vận dụng suy luận tương tự vào dạy học phương trình đường thẳng trong không gian

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN TOÁN
------

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
Đề tài:

VẬN DỤNG SUY LUẬN TƯƠNG TỰ VÀO
DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN

Giảng viên hướng dẫn:
Th.S: BÙI PHƯƠNG UYÊN

Sinh viên thực hiện:
DƯƠNG THỊ NGỌC DUNG
MSSV: 1110014
Lớp: Sư Phạm Toán K37

Cần Thơ, 2015

1


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành luận văn “ Vận dụng suy luận tương tự vào dạy học phương trình
đường thẳng trong không gian”, ngoài những cố gắng và nổ lực bản thân, tôi còn nhận
được nhiều sự giúp đỡ của các thầy cô, bạn bè và người thân.
Tôi xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô bộ môn Toán, khoa Sư phạm
và tất cả thầy cô trường ĐHCT đã cung cấp những tri thức quý giá trong thời gian tôi học

tập tại trường, làm hành trang chấp cánh cho tôi vào đời.
Xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô Bùi Phương Uyên, người đã tận tình hướng dẫn và
dìu dắt tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài này.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các quý thầy cô phổ thông đã tận tình
giảng dạy cho tôi để tôi có được những kiến thức vững chắc.
Xin kính gửi lời biết ơn sâu sắc đến Cha Mẹ đã luôn yêu thương, che chở, chăm sóc
và động viên con trong suốt những năm qua. Cám ơn tất cả những người thân và bạn bè
đã bên cạnh tôi để tôi có thêm nghị lực thực hiện tốt đề tài này.
Dù đã cố gắng nổ lực để hoàn thành tốt đề tài này nhưng chắc chắn sẽ không tránh
khỏi những thiếu sót, kính mong nhận được sự chỉ bảo của các thầy cô,những ý kiến đóng
góp của các bạn để đề tài hoàn thiện hơn.
Kính chúc sức khỏe và thành công!

Cần Thơ, ngày

tháng

năm 2015

Sinh viên thực hiện

Dương Thị Ngọc Dung

2


MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU
Lời cảm ơn…………………………………………………………………………….2
Mục lục………………………………………………………………………………..3

1. Lí do chọn đề tài……………………………………………………………………6
2. Mục đích nghiên cứu……………………………………………………………….7
3. Nhiệm vụ nghiên cứu………………………………………………………………7
4. Đối tượng nghiên cứu………………………………………………………………7
5. Phương pháp nghiên cứu…………………………………………………………..7
6. Đóng góp của luận văn…………………………………………………………….7
7. Cấu trúc của đề tài…………………………………………………………………8
PHẦN NỘI DUNG
Chương I- CƠ SỞ LÍ LUẬN………………………………………………………….9
1.1.Cơ sở tâm lý……………………………………………………………………….9
1.1.1.Cơ sở tâm lý học…………………………………………………………………9
1.1.2.Cơ sở giáo dục học………………………………………………………………9
1.2. Suy luận tương tự…………………………………………………………………9
1.2.1. Thế nào là suy luận tương tự……………………………………………………9
1.2.2. Các loại tương tự…………………………...………………………………….10
1.2.3. Các qui tắc tương tự…………………………..……………….……………….12
1.2.4.Vai trò và ý nghĩa của suy luận tương tự trong dạy học…….…….……………12
1.2.5. Dạy học với suy luận tương tự………………………………...………………17
1.3. Một số mô hình dạy học sử dụng suy luận tương tự……………...……………..17
1.3.1. Mô hình TWA…………………………………………………...…………….17
a. Các bước trong mô hình TWA…………………….. ……………………………...17
b. Tầm quan trọng của mô hình TWA đôi với Toán học……………...……………..18
c. Ưu khuyết điểm của mô hình TWA…………………………………………...…...18
d. Ví dụ minh họa………………………………………………………………..…..18
1.3.2. Mô hình FAR………………………………………………………………..…21
1.4. Kết luận chương I…………………………………………………………….….23

3

Chương II- PHÂN TÍCH NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN: SÁCH GIÁO KHOA HIỆN HÀNH
2.1. Nhắc lại về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng……….……..…………24
2.1.1. Các khái niệm.…………………………………………………….…………...24
2.1.2. Một số dạng bài tập thường gặp…….…………………………….…….……..27
2.2. Phương trình đường thẳng trong không gian ở sách giáo khoa cơ bản………….29
2.2.1. Kiến thức chuẩn bị……………………………………………………………..30
2.2.2. Các khái niệm ……………………...………………………………………….31
2.2.3. Một số dạng bài tập……………………………………………………………32
2.3. Phương trình đường thẳng trong không gian ở sách giáo khoa nâng cao….……33
2.3.1. Các khái niệm………………………………………………………………….33
2.3.2. Một số dạng bài tập thường……………………………………………………35
2.4. Mối quan hệ tương tự giữa phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và phương
trình đường thẳng trong không gian……………………………………………….……..38
2.5. So sánh giữa sách giáo khoa cơ bản và nâng cao………………………..………39
2.6. Kết luận chương II……………………………………………………..………...42
Chương III- VẬN DỤNG SUY LUẬN TƯƠNG TỰ VÀO DẠY HỌC PHƯƠNG
TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN.
3.1. Một số nguyên tắc cơ bản của việc ứng dụng phép tương tự vào dạy học...……..43
3.2. Vận dụng suy luận tương tự vào dạy học một số khái niệm liên quan đến phương
trình đường thẳng trong không gian……………………………………………..……….45
3.2.1. Dạy học khái niệm phương trình tham số của đường thẳng trong không
gian……………………………………………………………………………….………45
3.2.2. Dạy học khái niệm vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không
gian…………………..………………………………………………………………..….49
3.2.3. Dạy học khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không
gian……………………………………………………………………………………….53
3.3. Kết luận chương III………………………………………………………………55

