GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT PHẦN TỈ LỆ THỨC MÔN ĐẠI SỐ LỚP 7.

Trường THCS Tân Đồng

Người thực hiện : Lê Hữu Hoằng

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MÔN TOÁN

Họ và tên : Lê Hữu Hoằng.
Chức vụ : Giáo viên.
Đơn vò : Trường THCS Tân Đồng.
Trình độ chuyên môn : CĐSP Toán - tin.
Bộ môn giảng dạy : Toán 7 + 9
Năm học : 2007 – 2008

Trang 1


Trường THCS Tân Đồng

Đề tài :

Người thực hiện : Lê Hữu Hoằng

“ GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT PHẦN TỈ LỆ THỨC
MÔN ĐẠI SỐ LỚP 7.”

A. PHẦN MỞ ĐẦU :
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :

Qua thời gian giảng dạy môn toán lớp 7, và các tiết dự giờ đồng nghiệp
ở trường THCS Tân Đồng, bản thân tôi nhận thấy như sau :
Với các dạng toán tỷ lệ thức tôi thấy chưa hệ thống hóa được các dạng
bài tập, chưa đưa ra được nhiều hướng suy luận khác nhau của một bài toán và
chưa đưa ra các phương pháp giải khác nhau của cùng một bài toán để kích
thích sáng tạo của học sinh . Về tiết luyện tập giáo viên thường đưa ra một số
bài tập rồi cho học sinh lên chữa hoặc giáo viên chữa cho học sinh chép . Và
đưa ra nhiều bài tập càng khó thì càng tốt. Trong nhiều trường hợp thì kết quả
dẫn đến ngược lại, học sinh cảm thấy nặng nề, không tin tưởng vào bản thân
mình dẫn đến tình trạng chán học.
Vì vậy giáo viên cần phải có phương pháp giải bài tập theo dạng và có
hướng dẫn giải bài tập theo nhiều cách khác nhau. Nếu bài toán đó cho phép.
Mỗi dạng toán có phương pháp giải riêng để giải bài tập nhằm hình thành tư
duy toán học cho học sinh, cung cấp cho học sinh những kó năng thích hợp để
giải quyết bài toán một cách thích hợp.
Học sinh lónh hội kiến thức một cách thụ động, chưa tìm ra cách giải cho
từng dạng toán cụ thể, không có tính sáng tạo trong làm bài, không làm được
các bài tập dù bài đó dễ hơn bài giáo viên đã chữa.
Xuất phát từ thực tế trên, tôi đã sắp xếp các dạng bài tập tỷ lệ thức sao
cho các em có thể giải bài tập tỷ lệ thức một cách dễ dàng nhất.
II. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU :
1. Mục đích nghiên cứu :
Xây dựng được hệ thống bài tập tỉ lệ thức để củng cố, bồi dưỡng học
sinh kiểm tra đánh giá khả năng lónh hội tri thức của học sinh.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu :
- Khảo sát thực trạng việc học sinh giải toán dạng tỉ lệ thức ở trường
THCS Tân Đồng.
III. ĐỐI TƯNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU :
- Thời gian thực hiện : Khóa học 2006 – 2007 ; 2007 - 2008
- Năm học 2006 – 2007 ; 2007 – 2008

- Trong chương trình toán 7
- Học sinh lớp 7 trường THCS Tân Đồng.
Trang 2


Trường THCS Tân Đồng

Người thực hiện : Lê Hữu Hoằng

IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO :
- Sách giáo khoa toán 7.
- Một số đề thi học sinh giỏi toán 7.
- Một số tài liệu khác.

B. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI :
Qua quá trình giảng dạy thực tế và tham khảo đồng nghiệp, kết quả học
tập của học sinh được phản ánh rõ nét thông qua bài kiểm tra, bài thi của học
sinh. Có bài lời giải độc đáo, sáng tạo , chặt chẽ, trình bày sáng sủa, khoa học,
song cũng có bài giải sơ sài, đơn giản, thiếu chặt chẽ và thiếu sự sáng tạo.
TÓM TẮT KIẾN THỨC PHẦN TỈ LỆ THỨC
1. Đònh nghóa :
- Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số

a c
=
b d

2. Tính chất :
- Tính chất 1 (tính chất cơ bản của tỉ lệ thức)
Nếu

a c
=
thì a.d = b.c
b d

- Tính chất 2 :
Nếu ad = bc và a,b,c,d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức :
a c a b d c d b
= ; = ; = ; =
b d c d b a c a
- Như vậy, với a,b,c,d ≠ 0 từ một trong năm đẳng thức sau đây ta có thể suy ra
các đẳng thức còn lại :
ad = bc

a
c
=
b
d

a
d
=
c
d

d
c
=

b
a

d
b
=
c
a

Trước khi viết đề tài này thì tôi cho học sinh làm bài kiểm tra khảo sát
nhằm phát hiện, đánh giá chất lượng vốn có của học sinh. Mặt khác lưu giữ
kết quả để đánh giá từng bước tiến bộ của học sinh.
Trang 3


Trường THCS Tân Đồng

Người thực hiện : Lê Hữu Hoằng

Dưới đây là đề kiểm tra khảo sát chất lượng
năm học 2006- 2007 và năm học 2007 - 2008.
Câu 1 : Tìm x,y,z biết :
x
y
z
= = và x + y + z = 150.
2 3 5

Câu 2 : Tìm x,y biết :
x

y
=
và x . y = 300.
3 4

Câu 3 : Tìm x,y,z biết :
x
y y
z
= ; =
và 2x – 3y + z = 6.
3 4 3 5

Đáp án :
Câu 1 : Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
x
y
z
x + y + z 150
= = =
=
= 15
2 3 5
2+3+5
10
x
=>
= 15 -> x = 2.15 = 30.
2
y

= 15 -> y = 3.15 = 45.
3
z
= 15 -> z = 5.15 = 75.
5

Câu 2 :
x

y

Đặt 3 = 4 = k -> x = 3k ; y = 4k.
-> x.y = 3k . 4k = 12k2 = 300.
-> k2 = 25.
k = 5
→
k = − 5

 x = 3.5 = 15

* Với k = 5 ->  y = 4.5 = 20


 x = 3.(−5) = − 15

* Với k = -5 ->  y = 4.(−5) = − 20

Câu 3 :

