công thức lượng giác đầy đủ

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

GV: Nguyễn Phỉ Đức Trung
Các hệ thức cơ bản

Hai cung đối nhau

( )
2/ cos( - a ) = cosa
3/ tan ( - a ) = - tan a
4/ cot ( - a ) = - cot a

sin a
cosa
1
4/ 1+ tan2 a =
5/
cos2 a

1/ sin - a = - sin a

1/ sin2 a + cos2 a = 1 2/ tan a =

cosa
sin a
1
6/ tan a.cot a = 1
1+ cot2 a =
sin2 a

3/ cot a =

Hai cung phụ nhau

æ
ö
p
è2
ø
æ
ö
p
÷
= sin a
2/ cosç
ç - a÷
÷
÷
ç
è2
ø
æ
ö
p
÷
÷
a
= cot a
3/ tan ç
ç
÷

÷
ç
è2
ø
÷
- a÷
= cosa
1/ sin ç
ç
÷
ç
÷

æ
p
è2

ö

÷
- a÷
= t ana
4/ cot ç
ç
÷
ç
÷
ø

Hơn kém nhau p /2

æ
p

ö

÷
+ a÷
= cosa
1/ sin ç
ç
÷
ç
÷
è2
ø
æ
ö
p
è2
ø
æ
ö
p
÷
÷
+
a
= - cot a
3/ tan ç

ç
÷
÷
ç
è2
ø
÷
= - sin a
2/ cosç
ç + a÷
÷
÷
ç

æ
p
è2

3/ tan ( p - a ) = - tan a
4/ cot ( p - a ) = - cot a

Hơn kém nhau p

(
)
2/ cos( p + a ) = - cosa
3/ tan ( p +a ) = tan a
4/ cot ( p + a ) = cot a

1/ sin p + a = - sin a

sin ( a + k2p) = sin a
cos( a + k2p) = cosa

tan ( a + kp) = tan a
cot ( a + kp) = cot a

ö

ø

1/ sin ( a ± b) = sina.cosb ± cosa.sin b
2/ cos( a ± b) = cosa.cosb msina.sinb
tana ± tan b
1mtana.tan b

Công thức nhân đôi
1/ sin2a = 2sina.cosa
2/ cos2a = cos2 a - sin2 a

= 2cos2 a - 1

Công thức biến đổi tích thành tổng
1
cos( a - b) + cos( a + b) ù
1/ cosa.cosb = é
ê
ú
ë
û

2
1
cos a - b) - cos( a + b) ù
2/ sina.sinb = é
ú
ë (
û
2ê

= 1- 2sin2 a
2tana
3/ tan2a =
1- tan2 a
cot2 a - 1
4/ cot2a =
2cot a
x
Với t = tan
2

1
ù
3/ sina.cosb = é
êsin ( a - b) + sin ( a + b) û
ú
ë

1/ sin x =

2

2/ cos( p - a ) = - cosa

÷
+ a÷
= - t ana
4/ cot ç
ç
÷
ç
÷

Công thức cộng - trừ

3/ tan ( a ± b) =

Hai cung bù nhau
1/ sin ( p - a ) = sin a

2t
1+ t2
1- t2
2/ cosx =
1+ t2

Công thức nhân ba
1/ sin3a = 3sina - 4sin3 a
3sin a − sin 3a
⇒ sin 3 a =
4

2/ cos3a = 4cos3 a - 3cosa
⇒ cos3 a =

cos3a + 3cos a
4

Công thức hạ bậc

1- cos2a
2
1+ cos2a
2/ cos2a =
2
1- cos2a
3/ tan2 a =
1+ cos2a
1/ sin2 a =

a sin u + b cos u = a 2 + b 2 sin ( u + ϕ ) = a 2 + b 2 cos ( u − ϕ )
π
π
π
π




+ sin u + cos u = 2 sin  u + ÷ = 2 cos  u − ÷ ; sin u − cos u = 2 sin  u − ÷ = 2 cos  u + ÷
4
4