4

Chương IV- KHẢO SÁT KHẢ NĂNG VẬN DỤNG SUY LUẬN TƯƠNG TỰ CỦA
HỌC SINH
4.1. Mục đích khảo sát………………………………………………………..……….56
4.2. Tổ chức khảo sát……………………………………………………….…………56
4.3. Nội dung khảo sát………………………………………………………...………56
4.3.1. Khảo sát khả năng vận dụng suy luận tương tự vào giải bài tập toán………….56
4.3.2. Khảo sát lấy ý kiến học sinh……..………………………………….…………59
4.4. Kết quả khảo sát………………………………………………………………….60
4.4.1. Khảo sát khả năng vận dụng suy luận tương tự vào giải bài tập toán………….60
4.4.2. Khảo sát lấy ý kiến học sinh……………………………………………………62
4.5. Kết luận chương IV………………………………………………………………63
PHẦN KẾT LUẬN……………………………………………………………...……64
TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………………65

5


PHẦN MỞ ĐẦU
1.Lí do chọn đề tài
Luật Giáo Dục 2005: “Mục tiêu giáo dục là đào tạo con người Việt Nam phát triển
toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khỏe, thẩm mỹ và nghề nghiệp, trung thành với lý
tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội; hình thành và bồi dưỡng nhân cách, phẩm
chất và năng lực của công dân, đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp xây dựng và bảo vệ Tổ
Quốc”. Còn trong luật giáo dục năm 1999: “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính
tích cực, tự giác chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học,
lòng say mê tự học và ý chí vươn lên”. Vì vậy phát triển giáo dục và đào tạo được xem là
một trong những động lực thúc đẩy sự phát triển xã hội.
Phương pháp suy luận tương tự giúp phát huy tính tích cực, năng động của học sinh,

tạo hứng thú đối với Toán học. Phương trình đường thẳng trong không gian là khái niệm
rất hữu ích đối với học sinh. Nắm vững khái niệm này sẽ giúp học sinh dễ dàng tiếp cận
các khái niệm có liên quan như: vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, góc giữa hai đường
thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau…Vận dụng suy luận tương tự và đặc
biệt là mô hình TWA vào dạy học phương trình tham số của đường thẳng sẽ mang lại
những hiệu quả nhất định. Đó là mở rộng trí tuệ, hình thành năng lực, kỹ năng tự khám
phá kiến thức mới của học sinh chứ không phải làm đầy trí tuệ của học sinh bằng cách
truyền thụ rập khuôn các tri thức đã có. Thông qua dạy học Toán bằng suy luận tương tự
có thể giúp học sinh nhận thức và hiểu sâu sắc hơn về bản chất Toán học, năng động và
sáng tạo trong việc lĩnh hội kiến thức mới.
Vận dụng suy luận tương tự vào dạy học phương trình đường thẳng trong không
gian là một áp dụng mới. Từ tình hình thực tế cho thấy vấn đề “Vận dụng suy luận tương
tự vào dạy học” là chủ đề thuộc một lĩnh vực nghiên cứu mang tính thực tiễn cao. Với
những lí do trên tôi đã chọn đề tài:” Vận dụng suy luận tương tự vào dạy học phương
trình đường thẳng trong không gian”.

6


2.Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lí luận về suy luận tương tự. Thông qua đó đưa ra một số biện
pháp để áp dụng suy luận tương tự vào dạy học phương trình đường thẳng trong không
gian.
3.Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu cơ sở lí thuyết của phép suy luận tương tự, ứng dụng của suy luận tương
tự, một số mô hình dạy học dùng suy luận tương tự phổ biến như: mô hình TWA, mô hình
FAR...
- Vận dụng suy luận tương tự vào dạy học phương trình đường thẳng trong không
gian.
- Khảo sát khả năng vận dụng suy luận tương tự của học sinh trong học tập và một

số sai lầm mà học sinh thường mắc phải.
4. Đối tượng nghiên cứu
Hoạt động dạy và học bằng suy luận tương tự của giáo viên và học sinh ở trường
phổ thông.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu, phân tích và tổng hợp các tài liệu về
giáo dục học, tâm lý học, các sách giáo khoa, sách bài tập, các báo chí, sách báo, tài liệu
nhằm rèn luyện tư duy tạo tính sáng tạo Toán học cho học sinh phổ thông.
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: phương pháp quan sát, khảo sát…
Bước đầu tìm hiểu tình hình dạy học và rút ra một số nhận xét về việc “ Vận dụng
suy luận tương tự và mô hình TWA vào dạy học phương trình đường thẳng trong không
gian”.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm
6. Đóng góp của luận văn
Về lý luận:
- Tổng hợp cơ sở lý thuyết về suy luận tương tự.
- Góp phần làm sáng tỏ nội dung “vận dụng suy luận tương tự và mô hình TWA vào
dạy học phương trình đường thẳng trong không gian”.
Về thực tiễn:

7


- Vận dụng suy luận tương tự vào thực tiễn dạy học phương trình đường thẳng trong
không gian cho học sinh.
7. Cấu trúc của luận văn
- Phần mở đầu
- Phần nội dung: gồm
+ Chương I: Cơ sở lí luận của suy luận tương tự, mô hình TWA, mô hình FAR.
+ Chương II: Phân tích nội dung “phương trình đường thẳng trong không gian” ở

sách giáo khoa.
+ Chương III: Vận dụng suy luận tương tự vào dạy học phương trình đường thẳng
trong không gian
+ Chương IV: Khảo sát và phân tích kết quả
- Phần kết luận
- Tài liệu tham khảo

8


PHẦN NỘI DUNG

CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1.

Cơ sở tâm lý

1.1.1. Cơ sở tâm lý học
Theo các nhà khoa học, con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi đứng trước vấn đề
cần giải quyết. Khi gặp vấn đề mới, con người sẽ bắt đầu tư duy liên hệ với những vấn đề
đã biết để tìm cách giải quyết tương tự. Bên cạnh đó con người vốn luôn tò mò, thích
nghiên cứu tư duy sáng tạo, từ một vấn đề được nêu ra trước sau đó sẽ giải quyết được
vấn đề tương tự.
1.1.2. Cơ sở giáo dục học
Suy luận tương tự phù hợp với nguyên tắc tự giác và tích cực của người học. Nó
khơi gợi tạo hứng thú cho học sinh trong quá trình học tập kiến thức mới. Suy luận tương
tự có tác dụng tích cực đến học sinh, giúp học sinh rèn luyện cách tiếp cận kiến thức mới.
Đồng thời suy luận tương tự còn giúp cho người học bồi dưỡng được những đức tính cần
thiết cho lao động sáng tạo như tính chủ động, tích cực, khả năng giải quyết vấn đề…
1.2. Suy luận tương tự