Trang 4

Trường THCS Tân Đồng

Người thực hiện : Lê Hữu Hoằng

x
y
x
y
= → =
3 4
9 12
y
z
y
z
= →
=
3 5
12 20
x
y
z
→ =
=
9 12 20

Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có :
x

y
z
2x − 3 y + z
6
=
=
=
= =3
9 12 20 2.9 − 3.2 + 20 2
x
= 3 -> x = 9.3 = 27.
9
y
= 3 -> y = 12.3 = 36.
12
z
= 3 -> z = 20.3 = 60.
20

Kết quả thu được của năm học 2006 – 2007 như sau :
Đối tượng 1
0 -> 4 điểm
TỔNG SỐ
Số lượng
%
158
85
53,7

Đối tượng 2

5 -> 7 điểm
Số lượng
%
60
37,9

Đối tượng 3
8 -> 10 điểm
Số lượng
%
13
8,2

Kết quả thu được của năm học 2007 – 2008 như sau :
Đối tượng 1
Đối tượng 2
Đối tượng 3
0 -> 4 điểm
5 -> 7 điểm
8 -> 10 điểm
TỔNG SỐ
Số lượng
%
Số lượng
%
Số lượng
%
148
80
50,6

65
41,1
23
14,6
Đối tượng 1 : Các em chỉ mới làm được câu 1.
Đối tượng 2 : Các em đã làm được câu 1 và câu 2.
Đối tượng 3 : Các em đã hoàn chỉnh cả ba câu.
II. CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN :
Sau khi học xong tính chất của tỷ lệ thức, tôi đã cho học sinh củng cố để
nắm vững và hiểu thật sâu về các tính chất cơ bản , tính chất mở rộng của tỷ
lệ thức, của dãy tỷ số bằng nhau. Sau đó cho học sinh làm một loạt những bài
toán cùng loại để tìm ra một đònh hướng, một quy luật nào đó để làm cơ sở
cho việc chọn lời giải, có thể minh họa điều đó bằng các dạng toán, bằng các
bài toán từ đơn giản đến phức tạp sau đây .
DẠNG 1 : Tìm x,y,z.
Trang 5


Trường THCS Tân Đồng

Người thực hiện : Lê Hữu Hoằng

Bài toán 1 : Tìm x,y biết :
x

y

x

y

x

y

a. 2 = 5 và x.y = 90.
b. 7 = 9 và x.y = 252.
c. 5 = 3 và x2 – y2 = 4.
Giải :
a. Khởi điểm bài toán đi từ đâu, nếu đi từ tính chất cơ bản thì nên theo
tính chất nào ? Nếu đi từ đònh nghóa thì làm như thế nào ? Học sinh thường
mắc sai lầm như sau :
x
y
x. y 90
= =
=
=9
2 5
2.5 10

-> x = 2.9 = 18.
y = 5.9 = 45.
Tôi đã yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan và
hướng cho các em hướng giải toán.
Hướng thứ nhất :
Dùng phương pháp tình giá trò của dãy số để tính. Đó là hình thức hệ
thống hóa , khái quát hóa về kiến thức và học sinh đã chọn lời giải thích hợp.
x

y

 x = 2k

Đặt 2 = 5 = k →  y = 5k

Mà xy = 90 ->
2k.5k = 90.
10k2 = 90
k = 3

k2 = 9 -> k = − 3

* Với k = 3 ->
x = 2.3 = 6.
y = 5.3 = 15.
* Với k = -3 ->
x = 2. (-3) = -6.
y = 5.(-3) = -15.
Vậy (x;y) = (6;16); (-6;-15)
Hướng thứ hai :
Khái quát hóa toàn bộ tính chất của tỷ lệ thức, có tính chất nào liên
quan đến tích các tử số với nhau và học sinh đã chọn lời giải theo hướng thứ
hai.
2

2

x
y

 x
 y
 x. y 
Ta có : = →   =   =   (tính chất mở rộng của tỷ lệ thức)
2 5
 2
5
 2.5 

Trang 6


Trường THCS Tân Đồng

Người thực hiện : Lê Hữu Hoằng

x2 y 2
xy 90
→
=
=
=
=9
4
25 10 10
x2
→
= 9 → x 2 = 36 → x = ± 6
4
y2

= 9 → y 2 = 32.5 2 → y = ± 15.
25

Vậy (x;y) = (6;15); (-6;-15)
Qua việc hệ thống hóa, khái quát hóa và lựa chọn hướng đi cho các em
để có lời giải thích hợp. Các em đã vận dụng nó để làm tốt các phần b,c,d.
Bài toán 2 : Tìm x,y,z biết :
x

y

y

z

x

y

y

z

x

y

y

z

x

y

y

z

a. 2 = 3 ; 5 = 4 và x + y + z = 37.
b. 3 = 4 ; 5 = 7 và 2x + 3y – z = 186.
c. 2 = 3 ; 5 = 7 và x + y + z = 92.
d. 3 = 5 ; 3 = 8 và 2x + 4y – 2z = -4.
Giải :
a. Để tìm được lời giải của bài toán này tôi đưa ra việc nhận xét xem
liệu có tìm được tỷ số trung gian nào để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau hay
không ? Yêu cầu đó đã hướng các em hệ thống hóa kiến thức cơ bản, tính chất
mở rộng để chọn lời giải cho phù hợp.

Ta có :

x
y
x 1
y 1
x
y
=
→ ⋅ = ⋅ hay
=

2 3
2 5 3 5
10 15
y
z
y 1 z 1
y
z
= → ⋅ = ⋅ hay
=
5 4
5 3 4 3
15 12
x
y
z
x +y + z
37
→
=
=
=
=
=1
10 15 12 10 + 15 + 12 37

->

x = 10.1 = 10.
y = 15.1 = 15.

z = 12.1 = 12
Vậy x = 10; y = 15; z = 12.
b. Để giải được phần b của bài toán, ngoài việc tìm được tỷ số trung
gian để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau. Tôi còn hướng cho các em tìm hiểu
xem có gì đặc biệt trong tổng 2x + 3y – z = 186 để giúp các em nhớ lại tính
chất của phân số bằng nhau. Từ đó các em đã chọn được lời giải của bài toán
cho thích hợp.
Ta có :

