skkn sử dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập vật lí

SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí.

MỤC LỤC
Trang

GV: Trần Văn Kiên

Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy

-1/28-


SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí.

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ.
Môn Vật lý là một bộ phận khoa học tự nhiên nghiên cứu về các hiện tượng xảy ra có
tính qui luật trong tự nhiên. Những thành tựu của vật lý được ứng dụng vào thực tiễn cuộc
sống và ngược lại chính thực tiễn cuộc sống đã thúc đẩy khoa học vật lý phát triển. Vì vậy,
học vật lý không chỉ đơn thuần là học lý thuyết vật lý mà phải biết vận dụng kiến thức ấy
vào thực tiễn cuộc sống. Do đó trong quá trình giảng dạy môn Vật lí, người giáo viên phải
rèn luyện cho học sinh có được những kĩ năng, kĩ xảo và thường xuyên vận dụng những
hiểu biết đã học để giải quyết những vấn đề thực tiễn đặt ra.
Bộ môn vật lý được đưa vào giảng dạy trong nhà trường phổ thông nhằm cung cấp
cho học sinh những kiến thức phổ thông, cơ bản, giúp học sinh có khả năng phân tích tổng
hợp và có phương pháp làm việc khoa học. Chính vì thế, để học sinh có thể hiểu được một
cách sâu sắc và đầy đủ những kiến thức, đồng thời áp dụng được các kiến thức đó vào thực
tiễn cuộc sống thì cần phải rèn luyện cho học sinh những phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo
trong việc giải bài tập, đo lường, quan sát ….
Bài tập vật lý có ý nghĩa hết sức quan trọng trong việc thực hiện nhiệm vụ dạy học
vật lý ở nhà trường phổ thông. Thông qua việc giải tốt các bài tập vật lý, học sinh sẽ có
được những kĩ năng so sánh, phân tích, tổng hợp … do đó sẽ góp phần to lớn trong việc

phát triển tư duy của học sinh. Đặc biệt bài tập vật lý giúp học sinh củng cố kiến thức có hệ
thống cũng như vận dụng những kiến thức đã học vào việc giải quyết những tình huống cụ
thể, làm cho bộ môn trở nên lôi cuốn, hấp dẫn các em hơn.
Hiện nay, trong xu thế đổi mới của ngành giáo dục về phương pháp giảng dạy cũng
như phương pháp kiểm tra đánh giá kết quả giảng dạy và thi tuyển, cụ thể là phương pháp
kiểm tra đánh giá bằng phương tiện trắc nghiệm khách quan. Trắc nghiệm khách quan đang
trở thành phương pháp chủ đạo trong kiểm tra đánh giá chất lượng dạy và học trong nhà
trường THPT. Điểm đáng lưu ý là nội dung kiến thức kiểm tra tương đối rộng, đòi hỏi học
sinh phải học kĩ, nắm vững toàn bộ kiến thức của chương trình, tránh học tủ, học lệch và để
đạt được kết quả tốt trong việc kiểm tra, thi tuyển học sinh không những phải nắm vững
kiến thức mà còn đòi hỏi học sinh phải có phản ứng nhanh đối với các dạng toán, đặc biệt
các dạng toán mang tính chất khảo sát mà các em thường gặp. Để đáp ứng yêu cầu của
phương pháp thi tuyển bằng trắc nghiệm khách quan, trong quá trình giảng dạy giáo viên
phải dạy cho học sinh phương pháp làm bài nhanh, đơn giản nhưng hiệu quả. Qua quá trình
giảng dạy và tìm hiểu, bản thân tôi nhận thấy “sử dụng phương trình và hàm số bậc 2 để
GV: Trần Văn Kiên

Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy

-2/28-


SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí.
giải các bài tập Vật lí” thật sự mang lại hiệu quả rất tốt.

PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
I. LÝ THUYẾT.
I.1. Phương trình bậc 2:
2
- Phương trình bậc hai là phương trình có dạng: ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) .

- Hệ thức ∆ = b 2 − 4ac.
•

Nếu ∆ < 0 : phương trình vô nghiệm.

•

Nếu ∆ = 0 : phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = −

•

Nếu ∆ > 0 : phương trình có hai nghiệm x1 =

b
.
2a

−b − ∆
−b + ∆
và x2 =
.
2a
2a

b

x
+
x

=
−
1
2

a
.
- Định lí Vi – et: 
c
x x =
 1 2 a
∆ > 0
, trái dấu nếu a.c < 0.
 a.c > 0

- Phương trình có hai nghiệm cùng dấu nếu 

∆ ≥ 0

- Phương trình có hai nghiệm dương ⇔ a.c > 0.
 a.b < 0

∆ ≥ 0

- Phương trình có hai nghiệm âm ⇔ a.c > 0.
 a.b > 0


I.2. Hàm số bậc 2:
2

- Hàm số bậc 2 là hàm số có dạng: y = f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ 0 ) .

- Nếu a > 0, hàm số có giá trị cực tiểu tại x = −
- Nếu a < 0, hàm số có giá trị cực đại tại x = −

b
∆
, giá trị cực tiểu ymin = − .
2a
4a

b
∆
, giá trị cực đại ymax = − .
2a
4a

- Nếu ∆< 0 thì f(x) cùng dấu với a, ∀x ∈ R .
- Nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu với a, ∀x ≠

GV: Trần Văn Kiên

−b
2a

.

Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy

-3/28-

SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí.
- Nếu ∆ > 0 thì f(x) có hai nghiệm x1 và x2 ( x1 < x2 ). Khi đó, f(x) trái dấu với a
với mọi x nằm trong khoảng ( x1 ; x 2 ) và f(x) cùng dấu với a với mọi x nằm ngoài đoạn

[x ;x ] .
1

2

I.3. Dòng điện không đổi:
- Dòng điện không đổi là dòng điện có chiều và cường độ dòng điện không đổi.
- Định luật Ôm đối với đoạn mạch chỉ chứa điện trở thuần: I =

U
.
R

- Công suất tỏa nhiệt trên R: P = I 2 R.
I.4. Mạch điện xoay chiều RLC nối tiếp:
- Cảm kháng: Z L = ω L.
- Dung kháng: Z C =

1
.
ωC

- Tổng trở: Z = R 2 + ( Z L − Z C ) .
2

- Cường độ dòng điện hiệu dụng: I =
- Hệ số công suất: cos ϕ =

U
.
Z

R
.
Z

- Công suất tiêu thụ của đoạn mạch: P = U .I .cos ϕ = I 2 R.
- Hiệu điện thế hai đầu cuộn cảm: U L = I .Z L .
- Hiệu điện thế hai đầu tụ điện: U C = I .Z C .
I.5. Tổng hợp dao động:
- Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số: x1 = A1 cos ( ωt + ϕ1 ) cm và
x2 = A2 cos ( ωt + ϕ 2 ) cm .

- Dao động tổng hợp của hai dao động trên là một dao động điều hòa:
x = A cos ( ωt + ϕ ) cm .

- Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp:
A = A12 + A22 − 2 A1 A2 cos ( ϕ1 − ϕ 2 ) ; tan ϕ =

A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2
.
A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ2

I.6. Dao động tắt dần:

GV: Trần Văn Kiên

Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy

-4/28-


SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí.
- Trong quá trình dao động của vật nếu ta không loại bỏ được ma sát thì dao động của
vật là dao động tắt dần.
- Dao động tắt dần là dao động có biên độ giảm dần theo thời gian.
I.7. Chuyển động thẳng đều:
- Chuyển động thẳng đều là chuyển động trên quỹ đạo thẳng với vận tốc không đổi.
- Quãng đường vật đi được: S = v. ( t − t0 ) , v là tốc độ chuyển động, t0 là thời điểm bắt đầu
khảo sát chuyển động.
I.8. Chuyển động của vật dưới tác dụng của trọng lực:
r ur

- Đặc điểm: gia tốc của vật a = g .
- Để nghiên chuyển động của vật, ta khảo sát chuyển động theo hai phương (tổng quát):
 Theo phương ngang: vật chuyển động thẳng đều.
uur ur
 Theo phương thẳng đứng: vật có gia tốc a y = g .

