Sử dụng phần mềm geometers sketchpad làm công cụ hỗ trợ trong dạy, học, giải một số bài toán về hàm số và đồ thị

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN HOÀNG BÍCH

SỬ DỤNG PHẦN MỀM GEOMETER’S SKETCHPAD
LÀM CÔNG CỤ HỖ TRỢ TRONG DẠY, HỌC, GIẢI
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, NĂM 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN HOÀNG BÍCH

SỬ DỤNG PHẦN MỀM GEOMETER’S SKETCHPAD
LÀM CÔNG CỤ HỖ TRỢ TRONG DẠY, HỌC, GIẢI
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60460113
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN ĐÌNH BÌNH

THÁI NGUYÊN, NĂM 2013

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

Danh mục chữ cái viết tắt trong luận văn

CNTT

: Công nghệ thông tin

GSP

: Geometer’s Sketchpad

GV

: Giáo viên

HS

: Học sinh

MTĐT

: Máy tính điện tử

SGK

: Sách giáo khoa

THPT

: Trung học phổ thông

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

Mục lục
Mở đầu ……………………………………………………………………...
1. Lý do chọn đề tài ………………………………………………………...
2. Mục đích nghiên cứu ……………………………………………………
3. Phương pháp nghiên cứu ………………………………………………...
4. Cấu trúc của luận văn ……………………………………………….........
Chương 1: Tổng quan về phần mềm GSP cơ sở lý luận của việc sử
dụng phần mềm GSP trong giải toán ………………………………… …
1.1. Giới thiệu về phần mềm GSP…………………………………………
1.1.1. Giới thiệu sơ bộ chức năng của phần mềm ……………………...
1.1.2. Các đối tượng hình học và công cụ của phần mềm ……………
1.1.3. Quan hệ giữa các đối tượng hình học ……………………………….
1.2. cơ sở khoa học của việc sử dụng phần mềm GSP làm công cụ hỗ
trợ trong việc giải toán………………………….. ………………………..
1.2.1. Cơ sở hình học sơ cấp ẩn chứa trong GSP ..…………………………
1.2.2. Vấn đề sử dụng phần mềm Geometer’s Sketchpad trong dạy học ….
Chương 2: Sử dụng phần mềm GSP để thiết kế một số mô hình
làm công cụ hỗ trợ việc dạy, học, giải một số bài toán về hàm số và đồ
thị trong chương trình THPT………………... ………………………..
Ví dụ 2.1 Giới hạn của hàm số ………….………………………………..

A. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm …………………………
B. Giới hạn phải, giới hạn trái của hàm số tại một điểm ……………….
Ví dụ 2.2 Sử dụng GSP giải bài toán tương giao của hai đồ thị hàm số …..
Ví dụ 2.3 Dự đoán điểm cố định mà họ đồ thị hàm số có chứa tham số luôn
đi qua………………………………………………………………………...
Ví dụ 2.4 Sử dụng phần mềm GSP trong một số bài toán biện luận hệ
phương trình, hệ bất phương trình………………………………………...
Ví dụ 2.5 Sử dụng phần mềm GSP trong một số bài toán về quỹ tích………
Kết luận ……………………………………………………………………
Phụ lục ……………………………………………………………………...
Tài liệu tham khảo ………………………………………………………....

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
4
4
5
5
5
6
6
7
8
9
11
11
15

17

17
18
21
23
29
37
40
49
50
58


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay với sự phát triển như vũ bão của Khoa học kỹ thuật mà
đặc biệt là CNTT đã khiến cho diện mạo đời sống xã hội của con người có
những thay đổi tuyệt vời. CNTT đã xâm nhập vào tất cả mọi lĩnh vực của
đời sống. Ta khó có thể tìm thấy ở trong lĩnh vực công việc nào mà ở một
khía cạnh nào đó mà ta không thấy sự hiện diện của chiếc máy tính và
mạng Internet. Đặc biệt là trong hoạt động giáo dục, có người nói rằng
"mảnh đất giáo dục" chính là tấm gương phản chiếu của mỗi bước phát
triển của khoa học kỹ thuật mà trong đó có CNTT. CNTT được sử dụng
phổ biến trong mọi cấp học, mọi nhà trường, và nó đã tạo ra bước đột phá
mới trong việc nâng cao chất lượng giáo dục.
Toán học có mối liên hệ mật thiết với Tin học. Toán học mang lại
cơ sở lý luận cho Tin học, ngược lại Tin học lại chính là một công cụ đắc
lực phục vụ cho việc dạy và học Toán.

