Tìm hiểu lịch sử phát triển tích phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
–––––––––––––––––

TRẦN ĐẠI DƢƠNG

TÌM HIỂU LICH SỬ PHÁT TRIỂN TÍCH PHÂN
Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp
Mã số : 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, năm 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU………………………………………….…………….……….1
CHƢƠNG 1 TÌM HIỂU LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
TRƢỚC NEWTON VÀ LEIBNIZ ................................................................... 3
1.1 Diện tích, số và khái niệm giới hạn thời cổ đại ...................................... 3
1.1.1 Hình học Babilon và Hình học Ai cập ............................................. 3
1.1.2 Hình học Hy Lạp thời cổ đại ............................................................ 6

1.1.3 Đoạn thẳng vô ƣớc và Phƣơng pháp hình học giải toán đại số ....... 7
1.1.4 Eudoxus và Phƣơng pháp vét cạn .................................................... 8
1.2 Những đóng góp của Archimedes trong hình thành các khái niệm tích
phân ............................................................................................................. 11
1.2.1 Đo hình tròn ................................................................................... 12
1.2.2 Cầu phƣơng parabola ..................................................................... 13
1.2.3 Archimedes và calculus ................................................................. 16
1.3 Tính không chia nhỏ đƣợc và kĩ thuật vô cùng bé ................................ 17
1.3.1 Kĩ thuật vô cùng bé của Johannes Kepler ...................................... 17
1.3.2 Tính không chia nhỏ đƣợc của Bonavetura Cavalieri ................... 18
1.3.3 Cầu phƣơng số học (Arithmetical Quadratures) ............................ 19
1.4 Tiếp tuyến .............................................................................................. 21
1.4.1 Phƣơng pháp giả phương trình của Fermat ................................... 21
1.4.2 Quan hệ giữa tiếp tuyến và cầu phƣơng......................................... 23
CHƢƠNG 2 TÌM HIỂU LỊCH SỬ HOÀN CHỈNH KHÁI NIỆM
TÍCH PHÂN SAU NEWTON VÀLEIBNIZ…….…………….………...…26
2.1 Phát triển tích phân của Asaac Newton ................................................ 26
2.1.1 Khái niệm vi phân và đạo hàm của Newton .................................. 26
2.1.2 Nguyên lí cơ bản của phép tính tích phân ...................................... 28


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
2.1.3 Quy tắc xích và phép lấy tích phân bằng phép thế ......................... 29
2.2 Phát triển tích phân của Gottfriend Wilhelm Leibniz ........................... 34
2.2.1 Khởi đầu: Tổng và Sai phân........................................................... 34
2.2.2 Tam giác đặc trƣng......................................................................... 35
2.2.3 Sự phát minh ra calculus giải tích .................................................. 38
2.2.4 Các kết quả của Newton và Leibniz .............................................. 40

2.3 Thời đại của Euler ................................................................................. 41
2.3.1 Khái niệm hàm số...........................................................................41
2.3.2 Tính vi phân của các hàm cơ bản Euler ........................................ 43
2.4 Hoàn thiện tích phân bởi Cauchy và Riemann ..................................... 44
2.4.1 Đóng góp của Cauchy trong hoàn thiện khái niệm tích phân ........ 47
2.4.2 Đóng góp của Riemann trong hoàn thiện khái niệm tích phân …51
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 53


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
LỜI NÓI ĐẦU
Trong chƣơng trình Toán Trung học Phổ thông, sách giáo khoa hiện
hành thƣờng giới thiệu sơ lƣợc về các nhà toán học và một số kiến thức lịch
sử toán học liên quan đến nội dung bài học.
Tìm hiểu những kiến thức về lịch sử toán nói chung, kiến thức lịch sử
tích phân liên quan đến chƣơng trình toán Trung học Phổ thông nói riêng,
theo tôi, là rất cần thiết. Hơn nữa, giảng dạy toán học thông qua lịch sử toán
học có lẽ cũng là vấn đề rất thú vị và đáng quan tâm.
Với mong muốn tìm hiểu và trang bị cho mình một số kiến thức về lịch
sử tích phân liên quan đến chƣơng trình Trung học Phổ thông và một số biện
pháp để cung cấp kiến thức này cho học sinh Trung học Phổ thông, nhằm
nâng cao chất lƣợng giảng dạy bộ môn toán của cá nhân ở trƣờng Trung học,
tôi chọn đề tài Tìm hiểu lịch sử phát triển tích phân làm Luận văn Cao học.
Luận văn có mục đích tìm hiểu quá trình hình thành, phát triển và định hình
khái niệm tích phân, các nội dung trong tính toán tích phân và ứng dụng của
tích phân. Chúng tôi cũng cố gắng sử dụng những hiểu biết về lịch sử tích
phân trong dạy học toán ở trƣờng Trung học Phổ thông.

Luận văn gồm hai chƣơng:
Chƣơng 1: Tìm hiểu lịch sử phát triển khái niệm tích phân trƣớc Newton
và Leibniz.
Chƣơng 2: Tìm hiểu lịch sử hoàn chỉnh lí thuyết tích phân sau Newton
và Leibniz.
Luận văn đƣợc hoàn thành tại trƣờng Đại học Khoa học, Đại học Thái
Nguyên dƣới sự hƣớng dẫn của PGS. TS. Tạ Duy Phƣợng (Viện Toán học,
Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam). Trong suốt quá trình làm
luận văn, tôi đã nhận đƣợc sự hƣớng dẫn tỉ mỉ, nghiêm túc của Thầy. Một số

