SKKN phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN ”
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Liên hệ với khái niệm hàm là Tư duy hàm ,một loại hình tư duy được
hàng loạt các công trình nghiên cứu đánh giá cao và kiến nghị phải được phát
triển mạnh mẽ trong hoạt động giảng dạy các bộ môn trong nhà trường đặc biệt
là môn toán .Ngày nay trong chương trình môn toán ở trường phổ thông khái
niệm hàm đã ,đang được thể hiện rõ vai trò chủ đạo của mình trong việc ứng
dụng và xây dựng các khái niệm khác .Trong các kỳ thi cấp quốc gia ngoài các
câu hỏi liên quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có những câu hỏi mà học
sinh thường phải vận dụng tư duy hàm số như là một công cụ đắc lực để giải
toán như: Giải phương trình, bất phương trình ,tìm cực trị ,.....Các câu hỏi này
cũng thường gây khó khăn cho cả thày và trò trong các giờ lên lớp . Trong các
giờ giảng các em thường bị động trong nghe giảng và rất lúng túng vận dụng
vào việc giải toán. Nguyên nhân là do các em chưa hiểu được bản chất của vấn
đề ,chưa có kỹ năng và kinh nghiệm trong việc vận dụng hàm số vào giải
toán ,các em luôn đặt ra câu hỏi “ Tại sao nghĩ và làm được như vậy’’. Để trả
lời được câu hỏi đó trong các giờ dạy ,việc bồi dưỡng năng lực tư duy hàm cho
học sinh thông qua các bài toán là một điều rất cần thiết .Muốn làm tốt được
điều đó người thầy không chỉ có phương pháp truyền thụ tốt mà còn phải có
kiến thức vừa chuyên ,vừa sâu,dẫn dắt học sinh tìm hiểu một cách logíc bản chất
của toán học.Từ đó giúp các em có sự say mê trong việc học môn Toán-môn
học được coi là ông vua của các môn tự nhiên.
Khi còn là học sinh, mỗi khi suy tư những bài toán nhỏ ,nhờ sự tư duy
của người Thầy giúp tôi có những bài toán mới , lời giải mới .Và giúp tôi có
những phân tích hay , sâu sắc trên bục giảng , có thêm kinh nghiệm , sự sáng
tạo ,có niềm tin vào chính mình .Vì vậy song song với việc giảng dạy kiến thức
cho học sinh trong các giờ lên lớp ,tôi luôn luôn coi việc bồi dưỡng năng lực tư
GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai

Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN
duy toán cho học sinh một cách trực tiếp hoặc gián tiếp thông qua giải toán. Đặc
biệt là bồi dưỡng năng lực tư duy hàm cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng
của việc giảng dạy toán .
Qua nhiều năm đứng trên bục giảng, khi dạy tới chuyên đề này, tôi luôn
băn khoăn làm thế nào để cho giờ dạy của mình đạt kết quả cao nhất ,các em chủ
động trong việc chiếm lĩnh kiến thức .Thầy đóng vai trò là người điều khiến để
các em tìm đến đích của lời giải.Chính vì lẽ đó trong hai năm học 2012-2013 và
2013-2014 Tôi đã đầu tư thời gian nghiên cứu Chuyên đề này. Một mặt là giúp
học sinh hiểu được bản chất của vấn đề ,các em không còn lúng túng trong việc
giải các bài toán liên quan đến hàm số ,hơn nữa tạo ra cho các em hứng thú
trong giải toán nói chung và liên quan đến Hàm số nói riêng.Mặt khác sau khi
nghiên cứu tôi sẽ có một phương pháp giảng dạy có hiệu quả cao trong các giờ
lên lớp,trả lời thoả đáng Câu hỏi “Vì sao nghĩ và làm như vậy”.
Viết một cuốn tài liệu rất khó ,để viết cho hay ,cho tâm đắc lại đòi hỏi
phải có đẳng cấp thực sự .Cũng may tôi cũng không có tư tưởng lớn của một
nhà viết sách,tôi cũng không kỳ vọng ở một điều gì lớn lao vì tôi biết những gì
mình có còn rất ít ,khi tôi có ý tưởng viêt ra những điều mà tôi gom nhặt được
,Tôi chỉ mong sao qua từng ngày mình sẽ lĩnh hội được nhiều hơn về toán sơ
cấp ...Qua từng tiết học , học trò của tôi ít băn khoăn, ngơ ngác hơn,thay vào đó
là sự hưởng ứng ,có niềm tin vào sự logic,chặt chẽ ,sáng taọ của toán học .Khi
đó mỗi người thày chúng ta lại có thêm một người bạn chung niềm đam mê
trước sự kỳ diệu của toán học mang lại.
Mặc dù đã tham khảo một số lượng lớn các tài liệu hiện nay để vừa viết,
vừa đi giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm thực tế, song vì năng lực và thời gian
có hạn ,rất mong được sự Đóng góp của các bạn đồng nghiệp và những người
yêu thích môn toán để đề tài này có ý nghĩa thiết thực hơn trong nhà trường
.Góp phần nâng cao hơn nữa chất lượng Giáo dục phổ thông.Giúp các em có

phương pháp - kỹ năng khi giải các bài toán liên quan đến hàm số trong các kỳ
thi cuối cấp, đồng thời bước đầu trang bị cho các em kiến thức về toán cao cấp
__________________________________________________________________
Trang2
_
GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai


Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN
trong những năm đầu học đại học. Năm học 2013-2014 Tôi xin giới thiệu đến
các bạn đồng nghiệp , học sinh và những người yêu toán đề tài :
"Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN ".

