Chương 2 ước LƯỢNG các THAM số THỐNG kê

Chương 2
ƯỚC LƯỢNG CÁC THAM SỐ THỐNG KÊ


Chương 2: ƯỚC LƯỢNG

CÁC NỘI DUNG CHÍNH
2.1 Khái niệm về ước lượng
2.2 Ước lượng trung bình ( 1 mẫu, 2 mẫu )
2.3 Ước lượng tỷ lệ ( 1 mẫu, 2 mẫu )
2.4 Ước lượng phương sai ( 1 mẫu, 2 mẫu )

2


Chương 2: ƯỚC LƯỢNG

2.2 Ước lượng trung bình – Tỷ lệ
* Trường hợp 1: Trên 1 mẫu

3


Chương 2: ƯỚC LƯỢNG

2.2 Ước lượng trung bình
* Trường hợp 1: Trên 1 mẫu

4

Chương 2: ƯỚC LƯỢNG

2.2 Ước lượng trung bình
* Trường hợp 1: Trên 1 mẫu

5

¡  Ví dụ: Điểm trung bình môn toán của 100 thí sinh dự thi vào ĐHKT là 5 với độ
lệch chuẩn mẫu (đã hiệu chỉnh) s = 2,5.
1) Ước lượng điểm trung bình môn toán của toàn thể thí sinh với độ tin cậy là 95%
2) Với độ chính xác 0,25 điểm. Hãy xác định độ (khoảng) tin cậy.
¡  Ví dụ: Tuổi thọ của một loại bóng đèn được biết theo quy luật chuẩn với độ lệch
chuẩn 100 giờ.
1) Chọn ngẫu nhiên 100 bóng để thử nghiệm, thấy mỗi bóng tuổi thọ trung bình là
1000 giờ. Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn xí nghiệp A sản xuất
với độ tin cậy 95%.
2) Với độ chính xác là 15 giờ. Hãy xác định độ tin cậy.
3) Với độ chính xác là 25 giờ và độ tin cậy là 95% thì cần thử nghiệm bao nhiêu
bóng.
¡  Ví dụ: Trọng lượng các bao bột mì tại một cửa hàng lương thực theo quy luật
chuẩn. Kiểm tra 20 bao, thấy trọng lượng trung bình của mỗi bao bột mì là 48kg,
và phương sai mẫu hiệu chỉnh là s2 = (0,5kg)2.
1) Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng trọng lượng trung bình của một bao bột mì
thuộc cửa hàng.


Chương 2: ƯỚC LƯỢNG

2.2 Ước lượng Tỷ lệ
* Trường hợp 1: Trên 1 mẫu

6

¡  Ví dụ: Để ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của một kho đồ hộp, người ta kiểm tra
ngẫu nhiên 100 hộp thấy có 11 hộp xấu.
1) Ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp.
2) Ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp với độ tin cậy 94%.
3) Với sai số cho phép = 3%, hãy xác định độ tin cậy.
¡  Ví dụ: Lô trái cây của một chủ hàng được đóng thành sọt mỗi sọt 100 trái. Kiểm
tra 50 sọt thấy có 450 trái không đạt tiêu chuẩn.
1) Ước lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn của lô hàng với độ tin cậy 95%.
2) Muốn ước lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn với độ chính xác 0,5% thì
độ tin cậy đạt được là bao nhiêu?
3) Muốn ước lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 99% và độ
chính xác 1% thì cần kiểm tra bao nhiêu sọt?
4) Muốn ước lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 99,7% thì độ
chính xác đạt được là bao nhiêu?


Chương 2: ƯỚC LƯỢNG

2.2 Ước lượng trung bình – Tỷ lệ
* Trường hợp 1: Trên 1 mẫu

7

Ví dụ: Điều tra năng suất lúa trên diện tích 100 hecta trồng lúa của một vùng, ta
thu được bảng số liệu sau:

1) Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình của vùng đó với độ tin cậy 95%?

2) Những thửa ruộng có năng suất từ 48tạ/ha trở lên là những thửa có năng suất
cao. Hãy ước lượng tỷ lệ diện tích có năng suất cao trong vùng với độ tin cậy
97%.


