SKKN phương pháp giải một số bài toán cực trị trong mạch xoay chiều

Mục Lục
1. Lý do chọn đề tài…..………………….…………………………..………….2
2.Nội dung sáng kiến………………...…...…………………………………… 3
2.1.Cơ sở lý luận………………………………………………………...…….....3
2.1.1. Mạch điện xoay chiều R,L,C không phân nhánh……….………...……....3
2.1.2 Các dạng bài toán cực trị trong mạch điện xoay chiều………….……..….4
2.2 Thực trạng …………………………………………………………...….….4
2.3 Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề………..……………..………..5
2.3.1 Phương pháp chung………………………………………………......…....5
2.3.2 Phương pháp giải các dạng bài toàn cực trị trong điện xoay chiều….……5
Dạng 1: Bài toán cực trị có cộng hưởng ...............................................5
Dạng 2: Bài toán cơ bản về R biến thiên......................................................7
Dạng 3: Bài toán cơ bản về L biến thiên..................................................... 9
Dạng 4: Bài toán cơ bản về C biến thiên....................................................13
Dạng 5: Bài toán về ω hoặc f biến thiên....................................................17
2.3.3Một số công thức áp dụng nhanh cho trắc nghiệm ...................................19
2.3.4 Bài tập yêu cầu..........................................................................................20
2.4 Hiệu quả của sáng kiến…………………………………….....…....……. 21
3. Kết luận..........................................................................................................21
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………...……… 23

1


1. Lý do chọn đề tài
Hiện nay môn Vật lý là bộ môn được thi dưới hình thức trắc nghiệm 100%.
Chính vì thế, người giáo viên phải làm thế nào để tìm ra phương pháp tốt nhất
nhằm cung cấp cho học sinh có tư duy, phương pháp giải bài tập chính xác và
nhanh nhất. Giúp học sinh phân loại các dạng bài tập và hướng dẫn cách giải là
rất cần thiết. Việc làm này rất có lợi cho học sinh trong thời gian ngắn đã nắm
được các dạng bài tập, nắm được phương pháp giải và từ đó có thể phát triển

hướng tìm tòi lời giải mới cho các dạng bài tương tự và hình thành được kỹ năng
giải nhanh được các dạng bài .
Trong cấu trúc đề thi tốt nghiệp và đại học cao đẳng thì phần “Dòng điện
xoay chiều” chiếm khoảng từ 8 đến 10 trong tổng số câu trắc nghiệm, trong đó
các bài toán cực trị của dòng điện xoay chiều là dạng bài toán thường xuất hiện
trong các đề thi.
Qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh thường rất lúng túng trong
việc tìm cách giải các dạng bài tập này và việc giải nhanh nó là càng khó chính
vì lý do đó tôi viết đề tài: “Phương pháp giải một số dạng bài toán cực trị
trong mạch điện xoay chiều” nhằm hệ thống hóa một số dạng toán cực trị của
bài toán này phục vụ cho công tác giảng dạy, cũng là tài liệu để học sinh có thể
tham khảo khi các em ôn thi để giải được các bài tập này một cách tốt nhất.

2


2. Nội dung sáng kiến
2.1.Cơ sở lý luận
2.1.1. Mạch điện xoay chiều R,L,C không phân nhánh
Mắc vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều u = U0 cos( ω t + ϕu )
gồm một điện trở thuần R, cuộn dây có độ tự cảm L, điện trở trong r và một tụ
điện có điện dung C ta có :
- Biểu thức cường độ dòng điện : i = I0 cos( ω t + ϕi ) (A). Với I0 là cường
độ dòng điện cực đại, ω tần số góc, ϕi là pha ban đầu của dòng điện
- Biểu thức hiệu điện thế : u = U0 cos( ω t + ϕu ) (V). Với U0 là hiệu điện
thế cực đại, ϕu là pha ban đầu điện áp.
U0
và
2

- Các giá trị hiệu dụng : U=

I=

I0
2

* Xét đoạn ,mạch R, L , C nối tiếp:
- Tần số góc: ω =

2π
= 2π f ;
T

- Cảm kháng: Z L = ω.L ;

