tổng hợp công thức cực trị

Khóa học PEN-C môn Vật lí – HOCMAI.VN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

CÁC CÔNG THỨC CỰC TRỊ ĐIỆN XOAY CHIỀU
I. Đoạn mạch RLC có L thay đổi:
1
* Khi L = 2 thì IMax ⇒ URmax; PMax còn ULCMin Lưu ý: L và C mắc liên tiếp nhau
ωC
U R 2 + Z C2
R 2 + Z C2
2
2
2
2
2
2
* Khi Z L =
thì U LMax =
và U LM
ax = U + U R + U C ; U LMax − U CU LMax − U = 0
ZC
R
1 1 1
1
2 L1 L2
= (
+
)⇒ L=
* Với L = L1 hoặc L = L2 thì UL có cùng giá trị thì ULmax khi
Z L 2 Z L1 Z L2

L1 + L2
* Khi Z L =

Z C + 4 R 2 + Z C2

2

thì U RLMax =

2UR

Lưu ý: R và L mắc liên tiếp nhau

4 R + Z C2 − Z C
2

II. Đoạn mạch RLC có C thay đổi:
1
* Khi C = 2 thì IMax ⇒ URmax; PMax còn ULCMin Lưu ý: L và C mắc liên tiếp nhau
ω L
U R 2 + Z L2
R 2 + Z L2
2
2
2
2
2
2
thì U CMax =
và UCM

ax = U + U R + U L ; U CMax − U LUCMax − U = 0
ZL
R
1 1 1
1
C + C2
)⇒C = 1
* Khi C = C1 hoặc C = C2 thì UC có cùng giá trị thì UCmax khi
= (
+
2
Z C 2 Z C1 Z C2

* Khi Z C =

Z L + 4 R 2 + Z L2
2UR
thì U RCMax =
* Khi Z C =
2
4 R 2 + Z L2 − Z L
Lưu ý: R và C mắc liên tiếp nhau
Thay đổi f có hai giá trị f1 ≠ f 2 biết f1 + f 2 = a

III. Bài toán cho ω thay đổi.
- Xác định ω để Pmax, Imax, URmax.
o
Khi thay đổi ω, các đại lượng L, C, R không thay đổi nên tương ứng các đại lượng Pmax, Imax,
1
1

⇔ LCω 2 = 1 ⇒ ω .
URmax khi xảy ra cộng hưởng: ZL = ZC hay ω =
ωL =
C
ω
LC
- Xác định ω để UCmax. Tính UCmax đó.
ZC .U
U
U
U C = ZC .I =
=
=
2
2
2
R 2 + ( Z L - ZC )
R 2 + ( Z L - ZC )
1 

2
R +  ωL 
ωC 
Z2C

1
o
2 2
ωC
U

U
U
=
=
=
y
ω4 L2 C2 + ω2 ( R 2 C 2 − 2LC ) + 1
x 2 L2 C 2 + x ( R 2 C2 − 2LC ) + 1
o UCmax khi ymin hay x = ωC2 =

2LC − R 2 C2 1  L R 2 
1
= 2 −
 ⇒ ωC =
2 2
2L C
L C 2 
L

và từ đó ta tính được U Cmax =
=> Khi ω =

-

2LU
R 4LC − R 2 C 2

L R2
−
C 2

.

2UL
.
1 L R2
−
thì UCMax =
2 2
L C 2
R 4LC−RC

Xác định ω để ULmax. Tính ULmax đó.

Tham gia trọn vẹn khóa Pen-C và Pen-I môn Vật lí tại HOCMAI.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học PEN-C môn Vật lí – HOCMAI.VN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

U L = ZL .I =

ZL .U
R 2 + ( Z L - ZC )

2

U

=

R 2 + ( ZL - ZC )
Z2L

o
=

U
1
1  R2
2 
+
−
 +1
4 2 2
2  2
ω L C ω  L LC 

=

2

Facebook: LyHung95

U

=

1 

R +  ωL 

ωC 

ω2 L2
U
U
=
y
 R2
1
2 
x2 2 2 + x  2 −
1
+

LC
 L LC 

2

2

1 L2 C 2  2 R 2 
R2 
1
1
2L
=
−
=
C

−


 ⇒ ωL = .
2
2 
2  LC L 
C L R2
ωL
C 2 
−
C 2
2LU
và từ đó ta tính được U Lmax =
.
R 4LC − R 2 C 2
2U.L
1
1
=> Khi ω =
thì ULMax =
2
C L R
R 4LC − R2C2
−
C 2
- Cho ω = ω1, ω = ω2 thì P như nhau. Tính ω để Pmax.
R.U 2
R.U 2
o