Hiện nay trên thế giới đã có nhiều phần mềm dạy học toán như
Maple, Cabri, GSP, v.v.... Các phần mềm này đã phần nàođó giúp giáo
viên và học sinh đạt được hiệu quả cao hơn trong việc dạy và học Toán.
Tuy nhiên việc lựa chọn phần mềm nào phù hợp và sử dụng nó một cách
hiệu quảcũng là một vấn đề không mấy dễ dàng đối với không ít giáo viên
và học sinh hiện nay. Vì tất cả các lý do trên, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài
"Sử dụng phần mềm Geometer’s Sketchpad làm công cụ hỗ trợ trong dạy,
học, giải một số bài toán về hàm số và đồ thị"

4


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu phần mềm GSP ứng dụng trong giải một số bài toán
về hàm số và đồ thị trong chương trình THPT.

3. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu cơ sở lý luận của việc sử dụng phần mềm GSP
trong giải toán
- Nghiên cứu tài liệu về phần mềm GSP, tài liệu về hàm số

trong chương trình THPT
Nghiên cứu thực nghiệm
- Sử dụng phần mềm GSP để thiết kế một số mô hình làm công
cụ hỗ trợ việc dạy, học, giải một số bài toán về hàm số và đồ
thị trong chương trình THPT

4. Cấu trúc của luận văn
Luận văn bao gồm 2 chương vàphụ lục:
Chương 1 Tổng quan về phần mềm GSP cơ sở lý luận của việc sử
dụng phần mềm GSP trong giải toán
Chương 2 Sử dụng phần mềm GSP để thiết kế một số mô hình

làm công cụ hỗ trợ việc dạy, học, giải một số bài toán về hàm
số và đồ thị trong chương trình THPT
Phụ lục trình bày một hướng dẫn sử dụng phần mềm GSPcơ bản.

5


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
Chương 1
Tổng quan về phần mềm GSP cơ sở lý luận của
việc sử dụng phần mềm GSP trong giải toán
Trong chương này tác giả sẽ trình bày tổng quan về phần mềm
GSP, một số hướng dẫn sử dụng phần mềm GSP cơ bản và cơ sở khoa
học của việc sử dụng phần mềm GSP làm công cụ hỗ trợ trong việc giải
toán.

1.1. Giới thiệu về phần mềm GSP
Phần mềm Geometer’s ketchpad do một nhà toán học Mỹ là
Nicholas Jackiw thiết kế vào những năm 90. Geometer's Sketchpad được
sử dụng rộng rãi trong việc giảng dạy ở nhiều trường trung học cơ sở
ở Hoa Kỳ và Canada. Phiên bản thương mại đầu tiên của Geometer's
Sketchpad phát hành năm 1991 bởi Key Curriculum Press sau một thời

gian thử nghiệm ở Hoa Kỳ. Geometer's Sketchpad từng nhận được nhiều
giải thưởng công nghiệp và từng có mặt trong các bài thuyết trình
của John Sculley (giám đốcApple Computer) và Bill Gates (giám
đốc Microsoft) về những công nghệ giáo dục tốt nhất. Hiện tại phần mềm
này được coi là phần mềm mô phỏng hình học động số một thế giới.
Phần mềm này được cung cấp cho các trường phổ thông Việt Nam
trong khuôn khổ dự án “Thực hành phát triển nghiệp vụ”_PDL
(Professional devolopment Laboratory) ký kết giữa hãng IBM và Bộ giáo
dục_Đào tạo. Cho đến nay đã có rất nhiều giáo viên và nhà trường phổ
thông đang sử dụng phần mềm này trong việc giảng dạy và học tập.

