mối liên hệ giữa hình học aphin và hình học xạ ảnh trong mặt phẳng

TRƯỜNG
TRƯ
ĐẠI HỌC CẦN THƠ 
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SP TOÁN HỌC
------------ 

LUẬN
LU
VĂN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

MỐI LIÊN HỆ
Ệ GIỮA H
HÌNH HỌC
ỌC APHIN VÀ
V
HÌNH HỌC
ỌC XẠ ẢNH TRONG
MẶT PHẲNG
 
Giảng viên hướng
ớng dẫn
ThS. Nguyễn
ễn Thị Thảo Trúc

Cần Thơ, 2015
 

Sinh viên thực

th hiện
Đặng
ặng Thị Bích Trâm
MSSV: 1110073
Lớp:
ớp: SP Toán K37


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Sau một thời gian dài học tập và nghiên cứu em đã cố gắng 
hoàn thành luận văn tốt nghiệp của mình. Để đạt được kết quả 
này em xin chân thành gửi lời tri ân sâu sắc đến tất cả các quý 
thầy cô  Bộ  môn Sư phạm Toán học đã truyền đạt những kiến 
thức hữu ích, kinh nghiệm quý báu và những kỹ năng cần thiết 
cho em trong những năm tháng trên giảng đường Đại học. 
  Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô Nguyễn 
Thị Thảo Trúc đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo tận tình cho 
em trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài luận văn 
này. 
  Mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng cũng không tránh khỏi 
những hạn chế và thiếu sót. Em rất mong nhận được những góp 

ý quý báu từ quý thầy cô và các bạn để đề tài được phong phú 
và hoàn thiện hơn. 
  Cuối lời, em xin kính chúc quý thầy cô dồi dào sức khỏe và 
có nhiều thành công trong công tác giảng dạy. 
   Em xin chân thành cảm ơn !. 
 
                      Cần Thơ, tháng 04 năm 2015                                          
Sinh viên thực hiện
                  Đặng Thị Bích Trâm 


MỤC LỤC
 
PHẦN MỞ ĐẦU
PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1. Mặt phẳng aphin .................................................................................................... 1 
1.1. Định nghĩa ......................................................................................................... 1 
1.2. Mục tiêu, tọa độ aphin trong mặt phẳng ............................................................. 1 
1.3. Đường thẳng trong mặt phẳng aphin .................................................................. 2 
1.4. Tỷ số đơn của ba điểm thẳng hàng ..................................................................... 4 
1.5. Phép biến đổi aphin ........................................................................................... 6 
1.6. Đường bậc hai trong mặt phẳng aphin ............................................................... 7 
1.7. Nhóm aphin và hình học aphin .......................................................................... 8 
2. Mặt phẳng xạ ảnh ................................................................................................ 10 
2.1. Định nghĩa ....................................................................................................... 10 
2.2. Tọa độ xạ ảnh .................................................................................................. 10 
2.3. Đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh .............................................................. 11 
2.4. Tỷ số kép ......................................................................................................... 13 
2.5. Hình bốn cạnh toàn phần ................................................................................. 13 

2.6. Phép biến đổi xạ ảnh ....................................................................................... 14 
2.7. Đường bậc hai trong mặt phẳng xạ ảnh ........................................................... 15 
2.8. Cực và đối cực ................................................................................................ 16 
2.9. Một số định lí quan trọng trong P2 ................................................................... 17 
2.10. Hình học xạ ảnh ............................................................................................ 26 
Chương II CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN GIỮA HÌNH HỌC APHIN VÀ HÌNH
HỌC XẠ ẢNH TRONG MẶT PHẲNG
1. Mô hình aphin của mặt phẳng xạ ảnh ................................................................ 28 
2. Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng aphin ................................................................ 28 
2.1. Xây dựng mô hình ........................................................................................... 28 
2.2. Một số kết quả cơ bản ..................................................................................... 29 
3. Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng Euclide ............................................................. 35 
3.1. Mối quan hệ giữa hình học aphin và hình học Euclide trong mặt phẳng .......... 35 
3.2. Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng Euclide ........................................................... 36 
3.3. Một số khái niệm của mặt phẳng Euclide ........................................................ 37 
4. Vài áp dụng của các mô hình .............................................................................. 40 
4.1. Giải bài toán xạ ảnh bằng phương tiện aphin ................................................... 40 
4.2. Giải bài toán aphin bằng phương tiện xạ ảnh ................................................... 42 
4.3. Sáng tạo các bài toán mới ................................................................................ 43 
4.4. Giải bài toán aphin bằng phương tiện Euclide ................................................. 44 
CHƯƠNG III BÀI TẬP ÁP DỤNG 


Dạng 1. Giải bài toán aphin bằng phương tiện xạ ảnh ................................................ 46 
Dạng 2. Giải bài toán xạ ảnh bằng phương tiện aphin ................................................ 58 
Dạng 3. Giải bài toán Eulide (bài toán sơ cấp) bằng phương tiện xạ ảnh .................... 65 
Dạng 4. Giải bài toán aphin bằng phương tiện Euclide............................................... 77 
Dạng 5. Giải các bài toán hình học xạ ảnh bằng các phương pháp của hình học sơ cấp
 .................................................................................................................................. 81 
Dạng 6. Giải các bài toán sơ cấp bằng các phương pháp của hình học aphin và hình 

học xạ ảnh ................................................................................................................. 85 
PHẦN KẾT LUẬN .................................................................................................. 90 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 91 
 

 
 
 
 


PHẦN MỞ ĐẦU
 
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Hình học aphin và hình học xạ ảnh là những môn học chuyên ngành dành cho sinh 
viên ngành Toán tại các trường Đại học Sư Phạm. Mục đích của môn học là cung cấp 
cho sinh viên cái nhìn tổng quan về hình học và các mối quan hệ.  
Ở bậc đại học, em đã được học và nghiên cứu các môn hình học aphin và hình học 
xạ ảnh trong không gian n-chiều.Tuy nhiên khi vận dụng vào giải toán, chúng ta cần 
có cái nhìn tổng quan về các mối liên hệ với nhau. Đồng thời, thấy được các vấn đề 
khó khăn trong việc  học tập  môn  hình học  ở phổ thông  và  mong  muốn tìm  hiểu sâu 
hơn  về  hình  học,  những  ứng  dụng  của  nó  vào  chương  trình  phổ  thông.  Điều  này  đã 
thúc đẩy em chọn đề tài nghiên cứu khoa học cho mình là: “Mối liên hệ giữa hình học 
aphin và hình học xạ ảnh trong mặt phẳng”. 
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Thông qua việc nghiên cứu đề tài: “Mối liên hệ giữa hình học aphin và hình học xạ 
ảnh  trong  mặt  phẳng”  trang  bị  cho  em  vốn  kiến thức  về hình  học  phẳng.  Từ đó,  rèn 
luyện được tư duy lôgic trong Hình học và các phương pháp giải toán. 
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các định nghĩa, tính chất, các mô hình của mặt 

phẳng aphin, mặt phẳng xạ ảnh và ứng dụng của nó. 
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Để hoàn thành luận văn, em đã nghiên cứu nhiều tài liệu tham  khảo từ sách, giáo 
trình và các nguồn tài liệu từ internet. Sau khi sưu tầm được các nguồn tài liệu, em đã 
đọc hiểu và nghiên cứu, phân tích, tổng hợp lại kiến thức cần trình bày. 
V. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Nội dung luận văn gồm có ba chương: 
Chương  I:  Trình  bày  kiến  thức  cơ  bản  như  định  nghĩa,  tính  chất,  các  phép  biến 
đổi,... của mặt phẳng aphin và mặt phẳng xạ ảnh. 
Chương II: Trình bày những nội dung thể hiện mối liên hệ giữa hình học aphin và 
hình học xạ ảnh trong mặt phẳng. 
Chương  III:  Trình  bày  hệ  thống  bài  tập  giải  sẵn  liên  quan  đến  hình  học  aphin  và 
hình học xạ ảnh trong mặt phẳng và một số bài tập ứng dụng vào giải toán sơ cấp. 
 