Dung kháng Z C =

- Tổng trở của mạch :Z = R 2 + (Z L - Z C ) 2

;

- Hiệu điện thế hiệu dụng:
- Hiệu điện thế giữa hai đầu của các phần tử:
U
U
=
I
.
R

=
R=
R
+
Z

U .R
R2 + ( Z L − ZC )

2

U .Z

U

1
ωC

u
UL

u u
U L + UC

L
+ U L = I .Z L = Z Z L = 2
2
R + ( Z L − ZC )

O

U .Z

U

u
UC

C
+ U C = I .Z C = Z Z C = 2
2
R + ( Z L − ZC )

U

U

U

u
U
ϕ 
UR

U

C
R
L
- Định luật ôm: I = R = Z = Z = Z
L

C

- Độ lệch pha giữa u – i:

tgϕ =

Z L − ZC
R

* Công suất tiêu thụ của mạch:
+ Nếu cuộn dây thuần cảm: P = RI 2 = UI cos ϕ
3

(trong đó ϕ = ϕu − ϕi )

i


2.1.2. Các dạng bài tốn cực trị trong mạch điện xoay chiều
* Bài tốn cực trị có cộng hưởng: khi thay đổi L,C hoặc f sao cho ZL = Zc
thì
- Tổng trở cực tiểu Zmin
- Cường độ hiệu dụng đạt giá trò cực đại Imax
- Công suất cực đại Pmax
* Bài tốn Cho mạch điện R, L, C nối tiếp, R biến thiên.
- Xác định R để Pmax. Tìm Pmax.
- R thay đổi để P = P’ (P’- Tìm giá trị của R để URmax
* Bài tốn cho mạch điện R, L, C nối tiếp, L biến thiên.
- Xác định L để Imax , Pmax

-. Xác định L để UL max. Tính UL max
- Khảo sát P theo L, UL theo L.
* Bài tốn cho mạch R, L, C nối tiếp, C biến thiên.
- Tìm C để Imax, Pmax.
- Tìm C để UC(max), tính UC(max)
* Bài tốn cho mạch xoay chiều R, L, C nối tiếp có ω hay f biến thiên
- Xác định ω, (f) để Imax, Pmax, UR max
- Xác định ω, (f) để UL max, UC max
2.2. Thực trạng
Trong chương Vật Lý lớp 12 chương dòng điện xoay chiểu là chương có
kiến thức tương đối khó với học sinh, kiến thức nhiều dạng bài tập khá đa dạng,
các dạng bài trong chương đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức. Với
pân phối của chương trình thì các tiết dạy trên lớp khơng thể đủ cho các em tiếp
thu hết được các kiến thức, dạng bài tập có trong các đề thi tốt nghiệp đại học.
Vì vậy khi các em ơn thi thường có tâm lý ngại học bài tập về điện xoay chiều,
đặc biệt là dạng bài tốn cực trị vì có nhiều kiến thức tốn khá phức tạp. Đối với
các học sinh ở trường THPT số 2 Bảo n, các em đăng ký ơn thi Đại Học việc
giải bài tốn này gặp rất nhiều khó khăn do các em rất hạn chế về tài liệu ơn thi.
Nhằm giúp cho các em có nguyện vọng ơn thi đai học, cao đẳng tại trường
có thể dễ dàng ơn tập dạng tốn này. Chính vì vậy bằng kiến thức, tìm hiểu các
tài liệu tham khảo và sự giúp đỡ, cố vấn của đồng nghiệp, tơi đã phân chia các
bài tốn cơ bản nhất của dạng này đưa ra cách giải, tóm lược những cơng thức
4