6


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
1.1.1. Giới thiệu sơ bộ chức năng của phần mềm
- Rất mạnh về chức năng. Các chức năng của phần mềm này không
thua kém gì so với phần mềm rất nổi tiếng khác là Cabri Geometry.
- Dễ dàng cài đặt và sử dụng. Phần mềm nhỏ gọn, chỉ cần sao chép
là chạy được.
- Phần mềm không cài đặt khóa, do vậy, theo một nghĩa nào đó,
phù hợp với đặc thù của Việt Nam.
- Một trong những lợi thế hơn hẳn của phần mềm này so với các
phần mềm cùng loại khác trên thế giới là các concept về công cụ, thực
đơn, lệnh rất phù hợp với thói quen hàng ngày của chúng ta. Điều này làm
cho phần mềm trở nên phổ dụng và dễ sử dụng hơn so với các phần mềm
cùng loại.
- Phiên bản mới nhất 4.06 của phần mềm đã bổ sung khá nhiều tính

năng mới hay như khả năng tạo nhiều document trong một tệp, khả năng
tạo nhiều các công cụ macro, chức năng print preview, ...
- Tuy nhiên cũng phải kể đến một nhược điểm nhỏ của phần mềm
là chưa hỗ trợ dựng đối tượng hình học là đường conic và chức năng thể
hiện trên Internet bằng Applet còn chưa mạnh.
- Tóm lại phần mềm Geometer Sketchpad là sự lựa chọn lý tưởng
cho các nhà trường Việt Nam dùng như một công cụ hỗ trợ học và dạy
môn Toán. Đối tượng sử dụng phần mềm là giáo viên và học sinh.
Màn hình làm việc của phần mềm

7


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
Hình 1.1: Màn giao diện làm việc của GSP
Ta cần chú ý nhất đến khu vực Thực đơn và Hộp công cụ của
phần mềm.
- Thực đơn là nơi thực hiện hầu như tất cả các lệnh và chức năng
chính của phần mềm. Mỗi lệnh có một chức năng riêng biệt và tác động
lên các đối tượng hình học đã được chọn trước đó trên màn hình làm việc
của phần mềm.
- Hộp công cụ chứa 6 công cụ với các chức năng riêng biệt và độc
lập với nhau.
1.1.2. Các đối tượng hình học và công cụ của phần mềm
Hộp công cụ luôn hiện bên trái của màn hình làm việc chính của
phần mềm.
Công cụ Chọn (Selection) có chức năng dùng để chọn và dịch
chuyển các đối tượng hình học trên màn hình. Có thể chọn một hoặc

8


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
nhiều đối tượng khác nhau. Nháy chuột tại vị trí trống trên trang có chức
năng hủy chọn tất cả.
Công cụ Điểm (Point) có chức năng khởi tạo các đối tượng Điểm.
Điểm là một trong những đối tượng hình học cơ bản nhất của phần
mềm. Công cụ Compa (Compass) dùng để khởi tạo các đối tượng
là Đường tròn. Đường tròn cũng là một đối tượng hình học cơ
bản của phần mềm.
Công cụ Đoạn thẳng có chức năng khởi tạo các đối tượng hình
học là Đoạn, Tia hoặc Đường thẳng. Mỗi đoạn, tia hoặc đường
thẳng tối thiểu phải đi qua 1 điểm.
Công cụ Text (Text Tool) có chức năng tạo nhãn cho đối tượng
hình học hoặc tạo các hộp chứa chữ trên màn hình.
Công cụ Macro (Scripting, Custom) là công cụ dùng để tạo ra
các công cụ dựng hình khác của phần mềm.
Ngoài các đối tượng cơ bản vừa nêu trên (điểm, đường tròn, đoạn
thẳng, nhãn), phần mềm còn có thể tạo ra được các đối tượng hình học
khác như:
- Cung tròn (là một phần của vòng tròn).
- Vùng, miền trong của một hình.
- Các đối tượng đo (ví dụ số đo chiều dài, đo góc, tính toán, ....).
- Hàm số và đồ thị.
Các đối tượng hình học sau phức tạp hơn sẽ được trình bày trong
các bài viết sau.
1.1.3. Quan hệ giữa các đối tượng hình học