Trang 7


Trường THCS Tân Đồng
x
y
x 1
=
→ ⋅ =
3 4
3 5
y
z
y 1
= → ⋅ =
5 7
5 4
x
y
z
→

=
=
15 20 28

Người thực hiện : Lê Hữu Hoằng
y 1
x
y
⋅ hay
=
4 5
15 20
z 1
y
z
⋅ hay
=
7 4
20 28
2x + 3y − z
186
=
=
=3
2.15 + 3.20 − 28
62

->

x = 15.3 = 45.

y = 20.3 = 60.
z = 28.3 = 84.
Vậy x = 45; y = 60; z = 84.
Với cách làm như vậy các em đã biết vận dụng để chọn lời giải phù hợp
cho phần c và d.
Bài toán 3 : Tìm x,y,z biết :
a. 3x = 5y = 8z và x + y + z = 158.
b. 2x = 3y; 5y = 7z và 3x + 5z – 7y = 60
Giải :
Đối với bài toán 3 có vẻ khác lạ hơn so với các bài toán trên. Song tôi
đã nhắc các em lưu ý đến sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích
hoặc đến tính chất đơn điệu của đẳng thức. Từ đó các em có hướng giải và
chọn lời giải cho phù hợp.
Hướng thứ nhất : Dựa vào sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai
tích ta có lời giải sau :
Ta có :
x
y
x 1
y 1
x
y
=
→ ⋅ = ⋅ hay
=
5 3
5 8 3 8
40 24
y
z

y 1 z 1
y
z
5 y = 8 z → = → ⋅ = ⋅ hay
=
8 5
8 3 5 3
24 15
x
y
z
x +y + z
158
→
=
=
=
=
=2
40 24 15 40 + 24 + 15
79
3x = 5 y →

->

x = 40.2 = 80.
y = 24.2 = 48.
z = 15.2 = 30.
Vậy x = 80; y = 48; z = 30.
Hướng thứ hai : Dựa vào tính chất đơn điệu của phép nhân của đẳng

thức. Các em đã biết tìm bội số chung nhỏ nhất của 3,5,8. Từ đó các em có lời
giải của bài toán như sau :
Ta có BCNN (3,5,8) = 120
Trang 8


Trường THCS Tân Đồng

Người thực hiện : Lê Hữu Hoằng
1

1

1

Từ 3x = 5y = 8z → 3x. 120 = 5 y. 120 = 8 z. 120
x

y

z

x +y + z

158

Hay 40 = 24 = 15 = 40 + 24 + 15 = 79 = 2
-> (Tương tự như trên ta có ...)
Vậy x = 80; y = 48; z = 30.
Hướng thứ ba : Tôi đã đặt vấn đề hãy viết tích giữa hai số thành một

thương. Điều đó đã hướng cho các em tìm ra cách giải sau :
→

Từ 3x + 5y – 8z
->

x
y
z
x+ y+ z
158
=
= =
=
= 240
1
1
1
1 1 1
79
+ +
3
5
8
3 5 8 120

1

x = 3 .240 = 80.
1

y = 5 . 240 = 48.
1

z = 8 . 240 = 30.
Vậy x = 80; y = 48; z = 30.
Qua ba hướng trên, đã giúp các em có công cụ để giải bài toán và từ đó
các em sẽ lựa chọn lời giải nào phù hợp, dễ hiểu, logic. Cũng từ đó giúp các
em phát huy thêm hướng giải khác và vận dụng để giải phần b.
* Để giải được phần b có điều hơi khác phần a một chút. Yêu cầu các
em phải có tư duy một chút để tạo nên tích trung gian như sau :
+ Từ 2x = 3y - > 2x.5 = 3y.5 hay 10x = 15y.
+ Từ 5y = 7z -> 5y.3 = 7z.3 hay 15y = 21z.
-> 10x = 15y = 21z.
x
y
z
3x + 5 y − 7 z
60
=
=
=
=
= 840
1
1
1
1
1
1

15
3.
+ 5.
− 7.
10
15
21
10
15
21
210
1
→
x =
. 840 = 84.
10
1
y =
.840 = 56
15
1
z =
.840 = 40
21
→

Vậy x = 84; y = 56; z = 40
Các em đã tìm hướng giải cho phần b và tự cho được ví dụ về dạng toán
này.
Bài toán 4 : Tìm x,y, z biết rằng :

a.

x −1 y − 2 z − 2
=
=
và x + 2y – z = 12
5
3
2

Trang 9


Trường THCS Tân Đồng

b.

Người thực hiện : Lê Hữu Hoằng

x −1 y − 2 z −3
=
=
và 2x + 3y – z = 50
2
3
4

Để tìm được lời giải của bài toán này tôi cho các em nhận xét xem làm
thế nào để xuất hiện được tổng x + 2y – z = 12 hoặc 2x + 3y – z = 50 hoặc
2x + 3y – 5z = 10.

Với phương pháp phân tích, hệ thống hóa đã giúp cho các em nhìn ra
ngay và có hướng đi cụ thể.
Hướng thứ nhất : Dựa vào tính chất của phân số và tính chất của dãy số bằng
nhau ta có lời giải của bài toán như sau :
Ta có :
x − 1 y − 2 z − 2 2( y − 2) 2 y − 4 x − 1 + 2 y − 4 − ( z − 2)
=
=
=
=
=
5
3
2
2.3
6
5+6−2
x + 2 y − z − 3 12 − 3
=
=
=1
9
9

->

x – 1 = 5 -> x = 6.
y – 2 = 3 -> y = 5.
z – 2 = 2 -> z = 4
Hướng thứ hai : Dùng phương pháp đặt giá trò của tỷ số ta có lời giải sau :

Đặt :

x −1 y − 2 z − 2
=
=
=k
5
3
2

->

x – 1 = 5k -> x = 5k + 1.
y – 2 = 3k -> y = 3k + 2
z – 2 = 2k -> z = 2k + 2.
Ta có : x + 2y – z = 12 <=> 2k + 1 + 2(3k + 2) – (2k + 2) = 12
<=> 9k + 3 = 12
<=> k = 1
Vậy x = 5.1 + 1 = 6.
y = 3.1 + 2 = 5.
z = 2.1 + 2 = 4
Với các phương pháp cụ thể của từng hướng đi các em đã vận dụng để
tự giải phần (b) của bài toán 4.
Bài toán 5 : Tìm x,y,z biết rằng :
x
y
z
=
=
=x+ y+z

y + z +1 x + z + 1 x + y − 2
y+ z + 1 x + z + 2 x + y − 3
1
b)
=
=
=
x
y
z
x + y +z
a)