1


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
nội dung trong Luận văn đƣợc tham khảo từ bản dịch của Thầy hƣớng dẫn.
Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy.
Tôi cũng xin cảm ơn các quý thầy, cô giảng dạy Cao học của Đại học
Khoa học, Đại học Thái Nguyên, đã mang đến cho tôi nhiều kiến thức bổ ích
trong khoa học và cuộc sống.
Xin chân thành cảm ơn Trƣờng Trung học Phổ thông Kim Sơn C,
Ninh Bình, nơi tôi công tác, đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành nhiệm vụ.
Xin chân thành cảm ơn các bạn đồng môn đã giúp đỡ tôi trong thời gian
học tập tại Đại học Thái Nguyên và trong quá trình hoàn thành luận văn.
Cuối cùng, tác giả xin đƣợc cảm ơn mẹ và ngƣời vợ yêu dấu, cùng
những ngƣời thân trong gia đình đã luôn luôn ủng hộ và động viên để tác giả
có thể hoàn thành luận văn một cách tốt nhất.
Thái Nguyên, tháng 5- 2013
Ngƣời viết Luận văn

Trần Đại Dƣơng

2


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
CHƢƠNG 1
TÌM HIỂU LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN TRƢỚC
NEWTON VÀ LEIBNIZ
Toán học thực sự đƣợc hình thành, phát triển và có ứng dụng thực tế
khoảng thế kỷ thứ V trƣớc Công nguyên, vào thời đại của các nền văn minh
cổ đại: Nền văn minh Ai Cập, Babylone, nền văn minh Hy Lạp,... Ngay trong
các thành tựu toán học thời kì này đã có những mầm mống của phép toán vi
phân và tích phân (calculus). Chƣơng này trình bày ý tƣởng sơ khai hình
thành khái niệm tích phân và những đóng góp của Archimedes, sau đó trình
bày sự phát triển khái niệm tích phân thời kì trƣớc Newton và Leibniz.
1.1 Diện tích, số và khái niệm giới hạn thời cổ đại
1.1.1 Hình học Babilon và Hình học Ai cập
Lịch sử phát triển toán học nằm trong và gắn liền với lịch sử phát triển
của văn minh nhân loại. Toán học thời sơ khai phát triển và góp phần giải
quyết các bài toán thực tế do xã hội đặt ra dựa trên các khái niệm số và hình.
Hai lĩnh vực này tuy phát triển độc lập, nhƣng nói chung liên quan mật thiết
với nhau. Thí dụ, hình học phải sử dụng số để biểu diễn các đại lƣợng (diện
tích, thể tích,…), phƣơng trình đại số đƣợc giải bằng phƣơng pháp hình học.
Hình học Ai Cập
Những thành tựu hình học trong toán học Ai Cập và Hy Lạp là cơ sở cho
sự phát triển của rất nhiều ngành toán học hiện đại, trong đó có calculus (phép

tính vi phân và tích phân). Nói chung các nhà nghiên cứu lịch sử đều thống
nhất rằng hình học có nguồn gốc từ Ai Cập. Thí dụ, nhà Lịch sử Hy Lạp
Herodotus (thế kỉ 5 trƣớc công nguyên) đã viết rằng, việc thu thuế của những
thửa ruộng trên những cánh đồng dọc theo sông Nile đƣợc tính theo diện tích,
nhƣng hàng năm nhà quản lí phải biết số diện tích ruộng bị lấp đi do phù sa
3


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
sông Nile bồi đắp, để trừ thuế. Rõ ràng, điều này đòi hỏi phát triển những kĩ
thuật đo đạc và tính toán diện tích.
Những bảng đất sét của ngƣời Hy Lạp cổ đại sau khi đƣợc giải mã, đã
cho chúng ta biết nhiều thông tin về hiểu biết hình học của ngƣời xƣa. Thí dụ,
các bảng đất sét Rhind Papyrus chứa một số bài toán và lời giải, trong đó có
khoảng 20 bài toán tính diện tích cánh đồng và thể tích các kho thóc. Mỗi bài
toán đƣợc phát biểu dƣới ngôn ngữ các số cụ thể, đúng hơn là bằng các chữ,
và lời giải của chúng đƣợc viết dƣới dạng đơn thuốc (in recipe fashion), mà
không chỉ rõ công thức tổng quát hoặc phƣơng pháp chung.
Diện tích hình chữ nhật bằng tích của đáy nhân chiều cao coi nhƣ đã
biết. Diện tích hình bình hành đƣợc tính bằng cách đƣa về hình chữ nhật nhờ
cắt và dán tam giác. Diện tích tam giác đƣợc tính bằng cách nhân một nửa
cạnh đáy với chiều cao, bằng nửa diện tích hình bình hành (hình bình hành là
hai tam giác bằng nhau ghép lại). Bài toán tính diện tích hình thang cân có
đáy bằng 4, 6 và chiều cao 20 đã đƣợc tính nhƣ nửa tổng hai đáy “giống nhƣ
hình chữ nhật” và nhân với chiều cao, kết quả đƣợc đáp số đúng là 100 (Hình
1.1). Bài toán này và các bài toán tƣơng tự cho phép giả thiết rằng cách tính
diện tích của ngƣời Ai Cập dựa trên phương pháp cắt cơ bản (elementary
dissection method), hay kĩ thuật cắt các hình (đa giác) thành tam giác và dán

các tam giác này lại để đƣợc hình chữ nhật (Hình 1.1).

h

h

b

b
b2

h

b

b1

4

Hình 1.1


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
Ngƣời Ai Cập đã biết gần đúng số  . Một bảng đất sét đã mô tả cách
tính diện tích hình tròn bằng bình phƣơng của

8
đƣờng kính nhƣ sau:

9

Chia mỗi cạnh hình vuông ngoại tiếp đƣờng tròn đƣờng kính d làm ba phần
và cắt đi bốn tam giác ở bốn góc (Hình 1.2).
Khi ấy diện tích của bát giác đều (xấp xỉ diện tích
hình tròn) là
2

7
63
8 
A  d2  d2   d  .
9
81
9 

Vì diện tích hình tròn là  r 2 , ta suy ra   3.16.