II. BÀI TẬP.
II.1. Một số bài toán liên quan đến đại học.
Trước hết Tôi xin giới thiệu một bài tập của học sinh lớp 9. Đây là bài tập nâng cao của
Vật lí 9. Dạng bài tập này đã được dùng để làm đề thi trong các đề thi chọn học sinh giỏi và
đề thi tuyển sinh vào chuyên lí.
Bài 1: Cho đoạn mạch AB gồm biến trở R mắc nối tiếp với điện trở R 0 = 40Ω , đặt vào

hai đầu đoạn mạch một hiệu điện thế không đổi UAB = U = 100V.
a. Khi thay đổi giá trị của biến trở thì thấy công suất tỏa nhiệt trên biến trở đạt một giá trị
lớn nhất. Tìm giá trị của biến trở để công suất tỏa nhiệt trên biến trở đạt giá trị lớn nhất?
Tìm giá trị lớn nhất đó của công suất?
b. Khi thay đổi giá trị của R thì thấy có hai giá trị R = R 1 và R = R2 cho cùng một giá trị
công suất P trên biến trở. Biết R1 + R2 = 100Ω . Tính giá trị của P trong hai trường hợp trên?
* Phân tích cách giải bài toán:
- Trước hết chúng ta đi xem xét cách giải của học sinh khi đối diện với bài toán này. Với
bài toán này học sinh thường tách riêng thành hai câu để giải. Thông thường học sinh
thường giải như sau:
a. Công suất tỏa nhiệt trên biến trở có biểu thức:
P = I 2R =

GV: Trần Văn Kiên

U2

( R + R0 )

.R =
2

U2
.R .
R 2 + 2 RR0 + R02

Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy

-5/28-

SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí.
Vì bài toán yêu cầu tìm R để công suất tỏa nhiệt trên biến trở đạt giá trị cực đại nên

R ≠ 0 , do đó:

P=

U2
R02
R + 2 R0 +
R

U2

≤

2 R0 + 2 R.

R02
R

=

U2
U 2 1002
⇒ Pmax =
=
= 62,5 ( W ) .
4 R0

4 R0 4.40
(áp

dụng bất đẳng thức Cosi).
Công suất đạt giá trị cực đại khi: R =

R02
⇔ R = R0 = 40Ω.
R

b. Vì công suất trên biến trở trong hai trường hợp bằng nhau nên ta có:
P = I R1 = I R2 ⇔
2
1

2
2

U2

.R1 =

U2

.R2 ⇔

R1

=

R2

( R1 + R0 )
( R2 + R0 )
( R1 + 40 ) ( R2 + 40 )
2
2
⇔ R1 ( R2 + R0 ) = R2 ( R1 + R0 ) ⇔ R1 R2 ( R2 − R1 ) = R02 ( R2 − R1 ) .
2

2

2

2

2
2
Vì R1 ≠ R2 ⇒ R1.R2 = R0 = 1600 ( Ω ) ( 1) .

Mặt khác: R1 + R2 = 100 ( Ω ) ( 2 ) .
 R1 = 20 ( Ω )

2
Do đó R1 , R2 là nghiệm của phương trình: R − 100 R + 1600 = 0 (2) ⇔ 

 R2 = 80 ( Ω )

.

Công suất tiêu thụ trên biến trở trong hai trường hợp trên là:
P=

U2

( R1 + R0 )

.R1 =
2

1002

( 20 + 40 )

2

.20 = 55,56 ( W ) .

* Nhận xét: Từ bài giải trên chúng ta thấy với bài toán này nếu học sinh cấp 2 giải sẽ
gặp rất nhiều khó khăn vì các em chưa được học bất đẳng thức Cosi.
Đặc biệt khi giải câu b học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn về biến đổi toán học, thường
các em thay số và thế ngay R1 = 100 − R2 vào phương trình

R1

( R1 + 40 )

2

=

R2

2
( R2 + 40 ) để đưa về

phương trình chỉ chứa R1, nhưng đây lại là phương trình bậc 3. Trong một số bài toán, học
sinh biến đổi về được phương trình (2), nhưng nghiệm của nó lại là nghiệm phức. Gặp
trường hợp này học sinh chưa học số phức sẽ không thể tiếp tục giải bài toán để đưa ra kết
quả. Ta có thể định hướng lại cách giải bài toán trên cho học sinh như sau:
+ Khi thay đổi R thì công suất P thay đổi, nghĩa là P là hàm số của R.
+ Biểu thức tính công suất tiêu thụ trên biến trở:

GV: Trần Văn Kiên

Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy

-6/28-


SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí.
P = I 2R =

U2

( R + R0 )

.R =
2

U2
.R .
R 2 + 2 RR0 + R02

2
2
2
Hay PR + ( 2 R0 P − U ) R + PR0 = 0 ( 3) .

Phương trình (3) là phương trình bậc 2 đối với R.
a. Tìm Pmax và R để Pmax:
- Điều kiện để phương trình (3) có nghiệm là:
∆ = ( 2 R0 P − U 2 ) − 4 P 2 R02 ≥ 0 ⇔ 4 R02 P 2 − 4 R0 PU 2 + U 4 − 4 P 2 R02 ≥ 0 ⇔ U 2 ( U 2 − 4 R0 P ) ≥ 0 .
2

U2
U 2 1002
⇔P≤
⇔ Pmax =
=
= 62,5 ( W ) .
4 R0
4 R0 160

- Khi Pmax thì ∆ = 0 , do đó phương trình (3) có nghiệm kép:
R1 = R2 = R = −

b U 2 − 2 R0 .Pmax
=
=

2a
2 Pmax

U 2 − 2 R0

U2
4 R0

U2
2.
4 R0

= R0 = 40Ω.

b. Theo đề bài, có hai giá trị của R cho cùng một giá trị của P. Tức là phương trình (3)
có 2 nghiệm phân phân biệt. Theo định lí Vi – et:

U 2 − 2 R0 P
R
+
R
=
U2
1002
 1
2
⇒
P
=
=

= 55,56 ( W ) .
P

R
+
R
+
2
R
180
2
1
2
0
 R .R = R
0
 1 2

* Nhận xét: Bằng cách đưa về phương trình bậc 2 của điện trở R theo công suất P, dùng
điều kiện có nghiệm và tính chất về nghiệm của phương trình bậc 2, ta có thể trả lời được
nhiều câu hỏi liên quan đến bài toán công suất.
* Phát triển bài toán: Ta có thể dùng phương pháp giải bài toán trên cho các bài toán
trong chương trình Vật lí 11 và 12. Sau đây ta sẽ đi tìm hiểu thêm một số bài toán tương tự
liên quan đến bài thi đại học.
Bài 2: Một mạch điện kín gồm nguồn điện có suất điện động E = 10V, điện trở trong R 0
= 1Ω ; mạch ngoài là biến trở R.
a. Khi thay đổi giá trị của biến trở thì thấy công suất tỏa nhiệt trên biến trở đạt một giá trị
lớn nhất. Tìm giá trị của biến trở để công suất tỏa nhiệt trên biến trở đạt giá trị lớn nhất?
Tìm giá trị lớn nhất đó của công suất?

GV: Trần Văn Kiên

Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy

-7/28-


SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí.
b. Khi thay đổi R thì thấy có hai giá trị của R là R1 và R2 cho cùng một giá trị công suất
P trên biến trở. Cho biết R1 + R2 = 8 Ω . Tìm P?
Bài giải
2
Công suất tỏa nhiệt trên biến trở có biểu thức: P = I R =
2
2
2
Hay PR + ( 2 R0 P − E ) R + PR0 = 0 ( 1) .