Khi ω = ω1: P 1 = R.I12 = 2
=
2
R + (ZL1 - ZC1 ) 2

1 
2
R +  ω1L −

ω1C 

R.U 2
R.U 2
o
Khi ω = ω2: P 2 = R.I 22 =
=
2
2

R 2 + ( ZL 2 - ZC2 )
1 
2
R +  ω2 L −

ω2 C 

o

ULmax khi ymin hay x =

o

P như nhau khi:

1
1
1 1
1 
1
=
− ω2 L ⇒ ( ω1 + ω2 ) L =  +  ⇒ ω1ω2 =
ω1C ω2 C
C  ω1 ω2 
LC
o
Điều kiện để P đạt giá trị cực đại (cộng hưởng) khi:
1
ZC = ZL ⇒ ω2 =
= ω1ω2 ⇒ ω = ω1ω2
LC
=> Với ω = ω1 hoặc ω = ω2 thì I hoặc P hoặc cosφ hoặc UR có cùng một giá trị thì IMax hoặc PMax hoặc URMax
1
khi ω = ω1ω2 ⇒ ω1ω2 =
, f = f1 f 2
LC
P 1 = P 2 ⇔ ω1L −

Nghĩa là :Có hai giá trị của ω để mạch có P, I, Z, cosφ, UR giống nhau thì
-

ω1ω2 = ω m2 =

1
LC

Cho ω = ω1, ω = ω2 thì UC như nhau. Tính ω để UCmax.
U
U
o
Khi ω = ω1: U C1 = ZC1 .I1 =
=
2
2

ω12 C2 R 2 + ( ω12 LC − 1)
1 
2
ω1C R +  ω1L −

ω1C 

o

Khi ω = ω2: U C2 = ZC2 .I 2 =

U

1 
ω2 C R +  ω2 L −


ω2 C 

2

o

2

=

U
ω22 C2 R 2 + ( ω22 LC − 1)

2

UC như nhau khi:

Tham gia trọn vẹn khóa Pen-C và Pen-I môn Vật lí tại HOCMAI.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học PEN-C môn Vật lí – HOCMAI.VN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

U C1 = U C2 ⇔ ω12 C 2 R 2 + ( ω12 LC − 1) = ω22 C 2 R 2 + ( ω22 LC − 1)
2

2

1 

1
⇒ C 2 R 2 ( ω12 − ω22 ) = LC ( ω22 − ω12 )  LC ( ω22 + ω12 ) − 2  ⇒ C2 R 2 = −2L2 C2  ( ω22 + ω12 ) −
LC 
2
1
1  L R2 
⇒ ( ω22 + ω12 ) = 2  −

2
L C 2 

1  L R2  1 2
2
o
Điều kiện để UCmax khi: ω = 2  −
 = ( ω1 + ω2 )
L C 2  2
Cho ω = ω1, ω = ω2 thì UL như nhau. Tính ω để ULmax.
U
U
o
Khi ω = ω1: U L1 = ZL1.I1 =
=
2
2

1
1 
R2 
1 

2
R +  ω1L −
+ 1

ω1L
ω1C 
ω12 L2  ω12 LC 

U
U
o
Khi ω = ω2: U L2 = ZL2 .I 2 =
=
2
2

1
1 
R2 
1 
2
R +  ω2 L −
+ 1

ω2 L
ω2 C 
ω22 L2  ω22 LC 

o
UL như nhau khi:

2
C

-

2

U L1 = U L2

R2 
1 
R2 
1 
⇔ 2 2 + 1 − 2  = 2 2 + 1 − 2 
ω1 L  ω1 LC  ω2 L  ω2 LC 

2

R2  1
1  1  1
1 
1  1
1 
⇒ 2  2 − 2=
 2 − 2  2 −
 2 + 2 
L  ω1 ω2  LC  ω1 ω2   LC  ω1 ω2  
R2
2 
1 1

1 
1 1
1 
R 2C2
R2 
2L
=
−
+
⇒
+
=
−
=
−
LC
LC
C








L2 L2 C2 
2  ω12 ω22  
2  ω12 ω22 
2

C 2 
1
R2  1  1
1 
2 L
Điều kiện để ULmax khi: 2 = C  −
=  2 + 2
ωL
 C 2  2  ω1 ω2 