1.2.1. Thế nào là suy luận tương tự
- Theo [11], danh từ tương tự có nguồn gốc từ một từ trong Toán học của Hy Lạp.
Từ này có nghĩa là sự bằng nhau của hai tỉ số. Ví dụ 3:4::9:12, tức là hệ hai số 3 và 4
tương tự với hệ hai số 9 và 12.
- Suy luận tương tự là suy luận căn cứ vào một số thuộc tính giống nhau của hai đối
tượng để rút ra kết luận về những thuộc tính giống nhau khác của hai đối tượng đó[9].
Sơ đồ: Hai đối tượng A và B có các thuộc tính chung ( giống nhau) là a,b,c,d,e
Đối tượng A có thuộc tính f
Nên có thể: B cũng có thuộc tính f.
- Theo Oxford English Dictionnary (1989), tương tự có tiếng Latinh là “Analogia”
và tiếng Pháp là “Analogie” bắt nguồn từ từ “Analogos” của toán học Hy Lạp thể hiện sự
giống nhau của hai tỉ số.

9


- Polia cho rằng: “Tương tự là một loại giống nhau. Những vật giống nhau phù hợp
với nhau theo một quan hệ nào đó trong khi các vật tương tự phù hợp với nhau theo
những quan hệ giữa các phần tử tương ứng”[12, tr. 179].
- Theo Bách khoa toàn thư Việt Nam thì định nghĩa“phép tương tự phương pháp
luận xác định sự giống nhau trong một số mặt, tính chất và quan hệ giữa những đối tượng
không đồng nhất với nhau. Trong các giai đoạn ban đầu của khoa học, phép tương tự
thay cho sự quan sát có hệ thống và thực nghiệm; những kết luận (suy lí) của nó là căn cứ
vào những sự tương tự bên ngoài và thứ yếu.Triết học tự nhiên cổ đại là triết học giải
thích đã xuất hiện như thế. Trong sự phát triển về sau, phép tương tự được sử dụng cùng
với những hình thức nhận thức khác. Trong khoa học hiện đại, phép tương tự được sử
dụng nhiều nhất trong việc lập mô hình.”
- Theo [9, tr. 265], tương tự là một dạng suy luận gián tiếp, một phương pháp nhận
thức trong đó kết luận về sự giống nhau của các dấu hiệu khác nhau của đối tượng.
- Hay suy luận tương tự là một loại suy luận đi từ một số thuộc tính giống nhau của

hai đối tượng để rút ra kết luận về những thuộc tính giống nhau, khác nhau của hai đối
tượng đó [13, tr 150 - 151].
Kết luận: Suy luận tương tự là một hình thức tư duy giúp học sinh nhạy bén hơn, học tập
một cách tích cực và sáng tạo hơn. Suy luận tương tự là khái niệm được nhiều tác giả định
nghĩa theo nhiều cách khác nhau. Dù hiểu theo nghĩa nào thì chúng ta vẫn thấy được tầm
quan trọng của suy luận tương tự trong dạy và học ở trường phổ thông. Vì vậy, người giáo
viên nên sử dụng suy luận tương tự, gợi mở vấn đề giới thiệu kiến thức nguồn, để từ đó
học sinh có thể tư duy tìm ra kiến thức đích bằng suy luận tương tự.
1.2.2. Các loại tương tự
Theo [13, tr 151-152] , suy luận tương tự có nhiều loại, căn cứ vào các đặc điểm
của kết luận người ta chia thành tương tự theo thuộc tính và tương tự theo quan hệ, hoặc
tương tự chặt chẽ và tương tự không chặt chẽ.
a. Tương tự theo thuộc tính
Đây là phép tương tự theo thuộc tính vì dựa vào thuộc tính và kết luận là một thuộc
tính. Kết luận theo thuộc tính rất dễ sử dụng và không đòi hỏi phải nghiên cứu sâu vào đối
tượng. Vì vậy tương tự theo thuộc tính được áp dụng khá phổ biến, nhưng do không

10


nghiên cứu sâu vào đối tượng nên kết luận thường mang tính chắc chắn không cao, đòi
hỏi người nghiên cứu phải kiểm chứng hoặc chứng minh kết luận.
b. Tương tự theo quan hệ
Phép suy luận tương tự theo quan hệ là phép tương tự mà kết luận dựa trên mối
quan hệ của các đối tượng đang nghiên cứu. Nó sẽ đưa ra kết luận từ những đặc điểm
giống nhau giữa các đối tượng, từ đó phân tích mối quan hệ giữa các đối tượng này. Vì
vậy phép tương tự theo quan hệ đưa ra kết luận có độ chắc chắn hơn so với tương tự theo
thuộc tính.
c. Tương tự chặt chẽ
Đây là loại tương tự dựa trên tính tất yếu của các dấu hiệu tương tự nhau. Lược đồ

logic có dạng:
A có dấu hiệu a, b, c, d, e
B có các dấu hiệu a, b, c, d
Nếu đã xóa dấu hiệu a, b, c, d thì tất yếu có dấu hiệu e.
Vậy B nhất định có dấu hiệu e.
d. Tương tự không chặt chẽ
Loại tương tự quan hệ giữa Đại số mệnh đề và Đại số các số tự nhiên là ví dụ về
tương tự không chặt chẽ. Bởi vì không có tương tự hoàn toàn trong tính phân phối giữa
các phép tuyển và phép hội với phép cộng và phép nhân.
Còn theo [15] phép tương tự được chia thành 4 loại:
1. Tương tự trực tiếp – Direct Analogy: Đối tượng được so sánh với đối tượng gần
giống nó trong tự nhiên hoặc công nghệ. Ví dụ để cải thiện hệ thống cánh máy bay, ta có
thể tham khảo cánh chim, mũi tên hay viên đạn…
2. Tương tự cá nhân – Personal Analogy: Người giải hóa thân thành đối tượng hoặc
một phần đối tượng để có một góc nhìn mới. Ví dụ tưởng tượng mình là một chiếc thuyền
đang di chuyển khi gặp vật cản thì sẽ làm gì?
3. Tương tự tượng trưng – Symbolic Analogy: cần có sự tương tự về đặc trưng,
tính chất giữa hai đối tượng mang tính biểu tượng văn học, nghệ thuật được khái quát hóa
cao và hàm chứa nghịch lí của bài toán.