 


PHẦN NỘI DUNG
Chương I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1. Mặt phẳng aphin
1.1. Định nghĩa
     Cho không gian vectơ V2 và tập A  ,  mà các phần tử của nó gọi là các điểm và 
kí hiệu  A, B, C,...
Một ánh xạ:                          A x A ⟶ V2 
 

                                                    A, B   ⟼   x.  Kí hiệu  x  AB,   
thỏa mãn hai tiên đề: 

A1: Với mọi điểm  AA, với mọi vectơ  x  V2 thì tồn tại duy nhất một điểm   B A 

 
sao cho  x  AB.  
  
A2: Với mọi điểm  A, B, C  A ta luôn có:  AB  BC  AC.  
Khi  đó,  tập  hợp A được  gọi  là  mặt phẳng aphin  trên  không  gian  vectơ  V2  và  V2 
được gọi là không gian vectơ nền của A. 

Kí hiệu: A2 hoặc A2(V2) và khi đó ta thường kí hiệu  A 2 A 2 .   

 

Các tính chất
 
    MN  0  khi và chỉ khi  M  N   M , N  A2. 


    MN   NM   M , N   A2. 

 





   MN  PQ   khi  và  chỉ  khi  MP  NQ   M , N , P, Q A2  (tính  chất  hình  bình 
hành). 
  
    MN  ON  OM   M , N , O  A2. 
1.2. Mục tiêu, tọa độ aphin trong mặt phẳng
1.2.1. Mục tiêu


Định nghĩa 1: Cho mặt phẳng aphin có không gian vectơ nền là V2. Hệ   E0 , ei 1, 2  

trong đó  E0   A2 và  ei 1, 2  là cơ sở của V2 được gọi là một mục tiêu aphin của mặt 
 
phẳng aphin. Điểm  E0  được gọi là điểm gốc mục tiêu;  e1, e2  lần lượt được gọi là cơ sở 
thứ nhất và thứ hai của mục tiêu. 
Nhận xét:  Theo  tiên  đề  A1  thì  tồn  tại  duy  nhất  các  điểm  E1 , E2   thuộc  A2  sao  cho 
 
 
E0 E1  e1   và  E0 E2  e2 .   Khi  đó  hệ  3  điểm   E0 , Ei 1, 2   độc  lập  trong  A2  và  hệ 
E0 , Ei 1, 2  được gọi là một mục tiêu aphin của A2. 
Định nghĩa 2: Hệ 3 điểm không thẳng hàng có thứ tự   E0 , E1 , E 2   của mặt phẳng 
aphin  được gọi là một mục tiêu aphin mặt phẳng aphin. Điểm  E0  được gọi là điểm 
gốc, hai điểm  E1 , E2  được gọi là các đỉnh thứ nhất và thứ hai của mục tiêu. 
1 
 



Cơ sở  ei 1, 2  ứng với mục tiêu aphin   E0 , Ei 1, 2  được gọi là cơ sở nền của mục tiêu. 

1.2.2. Tọa độ 

Cho mặt phẳng aphin với mục tiêu aphin   E0 , Ei 1, 2 ứng với cơ sở nền   ei 1, 2 .  
 


 
Kí hiệu:  M  x1 , x2  / E0 , Ei 1,2  E0 M   x1 , x2  / ei 1,2 , trong đó  ei  E0 Ei .   

Dễ thấy, tọa độ của các đỉnh mục tiêu: 

E0  0, 0 ;   E1 1, 0  ;   E2  0, 1 .
  

Chú ý: Nếu  M  x1 , x2  , N  y1 , y2  /  E0 , Ei 1,2  thì  MN  y1  x1 , y2  x2  /  ei 1,2 . 
1.2.3. Công thức đổi mục tiêu


Cho hai mục tiêu   E0 , Ei 1, 2  và   E 0 , E i1, 2  với  ei 1, 2  và  ei1, 2 lần lượt là các cơ 
 
sở nền của hai mục tiêu tương ứng. 
Giả sử  X  A2 và  X  x1 , x2  / E0 , Ei 1,2 ; X  x1, x2  /  E0 , Ei1,2 .   
Khi đó, ta có các công thức đổi mục tiêu aphin trong mặt phẳng như sau:  

 x   A  x   a   với   a0    E0  / E0 , Ei i1, 2  


0

hoặc    x   A 

1

 x    a    với  a0    E0  / E0 , Eii1, 2  
0



trong đó  A  là ma trận vuông cấp 2 chuyển cơ sở từ cơ sở  ei 1,2 sang cơ sở  ei1,2 và ta 

cũng  gọi  A   là  ma trận chuyển mục tiêu  từ  mục  tiêu   E0 , Ei 1,2   sang  mục  tiêu 

E 0 , Ei1,2 .     
1.3. Đường thẳng trong mặt phẳng aphin
1.3.1. Định nghĩa
Cho mặt phẳng aphin có nền là không gian vectơ V2 và  A  là một điểm thuộc A2, V1 






là  một  không  gian  vectơ  con  của  V2.  Khi  đó  tập  hợp  M , AM  V1   được  gọi  là 
đường thẳng aphin đi qua  A  có phương là V1.
1.3.2. Sự xác định
    Với  hai  điểm  phân  biệt  bất  kỳ  M1 , M 2   thuộc  A2.  Khi  đó  tồn  tại  một  và  chỉ  một 
đường thẳng aphin đi qua  M1  và  M 2 .
1.3.3. Ba điểm thẳng hàng
Ba điểm  M1 , M 2 , M 3  A 2  được gọi là thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại một đường 
thẳng aphin  d  của A2 sao cho  i 1, 2, 3 , M i  d .  
                               
Ta có ngay mệnh đề sau:   

M1

M2

M3

d

Mệnh đề:  Với  mọi  điểm  M  xi , yi  ; i 1, 2, 3   thuộc  A2,  các  tính  chất  sau  đây 
tương đương từng cặp: 
2 
 


i.  M1 , M 2 , M 3  thẳng hàng. 
 
ii.  M 1M 2 , M 1M 3  phụ thuộc. 



iii. 



x2  x1
y2  y1

x1
iv.  y1
1

x2
y2
1

x3  x1

 0.  
y3  y1
x3
y3  0.  
1

Tổng quát hơn, với F là một bộ phận của A2, ta nói rằng các điểm  của F là thẳng 
hàng khi và chỉ khi tồn tại một đường thẳng aphin  d  sao cho F  d .   
Một bộ ba, kí hiệu là  ABC  gồm ba điểm của A2 gọi là tam giác (trong A2). Khi đó, 
ba điểm  A, B, C  được giả thiết là không thẳng hàng và được gọi là các đỉnh của tam 
giác  ABC . Một bộ bốn, kí hiệu  ABCD  gồm bốn điểm thuộc A2 gọi là tứ giác (trong 
A2). Khi đó, bốn điểm  A, B, C, D  được giả thiết là bộ ba điểm bất kì đều không thẳng 
hàng. 
1.3.4. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong A2




Hai dường thẳng  d d  và  d  d   gọi là cùng phương nếu  k  0 : d  kd .    