4
4




0
0
0
0
cos3a = 4cos a.cos ( 60 − a ) .cos ( 60 + a )
+ sin 3a = 4sin a.sin ( 60 − a ) .sin ( 60 + a ) ;
Lưu ý:


Công thức biến đổi tổng thành tích
1/ cosa + cosb = 2cos a + b .cos a - b

2/ cosa - cosb = - 2sin a + b .sin a - b

2
2
3/ sina + sinb = 2sin a + b .cos a - b
2
2
sin ( a ± b)
5/ tana ± tanb =
cosa.cosb

2

2
4/ sina - sinb = 2cos a + b .sin a - b
2
2
- sin ( a ± b)
6/ cot a ± cot b =
sina.sin b

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

π
π
+ kπ , cot u = 0 ⇔ u = + kπ , sin u = 0 ⇔ u = kπ , tan u = 0 ⇔ u = kπ
2
2
π
π
sin u = 1 ⇔ u = + k 2π , sin u = −1 ⇔ u = − + k 2π , cos u = 1 ⇔ u = k 2π , cos u = −1 ⇔ u = π + k 2π

Đặc biệt: cos u = 0 ⇔ u =
2

tan u = ±1 ⇔ u = ±

2

π
+ kπ
4

cot u = ±1 ⇔ u = ±

Phương trình lượng giác cơ bản

Pt bậc 2,3 đối với một hàm số lg.

cos u = cos v ⇔ u = ± v + k 2π

Đặt t = sinx ,cos x, tan x, cot x

 u = v + k 2π
sin u = sin v ⇔ 
u = π − v + k 2π

Đưa phương trình đã cho về
phương trình đại số theo t.
***Chú ý: với t = sinx ,cos x

tan u = tan v ⇔ u = v + kπ

thì điều kiện −1 ≤ t ≤ 1

co t u = co t v ⇔ u = v + k π

π
+ kπ
4

Phương trình bậc I đối với sin và cos

Dạng pt: a.sin x + b.cos x = c (1)

Điều kiện có nghiệm: a 2 + b 2 ≥ c 2
Chia 2 vế pt (1) cho

a 2 + b 2 rồi

đưa về dạng sin ( x + ϕ ) =

c
a 2 + b2

Phương trình thuần nhất

Phương trình đối xứng , phản xứng đối với sin và cos

asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0. (2) hoặc

a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 . (4)

2

2

asin x + bsinx.cosx + c.cos x = d .(3)
π
 Kiểm tra x = + kπ có phải là nghiệm của
2
phương trình ?
+ Giả sử cosx ≠ 0 . Chia hai vế phương trình cho

cos2x rồi đưa về PT theo tanx.
π
+ x = + kπ là nghiệm của (3) khi a = d.
2
+ Có thể giải (2),(3) bằng cách dùng công thức hạ
bậc đưa về phương trình bậc nhất đối với sin và cos.
Phương trình đối lập
Chặn trên và chặn dưới hai vế
A ≥ M
A = M

B ≤ M ⇔ 
B = M
A=B


Gv: Nguyễn Phỉ Đức Trung

π

Đặt t = sinx + cosx = 2sin  x + ÷; t ≤ 2


4

t −1
thay vào (4) rồi tìm t , so
2
sánh điều kiện của t rồi từ đó tìm nghiệm x .
+ a( sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 . (5)

π

Đặt t = sinx - cosx = 2sin  x − ÷; t ≤ 2
2

Suy ra sinx.cosx =



4

1− t
thay vào (5) rồi tìm t , so
2
sánh điều kiện của t rồi từ đó tìm nghiệm x .
Phương trình dạng tích
Phương trình tổng bình phương
 h1 ( x) = 0
A = 0
A2 + B 2 = 0 ⇔ 
h ( x) = 0
B = 0
h ( x).h ( x)...h ( x) = 0 ⇔  2
1

2

n

2

Suy ra sinx.cosx =

...............

hn ( x) = 0

Trường THPT Thu Xà