Chương 2: ƯỚC LƯỢNG

2.2 Ước lượng trung bình – Tỷ lệ
* Trường hợp 2: Trên 2 mẫu

8

¡  a) Hai mẫu độc lập
Hai mẫu độc lập là hai mẫu được chọn ra từ hai tổng thể theo cách sao cho một
quan sát khi được chọn vào mẫu này không làm ảnh hưởng đến xác suất một
quan sát khác được chọn vào mẫu kia
¡  b) Mẫu phối hợp từng cặp (Hai mẫu không độc lập)
Mẫu phối hợp từng cặp là mẫu được chọn theo cách một quan sát trên mẫu này
có sự tương xứng với một quan sát trên mẫu thứ hai nhằm mục đích kiểm soat
những tác nhân ngoại cảnh. Mẫu này còn có tên gọi là mẫu không độc lập hay
ngắn gọn là mẫu cặp.


Chương 2: ƯỚC LƯỢNG
2.2 Ước lượng trung bình – Tỷ lệ
* Trường hợp 2: Trên 2 mẫu độc lập – Cỡ mẫu lớn hoặc tổng thể có phân phối
chuẩn

9

Chương 2: ƯỚC LƯỢNG
2.2 Ước lượng trung bình – Tỷ lệ
* Trường hợp 2: Trên 2 mẫu độc lập

10


Chương 2: ƯỚC LƯỢNG

11

2.2 Ước lượng trung bình
* Trường hợp 2: Trên 2 mẫu độc lập – Cỡ mẫu lớn
Ví dụ. Một công ty nghiên cứu thị trường được thuê thực hiện một cuộc khảo sát
của một chuỗi cửa hàng thực phẩm lớn để ước lượng sự khác biệt trong thời gian
trung bình mỗi lần ghé cửa hàng của khách hàng nam và khách hàng nữ. Các
nghiên cứu trước đó cho biết độ lệch chuẩn là 11 phút đối với khách nam và 16
phút đối với khách nữ. Công ty đã chọn mẫu ngẫu nhiên 100 khách nam và 100
khách nữ vào những thời điểm khác nhau ở các cửa hàng khác nhau trong chuỗi
cửa hàng này để khảo sát. Kết quả là thời gian trung bình của khách nam tại cửa
hàng là 34,5 phút còn thời gian trung bình của khách nữ là 42,4 phút. Hãy cho
biết sự khác biệt giữa thời gian lưu lại trung bình của khách hàng nam, nữ là bao
nhiêu?. Từ đó rút ra nhận xét gì?. Khoảng tin cậy 95%


Chương 2: ƯỚC LƯỢNG

12

2.2 Ước lượng trung bình
* Trường hợp 2: Trên 2 mẫu độc lập – Cỡ mẫu nhỏ
Ví dụ. Một hoạt động lắp ráp tại một nhà máy chế tạo đòi hỏi xấp xỉ một giai
đoạn huấn luyện 1 tháng cho 1 nhân viên mới để có thể đạt được hiệu suất tối đa.
Một phương pháp huấn luyện mới được đề xuất và một sự kiểm tra được tiến
hành nhằm so sánh phương pháp mới này với quy trình tiêu chuẩn. Hai nhóm
gồm 9 nhân viên mới được huấn luyện trong 1 thời gian gồm 3 tuần, một nhóm
sử dụng phương pháp mới và nhóm kia theo quy trình huấn luyện tiêu chuẩn. Độ
dài tính bằng phút đòi hỏi cho mỗi nhân viên để lắp ráp một thiết bị được ghi
nhận vào lúc cuối thời kỳ ba tuần này. Giả sử phương sai ( độ biến thiên) trong
thời gian này giữa 2 nhóm là bằng nhau.
Quy trình tiêu chuẩn: 32, 37, 35, 28, 41, 44, 35, 31, 34
Quy trình mới: 35, 31, 29, 25, 34, 40, 27, 32, 31
Hỏi có sự khác biệt giữa hai quy trình huấn luyện không? Với độ tin cậy 95%.