 

 

 
•  d  và  d   song song với nhau (kí hiệu là  d // d  ) khi và chỉ khi chúng cùng phương 
và không có điểm chung. 
•  d  và  d   cắt nhau nếu chúng không cùng phương và có điểm chung. 
•  d  và  d   trùng nhau nếu chúng cùng phương và có điểm chung. 
Nhận xét:  d // d   d  d    ,   

                 d  cắt  d   d  d   I ,   
                 d  d    I  J  sao cho  I , J  d , d .
• Ba  đường  thẳng  d , d , d    gọi  là  đồng quy  khi  và  chỉ  khi  tồn  tại  K   sao  cho 
d  d   d   K .   

1.3.5. Phương trình đường thẳng aphin
Trong  mặt  phẳng  aphin  cho  đường  thẳng  d     đi  qua  A0   có  phương  là  V1.  Gọi 


E0 , ei 1,2 là một  mục tiêu aphin của A2 và  a  là cơ sở của V1. 



Giả sử  M  x1 , x2  , A0  x01 , x02  /  E0 , ei 1,2  và  a   a1 , a2  / ei 1,2 .   
 
Khi đó                      M  A2   A0 M  ta  
 x  x  ta1
                                      1 01
  
 x2  x02  ta2

3 
 


 x  x01  ta1
                                      1
   (1)
 x2  x02  ta2

                  hay           

x1  x01 x2  x02
   (2) 

a1
a2
2

2

                     a2 x1  a1 x2  a3  0, a1  a2  0   (3). 
Hệ  phương  trình  (1)  được  gọi  là  phương trình tham biến  của  đường  thẳng  aphin, 
phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng và phương trình 
(3) được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng. 
 
                                       
1.4. Tỷ số đơn của ba điểm thẳng hàng

1.4.1. Định nghĩa
     Trong mặt phẳng aphin cho ba điểm  A, B, C  phân biệt và thẳng hàng. Khi đó, hai 




vectơ  CA  và  CB  phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại một số  k sao cho  CA  kCB.  Số  k  
được gọi là tỷ số đơn của ba điểm thẳng hàng  A, B, C  theo thứ tự đó và được kí hiệu: 

 ABC   k.  



Như vậy   ABC   k    CA  kCB.  
Nếu ba  điểm  A, B, C   có  hai  điểm trùng nhau thì  theo  định  nghĩa  tỷ  số  đơn bằng 
quy ước, ta có:   ABA  0;  AAC   1;  ABB   .
Chú ý:  C  là trung điểm của đoạn thẳng  AB  khi và chỉ khi   ABC   1 . Nếu thay 
đổi thứ tự các điểm trong cách viết tỷ số đơn thì giá trị tỷ số đơn đó thay đổi như sau: 

 ABC  BAC   1;   ABC   1   ACB   

CAB   1
. 
 CAB 

1.4.2. Một số định lí quan trọng
Định lí Thales: Cho hai đường thẳng  d  và  d   khác nhau; ba điểm  A, B, C  phân 
biệt thuộc vào đường thẳng  d  và ba điểm  A, B, C   phân biệt thuộc đường thẳng  d   
sao cho  AA, BB  song song. Khi đó: 
AA, CC  song song    CBA   CBA  .

Chứng minh
d
d


Ta có  AC   k1 AB  và                                                               
A
A


  AC  k2 AB    k1 , k2  ; k1 , k2  0  .  

B
B
     
C
C
 
 
 

4 
 


   Mặt khác, vì:  

  
BB  BA  AB
  
 AA  AB  AB  
   
 AB  AB  BB  AA.
 

     Vì  AA // BB   nên      sao cho  AB  AB   AA.  
   
 


     Khi đó, ta có:  CC  CA  AA  AC  k2 AB  AA  k1 AB   AA   



                                                                    k1  k2  AB  1   k1  AA.  





     Vì  AB  ∦ AA, ta suy ra:  AA // CC     k1  k2  0   
       

 

 

 

        k1  k2   

 

                                 

  CBA   CBA (đpcm). 

 
Hệ quả
Cho  d  và  d   là  hai đường thẳng  phân  biệt  cắt  nhau  tại điểm  C   và  cho  hai  điểm 
A, B  thuộc  d ;  hai điểm  A, B  thuộc  d   đều khác  C.  Ta có:   
AA, BB   song song    BAC    BAC  .  

 
 
 
 

d

d

C
A

A'
B'

B

Định lí Menelaus:  Trong  mặt  phẳng  aphin  cho  tam  giác  ABC   và  ba  điểm 
A, B, C  thuộc các đường thẳng  BC, CA, AB  nhưng không trùng với  A, B, C.   Khi 
đó:  

A, B, C  thẳng hàng    ABC BCA CAB  1.  
 
 

A

C

 

 
 
 

B
B

C

A

Định lí Ceva:  Trong  mặt  phẳng  aphin cho  tam  giác  ABC   và  ba  điểm  A, B, C  
thuộc các đường thẳng  BC, CA, AB  nhưng không trùng với  A, B, C.  Khi đó: 

AA, BB, CC  đồng quy    ABC BCA CAB  1.  
5 
 


A

 

C

A

B

C

O

B

1.5. Phép biến đổi aphin
1.5.1. Định nghĩa
Ánh  xạ  f : A2  A2   gọi  là  phép biến đổi aphin  hay  phép aphin  nếu  có  thể  tìm 
được  một phép biến  đổi tuyến tính   : V2  V2  sao cho với  mọi  M , N  A2   ta luôn 









có:   MN  f  M  f  N .   
Khi đó    được gọi là phép biến đổi nền của  f  hay     là phép biến đổi tuyến tính 

liên kết với phép aphin  f .  Ta kí hiệu    f .   
1.5.2. Sự xác định
Cho phép biến  đổi tuyến tính   : V2  V2   và hai  điểm  P, P  A 2 thì duy nhất  có 



một phép aphin  f : A2  A2  mà  f  P   P  và    f .  
1.5.3. Các tính chất của phép aphin
i. Phép aphin biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn tỷ số 

đơn của ba điểm đó. 
ii. Phép aphin biến hai đường thẳng cắt nhau thành hai đường thẳng cắt nhau, biến 
hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song. 
iii. Phép aphin biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng, biến tia thành tia. 
1.5.4. Phương trình của phép aphin
Trong mặt phẳng aphin cho phép aphin  f : A2  A2  và   E0 , Ei 1, 2 là một mục tiêu 
 
aphin của nó. 
 Giả sử  X  A 2  và  X  x1 , x2  , f  X  x1, x2  / E0 , Ei 1, 2 .  
Gọi  A  là ma trận chuyển từ mục tiêu   E0 , Ei 1, 2 sang mục tiêu   f  E0  , f  Ei 1,2   
và  f  E0  a1, a2  /  E0 , Ei 1, 2 .   
Khi đó ta có:  f  X  x1 , x2  /  f  E0  , f  Ei 1,2 .    

f X

X

 x
E0 , Ei i 1,2

 x

 x
A

 f  E  , f  E 
0

6 
 

i

i 1,2

  


