Trang 23
=[

xi
y i y i 1 ( x xi 1 ) 2
+ y i 1 x]
xi 1
xi xi 1
2

|

y i y i 1 ( xi xi 1 ) 2
+ y i 1 ( xi xi 1 )
xi xi 1
2

y + y i 1
y + y i 1
= ( xi xi 1 ) i
=h i
2
2
=

Nh vậy ta lấy xấp xỉ:
xi

y + yi
f ( x)dx h i 1
i= 1, n

2


xi 1
Do đó ta thu đợc công thức
b
y + y1
y + yn
y + y2
I = f ( x) dx h. 0
+ h. 1
+ + h. n 1
2
2
2

a



y + yn

h 0
+ y1 + y 2 + + y n 1 = I T
2

y + yi
Khi f ( x) 0 , thì h i 1
chính là diện tích hình thang vuông có chiều cao h và có các đáy là
2
y i 1 và y i (hình vẽ). Vì vậy, công thức trên: I I T đợc gọi là công thức hình thang.
max f ' ' ( x) thì ngời
Sai số: Nếu hàm f(x) có đạo hàm liên tục cấp hai f ' ' ( x) trên [a,b] và M 2 = x
[ a ,b ]
ta chỉ ra đợc rằng:
M (b a) 3
| I I I | 2
12n 2
Ví dụ 5.28: Tính gần đúng giá trị của tích phân
1
dx
I=
2
0 1+ x
Theo công thức Newtơn-Lépnit ta tính đợc:
1

I = arctgx | = 0,78539816
0
4
i
Nếu dùng công thức hình thang với số đoạn chia n=8, khi đó ta có các điểm chia xi = , i = 0,8 ,
8
1
64
1
=
và các giá trị của y i =
, i = 0,8 . áp dụng công thức hình thang ta có:
h=
2
1 + xi
64 + i 2
8
1 1 64 64 64 64 64 64 64 64
64
IT = +
+
+
+
+
+
+
+
8 2 64 128 65 68 73 80 89 100 113

0,78474971
Sai số: | I I T | 0,00064845 .
b. Công thức Simpson
Chia đoạn [a,b] thành 2n đoạn bằng nhau bởi các điểm chia:
x0 = a, x1=a+h, x2=a+2h, ... , xi=a+ih,..., x2n=b
ba
trong đó h = xi xi 1 =
. Tại các điểm chia xi ta tính các giá trị yi=f(xi), i = 1,2n . Khi đó:
2n
b

I = f ( x)dx =
a

x2



x0

f ( x)dx +

x4



f ( x)dx + +

x2

x2 n

f ( x)dx

x2 n 2

Trên đoạn [ x 2i 2 , x 2i ] ta thay f(x) bằng tam thức bậc hai mà đồ thị đi qua các điểm ( x 2i 2 , y 2i 2 ) ,
( x 2i 1 , y 2i 1 ) và ( x 2i , y 2i ) :
y = a ( x x 2i 1 ) 2 + b( x x 2i 1 ) + c
Khi đó, ta có: y 2i 2 = ah 2 bh + c , y 2i 1 = c , y 2i = ah 2 + bh + c .


Trang 24

Nh vậy:
x2 i

[a( x x

2i 1 )

2

+ b( x x 2i 1 ) + c]dx

x2 i 2

x2 i
a
b

= [ ( x x 2i 1 ) 3 + ( x x 2i 1 ) 2 + c( x x 2i 1 )]
x2 i 2
3
2
2a 3
h
=
h + 2hc = [(ah 2 + bh + c) + 4c + (ah 2 bh + c)]
3
3
h
= ( y 2i 2 + 4 y 2i 1 + y 2i )
3

|

Chúng ta lấy xấp xỉ:
x2 i

h

f ( x)dx 3 ( y

2i 2

+ 4 y 2i 1 + y 2i ) , ( i = 1, n )

x2 i 2

Bởi vậy ta có công thức tích phân gần đúng:

b

I=

h

f ( x)dx 3 [( y

0

+ 4 y1 + y 2 )

a

+ ( y 2 + 4 y 3 + y 4 ) + + ( y 2 n 2 + 4 y 2 n 1 + y 2 n )]
h
[( y 0 + y 2 n ) + 2( y 2 + + y 2 n 2 ) + 4( y1 + + y 2 n 1 ] = I S
3