11


4. Tương tự viễn tưởng – Fantasy Analogy: Đưa vào bài toán các nhân vật cổ tích,
thần thoại, phép thuật, để thực hiện những yêu cầu của bài toán.
1.2.3. Các quy tắc của suy luận tương tự
Theo [8], suy luận tương tự có các quy tắc sau:
a. Quy tắc 1: Số lượng dấu hiệu giống nhau giữa hai đối tượng càng nhiều bao nhiêu
thì kết luận càng có sức thuyết phục cao bấy nhiêu.
Ví dụ: - A và B đều thông minh như nhau. A thi đạt kết quả cao. Suy ra B cũng sẽ đạt

kết quả cao.
- A và B đều thông minh, chăm chỉ, nghiêm túc và có phương pháp học tập và điều
kiện học tập như nhau. A thi đạt kết quả cao, suy ra B cũng sẽ đạt kết quả cao.
Ta thấy kết luận thứ 2 sẽ thuyết phục hơn.
b. Quy tắc 2: Những dấu hiệu giống nhau giữa hai đối tượng càng mang tính cơ bản,
xác định bao nhiêu thì kết luận càng có sức thuyết phục bấy nhiêu.
Ví dụ: - Hai đội bóng A và B đều có huấn luyện viên trưởng là người nước ngoài,
có số lượng cầu thủ nước ngoài bằng nhau và đều được các doanh nghiệp quan tâm đầu tư
như nhau. Đội A không rớt hạng. Suy ra đội B không rớt hạng.
- Hai đội bóng A và B đều có huấn luyện viên trưởng rất giỏi, đều có dàn
cầu thủ mạnh đều các tuyến, các cầu thủ đều có tinh thần đoàn kết, quan tâm cao như
nhau. Đội A không rớt hạng, suy ra đội B cũng không rớt hạng.
Suy luận thứ nhất kém thuyết phục hơn suy luân thứ hai. Vì các dấu hiệu được
nêu lên của suy luận này chưa phải là dấu hiệu cơ bản, chưa nói lên được kết quả cũng
như chất lượng của đội bóng như ở suy luận thứ hai.
c. Quy tắc 3: Dấu hiệu mới được rút ra ở kết luận và những dấu hiệu được nêu lên
càng nằm trong mối quan hệ lệ thuộc lẫn nhau bao nhiêu thì kết luận càng chắc chắn và
thuyết phục bấy nhiêu.
1.2.4. Vai trò và ý nghĩa của suy luận tương tự
a. Suy luận tương tự trong đời sống và khoa học xã hội
- Phép suy luận tương tự là một trong những phương pháp nghiên cứu chiếm ưu thế ở
giai đoạn đầu của quá trình nhận thức [7]. Thật vậy, khi con người bắt gặp một kiến thức
mới họ sẽ tìm cách liên hệ với những gì họ được gặp trong thực tế để đưa ra kết luận.

12


- Trong dự báo thời tiết, các nhà dự báo thời tiết sẽ dựa trên những quan sát, phân tích
những hiện tượng thời tiết trong thời tiết nào đó ở tương lai, sau đó họ so sánh những hiện
tượng trong quá, hay trên lí thuyết; từ rất nhiều điểm tương đồng với nhau họ sẽ đưa ra

những dự báo cho thời tiết của một thành phố, một vùng nào đó.
- Đối với khoa học, ứng dụng lớn nhất của suy luận tương tự là phát minh mô hình
hóa. Trong phương pháp này người ta không nghiên cứu trực tiếp đối tượng mà nghiên
cứu các mô hình của nó.
- Phép tương tự cũng được sử dụng rộng rãi trong khoa học xã hội đặc biệt là khi
nghiên cứu về thời kì lịch sử cổ đại. Một ví dụ nổi bật về việc vận dụng phép suy luận
tương tự vào lĩnh vực khoa học xã hội là công trình nghiên cứu của Mooc-gan về hệ
thống thị tộc của người da đỏ ở Bắc Mỹ và sự vận dụng những kết quả ấy của Ăng-ghen
vào việc nghiên cứu những vấn đề cơ bản của lịch sử nguyên thủy.
- Phép tương tự từ lâu đã được áp dụng rộng rãi trong việc nghiên cứu, học tập. Suy
luận tương tự giúp giải quyết vấn đề một cách nhanh chóng và hiệu quả. Từ những vấn đề
mà người ta nhìn thấy, họ tìm cách liên hệ chúng lại với nhau tạo ra một nguồn có cấu
trúc gần giống nhau để đưa ra kết luận cho vấn đề cần giải quyết.
Tuy nhiên, suy luận tương tự cũng có hạn chế là đưa ra kết luận có thể không chắc
chắn. Cho dù các nhà nghiên cứu đã cố gắng làm đúng các quy tắc tương tự, tuy nhiên do
suy luận tương tự chỉ dựa trên những tính chất giống nhau của các hiện tượng nên kết
luận đưa ra mang tính không chắc chắn và cần phải chứng minh lại.
Do phép tương tự dựa trên sự giống nhau của các đối tượng khác nhau để đưa ra kết luận
nên những kết luận sẽ rất dễ hiểu và gần gũi. Vì vậy nên cho dù phép tương tự không phải
lúc nào cũng đúng nhưng vẫn được áp dụng rộng rãi trong mọi lĩnh vực.
b. Suy luận tương tự trong dạy học Toán học.
- Toán học là một môn khoa học cơ bản đòi hỏi sự tư duy. Những vấn đề được
trình bày khoa học, đòi hỏi chúng ta phải giải quyết chúng một cách khoa học. Suy luận
tương tự là một công cụ hữu ích để giúp chúng ta giải quyết vấn đề nhanh và ngắn gọn
nhất.
- Suy luận tương tự đặc biệt chú trọng tính tư duy, nêu cao vai trò chủ động của
học sinh trong học tập. Phát huy tính tích cực của học sinh trong nhận thức, tính độc lập