     Theo công thức đổi mục tiêu từ   E0 , Ei i 1, 2  sang   f  E0  , f  Ei 1,2  đối với điểm 

f  X   ta có:    x  A  x    a    , với  A  là ma trận vuông cấp hai không suy biến. 
Khi đó     được gọi là phương trình của phép aphin đối với mục tiêu   E0 , Ei 1, 2 .  
1.6. Đường bậc hai trong mặt phẳng aphin
1.6.1. Định nghĩa
Trong  mặt  phẳng  aphin với  mục  tiêu   E0 , Ei 1, 2  siêu  mặt  bậc  hai  còn được  gọi  là 
đường bậc hai và có phương trình là: 

f  x1 , x2   a11 x12  a22 x2 2  2a12 x1 x2  2a1 x1  2a2 x2  a0  0  (1)
trong đó  a ij , a i , a 0   , a12  a 21 , a ij  không đồng thời bằng 0. 
Phương trình (1) có thể viết dưới dạng ma trận là: 




f  x   x A x  2 a  x  a  0   (2) 
x 
a 
với   x    1  ;  a    1  ; A  A   aij   và  rankA  1.   
 x2 
 a2 

1.6.2. Tâm của đường bậc hai
Định nghĩa 1: Tâm của đường bậc hai là một điểm sao cho nếu lấy nó làm gốc mục 


tiêu thì phương trình của đường bậc hai sẽ có dạng   x A x  a  0.  
Nhận xét:
Toạ độ tâm (nếu có) là nghiệm của phương trình  A x   a  0.   
Một  điểm  O  là tâm của đường bậc hai nếu  O  là trung điểm của mọi dây cung đi 
qua nó. 
Định nghĩa 2: Mọi dây cung đi qua tâm gọi là đường kính. 
1.6.3. Phương tiệm cận, đường tiệm cận


Vectơ  c   c1 , c2   0   được  gọi  là  phương tiệm cận  của  đường  bậc  hai 






 x A x  2 a  x  a  0  nếu  c Ac  0.  
Đối  với  một  đường  bậc  hai  có  tâm,  một  đường  thẳng  đi  qua  tâm  có  phương  là 
phương tiệm cận được gọi là đường thẳng tiệm cận. 
Nhận xét:  Đường  thẳng  có  phương là phương  tiệm cận  của  đường  bậc  hai nếu  có 
giao điểm với đường bậc hai thì có duy nhất một giao điểm. 
1.6.4. Đường thẳng kính liên hợp với một phương
 
Định nghĩa 1:  Cho  vectơ  a  0   mà  không  phải  là  phương  tiệm  cận  và  hai  điểm 

M1 , M 2  thay đổi thuộc đường bậc hai   S   sao cho đường thẳng  M 1M 2  có  phương  a.  

Khi đó tập hợp trung điểm các đoạn thẳng  M 1M 2  nằm trên một đường thẳng (đi qua 
tâm  nếu  có)  của   S  .  Đường  thẳng  đó  là  đường thẳng kính của  S    liên hợp với


phương a. Ngược lại phương  a  được gọi là phương liên hợp với đường thẳng đó. 
7 
 


Định nghĩa 2:  Hai  đường  kính  mà  trung  điểm  của  mọi  dây  cung  song  song  với 
đường  kính  này  thuộc  đường  kính  kia  thì  hai  đường  kính  đó  dược  gọi  là  hai đường
kính liên hợp. 
1.6.5. Giao của đường bậc hai và một đường thẳng

Giả sử ta có một đường thẳng đi qua điểm  B  b1 , b2   và có phương là  d   d1 , d 2  .  
Từ định nghĩa phương tiệm cận, ta có các nhận xét về số giao điểm của đường thẳng 
này với đường bậc hai có phương trình (2) như sau: 


    d  A d   0   tức  là  phương  của  đường  thẳng  không  là  phương  tiệm  cận  của 
đường bậc hai nên đường thẳng sẽ cắt đường bậc hai tại hai điểm phân biệt hoặc một 
điểm kép. 


    d  A d   0   thì  phương  của  đường  thẳng  là  phương  tiệm  cận  của  đường  bậc 
hai. Khi đó, ta xét: 




                                      P  b A d    a  d  ,  

Q f





b  b Ab  2 a  b  a.  

• Nếu  P  0  đường thẳng cắt đường bậc hai tại một điểm duy nhất. 
• Nếu  P  0, Q  0  đường thẳng không cắt đường bậc hai. 
• Nếu  P  0, Q  0  đường thẳng nằm trên đường bậc hai. 
1.6.6. Dạng chuẩn tắc của đường bậc hai
Dựa  vào phương  trình  chuẩn  tắc, ta có  các  loại  đường  bậc  hai sau đây  và tên  gọi 
tương ứng: 
2
2
1) x1  x2  1   

 

: đường elip. 

2
2
2)  x1  x2  1              

: đường hypebol. 

2
2
3)  x1  x2  1             

: đường elip ảo. 

2
2
4) x1  x2  0               

: cặp đường thẳng ảo cắt nhau. 

2
2
5)  x1  x2  0             

: cặp đường thẳng cắt nhau. 

2
6) x1  2x2                    

: đường parabol. 

2
7) x1  1                        

: cặp đường thẳng song song. 

2
8)  x1  1                     

: cặp đường thẳng ảo song song. 

2
9) x1  0                       

: cặp đường thẳng trùng nhau. 

1.7. Nhóm aphin và hình học aphin
1.7.1. Nhóm aphin
Ta  xét  tập n  gồm  các  phép  biến  hình  aphin  của  mặt  phẳng  An.  Khi  đó 
thành một nhóm đối với phép lấy tích hai phép aphin, vì: 
i. Tích của hai phép aphin là một phép aphin. 
8 
 

n  làm 


ii. Phép đảo ngược của một phép aphin cũng là một phép aphin. 
iii. Phép đồng nhất idA là phép aphin. 
Ví dụ: Tập  hợp  các  phép  tịnh  tiến  của  A2  làm  thành  một  nhóm,  còn  tập  hợp  các 
phép vị tự không lập thành một nhóm vì tích hai phép vị tự có thể không phải là một 
phép vị tự. 
1.7.2. Tương đương aphin
Hình H gọi là tương đương aphin với hình H’ nếu có một phép aphin  f biến hình 
H thành hình H’, tức là  f (H)  H’. Kí hiệu: H ~ H’. 
Từ định nghĩa, suy ra các tính chất của quan hệ tương đương aphin: 
• Mỗi hình H đều tương đương aphin với chính nó: H ~ H (suy ra từ tính chất iii). 
• Nếu H ~ H’ thì H’ ~ H (suy ra từ ii). Vậy nếu H’ ~ H thì ta có thể nói hai hình H 

và H’ là tương đương aphin với nhau. 
• Nếu H~H’ và H’ ~ H” thì H ~ H” (suy ra từ i).  
Ví dụ 1: Hai tam giác bất kỳ tương đương aphin với nhau (hiển nhiên). 
Ví dụ 2:  Hai  hình  bình  hành  bất  kỳ  tương  đương  aphin  với  nhau  (do  phép  aphin 
biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song). 
Ví dụ 3: Hai elip bất kỳ tương đương aphin với nhau. 
Chứng minh
Thật vậy, trong mặt phẳng aphin giả sử ta cho hai elip   E1   và   E2  .   

Chọn mục tiêu aphin   E0 , ei 1,2 sao cho phương trình chính tắc của   E1   có dạng là: 
 
x 2  y 2  1.  

Tương  tự  ta  chọn  mục  tiêu  aphin  E0 , ei1,2 sao  cho  phương  trình  chính  tắc  của 
 
 E2   có dạng là: 
x2  y 2  1.  