Hình 1.2

Toán học Babilon
Ngƣời Babilon đã biết đặt và giải các bài toán đại số nhƣ một số phƣơng
trình và hệ phƣơng trình bậc hai. Ví dụ, họ đã giải đƣợc bài toán sau đây:
“Tìm chiều dài một cạnh hình vuông cho biết diện tích của nó trừ đi chiều dài
của một cạnh thì bằng 870”. Ngày nay ta dễ dàng đặt phƣơng trình
x 2 – x  870 , và tìm thấy đáp số là 30.

Neugebauer đã phát hiện trong bộ sƣu tập của Louvre một tài liệu từ thời
vua Nabuchodonosor (vua Babilon 605 - 562 trƣớc CN), có ghi hai chuỗi số:

1  2  22  23  29  29  29 – 1;
 1
 2 
1  22  32   102  1   10    55  385.
 3 
  3
Một câu hỏi cho tới nay vẫn chƣa có câu trả lời là: Khi tìm ra các công
thức trên, ngƣời Babilon đã biết công thức tính tổng các số hạng của một cấp
số nhân và tổng bình phƣơng các số tự nhiên liên tiếp dƣới đây chƣa?

s n1
s 
;

s 1
i 0
n

i

n

j
j 1

2



n(n  1)(2n  1)

;
6
5

n

j
j 1

2

 1 2n   n 
     j  .
 3 3   j 1 


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
Ngày nay, khi nghiên cứu thành tựu về đại số của ngƣời Babilon, ngƣời
ta cho rằng sở dĩ họ đạt đƣợc những thành tựu nhƣ vậy là vì họ biết dựa vào
hệ đếm cơ số 60. Thí dụ, họ đã tính gần đúng giá trị của

2 (chỉ sai khác

0.000001 đơn vị):

1

24 51 10



 1.414213.
60 602 603

Về mặt hình học, ngƣời Babilon đã biết tính chính xác diện tích của tam
giác và hình thang, thể tích hình trụ và hình lăng trụ (bằng diện tích đáy nhân
với chiều cao).
1.1.2 Hình học Hy Lạp thời cổ đại
Khoảng 2500 về trƣớc, ngƣời Hy Lạp đã tiếp thu đƣợc những kiến thức
toán học, đặc biệt là hình học, của ngƣời Ai Cập và ngƣời Babilon. Những
kiến thức đó lần đầu tiên đã đƣợc ứng dụng một cách hiệu quả để đo diện tích
các mảnh đất. Tiếng Hy Lạp chữ “hình học” nghĩa là “đo đất”.
Các nhà toán học Hy Lạp, tiêu biểu là Thales (nửa đầu thế kỉ 6 trƣớc
công nguyên) và Pythagoras (500 năm trƣớc công nguyên), đã có những đóng
góp lớn trong hình học. Trƣờng phái Pythagoras đã đƣa vào khái niệm tỉ số
(ratios) và tỉ lệ (proportion) giữa các đại lƣợng (có thể là các số hoặc các đại
lƣợng hình học), có ứng dụng thiết thực trong tính toán số học và buôn bán.
Khái niệm tỉ số và tỉ lệ giữa các số đƣợc mở rộng và áp dụng cho tỉ số độ dài,
diện tích. Thí dụ, Hyppocrates (khoảng năm 430 trƣớc công nguyên) đã
chứng minh rằng tỉ số diện tích giữa hai hình tròn bằng bình phƣơng tỉ số
đƣờng kính (hoặc bán kính) của chúng. Ông suy ra kết quả này bằng cách vẽ
hai đa giác đều đồng dạng nội tiếp trong hai đƣờng tròn đã cho và diện tích
hình tròn nhận đƣợc bằng cách tăng vô hạn số cạnh của đa giác đều nội tiếp.
Nhƣ vậy, Hyppocrates đã có những cảm nhận về khái niệm giới hạn (limit) và

6


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
đại lượng vô cùng bé (infinitesimal), tuy nhiên, các khái niệm này ở Ông có lẽ
còn chƣa thật rõ ràng.
Vì diện tích hình tròn có thể xấp xỉ bởi diện tích hình đa giác đều nội tiếp
khi số cạnh đủ lớn, diện tích hình tròn không thể bằng diện tích của bất cứ đa
giác đều cụ thể nào nội tiếp trong nó. Xuất hiện bài toán cầu phƣơng hình
tròn: Tìm hình vuông có diện tích bằng diện tích hình tròn đã cho. Đây cũng
là ví dụ của bài toán, trong đó phân biệt rõ ràng sự khác nhau giữa tính toán
chính xác và tính toán xấp xỉ, khác với toán học thời kì Ai Cập và Babilon.
1.1.3 Đoạn thẳng vô ƣớc và Phƣơng pháp hình học giải toán đại số
Trƣờng phái Pytagoras đã xây dựng hình học trên cơ sở tỉ số và tỉ lệ. Từ
đó phát hiện ra rằng độ dài cạnh hình vuông và đƣờng chéo của nó là vô ƣớc
(tỉ số của chúng không biểu diễn đƣợc qua một số hữu tỉ), nghĩa là tồn tại các
số, thí dụ,

2, không phải là số hữu tỉ.