E2

( R + R0 )

.R =
2

E2
.R .
R 2 + 2 RR0 + R02

Phương trình (1) là phương trình bậc 2 đối với R.

a. Tìm Pmax và R để Pmax:
- Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là:
∆ = ( 2 R0 P − E 2 ) − 4 P 2 R02 ≥ 0 ⇔ 4 R02 P 2 − 4 R0 PE 2 + E 4 − 4 P 2 R02 ≥ 0 ⇔ E 2 ( E 2 − 4 R0 P ) ≥ 0 .
2

⇔P≤

E2
E 2 10 2
⇔ Pmax =
=
= 25 ( W ) .
4 R0
4 R0 4.1

- Khi Pmax thì ∆ = 0 , do đó phương trình (1) có nghiệm kép:
b E 2 − 2 R0 .Pmax
R1 = R2 = R = −
=
=
2a
2 Pmax

E 2 − 2 R0

E2
4 R0

E2
2.

4 R0

= R0 = 1Ω .

b. Theo đề bài, có hai giá trị của R cho cùng một giá trị của P. Tức là phương trình (1)
có 2 nghiệm phân phân biệt. Theo định lí Vi – et:
E 2 − 2 R0 P
E2
102
R1 + R2 =
⇒P=
=
= 10 ( W ) .
P
R1 + R2 + 2 R0 10

Bài 3: Cho mạch điện xoay chiều nối tiếp gồm biến trở R, cuộn cảm thuần L và tụ điện
có điện dung C. Đặt vào hai đầu mạch một điện áp xoay chiều ổn định u = U 2 cos ( ωt ) V .
1. Tìm R để công suất tiêu thụ của mạch đạt giá trị cực đại? Tìm biểu thức tính công suất
cực đại đó?
2. Khi thay đổi giá trị của biến trở thì thấy có hai giá trị R = R 1 và R = R2 mạch tiêu thụ
cùng một công suất (P1 = P2 = P). Chứng minh rằng:
a. R1 R2 = ( Z L − Z C ) .
2

b. Công suất tỏa nhiệt tương ứng khi đó P1 = P2 = P =

U2
.
R1 + R2

Bài giải

GV: Trần Văn Kiên

Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy

-8/28-


SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí.
2
Công suất tiêu thụ của mạch điện: P = I R =

U2
U2
.
R
=
.R.
2
Z2
R 2 + ( Z L − ZC )

Hay: PR 2 − U 2 R + ( Z L − Z C ) .P = 0 ( 1) .
2

Phương trình (1) là phương trình bậc 2 đối với R.
a. Điều kiện để phương trình có nghiệm:
∆ ≥ 0 ⇔ U 4 − 4 P 2 ( Z L − ZC ) ≥ 0 ⇔ P ≤

2

U2
U2
⇒ Pmax =
.
2 Z L − ZC
2 Z L − ZC

- Khi Pmax thì phương trình (1) có nghiệm kép: R1 = R2 = R = −

b
−U 2
=−
= Z L − ZC .
2a
2 Pmax

b. Theo đề bài có hai giá trị của R cho cùng một giá trị của P, tức là phương trình (1) có

c
2

 R1.R2 = a = ( Z L − Z C )
hai nghiệm phân biệt. Theo định lí Vi – et, ta có: 
(đpcm).
2
2
 R1 + R2 = − b = U ⇒ P = U


a P
R1 + R2

Bài 4: Cho mạch điện xoay chiều nối tiếp gồm điện trở thuần R, cuộn dây thuần cảm có
L thay đổi, tụ điện có điện dụng C. Đặt vào hai đầu mạch điện một điện áp xoay chiều có
giá trị hiệu dụng U và tần số f không đổi.
a. Tìm L để hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu cuộn cảm đạt giá trị cực đại, tìm giá trị cực
đại của UL?
b. Khi thay đổi L thì thấy có hai giá trị L = L 1 và L = L2 cho cùng điện áp hiệu dụng hai
đầu cuộn cảm. Tìm điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm trong hai trường hợp đó.
c. Khi thay đổi L thì thấy có hai giá trị L = L 1 và L = L2 cho cùng điện áp hiệu dụng hai
đầu cuộn cảm. Khi L = L0 thì điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm đạt giá trị cực đại. Tìm hệ
thức liên hệ giữa L0, L1 và L2?
d. Khi thay đổi L thì thấy có hai giá trị L = L 1 và L = L2 cho cùng công suất tiêu thụ trên
mạch điện. Khi L = L0 thì công suất tiêu thụ của mạch đạt giá trị cực đại. Tìm hệ thức liên
hệ giữa L0, L1 và L2?
Bài giải
- Biểu thức hiệu điện thế hai đầu cuộn cảm:

GV: Trần Văn Kiên

Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy

-9/28-


SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí.
U L = I .Z L =

2

2
Đặt y = ( R + Z C )

U
R + ( Z L − ZC )
2

.Z L =

2

(R

2

+ Z C2 )

U
1
1
− 2ZC . + 1
2
ZL
ZL

( 1)

.

1

1
1
− 2ZC
+ 1 ( 2 ) , y là hàm số bậc 2 đối với
có hệ số a dương.
2
ZL
ZL
ZL

2
2
Phương trình (2) tương đương với: ( R + Z C )

1
1
− 2Z C
+1− y = 0
2
ZL
ZL

( 3) .

a. Khi hiệu điện thế hai đầu cuộn cảm đạt cực đại thì y đạt giá trị cực tiểu, y đạt giá trị
cực tiểu khi

Z
R 2 + Z C2
1

= 2 C 2 ⇔ ZL =
Z L R + ZC
ZC

Giá trị cực tiểu của y: ymin

( 4 ) . Từ đó suy ra:

(

L=

R 2 + Z C2
.
2π f .Z C

)

2
2
2
∆ 4Z C − 4 R − Z C
R2
=−
=
= 2
4a
R + Z C2
4 R 2 + Z C2

(

)

Hiệu điện thế cực đại hai đầu cuộn cảm: U L max =

U
=U
ymax

( 5) .

R 2 + Z C2
R

( 6) .

b. Có hai giá trị của L cho cùng điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn dây, tức là phương trình
(3) có hai nghiệm phân biệt. Theo định lí Vi – et:
Z L1.Z L 2 − R 2 − Z C2
1 1
1− y
.
= 2
⇒
y
=
Z L1 Z L 2 R + Z C2
Z L1.Z L 2

- Hiệu điện thế hai đầu cuộn cảm: U L =
c. UL đạt giá trị cực đại khi:

( 7) .
U Z L1.Z L 2
Z L1.Z L 2 − R 2 − Z C2

Z
1
= 2 C 2
Z L0 R + ZC

( 8) .

( *) .

- Có hai giá trị của L cho cùng một giá trị của U L, tức là phương trình (3) có hai nghiệm.
Theo định lí Vi – et:

Z
1
1
+
=2 2 C 2
Z L1 Z L 2
R + ZC

Từ (*) và (**), suy ra:
Từ đó suy ra:

( **) .

1
1 1
1 
= 
+
÷
Z L 0 2  Z L1 Z L 2 

( 9) .

1 1 1 1 
=  + ÷.
L0 2  L1 L2 

d. Biểu thức tính công suất: P =

GV: Trần Văn Kiên

U 2R
R 2 + ( Z L − ZC )

2

( 10 ) .

Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy

-10/28-

SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí.
- Công suất đạt giá trị cực đại khi: Z L = Z L 0 = ZC ( *) .
- Phương trình (10) được đưa về phương trình bậc 2:
PZ L2 − 2 PZ C .Z L + ( R 2 + Z C2 ) P − U 2 R = 0

( 11) .

