công thức cực trị của điện xoay chiều

Tài liệu khai test đầu xuân 2014
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -


I. Đoạn mạch RLC có L thay đổi:
* Khi
2
1
L
C


thì I
Max
 U
Rmax
; P
Max
còn U
LCMin
Lưu ý: L và C mắc liên tiếp nhau

* Khi
22
C
L
C
RZ
Z

Z


thì
22
C
LMax
U R Z
U
R


và
2 2 2 2 2 2
LMax R C LMax C LMax
U U U U ; U U U U 0     

* Với L = L
1
hoặc L = L
2
thì U
L
có cùng giá trị thì U
Lmax
khi
12
12
L L L 1 2
2L L

1 1 1 1
( ) L
Z 2 Z Z L L
   


* Khi
22
CC
L
Z 4R Z
Z
2


thì
RLMax
22
CC
2UR
U
4R Z Z


Lưu ý: R và L mắc liên tiếp nhau
II. Đoạn mạch RLC có C thay đổi:
* Khi
2
1
C

L


thì I
Max
 U
Rmax
; P
Max
còn U
LCMin
Lưu ý: L và C mắc liên tiếp nhau
* Khi
22
L
C
L
RZ
Z
Z


thì
22
L
CMax
U R Z
U
R



và
2 2 2 2 2 2
CMax R L CMax L CMax
U U U U ; U U U U 0     

* Khi C = C
1
hoặc C = C
2
thì U
C
có cùng giá trị thì U
Cmax
khi
12
12
C C C
CC
1 1 1 1
( ) C
Z 2 Z Z 2

   

* Khi
22
LL
C
Z 4R Z

Z
2


thì
RCMax
22
LL
2UR
U
4R Z Z



Lưu ý: R và C mắc liên tiếp nhau
Thay đổi
f
có hai giá trị
12
ff
biết
12
f f a

III. Bài toán cho ω thay đổi.
- Xác định ω để P
max
, I
max
, U

Rmax
.
o Khi thay đổi ω, các đại lượng L, C, R không thay đổi nên tương ứng các đại lượng P
max
, I
max
,
U
Rmax
khi xảy ra cộng hưởng: Z
L
= Z
C
hay
1
LC


2
1
L LC 1
C
      

.
- Xác định ω để U
Cmax
. Tính U
Cmax
đó.

o
   
   
C
2 2 2
22
2
L C L C
2
Z .U
UU
= Z .I =
R + Z -Z R + Z -Z
R + L -
U U U
CC
C
22
4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
U
1
C
Z
1
C
y
L C R C 2LC 1 x L C x R C 2LC 1








  
       

o U
Cmax
khi y
min
hay
x=
2 2 2 2
2
CC
2 2 2
2LC R C 1 L R 1 L R
2L C L C 2 L C 2


       



và từ đó ta tính được
U
Cmax
22
2LU

R 4LC R C


.
CÁC CÔNG THỨC CỰC TRỊ ĐIỆN XOAY CHIỀU
GIÁO VIÊN : ĐẶNG VIỆT HÙNG





Tài liệu khai test đầu xuân 2014
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -

=> Khi
2
1 L R
L C 2
  
thì
CMax
22
2U.L
U
R 4LC R C



- Xác định ω để U
Lmax
. Tính U
Lmax
đó.
o
   
2 2 2
22
2
L C L C
2
Z .U
UU
= Z .I =
R + Z - Z R + Z -Z
R + L -
U U U
L
LL
L
22
22
2
4 2 2 2 2 2 2 2
U
1
C
Z

L
y
1 1 R 2 1 R 2
1 x x 1
L C L LC L C L LC







  
   
     
   

   

o U
Lmax
khi y
min
hay
x=
2 2 2 2
2
L
22
2

L
1 L C 2 R L R 1 1
C.
2 LC L C 2 C
LR
C2
   
      
   