để học sinh có thể giải nhanh khi làm trắc nghiệm.
2.3. Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề.
2.3.1 Phương pháp chung
Để tìm cực trị của một biểu thức nào đó thì chúng ta xuất phát từ cơng thức
tổng qt của chúng, thực hiện các phép biến đổi theo quy tắc nếu tử số và mẫu

số đều là đại lượng biến thiên thì chỉ để một biểu thức thay đổi theo đại lượng
thay đổi sau đó sử dụng các phương pháp tốn học:
* Phương pháp giải tích:
- Bất đẳng thức Cosi : Cho hai số khơng âm a, b khi đó a + b ≥ 2 ab
Nên (a + b) min = 2 ab , Dấu bằng xảy ra khi a = b
- Xét dấu phương trình bậc hai y = ax 2 + bx + c :
+ với a > 0 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x = −

b
∆ 4ac − b 2
∆'
; ymin = −
=
=−
2a
4a
4a
a

+ với a < 0 đạt giá trị lớn nhất.
- Phương pháp đạo hàm: y' = f(x)'
Thay vao

y = f ( x) = ymin = −

4
4a

y'' > 0 Hàm cực đại
y''< 0 Hàm cực tiểu

Hoặc y' = 0 =>

* Phương pháp Hình học (phương pháp giản đồ Vectơ):
- Vẽ giản đồ Vectơ.
- Theo định lý hàm sin:
a
b
c
=
=
Sinα Sinβ Sinδ

+ Biện luận đại lượng khảo sát theo α, β, δ.
2.3.2 Phương pháp giải một số dạng bài tồn cực trị trong điện xoay
chiều
Dạng 1: Bài tốn cực trị có cộng hưởng
Khi thay đổi L,C hoặc f sao cho ZL = Zc thì
- Tổng trở cực tiểu Zmin
- Cường độ hiệu dụng đạt giá trò cực đại Imax
- Công suất cực đại Pmax
5


* Phương pháp giải
Khi cộng hưởng điện: Điều kiện: ZL = ZC

<=>

ωL =

1
<=> LCω2 = 1
Cω

U

U

U

R
+ Cường độ dòng điện trong mạch cực đại: Imax = Z = R = R
min

U2
+ Điện áp hiệu dụng: U L = U C → U R = U ; P= PMAX =
R

* Bài tập ví dụ
Ví dụ 1: Cho mạch điện không phân nhánh gồm R = 40Ω, cuộn dây có r =
20Ω và L = 0,0636H, tụ điện có điện dung thay đổi. Đặt vào hai đầu đoạn mạch
một điện áp xoay chiều có f = 50Hz và U = 120V. Điều chỉnh C để điện áp hiệu
dụng hai đầu cuộn dây đạt giá trị cực đại, giá trị đó bằng:
Giải . Ta có: Z L = 2π f .L = 2π .50.0,0636 = 20Ω .
Điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn dây: U d = I.Zd . Vì Zd không phụ thuộc vào sự
thay đổi của C nên Ud đạt giá trị cực đại khi I = I max. Suy ra trong mạch phải có
cộng hưởng điện. Lúc đó:
U
120

I max =
=
= 2 (A) ; Z d = r 2 + Z L2 = 202 + 202 = 20 2Ω .
R + r 40 + 20
⇒ U d max = I .Z d = 2.20 2 = 40 2Ω = 56,57Ω (V).

Ví dụ 2: (ĐH-2009): Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng 120V, tần
số 50 Hz vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần 30 Ω, cuộn
cảm thuần có độ tự cảm

0,4
(H) và tụ điện có điện dung thay đổi được. Điều
π

chỉnh điện dung của tụ điện thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm đạt giá
trị cực đại bằng
U .Z

U .Z

L
L
Giải: Z L = 40Ω ;U LMAX = I MAX .Z L = Z = R = 120.40/30=160V (cộng hưởng
MIN

điện).
Ví dụ 3: Một mạch điện xoay chiều RLC không phân nhánh có R=100 Ω ,
2
π

L= H, tụ điện có điện dung C thay đổi được. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một
π
4

điện áp xoay chiều u AB = 200 2 cos(100πt + ) . Giá trị của C và công suất tiêu thụ
A
6