Có hai giá trị của L cho cùng công suất tiêu thụ trong mạch, tức là phương trình (11) có
hai nghiệm phân biệt. Theo định lí Vi – et: Z L1 + Z L 2 =
Từ (*) và (**), suy ra: Z L1 + Z L 2 = 2Z L 0 ⇔ Z L 0 =
Từ đó suy ra: L0 =

2 PZ C
= 2ZC
P

Z L1 + Z L 2
2

( **) .

( 12 ) .

L1 + L2
.
2

Bài 5: Cho mạch điện xoay chiều nối tiếp gồm điện trở thuần R, cuộn dây thuần cảm L,

tụ điện có điện dụng C thay đổi. Đặt vào hai đầu mạch điện một điện áp xoay chiều có giá
trị hiệu dụng U và tần số f không đổi.
a. Tìm C để hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại.
b. Khi thay đổi C thì thấy có hai giá trị C = C 1 và C = C2 cho cùng điện áp hiệu dụng hai
đầu tụ điện. Tìm điện áp hiệu dụng hai đầu tụ điện trong hai trường hợp đó.
c. Khi thay đổi C thì thấy có hai giá trị C = C 1 và C = C2 cho cùng điện áp hiệu dụng hai
đầu tụ điện. Khi C = C0 thì điện áp hiệu dụng hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại. Tìm hệ thức
liên hệ giữa C0, C1 và C2?
d. Khi thay đổi C thì thấy có hai giá trị C = C 1 và C = C2 cho cùng cường độ dòng điện
hiệu dụng trong mạch điện. Khi C = C0 thì cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch đạt
giá trị cực đại. Tìm hệ thức liên hệ giữa C0, C1 và C2?
Bài giải
- Biểu thức hiệu điện thế hai đầu tụ điện:
U C = I .Z C =

U
R2 + ( Z L − ZC )

2

.Z C =

(R

2

+ Z L2 )

U
.

1
1
− 2Z L .
+1 .
2
ZC
ZC

- Như vậy biểu thức của U C có dạng giống biểu thức của U L trong bài tập 4. Do đó các
kết quả của bài tập 4 có thể áp dụng được cho bài tập 5.
a. U C max = U

R 2 + Z L2
R 2 + Z L2
.
, đạt được khi Z C =
ZL
R

GV: Trần Văn Kiên

Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy

-11/28-


SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí.
b. Hiệu điện thế hai đầu tụ điện: U C =

c.

U Z C1.Z C 2
Z C1.Z C 2 − R 2 − Z C2

.

1
1 1
1 
C1 + C2
= 
+
.
÷ ⇒ C0 =
Z C 0 2  ZC1 ZC 2 
2
U

d. Cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch có biểu thức: I =

R + ( Z L − ZC )
2

2

( 1) .

- Cường độ dòng điện đạt giá trị cực đại khi: Z C = Z C 0 = Z L ( *) .
- Phương trình (1) được đưa về phương trình bậc 2:
yZ C2 − 2 Z L y.Z C + ( R 2 + Z L2 ) y − U 2 = 0

( 2 ) , với

y = I2 ≥ 0.

Có hai giá trị của C cho cùng cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch, tức là phương
trình (2) có hai nghiệm phân biệt. Theo định lí Vi – et: Z C1 + Z C 2 =
Từ (*) và (**), suy ra: Z C1 + ZC 2 = 2ZC 0 ⇔

2Z L . y
= 2Z L
y

( **) .

1 1 1
1 
=  + ÷.
C0 2  C1 C2 

Bài 6: Cho mạch điện xoay chiều gồm điện trở thuần, cuộn dây thuần cảm và tụ điện
mắc nối tiếp. Hiệu điện thế hai đầu mạch điện có giá trị hiệu dụng không đổi, tần số thay đổi
được. Khi tần số f = f1 và f = f2 thì công suất tiêu thụ của mạch bằng nhau. Khi f = f 0 thì
công suất tiêu thụ của mạch đạt giá trị cực đại. Tìm hệ thức liên hệ giữa f 1, f2 và f0?
Bài giải
Cách 1: Dùng tính chất nghiệm của hàm số bậc 2.
- Công suất tiêu thụ của mạch: P =

U 2R
R2 + ( Z L − ZC )

2

( 1) .

- Công suất tiêu thụ đạt giá trị cực đại khi Z L = Z C ⇔ ω0 L =

1
1
⇔ ω02 =
( *) .
ω0 C
LC

- Phương trình (1) tương đương với:
P=

U 2R
1
R + ω L − 2 LC + 2 2
ωC
2

2 2

⇔ PL2C 2ω 4 + ( R 2C 2 − 2 LC 3 − U 2 RC 2 ) ω 2 + P = 0

( 2) .

Phương trình (2) là phương trình bậc hai đối với ω 2 .

GV: Trần Văn Kiên

Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy

-12/28-


SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí.
Có hai giá trị của f cho cùng một giá trị công suất P, tức là phương trình (2) có hai
2
2
nghiệm phân biệt. Theo định lí Vi – et: ω1 .ω2 =

P
1
1
= 2 2 ⇔ ω1ω2 =
2 2
PL C
LC
LC

( **) .

Từ (*) và (**), suy ra: ω1 .ω2 = ω02 hay f1. f 2 = f 02 .
Cách 2: Dùng tính chất đối xứng của phương trình bậc 2.
- Công suất tiêu thụ của mạch: P =

U 2R

R2 + ( Z L − ZC )

2

( 1)

2
2
- Có hai giá trị f1 và f 2 cho cùng giá trị công suất ⇒ ( Z1L − Z1C ) = ( Z 2 L − Z 2C ) ( 2 ) .

- Từ phương trình (2), ta thấy khi thay Z 1L bằng Z2C, Z1C bằng Z2L và ngược lại thì phương
trình (2) cũng nghiệm đúng, nghĩa là
⇔ f1. f 2 =

Z1L = Z 2 C ⇔ ω1 L =

1
ω2 C

⇔ 2π f1 L =

1
2π f 2C

1
= f 02 .
2
4π LC

Nhận xét: Khi sử dụng tính đối xứng của phương trình bậc 2 thì việc giải các bài toán

trở nên đơn giản hơn nhiều. Sau đây tôi xin giới thiệu thêm hai bài toán có thể được giải
bằng tính đối xứng của phương trình .bậc 2:
Bài 7: (Đề thi thử ĐH trường chuyên ĐH Vinh năm 2012) Cho đoạn mạch RLC với
L / C = R 2 , đặt

vào hai đầu đoạn mạch trên điện áp xoay chiều u = U 2 cos ωt , (với U không

đổi, ω thay đổi được). Khi ω = ω1 và ω = ω2 = 9ω1 thì mạch có cùng hệ số công suất, giá trị
hệ số công suất đó là
A. 3 / 73.