13

tư duy của học sinh. Tương tự giúp học sinh xây dựng cầu nối giữa các khái niệm, những
gì quen thuộc với cái mới. Từ đó giúp học sinh hình thành khái niệm mới, phức tạp. Tuy
nhiên, suy luận tương tự cũng có mặt hạn chế: nó có thể thúc đẩy sự hiểu biết, nhưng nó
cũng dẫn tới quan niệm sai lầm.
- Theo tác giả Nguyễn Phú Lộc, phép tương tự có các tác dụng: xây dựng ý nghĩ
tri thức, xây dựng giả thuyết, dùng để giải bài tập cho học sinh, dự đoán và ngăn ngừa sai
lầm của học sinh. Còn theo chúng tôi, ngoài những ứng dụng trên phép tương tự còn giúp
học giúp học sinh ôn lại kiến thức đã học và xây dựng hệ thống kiến thức.
i) Dùng tương tự để xây dựng tri thức[10]:
Trong quá trình dạy học để giúp học sinh hiểu được những khái niệm khoa học,
giáo viên thường sử dụng tương tự. Chẳng hạn con mắt giống máy quay phim, trái tim
giống như một máy bơm, dòng điện giống dòng nước. Trong Toán học, một số vô cùng
lớn trừ đi một số hữu hạn là một vô cùng lớn. giống như ta lấy một số hữu hạn thùng
nước biển thì không làm thay đổi mực nước biển. Đồ thị hàm số gián đoạn giống như một
tuyến đường có một cây cầu bị gãy.
ii) Dùng tương tự để xây dựng giả thuyết[14]:
Trong dạy học môn toán, chúng ta có thể sử dụng phép tương tự theo thuộc tính
hay tương tự theo quan hệ giữa các đối tượng để đưa ra giả thuyết, sau đó chứng minh
hoặc bác bỏ.
Phép tương tự là bước đầu hình thành các giả thiết khoa học. Nhưng cũng giống
như giả thuyết, kết luận của phép tương tự không có tính tất yếu, nó có thể đúng, có thể
sai. Chính vì vậy, phép tương tự không chứng minh được điều gì cả, nó chỉ giúp ta mở
rộng sự hiểu biết, để xây dựng các giả thuyết; các kết luận của nó thì phải được chứng
minh hoặc nhờ đến thực tiễn khẳng định thì mới biết được đúng hay sai.
iii) Dùng tương tự để giải bài tập toán[14]:
Trong toán học, có nhiều dạng bài tập sử dụng tương tự để giải. Ví dụ như cách
tìm phương trình mặt cầu trong không gian tương tự như cách tìm phương trình đường
tròn trong mặt phẳng.
iv) Dự đoán và sửa chữa sai lầm của học sinh bằng suy luận tương tự

14


Suy luận tương tự giúp con người tìm ra được các phát minh, giải quyết các vấn đề
khoa học, rút ngắn thời gian giải toán phổ thông…Tuy nhiên suy luận tương tự cũng có
mặt hạn chế là kết luận của nó không chắc chắn. Vì vậy, khi sử dụng suy luận tương tự
phải kiểm chứng, chứng minh tính đúng đắn chính xác của mệnh đề kết luận.
Giáo viên phải có những biện pháp sư phạm nhằm hạn chế và sửa chữa sai lầm
của học sinh.
 Tính kịp thời
Các biện pháp phải áp dụng ở thời điểm thích hợp. Không thể tùy tiện trong việc
phân tích và sửa chữa, cũng như hạn chế các sai lầm của học sinh. Đặc biệt, thời gian giáo
viên tiếp xúc trực tiếp với học sinh trên lớp là có hạn.
Tính kịp thời của các biện pháp đòi hỏi sự nhanh nhạy của giáo viên trước các tình
huống, nhằm tác động đến hoạt động học của học sinh. Tính kịp thời đòi hỏi giáo viên
phải nghiên cứu và dự đoán các sai lầm của học sinh ở từng tiết học.
Tính kịp thời đòi hỏi giáo viên luôn ở tâm thế thường trực với mục tiêu dạy học
nhằm hạn chế và sửa chữa sai lầm của học sinh khi giải toán. Sai lầm càng sửa muộn bao
nhiêu thì sự vất vả của thầy và trò càng tăng bấy nhiêu.
Tính kịp thời đòi hỏi giáo viên phải tìm cách hạn chế các nguyên nhân dẫn đến sai
lầm của học sinh kể cả khi các sai lầm chưa xuất hiện, phải thường xuyên củng cố các sai
lầm sửa chữa cho học sinh nhằm không để các sai lầm tái diễn.
 Tính chính xác
Sự chính xác trong lời giải là đòi hỏi của toán học, cũng là sự đòi hỏi của nhiệm vụ
dạy học môn toán trong nhà trường phổ thông để đào tạo có chất lượng những con người
lao động mới có ích cho xã hội.
Tính chính xác đòi hỏi giáo viên phải diễn đạt chính xác, từ ngôn ngữ thông thường
đến ngôn ngữ toán học. Nhằm không gây khó hiểu và sai lầm cho học sinh, giúp học sinh
không nhằm lẫn trong suy luận tương tự giữa các kiến thức. Giáo viên phải biết hướng

dẫn điều chỉnh sửa chữa lời giải sai của học sinh. Suy luận tương tự rất dễ gây sai lầm cho
học sinh, vì vậy giáo viên phải là người mẫu mực về phương pháp tư duy, tư duy chính
xác, kiến thức chuyên môn vững chắc.

15


 Tính giáo dục
Tính giáo dục đòi hỏi giáo viên phải lấy sự phát triển nhân cách của học sinh làm
mục tiêu. Tính giáo dục giúp cho học sinh thấy được tầm quan trọng của sự chính xác
trong lời giải, giúp học sinh tránh được các sai lầm khi sai lầm chưa xuất hiện.
Tính giáo dục làm cho học sinh có ý chí trong học toán, giải toán. Học sinh không
ngại khó, biết kiên trì và cẩn thận tư duy để đi tới lời giải đúng. Tính giáo dục giúp cho
học sinh có thói quen tốt, biết được sai lầm của bản thân từ đó có thể khắc phục.
Tính giáo dục làm cho học sinh thấy được sai lầm khi suy luận để biết được đâu là
suy luận không đúng.
Tính kịp thời, tính chính xác và tính giáo dục luôn hỗ trợ bổ sung cho nhau. Tính
kịp thời làm cho tính giáo dục đtạ được nhanh hơn và ngược lại tính giáo dục giúp cho
các biện pháp thực hiện kịp thời và thuân lợi hơn. Tính chính xác củng cố cho tính giáo
dục và tạo điều kiện cho tính kịp thời. Ngược lại tính kịp thời là chuẩn bị điều kiện thể
hiện tính chính xác. Sự tích cực hóa trong việc nhận thức các khái niệm, các kết quả của
suy luận tương tự vừa có tính kịp thời đề phòng các sai lầm, vừa có tính chính xác để đạt
được sự hiểu biết sâu sắc kiến thức và có tính giáo dục trong việc giúp học sinh chủ động
chiếm lĩnh các kiến thức chuẩn.
Ví dụ:
Học sinh đã quen với việc giải toán trong mặt phẳng, khi sang trong không gian
cũng có những kiến thức tương tự. Tuy nhiên, phương pháp tọa độ trong không gian cũng
có những điểm khác so với phương pháp tọa độ trong mặt phẳng mà học sinh rất dễ sai
lầm. Chẳng hạn, từ phương trình tổng quát của đường thẳng: Ax  By  C  0 ta có thể suy
ra phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax  By  Cz  D  0 . Tương tự, nhưng từ