Đối với bài toán 5 có vẻ hơi khác lạ. Vậy ta sẽ phải khởi đầu từ đâu, đi
từ kiến thức nào ? Điều đó yêu cầu các em phải tư duy có chọn lọc để xuất
Trang 10


Trường THCS Tân Đồng

Người thực hiện : Lê Hữu Hoằng

hiện x + y + z . Tôi đã gợi ý cho các em đi từ ba tỷ số đầu để xuất hiện dãy tỷ
số bằng nhau và đã có lời giải của bài tóan phần (b) như sau :
Giải :
Điều kiện x,y,z ≠ 0.
Ta có :

y + z + 1 x + z + 3 x + y − 3 y + z + 1 + x + z + 2 + x + y − 3 2( x + y + z )
=

=
=
=
=2
x
y
z
x+ y+ z
x+ y+ z
1
1
→
= 2 → x + y + z = = 0,5
x+ y+ z
2

x + y = 0,5 – z
y + z = 0,5 – x.
x + z = 0,5 – y.
Thay các giá trò vừa tìm của x,y,z vào dãy tỷ số trên, ta có :
y + z +1
0,5 − x + 1
=2→
= 2 <=> 0,5 – x + 1 = 2x
x
x

x+ z +2
0,5 − y + 2
=

=2
y
y

<=> 1,5 = 3x
<=> x = 0,5.
<=> 2,5 – y = 2y
<=> 2,5 = 3y
5

x + y − 3 0,5 − z − 3
=
=2
z
z

<=> y = 6
<=> -2,5 – z = 2z
<=> -2,5 = 3z.
5

<=> z = - 6
5

5

Vậy (x;y;z) = (0,5 ; 6 ; - 6 )
Sau khi thực hiện dạng 1 của đề tài tôi cho học sinh làm bài toán thực
nghiệm như sau :

*Đề kiểm tra lần 1:
Tìm x, y, z biết :
a.

x y
= và x . y = 54
2 3

b. 2x = 3y = 5z và x + y – z = 95.
c.

x −1 y + 4 z + 2
=
=
và 2x + 3y – 5z = 10
3
2
2

* Kết quả kiểm tra lần 1 năm học 2006 – 2007 :

Trang 11


Trường THCS Tân Đồng

Người thực hiện : Lê Hữu Hoằng

Đối tượng 1
0 -> 4 điểm

TỔNG SỐ
Số lượng
%
158
75
47,5

Đối tượng 2
5 -> 7 điểm
Số lượng
%
65
41,1

Đối tượng 3
8 -> 10 điểm
Số lượng
%
18
11,4

* Kết quả kiểm tra lần 1 năm học 2007 – 2008 :
Đối tượng 1
Đối tượng 2
Đối tượng 3
0 -> 4 điểm
5 -> 7 điểm
8 -> 10 điểm
TỔNG SỐ
Số lượng

%
Số lượng
%
Số lượng
%
158
55
34,8
70
44,3
33
20,9
Việc hệ thống hóa, khái quát hóa các kiến thức của tỷ lệ thức còn có
vai trò rất quan trọng trong việc chứng minh tỷ lệ thức so với hệ thống các bài
tập từ đơn giản đến phức tạp, từ cụ thể, cơ bản đến kiến thức trừu tượng, mở
rộng đã cho các em rất nhiều hướng đi để đến tới hiệu quả và yêu cầu của bài
toán.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1
Bài 1 : Tìm các số x , y , z biết rằng :
x y z
= = và x + 2y – 3z = - 20
2 3 4

Bài 2 : Tìm các số x , y , z biết rằng :

x y z
= = và x2 – y 2 + 2z2 = 108
2 3 4

Hướng dẫn giải bài tập phần luyện :

x

2y

x + 2 y − 3z

3z

−20

Bài 1 : Ta có : 2 = 6 = 12 = 2 + 6 − 12 = −4 = 5
 x= 10 , y= 15 , z = 20
x

y

z

x2

y2

a

c

z2

x2

y2

2z2

x2 − y 2 + 2z 2

=
=4
Bài 2 : Ta có : 2 = 3 = 4 -> = = -> = =
4
9 16
4
9
32
4 − 9 + 32
Từ đó ta tìm được : x1= 4 ,y1=6 , z1= 8
x1= - 4 ,y1= -6 , z1= -8
DẠNG 2 : Chứng minh tỷ lệ thức :

Bài toán 1 : Cho tỷ lệ thức b = d . Hãy chứng minh :
a − b c− d
=
a+b c+d
2a + 5b 2c + 5d
b.
=
3a + 4b 3c − 4d
a.

Trang 12

Trường THCS Tân Đồng

Người thực hiện : Lê Hữu Hoằng

Để giải bài toán này không khó, song yêu cầu học sinh phải hệ thống
hóa kiến thức thật tốt và chọn lọc các kiến thức để vận dụng vào dạng toán để
tìm hướng giải cụ thể.
* Hướng thứ nhất : Sử dụng phương pháp đặt giá trò của dãy tỷ số để chứng
minh phần a.
a

c

Đặt b = d = k

-> a = b.k
c = d.k

Ta có :

a − b bk − b b(k − 1) k − 1
=
=
=
a + b bk + b b(k + 1) k + 1
c−d
dk − d
d (k − 1) k − 1

=
=
=
c+d
dk + d
d (k + 1) k + 1

a−b c−d
=
a+b c+d

* Hướng thứ hai : Sử dụng phương pháp hoán vò các số hạng của tỷ lệ thức và
tính chất cơ bản của dãy tỷ số bằng nhau ta có lời giải như sau :
a

c

a

b

Từ : b = d → c = d (Hoán vò trung tỷ)

a−b a+b
=
c−d
c + b (Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau)
a−b c−d
→
=

a + b c + d (Hoán vò trung tỷ).