B. 2 / 13.

C. 2 / 21.

D. 4 / 67.

Bài giải
* Trước hết tôi xin giới thiệu đáp án của đề:
1
Z C ; cos ϕ = cos ϕ '
9
1
1
⇔ Z LC = Z ' LC ⇔ Z C − Z L = 9 Z L − Z C ⇔ Z L = Z C
9
9
.
1
73

2
2
2
+ Z L Z C = L / C = R ⇒ Z L = R; Z C = 3R ⇒ Z = R + ( Z L − Z C ) = R
3
9
3
⇒ cos ϕ = R / Z =
73
+ ω 2 = 9ω1 ⇒ Z ' L = 9 Z L ; Z 'C =

* Dùng tính đối xứng của phương trình bậc 2:
GV: Trần Văn Kiên

Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy

-13/28-


SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí.
+ Theo đề bài cos ϕ1 = cos ϕ2 ⇒ Z1 = Z2 ⇔ ( Z1L − Z1C ) = ( Z 2L − Z 2C ) ⇒ Z1C = Z 2L .
2

2

+ Hệ số công suất:
cos ϕ =

+ Mặt khác:

R
R
R
R
=
=
=
.
2
2
2
2
2
2
Z
R + ( Z1L − Z1C )
R + ( Z1L − Z 2L )
R + ( 8ω1L )

L
1
R2
2
= R 2 ⇔ ω1L.
= R 2 ⇔ ω1L.ω2 L = R 2 ⇔ ( ω1L ) =
.
C
ω2C
9

Thay vào biểu thức trên, ta được: cos ϕ =

3
.
73

* Nhận xét: Khi dùng tính đối xứng của phương trình bậc 2 để giải sẽ cho kết quả nhanh
hơn, đồng thời học sinh cũng không cần phải thực hiện nhiều phép biến đổi phức tạp.
Bài 8: (Đề thi ĐH năm 2012) Đặt điện áp u = U 0 cos ( ωt ) V (U0 không đổi, ω thay
đổi) vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm

4
H và tụ
5π

điện nối tiếp. Khi ω = ω0 thì cường độ dòng điện hiệu dụng qua đoạn mạch đạt giá trị cực
đại Im. Khi ω = ω1 hoặc ω = ω2 thì cường độ dòng điện hiệu dụng qua đoạn mạch bằng nhau

(

)

và bằng Im. Biết ω1 − ω2 = 200π rad s . Giá trị của R bằng
A. 150Ω.

B. 200Ω. .

C. 160Ω.

D. 50Ω.

Bài giải
* Bài giải được đưa lên mạng internet:
+ Với ω = ω1 hoặc ω = ω2 thì I1 = I 2 ⇒ Z1 = Z2 .
⇔ R 2 + ( Z1L − Z1C ) = R 2 + ( Z2L − Z2C ) ⇔ ( Z1L − Z1C ) = − ( Z 2L − Z 2C )
2

⇔ ω1ω2 = ω02 =

2

1
.
LC

+ Theo đề: I1 = I 2 = Im = I00 ⇒ Z1 = Z2 = 2Z0 .
⇔ R 2 + ( Z1L − Z1C ) = R 2 + ( Z2L − Z2C ) = 2R 2 ⇔ ( Z1L − Z1C ) = ( Z2L − Z2C ) = R 2 .
2

2

2

2

 Z1L − Z1C = R
⇔
. Vì ω1 > ω2 nên Z1L > Z1C , Z2L < Z2C .
Z
−

Z
=
−
R
2C
 2L

GV: Trần Văn Kiên

Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy

-14/28-


SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí.
 1
1 
⇒ Z1L − Z1C − ( Z2L − Z2C ) = L ( ω1 − ω2 ) + 
−
÷ = 2R
 ω2C ω1C 
ω − ω2
ω −ω
⇔ L ( ω1 − ω2 ) + 1
= L ( ω1 − ω2 ) + 1 2 2
ω1ω2 C
ω0 .C

⇔ L ( ω1 − ω2 ) + L ( ω1 − ω2 ) = 2R ⇔ R = ( ω1 − ω2 ) L = 160Ω.

* Dùng tính đối xứng của phương trình bậc 2:
Theo đề: I1 = I 2 = Im = I00 ⇒ Z1 = Z2 = 2Z0 .
⇔ R 2 + ( Z1L − Z1C ) = R 2 + ( Z2L − Z2C ) = 2R 2 .
2

2

 Z1C = Z2L
⇔ 2
⇒ R = Z1L − Z2L = ( ω1 − ω2 ) L = 160Ω.
2
2
R + ( Z1L − Z1C ) = 2R
* Nhận xét: Dùng tính đối xứng của hàm số bậc 2 cho kết quả bài toán nhanh chóng.
Bài toán trên có thể mở rộng cho trường hợp cho biết giá trị của C.
Bài 9: (Đề thi ĐH 2011) Đặt điện áp xoay chiều u = U 0cosωt (U0 không đổi và ω thay
đổi được) vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm L và
tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp, với CR 2 < 2L. Khi ω = ω1 hoặc ω = ω2 thì điện áp hiệu
dụng giữa hai bản tụ điện có cùng một giá trị. Khi ω = ω0 thì điện áp hiệu dụng giữa hai bản
tụ điện đạt cực đại. Hệ thức liên hệ giữa ω1, ω2 và ω0 là
1
2

A. ω0 = (ω1 + ω2 )

1
2

B. ω02 = (ω12 + ω22 )

C. ω0 = ω1ω2

D.

1 1 1
1
= ( 2 + 2)
2
ω0 2 ω1 ω2

* Trước hết xin giới thiệu đáp án trên mạng internet:
Theo đề bài cho ω = ω1 hay ω = ω2 thì U C1 = U C 2 , suy ra:
1
Cω1
1 2
R + ( Lω1 −
)
Cω1

=

2

Biến đổi thu được : L2 (ω12 + ω22 ) =

1
Cω2

1 2
)

ω
Cω1
⇔
=
1 2
ω
1 2
2
R 2 + ( Lω2 −
)
R + ( Lω2 −
)
Cω2
Cω2
2
2
2
1

R 2 + ( Lω1 −

2L
2 R2
1
R2
− R 2 ⇔ (ω12 + ω22 ) =
− 2 = 2(
− 2 ) (1) .
C
CL L

LC 2 L

1
R2
− 2 (2) .
+ Mặt khác, khi ω biến thiên có UCmax thì : ω02 =
LC

2L

1
2

Từ (1) và (2) suy ra đáp án : ω02 = (ω12 + ω22 ) .

GV: Trần Văn Kiên

Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy

-15/28-


SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí.
- Nhận xét: Với cách giải này, quá trình biến đổi để đưa về phương trình (1) thật không
dễ dàng!. Hơn nữa để đưa ra kết quả, học sinh cần nhớ biểu thức (2). Sau đây tôi xin giới
thiệu cách giải bài toán bằng cách sử dụng tính chất nghiệm của phương trình bậc 2.
Bài giải
Biểu thức hiệu điện thế hai đầu tụ điện:
UC =

U
R 2 + ( Z L − ZC )

2

U.

.ZC =

1
ωC

1
R + ω L − 2 LC + 2 2
ωC
2

=

2 2

U
L2C 2ω 4 + ( R 2C − 2 LC 3 ) ω 2 + 1

.

2 2 4
2
3
2

Đặt y = L C ω + ( R C − 2 LC ) ω + 1 ( 1) .

-

Phương

⇔ ω 2 = ω02 =

trình

2 LC 3 − R 2C
2 L2C 2

(1)

là

hàm

số

bậc

2

đối

với

ω2 ,

UCmax

khi

ymin

( *) .

2 2 4
2
3
2
- Phương trình (1) tương đương với: L C ω + ( R C − 2 LC ) ω + 1 + y = 0

( 2) .

Theo đề bài, có hai giá trị của ω cho cùng hiệu điện thế hai đầu tụ điện. Tức là có hai
giá trị của ω cho cùng một giá trị của y, nghĩa là phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt.
Theo đinh lí Vi – et, ta có: ω12 + ω22 =
2
Từ (*) và (**), suy ra: ω0 =

2 LC 3 − R 2C
L2C 2

( **) .

1 2
ω1 + ω22 ) .

(
2

Bài 10: (Đề thi thử ĐH 2013 chuyên Lương văn Tụy) Một máy phát điện xoay chiều
một pha có điện trở không đáng kể, được mắc với mạch ngoài là một đoạn mạch mắc nối
tiếp gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần L và tụ điện C. Khi tốc độ quay của rôto là n 1 và
n2 thì cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch có cùng giá trị. Khi tốc độ quay là n 0 thì
cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch đạt cực đại. Mối liên hệ giữa n1, n2 và n0 là
A. n02 = n1.n2

2
B. n0 =

2n12 n22
n12 + n22

C. n02 =

n12 + n22
2

D. n02 = n12 + n22

Bài giải
Suất điện động hiệu dụng: E =

E0 NBS .n
=
2
2

( 1) .