⇒

o
-

Cho ω = ω1 thì ULmax, ω = ω2 thì UCmax. Tính ω để Pmax.
1
1
o
ULmax khi ω1 = .
C L R2
−
C 2
o
o

1 L R2
−
L C 2
Điều kiện để P đạt giá trị cực đại (cộng hưởng) khi:

1
ZC = ZL ⇒ ω2 =
= ω1ω2 ⇒ ω = ω1ω2
LC
UCmax khi ω2 =

IV. Các công thức vuông pha
1 – Đoạn mạch chỉ có L ; uL vuông pha với i
với U0L = I0ZL

u
=>  L
 ZL

 uL

 U 0L

2

2


 + i 2 = I 02


2 – Đoạn mạch chỉ có tụ C ; uC vuông pha với i

u 22 − u 12
i12 − i 22

=> Z L =
 uC

 U 0C

2

  i 
 +   = 1
  I0 

2

2

  i 
 +   = 1
  I0 

Tham gia trọn vẹn khóa Pen-C và Pen-I môn Vật lí tại HOCMAI.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học PEN-C môn Vật lí – HOCMAI.VN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

 u
=> 
 ZC

với U0C = I0ZC

Facebook: LyHung95

2


 + i 2 = I 02


1
2
=> (ωCu C ) + i 2 = I 02
=> Z C =
ωC

u 22 − u 12
i 12 − i 22

=> Z C =

3- Đoạn mạch có LC ; uLC vuông pha với i
2

2

u 22 − u 12
i12 − i 22

 u LC   i 


 +   = 1
=> Z LC =
 U 0 LC   I 0 
4 – Đoạn mạch có R và L ; uR vuông pha với uL
2

2

2

2

2

2

2

2

 uL   uR 
 uL   uR 

 + 
 = 1 ; 
 + 
 = 1
 U 0L   U 0R 
 U 0 sin φ   U 0 cos φ 
5 – Đoạn mạch có R và C ; uR vuông pha với uC

U0LC

 uC   uR 
 uC   uR 

 + 
 = 1 ; 
 + 
 = 1
 U 0C   U 0 R 
 U 0 sin φ   U 0 cos φ 
6 – Đoạn mạch có RLC ; uR vuông pha với uLC
 u LC

 U 0 LC

2

  uR
 + 
  U 0R
2

2

 u

 = 1 ;  LC


 U 0 LC

2

U0

2

 i 
 +   = 1
  I0 

) ϕ

2

 u LC   u R 
 = 1

 + 
 U 0 sin φ   U 0 cos φ 

U0R

=> U02 = U0R2 + U0LC2
2

 u 
với U0LC = U0R tanϕ =>  LC  + u 2R = U 02 R
 tan φ 

7 – Từ điều kiện để có hiện tượng cộng hưởng ω02LC = 1
Xét với ω thay đổi
2
ω02 LC L ω − ω0 
ω02
1
ω
−
ωL −
ωL −

ω 
R
ωC =
ωC = 
ω = hằng số
7a : tan φ =
=>
=
R
R
R
L
tan φ
1
7b : ZL = ωL và Z C =
ωC
2
Z
ZL

ω
ω
UL
= > L = ω 2 LC = 2 =>
=
ZC
Z C ω0
ω0
=> đoạn mạch có tính cảm kháng ZL > ZC => ωL > ω0
=> đoạn mạch có tính dung kháng ZL < ZC => ωC < ω0
=> khi cộng hưởng ZL = ZC => ω = ω0
7c : I1 = I2 < Imax => ω1ω2 = ω02 Nhân thêm hai vế LC => ω1ω2LC = ω02LC = 1
ZL1 = ω1L và ZC2 = 1/ ω2C
ZL1 = ZC2 và ZL2 = ZC1
7d : Cosϕ1 = cosϕ2 => ω1 ω2LC = 1 thêm điều kiện L = CR2
R
1
cos φ1 =
=> cos 2 φ1 =
2
2
R + ( Z L1 − Z C1 )
 ω1
ω2
1+ 
−
 ω
ω1
2


URLC

O






2

UC

)ϕRLC
)ϕRC UR
URC

Tham gia trọn vẹn khóa Pen-C và Pen-I môn Vật lí tại HOCMAI.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học PEN-C môn Vật lí – HOCMAI.VN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