Tác giả

Ngô Quang Nghiệp
__________________________________________________________________
Trang3
_

GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai


Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN
2. NỘI DUNG SKKN
2.1Cơ sở lý luận của vấn đề
2.1.1 Bất đẳng thức AM-GM
− Nếu x1,x2,x3,…,xn là các số không âm thì:

x1 + x2 + x3 + .... + xn n

≥ x1 x2 x3 ....xn
n

Dấu “=” xảy ra khi: x1 = x2 = x3 = ... = xn .
− Chú ý: Các trường hợp riêng của bất đẳng thức AM-GM
+)

a+b
≥ ab , bất đẳng thức này còn được viết dưới dạng khác là:
2
2

2
(a + b ) 2
 a+b
2
2
a
+
b
≥
4
ab
ab ≤ 
a
+
b
≥
(
)

,
,
.
÷
2
 2 
2
2
2
+) a + b + c ≥ ab + bc + ca

a 2 + b2 + c2 ≥

(a + b + c) 2
3

(a + b + c ) 2 ≥ 3( ab + bc + ca )
2
+) (ab + bc + ca ) ≥ 3abc(a + b + c )

1 1
4 (a,b>0)
+ ≥
a b a +b
1 1 1
9
+ + ≥
(a,b,c>0)
a b c a +b+c

2.1.2.Các bất đẳng thức phụ quen thuộc:
a 3 + b3 ≥ a 2b + ab 2 (với a + b ≥ 0 )
1
1
2 (với
+
≥
a, b > 0, ab ≥ 1 )
1 + a 1 + b 1 + ab
1
1+ a

2

+

1
1+ b

2

≤

a 2 b 2 (a + b) 2
+ ≥
x
y
x+ y

2

1 + ab

(với 0 ≤ ab ≤ 1 )
(Với a = b , ( x, y > 0) )
x

y

a b c
a 2 b 2 c 2 (a + b + c) 2
+ + ≥
(Với x = y = z , ( x, y, z > 0) )
x
y
z
x+ y+z

__________________________________________________________________
Trang4
_
GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai


Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN
Chú ý :
 f ( x) ≤ M

- Hàm số y = f ( x) xác định ∀x ∈ D đạt GTLN tại M ∃x ∈ D | f ( x ) = M
0
 0

 f ( x) ≥ m

- Hàm số y = f ( x) xác định ∀x ∈ D đạt GTLN tại m ∃x ∈ D | f ( x ) = m
0
 0
2.2 Thực trạng của vấn đề.
Khi học phần này các em còn rất bị động , ỷ lại trong học tập , ý thức sao
chép còn nặng nề ,chưa độc lập trong tư duy .Chưa có kỹ năng trong việc giải
toán ,còn rất lúng túng trong việc áp dụng hàm số vào giải Toán .Các em
vẫn coi phương pháp sử dụng hàm số vào giải toán còn rất xa lạ.Vì vậy việc
hình thành ở học sinh một hướng tư duy mới là một điều khó khăn,bởi các
phương pháp cũ đã hình thành và đi sâu vào tư duy của các em.
2.3 Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn .
Ví dụ 1:Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn x 2 + y 2 + z 2 = 3 . Tìm giá trị
5

lớn nhất của biểu thức A = xy + yz + zx + x + y + z .

HƯỚNG DẪN GIẢI :
t2 −3
2
t
=
x
+
y
+
z
⇒
Đặt

t = 3 + 2( xy + yz + zx ) ⇒ xy + yz + zx =
.
2

Ta có 0 ≤ xy + yz + zx ≤ x 2 + y 2 + z 2 = 3 nên 3 ≤ t 2 ≤ 9 ⇒ 3 ≤ t ≤ 3 vì t > 0.
t2 − 3 5
t2 5 3
+ . Xét hàm số f (t ) = + − , 3 ≤ t ≤ 3.
Khi đó A =
2
t
2 t 2

Ta có f ' (t ) = t −
f (t ) ≤ f (3) =

5 t3 − 5
= 2 > 0 vì t ≥ 3. Suy ra f (t ) đồng biến trên [ 3 , 3] . Do đó
t2
t

14
. Dấu đẳng thức xảy ra khi t = 3 ⇔ x = y = z = 1. Vậy GTLN của A là
3

14
, đạt được khi x = y = z = 1.
3

Ví dụ 2: Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x + y + 1 = 3xy . Tìm giá trị lớn nhất của

__________________________________________________________________
Trang5
_
GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai


Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN
3x
3y
1
1
1
M=
+
+
− 2− 2×
y ( x + 1) x( y + 1) x + y x
y
HƯỚNG DẪN GIẢI :
Theo giả thiết, ta có 3 xy − 1 = x + y ≥ 2 xy
Đặt t = xy ⇒ 3t − 2 t − 1 ≥ 0 ⇒ t ≥ 1.
3x
3y
3 x 2 ( y + 1) + 3 y 2 ( x + 1)
36t 2 − 27t + 3
+
=
= ... =
Ta có
.