Cường độ dòng điện hiệu dụng xuất hiện trong mạch điện:

GV: Trần Văn Kiên

Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy

-16/28-


SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí.
I=

E
NBS .n
NBS .n
NBS .n
=
=
=
2
2
2
2
Z
2 R + Z L − 2 Z L ZC + Z C
2 R 2 + ( Z L − ZC )
2 R 2 + n 2 .L2 − 2 LC +

1 .
n C2
2

Vì n ≠ 0 nên phương trình trên tương đương với:
I=

Đặt

y=

NBS
1 1
1
2
. 4 + ( R 2 − 2 LC ) 2 + L2
2
C n
n

( 2)

.

1 1
1
1 1
1
+ ( R 2 − 2 LC ) 2 + L2 ⇔ 2 4 + ( R 2 − 2 LC ) 2 + L2 − y = 0

2
4
C n
n
C n
n

phương trình bậc 2 đối với

( 3) .

Đây

là

1
.
n2

Theo bài ra có hai giá trị của n cho cùng giá trị của I, tức là có cùng giá trị của y. Nghĩa
là phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt. Theo định lí Vi – et, ta có:
1 1
+ 2 = ( 2 LC − R 2 ) .C 2
2
n1 n2

Khi n = n0 thì Imax, tức là ymin ⇔

1
= 2 ( 2 LC − R 2 ) C 2

n02

( *) .
( **) .

 1 1 
1
2n12 .n22
2
=
2
+
⇔
n
=
.
Từ (*) và (**), suy ra: 2
 2
0
2 ÷
n0
n12 + n22
 n1 n2 

Bài 11: (Đề thi thử ĐH 2012 chuyên Lương Văn Tụy) Cho hai dao động điều hòa
cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là x1 = A1cos ( ωt + π 3) cm và
x2 = 5cos ( ωt + ϕ ) cm . Phương trình dao động tổng hợp của hai dao động này có dạng
x = Acos ( ωt + π 6 ) cm . Thay đổi A1 để biên độ A có giá trị lớn nhất Amax. Giá trị đó là

A. 5 3 cm

B. 10 cm

C. 5 cm

D. 10 3 cm

Bài giải
Với bài toán này, học sinh sẽ dùng giản đồ vecto để giải sẽ cho kết quả rất nhanh. Tuy
nhiên học sinh cũng có thể dùng hàm số bậc hai để giải như sau:
Từ các phương trình dao động, ta dựng được giản đồ vecto như
hình vẽ. Áp dụng định lí hàm số cos, ta được:
A22 = A2 + A12 − 2 AA1 .cos

GV: Trần Văn Kiên

π
⇔ A12 − 3 A. A1 + A2 − A22 = 0
6

( 1) .

Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy

-17/28-


SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí.
Phương trình (1) là phương trình bậc 2 đối với A 1. Điều kiện để phương trình (1) có
nghiệm là: ∆ =

(

)

3 A − 4 ( A2 − A22 ) ≥ 0 ⇔ A ≤ 2 A2 = 10cm ⇒ Amax = 10cm.
2

Bài 12: Cho con lắc lò xo nằm ngang gồm lò xo có độ cứng k = 100N/m; vật nặng có
khối lượng m = 200g, hệ số ma sát nghỉ cực đại và hệ số ma sát trượt giữa m và mặt phẳng
ngang là µ = 0,05. Ban đầu đưa vật dời VTCB sao cho lò xo dãn 4cm rồi thả nhẹ. Vận tốc
lớn nhất của vật trong quá trình dao động bằng bao nhiêu?
Bài giải
- Lực ma sát nghỉ cực đại (cũng là lực ma sát trượt) giữa vật và mặt phẳng ngang:
Fms = µ mg = 0, 05.0, 2.10 = 0,1( N ) .

- Khi đưa vật đến vị trí lò xo dãn 4cm, thì lực đàn hồi tác dụng lên vật là:
Fdh = K .∆l = 100.0, 04 = 4 ( N ) .

- Vì Fdh > Fms nên khi thả nhẹ vật sẽ dao động tắt dần. Trong quá trình dao động, vật sẽ
đạt vận tốc cực đại khi đi từ vị trí lò xo dãn 4cm đến vị trí lò xo không biến dạng.
Gọi S là quãng đường vật đã đi được cho đến khi đạt vận tốc cực đại. Tại vị trí này lò xo
dãn một đoạn ∆l ' = ∆l − S .
Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng, ta có:
1
1
1
K ∆l 2 = mv 2 + K .∆l '2 + µ mg .S .
2
2

2
⇔ K ( ∆l − S ) + 2 µ mg .S + mv 2 − K ∆l 2 = 0.
2

⇔ KS 2 + 2 ( µ mg − K ∆l ) S + mv 2 = 0

( 1) .

Phương trình (1) là phương trình bậc 2 đối với S, điều kiện để phương trình có nghiệm:
∆ ' = ( µ mg − K .∆l ) − K .mv 2 ≥ 0 ⇔ v ≤
2

Thay số: vmax =

0, 05.0, 2.10 − 100.0, 04
100.0, 2

µ mg − K .∆l
µ mg − K .∆l
⇒ vmax =
K .m
K .m

( 2) .

( s).

= 0,872 m

Nhận xét: Qua các bài tập ví dụ, ta thấy về mặt phương pháp việc giải các bài toán

tương đối giống nhau. Như vậy học sinh chỉ cần nắm bắt phương pháp là có thể vận dụng
được vào các bài tập tương tự.
II.2. Một số bài tập nâng cao dành cho học sinh giỏi.

GV: Trần Văn Kiên

Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy

-18/28-


SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí.
Bài 1: Hai chiếc tàu cùng chuyển động với vận tốc đều v, hướng đến O theo những quỹ
đạo là những đường thẳng hợp với nhau góc α = 600 . Xác định khoảng cách nhỏ nhất giữa
các tàu. Cho biết ban đầu chúng cách O những khoảng l1 = 20 km , l 2 = 30 km .
Bài giải
Đối với mỗi tàu chọn trục toạ độ trùng với phương
chuyển động, góc toạ độ tại vị trí trí ban đầu của mỗi tàu,
chiều dương trùng với chiều chuyển động của mỗi tàu. Gốc
thời gian tại thời điểm các tàu xuất phát.

Xét các tàu ở thời điểm t, khi đó tàu thứ nhất ở tại

A

l

l1 − v.t

α

A cách O một đoạn l1 − v.t , tàu thứ hai ở tại B cách O
một đoạn l2 − v.t . Gọi khoảng cách giữa hai tàu lúc B

O

l2 − v.t

này là l.
Áp dụng định lí hàm số Cos trong tam giác OAB, ta có:

AB 2 = OA2 + OB 2 − 2.OA.OB.cosα
⇔ l 2 = (l1 − v.t )2 + (l2 − v.t )2 − 2(l1 − v.t )(l2 − v.t )cos60 0
⇔ l 2 = v2 .t 2 + (l1 + l2 ).v.t + l12 + l22 − l1.l2 (*)
(*) là hàm bậc hai theo thời gian, có hệ số a > 0, hàm số đạt cực tiểu khi:

t=

(l1 + l2 ).v l1 + l2
.
=
2.v
2.v 2

Khi đó: (l 2 )min =

(l1 + l2 )2 .v2 − 4.v2 (l12 + l22 − l1l2 )
−∆
.
=−

4a
4.v2
l min =

1
3(l12 + l 22 ) − 6.l1l 2 = 5 3 (km ).
2

r

Bài 2: Một máy bay bay theo phương ngang ở độ cao H, với vận tốc v . Đúng lúc ở trên
uur
đỉnh đầu một cổ pháo, thì pháo bắn. Tính vận tốc tối thiểu v0min và góc α mà vo hợp với
phương ngang để có thể bắn trúng máy bay. Bỏ qua sức cản của không khí, gia tốc rơi tự do
là g.
Bài giải

GV: Trần Văn Kiên

Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy

-19/28-


SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí.
Chọn hệ qui chiếu gắn với mặt đất, hệ trụ tọa độ như hình vẽ, gốc tọa độ tại vị trí đặt
khẩu pháo, gốc thời gian tại thời điểm đạn được bắn ra.

y

Phương trình chuyển động của máy bay:
 x1 = v.t

 y1 = H

( 1) .