Gọi  f  là phép aphin biến mục tiêu   E0 , ei 1, 2 thành mục tiêu   E0 , ei1, 2 .  
 



Với  M  f  M  .  Nếu  M  x, y  /  E0 , ei 1,2  và  M   x, y  /  E0 , ei1,2  ta suy ra:  

 x  x
 

 y  y


Vậy  nếu  M   E1  : x 2  y 2  1   thì  f  M   M   x, y  /  E0 , ei1,2   thoả  mãn 
x2  y 2  1.   

Suy ra  M    E2  .  
Do đó  f

  E     E .   
1

2

Vậy   E1   và   E2   tương đương aphin với nhau. 
Tương  tự  ta  có:  Hai  hyperbol  bất  kỳ  (hoặc  hai  parabol  bất  kỳ)  đều  tương  đương 
aphin. 
9 
 


1.7.3. Bất biến aphin
Định nghĩa 1: Một tính chất nào đó của hình H gọi là tính chất aphin nếu mỗi hình 
 
H’ tương đương aphin với hình H đều có tính chất đó. Nói cách khác, tính chất aphin 
của một hình được bảo toàn qua một phép aphin bất kỳ. 
Một số tính chất aphin:
- Tính chất thẳng hàng của ba điểm, tính chất song song, đồng quy của các đường 
thẳng là các tính chất aphin. 
- Tính chất “là đường bậc hai có tâm”, “là đường thẳng tiếp xúc với đường bậc hai” 
là những tính chất aphin.

Định nghĩa 2: Một khái niệm được gọi là khái niệm aphin nếu nó không bị thay đổi 
qua bất kì phép aphin nào. 
Ví dụ: Các  khái  niệm  aphin:  điểm,  đường  thẳng,  tia,  đoạn  thẳng,  nửa  mặt  phẳng, 
tam giác, tứ giác, tỷ số đơn của ba điểm thẳng hàng, đường bậc hai,... 
Định nghĩa 3: Các tính chất aphin và các khái niệm aphin được gọi chung là những 
bất biến aphin của mặt phẳng. 
1.7.4. Hình học aphin trên mặt phẳng
Hình học aphin của mặt phẳng aphin là môn học nghiên cứu các bất biến aphin của 
mặt phẳng aphin, ta còn nói: “Tập hợp tất cả bất biến aphin của mặt phẳng A2 được gọi 
là  hình học aphin  của  mặt  phẳng  aphin”.  Như  vậy,  hình  học  aphin  chỉ  nghiên  cứu 
những khái niệm aphin và những tính chất aphin, tức là hình học aphin không nghiên 
cứu các khái niệm và tính chất không phải là các khái niệm aphin và tính chất aphin. 
Ví dụ: Định lí “Ba đường trung tuyến trong mọi tam giác đồng quy” là một định lí 
của hình học aphin, còn định lí “Ba đường cao trong mọi tam giác đồng quy” không 
phải là định lí của hình học aphin vì khái niệm đường cao không phải là một khái niệm 
aphin. 
2. Mặt phẳng xạ ảnh
2.1. Định nghĩa
Cho V3 là không gian vectơ trên trường K. Khi đó ta kí hiệu  V3  là tập hợp tất cả các 
không gian con một chiều của V3. Cho một tập hợp X  , nếu tồn tại một song ánh: 
p : V3  X

thì bộ ba (X,  p , V3) sẽ được gọi là một mặt phẳng xạ ảnh. 
Không gian vectơ V3 được gọi là không gian vectơ sinh ra mặt phẳng xạ ảnh đó. Ta 
thường kí hiệu mặt phẳng xạ ảnh là P2.
Hiển nhiên  V3  là một mặt phẳng xạ ảnh. 
2.2. Tọa độ xạ ảnh
2.2.1. Vectơ đại diện của điểm xạ ảnh
Các  phần  tử  của  mặt  phẳng  xạ  ảnh  gọi  là  điểm.  Các  điểm  của  P2  được  kí  hiệu  là 
A, B, C, M , N , ...   

10 
 


 Qua song ánh p : V3  X , mỗi điểm  A  của nó có một không gian vectơ con V1 của 
 
V3 mà  p (V1)  A.  Khi đó vectơ  a  0  bất kì của không gian vectơ con V1 được gọi là 
vectơ đại diện của điểm  A.  
 dd
Kí hiệu:  a   ⟷   A.   


Hệ  r điểm  M i 1, r  độc lập trong P2 nếu hệ vectơ   ai 1, r  (trong đó  a i  đại diện cho 

M i  với  i  1, r  ) là hệ độc lập tuyến tính. 
Nhận xét: Hai điểm độc lập là hai điểm phân biệt, ba điểm độc lập là ba điểm không 
thẳng hàng. 
2.2.2. Mục tiêu xạ ảnh
Cho  mặt  phẳng  xạ  ảnh,  một  tập  hợp  gồm  bốn  điểm  có  thứ  tự   Ai , E1,3   trong  đó 
không có ba điểm nào thẳng hàng, được gọi là mục tiêu xạ ảnh của mặt phẳng xạ ảnh. 
Các điểm  Ai , i  1, 3  được gọi là đỉnh mục tiêu, điểm  E  gọi là điểm đơn vị. Rõ ràng 
có vô số mục tiêu xạ ảnh. 
Khi đó tập hợp các điểm   Ai , E1,3  của P2 sẽ được gọi là mục tiêu xạ ảnh ứng với cơ


sở ei 1,3  của V3 khi và chỉ khi các vectơ  ei  theo thứ tự đại diện cho các đỉnh  Ai  và 
3


vectơ  e   ei  đại diện cho điểm đơn vị  E.  

i 1

2.2.3. Tọa độ điểm

Cho mục tiêu xạ ảnh   Ai , E1,3  ứng với cơ sở  ei 1,3 .  Khi đó mỗi điểm  A  thuộc P2 
 


có  vectơ  đại  diện  là  a  0   của  V3.  Nếu  đối  với  cơ  sở  ei 1,3   vectơ  a   có  tọa  độ  là 

 a1, a2 , a3   thì ta nói rằng điểm  A  có tọa độ xạ ảnh là   a1, a2 , a3   đối với mục tiêu 
 Ai , E1,3 . Kí hiệu:  A  a1 , a2 , a3  /  Ai , E1,3 .  
Hiển nhiên nếu   a1 , a2 , a3   là tọa độ của điểm  A  thì   ka1 , ka2 , ka3   với  k  0  cũng 
là tọa độ của  A.  
2.2.4. Toạ độ xạ ảnh không thuần nhất
Trong mặt phẳng xạ ảnh với mục tiêu xạ ảnh   Ai , E1,3  cho trước, cho một điểm  X  
có  toạ  độ  xạ  ảnh  là   x1, x2 , x3    trong  đó  x3  0   thì  khi  đó  bộ  số  thực  có  thứ  tự 

 X1, X 2   trong đó  X i 

xi
; i  1, 2  được gọi là toạ độ xạ ảnh không thuần nhất của 
x3

điểm  X  đối với mục tiêu xạ ảnh đã cho. 
2.3. Đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh
2.3.1. Định nghĩa

11 
 

     Xét mặt phẳng xạ ảnh được sinh bởi không gian vectơ sinh V3 và song ánh  p . Nếu 
V2 là một  không  gian  con hai chiều  của  V3  thì p  V2    được gọi  là  một  đường thẳng 
của P2.  
2.3.2. Phương trình đường thẳng
Cho đường thẳng đi qua hai điểm  A a1 , a2 , a3  ; B  b1 , b2 , b3   thì phương trình tham
biến của đường thẳng là:   X   k  A  l  B  trong đó  k  và  l  không thời bằng  0.  