y ( x + 1) x ( y + 1)
xy ( xy + x + y + 1)
4t 2

1
1
x2 + y2
(3t − 1) 2 − 2t −36t 2 + 32t − 4
− 2 − 2 =− 2 2 =−
=
,
x
y
x y
t2
4t 2
1
1
1
5t − 1 1
≤
≤ ⇒M ≤
+
x + y 2 xy 2
4t 2
2
Xét f (t ) =

5t − 1
3

trên [1;+∞) và suy ra M max = ⇔ t = 1 ⇔ x = y = 1.
2
4t
2

Ví dụ 3: (Trích HSG NGHE AN 2011) Cho x, y là các số thực thỏa mãn:
log 4 (x + 2y) + log 4 (x − 2y) = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2x − y
HƯỚNG DẪN GIẢI :
 x > −2 y
. Suy ra x > 2 y ⇒ x > 0 Ta có : log 4 (x+2y)+log 4 (x-2y)=1 ⇔ log
x > 2 y

Điều kiện : 
4

(x 2 -4y 2 )=1 ⇔ x 2 -4y 2 =4 ⇔ x = 4 y 2 + 4 (do x > 0)
Đặt: t = y , t ≥ 0 Xét : f (t ) = 2 4t 2 + 4 − t , với

2

Suy ra : 2 x − y = 2 4 y + 4 − y

t ≥ 0 . f ' (t ) =

8t
4t 2 + 4

−1 =

8t − 4t 2 + 4

4t 2 + 4

f ' (t ) = 0 ⇔ t =

1
15

(do t ≥ 0 )

Bảng biến thiên:
t

0

1
15

+∞

__________________________________________________________________
Trang6
_
GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai


Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN
f’(t)

-

0

+

4

+∞

f(t)
15

Từ bảng biến thiên suy ra f (t ) ≥ 15 ⇒ P= 2 x − y ≥ 15 .Dấu đẳng thức xảy ra
⇔x=

8
15

,y=±

1
15

. Giá trị nhỏ nhất của P= 2x − y là

15

Ví dụ 4: (Trích đề ĐH B2009)Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn
(x + y)3 + 4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + 1
HƯỚNG DẪN GIẢI :

3
(x + y) + 4xy ≥ 2
⇒ (x + y)3 + (x + y) 2 − 2 ≥ 0 ⇒ x + y ≥ 1

2
(x + y) − 4xy ≥ 0

1
(x + y) 2 1
⇒x +y ≥
≥ dấu “=” xảy ra khi : x = y =
2
2
2
2

2

Ta có : x 2 y 2 ≤

(x 2 + y 2 ) 2
4

A = 3 ( x 4 + y 4 + x 2 y 2 ) − 2(x 2 + y 2 ) + 1 = 3 (x 2 + y 2 ) 2 − x 2 y 2  − 2(x 2 + y 2 ) + 1

(x 2 + y2 ) 2 
9
≥ 3  (x 2 + y 2 ) 2 −
− 2(x 2 + y 2 ) + 1 = (x 2 + y 2 ) 2 − 2(x 2 + y 2 ) + 1


4
4



Đặt t = x2 + y2 , đk t ≥ 1/2
f (t) =

9 2
1
9
1
1
9
t − 2t + 1, t ≥ f '(t) = t − 2 > 0 ∀ t ≥ ⇒ f (t) ≥ f ( ) =
4
2
2
2
2 16

Vậy : A min =

9
1
khi x = y =
16
2

Ví dụ 5: Cho x , y là các số thực không âm thay đổi và thỏa mãn điều kiện:

4( x 2 + y 2 + xy ) ≤ 1 + 2( x + y ) .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
P = xy + x + y − x 2 − y 2 .

HƯỚNG DẪN GIẢI :
__________________________________________________________________
Trang7
_
GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai


Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN
Từ 4( x + y + xy ) ≤ 1 + 2( x + y ) ⇔ 3( x + y ) 2 + ( x − y ) 2 ≤ 1 + 2( x + y )
2

2

1
⇒ 1 + 2( x + y ) ≥ 3( x + y ) 2 ⇔ − ≤ x + y ≤ 1 , vì x ; y không âm nên ta có 0 ≤ x + y ≤ 1 .
3
2

1
1
x+ y
2
2
Ta có : P = xy + x + y − ( x + y ) ≤ 
 + x + y − ( x + y) = x + y − ( x + y)
2
4

 2 
2

2

2

x+ y
2
2
2
(vì xy ≤ 
 và 2( x + y ) ≥ ( x + y ) ) . Đặt t = x + y ; ta có : 0 ≤ t ≤ 1 ,
 2 
1
'
và P ≤ f (t ) = t − t 2 ; có f (t ) =
4

⇒ max f (t ) = f (1) =
[ 0;1]

1
2 t

−

t 1 1− t t
≥ 0 , với ∀t ∈ [ 0;1] .
= .