Ngoài hai hướng trên, các em cũng đã tìm ra hướng giải khác nhờ vào
tính chất cơ bản của tỷ lệ thức :
a

c

Từ b = d → ad = bc
Xét tích : (a – b)(c + d) = ac + ad – bc – bd
(a + b)(c – d) = ac – ad + bc – bd
->
(a – b)(c + d) = (a + b)(c – d) (cùng bằng ac – bd)
->

a−b c−d
=
a + b c + d (Đpcm)

Với việc hệ thống hóa các kiến thức về tỷ lệ thức đã đưa ra một số
hướng giải. Yêu cầu học sinh chọn lựa hướng giải nào thích hợp, ngắn gọn, dễ
hiểu, đề trình bày lời giải cho mình trong mỗi bài , qua đó để học sinh tự giải
các bài tập phần b của bài 1.
a

c

Bài toán 2 : Cho b = d Hãy chứng minh :

Trang 13

Trường THCS Tân Đồng

Người thực hiện : Lê Hữu Hoằng

a.

a 2 + b 2 ab
=
;
c 2 + d 2 cd

c.

( a + b) 2
(c + d )2

=

b.

( a − b) 2
(c − d )2

=

ab
;
cd

ab
;
cd

Đối với bài toán 2 hướng giải tương tự như bài toán 1, song mức độ tính
toán dễ nhầm lẫn hơn. Tôi phải phân tích, cho học sinh ôn lại về lũy thừa và
kiến thức về tính chất mở rộng của tỷ lệ thức để các em dễ nhận biết, dễ trình
bày hơn. Tôi đã nhấn mạnh lại các công thức :
2

2

a
c
ac
a
c
Nếu : = →   =   =
và hướng cho các em trình bày lời giải
b d
bd
b
d

của bài toán phần c.
Giải :

a
c

a
b
= → =
(Hoán vò trung tỷ)
b d
c
d
 a 2   b 2  ab a 2
c2
2ab
a 2 + 2ab + b 2
→  2  =  2  =
= 2 = 2 =
= 2
b
d
2cd
c + 2cd + d 2
 c   d  cd

Từ :

Hay

( a + b) 2
(c + d )2

=

ab

cd

Tương tự bài toán phần (c) học sinh rất dễ dàng hiểu và trình bày được
lời giải phần a,b và hướng cho các em tự tìm hiểu các phương pháp khác để
chứng minh tỷ lệ thức.
Bài toán 3 : (Dành cho học sinh khá giỏi)
a2 + b2
a
a b
Cho b = c . Hãy chứng minh b 2 + c 2 = c

Để giải được bài toán này yêu cầu học sinh phải có bước suy luận cao
hơn, không dập khuôn máy móc mà phải chọn lọc tính chất của tỷ lệ thức để
có hướng giải phù hợp.
* Hướng thứ nhất : Sử dụng tính chất cơ bản rồi thay thế vào vế trái, biến đổi
vế phải ta có lời giải sau :
a

b

Từ b = c -> b2 = ac . Thay vào vế trái ta có :
a 2 + b 2 a 2 + ac a (a + c ) a
=
=
= (Đpcm)
b 2 + c 2 ac + c 2 c( a + c) c

* Hướng thứ hai : Sử dụng tính chất đơn điệu của phép nhân của đẳng thức ta
có lời giải sau :
a

b

Vì cần có a2 ; b2 nên ta nhân từng vế của b = c với chính bản thân nó ta có :
a b
a a b b a2
b2
a2 + b2
= → ⋅ = ⋅ = 2 = 2 = 2
(1)
b c
b b c c b
c
b + c2

Trang 14


Trường THCS Tân Đồng

mà

Người thực hiện : Lê Hữu Hoằng

a b
a2
a2
a
= → b 2 = ac → 2 =
=

(2)
b c
b
ac c
a2 + b2
a
→
=
Từ (1) và (2)
(Đpcm)
2
2
b +c
c

* Đề kiểm tra sau khi thực hiện dạng 2 :
a c
= hãy chứng minh :
b d
2
2
2a + 3b 2c + 3d
(
a − b)
(
a + b)
a.
=
b.
=

2a − 3b 2c − 3d
(c − d )2 (c + d )2

Cho tỷ lệ thức :

* Kết quả kiểm tra dạng 2 Năm học 2006 – 2007 :
Đối tượng 1
Đối tượng 2
Đối tượng 3
0 -> 4 điểm
5 -> 7 điểm
8 -> 10 điểm
TỔNG SỐ
Số lượng
%
Số lượng
%
Số lượng
%
158
70
42,6
63
49,3
25
8,1
* Kết quả kiểm tra dạng 2 Năm học 2007 – 2008 :
Đối tượng 1
Đối tượng 2
Đối tượng 3

0 -> 4 điểm
5 -> 7 điểm
8 -> 10 điểm
TỔNG SỐ
Số lượng
%
Số lượng
%
Số lượng
%
158
60
37,9
73
46,2
28
17,7
Với các phương pháp trên trong phương pháp giảng dạy học sinh môn
toán 7 đã làm cho các em tư duy rất tốt, rèn luyện được ý thức tự tìm tòi độc
lập suy nghó để nhớ kó, nhớ lâu và sáng tạo khi giải toán đạt hiệu quả cao. Đó
chính là công cụ giải toán của mỗi học sinh. Ngoài ra phương pháp này còn là
công cụ đặc biệt quan trọng cho các em giải dạng toán có lời văn về phần đại
lượng tỷ lệ thuận, đại lượng tỷ lệ nghòch.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 2:
Chứng minh rằng nếu a2 = b.c ( với a # b và a # c ) thì :
a+b c+a
=
a −b c −a

HƯỚNG DẪN GIẢI :

a

c

a +b

a −b

a+b

c+a

Ta có a2 = b.c suy ra b = d = c + a = c − a suy ra a − b = c − a

DẠNG 3 : Các bài toán về đại lượng tỷ lệ thuận và đại lượng tỷ lệ nghòch :
Bài toán 1 :
Ba kho A,B,C chứa một số gạo. Người ta nhập vào kho A thêm 1/7 số
gạo đó, xuất ở kho B đi 1/9 số gạo đó, xuất ở kho C đi 2/7 số gạo đó. Khi đó

Trang 15


Trường THCS Tân Đồng

Người thực hiện : Lê Hữu Hoằng

số gạo ở 3 kho bằng nhau. Tính số gạo ở mỗi kho lúc đầu. Biết rằng kho B
nhiều hơn kho A là 20 tạ.
Để giải bài toán này tôi lại cho học sinh đọc kó đề bài , tóm tắt, phân
tích kó mối tương quan giữa các số liệu để tìm ra hướng giải sau :