8 – Khi L thay đổi ; điện áp hai đầu cuộn cảm thuần L => URC ⊥URLC => từ GĐVT
ULmax <=>
tanϕRC. tanϕRLC = – 1
2
R + Z C2

=> Z L =
=> ZL2 = Z2 + ZCZL
ZC
U 2 + U C2
U
R 2 + Z C2 và U LMAX = R
R
UC
2
2
2
2
=> U Lmax = U + U R + U C
=> U 2LMAX = U 2 + U C U LMAX

=> U LMAX =

 U
=> 
 U LMAX

2

  UC
 + 
  U LMAX


 = 1 =>


 Z

 ZL

2

  ZC 
 + 
 = 1
  ZL 

9 – Khi C thay đổi ; điện áp hai đầu tụ C => URL ⊥URLC
=> UCmax <=> tanϕRL. tanϕRLC = – 1
R 2 + Z 2L
=> Z C =
=> ZC2 = Z2 + ZCZL
ZL
U 2 + U 2L
U
R 2 + Z 2L và U CMAX = R
R
UL
2
2
2
= U +U R+U L

=> U CMAX =
=> U2 Cmax

=> U

2
CMAX

= U + U L U CMAX
2

 U
=> 
 U CMAX

2

  UL
 + 
  U CMAX


 = 1


2

 Z   ZL 
 = 1
 + 
=> 
 ZC   ZC 
10 – Khi URL ⊥ URC

=> U R =

=> ZLZC = R2

U RL U RC

=> tanϕRL. tanϕRC = – 1

U 2RL + U 2RC

11 – Điện áp cực đại ở hai đầu tụ điện C khi ω thay đổi
L
2 − R2
R2
2
2
2
C
Với ωC =
(1)
=>
ω
=
ω
=
ω
–
(2) => cách viết kiểu (2) mới dễ nhớ hơn (1)
C
0

2 L2
2L2
Z
ω2
với ZL = ωCL và ZC = 1/ ωCC => L = ωC2 LC = C2
ZC
ω0
2LU
=> từ U CMAC =
(3)
=> từ (2) và (3) suy dạng công thức mới
R 4LC − R 2 C 2

U C max =

U
Z
1 −  L
 ZC





2

 U
=> 
 U CMAX

2

2

2

2

  ZL 
 Z   ZL 
 + 
 = 1 => 
 + 
 = 1 => Z C2 = Z 2 + Z 2L
  ZC 
 ZC   ZC 

 U
=> 2tanϕRL.tanϕRLC = – 1 => 
 U CMAX

2

2

  ωC2 
 +  2  = 1
  ω0 

12 – Điện áp ở đầu cuộn dây thuần cảm L cực đại khi ω thay đổi

2
1
1 R 2C2
Từ ω =
(1) => 2 = 2 −
(2) => cách viết kiểu (2) mới dễ nhớ hơn (1)
2
2LC − R 2 C 2
ωL ω0
Tham gia trọn vẹn khóa Pen-C và Pen-I môn Vật lí tại HOCMAI.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học PEN-C môn Vật lí – HOCMAI.VN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

; ZL = ωLL và ZC = 1/ ωLC =>
Từ U LMAX =
=> U L max =

2LU

Z
1 −  C
 ZL

=> Z = Z + Z
2
L

2

2
C





2

ZC
ω2
1
= 2
= 02
Z L ωL LC ωL

(3) = > dạng công thức mới

R 4LC − R 2 C 2
U

Facebook: LyHung95

 U
=> 
 U LMAX

2

2

  ZC 
 + 
 = 1
  ZL 

=> 2tanϕRC.tanϕRLC = – 1

 Z
=> 
 ZL

 U
=> 
 U LMAX

2

2

  ZC 
 + 
 = 1
  ZL 

2

2

  ω02 

 +  2  = 1
  ωL 

13 – Máy phát điện xoay chiều một pha
Từ thông Φ = Φ 0 cos(ωt + φ)
dΦ
Suất điện động cảm ứng e = −
= ωΦ 0 sin(ωt + φ) = E0sin ((ωt + ϕ )
dt
2

2

 Φ   e 
 +   = 1
=> 
Φ
 0   E0 
Phần chứng minh các công thức 11; 12

CÔNG THỨC HAY :
Trong đoạn mạch xoay chiều , RLC ( cuộn dây thuần cảm ) với điện áp hai đầu đoạn mạch U = không đổi .
Xét trường hợp ω thay đổi .
Các bạn đều biết
1 – Xét điện áp cực đại ở hai đầu điện trở R
U2
1
URmax =
(1a)
=> khi