Và gọi là công thức Simpson.
Sai số: Giả sử rằng hàm f(x) có đạo hàm cấp bốn

f ( 4) ( x ) liên tục trên [a,b] và

M 4 = max | f ( 4) ( x ) | thì :
x[ a ,b ]
M 4 (b a ) 5
180(2n) 4
Ví dụ 5.29: Tính tích phân
1

dx
I= 2
0 x +1
bằng công thức Simpson với n=8, ta có:
ba 1
.
h=
=
2n
16
1
S1 = y 0 + y16 = 1 + = 1,5
2
S 2 = y 2 + y 4 + + y14 5,52797709
S 3 = y1 + y 3 + + y15 6,28578945
h
Do đó: I ( S1 + 2S 2 + 4 S 3 ) 0.78539816
3
| I I S |

5.6 Tích phân suy rộng
Trong phần trớc ta xét tích phân xác định:
b

f ( x)dx
a

Trong đó [a,b] là khoảng hữu hạn và f(x) là hàm xác định trên [a,b]. Trong phần này ta sẽ lần lợt mở
rộng tích phân trong các trờng hợp sau:
(i) Khoảng lấy tích phân là khoảng vô hạn.

(ii) Hàm dới dấu tích phân có điểm gián đoạn vô cực trên [a,b].
1. Tích phân trên khoảng vô hạn
a. Định nghĩa
Định nghĩa 3:( Tích phân trên [a,+) )
Cho hàm f(x) xác định trên [a, + ) và khả tích trên [a,b] với mọi b>a. Ta gọi biểu thức:


Trang 25
b

f ( x)dx

I= lim

b +

a

là tích phân suy rộng của hàm f(x) trên khoảng [a, + ) và ký hiệu:
+

f ( x)dx
a

Khi giới hạn ở vế phải tồn tại và hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng hội tụ. Khi giới hạn đó
không tồn tại hoặc bằng thì ta nói tích phân suy rộng phân kỳ.
Nh vậy:
+

a

b

f ( x)dx = lim f ( x)dx
b

a

Định nghĩa 4: (Tích phân trên (, b] )
Nếu f(x) xác định trên (, b] và khả tích trên [a,b] với mọi a(, b] là
b

b

f ( x)dx = lim f ( x)dx
a



a

Khi giới hạn ở vế phải tồn tại và hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng hội tụ, trái lại ta nói tích phân
suy rộng phân kỳ.
Định nghĩa 5: ( Tích phân trên (, ) )
Nếu f(x) xác định trên (, ) và khả tích trên [a,b] với mọi a,b (a

c

+





c

f ( x)dx = f ( x)dx + f ( x)dx

Chúng ta nói rằng tích phân ở vế trái hội tụ khi và chỉ khi cả hai tích phân ở vế phải hội tụ.
Ví dụ 5.30: Tính tích phân (nếu nó hội tụ)
x
x
x
+
b


b
2
2
2
2
a. I = e dx = lim e dx = lim 2e | =
1
b +
b +
e

1
1
b. I =

+

x


+

dx
. Do
+1

2

b

dx
0 x 2 + 1 = blim
+

x

0

0

x

0

dx
= lim
+ 1 b

x

2

+

b

0

b
dx

= lim arctgx | =
0
2
+ 1 b+

2

0

dx

= lim arctgx | =
b
b


2
+1

2

dx
dx
x 2 + 1 = x 2 + 1 +

Nên

+

x
0

dx
=
+1

2

+

c. I = cos xdx
0

b

b

Đặt I (b) = cos xdx = sin x | = sin b
0

0

sin b nên tích phân phân kỳ.
Do không tồn tại giới hạn lim
b
Ví dụ 5.31: Xét sự hội tụ của tích phân theo
+
dx
( > 0)
I =
x
1
Ta có
b

I (b) =

dx

x
1

Từ đó ta có:

=

1
1
. 1
1 x

b

|

1

=

1
1
1
. 1
1 b
1

( 1)