Giải :
Gọi số gạo lúc đầu ở mỗi kho A, B, C lần lượt là x,y,z (tạ) gạo (x,y,z > 0)
1

8

Số gạo lúc sau ở kho A là : x + 7 x = 7 x.
1

8

2

5

Số gạo lúc sau ở kho B là : y - 9 y = 9 y
Số gạo lúc sau ở kho C là : z - 7 z = 7 z.
8

8

5

Theo bài ra ta có : 7 x = 9 y = 7 z (1) và y – x = 20
Chia cả ba tỷ số của (1) cho BCNN (8;5) = 40 ta có :
x
y
z
y − x 20
=

=
=
= =2
35 45 56 45 − 35 10

=>

x = 35 . 2 = 70 (tạ).
y = 45 . 2 = 90 (tạ).
z = 56 . 2 = 112 (tạ)
Vậy số gạo lúc đầu ở ba kho A, B, C lần lượt là 70 tạ, 90 tạ, 112 tạ.
Ngoài việc hướng dẫn học sinh tìm tòi những lời giải khác nhau cho bài
toán, tôi còn hướng dẫn học sinh cách khai thác bài toán bằng cách thay đổi
số liệu, dữ kiện để có bài toán mới với phương pháp giải tương tự.
Chẳng hạn :
Thay vì kho B chứa nhiều hơn kho A là 20 tạ gạo, bằng các dữ liệu sau :
1. Tổng số gạo ở ba kho là 272 tạ
2. Số gạo ở kho C hơn kho A là 42 tạ.
3. Số gạo ở kho B ít hơn kho C là 22 tạ.
Thì ta sẽ được các bài toán mới có cùng đáp số .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 3:
Có 16 tờ giấy bạc lọai 2000 đồng ,5000 đồng , 10000 đồng . Trò giá mỗi
lọai tiền trên đều bằng nhau . Hỏi mỗi lọai có mấy tờ .
Hướng dẫn giải :
Gọi số tờ giấy bạc lọai 2000 đồng , 5000 đồng , 10000 đồng theo thứ tự là
x, y ,z ( x, y ,z € N * )
Ta có : x + y + z = 16 và 2000x = 5000y = 10000z
Biến đổi để đưa về áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau suy ra :
Trang 16

Trường THCS Tân Đồng

Người thực hiện : Lê Hữu Hoằng

x = 10 , y = 4 , z =2
* DẠNG 4 : chuyển động :
Bài toán 1 :
Một người dự kiến đi ô tô từ Bình Phước về Bình Dương trong một thời
gian dự đònh. Thực tế thời gian đi phải giảm ¼ vận tốc so với dự đònh nên đến
Bình Dương muộn hơn thời gian dự đònh là 30 phút. Tính thời gian dự đònh lúc
đầu.
Trước khi giải bài toán này tôi đã cho học sinh đọc đề để hiểu kó đề bài.
Tìm hiểu mối quan hệ giữa vận tốc và thời gian của chuyển động trên một
đoạn đường. Chú ý rằng : Trên cùng một quãng đường vận tốc và thời gian là
v1

t2

đại lượng tỷ lệ nghòch. Từ đó thiết lập được tỷ lệ thức : v = t và các em đã
2
1
có hướng đi tìm t1 ; t2.
Giải :
Gọi v1 là vận tốc dự đònh, t1 là thời gian dự đònh ; v2 là vận tốc thực đi, t2
là thời gian thực đi.
v1, v2 cùng đơn vò; t1, t2 cùng đơn vò (v1, v2 , t1, t2 > 0)
Cùng quãng đường đi thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỷ lệ
nghòch. Do đó :

→

t2
t1
30
t1

v1
t
= 2 mà v2 = 3 v1.
v2
t1
4
v
t − t1
4
4−3
= 1 = → 2
=
3
3
t1
3 (theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau)
v1
4
1
=
3 -> t1 = 30 . 3 = 90 phút.

Vậy thời gian dự đònh đi lúc đầu là 90 phút.

* Đề kiểm tra sau khi thực hiện dạng 4 của đề tài :

Bài toán 1 :
Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự đònh. Sau khi đi được ½
quãng đường thì ô tô tăng vận tốc lên 20%, do đó đến B sớm hơn được 10
phút. Tính thời gian ô tô đi từ A đến B.
Bài toán 2 :
Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h và dự đònh đến B lúc
11h45’. Sau khi đi được 4/5 quãng đường thì người đó xe đó đi với vận tốc 30
km/h nên đến B lúc 12h.
Hỏi xe đó khởi hành lúc mấy giờ và quãng đường AB là bao nhiêu ?
* Kết quả kiểm tra dạng 4 Năm học 2006 - 2007:
Trang 17


Trường THCS Tân Đồng

Đối tượng 1
0 -> 4 điểm
TỔNG SỐ
Số lượng
%
158
60
37,9

Người thực hiện : Lê Hữu Hoằng

Đối tượng 2

5 -> 7 điểm
Số lượng
%
80
50,6

Đối tượng 3
8 -> 10 điểm
Số lượng
%
18
11,4

* Kết quả kiểm tra dạng 4 Năm học 2007 - 2008 :
Đối tượng 1
0 -> 4 điểm
TỔNG SỐ
Số lượng
%
158
50
27

Đối tượng 2
5 -> 7 điểm
Số lượng
%
82
55,4

Đối tượng 3
8 -> 10 điểm
Số lượng
%
26
17,6

* DẠNG 5 : hình học :
Bài toán :
Tìm tỷ lệ 3 cạnh của một tam giác, biết rằng nếu cộng lần lượt từng hai
đường cao của tam giác đó thì các kết quả tỷ lệ với 5,7,8.
Đối với bài toán này để đi tới vận dụng được kiến thức về tỷ lệ thức.
Tôi đã đưa các em tìm mối quan hệ giữa cạnh và đường cao tương ứng trong
tam giác. Bằng kiến thức của hình học, các em đã có hướng đi và lời giải của
bài toán.
Giải :
Gọi 3 cạnh của tam giác lần lượt là a,b,c (a,b,c > 0) và ba đường cao
tương ứng là ha, hb, hc (ha, hb, hc > 0)
Theo bài ra ta có : (ha + hb) : (hb + hc) : (hc + ha) = 5 : 7 : 8 (do vai trò của
ha, hb, hc như nhau)
Ta có công thức :
aha bhb
ch
=
= c (1)
2
2
2
h +h
h +h

h +h
Ta đặt a 5 b = b 7 c = c 8 a = k
S

∆ABC

=

->

ha + hb = 5k
+ hb + hc = 7k.
hc + ha = 8k
2(ha + hb + hc) = 20k -> ha + hb + hc = 10k
Mà ha + hb = 5k -> hc = 5k.
hb + hc = 7k -> ha = 3k.
hc + ha = 8k -> hb = 2k.
Thay ha , hb , hc vào (1) ta có :
a3k b2k
c5k
=
=
2
2
2