Khoảng 300 năm trƣớc công nguyên, hệ thống suy luận lôgic và phép
diễn dịch (the consciously logical and explicitly deductive approach) đã đƣợc
trình bày khá hoàn hảo trong 13 tập Elements, tác phẩm Cơ bản của Euclid.
Cho tới nay, đây vẫn là nét đặc trƣng tuyệt vời của toán học Hy Lạp.
Sách giáo khoa hình học của các trƣờng phổ thông hiện nay về nội dung và
chặt chẽ lôgic trong trình bày cơ bản gần nhƣ trùng với các chƣơng hình học
của Elements. Qua đây thấy đƣợc sức sống mạnh mẽ của Elements và thiên tài
của Euclid.

Hình 1.3
7

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
Nhờ cách dựng hình (bằng thƣớc và compass), Euclid đã chứng minh sự
tồn tại đoạn thẳng, độ dài của nó là trung bình nhân (Hình 1.3) của độ dài hai
đoạn thẳng a và b. Từ đó suy ra sự tồn tại nghiệm (hình học) của phƣơng
trình x 2  ab, trong khi đó phƣơng trình x 2  2 đã bị các nhà toán học Hy
Lạp coi là không có nghiệm (nghiệm hữu tỉ theo ngôn ngữ hiện đại).
Nhƣ vậy, Euclid đã đƣa phương pháp hình học vào giải các bài toán đại số
(giải các phƣơng trình).
1.1.4 Eudoxus và Phƣơng pháp vét cạn
Các nhà toán học Hy Lạp giả thiết một cách cảm tính rằng, các hình cong
nhƣ hình tròn và ellipses, có diện tích bằng diện tích của các đa giác. Và các
diện tích này, kí hiệu là a ( S ), thỏa mãn các tính chất tự nhiên sau đây.
(i) Tính đơn điệu: Nếu S chứa trong T , thì a ( S )  a (T ).
(ii) Tính cộng: Nếu S là hợp của hai hình S1 và S 2 rời nhau, thì

a(S )  a(S1 )  a(S2 ).
Tƣơng tự nhƣ Hyppocrates đã tăng số cạnh của đa giác đều nội tiếp để
tính diện tích hình tròn, Eudoxus (408-355 trƣớc CN) đã đƣa ra phương pháp
vét cạn (method of exhaustion) để tính diện tích của một hình phẳng S bất kì
nhƣ sau:
Xây dựng một dãy các đa giác P1, P2 ,..., Pk ,... “lấp đầy dần” và vét cạn S .
Dãy diện tích a( Pk ) sẽ cho giá trị diện tích a ( S ) của hình S .
Phƣơng pháp vét cạn của Eudoxus đã dẫn tới khái niệm giới hạn (tuy
không đƣợc giải thích và còn mơ hồ). Với phƣơng pháp vét cạn, có thể chứng
minh
Bổ đề Cho trước hình tròn C và một số   0, tồn tại một đa giác đều P nội
tiếp trong C sao cho a (C )  a ( P )   .

8


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
Dựa trên Bổ đề này, có thể chứng minh

a(C1 ) r12
Định lí Cho hai hình tròn C1 và C2 bán kính r1 và r2 . Khi ấy
 .
a(C2 ) r22
Nguyên lí vét cạn của Eudoxus còn cho phép chứng minh
Định lí Hai hình chóp tam giác có chiều cao bằng nhau thì tỉ số thể tích V1
và V2 bằng tỉ số hai diện tích đáy A1 và A2 :

V1 A1
 .
V2 A2

Dựa trên Định lí này và Nguyên lí vét cạn, Eudoxus là ngƣời đầu tiên đã

1
chứng minh công thức tính thể tích hình chóp và hình nón V  Ah, trong đó
3

A là diện tích đáy, còn h là chiều cao hình chóp (hình nón), mặc dù, theo
Archimedes, công thức này đã đƣợc phát hiện bởi Democritus.
Chứng minh của Euduxus nhƣ sau.

Hình 1.4
Chia hình chóp có đáy tam giác thành hai hình lăng trụ và hai hình chóp
đồng dạng (Hình 1.4). Các điểm E, F , G, K , L, M là điểm giữa của sáu cạnh
của hình chóp. Rõ ràng các hình chóp OEFG và EBKM là bằng nhau và
đồng dạng với hình chóp OBCD. Bởi vì v(OEFG )  v( FKCL)  v( EKMFCL)
và v( EBKM )  v(GMLD)  v( MLDEFG ) nên.
1
v(OBCD)  v(OEFG )  v( EBKM )  v( EKMFCL)  v( MLDEFG )
2

9


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
Kí hiệu chiều cao của hình chóp OBCD là h và diện tích đáy BCD là
A. Khi ấy vì chiều cao của lăng trụ MLDEFG là

bằng

1
h và đáy MLD của nó
2

1
A nên theo công thức tính thể tích lăng trụ (bằng diện tích đáy nhân
4

chiều cao, đƣợc chứng minh nhờ cắt ghép hình thành hộp chữ nhật, từ thời

Babilon và Hy Lạp), ta có

v( MLDEFG) 

1 1
1
A. h  Ah.
4 2
8

Tƣơng tự, vì diện tích hình bình hành KCML bằng

1
A và thể tích lăng
2

trụ EKMFCL bằng một nửa thể tích hình hộp có đáy là KCML và chiều cao
1
1
1
h nên v( EKMFCL)  Ah. Vậy v( MLDEFG )  v( EKMFCL )  Ah.
4
2
8