ω2RLC = 1 => ω R2 =
(1b)
R
LC
2- Xét điện áp cực đại ở hai đầu tụ điện C
L
− R2
C
UCmax =
( 2a)
Khi : ω =
(*)
2 2
2 L2
R 4 LC − R C
Công thức (*) các tài liệu tham khảo đều viết như vậy, nhưng chỉ biến đổi một chút xíu thôi là có công thức
dễ nhớ hơn và liên hệ hay như sau
Bình phương hai vế và rút gọn L . Ta có
1
R2
R2
ω C2 =
− 2 => ω C2 = ω R2 − 2
(2b)
=> ω C < ω R
LC 2L
2L
> Vậy là giữa (1b) và (2b) có liên hệ đẹp rồi .
Từ (2a ) chia tử mẫu cho 2L và đưa vào căn => ( 2b) thay vào (2a) trong căn , ta có
2

2 LU

U MAXC =

U
2

(2c)

để tồn tại đương nhiên

ZC > ZL và không có R

Z 
1 −  L 
 ZC 
3 – Xét điện áp cực đại ở hai đầu cuộn dây thuần cảm L
2 LU
2
ULmax =
(3a)
Khi ω =
( ** )
2 2
2LC − R 2 C 2
R 4 LC − R C

Tham gia trọn vẹn khóa Pen-C và Pen-I môn Vật lí tại HOCMAI.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016!

Khóa học PEN-C môn Vật lí – HOCMAI.VN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Công thức ( ** ) các tài liệu tham khảo cũng hay viết như vậy. Tương tự như trên bình phương hai vế và viết
nghịch đảo
R 2C2
1
1
R 2C2
=>
=
−
2
2
ω L2
ω L2 ω R2
Giữa (3b) và (1b) lại có liên hệ nữa rồi .
Tương tự dùng (3b) thay (3a) ta có
1

= LC −

U MAXL =

U
2

(3c)

Z 
1 −  C 
 ZL 
4 – Kết hợp (1b) , (2b) , (3b) Ta có :

( 3b)

=> ω L > ω R

để tồn tại đương nhiên ZL > ZC và không có R

ω Cω L = ω R2 = ω02

5- Chứng minh khi UCmax với ω thay đổi thì: 2tanϕRL.tanϕRLC = – 1
 1
R2 
Ta có : ZL = ωCL = > Z 2L = ωC2 L2 = 
− 2 L2
ZRL
 LC 2L 
2

L R
−
C 2
R2 L
ωL
=>
= − Z 2L =

− Z 2L = Z L Z C − Z 2L = − Z L ( Z L − Z C )
2
C
ωC
Z (Z − Z C )
1
=−
(1)
=> L . L
R
R
2
=> Từ hình vẽ
=> Z 2L =

) ϕ1
) ϕ2

ZC

Z

ZL
R

|ZC – ZL|

ZL
(2)
R

Z − ZC
tan φ2 = tan φRLC = L
(3)
R
=> Từ 1,2,3 : 2tanϕRL.tanϕRLC = – 1
Lưu ý là có số 2 ở phía trước nhé, nên trường hợp này URL không vuông góc với URLC .
Phần khi ULmax chứng tương tự
tan φ1 = tan φRL =

5– Khi ω thay đổi với ω = ωC thì UCmax và ω = ωL thì ULmax nhưng nếu viết theo biểu thức dạng 2a và 3a thì
: UCmax = ULmax cùng một dạng, nhưng điều kiện có nghiệm là ω = ωC ≠ ω = ωL
Nhưng nếu viết dạng (2c) và (3c) thì lại khác nhau .
Cả hai cách viết dạng a hay c của UmaxC hay UmaxL đều rất dễ nhớ .
6 – Khi các giá trị điện áp cực đại UmaxR ; UmaxC ; Umax L với các tần số tương ứng
ωR ; ωC ; ωL thì có một mối quan hệ cũng rất đặc biệt đó là
ωL > ωR > ωC => điều này dễ dàng từ các biểu thức 2b và 3b
Nhận xét : Có thể nói còn rất nhiều hệ quả hay vận dụng từ hai dao động có pha vuông góc hoặc từ con số 1
ở vế phải . Ta có thể dùng để giải nhiều bài toán nhanh và dễ nhớ !

Tham gia trọn vẹn khóa Pen-C và Pen-I môn Vật lí tại HOCMAI.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016!