 x  x0  at
không thể suy luận tương tự phương
 y  y0  bt

phương trình tham số của đường thẳng 

 x  x0  at

trình tham số của mặt phẳng có dạng  y  y0  bt . Suy luận này không đúng là do mặt
 z  z  ct
0


phẳng không xác định bởi một vectơ pháp tuyến mà xác định bởi hai vectơ chỉ phương
không cùng phương.

16


v) Ôn tập kiến thức và xây dựng hệ thống bài tập
Ôn lại kiến thức đã học và xây dựng hệ thống bài tập theo từng chủ đề cho học
sinh là rất cần thiết. Mỗi chủ đề giáo viên cần hệ thống, phân dạng và đưa ra phương pháp
giải cho học sinh. Từ những chủ đề có thể sử dụng phép tương tự vào giảng dạy thì sẽ đưa
ra dạng bài tâp tương tự để giải quyết vấn đề.
1.2.5. Dạy học với suy luận tương tự
Trong hoạt động giảng dạy, giáo viên tạo ra những vấn đề, điều khiển học sinh nhận
ra và giải quyết vấn đề bằng các hoạt động tích cực, chủ động và sáng tạo. Qua đó học
sinh tiếp thu những tri thức mới, rèn luyện kĩ năng để đạt được mục đích học tập. Vì vậy,
khi áp dụng suy luận tương tự để truyền đạt kiến thức mới nên:
+ Phải đặt người học vào tình huống mà giáo viên chỉ là người khơi gợi, sau đó học

sinh tự phát hiện ra kiến thức mới. Chứ không thông báo kiến thức mới sẵn cho học sinh.
+ Học sinh phải tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo, tận tâm huy động tri thức sẵn có
để phát hiện và giải quyết vấn đề. Tránh trường hợp thụ động nghe giáo viên giảng.
+ Mục tiêu của suy luận tương tự không chỉ dừng lại ở việc giúp cho học sinh lĩnh
hội được tri thức mới mà còn tập cho học sinh có thói quen hoạt động tư duy khoa học.
1.3. Một số mô hình dạy học sử dụng suy luận tương tự
Hiện nay có nhiều nghiên cứu về việc sử dụng phép suy luận tương tự trong dạy học
như:
- Giảng dạy với phép tương tự ( Teaching With Analogies – TWA )
- Mô hình FAR ( Focus – Action – Reflection )
1.3.1. Mô hình Teaching with Analogies (TWA)[14, tr 42 – 43]
a) Các bước của mô hình TWA
Quy trình của dạy học với suy luận tương tự được thể hiện trong mô hình TWA ( the
Teaching-With-Analogies), do Glynn đề nghị (1989) bao gồm các bước sau:
1.

Giới thiệu kiến thức cần dạy ( kiến thức đích)

2.

Khơi dậy kí ức của học sinh về tình huống tương tự

3.

Nhận biết các đặc điểm quan trọng của kiến thức nguồn

4.

Thiết lập sự tương ứng giữa kiến thức nguồn và kiến thức đích

5.

Chỉ ra những kết luận không đúng

17


Rút ra kết luận về kiến thức đích.

6.

b) Tầm quan trọng của mô hình TWA đối với Toán học
- Mô hình TWA là một mô hình có vai trò quan trọng trong giảng dạy Toán nói riêng
và đối với Toán học nói chung. Bên cạnh đó cũng tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo
những tri thức và rèn luyện kĩ năng toán học cần thiết. Toán học còn có tác dụng góp
phần phát triển năng lực trí tuệ chung như: phân tích, tổng hợp, khái quát hóa,…rèn luyện
những đức tính phẩm chất của con người.
- Khi sử dụng mô hình này giáo viên có thể dễ dàng truyền đạt kiến thức cho học
sinh, cung cấp kiến thức một cách có hệ thống từ nền kiến thức cũ để tiếp thu kiến thức
mới.
- Góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành cho học sinh
những khả năng suy luận trong cuộc sống.
c) Ưu điểm và khuyết điểm của mô hình TWA
* Ưu điểm:
- Giúp học sinh không nhầm lẫn giữa các kiến thức.
- Khẳng định vai trò chủ đạo của người giáo viên.
- Giúp học sinh học tập khái niệm trừu tượng một cách trực quan.
- Tạo động cơ học tập cho học sinh, sử dụng các tri thức đời thường làm tương tự tạo
thuận lợi cho học sinh hiểu kiến thức mới trừu tượng.
- Phát triển năng lực giải quyết vấn đề, năng lực làm việc độc lập

- Phát triển khả năng phát hiện kiến thức mới cho học sinh, góp phần rèn luyện năng
lực sáng tạo cho học sinh.
* Khuyết điểm:
- Học sinh quên kiến thức nguồn.
- Giáo viên gặp khó khăn trong việc tìm kiếm kiến thức nguồn phù hợp.
- Nếu giáo viên sử dụng kiến thức nguồn mà học sinh không biết rõ thì có thể gây rối
cho học sinh. Ngoài ra, kiến thức nguồn và kiến thức đích thường có những dấu hiệu
giống nhau, và cũng có những dấu hiệu khác nhau, nên có thể làm học sinh hiểu sai
những vấn đề nằm ngoài dự kiến của giáo viên.
d) Ví dụ minh họa

18


* Ví dụ 1: Dạy khái niệm “ số hạng tổng quát un= u1. qn-1”
- Bước 1: Giới thiệu kiến thức cần dạy, tạo sự tò mò cho học sinh và tầm quan
trọng của kiến thức này.
GV: Cho u1= 3, u2= 6, u3= 9…Tính u100=? Làm sao để có thể tính u100 một cách
nhanh nhất?
- Bước 2: Giáo viên đặt câu hỏi gợi mở, khơi dậy kí ức của học sinh về tình huống
tương tự
GV: Chúng ta đã được học cấp số cộng, ta sẽ tính được số hạng un nhanh chóng.
Tương tự, với dãy số này chúng ta cũng tính được rất nhanh mà không cần phải tính từng
số hạng kế tiếp nhau.
- Bước 3: Nhận biết đặc điểm của cấp số cộng
- Bước 4: Cho học sinh so sánh giữa cấp số cộng và cấp số nhân:
Cấp số cộng:
+ Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số
hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Số d được gọi là
công sai của cấp số cộng.