Quan hệ giữa các đối tượng hình học là khái niệm cơ bản nhất của
mọi phần mềm hình học động tương tự như Geometer sketchpad. Toàn bộ
các đối tượng hình học được tạo ra trong phần mềm có thể kết nối với
9


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
nhau theo các quan hệ toán học chặt chẽ. Chính sự kết nối toán học này
làm cho các đối tượng hình học trở nên "động" và đó chính là toàn bộ sức
mạnh của phần mềm.
Quan hệ giữa các đối tượng hình học là quan hệ phụ thuộc. Một đối
tượng B được sinh ra sẽ phụ thuộc một cách toán học vào đối tượng A.
Như vậy A phải được khởi tạo trước.
Ta nói: là đối tượng "cha" của đối tượng
"con" của đối tượng .
Ví dụ: Trong hình dưới đây
là các đối tượng Tự do.

hay

là đối tượng

là hai điểm được khởi tạo đầu tiên. Đây

Đối tượng đoạn thẳng
được khởi tạo là đoạn nối giữa hai điểm
và . Đoạn
là đối tượng "con" của hai đối tượng điểm

.
Trung điểm là điểm giữa của đoạn
. Như vậy điểm có quan
hệ chăt chẽ là "trung điểm" của
. là đối tượng"con"của đoạn
.
Hay ngược lại ta nói: các điểm
là "cha" của điểm .

là "cha" của đoạn

. Đoạn

Ta đã quan sát thấy: một đối tượng "cha" có thể có nhiều đối
tượng "con", và ngược lại một đối tượng "con" có thể có nhiều "cha".

B
M
A
Hình 1.2 : Dựng đoạn thẳng
điểm

từ hai điểm
của đoạn

cho trước, dựng trung

Hiểu rõ các quan hệ và ý nghĩa toán học của các đối tượng hình học
là chìa khóa quan trọng nhất để hiểu được phần mềm Geometer
Sketchpad và các phần mềm tương tự khác.

10


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
1.2. cơ sở khoa học của việc sử dụng phần mềm GSP làm công cụ
hỗ trợ trong việc giải toán.
Hiện nay đã có khá nhiều phần mềm vẽ hình được sử dụng trong
dạy, học và làm toán. Một trong những phần mềm được nhiều thầy cô
giáo và học sinh lựa chọn sử dụng đó là phần mềm GSP. Có nhiều lý do,
có thể kể ra một số lý do sau
1.2.1. Cơ sở hình học sơ cấp ẩn chứa trong GSP
Có thể nói rằng phần mềm GSP được xây dựng dựa trên cơ sở của
hình học sơ câp. Nó cho phép tạo ra các đối tượng hình học cơ bản như
điểm, đường thẳng. Từ các đối tượng hình học cơ bản đó, phần mềm cho
phép xác lập nên các mối quan hệ giữa các đối tượng hình học cơ bản đó.
Ví dụ như từ hai điểm phân biệt, cho phép dựng được đoạn thẳng nhận hai
điểm đó là hai đầu mút, hay dựng được duy nhất một đường thẳng đi qua
hai điểm phân biệt cho trước, hoặc có thể dựng được đường tròn có tâm là
một điểm và đi qua điểm còn lại. Phần mềm cho phép xây dựng các mối
quan hệ hình học cơ bản như quan hệ thuộc, quan hệ song song, cắt nhau,
vuông góc, …
Từ các đối tượng, quan hệ đã có, phần mềm cho phép xác lập các
đối tượng mới, quan hệ mới. Khi ta tác động làm thay đổi vị trí tương đối
của các đối tượng thì vẫn bảo toàn được các mối quan hệ, do đó nó bộc lộ
tính bất biến mà bản chất của hình học la nghiên cứu các đối tượng dựa
trên tính bất biến của các mối quan hệ của đối tượng.
Do phần mềm xây dựng dựa trên các đối tượng và các mối quan hệ
cơ bản của hình học sơ cấp nên hình vẽ trong phần mềm GSP rất gần gũi