2 2
t

3
3
1
⇒ maxP = , dấu = xảy ra ⇔ x = y =
4
4
2

Ví dụ 6: Cho x,y,z là các số thực không âm. Tìm giá trị lớn nhất của
P=

1
1
−
x + y + z +1 ( 1+ x) ( 1+ y) ( 1+ z )

HƯỚNG DẪN GIẢI :
P≤

1
27
−
x + y + z + 1 ( x + y + z + 3) 3 Đặt t = x + y + z, t ≥ 0 , xét hàm số

f (t ) =

1

27
−
1+ t ( 3 + t ) 3 , t ≥ 0

f '(t ) = −

t = 0
1
81
+
, f '(t ) = 0 ⇔ 
4
1+ t ( 3 + t )
t = 3

Lập bảng biến thiên .......
.Ta có MaxP = Max f (t ) = f(3) =

1
. Đạt được khi x = y =1
8

Ví dụ 7: Cho x và y là các số thực thỏa mãn: 1 − y 2 = x( x − y ) .
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P =

x6 + y 6 − 1
x 3 y + xy 3

__________________________________________________________________
Trang8

_
GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai


Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN
HƯỚNG DẪN GIẢI :
Từ giả thiết ta có:

1 = x 2 + y 2 − xy ≥ 2 xy − xy ⇔ xy ≤ 1 .
1 = x 2 + y 2 − xy = ( x + y )2 − 3xy ≥ −3 xy ⇔ xy ≥

−1
.
3

6
6
2
2
2
2 2
2 2
Ta có x 2 + y 2 = 1 + xy nên x + y = ( x + y ) ( x + y ) − 3x y 

 1 
 3 

Đặt t = xy với t ∈  − ;1 \ { 0} . Khi đó ta được P =
Hay P =

(1 + t ) (1 + t ) 2 − 3t 3  − 1
t (1 + t )

−2t 2 + 3
= f (t )
t +1
 1 

Hàm số f (t ) trên  − ;1 \ { 0}
 3 
Ta có f '(t ) =

KL:

−2t 2 − 4t − 3
 1 
< 0 ∀t ∈  − ;1 \ { 0}
2
(t + 1)
 3 

MinP = P (1) =

1
⇔ t = 1 ⇔ x = y = ±1
2

1 25
1
1

MaxP = P ( − ) =
⇔ t = − ⇔ x = −y = ±
3
6
3
3

2
2
Ví dụ 9: Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện 2 ( x + y ) = xy + 1 . Tìm giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

x4 + y 4
.
2 xy + 1

HƯỚNG DẪN GIẢI :

(

)

2
Đặt t = xy . Ta có: xy + 1 = 2 ( x + y ) − 2 xy ≥ −4 xy ⇒ xy ≥ −

(

1
5

)

1
1
1
2
Và xy + 1 = 2 ( x − y ) + 2 xy ≥ 4 xy ⇒ xy ≤ . ĐK: − ≤ t ≤ .
3
5
3

__________________________________________________________________
Trang9
_
GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai


(x
Suy ra : P =
Do đó: P ' =

Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN
2

+ y2

)

2

− 2x2 y2

2 xy + 1

(

7 −t 2 − t
2 ( 2t + 1)

=

−7t 2 + 2t + 1 .
4 ( 2t + 1)

) , P ' = 0 ⇔ t = 0, t = −1( L)

2

1
 1
1 2
P  − ÷= P  ÷=
và P ( 0 ) = .
4
 5
 3  15
KL: GTLN là

1

2
và GTNN là
4
15

(x
Ví dụ 10: Cho x,y ∈ R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =

3

+ y3 ) − ( x2 + y2 )
( x − 1)( y − 1)

HƯỚNG DẪN GIẢI :
Đặt t = x + y ; t > 2. Áp dụng BĐT 4xy ≤ (x + y)2 ta có xy ≤
P=

P≥

t2
4

t 3 − t 2 − xy (3t − 2)
t2
. Do 3t - 2 > 0 và − xy ≥ − nên ta có
xy − t + 1
4

t 2 (3t − 2)
t2

4
=
t2
t−2
− t +1
4

t3 − t2 −

t2
t 2 − 4t
; f '(t ) =
; f’(t) = 0 ⇔ t = 0 v t = 4.
Xét hàm số f (t ) =
t−2
(t − 2) 2

t
f’(t)

2
-

4
0

+∞
+

+∞

+∞

f(t)
8
x+ y=4
x = 2
min f (t ) = f(4) = 8 đạt được khi 
⇔
Do đó min P = (2;
+∞ )
 xy = 4

y = 2

Ví dụ 11: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1 . Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức P = ab + bc + ca − 2abc
__________________________________________________________________
Trang10
_
GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai


Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN
HƯỚNG DẪN GIẢI :
Ta có ab + bc + ca − 2abc = a (b + c) + (1 − 2a )bc = a (1 − a ) + (1 − 2a )bc . Đặt t= bc thì ta có
0 ≤ t = bc ≤

(b + c) 2 (1 − a) 2
.Xét hs f(t) = a(1- a) + (1 – 2a)t trên đoạn

=
4
4

Có f(0) = a(1 – a) ≤

 (1 − a )2 
0;

4 


( a + 1 − a) 2 1 7
và
= <
4
4 27

2
 (1 − a )2  7 1
1 
1
7
f
− (2a + )  a − ÷ ≤
với mọi a ∈ [ 0;1]
÷=
 4 ÷ 27 4
3 
3