Tiếp tục chia mỗi hình chóp OEFG và EBKM thành hai hình chóp và hai
lăng trụ nhỏ hơn. Tổng thể tích bốn lăng trụ nhỏ lớn hơn nửa tổng thể tích của
hai hình chóp OEFG và EBKM . Bởi vì cả hai hình chóp OEFG và EBKM
đều có chiều cao
nhỏ sẽ là 4(

h
1
và diện tích đáy là A nên tổng thể tích của bốn lăng trụ
2
4

1 Ah
Ah
) 2 .
842
4

Sau n bƣớc, hình chóp ban đầu đƣợc chia nhỏ thành các hình lăng trụ và
hình chóp. Tại bƣớc thứ k , ta có 2k hình chóp nhỏ với chiều cao
bằng

h
và đáy
2k

A
, do đó tổng thể tích của 2k cặp lăng trụ nhỏ sẽ là
k
4

 1 A h  Ah
2k  k 1 k 1   k .
8 4 2  4
Nhƣ vậy, nếu P là hợp của tất cả các lăng trụ nhận đƣợc sau n bƣớc, ta có

10


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
1 1
1
v( P )  Ah(  2  ...  n ).
4 4
4

Hơn nữa, vì tại mỗi bƣớc, tổng thể tích của các lăng trụ lớn hơn nửa tổng
hình chóp nhận đƣợc ở bƣớc trƣớc, theo nguyên lí Eudoxus, với   0 cho
trƣớc, với n đủ lớn, V  V ( P )   .
Sử dụng công thức tổng của cấp số nhân



1

4
n 0

n

4
 , với n đủ lớn, ta có
3

1
1 1
V  V ( P)  V  Ah   2  ...  n    .
4 
4 4
Suy ra, thể tích hình chóp bằng

V

Ah  1 1
  Ah.
4 n 0 4 n 3

Lƣu ý rằng, mặc dù ngƣời Hy Lạp đã biết công thức tính tổng các số
hạng đầu tiên của cấp số nhân, họ đã sử dụng reductio ad absurdum để tránh
tính tổng hình thức của chuỗi vô hạn.
Chứng minh công thức thể tích hình chóp của Eudoxus là lí do để Hilbert
phát biểu Bài toán thứ ba của Hilbert nhƣ sau (dƣới dạng phù hợp với trình
bày ở đây): Có thể có chứng minh sơ cấp (không dùng giới hạn) cho công
thức tính thể tích hình chóp không?-Câu trả lời là không.
Nhờ nguyên lí vét cạn, nhiều khẳng định hình học đƣợc chứng minh. Tuy các
chứng minh này không sử dụng trực tiếp khái niệm giới hạn, nhƣng các ví dụ
trên cho thấy, các nhà toán học Hy Lạp đã tiếp cận đến khái niệm giới hạn và
đại lượng vô cùng bé, hai khái niệm cơ bản của phép tính vi tích phân.
1.2 Những đóng góp của Archimedes trong hình thành các khái niệm tích
phân
Archimedes (287 - 212 trƣớc công nguyên) đã phát triển phƣơng pháp vét
cạn thành một kĩ thuật có sức mạnh phi thƣờng để giải một lƣợng lớn các bài
11

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
toán mà ngày nay là những ứng dụng điển hình của phép tính tích phân.
Những nghiên cứu của Archimedes là điểm khởi đầu của sự phát triển
calculus hiện đại. Với calculus, Ông để lại 6 tác phẩm chính:
1) Measurment of a Circle.
2) Quadrature of the Parabola
3) On the Sphere and Cylinder
4) On Spirals
5) On Conoids and Spheroids
6) The Method
1.2.1 Đo hình tròn
Các nhà hình học cổ đại đã biết, diện tích hình tròn tỉ lệ với bình phƣơng
bán kính của nó, a(C)  1r 2 với một hằng số 1 nào đó. Tƣơng tự, độ dài
đƣờng tròn tỉ lệ với đƣờng kính của nó, d (C )   2d . Tuy nhiên, chƣa rõ ràng
là hai tỉ lệ này có chung hằng số, 1   2   . Trong tác phẩm Measurement
of a Circle (đo hình tròn), Archimedes lần đầu tiên đã chứng minh điều này
một cách chặt chẽ bằng cách chỉ ra rằng diện tích hình tròn bằng diện tích tam
giác có đáy bằng chu vi đƣờng tròn và chiều cao bằng bán kính của nó,
1
1
a (C )   1r 2  rd (C )  r 2 d   2r 2 .
2
2

Từ đây suy ra, 1   2   . Ông cũng chỉ ra rằng 3

10
1
 3 .
71
7

Archimedes cũng đã mở rộng phƣơng pháp vét cạn thành phương pháp
nén (method of compression). Thay vì chỉ xét một đa giác đều nội tiếp đƣờng
tròn, Ông đã xét hai đa giác đều nội ngoại tiếp đƣờng tròn. Diện tích hình tròn
khi ấy bị nén (compressed) giữa diện tích các đa giác đều nội, ngoại tiếp.
Diện tích của hai đa giác đều cho xấp xỉ gần đúng thiếu và gần đúng thừa diện
tích hình tròn.
12


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
1.2.2 Cầu phƣơng parabola
Trong Lời nói đầu của tác phẩm Về phép cầu phương parabola
(Quadrature of the Parabola), Archimedes đã lƣu ý rằng, các nhà toán học
trƣớc kia đã tìm đƣợc diện tích của hình giới hạn bởi cung tròn hoặc cung
hyperbola và đƣờng thẳng, nhƣng chƣa ai tìm đƣợc diện tích của hình giới
hạn bởi cung parabola và đƣờng thẳng (viên phân parabola).
Parabola đã đƣợc các nhà toán học Hy Lạp định nghĩa nhƣ là thiết diện
của một hình nón với một mặt phẳng song song với hai đƣờng sinh của hình
nón. Các vị trí khác của mặt phẳng sẽ sinh ra thiết diện là ellips (hình tròn
trong trƣờng hợp riêng) hay hyperbola. Rõ ràng parabola đối xứng với một
đƣờng thẳng nằm trong mặt phẳng parabola. Đƣờng thẳng này đƣợc gọi là
trục của parabola.