với các hình mà HS đã quen biết trên giấy. Do đó nó rất phù hợp với tư
duy của HS. Muốn vẽ hình một cách chính xác thì HS vẫn phải cần đến tư
duy toán học, phải tuân thủ theo đúng các quy tắc dựng hình bằng thước
kẻ và com-pa như các em vẫn làm trên giấy. Ta xét ví dụ sau

11


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
Ví dụ 1.1
Sử dụng phần mềm GSP để dựng hình bình hành
không thẳng hàng cho trước.
Để vẽ được hình bình hành
làm như sau.

từ ba điểm

một cách chính xác. Ta cần phải

- Nối các cạnh
. Lần lượt từ hai điểm
ta làn lượt dựng
hai đường thẳng lần lượt song song với hai cạnh
và
bằng cách
chọn điểm , rồi chọn cạnh
, tiếp theo là dùng công cụ dựng đường
thẳng song song (Construct Parallel Line). Sau khi dựng được hai

đường thẳng lần lượt song song với cạnh
rồi. Ta lấy giao điểm của
hai đường thẳng đó ( Intersection). Khi đó giao điểm đó chính là điểm
là đỉnh cuối cùng của hình bình hành

Hình 1.3 : Dựng hình bình hành
Chú ý rằng với cách vẽ hình như trên thì thi ta thay đổi vị trí tương
đối của điểm hoặc các điểm
thì điểm cũng thay đổi theo và vẫn
giữ nguyên quan hệ với các điểm
sao cho
vẫn là hình bình
hành.
12


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
Ví dụ 1.2
Cho đường tròn
và điểm nằm ngoài đường tròn. Hãy dựng
hai tiếp tuyến
đến đường tròn
.
Nhận xét rằng với ví dụ này nếu HS không nắm vững kiến thức
hình học sơ cấp thì thông thể dựng được hai tiếp tuyến kẻ từ theo yêu
cầu được.
Ta tiến hành như sau
- Dựng đường tròn

và điểm

nằm ngoài đường tròn.

- Dựng đoạn thẳng
- Dựng điểm là trung điểm của
- Dựng đường tròn tâm , bán kính
- Xác định giao điểm của hai đường tròn
- Hai giao điểm đó chính là hai điểm

và

.

.

- Dựng hai đường thẳng lần lượt đi qua hai điểm
được hai tiếp tuyến cần dựng.

13

và

ta


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

Hình 1.4 : Dựng hai tiếp tuyến
của đường trong
nằm ngoài đường tròn

kẻ từ

* Nhận xét với phép dựng hình như trên khi ta thay đổi vị trí tương
đối của điểm hoặc thay đổi đường tròn
thì hai tiếp điểm
cũng
thay đổi theo nhưng mối quan hệ
vẫn đảm bảo là tiếp tuyến của
.
* Giải thích cách dựng trên
- Giả sử ta đã dựng được hai điểm
thỏa mãn là tiếp điểm. Suy
ra hai điểm
nhìn đoạn thẳng
dưới một góc bằng
. Do đó hai
điểm
nằm trên đường tròn đường kính
. Mà
là hai tiếp điểm
nên
phải nằm trên
. Vậy
chính là giao điểm của hci đường
tròn
và

với là trung điểm của
. Từ đó ta có cách dựng
như trên.
Qua hai ví dụ dựng hình đơn giản ở trên ta thấy rằng phần mềm
GSP rất phù hợp làm công cụ hỗ trợ cho việc dạy toán, học toán, làm
toán. Khi sử dụng phần mềm GSP thì người sử dụng không mất đi tư duy
14