27



GTNN là

7
đạt được khi a = b = c = 1/3
27

Ví dụ 12: (Trích ĐH A2010) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1;4] và
x ≥ y , x ≥ z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

x
y
z
+
+
2x + 3y x + y z + x

HƯỚNG DẪN GIẢI :
x

y

z

P = 2x + 3y + y + z + z + x
−y

( x − y )( z − xy )
Lấy đạo hàm theo z ta có : P’ (z) = 0 + ( y + z )2 + ( z + x) 2 =
( y + z )2 ( z + x)2

+ Nếu x = y thì P =

x

2

6
5

x

2 y

+ Ta xét x > y thì P ≥ P( xy ) = 2 x + 3 y +
y+ x
Khảo sát hàm P theo z, ta có P nhỏ nhất khi z =
Đặt t =

xy

x
t2
2
⇒ P thành f(t) = 2 +
(t ∈ (1; 2])
y

2t + 3 1 + t

−2[4t 3 (t − 1) + 3(2t 2 − t + 3)]
⇒ f’(t) =
<0
(2t 2 + 3) 2 (t + 1) 2

Vậy P ≥ f(t) ≥ f(2) =
Vậy min P =

34
. Dấu “=” xảy ra khi x = 4, y = 1, z = 2
33

34
.Dấu “=” xảy ra khi x = 4, y = 1, z = 2
33

__________________________________________________________________
Trang11
_
GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai


Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN
Ví dụ 13: Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1
P=  x 2 + 2
y



 2 1 
÷ y + 2 ÷.
x 


HƯỚNG DẪN GIẢI :

2
Theo BĐT Côsi ta có 01
4

2
Ta có P = 2 + (xy) +



1
16 

1
1
1 t2 − 1
1

/
=
t

+
+
2
⇒ P = 1 − 2 = 2 < 0, ∀t ∈  0;
2

(xy)
t
t
t
 16 

Bảng biến thiên :
t

1
16

0

P’

289
16

P

Từ BBT ta có min P =

289

1
1
tại t = ⇔ x = y =
16
16
2

Ví dụ 14: Cho a > 0; b > 0 và a + b = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
M = a2 +

1
1
+ b2 + 2
2
a
b

HƯỚNG DẪN GIẢI :
2
2 
Ta có M = (a + b )1 +



1 
1 
2

 ≥ 2ab1 + 2 2  = 2ab +
ab 

ab
 ab 
2 2

(dấu "=" xẩy ra khi a=b)

1
 1
Theo Cô-si 1 = a + b ≥ 2 ab ⇒ 0 < ab ≤ . Đặt t = ab ta có t ∈ D =  0; 
4

2
t

Do đó M ≥ f (t ) = 2t + , t ∈ D

f ′(t ) = 2 −



4

2
1
 1
= 2(t 2 − 1) 2 < 0, ∀t ∈  0; 
2
t
t
 4

 1  17
⇒ min f (t ) = f  ÷ = .
D
4 2

Vậy min M =

17
1
đạt được khi a = b = .
2
2

__________________________________________________________________
Trang12
_
GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai


Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN
Ví dụ 15: Cho x > 0, y > 0, x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x
y
+
1− x
1− y

T=

HƯỚNG DẪN GIẢI :
 π
2
2
Đặt x = cos a; y = sin a ⇒ a ∈  0; ÷ khi đó
 2
cos 2 a sin 2 a cos3 a + sin 3 a ( sin a + cos a ) ( 1 − sin a.cos a )
T=
+
=
=
sin a cos a
sina.cos a
sin a.cos a

π
t2 −1

Đặt t = sin a + cos a = 2 sin  a + ÷⇒ sin a.cos a =
4
2

Với 0 < a <

π
⇒1< t ≤ 2
2

−t 3 − 3t
= f ( t) ;

Khi đó T = 2
t −1
f '( t ) =

−t 4 − 3

( t 2 − 1)

2

f ( t) = f
Vậy t∈min
( 1; 2 


(

< 0 ∀t ∈ 1; 2  ⇒ f ( t ) ≥ f

( 2) =

( 2) =

2

2 khi x = y = 1 . Hay min T = 2 khi x = y = 1 .
2
2

Ví dụ 16: Cho x,y,z là ba số thực dương có tổng bằng 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3( x 2 + y 2 + z 2 ) − 2 xyz .

HƯỚNG DẪN GIẢI :
P = 3  ( x + y + z ) 2 − 2( xy + yz + zx)  − 2 xyz

= 3 [ 9 − 2( xy + yz + zx) ] − 2 xyz
= 27 − 6 x( y + z ) − 2 yz ( x + 3)
≥ 27 − 6 x(3 − x) −
=

( y + z)2
( x + 3)
2

1
(− x 3 + 15 x 2 − 27 x + 27)
2

Xét hàm số

f ( x) = − x 3 + 15 x 2 − 27 x + 27

,

với 0
__________________________________________________________________
Trang13
_
GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai

Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN
x =1
f , ( x) = −3 x 2 + 30 x − 27 = 0 ⇔ 
x = 9
−∞

x
y’

0

1
-

0

3

+∞

+

y
14
Từ bảng biến thiên suy ra MinP = 7 ⇔ x = y = z = 1 .