   


và từ đó ta tính được
U
Lmax
22
2LU
R 4LC R C


.
=> Khi
2
11
C
LR
C2



thì
LMax
22
2U.L
U
R 4LC R C



- Cho ω = ω
1
, ω = ω
2
thì P như nhau. Tính ω để P
max
.
o Khi ω = ω
1
:
22
1
22
L1 C1
2
R.U R.U
= R.I =
R +(Z -Z )
R+
2
1

2
1
1
1
L
C







o Khi ω = ω
2
:
 
22
2
2
R.U R.U
= R.I = =
R + Z -Z
R+
2
22
22
L2 C2
2
2

1
L
C






o P

như nhau khi:
 
=
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 1 1 1 1
L L L
C C C LC

             

   


o Điều kiện để P

đạt giá trị cực đại (cộng hưởng) khi:
CL
ZZ

2
1 2 1 2
1
LC
           

=> Với  = 
1
hoặc  = 
2
thì I hoặc P hoặc cosφ hoặc U
R
có cùng một giá trị thì I
Max
hoặc P
Max
hoặc
U
RMax
khi
1 2 1 2
1
LC
       
,
12
f f f

Nghĩa là :Có hai giá trị của


để mạch có P, I, Z, cosφ, U
R
giống nhau thì
2
1 2 m
1
LC
    


- Cho ω = ω
1
, ω = ω
2
thì U
C
như nhau. Tính ω để U
Cmax
.
o Khi ω = ω
1
:
 
2
2
UU
U = Z .I
R+
R+
C1 C1 1

22
2 2 2
11
11
1
C LC 1
1
CL
C


  
  




Tài liệu khai test đầu xuân 2014
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -

o Khi ω = ω
2
:
 
2
2
UU
U = Z .I

R+
R+
C2 C2 2
22
2 2 2
22
22
2
C LC 1
1
CL
C


  
  




o U
C
như nhau khi:
   
       
 
22
22
2
R + R +

RR
R
22
2 2 2 2 2 2
C1 C2 1 1 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1
22
21
2
U U C LC 1 C LC 1
11
C LC LC 2 C 2L C
2 LC
1 1 L
2 L C 2
        


                 




     



o Điều kiện để U
Cmax

khi:
 
2
2 2 2
C 1 2
2
1 L R 1
L C 2 2

     



- Cho ω = ω
1
, ω = ω
2
thì U
L
như nhau. Tính ω để U
Lmax
.
o Khi ω = ω
1
:
2
2
UU
U = Z .I
R

R + + 1-
L1 L1 1
22
1
2 2 2
1 1 1 1
1 1 1
L
L C L LC

   

   
   
   

o Khi ω = ω
2
:
2
2
UU
U = Z .I
R
R + + 1-
L2 L2 2
22
2
2 2 2
2 2 2 2

1 1 1
L
L C L LC

   

   
   
   

o U
L
như nhau khi:
22
2
2 2 2
RR
+ 1 + 1
R
R R R
22
L1 L2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2
2
2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2

11
UU
L LC L LC
1 1 1 1 1 1 1 1
2
L LC LC
C
2 1 1 1 1 1 1 L
LC LC C
L L C 2 2 2 C 2
   
    
   
   
   

     
     

     
     
     


   

         

   


   

   


o Điều kiện để U
Lmax
khi:
2
2
2 2 2
L 1 2
1 L R 1 1 1
C
C 2 2


   


  



- Cho ω = ω
1
thì U
Lmax
, ω = ω
2

thì U
Cmax
. Tính ω để P
max
.
o U
Lmax
khi
1
2
11
.
C
LR
C2



o U
Cmax
khi
2
2
1 L R
L C 2
  

o Điều kiện để P

đạt giá trị cực đại (cộng hưởng) khi:

CL
ZZ
2
1 2 1 2
1
LC
           


IV. Các công thức vuông pha
1 – Đoạn mạch chỉ có L ; u
L
vuông pha với i
1
I
i
U
u
2
0
2
L0
L




















Tài liệu khai test đầu xuân 2014
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -

với U
0L
= I
0
Z
L
=>
2
0
2
2
L
L

Ii
Z
u









=>
2
2
2
1
2
1
2
2
L
ii
uu
Z




2 – Đoạn mạch chỉ có tụ C ; u

C
vuông pha với i
1
I
i
U
u
2
0
2
C0
C



















với U
0C
= I
0
Z
C
=>
2
0
2
2
C
Ii
Z
u










=>
 
2
0

2
2
CC
IiCu
C
1
Z  ω
ω
=>
2
2
2
1
2
1
2
2
C
ii
uu
Z





3- Đoạn mạch có LC ; u
LC
vuông pha với i
1

I
i
U
u
2
0
2
LC0
LC


















=>
2
2

2
1
2
1
2
2
LC
ii
uu
Z




4 – Đoạn mạch có R và L ; u
R
vuông pha với u
L
1
U
u
U
u
2
R0
R
2
L0
L



















;
1
cosU
u
sinU
u
2
0
R
2
0
L



















φφ

5 – Đoạn mạch có R và C ; u
R
vuông pha với u
C

1
U
u
U
u
2

R0
R
2
C0
C


















;
1
cosU
u
sinU
u
2

0
R
2
0
C


















φφ

6 – Đoạn mạch có RLC ; u
R
vuông pha với u
LC
1

U
u
U
u
2
R0
R
2
LC0
LC


















;
1

I
i
U
u
2
0
2
LC0
LC



















1
cosU

u
sinU
u
2
0
R
2
0
LC


















φφ
=> U
0

2
= U
0R
2
+ U
0LC
2

với U
0LC
= U
0R
tan =>
2
R0
2
R
2
LC
Uu
tan
u










φ

7 – Từ điều kiện để có hiện tượng cộng hưởng 
0
2
LC = 1
Xét với  thay đổi
7a :
R
L
R
C
LC
L
R
C
1
L
tan
2
0
2
0















ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
φ

=>
φ
ω
ω
ω
tanL
R
2
0


= hằng số

7b : Z
L
= L và
C
1
Z
C
ω


= >
2
0
2
2
C
L
LC
Z
Z
ω
ω
ω 
=>
0C
L
Z
Z
ω
ω



=> đoạn mạch có tính cảm kháng Z
L
> Z
C
=> 
L
> 
0

=> đoạn mạch có tính dung kháng Z
L
< Z
C
=> 
C
< 
0

=> khi cộng hưởng Z
L
= Z
C
=>  = 
0

U
0LC
U

0
U
0R
 
U
L
U
RLC
O U
R
U
C
U
RC

RC

RLC
Tài liệu khai test đầu xuân 2014
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5 -

7c : I
1
= I
2
< I
max
=> 

1

2
= 
0
2
Nhân thêm hai vế LC => 
1

2
LC = 
0
2
LC = 1
 Z
L1
= 
1
L và Z
C2
= 1/ 
2
C
 Z
L1
= Z
C2
và Z
L2
= Z

C1


7d : Cos
1
= cos
2
=> 
1

2
LC = 1 thêm điều kiện L = CR
2

2
1C1L
2
1
)ZZ(R
R
cos

φ
=>
2
1
2
2
1
1

2
1
1
cos










ω
ω
ω
ω
φ


8 – Khi L thay đổi ; điện áp hai đầu cuộn cảm thuần L => U
RC
U
RLC
=> từ GĐVT
U
Lmax
<=>