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
toán học, không ỷ lại vào phần mềm, hay nói khác đi là GSP không làm
thay tất cả mà chỉ đơn giản là một công cụ hỗ trợ cho người sử dụng mà
thôi. Ngoài ra phần mềm GSP có thể tạo ra môi trường hình học động để
từ đó giúp cho HS có thể quan sát, đưa ra những dự đoán mới cho bài
toán, hoặc có thể thống kê, phân tích số liệu tính toán để phát hiện ra
hướng chứng minh tổng quát cho bài toán. Ta xét ví dụ sau
Ví dụ 1.3.
Cho điểm
di chuyển trên đường tròn đường kính
. Trên
đường thẳng
lấy điểm sao cho
. Hãy tìm quỹ tích điểm
khi thay đổi trên đường tròn đường kính

Hình 1.5 Dự đoán quỹ tích điểm
1.2.2. Vấn đề sử dụng phần mềm Geometer’s Sketchpad trong dạy
học

Hiện nay công nghệ phần mềm phát triển rất mạnh, trong đó các
phần mềm giáo dục cũng đạt được những thành tựu đáng kể như: bộ
Office, Cabri, Crocodile, SketchPad, GSP, Maple, Mathenatica,
15


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
ChemWin, LessonEditor, VioLet… hệ thống WWW, Elearning và các
phần mền đóng gói, tiện ích khác.
Dùng phần mềm GSP có thể đạt được một số hiệu quả sau:
Thể hiện một khái niệm hoặc một ý tưởng mới trong toán học.
Khám phá sâu hơn khái niệm hoặc khám phá ở những góc độ khác
nhau của khái niệm.
Từng bước hướng dẫn giúp HS xây dựng các cấu trúc và hiểu được
mối liên hệ giữa các thành phần.
HS dùng mô hình trả lời các câu hỏi trên phiếu học tập hoặc trên
máy tính.
GV sử dụng các mô hình dẫn dắt thảo luận trong quá trình dạy học.
HS thao tác trên mô hình hình thành tri thức.
HS làm việc tạo những đối tượng mới trên mô hình theo yêu cầu
của GV và phản hồi với GV trong quá trình dạy học.
HS sử dụng GSP giải quyết các bài tập lớn hoặc các thách thức.
Sử dụng GSP đồng thời với các chương trình khác hoặc với các vật
thể thao tác được.
Kiểm tra các giả thiết đặt ra hoặc kiểm chứng một kết quả nào đó.
Như vậy phần mềm GSP có thể đem lại nhiều điều mới mẻ cho GV và
HS trong quá trình dạy và học. Ở một phương diện nào đó nó góp phần
nâng cao hiệu quả của giáo dục. Tuy nhiên việc sử dụng phần mềm GSP

nói riêng cũng như các phần mềm dạy học khác cần phải linh hoạt, tránh
lạm dụng công nghệ trong dạy học.Trong trường hợp phần mềm dạy học
không hơn gì chiếc bảng đen hay trang sách giáo khoa thì không nên
dùng.

16


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
Chương 2
Sử dụng phần mềm GSP để thiết kế một số
mô hình làm công cụ hỗ trợ việc dạy, học, giải
một số bài toán về hàm số và đồ thị trong
chương trình THPT
Phần mềm GSP có nhiều tính năng có thể ứng dụng trong dạy học
môn toán. Ứng dụng GSP trong đại số, giải tích, hình học phẳng, hình học
không gian. Chương này trình bày một số ví dụ về việc sử dụng phần