 a a3 a3 a1 a1 a2 
Khi đó đường thẳng  AB  có tọa độ là:  AB  2
,
,
  nên phương
 b2 b3 b3 b1 b1 b2 
trình tổng quát có dạng: 
a2 a3
a a
a a2
x1  3 1 x2  1
x  0.  
b2 b3
b3 b1
b1 b2 3
Chú ý:
Trong P2 cho hai đường thẳng  u, v  phân biệt có tọa độ  u u1 , u2 , u3  ; v v1 , v2 , v3 .
Khi đó, giao điểm  u  v  có tọa độ là:

u
u v   2

 v2

u3 u3
,
v3 v3

u1 u1 u2 
,
.  
v1 v1 v2 

Điều kiện để 3 điểm  A a1 , a2 , a3  ; B  b1 , b2 , b3  ; C  c1 , c2 , c3   thẳng hàng là: 
a1
b1
c1

a2
b2
c2

a3
b3  0.  
c3

Điều kiện để 3 đường thẳng  u u1 , u2 , u3 ; v  v1 , v2 , v3  ; w  w1 , w 2 , w 3   đồng quy là: 
u1
  v1
w1

u2

v2
w2

u3
v3  0.  
w3

2.3.3. Tính chất của đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh
Từ các định lí của không gian vectơ, ta có ngay các kết quả sau của mặt phẳng xạ 
ảnh: 
i. Qua hai điểm phân biệt  A, B  có một và chỉ một đường thẳng, kí hiệu là  AB.  
 
Thật vậy, hai vectơ độc lập tuyến tính  a , b  đại diện cho hai điểm phân biệt  A, B  
 
xác định một và chỉ một không gian vectơ con V2 (cặp vectơ  a , b  chính là một cơ 

 

sở của không gian V2 đó).  
Khi đó u  p  V2  là đường thẳng duy nhất đi qua  A  và  B .  
ii. Trên mỗi đường thẳng có vô số điểm. 

Do trong mọi V2 có vô số vectơ khác  0  đôi một độc lập tuyến tính.
12 
 


 
Nếu  a , b  là một cơ sở của V2 thì các điểm  M của đường thẳng v  ( 2) có đại 

 







diện các vectơ  x   a   b  với   ,     0, 0  .
iii. Hai đường thẳng phân biệt luôn có một và chỉ một điểm chung (khi đó, ta nói 
chúng cắt nhau tại điểm chung đó). 
Bởi vì hai không gian vectơ con phân biệt U2 và V2 của không gian vectơ V3 luôn 
có giao là một không gian vectơ con một chiều. 
2.4. Tỷ số kép
2.4.1. Tỷ số kép của bốn điểm thẳng hàng
Trong  mặt  phẳng  xạ  ảnh  cho  4  điểm  thẳng  hàng  A, B, C , D   trong  đó  A  B,  

B  C , C  D.  Giả sử đối với mục tiêu xạ ảnh đã chọn của P2, phương trình  AB  có 
dạng:   X     A    B.   
Khi  đó  ta  có:  C   1  A  1  B ;   D  2  A  2  B   và  tỷ số kép của 4 điểm
thẳng hàng A, B, C , D  được xác định bởi:   ABCD  

1 2
: . 
1 2

Quy ước:   AACD   1;  ABAD    ABCB   0;  ABBD    ABCA  .
Nếu   ABCD   1  thì ta nói rằng các điểm  C, D  chia điều hòa các điểm  A, B.  Khi 
đó vì   CDAB   1 nên ta nói các điểm  A, B  cũng chia điều hòa các điểm  C, D.   Ta 
nói  rằng  các  điểm  A, B   và  C, D liên hiệp điều hòa  với  nhau  hay  A, B, C, D   làm 

thành một hàng điểm điều hòa. 
2.4.2. Tỷ số kép của bốn đường thẳng
Trong  mặt  phẳng  xạ  ảnh  với  một  mục  tiêu  xạ  ảnh  cho  trước,  cho  4  đường  thẳng 
p, q, r , s  đồng quy. 
Khi đó ta có:   r   1  p  1  q ,   
                        s   2  p  2  q.  
Tỷ số kép của 4 đường thẳng  p, q, r , s  được xác định bởi   p, q, r , s  

1 2
: .   
1 2

Chú ý: Tỷ số kép của bốn đường thẳng cũng có mọi tính chất và qui ước giống như 
tỷ số kép của bốn điểm thẳng hàng. 
2.4.3. Định lí
Trong mặt phẳng xạ ảnh cho bốn đường thẳng  p, q, r , s  đồng quy tại điểm  O.  Một 
đường thẳng  l  không đi qua  O  và cắt  p, q, r , s  lần lượt tại 4 điểm  A, B, C , D.  Khi 
đó:   p, q, r, s    ABCD  .   
2.5. Hình bốn cạnh toàn phần
2.5.1. Định nghĩa
13 
 


Trong mặt phẳng xạ ảnh hình tạo bởi 4 đường thẳng trong đó không có 3 đường nào 
đồng  qui  gọi  là  một  hình bốn cạnh toàn phần.  Mỗi  đường  thẳng  đó  là  một  cạnh  (4 
cạnh).  Mỗi  giao  điểm  của  hai  cạnh  là  một  đỉnh  (6  đỉnh).  Hai  đỉnh  không  thuộc  một 
cạnh gọi là hai đỉnh đối diện (3 cặp đỉnh đối diện). Mỗi đường thẳng nối hai đỉnh đối 
diện  là  một  đường chéo  (3  đường  chéo).  Mỗi  giao  điểm  của  hai  đường  chéo  là  một 
điểm chéo (3 điểm chéo). 

 
C
 
 
B
 
Q
A
 
P
 
A
C'
B
 
Trong  hình  vẽ  trên,  ta  có  một  hình  bốn  cạnh  toàn  phần  ABCABC   tạo  bởi  các 
đường thẳng  AB, AB, AB, AB.  Các đỉnh  A, B, C  đối diện với  A, B, C.   Các đường 
chéo là:  AA, BB, CC.  
2.5.2. Định lí
Trong một hình bốn cạnh toàn phần, các đỉnh đối diện nằm trên một đường chéo và 
cặp giao điểm của đường chéo đó  với hai đường chéo còn lại liên  hiệp điều hoà với 
nhau.  
2.6. Phép biến đổi xạ ảnh
2.6.1. Định nghĩa
Cho mặt phẳng xạ ảnh được sinh bởi không gian vectơ V3. Một ánh xạ  f : P2  P2  
được gọi là phép biến đổi xạ ảnh nếu có một phép biến đổi tuyến tính   : V3  V3  sao 


cho  nếu  vectơ  a   đại  diện  cho  điểm  A   thuộc  P2  thì    a    đại  diện  cho  điểm  f  A  
thuộc P2. 