Ví dụ 17: (Trích ĐH A2006) Cho hai số thực x, y ≠ 0 thay đổi thỏa mãn điều
kiện : ( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A=

1 1
+
x3 y 3

HƯỚNG DẪN GIẢI :
A=

1 1 x3 + y 3 ( x + y )( x 2 − xy + y 2 )
x+ y 2
1 1
+ 3= 3 3 =
=(
) = ( + )2 .
3
3 3
x
y
x y
x y
xy
x y

Đặt x = ty . Từ gải thiết ta có: ( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy ⇒ (t + 1)ty 3 = (t 2 − t + 1) y 2
t2 − t +1
t2 − t +1
; x = ty =
Do đó y = 2
.

t +t
t +1
2

2

 1 1   t 2 + 2t + 1 
Từ đó A =  + ÷ =  2
÷.
 x y   t − t +1 
t 2 + 2t + 1
−3t 2 + 3
f
(
t
)
=
⇒
f
'(
t
)
=
2
Xét hàm số
t2 − t +1
( t 2 − t + 1) .
1
2

Lập bảng biến thiên ta tìm GTLN của A là: 16 đạt được khi x = y = .
Ví dụ 18: (Trích ĐH B2011) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn
2(a 2 + b 2 ) + ab = (a + b)(ab + 2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

__________________________________________________________________
Trang14
_
GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai


Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN
 a 3 b3   a 2 b 2 
P = 4  3 + 3 ÷− 9  2 + 2 ÷
a 
b a  b

HƯỚNG DẪN GIẢI :
- Biến đổi giả thiết:
2(a 2 + b 2 ) + ab = (a + b)(ab + 2)
⇔ 2(a 2 + b 2 ) + ab = a 2b + ab 2 + 2(a + b)
a b
⇔ 2  + ÷+ 1 = ( a + b) + 2 ( a + b )
b a
a b
1 1
⇔ 2  + ÷+ 1 = ( a + b ) + 2  + ÷
b a
a b

- Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:

1 1
1 1
a b

(a + b) + 2  + ÷ ≥ 2 2(a + b)  + ÷ = 2 2  + + 2 ÷
a b
a b
b a







Suy ra: 2  + ÷+ 1 ≥ 2 2  + ÷+ 2 ⇒  + ÷ ≥ .
b a
b a
b a 2
a

a
b

Đặt t = +

b

a

b

a

5

b
5
, t ≥ . Ta được : P = 4(t 3 − 3t ) − 9(t 2 − 2) = 4t 3 − 9t 2 − 12t + 18 .
a
2
f (t ) = 4t 3 − 9t 2 − 12t + 18

Xét hàm số:

f '(t ) = 6(2t 2 − 3t − 2) ≥ 0, ∀t ≥
f (t ) =
Suy ra min
5

;+∞
2


b

÷


Vậy min P = −

5
2

23
5
f  ÷= − .
4
2

23
a b 5
1 1
đạt đươc khi và chỉ khi + = và a + b = 2  + ÷
4
b a 2
a b

(a; b) = (2;1) hoặc (a; b) = (1; 2)


Ví dụ 19: Cho ba số thực x, y, z ∈  ;3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
3 
1

P=

a
b
c

+
+
a+b b+c c+a

__________________________________________________________________
Trang15
_
GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai


Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN
HƯỚNG DẪN GIẢI :
P (a ) =

Đặt

a
b
c
+
+
a+b b+c c+a

Xem đây là hàm số theo biến a , còn b, c là hằng số.
b
c
(b − c)(a 2 − bc)
P '(a ) =
−
=

.
( a + b ) 2 ( a + c ) 2 ( a + b) 2 ( a + c ) 2


Trường hợp 1: a ≥ b ≥ c và a, b, c ∈  ;3 .
3 
1

1 
Suy ra b − c ≥ 0; a 2 − bc ≥ 0 nên P '(a) ≥ 0 . Do đó P(a) tăng trên  ;3 .
3 
⇒ P (a ) ≤ P (3) =
g '(c ) =

3
b
c
+
+
= g (c) (xem đây là hàm theo biến c)
3+b b + c c +3

−b
3
(b − 3)(3b − c 2 )
+
=
≤ 0 . Do đó g (c ) giảm trên
(b + c) 2 (c + 3) 2 (b + c) 2 (c + 3) 2
1

3

Suy ra: g (c) ≤ g ( ) =

1 
 3 ;3 .

3
3b
1
+
+ = h(b) .
3 + b 3b + 1 10

( xem h(b) là hàm số theo biến b)
3

(1 − b)(1 + b)

3

Ta có: h '(b) = (3b + 2) 2 − (b + 3) 2 = (3b + 1) 2 (b + 3) 2 .
Ta có bảng biến thiên.
1
3

b

1

h '(b)

+

0

3
-

h(b)
8
5

Suy ra h(b) ≤ h(1) = .
1
3

1
3

Vậy P(a, b, c) ≤ P(3, b, c) ≤ P(3, b, ) ≤ P(3,1, ) =

8
1
khi a = 3; b = 1; c =
5
3




Trường hợp 2 : c ≥ b ≥ a và a, b, c ∈  ;3 .
3 
1

__________________________________________________________________
Trang16
_
GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai


Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN
8
5

Từ kết quả của trường hợp 1, ta có: P(a, b, c) ≤ .
(a − b)(b − c)( a − c)

8
Mặt khác : P(a, b, c) − P (c, b, a ) = (a + b)(b + c)(a + c) ≤ 0 ⇒ P(a, b, c) ≤ .
5


1 1
8
  1 
Vậy MaxS = , đạt được khi (a, b, c) =  3;1; ÷,  ;3;1÷,  3; ;1÷ .
3 3
5
  3 