+ Tính chất:
Số hạng tổng quát: un  u1  (n  1)d

n2

Trong cấp số cộng, mỗi số hạng ( trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của
hai số hạng đứng kề với nó.
Cho cấp số cộng u n  . Đặt S n u1  u2  u3  ...  un . Khi đó S n 

n(u1  u n )
2

Cấp số nhân:
+ Định nghĩa: Cấp số nhân là dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là
tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Số q được gọi là công bội
của cấp số nhân.
+ Tính chất:
Số hạng tổng quát: un  u1.q n1
Trong cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng( trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích
của hai số hạng đứng kề với nó.

19


Cho cấp số nhân u n  với công bội q  1. Đặt S n u1  u2  u3  ...  un . Khi đó:
Sn 



u1 1  q n

1 q



- Bước 5: Chỉ ra kết luận không đúng: Học sinh có thể đưa ra những kết luận không đúng
như sau:

u n  u1  n  1q
u n  u1  q n1

u n  u1 .n  1q
- Bước 6: Rút ra kết luận
Số hạng tổng quát của cấp số nhân là un= u1. qn-1
* Ví dụ 2: Dạy khái niệm “Phương trình mặt cầu”
- Bước 1: Giáo viên nêu vấn đề, gợi động cơ từ phần lý thuyết “ Phương trình đường
tròn” để học sinh tò mò suy nghĩ về khái niệm mới.
- Bước 2: Phương trình đường tròn:
+ Phương trình đường tròn có dạng: C  : x 2  y 2  2ax  2by  c  0 với điều kiện là
a 2  b2  c  0

+ Khi đó (C) có: tâm I (a, b) và bán kính R  a 2  b 2  c
GV: Trong không gian, có viết được phương trình đường tròn không? Nếu viết được thì
có còn gọi là đường tròn nữa hay không?
- Bước 3: Nhận biết đặc điểm quan trọng của phương trình đường tròn
- Bước 4: So sánh giữa phương trình đường tròn và phương trình mặt cầu.
Phương trình đường tròn:
+ Phương trình đường tròn có dạng: C  : x 2  y 2  2ax  2by  c  0 với điều kiện là
a 2  b2  c  0

+ Khi đó (C) có: tâm I (a, b) và bán kính R  a 2  b 2  c

- Phương trình mặt cầu:
+ Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu S ( I ; R) có tâm I ( x0 ; y0 ; z0 ) và bán kính
R

20


+ Điểm M ( x; y; z) thuộc mặt cầu đó khi và chỉ khi IM  R hay IM 2  R 2 , nghĩa là

x  x0 2   y  y0 2  z  z0 2  R 2 . Phương trình này được gọi là phương trình của mặt cầu
S ( I ; R) .

- Bước 5: Chỉ ra kết luận không đúng
- Bước 6: Rút ra kết luận
Mặt cầu tâm I ( x0 ; y0 ; z0 ) và bán kính R có phương trình

x  x0 2   y  y0 2  z  z0 2  R 2
Giáo viên phải thực hiện theo thứ tự các bước trong mô hình TWA để đảm bảo đạt
được mục tiêu giảng dạy. Đặt câu hỏi gợi mở, so sánh giữa phương trình đường tròn và
phương trình mặt cầu, chỉ ra kết luận không đúng và cuối cùng là rút ra kết luận đúng.
1.3.2. Mô hình FAR[10, tr 65]
Mô hình FAR ( Focus – Action – Reflection) hướng dẫn giáo viên phân tích tương tự
khi dạy học một kiến thức sử dụng suy luận tương tự
- Tâm điểm ( Focus):
+ Khái niệm: khái niệm cần học có khó không, quen thuộc hay trừu tượng
+ Học sinh: những ý tưởng nào mà học sinh đã biết về khái niệm
+ Nguồn: có điều gì mà học sinh quen thuộc
- Hành động ( Action):
+ Tương đồng: thảo luận những đặc điểm của nguồn và khái niệm, rút ra những
điểm giống nhau của chúng.

+ Dị biệt: thảo luận những đặc điểm của nguồn không giống khái niệm.
- Suy xét ( Reflection):
+ Kết luận: nguồn có rõ ràng và hữu ích hay gây nhầm lẫn.
+ Cải tiến: xét lại tâm điểm trên cơ sở kết luận.
a) Tâm điểm (Focus):
Trong quá trình dạy học sử dụng tương tự, giáo viên cần xem xét khái niệm có khó
không, có quen thuộc hay trừu tượng với học sinh không? Giáo viên nên đặt ra câu hỏi:
học sinh đã có những ý tưởng nào về khái niệm cần dạy chưa? Những điều gì là quen