->

a.3k = b.2k = c. 5k.
Trang 18

Trường THCS Tân Đồng

Người thực hiện : Lê Hữu Hoằng

->

3a = 2b = 5c.

->

3a ⋅

1
1
1
a
b
c
= 2b ⋅
= 5c ⋅
=
=
=
30
30
30
10 15
6

Vậy a : b : c = 10 : 5 : 6.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng 70m và tỉ số giữa hai cạnh
của nó bằng 3 /4 . Tính diện tích miếng đất đó .
Đáp số : 300m2
MỘT SỐ SAI XÓT CỦA HỌC SINH VÀ HƯỚNG KHẮC PHỤC :
Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy học sinh tiếp thu được các nội
dung trên nhờ cụ thể hóa phương pháp, phân dạng được bài tập nên học sinh
biết cách vận dụng vào bài tập.
Tuy nhiên cũng còn nhiều sai sót, thiếu chính xác cần tiếp tục uốn nắn,
rèn kó năng.
Sau đây là vài ví dụ minh họa :
VD1 : Tìm x,y,z biết :
3x = 5y = 8z và x + y + z = 158.
Lời giải của học sinh :
x y z
= =
5 8 3
x
y
z
⇒
=
=
120 120 120
x
y
z
x + y + z 158

⇒
=
=
=
=
= 1,3
120 120 120
120
120
⇒ x = 156 ; y = 156 ; z = 156 ;

Ta có :

3x = 5y = 8z

⇒

Những sai xót và cách khắc phục :
Sai xót : Từ 3x = 5y = 8z
x

y

z

Các em ⇒ 5 = 8 = 3 nên việc tìm x,y,z sai.
Cách khắc phục :
Ta có BCNN (3;5;8) = 120.
1

1

1

Từ 3x = 5y = 8z ⇒ 3x ×120 = 5 y ×120 = 8 z ×120
Lời giải đúng mong đợi :
Dựa vào tính chất đơn điệu của phép nhân của đẳng thức. Các em đã
biết tìm bội số chung nhỏ nhất của 3,5,8. Từ đó các em có lời giải của bài
toán như sau :
Ta có BCNN (3,5,8) = 120
Trang 19


Trường THCS Tân Đồng

Người thực hiện : Lê Hữu Hoằng
1

1

1

Từ 3x = 5y = 8z → 3x. 120 = 5 y. 120 = 8 z. 120
x

y

z

x +y + z

158

Hay 40 = 24 = 15 = 40 + 24 + 15 = 79 = 2
-> (Tương tự như trên ta có ...)
Vậy x = 80; y = 48; z = 30.
a

c

VD2 : Cho tỷ lệ thức b = d hãy chứng minh :
a −b c −d
=
a+b c+d

Lời giải của học sinh :
a

c

a

a−c

c

a+c

Từ b = d ⇒ b = d = b − d = b + d
Do đó các em không đi đến được yêu cầu của bài toán.

Những sai xót và cách khắc phục :
Sai xót : Học sinh chưa sử dụng đúng phương pháp hoán vò các số hạng của tỉ
lệ thức, chưa biết sử dụng tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau.
Cách khắc phục :
Từ

a c
a b
= ⇒ =
(hoán vò trung tỉ).
b d
c d

p dụng các tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để đi đến đpcm.
Lời giải đúng mong đợi :
Sử dụng phương pháp hoán vò các số hạng của tỷ lệ thức và tính chất cơ
bản của dãy tỷ số bằng nhau ta có lời giải như sau :
a

c

a

b

Từ : b = d → c = d (Hoán vò trung tỷ)

a−b a+b
=
c−d

c + b (Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau)
a−b c−d
→
=
a + b c + d (Hoán vò trung tỷ).

Ngoài hướng trên, các em cũng đã tìm ra hướng giải khác nhờ vào tính
chất cơ bản của tỷ lệ thức :
a

c

Từ b = d → ad = bc
Xét tích : (a – b)(c + d) = ac + ad – bc – bd
(a + b)(c – d) = ac – ad + bc – bd
->
(a – b)(c + d) = (a + b)(c – d) (cùng bằng ac – bd)
->

a−b c−d
=
a + b c + d (Đpcm)

Trong quá trình giảng dạy, sẽ xuất hiện những trường hợp học sinh mắc
phải sai lầm, tùy theo đối tượng mà giáo viên chấn chỉnh, uốn nắn hoặc có
Trang 20


Trường THCS Tân Đồng

Người thực hiện : Lê Hữu Hoằng

những biện pháp phù hợp với mục đích các em học sinh hiểu bài và biết cách
vận dụng giải bài tập.