Giả sử BAC là hình viên phân parabola, giới hạn bởi cát tuyến BC (đƣợc
gọi là đáy) và parabola. A là điểm trên parabola xa BC nhất (có khoảng cách
đến BC là lớn nhất trong số các điểm nằm trên parabola). Ta gọi A là đỉnh của
viên phân và khoảng cách từ A tới BC là chiều cao của viên phân.
Những điều sau đây đã biết vào thời Archimedes:
1) Tiếp tuyến tại A song song với cát tuyến BC.
2) Đƣờng thẳng đi qua A và song song với trục cắt đáy tại M là trung
điểm của đáy BC.
3) Mọi dây PQ song song với BC bị chia đôi bởi đường kính AM.
4) Nếu V là điểm giữa của PQ thì V nằm trên AM và

AV VQ 2

.
AM MB 2

(1.2.1)

Từ đây suy ra rằng, trong hệ trục tọa độ xy, phƣơng trình parabola có
dạng x  ky 2 .
Archimedes đã trích dẫn công thức (1.2.1) mà không chứng minh. Ông
13


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
lƣu ý rằng công thức (1.2.1) đã đƣợc chứng minh trong các công trình trƣớc
đây của Euclid và Aristaeus về thiết diện cônic.
Nhờ phƣơng pháp vét cạn, Archimedes đã chứng minh chặt chẽ rằng:

một hình viên phân giới hạn bởi một đường thẳng và một parabola có diện
tích bằng

4
diện tích của tam giác có cùng đáy và chiều cao với viên phân.
3

Chứng minh Vì diện tích ∆ABC bằng một nửa diện tích hình bình hành
bBCc mà diện tích hình viên phân nhỏ hơn diện tích hình bình hành (ngoại
tiếp nó) nên diện tích ∆ABC lớn hơn một nửa diện tích viên phân. Xét hai
parabola nhỏ với đáy là AB và AC và đỉnh tƣơng ứng của chúng là H và G.
Tƣơng tự nhƣ trên, ta có tổng diện tích hai tam giác GAB và HAC lớn hơn
một nửa tổng diện tích hai viên phân này (Hình 1.5).
Ta bắt đầu vét cạn diện tích parabola ban đầu bằng tam giác ABC nội
tiếp nó. Bƣớc thứ là là đa giác BGAHC. Tiếp tục quá trình này, ta dựng đƣợc
đa giác có diện tích xấp xỉ diện tích viên phân parabola với sai số bé tùy ý.

Hình 1.5
Ta sẽ chứng minh rằng tổng diện tích hai tam giác AGB và AHC bằng

1
4

diện tích tam giác ABC. Thật vậy, giả sử E là điểm giữa BM , F là điểm
giữa MC , K là giao điểm của HF và AC. Từ H kẻ HV song song với BC
( V nằm trên AM ). Vì MC  2 FC nên từ công thức (1.2.1) ta có

AM MC 2 MC 2



 4.
AV VH 2 ME 2
14


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
Suy ra AM  4 AV hay HF  VM  3 AP.
Nhƣng KF 

1
AM  2 AV . Mà
2

HK  HF  KF  VM 

1
1
AM  3 AV  4 AV  AV .
2
2

Suy ra AM  4 AV  4 HK . Từ đây ta có
a( AHC )  a ( AHK )  a (CHK ) 

1
11
1
HK ( MF  CF ) 

AM .MC  a ( AMC ).
2
24
4

1
Tƣơng tự, a ( AHB )  a ( AMB ). Suy ra
4
1
1
1
a( AHC )  a( AHB)  a( AMC )  a( AMB)  a( ABC ).
4
4
4

Tiếp tục, hoàn toàn tƣơng tự, ta có thể chứng minh rằng, tổng diện tích của
tam giác tại mỗi bƣớc bằng

1
tổng diện tích của các tam giác ở bƣớc trƣớc.
4

Nếu kí hiệu a : a (ABC ) và n là hợp của tất cả các tam giác tại bƣớc
thứ n thì

a(n )  a 

a 1a 11a
a a

a
1 1
1


 ...  a   2  ...  n  a (1   2  ...  n ).
4 44 444
4 4
4
4 4
4

Nhƣ vậy, với   0 đủ nhỏ thì diện tích viên phân parabola khác diện tích
của n một lƣợng  khi n đủ lớn.
Đến đây, Archimedes đã sử dụng đẳng thức

1 1
1 1 1 4
1   2  ...  n  . n  .
4 4
4 3 4 3
Thật vậy, vì

1 1 1 4 1 1 1
 .  .  .
nên ta có
4k 3 4k 3 4k 3 4k 1

15

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
1 1
1 1 1
1 1
1 1 1
1   2  ...  n  . n  1   2  ...  n1  n1
4 4
4 3 4
4 4
4
34
1 1
1
1 1
1 11 4
 1   2  ...  n2  n2  ...  1  
 .
4 4
4
34
4 34 3
Sử dụng đẳng thức này ta tính đƣợc diện tích của parabola:
1 1 1 
 1 1
a ( ABC )  lim a(n )  a 1   2  ...  n 

n 

4 3 4n 
 4 4
1
 1 1
 4
 a 1   2  ...  n  ...   a.
4
 4 4
 3

Nhận xét Hình 1.5 mô tả trƣờng hợp trục của parabola trùng với AM. Các
bƣớc chứng minh vẫn đúng khi trục của parabola chỉ song song (mà không
trùng với) AM.
1.2.3 Archimedes và calculus
Archimedes đã sử dụng công thức tính tổng các số tự nhiên đầu tiên
1  2  3  ...  n 

n(n  1)
2

và tổng bình phƣơng các số tự nhiên đầu tiên

1  22  32  ...  n2 

n(n  1)  2n  1
6

để thiết lập các công thức cầu phƣơng tƣơng đƣơng với tích phân
a

a2
0 xdx  2

a

và

a3
0 x dx  3 .
2

Archimedes còn đóng góp rất nhiều cho phát triển calculus. Ông cũng đã
chứng minh đƣợc rằng thể tích hình trụ ngoại tiếp hình cầu lớn hơn thể tích
hình cầu 1,5 lần; diện tích toàn phần của mặt trụ ngoại tiếp mặt cầu lớn hơn
diện tích của mặt cầu 1,5 lần.
Trên đây chỉ là hai trong số rất nhiều bài toán mà Archimedes đã giải
nhờ phƣơng pháp vét cạn hoặc phƣơng pháp nén. Các bài toán này vẫn đƣợc
16