21


thuộc với học sinh liên quan đến khái niệm cần dạy? Muốn biết được những điều này thì
yêu cầu giáo viên phải xem lại nội dung mà học sinh đã học trong chương trình.
b) Hành động ( Action):
Ở bước này giáo viên cho học sinh thảo luận để phân tích những đặc điểm của nguồn
và khái niệm mục tiêu; từ đó rút ra những đặc điểm giống nhau của chúng. Để quá trình
này hiệu quả, giáo viên có thể mở rộng, thu hẹp, điều chỉnh lại khi cần thiết, để học sinh
hiểu được những đặc điểm chung. Những tương tự được chỉ ra là kết quả của quá trình
thiết lập sự tương ứng giữa nguồn và mục tiêu. Điều đó giúp quá trình tương tự có ý nghĩa
và giúp học sinh tránh được các sai lầm.
c) Suy xét ( Reflection):
Trong bước này, giáo viên cần xét xem nguồn có rõ ràng và hữu ích hay gây nhầm
lẫn, để từ đó có thể đưa ra kết luận về nguồn của phép tương tự. Sau đó cũng nên xem xét
lại tâm điểm từ các kết luận được rút ra, đồng thời cũng đề ra những thay đổi để cải tiến
cho những lần sau.
Ví dụ minh họa áp dụng mô hình FAR để phân tích khái niệm phương trình mặt
cầu quan hệ tương tự với phương trình đường tròn.
- Tâm điểm:
+ Khái niệm: phương trình mặt cầu: x  a 2   y  b2  z  c 2  R 2 là khái niệm

khó, không quen thuộc với học sinh.
+ Học sinh: đã được học định nghĩa mặt cầu.
+ Nguồn: phương trình đường tròn: x  a 2   y  b2  R 2 đã được học ở lớp 10
- Hành động:
+ Tương đồng:
Đường tròn

Mặt cầu

Định nghĩa: Tập hợp các điểm trong mặt Định nghĩa: Tập hợp các điểm trong
phẳng cách điểm I cố định một khoảng không gian cách điểm I cố định một
R không đổi.

khoảng R không đổi.

Tâm I (a; b)

Tâm I (a; b; c)

Bán kính R

Bán kính R

22


M x; y  C   IM  R  IM 2  R 2

M x; y; z  C   IM  R  IM 2  R 2

x  a 2   y  b2  R 2

x  a 2   y  b2  z  c 2  R 2

+ Dị biệt: Trong mặt phẳng Oxy , phương trình dạng x  a 2   y  b2  R 2 là phương
trình đường tròn tâm I a; b  bán kính R . Còn trong không gian Oxyz , phương trình

x  a2   y  b2  R 2 không phải là phương trình mặt cầu, mà đây là phương trình mặt trụ
biết mặt trụ này giao với mặt phẳng Oxy là đường tròn tâm I a; b; c  , bán kính R .
- Suy xét ( Reflection):
+ Kết luận: nguồn tương tự (phương trình đường tròn trong mặt phẳng) thì rõ ràng và
hữu ích.
+ Cải tiến: có thể sử dụng phương trình đường tròn là nguồn tương tự cho phương
trình mặt cầu.
1.4. Kết luận chương I
Ở chương này, chúng tôi đã trình bày một số vấn đề quan trọng liên quan đến suy
luận tương tự. Phép suy luận tương tự được ứng dụng rộng rãi trong cuộc sống cũng như
trong nghiên cứu khoa học. Việc dạy và học ở trường phổ thông cũng có sử dụng suy luận
tương tự. Suy luận tương tự là một phương pháp giảng dạy mang tính hiệu quả cao. Trước
khi tìm hiểu vận dụng suy luận tương tự vào dạy học như thế nào, chúng tôi sẽ phân tích
sách giáo khoa trình bày nội dung phương trình đường thẳng trong không gian như thế
nào.

23


CHƯƠNG II. PHÂN TÍCH NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG TRONG KHÔNG GIAN: SÁCH GIÁO KHOA HIỆN
HÀNH
2.1. Nhắc lại về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Trong sách giáo khoa hình học 10, các tác giả đã trình bày nội dung phương trình
đường thẳng trong mặt phẳng.
- Nội dung: Thông qua nội dung của bài phương trình đường thẳng, học sinh cần
nắm vững các nội dung sau: vectơ chỉ phương của đường thẳng, phương trình tham số,
vectơ pháp tuyến của đường thẳng, phương trình tổng quát, vị trí tương đối của hai đường
thẳng, góc giữa hai đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
- Kỹ năng: học sinh biết được cách viết phương trình tham số, phương trình tổng
quát của đường thẳng, biết cách xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, tính được góc
giữa hai đường thẳng và tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
- Phương pháp: học sinh phải đọc kỹ yêu cầu đề bài để giải một cách chính xác, biết
vẽ hình để có cái nhìn trực quan hơn dễ dàng giải toán.
2.1.1. Các khái niệm
a) Vectơ chỉ phương (vtvp) và vectơ pháp tuyến (vtpt)
- Một vectơ a là vtcp của đường thẳng d   a  0 và giá của a song song d  .
Nếu a là vtcp của đường thẳng d  thì mọi vectơ k a với k  0 đều là vtcp của đường
thẳng đó.
n  0

- Một vectơ là vtpt của đường thẳng d   

n  d 

. Nếu n là vtpt của đường

thẳng d  thì mọi vectơ k n với k  0 đều là vtpt của đường thẳng đó.
- Nếu đường thẳng d  có vtcp aa1 , a2   có vtpt n a2 , a1  . Ngược lại, nếu đường
thẳng d  có vtpt nn1 , n2   có vtcp a n2 , n1  .
b) Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

24

 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng  đi qua điểm M 0 x0 ; y0  và nhận

u  u1 ;u2  làm vectơ chỉ phương. Với mọi điểm M x; y  bất kì trong mặt phẳng, ta có
M 0 M  x  x0 ; y  y0  . Khi đó

M    M 0 M cùng phương với u  M 0 M  t u
 x  x0  tu1

 y  y0  tu 2

 Mọi đường thẳng d  trong hệ tọa độ Oxy đều có dạng: Ax  By  C  0 , với
A2  B 2  0

Phương trình trên được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng d  trong
mặt phẳng.
Từ phương trình trên ta có:
+ Vectơ a B, A là vtcp của d 
+ Vectơ n A, B  là vtpt của d 
+ Số k   , B  0 là giá trị hệ số góc của d 
A
B

Các trường hợp đặc biệt:
+ Khi A  0 và B  0 thì các đoạn a,b bị nó chắn trên các trục, hệ số góc k, khoảng
cách h từ góc tọa độ đến đường thẳng, cos  và sin  với  là góc tạo bởi đường thẳng

d  với hướng dương của trục Ox, được biểu diễn qua các hệ số A,B,C như sau:
a

C
C
, b
A
B

cox 

A
A2  B 2

, k  tag 
, sin  

A
B

, h

C
A  B2
2

B
A2  B 2

+ Khi A  0 và B  0 . Đường thẳng d  có dạng: By  C  0  d  : y  
đường thẳng vuông góc với Oy , cắt Oy tại điểm có tung độ 

25

C
.
B

C
là
B