Khi đó ta nói phép biến đổi tuyến tính    cảm sinh ra phép biến đổi xạ ảnh  f . Kí 



hiệu:    f .  
2.6.2. Sự xác định
Trong mặt phẳng xạ ảnh cho hai  mục tiêu xạ ảnh   Ai , E1,3  và   Ai, E 1,3 .  Khi đó 
tồn tại duy nhất một phép biến đổi xạ ảnh  f : P2  P2  sao cho  f  Ai   Ai ; i  1, 3  và

f  E   E.  
2.6.3. Các tính chất của phép biến đổi xạ ảnh
i.  Phép  biến  đổi  xạ  ảnh  biến  ba  điểm  thẳng  hàng  thành  ba  điểm  thẳng  hàng  (hay 
biến đường thẳng thành đường thẳng), biến ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm 
không thẳng hàng. 
ii. Phép biến đổi xạ ảnh bảo toàn tỷ số kép của bốn điểm thẳng hàng. 
14 
 


2.6.4. Phương trình của phép biến đổi xạ ảnh
Cho  f : P2  P2  là một phép biến đổi xạ ảnh được sinh bởi phép biến đổi tuyến tính 

 : V3  V3 .  Giả sử   Ai , E1,3 là mục tiêu xạ ảnh đã chọn của P2 và  ei 1,3  là cơ sở của 
V3 tương ứng. 
Giả sử  X  P2  và  X  x1 , x2 , x3  , f  X  x1, x2 , x3  /  Ai , E1,3 . Khi đó, phương trình
 
của phép biến đổi xạ ảnh  f  đối với mục tiêu   Ai , E1,3  được xác định bởi: 

k  x  A  x   
trong đó  A  là ma trận chuyển từ mục tiêu   Ai , E1,3  sang mục tiêu   f  Ai  , f  E 1,3 .  

Định lí Paquýt (Papus): Trong mặt phẳng xạ ảnh cho ba điểm  A, B, C  nằm trên 
đường  thẳng  d   và  ba  điểm  A, B, C   nằm  trên  đường  thẳng  d .   Khi  đó  ba  điểm 

AB  AB, AC  AC , BC  BC  nằm trên một đường thẳng.  
 
 
 
 
 
 
 

d

C
B
A

d

A

C

B

Đinh lí Đờdac (Desargues):  Trong  mặt  phẳng  xạ  ảnh,  cho hai  tam  giác  ABC   và 
ABC .   Khi  đó  các  đường  thẳng  AA, BB, CC   đồng  quy  khi  và  chỉ  khi  các  điểm 

AB  AB, BC  BC , CA  C A  thẳng hàng. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

C
A

B'

C'

A'

B

 
2.7. Đường bậc hai trong mặt phẳng xạ ảnh
2.7.1. Định nghĩa
Trong  mặt  phẳng  xạ  ảnh  cho  mục  tiêu   Ai , E1,3 .  Đường bậc hai  là  tập  hợp  các 
điểm trong P2 có toạ độ xạ ảnh thuần nhất  1, 2 , 3   thoả mãn phương trình: 
15 
 

a11 x12  a22 x2 2  a33 x32  2a12 x1 x2  2a23 x2 x3  2a13 x1 x3  0  
trong đó  aij  a ji ; i, j  1, 3  và có ít nhất một  aij  0.  
Nếu ma trận  A  không suy biến, tức là  det A  0  thì đường bậc hai gọi là đường bậc
hai không suy biến; ngược lại nếu  det A  0  thì gọi là đường bậc hai suy biến. 
2.7.2. Sự phân loại đường bậc hai
Dựa vào phương trình chuẩn tắc, ta có sự phân loại đường bậc hai trong mặt phẳng 
như sau: 
2
2
2
1) x1  x2  x3  0        Đường trái xoan không. 
2
2
2
2) x1  x2  x3  0        Đường trái xoan hay đường conic. 
2
2
3) x1  x2  0                Cặp đường thẳng ảo liên hợp có tọa độ  i, 1, 0      

                                   và   i, 1, 0.   
2
2
4) x1  x2  0                Cặp đường thẳng  1, 0, 0   và   1, 1, 0.   
2
5) x1  0  

 

  Cặp đường thẳng trùng nhau. 

2.8. Cực và đối cực
2.8.1. Hai điểm liên hợp điều hoà đối với đường bậc hai
Định nghĩa: Cho  đường  bậc  hai   S  ;  hai  điểm  U   và  V   của  mặt  phẳng  xạ  ảnh 
được gọi là liên hợp điều hoà với nhau đối với   S   nếu đường thẳng  UV  cắt đường 
bậc  hai  tại  hai  điểm  M , N   (hai  điểm  thực  hay  hai  điểm  ảo  liên  hợp)  sao  cho 

UVMN   1  (theo  qui  ước  về  hàng  điểm  điều  hoà).  Nếu  U   S    thì  xem  U   liên 
hợp với chính nó. 
 
N
 
V
 
M
 
U
 
 
Định lí: Trong mặt phẳng xạ ảnh, cho mục tiêu   Ai , E1,3  và cho đường bậc hai có 
3

phương  trình 

a xx
ij i

j

 0.   Điều  kiện  cần  và  đủ  để  hai  điểm  U  u1 , u2 , u3    và 

i , j 1

3

V  v1, v2 , v3   phân biệt liên hợp điều hoà với nhau đối với   S   là   aij ui v j  0 . 
i , j 1

2.8.2. Điểm đối cực, đường thẳng đối cực, tiếp tuyến
Định lí 1: Cho điểm  U  không thuộc đường bậc hai   S  . Quỹ tích những điểm  V
liên hợp điều hoà với điểm  U  đối với đường bậc hai   S   là một đường thẳng. 
16 
 


Định lí 2: Cho điểm  U  thuộc đường bậc hai   S   không suy biến. Quỹ tích những 
điểm  V  liên hợp điều hoà với điểm  U  đối với đường bậc hai   S   là tiếp tuyến tại tiếp 
điểm  U  của đường bậc hai   S  .  
Định nghĩa: Cho điểm  U  không thuộc hoặc thuộc đường bậc hai   S   không suy 
biến. Quỹ tích  d  những điểm  V  của mặt phẳng xạ ảnh liên hợp điều hoà với điểm  U  
đối với đường bậc hai   S   được gọi là đường thẳng đối cực của điểm  U  và ngược lại 
điểm  U  được gọi là điểm đối cực của đường thẳng đó. 
Định lí 3: Nếu   S   là đường bậc hai không suy biến thì bất kỳ đường thẳng nào của 
P2 cũng có một điểm cực duy nhất đối với   S  .   
Nhận xét:
Nếu  u  là tiếp tuyến của đường bậc hai   S   không suy biến tại  U  thì  U  liên hợp 
với mọi điểm thuộc tiếp tuyến  u  đối với   S  .  
Muốn  tìm  đường  thẳng  đối  cực  của  điểm  U   không  thuộc   S  ,   ta  tìm  hai  điểm 

I , J  I  J    cùng  liên  hợp  với  U   đối  với   S  .   Khi  đó  đường  thẳng  IJ   là  đường 

thẳng đối cực của điểm  U  đối với   S  .  
2.8.3. Đường thẳng liên hợp với đường bậc hai không suy biến
Định nghĩa: Hai đường thẳng  u  và  v  gọi là liên hợp với nhau đối với đường bậc 
hai không suy biến   S   khi hai điểm đối cực của chúng liên hợp với nhau đối với   S  .   
Các tính chất:
i. Hai đường thẳng liên hợp với nhau đối với đường bậc hai không suy biến khi và 
chỉ khi đường thẳng này đi qua điểm đối cực của đường thẳng kia. 
ii. Đường thẳng  u  liên hợp với chính nó đối với đường bậc hai   S   khi và chỉ khi 
u  tiếp xúc với   S   tại điểm  U  là đối cực của  u.   