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
xếp trong chƣơng trình calculus hiện đại. Trên thực tế, lời giải của chúng
d

thƣờng đƣợc minh họa cho tính toán tích phân xác định dạng  (ax  bx 2 )dx.
c

Nhiều tác giả coi Archimedes là ngƣời đầu tiên phát minh ra calculus.

1.3 Tính không chia nhỏ đƣợc và kĩ thuật vô cùng bé
1.3.1 Kĩ thuật vô cùng bé của Johannes Kepler
Ngoài những cống hiến xuất sắc trong nghiên cứu thiên văn, Johannes
Kepler (1571 - 1630) đã có nhiều đóng góp cho tính toán diện tích và thể tích
dựa trên kĩ thuật vô cùng bé (infinitesimal techniques) và tính không chia nhỏ
được của các đại lƣợng.
Trong tác phẩm stereometria, Ông đã chia vật rắn (solid) đã cho thành vô
số mảnh riêng biệt vô cùng bé, hay các vật rắn không chia nhỏ được (solid
indivisibles) có kích thƣớc và hình dáng, khuôn mẫu thuận tiện cho việc giải
các bài toán thực tế. Thí dụ, Ông đồng nhất đƣờng tròn với một đa giác đều
vô hạn cạnh nội tiếp đƣờng tròn và tính diện tích hình tròn bằng cách lấy tổng
vô hạn diện tích các tam giác vô cùng bé có đáy là cạnh đa giác đều và đỉnh là
tâm hình tròn. Theo cách viết hiện đại, ông thu đƣợc kết quả sau:


S(hình tròn) =

 S (tam giac) =  R .
2

1

Tƣơng tự, Ông đã coi hình cầu nhƣ là hợp của vô số các hình chóp có
đỉnh là tâm hình cầu và đáy nằm trên bề mặt hình cầu, chiều cao bằng bán
kính r của hình cầu. Cộng thể tích các hình chóp này lại, từ công thức tính

1
4
thể tích hình chóp, ta có ngay V  Ar   r 3 , trong đó A  4 r 2 là diện
3

3
tích mặt cầu.

17


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
1.3.2 Tính không chia nhỏ đƣợc của Bonavetura Cavalieri
Sử dụng kĩ thuật vô cùng bé để tính diện tích và thể tích đƣợc phổ biến
rộng rãi nhờ những quyển sách Geometria indivisibilibus (Hình học không
chia nhỏ đƣợc, 1635) và Exercitationes geometricae sex (Sáu bài tập hình
học, 1647) của Bonavetura Cavalieri (1598 - 1647). Bonavetura Cavalieri
đề xuất phƣơng pháp sử dụng những cái không thể phân chia được. Theo ông,
bề mặt đƣợc tạo thành bởi việc sắp xếp sát nhau những “đƣờng” song song.
“Đƣờng” ở đây đƣợc hiểu là đoạn thẳng hoặc cung tròn đồng tâm. Mỗi
“đƣờng” đƣợc gọi là một cái không thể phân chia được của bề mặt cần tính
diện tích. Hai hình phẳng cùng tạo thành bởi những “đƣờng” cùng độ dài có
diện tích bằng nhau. Nguyên lý tƣơng tự cho thể tích phát biểu rằng thể tích
của hai vật thể bằng nhau nếu các thiết diện thẳng tƣơng đƣơng của chúng
luôn bằng nhau (hai thiết diện thẳng gọi là tƣơng đƣơng nếu chúng cùng là
giao của vật thể với một mặt phẳng cách đều mặt phẳng đáy cho trƣớc).

Hình 1.6 Tính diện tích hình tròn bán kính R theo Cavalieri
Hình tròn đƣợc phủ kín bởi những đƣờng tròn đồng tâm có độ dài 2πr
với r biến thiên từ 0 đến R. Các đƣờng tròn này là những cái không thể phân
chia được của hình tròn. Tam giác có đáy 2πR và chiều cao R đƣợc phủ kín
bởi các đoạn thẳng có độ dài 2πr với r biến thiên từ 0 đến R. Các đoạn thẳng
này là những cái không thể phân chia được của tam giác. Hai hình phẳng

đang xét đƣợc tạo thành từ những cái không thể phân chia đƣợc có cùng độ
dài nên có cùng diện tích. Diện tích của chúng là 2 R
18

R
  R ².
2


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
1.3.3 Cầu phƣơng số học (Arithmetical Quadratures)
Archimedes đã tính đƣợc các tích phân
a

a

a2
a3
2
0 xdx  2 và 0 x dx  3 .
Hai mƣơi năm sau quyển sách thứ nhất của Cavalieri ra đời (năm 1635),
các nhà toán học Pháp Fermat, Pascal và Roberval đã cho chứng minh chính
xác công thức tổng quát hơn của Cavalieri (đã đƣợc viết dƣới dạng giả thuyết)

a k 1
0 x dx  k  1
a

k

cho diện tích hình nằm dƣới parabola tổng quát y  xk (với k là số nguyên
dƣơng). Trong chứng minh cả ba Ông đều sử dụng giới hạn