R

L

C

B


của mạch khi điện áp giữa hai đầu R cùng pha với điện áp hai đầu đoạn mạch
nhận cặp giá trị nào sau đây:
Giải: Ta thấy khi uR cùng pha với uAB nghĩa là uAB cùng pha với cường độ
dòng điện i. Vậy trong mạch xảy ra cộng hưởng điện: ZL=ZC
ZL=L ω = 200 Ω => C=

C=

1
. Với
Z Lω

10−4

U 2 200 2
=
= 400 W
F. Lúc này công suất P=Pmax=
2π
R
100

Dạng 2: Bài toán cơ bản về R biến thiên
Cho mạch điện R, L, C nối tiếp, R biến thiên.
a) Xác định R để Pmax. Tìm Pmax.
b) R thay đổi để P = P’ (P’A
c) Tìm giá trị của R để URmax

L

R

* Phương pháp giải
a) R thay đổi để P =Pmax
P = I 2R =

=>

C

B

P

2

U
xR=
R + (Z L − ZC )2
2

2

U
(Z − ZC )2
R+ L
R

Pmax
P
U2
2
U
Ta có P=RI2= R 2
=
(Z − Z C ) 2 ,
R + (Z L − Z c ) 2
R+ L
R

Do U=Const nên để P=Pmax

O R R
1
M

R2

(Z L − Z C ) 2
thì ( R +
) đạt giá trị min
R

Áp dụng bất dẳng thức Cosi cho 2 số dương R và (ZL-ZC)2 ta được:
R+

(Z L − Z C ) 2
(Z − Z C ) 2 2 Z − Z
= L
≥ 2 R. L
C
R
R

Vậy ( R +

(Z L − Z C ) 2
) min là 2 Z L − Z C lúc đó dấu “=” của bất đẳng thức
R

xảy ra nên ta có
R=ZL-ZC => P= Pmax

Lúc đó: cosϕ =

U2
= 2Z −Z
L
C

2
; tan ϕ = 1
2

* Chú ý khi giải bài toán này :
7

U

và I = Imax= Z − Z 2 .
L
C

R


- Các đại lượng U, ZL hoặc ZC là các đại lượng không đổi
- Khi áp dụng bất đẳng thức Cosi cần chọn A và B sao cho A.B = const.
b) R thay đổi để P = P’ (P’+

P=

U 2R
R 2 + (Z L − ZC )2

=> PR 2 − U 2 R + P ( Z L − Z C ) 2 = 0

U 2 .R
Ta có: P ' = I R = 2
R + (Z L − ZC )2
2

⇔ P ' R 2 − U 2 R + P '( Z L − Z C ) 2 = 0 (*)

Giải phương trình bậc 2 (*) tìm R. có 2 nghiệm
c) Tìm giá trị của R để UR(max)
+ U R = IR =

UR
R 2 + ( Z1 − Z 2 ) 2

U

=
1+

(Z L − ZC )2
R2

+ URmaxkhi mẫu min
R -> ∞ mẫu (min) và UR = U
Nghĩa là không thể tạo ra được ở 2 đầu R HĐT lớn hơn HĐT nguồn

* Bài tập ví dụ
Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ. Biết L =

1
2.10 −4
H, C =
F,
π
π

uAB = 200cos100πt(V). R bằng bao nhiêu để công suất toả nhiệt trên R là lớn
nhất? Tính công suất đó.
C
L
R
A

Giải: Ta có :ZL = ωL = 100 Ω; ZC =

B

1
= 50 Ω;
ωC

U = 100 2 V

U2
2
U

R
Công suất nhiệt trên R : P = I2 R = 2
=
(Z − Z C ) 2
R + (Z L − Z C ) 2 R + L
R

Theo bất đẳng thức Cosi : Pmax khi R =

(Z L − Z C ) 2
hay R =ZL -ZC = 50 Ω
R

U2
=> Pmax =
= 200W
2R

Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽ: Biết L =

1
10−3
H, C =
F,
π
6π

uAB = 200cos100πt(V). R phải có giá trị bằng bao nhiêu để công suất toả nhiệt
trên R là 240W?
8