mềm GSP để thiết kế một số mô hình làm công cụ hỗ trợ việc dạy,
học, giải một số bài toán về hàm số và đồ thị trong chương trình
THPT
Ví dụ 2.1. Giới hạn của hàm số
Trong chương trình toán THPT, giới hạn nói chung, giới hạn của
hàm số nói riêng là những khái niệm nền tảng của chương trình giải tích,
tuy nhiên lại rất trừu tượng, mang tính hàn lâm cao. Khi dạy - học phần
này thì cả GV và HS đều thấy khó khăn. Khó khăn của GV ở chỗ thiếu,
hoặc rất khó tạo ra những công cụ trực quan làm giảm bớt tính kinh viện
của khái niệm, đưa bài giảng gần gũi với HS hơn, làm cho HS dễ tiếp

nhận kiến thức hơn. Khó khăn của HS trong việc tiếp cận với khái niệm.
Đa số HS khi được hỏi đều trả lời không hiểu rõ khái niệm. Mặc dù trong
SGK hiện hành đã không còn sử dụng ngôn ngữ của toán cao cấp để định
nghĩa khái niệm giới hạn nữa, mà dùng cách mô tả mang tính trực quan
khái niệm giới hạn. Tuy nhiên HS nhiều khi vẫn gặp khó khăn khi tiếp
cận với khái niệm khó này.
17


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
Khi sử dụng phần mềm GSP trong dạy học phần giới hạn đã phần
nào mang lại hiệu quả, HS cảm thấy hiểu bài hơn.
A. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm.
i. Cơ sở lý thuyết
Định nghĩa:Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y
trên K hoặc trên K \ x0 . Ta nói hàm số y
khi x dần tới x0 nếu với dãy số xn bất kỳ, xn
có f xn

L . Kí hiệu: lim f x
x

x0

L , hay f x

f x xác định

f x có giới hạn là số L
K \ x0 và xn
L khi x

x0 , ta

x0

ii. Mục tiêu:HS nắm được khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại một
điểm.
iii. Biện pháp thực hiện
* Thiết kế mô hình GSP

Hình 2.1: Mô hình giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

18


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
* Hoạt động 1: Hình thành khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại
một điểm
- GV kéo thanh trượt n cho giá trị n thay đổi, n ngày càng tăng.
1
Hướng dẫn HS quan sát sự thay đổi giá trị của dãy số xn , xn 1
và
n
1
dãy số f xn , với f xn

.
f 1
n
- GV yêu cầu HS nêu nhận xét. HS dễ dàng nhận thấy rằng khi giá
1
trị n ngày càng tăng thì dãy xn , xn 1
nhận giá trị ngày càng gần
n
với số 1. Do đó theo phần giới hạn dãy số đã học, HS nhận định rằng dãy
1
số xn , xn 1
có giới hạn là 1. Tương tự, HS cũng rút ra kết luận dãy
n
1
số f xn , f xn
tương ứng cũng có giới hạn bằng 2.
f 1
n
- GV tiếp tục cho HS quan sát sự di chuyển của điểm M x; y trên
đồ thị của hàm số. Dựa trên hình ảnh đồ thị HS nhận thấy rằng khi điểm

M x; y di chuyển thì ngày càng gần đến điểm M 0 2;1
* Hoạt động 2: Củng cố khái niệm
- Để củng cố khái niệm vừa hình thành. GV yêu cầu HS quan sát
1
sin x
thêm mô hình giới hạn của hai hàm số y x.cos và y
khi x 0
x
x

1
sin x
0,lim
1
. Từ đó nêu nhận xét. lim x.cos
x 0
x 0
x
x

19


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
Hình 2.2 Mô hình giới hạn lim x.cos
x 0

20

0

sin x
1
0
x

Hình 2.3 Mô hình giới hạn lim
x

1
x


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
B. Giới hạn phải, giới hạn trái của hàm số tại một điểm.
i. Cơ sở lý thuyết
Định nghĩa:
* Cho hàm số y

f x xác định trên khoảng x0 ; b .

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y
với dãy số xn bất kỳ, x0
: lim f x
x

xn

b và xn

x0 , ta có f xn

x0 nếu

L . Kí hiệu

L

x0

* Cho hàm số y

f x xác định trên khoảng a; x0 .