1k  2k  ...  nk
1
lim

.
k

1
n
n
k 1

(1.3.1)

Fermat nhận đƣợc công thức tính tổng 1k  2k  ...  n k nhờ định lí về các số
tạo hình (figurate numbers). Số tam giác thứ n (số tạo hình đầu tiên) là
1  2  3  ...  n 

n(n  1)
.
2

Số tứ diện thứ n ( n th pyramidal number) là tổng của n số tam giác đầu tiên.
Tổng quát, số tạo hình thứ n loại k là tổng của n số đầu tiên tạo hình loại
k  1. Trong một bức thƣ viết năm 1636, Fermat đã phát biểu không chứng

minh rằng số tạo hình thứ n loại k đƣợc cho bởi công thức

i(i  1)...(i  k  1) n(n  1)...(n  k )

.
k
!
(
k

1)!
i 1
n



(1.3.2)

Nếu ta viết

i(i  1)...(i  k  1)  i k  a1i k 1  ...  ak 1i,
trong đó các hệ số a1,..., ak 1 là hằng số (tất nhiên, phụ thuộc vào k ) thì
(1.3.2) trở thành
19


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

n
n
1 n k
 n(n  1)...(n  k )
k 1
i  a1  i  ...  ak 1  i  
.


k !  i 1
(k  1)!
i 1
i 1 

Từ đây ta có thể tính theo công thức truy hồi
n

ik 
i 1

n
n(n  1)...(n  k )  n k 1

  a1  i  ...  ak 1  i  .
(k  1)
i 1 
 i 1

Công thức trên cho tổng lũy thừa bậc k của n số tự nhiên đầu tiên dƣới dạng
tổng của các lũy thừa bậc thấp hơn. Từ đây ta có

n k 1
i 
 các lũy thừa bậc thấp hơn của n.

k 1
i 1
n

k

Suy ra giới hạn (1.3.2).
Pascal (1623 - 1662) đã thay thế các lập luận trực giác của Cavalieri
bằng những lập luận số học về chuỗi. Khi tính diện tích hình phẳng nằm dƣới
parabol y  x2 , tại các điểm trên trục hoành có hoành độ lập thành cấp số
cộng công sai d, Ông dựng các hình chữ nhật có hai kích thƣớc là d và (id)2
(với i  1, 2, ..., n ), tính diện tích và xác định tổng S của chúng:

S  d .d 2  d . 2d   ...  d . 2d   d 3  4d 3  ...  n.d 3
2

 d 1  2  ...  n
3

2

2

2



3
n2 n 
 n(n  1)(2n  1) 
3 n
d 
  d  6  2  6  .
6



3

n2
n
Nếu số hình chữ nhật tăng lên vô hạn, Pascal loại các số hạng
và , giữ
2
6

n3
lại số hạng . Khi đó, tổng diện tích các hình chữ nhật bằng
6

d 3n3 (nd )3 x3
S

 .
3
3

3
Khi tìm một kĩ thuật chung để tính diện tích giới hạn bởi các parabola và
hyperbola nhờ cấp số nhân, Fermat (1601 - 1665) đã phát biểu bài toán diện
tích dƣới dạng đại số. Điều này khiến các lời giải của Fermat mang tính tổng
20


Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
quát và cho phép phát triển khía cạnh thuật toán của giải tích các vô cùng bé.
Độc lập với Cavalieri, khi xác định diện tích giới hạn bởi một cung
cycloïde, Roberval (1602 - 1775) đã phát triển một phƣơng pháp những cái
không thể phân chia được, dựa trên quan điểm gần nhƣ số học với các cấp số
cộng vô hạn thay cho cách tiếp cận hình học của Cavalieri. Trái với Cavalieri
xem hình phẳng đƣợc tạo từ các đƣờng, Roberval cho rằng nó đƣợc tạo từ các
mặt.
1.4 Tiếp tuyến
1.4.1 Phƣơng pháp giả phương trình của Fermat
Fermat là ngƣời đầu tiên giải bài toán cực đại - cực tiểu bằng cách xét
tính chất của hàm số xung quanh điểm cực trị. Thí dụ, để xác định xem chia
đoạn có độ dài b thành hai đoạn x và b  x sao cho tích x  b  x   bx  x 2 là
lớn nhất (nghĩa là tìm hình chữ nhật có chu vi 2b có diện tích lớn nhất,
Fermat đã làm nhƣ sau. Đầu tiên Ông đặt x  e cho ẩn x, và viết giả phương
trình (pseudo-equality) kết hợp biểu thức nhận đƣợc với biểu thức ban đầu
nhƣ sau:

b( x  e)  ( x  e)2  bx  be  x2  2 xe  e2  bx  x2.
Ƣớc lƣợc các số hạng đồng dạng, chia hai vế cho e, ta nhận đƣợc
2 x  e  b.

b
Cuối cùng, Ông bỏ đại lƣợng chứa e và đi đến kết quả chính xác x  .
2

Fermat không giải thích cơ sở lôgic phƣơng pháp của Ông. Ta chỉ có thể
giải thích theo dự đoán và theo cách hiểu hiện đại nhƣ sau. Nếu hàm số
y  f ( x) đạt cực đại (hay cực tiểu) tại điểm x0 , thì giá trị của hàm f thay

đổi rất chậm gần điểm x0 . Nhƣ vậy, nếu e đủ nhỏ, thì f ( x0 ) và f ( x0  e)
xấp xỉ bằng nhau, tức là

f ( x0  e)  f ( x0 ), hay f ( x0  e)  f ( x0 )  0.
21