Giải:
RU 2
⇔ P ' R 2 − U 2 R + P '(Z L − Z C ) 2 = 0
Ta có: P ' = I R = 2
2
R + ( Z L − ZC )
2

Ta có PT bậc 2: 240R2 –(100 2 )2.R +240.1600 = 0. Giải PT bậc 2 => R =
30Ω hay 160/3 Ω
Dạng 3: Bài toán cơ bản về L biến thiên
Cho mạch điện R, L, C nối tiếp, L biến thiên.
a) Xác định L để Imax , pmax
R
b) Định L để UL max. Tính UL max
A

C

I=

B

V

* Phương pháp giải
a) Tìm L để Imax
+

L

U
R 2 + (Z L − ZC )2

+ Imax khi Z L = Z C ⇒ L =

1
ω 2C

+ Pmax khi Z L = Z C ⇒ L =

1
ω 2C

b) Tìm L để ULmax:
- Phương pháp dùng công cụ đạo hàm:
+ Lập biểu thức dưới dạng:
U L = IZ L =

UZ L
R 2 + ( Z L − ZC )

2

(R

2

+ Z C2 )

U
U
=
1
1
y
− 2Z C + 1
2
ZL
ZL

+ Để ULmax thì ymin. Dùng công cụ đạo hàm khảo sát trực tiếp hàm số:
y = ( R 2 + Z C2 )

1
1
− 2Z C
+1
2
ZL
ZL

- Phương pháp dùng tam thức bậc hai:
+ Lập biểu thức dưới dạng:
U L = IZ L =

2
2

+ Đặt y = ( R + Z C )

UZ L
R2 + ( Z L − ZC )

2

U
U
=
( R2 + ZC2 ) Z12 − 2ZC Z1 + 1 y
L
L

1
1
−
2
Z
+ 1 = ax 2 + bx + 1
C
2
ZL
ZL
9


Với x =

1

, a = R 2 + Z C2 , b = −2 Z C
ZL

⇒ ∆ = 4 Z C2 − 4 ( R 2 + Z C2 ) = −4 R 2

+ ULmax khi ymin.
Tam thức bậc hai y đạt cực tiểu khi x = −

b
(vì a > 0) hay
2a

U
R 2 + Z C2
∆
R2
U
=
ZL =
= 2
, ymin = −
.=>
L
max
=>
ymin
ZC
4a R + Z C2
U L max = U

R 2 + Z C2
R

- Phương pháp giản đồ Fre-nen:
+ Từ giản đồ Fre-nen, ta có:
u uu uu uu
U = U R + U L + UC
uu uu uu
+ Đặt U1 = U R + U C ,
với U1 = IZ1 = I R 2 + Z C2 .
+ Áp dụng định lý hàm số sin, ta có:
UL
U
U sin β
=
⇒ UL =
sin β sin α
sin α
+ Vì U không đổi
UR
R
sin
α
=
=
= const
và
U1
R 2 + ZC2
nên UL = ULmax khi sin β đạt cực đại hay sin β = 1.

2
2
+ Khi đó U L max = U R + Z C

R

+ Khi sin β =1 ⇒ β =
coα =

π
, ta có:
2

U1 U C
Z1 Z C
=
=
=>
U L U1
Z L Z1

=> Z L =

R 2 + Z C2
R 2 + Z C2
L
=
=>
ZC
ωZ C

* Bài tập ví dụ
Ví dụ 1 : Cho mạch điện như hình vẽ. Điện áp giữa hai đầu AB có biểu
thức u = 200cos100π t (V). Cuộn dây thuần cảm có L thay đổi được, điện trở R
10


10−4
= 100Ω, tụ điện có điện dung C =
(F). Xác định L sao cho điện áp hiệu
π
dụng giữa hai điểm M và B đạt giá trị cực đại, tính hệ số công suất của mạch
điện khi đó.
C

R

A

M

L

B

V

Bài giải: Dung kháng:

ZC =

1
=
ωC

1
=100Ω
10 −4
100π.