tan
RC
. tan
RLC
= – 1
=>
C
2
C
2
L
Z
ZR
Z


=> Z
L
2
= Z
2
+ Z
C
Z
L

=>
2
C
2

LMAX
ZR
R
U
U 
và
C
2
C
2
R
LMAX
U
UU
U



=> U
2

Lmax
= U
2
+ U
2
R
+ U
2
C

=>
LMAXC
22
LMAX
UUUU 

=>
1
U
U
U
U
LMAX
C
2
LMAX



















=>
1
Z
Z
Z
Z
L
C
2
L





















9 – Khi C thay đổi ; điện áp hai đầu tụ C => U
RL
U
RLC

=> U
Cmax
<=>

tan
RL
. tan
RLC
= – 1

=>
L
2
L
2
C
Z
ZR
Z



=> Z
C
2
= Z
2
+ Z
C
Z
L

=>
2
L
2
CMAX
ZR
R
U
U 
và
L
2
L
2
R
CMAX
U
UU
U




=> U
2

Cmax
= U
2
+ U
2
R
+ U
2
L

=>
CMAXL
22
CMAX
UUUU 
=>
1
U
U
U
U
CMAX
L
2

CMAX



















=>
1
Z
Z
Z
Z
C
L
2
C




















10 – Khi U
RL
 U
RC

=> Z
L
Z
C
= R
2

=>
2
RC
2
RL
RCRL
R
UU
UU
U


=> tan
RL
. tan
RC
= – 1

11 – Điện áp cực đại ở hai đầu tụ điện C khi  thay đổi
Với 
C
=
2
2
2
2
L
R
C
L


(1) => 
2
= 
C
2
= 
0
2
–
2
2
L2
R
(2) => cách viết kiểu (2) mới dễ nhớ hơn (1)
với Z
L
= 
C
L và Z
C
= 1/ 
C
C =>
2
0
2
C
2
C

C
L
LC
Z
Z
ω
ω
ω 

=> từ
22
CMAC
CRLC4R
LU2
U


(3) => từ (2) và (3) suy dạng công thức mới
Tài liệu khai test đầu xuân 2014
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 6 -

2
C
L
maxC
Z
Z
1

U
U










=>
1
Z
Z
U
U
2
C
L
2
CMAX



















=>
1
Z
Z
Z
Z
2
C
L
2
C



















=>
2
L
22
C
ZZZ 

=> 2tan
RL.
tan
RLC
= – 1 =>
1
U
U
2
2
0
2
C

2
CMAX


















ω
ω


12 – Điện áp ở đầu cuộn dây thuần cảm L cực đại khi  thay đổi
Từ
22
CRLC2
2




(1) =>
2
CR11
22
2
0
2
L

ωω
(2) => cách viết kiểu (2) mới dễ nhớ hơn (1)

; Z
L
= 
L
L và Z
C
= 1/ 
L
C =>
2
L
2
0
2
L
L

C
LC
1
Z
Z
ω
ω
ω


Từ
22
LMAX
CRLC4R
LU2
U


(3) = > dạng công thức mới
=>
2
L
C
maxL
Z
Z
1
U
U











=>
1
Z
Z
U
U
2
L
C
2
LMAX



















=>
1
Z
Z
Z
Z
2
L
C
2
L




















=>
2
C
22
L
ZZZ 
=> 2tan
RC.
tan
RLC
= – 1 =>
1
U
U
2
2
L
2
0
2
LMAX



















ω
ω

13 – Máy phát điện xoay chiều một pha
Từ thông
)tcos(
0
φω 

Suất điện động cảm ứng
)tsin(
dt
d

e
0
φωω 


= E
0
sin ((t +  )
=>
1
E
e
2
0
2
0






















Phần chứng minh các công thức 11; 12

CÔNG THỨC HAY :
Trong đoạn mạch xoay chiều , RLC ( cuộn dây thuần cảm ) với điện áp hai đầu đoạn mạch U = không đổi .
Xét trường hợp  thay đổi .
Các bạn đều biết
1 – Xét điện áp cực đại ở hai đầu điện trở R
U
Rmax
=
R
U
2
(1a) => khi 
2
R
LC = 1 =>
LC
1
2
R



(1b)