Phương trình chuyển động của viên đạn:
 x2 = v0 cos α .t


1 2
 y2 = v0 sin α .t − 2 gt

H

( 2) .
O

Khi đạn trúng máy bay:

x

v

vt = v0 cos α .t
v0 =

( 3) .


 x1 = x2


cos α
⇔

1 2 ⇔
 y1 = y2
 H = v0 sin α .t − 2 gt
 1 gt 2 − ( v tan α ) t + H = 0
 2

( 4) .
1
2

Để đạn trúng máy bay thì phương trình (4) phải có nghiệm ⇔ ∆ = v 2 tan 2 α − 4. g.H ≥ 0.
⇔ tan α ≥

Mặt khác:

2 gH
2 gH
⇒ ( tan α ) min =
.
v
v
1
1
− 1 = tan 2 α ⇒

= 1 + tan 2 α , thay vào (3) ta được:
2
cos α
cos α
v0 = v 1 + tan 2 α ⇒ v0 min = v 1 + ( tan α ) min = v 1 +
2

2 gH
= v 2 + 2 gH .
2
v

Bài 3: Một quả bóng nhỏ, đàn hồi, được thả từ độ cao H xuống một mặt sàn. Trên đường
đi, người ta đặt một tấm phẳng, va chạm với tấm phẳng là đàn hồi.
a. Cần phải đặt tấm phẳng tại vị trí nào trên đường đi và đặt nghiêng bao nhiêu so với
phương ngang để quả bóng rơi xa nhất vào bàn?
b. Tính khoảng cách lớn nhất từ vị trí quả bóng bắt đầu rơi đến vị trí quả bóng rơi xuống
bàn?

Y

Bài giải
Giả sử tấm phẳng được đặt tại điểm I cách vị
trí ban đầu của quả bóng một khoảng là h, và

m

N

nghiêng một góc α so với phương ngang. Ngay

trước va chạm vận tốc của quả bóng là

GV: Trần Văn Kiên

h
I

Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy
O

H

-20/28X


SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí.

v0 = 2 gh và có phương làm với pháp tuyến IN một góc là α. Vì va chạm là đàn hồi
nên ngay sau va chạm vận tốc của quả bóng cũng có độ lớn là

v0 và làm với pháp tuyến IN

một góc α . Tức là nghiêng so với mặt phẳng ngang một góc là β = 900 − 2α . Xét chuyển
động của quả bóng ngay sau va chạm với tấm phẳng. Chọn hệ trục OXY như hình vẽ, gốc
thời gian là lúc bóng vừa nẩy lên.

x = ( v0cosβ ) t → t =

x
gt 2

; y = ( H − h ) + ( v0 sin β ) t −
v0 cosβ
2

Khi bóng chạm sàn: y = 0 → ( H − h ) + tan β .x −

g
x2 = 0 .
2v cosβ
2
0


gx 2
gx 2 
2
⇔
tan β − x tan β − ( H − h ) − 2  = 0 .
2v02
2v0 


Điều kiện có nghiệm:

2v02 
v02 
2 gx 2 
gx 2 
2
∆ = x + 2 ( H − h ) − 2  ≥ 0 → x ≤

 H − h + ÷(*)
v0 
2v0 
g 
g
2

v02
= 2h thay vào biểu thức (*) ta được:
Mà v0 = 2 gh →
g
x 2 ≤ 4hH ; hmax = H → xm2 ax = 4 H 2 → xmax = 2 H ;
Dấu “=” xảy ra ứng với

→ β = 450 ; α =

∆ = 0 → tan β =

xmax
−b
2H
=
=
=1
2
1
2a
 gxmax 
2
4H

2
2 ÷
2
h
2
v
m
ax
 0 

900 − β
= 22, 50
2

2
Khoảng cách cực đại từ điểm xuất phát đến điểm rơi cuối cùng: L = H 2 + xmax
=H 5.

Bài 4: Một quả bom nổ ở độ cao H so với mặt đất. Giả sử các mảnh văng ra theo mọi
phương li tâm, đối xứng nhau với cùng độ lớn vận tốc v 0. Hỏi người đứng ở mặt đất phải
cách vị trí bom nổ theo phương ngang một đoạn thỏa mãn điều kiện gì để không bị các
mảnh bom bay trúng?
Bài giải

GV: Trần Văn Kiên

Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy

-21/28-

SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí.
- Xét chuyển động của một mảnh bay ra với vận tốc

y

uur
ban đầu v0 hợp với phương ngang một góc α .

- Chọn hệ qui chiếu gắn với mặt đất; hệ trục tọa độ
Oxy có gốc tọa độ tại mặt đất, trục Ox nằm ngang, trục

α

uur
v0

uur
v0 y

Oy thẳng đứng hướng lên và đi qua vị trí bom nổ. Chọn
●

gốc thời gian tại thời điểm bom nổ.
H

- Phân tích chuyển động của mảnh bom thành hai
thành phần:

O

 Theo phương ngang: mảnh bom chuyển động

uur
v0 x

hmax

●

x

L

thẳng đều với vận tốc vx = v0 cos α .
 Theo phương thẳng đứng: mảnh bom chuyển
động thẳng biến đổi đều với gia tốc a y = − g và
vận tốc ban đầu v0 y = v0 sin α
- Các phương trình chuyển động:
 x = x0 + vx ( t − t0 ) = v0 cos α .t

(1).



1
1
2
y = y0 + v0 y ( t − t0 ) + a y ( t − t0 ) = H + ( v0 sin α ) .t − g .t 2 (2).
2

2
 2
1 
1
 Phương trình quỹ đạo: y = − g  2
÷x + ( tan α ) .x + H
2
2  v0 cos α 

(3).

- Tầm xa của vật: khi vật chạm đất:
y = 0, x = L ⇔

Với

 2
1 
1
g 2
÷L − ( tan α ) .L − H = 0
2
2  v0 cos α 

( 4) .

1
= 1 + tan 2 α , phương trình (4) tương đương với:
cos 2 α
g

( 1 + tan 2 α ) L2 − L.tan α − H = 0
2v02
⇔

GV: Trần Văn Kiên

gL2
gL2
2
tan
α
−
L
.tan
α
+
−H =0
2v02
2v02

( 5) .

Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy

-22/28-


SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí.
Để người không bị mảnh bom trúng thì người phải đứng ở vị trí cách vị trí bom nổ một
đoạn lớn hơn Lmax, tức là tầm xa của người không phải là nghiệm của phương trình (5), hay

phương trình (5) phải vô nghiệm.
Điều kiện để phương trình (5) vô nghiệm:
∆ = L2 − 4.

 2 g  gL2



gL2  gL2
2 g  gL2
2
−
H
<
0
⇔
L
1
−
−
H
<
0
⇔
1
−
− H ÷< 0

÷
÷

2 
2
2 
2
2 
2
2v0  2v0
v0  2v0



 v0  2v0


v2
v
gL2
2  v02
⇔ 2 − H > 0 ⇔ L > v0
+ H ÷ ⇔ L > 0 v02 + 2 gH

2v0
2g
g  2g
g


.