π

Cách 1: Phương pháp đạo hàm
- Ta
U MB = IZ L =

U L max =
x=

U
ymin

có:

U AB Z L
R +( Z L − ZC )
2

2
2

với y = ( R + Z C )

2

U AB
U
= AB
y
( R 2 + ZC2 ) Z12 − 2ZC Z1 +1
L
L

1
1
− 2Z C
+ 1 = ( R 2 + Z C2 ) x 2 − 2Z C .x + 1 (với
2
ZL
ZL

1
)
ZL
2
2
- Khảo sát hàm số y:Ta có: y ' = 2 ( R + Z C ) x − 2Z C

y ' = 0 ⇔ 2 ( R 2 + Z C2 ) x − 2 Z C = 0 ⇒ x =

ZC

R + ZC2
2

- Bảng biến thiên:

ZC
1
ZC
R 2 + ZC2 1002 + 1002
=
⇒ ZL =
=
= 200Ω
⇒ymin khi x = 2
hay
R + Z C2
Z L R 2 + Z C2
ZC
100
⇒L=

ZL
200 2
=
= H;
ω 100π π

11

R

Hệ số cos ϕ =

R 2 + ( Z L − ZC )

2

100

=

1002 + ( 200 − 100 )

2

=

2
2

Cách 2: Phương pháp dùng tam thức bậc hai
- Ta có:

U MB = IZ L =

2
2
- Đặt y = ( R + Z C )

U AB Z L
R 2 + ( Z L − ZC )

2

U AB
U
= AB
( R 2 + ZC2 ) Z12 − 2ZC Z1 +1 y
L
L

1
1
1
− 2ZC
+ 1 = ax 2 + bx + 1 Với x =
; a = R 2 + Z C2
2
ZL
ZL
ZL

; b = −2 Z C
- UMBmax khi ymin: Vì a = R 2 + Z C2 > 0 nên tam thức bậc hai đạt cực tiểu khi
x=−

b
2a

1
−2ZC
ZC
R 2 + Z C2 1002 + 1002
=
−
=
=
= 200Ω ;
hay Z
2
2 ⇒ ZL =
2 ( R 2 + Z C2 ) R + Z C
ZC
100
L

⇒ L=

Z L 200 2
=
= H
ω 100π π
uu
UL

- Hệ số:
R

cosϕ =

R 2 + ( Z L − ZC )

2

=

100
1002 + ( 200 − 100 )

2

=

2
2

Cách 3: Phương pháp dùng giản đồ Frenen.

u uu uu uu
U = U R + UC + U L
uu uu uu
Đặt U1 = U R + U C

Ta có:

O

U
IZ

Z
100
tan ϕ1 = C = C = C =
=1
UR
IR
R 100
⇒ ϕ1 =

-Vì α + ϕ1 =

π
rad
4

π
π
⇒ α = − ϕ1
2
2
12

P

u
U

uu
UC

ϕ
ϕ1


I

uu
UR
uu
U1

α
Q


π π π
− = rad
2 4 4
- Xét tam giác OPQ và đặt β = ϕ + ϕ1 .
⇒α =

- Theo định lý hàm số sin, ta có:

U
U
U
= L ⇒ UL =
sin β
sin α sin β
sin α

- Vì U và sinα không đổi nên ULmax khi sinβ cực đại hay sinβ = 1
⇒β =

π
2

- Vì β = ϕ + ϕ1 ⇒ ϕ = β − ϕ1 =
cos ϕ = cos

π π π
− = rad. Hệ số công suất:
2 4 4

π
2
=
4
2

- Mặt khác tan ϕ =

Z L − ZC
= 1 ⇒ Z L = ZC + R = 100 + 100 = 200Ω
R

ZL
200 2
=
=

ω 100π π
Ví dụ 2: Cho mạch điện RLC, L có thể thay đổi được, điện áp hai đầu

⇒L=

10−4
F . Tìm L để:
mạch là u = 170 2cos(100π T )V . Các giá trị R = 80Ω, C =
2π

a. Mạch có công suất cực đại. Tính Pmax
b. Mạch có công suất P = 80W. Tìm L
c. Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu L đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó.
Bài giải: Ta có R = 80Ω, Z C = 200Ω
a. Công suất của mạch P = I2.R. Do R không đổi nên:
Pmax ⇔ Z min ⇔ Z L − ZC = 0 ⇔ Z L = Z C = 200Ω ⇒ L =