iii. Cho hai đường thẳng  u  và  v  phân biệt liên hợp với nhau đối với đường bậc hai 
không suy biến   S  .  Nếu qua giao  u  v  có hai đường thẳng phân biệt  p  và  q  cùng 
tiếp xúc với   S   thì   u, v, p, q   1.   
2.9. Một số định lí quan trọng trong P2
2.9.1. Ánh xạ xạ ảnh
Định nghĩa 1:
Ánh xạ  f  biến mỗi điểm của đường thẳng  m  thành một điểm của đường thẳng  m   
hoặc biến mỗi đường thẳng của chùm tâm  S  thành một đường thẳng của chùm tâm  S   
là ánh xạ xạ ảnh nếu nó bảo toàn tỷ số kép của  4 điểm thẳng hàng hoặc bảo toàn tỷ số 
kép 4 đường thẳng của chùm.
17 
 


Ánh xạ xạ ảnh  f :m  m  từ đường thẳng  m  đến đường thẳng  m  được gọi là 
liên hệ xạ ảnh giữa hai hàng điểm  m  và  m.  Ta kí hiệu sự liên hệ xạ ảnh giữa hai hàng 
điểm  m  và  m   như sau: 

 A, B, C   A, B, C  hoặc  m  m.  
A

m
m

 
 
 

A

B 
 
 

C

B

C

Tương tự ta cũng kí hiệu sự liên hệ xạ ảnh giữa hai chùm tâm  S  và  S '  như sau: 

a, b, c  a, b, c  hoặc  S  S .  
 
 
 
 
 

 

b

a

S

c

a
b

S

c

Định lí 1: Nếu cho ba điểm  A, B, C  phân biệt thuộc đường thẳng  m  và ba điểm 

A, B, C  phân biệt thuộc đường thẳng  m   thì khi đó có một liên hệ xạ ảnh duy nhất 

f : m  m  sao cho  f  A  A, f  B   B, f  C   C.  
Định nghĩa 2:
Một ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm gọi là phép phối cảnh (hay phép chiếu xuyên
tâm) nếu đường thẳng  nối các điểm tương ứng luôn luôn đi qua một điểm  O  cố định. 
Ta gọi  O  là tâm phối cảnh. 
Một ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đường thẳng gọi là phép phối cảnh nếu giao điểm 
của các cặp đường thẳng tương ứng luôn luôn nằm trên một đường thẳng  t  cố định. Ta 
gọi  t  là trục phối cảnh. 
Ta kí hiệu sự liên hệ phối cảnh giữa hai hàng điểm hoặc giữa hai chùm như sau: 

 A, B, C   A, B, C  hoặc  m  m  
a, b, c  a, b, c  hoặc  S  S  
B

A

m

B

A

 
 

C

C

 
 
 
 

S

t
O

c

a
c

m

18 
 

S

b

b

a


Định lí 2.1: Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm trở thành 
phép phối cảnh là giao điểm của hai giá tự ứng. 
Định lí 2.2:  Điều  kiện  cần  và  đủ  để  một  ánh  xạ  xạ  xạ  ảnh  giữa  hai  chùm  đường 
thẳng trở thành phép phối cảnh là đường thẳng nối hai tâm của hai chùm tự ứng. 
2.9.2. Định lí Steiner
Định lí thuận: Nếu  ánh  xạ  xạ ảnh  f :  A1   A2   giữa  hai  chùm tâm  A1   và tâm 

A2  không phải là  một phép phối cảnh thì  giao  điểm của các cặp đường thẳng tương 
ứng nằm trên một đường conic đi qua  A1 , A2  và nhận ảnh và tạo ảnh của đường thẳng 

A1 A2  làm các tiếp tuyến tại  A2 , A1.  
Định lí đảo: Nếu  A1 , A2  là hai điểm cố định của đường conic   S   và  M  là  một 

điểm  biến  thiên  trên   S    thì  ánh  xạ  f :  A1   A2   giữa  hai  chùm  sao  cho 

f :  A1M   A2 M  là một ánh xạ xạ ảnh nhưng không phải là phối cảnh mà ảnh và tạo 
ảnh của  A1 A2  là tiếp tuyến của   S   tại  A2 , A1.  
 
A1
 
 
 
 
M
 
A2
 
 
Định lí thuận đối ngẫu: Nếu  f : m1  m2  là ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm 
có giá là các đường  m1 , m2  nhưng không phải là phối cảnh thì các đường thẳng nối các 
cặp điểm tương ứng sẽ tiếp xúc với một đường conic. 
Định lí đảo đối ngẫu: Nếu  m1  và  m2  là hai tiếp tuyến khác nhau của một đường 
conic và  m  là một tiếp tuyến thay đổi của nó thì ánh xạ  f : m1  m2  sao cho giao 
điểm của  m1  và  m  biến thành giao điểm của  m2  và  m  thì  f  là  một ánh xạ xạ  ảnh 
nhưng không phải là phối cảnh. 
2.9.3. Vấn đề xác định một conic
Định lí: Cho 5 điểm  A, B, C, D, E  trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Khi 
đó luôn có một đường conic duy nhất đi qua 5 điểm đó. 
2.9.4. Định lí Pascal
Định nghĩa: Trong mặt phẳng  xạ ảnh, tập hợp 6 điểm và 6 đường thẳng sao cho 
mỗi điểm là giao của hai và chỉ hai đường thẳng, mỗi đường thẳng đi qua hai và chỉ 
hai điểm, gọi là một hình lục giác. 

19 
 


 
 
 
 
 
 

A2

A3

a1

A1

a6
A6

a5

a4

a3

a2

a3

a4
a5
a6

a1

A4

A5

A3

A1

a2

A4
A2

A5

A6

Ta có thể sắp xếp các đỉnh và các cạnh của lục giác theo một thứ tự nhất định nào 
đó bằng cách đánh số thứ tự. Thí dụ  A1 , a1; A2 , a2 ; A3 , a3 ; A4 , a4 ; A5 , a5 ; A6 , a6  ( Ai  là 
đỉnh và  ai  là cạnh) sao cho cạnh  ai  đi qua hai đỉnh  Ai  và  Ai 1  (xem đỉnh  A6 1  là  A1 ) 
và do đó cạnh  ai  và  ai 1  đi qua đỉnh  Ai 1  (xem  a61  là  a1 ). 
Khi đó các cặp đỉnh  A1  và  A4 , A2  và  A5 , A3  và  A6  gọi là các cặp đỉnh đối diện, các 

cặp cạnh  a1  và  a4 ,  a2  và  a5 ,  a3  và  a6  gọi là các cặp cạnh đối diện. 
Định lí Pascal: Điều kiện cần và đủ để một lục giác nội tiếp trong một conic là giao 
điểm  của  các  cặp  cạnh  đối  diện  nằm  trên  một  đường  thẳng  (đường  thẳng  này  gọi  là 
đường thẳng Pascal). 
 
F
 
 
A
E
 
 
D
B
C
 
 
 
Đường thẳng Pascal
 
 
 
E
 
A
 
Đường thẳng Pascal 
C
 
 

 
D
F
 
 
B
 
Các trường hợp đặc biệt của định lí Pascal:
Ta có thể xem ngũ giác, tứ giác, tam giác nội tiếp một conic là các trường hợp đặc 
biệt của lục giác khi một cặp đỉnh, hai cặp đỉnh hay ba cặp đỉnh trùng nhau. Khi đó ta 
xem cạnh của lục giác chứa cặp đỉnh trùng nhau là tiếp tuyến của conic tại điểm đó. 
Định lí Pascal vẫn đúng trong các trường hợp đặc biệt đó.  
20