Chương 2: ƯỚC LƯỢNG

13

2.2 Ước lượng trung bình
* Trường hợp 2: Trên 2 mẫu độc lập – Cỡ mẫu nhỏ
¡  Ví dụ: Một nhà phân tích tài chính của một công ty môi giới chứng khoán
muốn phân tích có hay không có sự khác biệt giữa lợi tức của các cổ phiếu
được liệt kê trong danh sách cổ phiểu của chỉ số NYSE và NASDAQ. Anh ta
tổng hợp được bảng số liệu sau cho các cổ phiếu anh ta chọn vào mẫu nghiên
cứu
NYSE NASDAQ
Số cổ phiếu quan sát
21

25
Lợi tức trung bình mẫu
3,27
2,53
Độ lệch tiêu chuẩn của lợi tức
1,3
1,16
Giả định là phương sai về lợi tức của hai tổng thể khác nhau, anh ta có thấy sự
khác biệt trong lợi tức cổ phiếu trung bình giữa NYSE và NASDAQ hay
không ?.


Chương 2: ƯỚC LƯỢNG

14

2.2 Ước lượng Tỷ lệ - Trên 2 mẫu
¡  Ví dụ 13: Một công ty quảng cáo đang muốn kiểm tra mức độ thu hút của một
chương trình quảng cáo có như nhau hay không đối với 2 khúc thị trường
khách hàng nam giới và nữ giới trước khi phát nó rộng rãi trên TV. Hiển nhiên
không có cách nào để đo lường thái độ của toàn bộ tổng thể khách hàng nam
giới và nữ giới mà họ phải nghiên cứu mẫu bằng cách phát đoạn quảng cáo
này cho 2 mẫu ngẫu nhiên 425 khách nam và 370 khách nữ, trong mẫu khách
nam có 240 người nói thích mẫu quảng cáo này còn mẫu khách nữ có 196
người ưa thích. Hãy cho biết có sự khác biệt về tỷ lệ ưa thích giữa khách nam
và nữ không?. Khoảng tin cậy 96%.


Chương 2: ƯỚC LƯỢNG

15

2.2 Ước lượng trung bình
* Trường hợp 2: Trên 2 mẫu phụ thuộc (mẫu cặp)
STT Giá trị quan sát
trước (xi)

Giá trị quan sát
sau (yi)

Độ sai lệch d = xi -yi

1
2
…
n

Y1
Y2
…
Yn

D1 = X1 - Y1
D2 = X2 – Y2
…
Dn = Xn - Yn

X1
X2
…

Xn
n

Bước 1: Tính D =

∑ Di
i=1

n

=

∑( X − Y )
i

i=1

i

∑(
n

;sd =

n
n
n−1
Bước 2: Tra bảng Student tìm giá trị t α/2
s
n−1

* d
Bước 3: Tính ε = t α/2
n

i=1

Di − d

n −1
(γ = 1− α)

)

n

2

=

2
D
∑ i − nd
i=1

n −1


Chương 2: ƯỚC LƯỢNG

16

2.2 Ước lượng trung bình
* Trường hợp 2: Trên 2 mẫu phụ thuộc (mẫu cặp)
Bước 4: Vậy với độ tin cậy (1-α)100% thì sự khác biệt giữa trước và sau khi áp
dụng một biện pháp( kế họach, …) là

( )

µd = µ X − µ Y ∈ d ± ε

Ví dụ. Công ty điện lực thực hiện các biện pháp khuyến khích tiết kiệm điện.
Lượng điện tiêu thụ ghi nhận ở 12 hộ gia đình trước và sau khi có biện pháp
khuyến khích tiết kiệm điện như sau:
Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng
lượng điện tiêu thụ trung bình của
hộ gia đình trước và sau khi thực
hiện biện pháp khuyến khích tiết kiệm điện.