Ví dụ 20: Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn điều kiện abc + a + c = b . Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức :

P=

2
2
3
− 2
+ 2
a +1 b +1 c +1
2

HƯỚNG DẪN GIẢI :
Theo giả thiết ta có a + c = b(1 − ac) > 0 ⇒ b =

a+c
1
và a < .
1 − ac
c

2
2(a + c) 2
3
1
−2+ 2
, (0 < a < )
Thay vào biểu thức P ta được : P = 2 + 2

2
a + 1 (a + 1)(c + 1)
c +1
c

Xét hàm số : f ( x) =
Ta có : f '( x) =

1
( x + c) 2
1
+
− 1 với 0 < x < và coi c là tham số c>0
2
2
2
x + 1 ( x + 1)(c + 1)
c

−2c( x 2 + 2cx − 1)
 1
= 0 ⇔ x0 = −c + c 2 + 1 ∈  0; ÷
2 2
2
(1 + x ) (1 + c )
 c

Ta có bảng biến thiên
x
f '( x )

f ( x)

+

0

-

f ( x0 )

Từ bảng biến thiên ta có : f ( x) ≤ f ( x0 ) =
S = 2 f (a) +

Ta có : g '(c) =

1
c

x0

0

c
1 + c2

.

3
2c
3

≤
+ 2
= g (c )
c +1
1 + c2 c + 1

2(1 − 8c 2 )
(1 + c 2 )2 (3c + 1 + c 2 )

2

= 0 ⇔ c = c0 =

1
∈ ( 0; +∞ )
8

Bảng biến thiên :
__________________________________________________________________
Trang17
_
GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai


Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN
c0
0
c
g '(c )

+

+∞

0

-

g (c0 )
g (c )

Từ bảng biến thiên suy ra : g (c) ≤ g (c0 )
⇒ S ≤ g (c) ≤ g (c0 ) =

Vậy với c =

10
.
3

10
1
2
,a =
, b = 2 thì MaxS = .
3
2
8

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 21ab + 2bc + 8ca ≤ 12 . Tìm giá
1
a

2
b

3
c

trị nhỏ nhất của biểu thức: P = + + .
Bài 2 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức: T = 3(a 2 + b 2 + c 2 ) + 4abc
x + y + z = 4
Bài 3 : Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện 
 xyz = 3

Chứng minh rằng: 183 − 165 5 ≤ x 4 + y 4 + x 4 ≤ 18
Bài 4 : (Trích ĐH Khối B - 2010). Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn
a + b + c = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
M = 3( a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 ) + 3(ab + bc + ca ) + 2 a 2 + b 2 + c 2

Bài 5 : Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 . Tìm GTLN
của biểu thức : S = x 2 y + y 2 z + z 2 x .
Bài 6 (Trích ĐH A2013) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện
(a + c)(b + c) = 4c 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
32a 3
32b3
a 2 + b2
P=

+
−
(b + 3c)3 (a + 3c) 3
c

__________________________________________________________________
Trang18
_
GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai


Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN
Bài 7 (Trích ĐH B2013) Cho a, b, c là các số thực dương . Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức : P =

4
a +b +c +4
2

2

2

−

9
(a + b) (a + 2c)(b + 2c)

Bài 8 (Trích ĐH D2013) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
xy ≤ y − 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =

x+y
x 2 − xy + 3y 2

−

x − 2y
6(x + y)

Bài 9 (Trích ĐH D2013−NC) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm
số trên đoạn [ 0; 2] . f ( x) =

2 x 2 − 3x + 3
x +1

Bài 10 (Trích ĐH A2012)
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x +y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P = 3 x − y + 3 y − z + 3 z − x − 6 x 2 + 6 y 2 + 6 z 2 .
Bài 11 (Trích ĐH D2010) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = − x 2 + 4 x + 21 − − x 2 + 3x + 10
a + b + c = 0

Bài 12 (Trích THTT 2012) Cho ba số thực a,b,c thảo mãn 

2
2
2
a + b + c = 1

CMR : a 2b 2c 2 ≤

.

1
54

(Đề thi Olypic Toán Ailen năm 2009)
Bài 13 (Trích THTT 2012) Cho ba số thực x,y,z thảo mãn x3 + y 3 + z 3 − 3xyz = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 + y 2 + z 2
(Đề thi chọn đội tuyển Inđônêxia dự thi IMO 2009)
Bài 14 (Trích THTT 2012) Cho ba số thực a,b,c thảo mãn a 3 + b3 = c3 .
CMR : a 2 + b 2 − c 2 > 6(c − a)(c − b)
(Đề thi Olypic Toán Ấn độ năm 2009)
2.4.