C. KẾT QUẢ THỰC HIỆN VÀ KẾT LUẬN :
I. KẾT QUẢ :
Sau khi thực hiện đề tài tôi thấy các em làm bài tập toán với một phong
cách nghiên cứu, hứng thú học tập và có nhiều sáng tạo trong cách giải. Đặc
biệt là với mỗi bài toán đưa ra các em luôn tìm hiểu các cách giải khác nhau .
Từ đó tìm được phương án tối ưu để giải toán.
Phương pháp phân hóa bài tập theo dạng đã giúp học sinh tìm tòi lời
giải dễ dàng hơn và hệ thống được kiến thức , rèn luyện khả năng tư duy tóan
học linh họat hơn góp phần nâng cao hiệu qủa giảng dậy của giáo viên .
Và điều dễ thấy nhất là kết quả thu được qua các bài kiểm tra. Bài
kiểm tra sau bao giờ cũng khả quan hơn bài kiểm tra trước về trình độ nhận
thức, về phương pháp giải, về tính thông minh sáng tạo.
Dưới đây là một ví dụ : Tôi cho một số bài toán để kiểm nghiệm như sau:

Đề Kiểm tra khảo sát chất lượng
(sau khi thực hiện đề tài):

Câu 1 : Tìm x,y,z biết :
3x = 2y ; 7y = 5z và x – y + z = 32.

a

c

Câu 2 : Chứng minh rằng nếu a + c = 2b và 2bd = c (b + d) (b,d ≠ 0) thì b = d

Câu 3 : Tổng các lập phương của ba số nguyên là 1009. Biết rằng số thứ nhất
và số thứ hai tỷ lệ với 2 và 3. Tỷ số giữa số thứ nhất và số thứ ba là 4/9 . Tìm
ba số đó.
Đáp án :
Câu 1 : Từ 3x = 2y -> 3x.7 = 2y . 7 hay 21x = 14y.
7y = 5z -> 7y . 2 = 5z . 2 hay 14 y = 10z.
-> 21x = 14y = 10z.
x

y

z

x− y+ z

32

-> 10 = 15 = 21 = 10 − 15 + 21 = 16 = 2
->
x = 2.10 = 20.
y = 2.15 = 30.
z = 2.21 = 42.
Vậy x = 20, y = 30, z = 42.
Câu 2 :
Từ 2bd = c(b + d)
-> 2bd = bc + dc
Trang 21


Trường THCS Tân Đồng

Người thực hiện : Lê Hữu Hoằng

-> (a + c) d = bc + cd.
-> ad + cd = bc + cd
-> ad = bc.
a

c

-> b = d (Vì b,d ≠ 0)
Kết quả thu được qua bài kiểm tra thật đáng phấn khởi (qua bảng dưới đây)
Năm học 2006 - 2007
ĐỐI TƯNG 1
ĐỐI TƯƠNG 2
ĐỐI TƯNG 3
TỔNG
SỐ
Số lượng
%
Số lượng
%
Số lượng
%
158
40
25,3
85
53,7
28

17,7
Năm học 2007 - 2008
ĐỐI TƯNG 1
ĐỐI TƯƠNG 2
ĐỐI TƯNG 3
TỔNG
SỐ
Số lượng
%
Số lượng
%
Số lượng
%
158
30
20,3
89
60,1
29
19,6
Đối tượng 1 : Các em chỉ mới làm được câu 1.
Đối tượng 2 : Các em đã làm được câu 1 và 2.
Đối tượng 3 : Các em đã hoàn chỉnh cả ba câu.
Qua một số bài tập trên thì tôi thấy như sau :
- Trước khi viết đề tài này thì tôi đã lấy một số bài toán trên để bồi
dưỡng cho một số học sinh khá, giỏi của trường thì kết quả đạt rất tốt.
- Tôi mong rằng đây sẽ là một tài liệu để tôi và đồng nghiệp tham khảo
khi dạy phần tỷ lệ thức sao cho có một kết quả tốt nhất.
II. KẾT LUẬN :
Căn cứ vào bảng đầu tiên , tôi thấy trước khi thực hiện chuyên đề này

học sinh thường lúng túng không biết bắt đầu từ đâu, đường lối làm bài như
thế nào mặc dù rất dễ. Sau khi được học và giới thiệu chuyên đề trên thì số
em hiểu được cách giải bài toán tỷ lệ thức tăng lên rất rõ rệt. Điều đó chứng
tỏ việc phân dạng các bài tập tỷ lệ thức là không thể thiếu được trong môi
trường toán THCS .

D. THAY CHO LỜI KẾT

Theo tôi muốn cho học sinh nâng cao vốn kiến thức của mình, phát huy
tính độc lập sáng tạo trong học tập thì chúng ta – những người thầy cần dạy
cho các em cách nghiên cứu , tìm tòi kiến thức . Chúng ta cần sớm hướng dẫn
các em cách nghiên cứu, cách học tập theo phương pháp “chuyên đề” . Có
như vậy thì sau này các em mới hiểu sâu sắc nội dung đã học, lưu giữ kiến
thức mãi mãi. Và quan trọng hơn là giúp các em biết được khi gặp dạng toán
này thì phải dùng phương pháp này đề giải, khi gặp dạng toán kia thì phải
dùng phương pháp kia để giải.
Trang 22


Trường THCS Tân Đồng

Người thực hiện : Lê Hữu Hoằng

Do thời gian có hạn , chuyên đề tôi viết chỉ trong chương trình đại số 7,
nên không mở rộng được nhiều và không sao tránh khỏi khiếm khuyết. Rất
mong sự góp ý của các đồng chí , đồng nghiệp và nhất là ban duyệt đề tài bổ
sung những phần nào còn thiếu sót hoặc chưa hoàn chỉnh của chuyên đề. Để
chuyên đề tôi viết được hoàn thiện hơn và việc áp dụng đề tài vào thực tế
giảng dạy có hiệu quả hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !

Tân Đồng, ngày 19 tháng 03 năm 2008
Người thực hiện

Lê Hữu Hoằng.

NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ CỦA TỔ TOÁN:
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
Trang 23


Trường THCS Tân Đồng

Người thực hiện : Lê Hữu Hoằng

………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………

A. ĐẶT VẤN ĐỀ :

MỤC LỤC

I. TÊN ĐỀ TÀI.
II. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
III. THỜI GIAN, PHẠM VI, ĐỐI TƯNG.
IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO.

B. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI :

I. KHẢO SÁT THỰC TẾ.
II. CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN.
Dạng 1 : Tìm x,y,z.
Dạng 2 : Chứng minh tỷ lệ thức.
Dạng 3 : Các bài toán về đại lượng tỷ lệ thuận và tỷ lệ nghòch.
Dạng 4 : Chuyển động
Dạng 5 : Hình học.

C. KẾT QUẢ THỰC HIỆN VÀ KẾT LUẬN :
I. KẾT QUẢ.

Trang 24

Trường THCS Tân Đồng

Người thực hiện : Lê Hữu Hoằng

II. KẾT LUẬN.

D. THAY CHO LỜI KẾT.

NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ
I. NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ CỦA NHÀ TRƯỜNG

II NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ CỦA PHÒNG GIÁO DỤC

Trang 25