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y
với dãy số xn bất kỳ, a
: lim f x
x

f x khi x

xn

x0 và xn

f x khi x

x0 , ta có f xn

x0 nếu

L . Kí hiệu

L

x0

ii. Mục tiêu:HS nắm được khái niệm giới hạn một bên (giới hạn phải,
giới hạn trái) của hàm số tại một điểm.
iii. Biện pháp thực hiện
GV mở file 3ghhs.gsp

21


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
Hình 2.4 Mô hình giới hạn một bên của hàm số
Để minh họa cho khái niệm giới hạn bên phải, giới hạn bên trái của
x2 1
hàm số, GV cho HS quan sát mô hình đồ thị của hàm số h x
.
x 1
- GV điều chỉnh thanh trượt n cho giá trị n thay đổi. HS quan sát,
1
khi n ngày càng tăng thì dãy số xn : xn 1
nhận giá trị ngày càng
n
gần số 1 và xn 1 thì điểm Mtrên đồ thị chạy ngày càng gần đến điểm A.
Ta nói hàm số h x có giới hạn bên phải. Tương tự minh họa cho trường
hợp giới hạn bên trái của hàm số. Trong trường hợp này, HS có thể nhận
thấy giới hạn bên trái và giới hạn bên phải của hàm số h x là không
bằng nhau.
* Kết luận: Qua việc sử dụng phần mềm GSP, tạo mô hình trực
quan đã phần nào đó giúp HS tiếp cận khái niệm giới hạn của hàm số dễ

dàng hơn. Qua đó góp phần nâng cao hiệu quả của việc giảng dạy của
GV.
22


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
Ví dụ 2.2 Sử dụng GSP giải bài toán tương giao của hai đồ thị
hàm số
* Bài toán:Trong mặt phẳng Oxy cho hai hàm số y

f x và y

g x

có đồ thị lần lượt là C1 ; C2 . Hãy biện luận số giao điểm của hai đồ thị
trên.
* Cơ sở lý thuyết
Giả sử điểm M xM ; yM là giao điểm của hai đồ thị C1 ; C2 suy ra
điểm M xM ; yM nằm trên cả C1 và C2 do đó tọa độ của điểm
mãn đồng thời cả hai biểu thức y

f x và y

thỏa

g x . Điều này chứng tỏ

xM ; yM là nghiệm của hệ phương trình

y

f x

1

y

g x

2

Vậy muốn tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y
y

f x và

g x ta chỉ việcgiải hệ phương trình

y

f x

1

y

g x

2

ta được phương trình

Chú ý rằng ta lấy
f x

g x

0

3

Phương trình (3) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của
hai đồ thị C1 và C2
Ví dụ 2.2.1 Cho hai hàm số y

f x và y

g x lần lượt có đồ thị là C1

và C2 . Hãy nêu phương pháp tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị C1

23


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
và C2 . Áp dụng, hãy tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

y

f x

x3 3x 2 và y g x

x 2.

i. Cơ sở lý thuyết
Sử dụng cách giải tổng quát đã nêu trong bài toán ở trên.
ii. Biện pháp thực hiện
- Trong ví dụ này để giải quyết câu hỏi thứ nhất, GV có thể vẽ đồ
thị của hai hàm số tùy ý. Tuy nhiên để tiện trả lời cho ý thứ hai, ta có thể
vẽ luôn đồ thị của hai hàm số y

f x

x3 3x 2 và y g x

x 2

trên cùng một hệ trục tọa độ bằng công cụ vẽ đồ thị hàm số (Graph).

Hình 2.5 Mô hình tương giao của hai đồ thị
- Ta sẽ vẽ đồ thị hai hàm số trên đoạn IJ . Lấy điểm M x;0 tùy
trên đoạn IJ . Dùng công cụ tính toán Number - Caculate để tính
f x , g x . Như vậy khi cho điểm M chạy trên đoạn IJ thì các giá trị
f x , g x cũng sẽ thay đổi theo.

24