2- Xét điện áp cực đại ở hai đầu tụ điện C
U
Cmax
=
22
4
2
CRLCR
LU

( 2a) Khi :  =
2
2
2
2
L
R
C
L

(*)
Công thức (*) các tài liệu tham khảo đều viết như vậy, nhưng chỉ biến đổi một chút xíu thôi là có công thức
dễ nhớ hơn và liên hệ hay như sau
Bình phương hai vế và rút gọn L . Ta có
Tài liệu khai test đầu xuân 2014
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 7 -

Z
C
– Z
L

Z
C
R
Z
L
 
1
 
2
Z
Z
RL
2
2
2
R
2
C
2
2
2
C
L2
R

L2
R
LC
1


(2b) =>
RC



> Vậy là giữa (1b) và (2b) có liên hệ đẹp rồi .
Từ (2a ) chia tử mẫu cho 2L và đưa vào căn => ( 2b) thay vào (2a) trong căn , ta có

2
C
L
MAXC
Z
Z
1
U
U











(2c) để tồn tại đương nhiên Z
C
> Z
L
và không có R
3 – Xét điện áp cực đại ở hai đầu cuộn dây thuần cảm L
U
Lmax
=
22
4
2
CRLCR
LU

(3a) Khi
22
CRLC2
2



( ** )

Công thức ( ** ) các tài liệu tham khảo cũng hay viết như vậy. Tương tự như trên bình phương hai vế và
viết nghịch đảo

2
CR11
2
CR
LC
1
22
2
R
2
L
22
2
L


( 3b) =>
RL



Giữa (3b) và (1b) lại có liên hệ nữa rồi .
Tương tự dùng (3b) thay (3a) ta có

2
L
C
MAXL
Z
Z

1
U
U










(3c) để tồn tại đương nhiên Z
L
> Z
C
và không có R
4 – Kết hợp (1b) , (2b) , (3b) Ta có :
2
RLC


= 
0
2

5- Chứng minh khi U
Cmax
với  thay đổi thì: 2tan

RL.
tan
RLC
= – 1
Ta có : Z
L
= 
C
L = >
2
2
2
22
C
2
L
L
L2
R
LC
1
LZ









 ω

=>
2
R
C
L
Z
2
2
L


=>
)ZZ(ZZZZZ
C
L
Z
C
L
2
R
CLL
2
LCL
2
L
2
L
2


ω
ω

=>
2
1
R
)ZZ(
.
R
Z
CL
L


(1)
=> Từ hình vẽ

R
Z
tantan
L
RL1
 φφ
(2)
R
ZZ
tantan
CL

RLC2

 φφ
(3)
=> Từ 1,2,3 : 2tan
RL.
tan
RLC
= – 1
 Lưu ý là có số 2 ở phía trước nhé, nên trường hợp này U
RL
không vuông góc với U
RLC
.
Phần khi U
Lmax
chứng tương tự

5– Khi  thay đổi với  = 
C
thì U
Cmax
và  = 
L
thì U
Lmax
nhưng nếu viết theo biểu thức dạng 2a và 3a
thì : U
Cmax
= U

Lmax
cùng một dạng, nhưng điều kiện có nghiệm là  = 
C
  = 
L

Tài liệu khai test đầu xuân 2014
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 8 -

Nhưng nếu viết dạng (2c) và (3c) thì lại khác nhau .
Cả hai cách viết dạng a hay c của U
maxC
hay U
maxL
đều rất dễ nhớ .

6 – Khi các giá trị điện áp cực đại U
maxR
; U
maxC
; U
max L
với các tần số tương ứng

R
; 
C
; 

L
thì có một mối quan hệ cũng rất đặc biệt đó là

L
> 
R
> 
C
=> điều này dễ dàng từ các biểu thức 2b và 3b
Nhận xét : Có thể nói còn rất nhiều hệ quả hay vận dụng từ hai dao động có pha vuông góc hoặc từ con số 1
ở vế phải . Ta có thể dùng để giải nhiều bài toán nhanh và dễ nhớ !




Giáo viên: Đặng Việt Hùng
Nguồn : Hocmai.vn