Chương 2: ƯỚC LƯỢNG

17

2.3 Ước lượng Phương sai
Trường hợp 1: Trên 1 mẫu
Bài toán: Ta cần nghiên cứu phương sai σ 2 = Var(X) của ĐLNN X trên tòan bộ
tổng thể. Căn cứ trên một mẫu định lượng. Hãy đưa ra một khỏang ước lượng
2
2⎞
⎛

(n
−
1)s
(n
−
1)s
σ 2 ∈⎜ 2
; 2
⎟ với độ tin cậy γ = 1− α
⎝ χ n−1,α/2 χ n−1,1−α/2 ⎠
Trường hợp 1: Khi chưa biết EX = µ
2
k
1
2
x i − x ni
Bước 1. Tính phương sai mẫu hiệu chỉnh s =
∑
n − 1 i=1
2
2
Bước 2. Tra bảng “chi bình phương” tìm 2 giá trị χ n−1,α/2 ; χ n−1,1−α/2
(n − 1)s 2
(n − 1)s 2
2
<σ < 2
Bước 3. Kết luận
2
χ n−1;α/2
χ n−1;1−α/2

Trường hợp 2: Khi đã biết EX = µ

(

)

2
2
Bước 1. Tra bảng “chi bình phương” tìm 2 giá trị χ n,α/2 ; χ n,1−α/2

Bước 2. Kết luận

1
2
χα/2
;n

n

∑ (x
i=1

− µ) * n i < σ <
i
2

2

1
2

χ1−α/2
;n

n

∑ (x
i=1

2
−
µ)
* ni
i


Chương 2: ƯỚC LƯỢNG

18

2.3 Ước lượng Phương sai
Trường hợp 1: Trên 1 mẫu
Ví dụ . Giả sử mức hao phí nguyên liệu cho một đơn vị sản phẩm là đại lượng
ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn với kì vọng là 20g. Quan sát 25 sản
phẩm, ta có số liệu sau:
Khối lượng nguyên liệu hao phí (gam)

19,5

20,0

20,5

Số sản phẩm

5

18

2

Với độ tin cậy 90%, hãy ước lượng phương sai của tổng thể.
Ví dụ. Cân kiểm tra 15 gói mì, ta được số liệu sau đây :
Khối lượng (gam)
Số gói

84 84,5 85
2

3

8

Biết khối lượng này tuân theo luật phân phối chuẩn. Hãy tìm khoảng ước lượng
của phương sai tổng thể với độ tin cậy 95%.


Chương 2: ƯỚC LƯỢNG

19

2.3 Ước lượng Phương sai ( so sánh sự khác biệt )
Trường hợp 2: Trên 2 mẫu
Bài toán:Giả sử có hai mẫu ngẫu nhiên độc lập với cỡ mẫu lần lượt là n1 ,n 2 và
có phân phối chuẩn lần lượt là X i ~ N µ1 ,σ12 ;Yj ~ N µ 2 ,σ 22 . Ta cần so sánh
2 2
sự khác biệt của 2 phương sai này dựa trên phương sai mẫu hiệu chỉnh s1 ;s 2

(

)

(

)

2 2
Bước 1. Tính phương sai mẫu hiệu chỉnh của 2 mẫu: s1 ;s 2

( n1 ,n2 )
( n1 ,n2 )
Bước 2. Tra bảng phân phối Fisher tìm 2 giá trị: Fα/2
; F1−α/2
2
2
2
⎛
σ
s
s
n

,n
(
)
( n1 ,n2 ) ⎞
2
2
2
1 2
Bước 3. Kết luận
∈⎜ 2 * Fα/2 ; 2 * F1−α/2 ⎟
2
σ1 ⎝ s1
s1
⎠
Ví dụ: Độ biến thiên trong khối ượng các tạp chất có trong một mẻ hoá chất
được sử dụng cho một quy trình cụ thể tuỳ thuộc vào độ dài thời gian mà quy
trình đó hoạt động. Một nhà sản xuất sử dụng hai dây chuyền sản xuất 1 và 2, đã
tạo ra một sự điều chỉnh nhẹ đối với quy trình 2, qua đó hy vọng giảm bớt sự
biến thiên cũng như khối lượng trung bình các tạp chất trong hoá chất đó. Các
mẫu gồm n1 = 25; n 2 = 25 đại lượng từ hải mẻ hoá chất tạo ra các số trung bình
và phương sai như sau: x1 = 3.2; s12 = 1.04; x 2 = 3.0; s12 = 0.51;