HIỆU QUẢ CỦA ÁP DỤNG SKKN
Đề tài trên tôi thực hiện tại lớp 12A- Năm học 2013-2014.Sau khi học

xong bài này học sinh thấy hứng thú trong việc học môn toán ,có kỹ năng trong
__________________________________________________________________
Trang19
_
GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai


Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN
việc vận dụng khai triển vào việc giải các bài tập,giờ dạy rất sôi nổi ,các em
chăm chú lắng nghe .Giáo viên phát huy tối đa sự chủ động tích cực-sáng tạo
của học sinh , các em mới là người làm chủ kiến thức ,thầy chỉ là người dẫn dắt ,
đánh thức bản năng muốn khám phá của các em.Kết quả khảo sát lớp 12A1 cho

thấy :
- Số học sinh chuẩn bị bài và làm bài tập tốt ở nhà là 79,0 o/o

- Chuẩn bị bài chưa tốt và làm chưa tốt bài tập là 6,0 o/o
- Không chuẩn bị bài là 15 o/o
Kết quả cụ thể bài kiểm tra một tiết tại lớp 12 A1–Năm học 2013-2014 như sau:
Giỏi : 25

o

Khá : 54

o

/o
/o

Trung bình : 8 o/o
3: KẾT LUẬN
Bồi dưỡng năng lực tư duy hàm cho học sinh thông qua việc tìm GTLN và
GTNN của hàm số là một việc làm rất cần thiết của người giáo viên ,có nhiều
ứng dụng trong Toán học.Một trong những nhiệm vụ của người thầy dạy môn
toán là phải Phát huy được tối đa sự chủ động sáng tạo của học sinh,Nâng cao
hơn nữa khả năng tư duy toán cho học sinh .Giúp các em có phương pháp và
kỹ năng nhất định trong giải toán ,giúp các em trả lời thoả đáng câu hỏi “Tại sao
nghĩ và làm được như vậy”. Đồng thời cho học sinh ngày một yêu thích môn
toán ,thấy được bản chất của toán học :Toán học xuất phát từ thực tế và quay
trở lại thực tế .Chính vì vậy ,trong giờ dạy nếu người thầy có kiến thức vừa
chuyên ,vừa sâu ,kết hợp với việc có phương pháp giảng dạy tốt và chuẩn bị kỹ
bài giảng của mình thì sẽ thu hút được sự chăm chỉ ,lắng nghe của học sinh và

thu được kết quả một giờ dạy tốt.Làm được điều đó chúng ta sẽ ngày càng nâng
cao hơn nữa chất lượng giáo dục trong nhà trường phổ thông,phát huy được thế
mạnh của môn học trí tuệ của loài người.
__________________________________________________________________
Trang20
_
GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai


Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN
Trên đây chỉ là những tâm huyết mang tính chất chủ quan của riêng bản
thân tôi,kính mong được sự góp ý của các bạn đồng nghiệp và những ngừơi yêu
thích môn toán, để đề tài này có ý nghĩa thiết thực hơn trong nhà trường phổ
Thông.
Để thực hiện tốt đề tài này ,Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
đến các Thầy cô trong ban giám hiệu nhà trường,các Thầy cô trong Tổ ToánTrường THPT Số 3 Bảo Thắng
Hằng năm có rất nhiều những sáng kiến ,những đề tài khoa học có giá trị
rất cao được các thầy cô viết bằng sự tâm huyết và trí tuệ, đã được kiểm
nghiệm thực tế qua quá trình giảng dạy và đã được Sở giáo dục xếp loại cao
.Tôi thiết nghĩ nếu các đề tài đó được phổ biến trong các nhà trường phổ thông
thì chất lượng giáo dục sẽ được nâng cao,các Thày cô sẽ chuẩn bị cho mình
những giáo án tốt trước những tiết học .Vì vậy Tôi có đề nghị với sở Giáo Dục
Lào Cai nên sớm phổ biến rộng rãi những đề tài đã được các giải cao về các
trường phổ thông để các thầy cô cùng học tập ,nghiên cứu và rút ra được các bài
học kinh nghiệm quý báu cho mình, đồng thời sẽ thúc đẩy được phong trào tự
học ,tự đào tạo mình của mỗi thầy cô.Theo tôi đó mới là ý nghĩa thiết thực của
việc viết sáng kiến kinh nghiệm trong các trường phổ thông.

__________________________________________________________________
Trang21

_
GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai


Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN

4. TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1. Các đề thi đại học cao đẳng từ năm 2002 đến năm 2013
2. Các số báo của toán học tuổi trẻ từ năm 2008 đến năm 2013
3. Sách tham khảo hình giải tích của Phan Huy Khải
4. Sách tham khảo hình giải tích của Trần Phương
5. Sách tham khảo hình giải tích của Nguyễn Văn Dũng
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
__________________________________________________________________
Trang22
_
GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai


Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN
13. />14. Các đề thi thử đại học năm 2011 đến năm 2014
15. Sách tham khảo của Nguyễn Tất Thu
16. Sách tham khảo của Nguyễn Phú Khánh
17. Sách tham khảo của Võ Quốc Bá Cẩn

MỤC LỤC
1. Lý do chọn đề tài ….………………………………………….. ….... . Trang 0
2. Nội dung SKKN ….…………………………………………. …..…. Trang 3
2.1. Cơ sở lý luận của vấn đề … ….……………………………………. Trang 3
2.2. Thực trạng của vấn đề……………………………………………... Trang 4
2.3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề…………………

Trang 4

2.4. Hiệu quả của SKKN……………………………………………... Trang 18
3. Kết luận ………………………………………………………… .… Trang 19
4.Tài liệu tham khảo…………………………………………………

Trang 21

__________________________________________________________________
Trang23
_
GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai


Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN

__________________________________________________________________
Trang24
_
GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số 3 Bảo Thắng- Lào cai