( 6) .

Bài 5: Hai xe chuyển động thẳng đều cùng chiều với các vận tốc v 1 và v2 ( v1 < v2, xe 2
đuổi theo xe 1). Khi khoảng cách giữa hai xe bằng d thì người lái xe 2 hãm phanh chuyển
động chậm dần đều với gia tốc là a. Tìm điều kiện cho a để hai xe không đụng vào nhau.
Bài giải
Chọn hệ qui chiếu gắn với mặt đất. Trục tọa độ Ox trùng với chiều chuyển động của hai
xe, gốc toạ độ O là vị trí xe 2 bắt đầu hãm phanh, chiều chuyển động là chiều dương, gốc
thời gian lúc xe 2 hãm phanh.
Phương trình chuyển động xe 1: x1 = d + v1t.
Phương trình chuyển động xe 2: x2 = v 2 t +

at 2
.
2

Để xe 2 không đụng vào xe 1 thì x1 > x2 với mọi thời điểm t
2
2
⇒ d + v1t > v 2 t + at , ∀t ⇔ − at − t (v 2 −v 1 ) + d > 0 , ∀t .
2
2

a
2

2
Để bất phương trình luôn đúng thì thì hàm số y = f ( t ) = − t − t ( v2 − v1 ) + d > 0, ∀t . Điều

đó xảy ra khi ∆ < 0 ⇔ (v2 − v1 ) 2 + 2ad < 0 ⇔ a < −

a
(v2 − v1 ) 2
(vì − > 0 ).
2
2d

Nhận xét: Qua 5 bài tập trên, ta thấy rằng tính chất nghiệm của phương trình bậc 2 và
các đặc điểm về nghiệm và dấu của hàm số bậc 2 cũng vận dụng rất tốt để giải quyết các
bài tập khó.
II.3. Một số bài tập vận dụng.
Bài 1: Hiệu điện thế xoay chiều u = U 0 cos ( ωt + ϕ ) đặt vào đoạn mạch AB gồm các phần
tử R, L, C mắc nối tiếp. Biết điện trở R thay đổi được. Để công suất tiêu thụ trong mạch đạt
giá trị cực đại thì giá trị của R là:
A. R = ZL + ZC.

GV: Trần Văn Kiên

B. R = ZL - ZC.

C. R =

Z L ZC
.
Z L + ZC

D. R = Z L − Z C .

Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy

-23/28-

SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí.
Bài 2: Cho mạch điện xoay chiều mắc nối tiếp gồm biến trở R, cuộn dây thuần cảm có
độ tự cảm L, tụ điện có điện dung C. Đặt vào hai đầu mạch điện một hiệu điện thế xoay
chiều có biểu thức u = 100 2 cos ( 100π t ) V . Khi biến trở có giá trị R = R1 = 18Ω hoặc
R = R2 = 32Ω thì công suất tiêu thụ của mạch điện là như nhau. Công suất P của mạch ứng

với hai giá trị điện trở đó là
A. 40W.

B. 120W.

C. 200W.

D. 300W.

Bài 3: Mạch điện gồm một biến trở R mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm. Đặt vào hai
đầu mạch một hiệu điện thế xoay chiều ổn định u = U 0 cos ( 100π t ) V . Thay đổi R ta thấy với
hai giá trị R = R1 = 45Ω hoặc R = R2 = 80Ω thì mạch tiêu thụ công suất 80W. Khi thay đổi R
thì công suất tiêu thụ cực đại trên mạch bằng
A. 250W.

B. 80 2W .

C. 100W.

D.

250

W.
3

Bài 4: Cho mạch điện xoay chiều mắc nối tiếp gồm biến trở R, cuộn dây không thuần
cảm có độ tự cảm L và điện trở r, tụ điện có điện dung C. Đặt vào hai đầu mạch điện một
hiệu điện thế xoay chiều ổn định u = U 2 cos ( ωt ) V . Khi thay đổi giá trị của biến trở thì
thấy có hai giá trị R = R1 hoặc R = R2 mạch tiêu thụ công suất bằng nhau. Điều kiện của R
để công suất trong mạch đạt giá trị cực đại là
A. R =

( R1 − r ) ( R2 − r ) − r .

C. R = 2 ( R1 + R2 ) r − r .

B. R =

( R1 + r ) ( R2 + r ) − r .

D. R =

( R1 − r ) ( R2 − r ) + r .

Bài 5: Cho mạch điện xoay chiều nối tiếp gồm điện trở thuần R, cuộn dây thuần cảm có
độ tự cảm L thay đổi được, tụ điện có điện dung C. Đặt vào hai đầu mạch một hiệu điện thế
xoay chiều u = U 0 cos ( ωt + ϕ ) . Thay đổi L thì thấy có hai giá trị L = L1 =
L = L2 =

2,5
H hoặc
π

1,5
H cho cùng cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch. Để công suất tiêu thụ
π

trong mạch đạt giá trị cực đại thì L có giá trị bằng
A.

4
H.
π

GV: Trần Văn Kiên

B.

2
H.
π

C.

1
H.
π

D.

0,5
H.

π

Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy

-24/28-


SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí.
Bài 6: Cho mạch điện xoay chiều RLC nối tiếp có L thay đổi được. Đặt vào hai đầu
mạch điện một hiệu điện thế xoay chiều ổn định có tần số f. Khi L = L1 =
L = L2 =

2
H hoặc
π

3
H thì hiệu điện thế trên cuộn dây thuần cảm này là như nhau. Muốn hiệu điện thế
π

hiệu dụng hai đầu cuộn dây đạt giá trị cực đại thì L bằng
A. L =

2, 4
H.
π

B. L =

2,5

H.
π

C. L =

1
H.
π

D. L =

5
H.
π

Bài 7: Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi, tần số 50Hz vào hai đầu
đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R, cuộn dây có độ tự cảm L và tụ điện có điện
10−4
10−4
H hoặc
H thì công suất
dung C thay đổi được. Điều chỉnh điện dung C đến giá trị
4π
2π

tiêu thụ trên đoạn mạch đều có giá trị như nhau. Giá trị của L bằng
A. L =

1
H.

2π

B. L =

2
H.
π

C. L =

1
H.
3π

D. L =

3
H.
π

Bài 8: Cho mạch điện RLC nối tiếp, tụ điện có điện dung C thay đổi được. Khi
10−4
3.10−4
C = C1 =
F hoặc C = C2 =
F thì hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu tụ điện có giá trị
π
π

bằng nhau. Để hiệu điện thế hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại thì tụ điện có điện dung

A.

2,5.10−4
F.
π

B.

2.10−4
F.
π

C.

1,5.10−4
F.
π

D.

4.10−4
F.
π

Bài 9: Cho mạch điện xoay chiều gồm điện trở thuần, cuộn dây và tụ điện mắc nối tiếp.
Hiệu điện thế hai đầu mạch điện có tần số thay đổi được. Khi tần số f = f1 = 50 Hz và f = f2 =
200Hz thì hệ số công suất của mạch là như nhau. Để cường độ dòng điện hiệu dụng đạt cực
đại thì tần số dòng điện có giá trị là
A. 75Hz.

B. 125Hz.

C. 100Hz.

D. 150Hz.

Bài 10: Đặt điện áp u = U0cosωt (U0 không đổi và ω thay đổi) vào hai đầu đoạn mạch
mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R, tụ điện C và cuộn cảm thuần L với CR 2 < 2 L . Khi
ω = ω1 hoặc ω = ω2 thì điện áp hiệu dụng hai đầu tụ điện có cùng một giá trị. Khi ω = ω0 thì

điện áp hiệu dụng hai đầu tụ điện đạt cực đại. Hệ thức liên hệ giữa Z L1 , Z L 2 , Z L 0 là

GV: Trần Văn Kiên

Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy

-25/28-