2
H
π

U2
U 2 1702
R= 2 R=
=
W
R
R
80

- Khi đó: Pmax = I

2
max

2
b. P = I R = 80 ⇔

U2
1702.80
Ω
R
=
80
⇔
= 80 ⇔  ZZ LL ==350
50 Ω
Z2
802 + ( Z L − 200) 2

H
 L = 3,5
Từ đó ta tìm được hai giá trị của L thỏa mãn đề bài là:  L = π1 H
 2π

c. Điện áp hiệu dụng hai đầu L đạt cực đại khi
ZL =

R 2 + Z C2 802 + 2002
232

=
= 232Ω ⇒ L =
H.
ZC
200
100π
13


- Giá trị cực đại U L max =

U
170
R 2 + Z C2 =
802 + 2002 = 85 29V
R
80

Dạng 4: Bài toán cơ bản về C biến thiên
Cho mạch R, L, C nối tiếp, C biến thiên
a) Tìm C để Imax, Pmax.
A
b) Tìm C để UC(max), tính UC(max)
* Phương pháp giải
a) Tìm C để Imax, Pmax
Ta có :
P = I 2 RI==

R

L

C

B

V

U 2R
U
R 2 +2 ( Z L − Z C ) 2 2
R + (Z L + Z C )

- Để Imax hay Pmax thì Z L = Z C ⇒ C =

1
ω2L

b) Tìm C để UCmax:
- Lập biểu thức dưới dạng:
U C = IZ C =

UZ C
R2 + ( Z L − ZC )

2

(R

2

+ Z L2 )

U
U
=
1
1
y
− 2Z L
+1
2
ZC
ZC

- Tương tự như trên, dùng ba phương pháp: đạo hàm, tam thức bậc hai, và
giản đồ Fre-nen để giải.
- Ta có kết quả: U CMAX = U

R

R 2 + Z L2
Z ω
+ Z L2
Z
=
=> C
=> C = 2 L 2
ZL
R +Z L

R
2

- Chú ý: Nếu tìm điện áp cực đại ở hai đầu đoạn mạch nhỏ gồm R nối tiếp
C thì lập biểu thức U RC =

U
và dùng đạo hàm, lập bảng biến thiên để tìm ymin.
y

* Bài tập ví dụ
Ví dụ 1: Mạch điện như hình vẽ. Cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L =
0,318H, R = 100Ω, tụ C là tụ xoay. Điện áp đặt vào hai đầu đoạn mạch có biểu
thức u = 200 2 cos100π t (V).
Tìm C để điện áp giữa hai đầu bản tụ đạt giá trị cực đại, tính giá trị cực đại đó.
Bài giải:
- Cảm kháng : Z L = ω L = 100π .0,318 = 100Ω
Cách 1: Phương pháp đạo hàm:
14


- Ta

có:
UZ C

U C = IZ C =

-

R2 + ( Z L − ZC )

2
2
Đặt y = ( R + Z L )

(với x =

2

=

(R

2

+ Z L2 )

U
U
=
1
1
y
− 2Z L
+1
2
ZC
ZC

1
1
− 2Z L
+ 1 = ( R 2 + Z L2 ) x 2 − 2 x.Z L + 1
2
ZC
ZC

1
)
ZC

- UCmax khi ymin.
Khảo sát hàm số:
y = ( R 2 + Z L2 ) x 2 − 2 x.Z L + 1

⇒ y ' = 2 ( R 2 + Z L2 ) x − 2Z L

y ' = 0 ⇔ 2 ( R 2 + Z L2 ) x − 2 Z L = 0 ⇒ x =

ZL
R + Z L2
2

Bảng biến thiên:

⇒ ymin khi x =

ZL
1

Z
= 2 L 2
2 hay
R + ZL
ZC R + Z L
2

R 2 + Z L2 1002 + 1002
⇒ ZC =
=
= 200Ω
ZL
100
1
1
5.10−5
⇒C =
=
=
F
ω Z C 100π .200
π
U R 2 + Z L2 200 1002 + 1002
U C max =
=
= 200 2 (V)
R
100
Cách 2: Phương pháp dùng tam thức bậc hai.
- Ta

U C = IZ C =

UZ C
R2 + ( Z L − ZC )
15

2

=

(R

2

+ Z L2 )

U
U
=
1
1
y
−
2
Z
+
1
L
Z C2
ZC

có:


2
2
- Đặt y = ( R + Z L )

1
1
− 2Z L + 1 = ax 2 + bx + 1
2
ZC
ZC

(với x =

1
; a = R 2 + Z L2 ;
ZC

b = −2 Z L )
- UCmax khi ymin. Vì hàm số y có hệ số góc a > 0, nên y đạt cực tiểu khi:
x=−

b
2a

1
ZL

R 2 + Z L2 1002 + 1002
=
⇒ ZC =
=
= 200Ω
- hay
Z C R 2 + Z L2
ZL
100

1
1
10−4
⇒C=
=
=
(F).
ω Z C 100π .200 2π
U C max

U R 2 + Z L2 200 1002 + 1002
=
=
= 200 2 V
R
100

Cách 3: Phương pháp dùng giản đồ Fre-nen.
u uu uu uu
- Ta có: U = U L + U R + U C

- Áp dụng định lý hàm số sin, ta có:

uu
UL

U
U
U
= C ⇒ UC =
sin β
sin α sin β
sin α
UR
- Vì U và sin α = U =
1

R
R 2 + Z L2

không đổi nên

UCmax khi sinβ cực đại hay sinβ = 1.

O

uu
U1

β
u

U

uu
UC

π
- Khi sin β = 1 ⇒ β =
2
U
U
Z
Z
⇒ cos α = L = 1 ⇒ L = 1
U1 U C
Z1 Z C

α

P

uu
UR


I
Q

Z12 R 2 + Z L2 1002 + 1002
⇒ ZC =
=

=
= 200Ω
ZL
ZL
100
1
1
5.10−5
⇒C =
=
=
F
ω Z C 100π .200
π
U C max

U R 2 + Z L2 200 1002 + 1002
=
=
= 200 2 (V)
R
100

Ví dụ: Cho mạch điện RLC có R = 100Ω, L =
đoạn mạch u = 100 2cos(100π t )V . Tìm C để:
16

1
, C thay đổi. Điện áp hai đầu
π

a. Mạch tiêu thụ công suất P = 50W. Tìm C
b. Mạch tiêu thụ công suất cực đại. Tính Pmax
c. Tính UC max
Bài giải:
Ta có: R = 100Ω, Z L = 100Ω
U2
1002.100
= 50 ⇔  ZZCC ==0200 Ω
a. P = I R = 50 ⇔ 2 R = 50 ⇔
2
2
Z
100 + (100 − Z C )
2

Nhận nghiệm ZC = 200Ω ta được C =

10−4
F
2π

b. Công suất của mạch P = I2.R. Do R không đổi nên:
Pmax ⇔ I max

10−4
⇔ Z L − Z C = 0 ⇔ Z L − Z C = 100Ω ⇒ C =
F
π

Khi đó: Pmax = I m2 ax R =

U2
U 2 1002
R
=
=
=100W
R2
R
100

c. Theo công thức đã chứng minh được điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ
cực đại khi:
ZC =

R 2 + Z L2 1002 + 1002
10−4
=
= 200Ω ⇒ C =
F
ZL
100
2π

Khi đó: U C max =

U
100

R 2 + Z L2 =
1002 + 100 2 = 100 2V
R
100

Nhận xét : Trong hai trường hợp L thay đổi và C thay đổi chúng ta
thấy vai trò của L và C là bình đẳng nên hoán đổi vị trí của L và C ta sẽ được kết
quả. Vậy nên trong trắc nghiệm chúng ta chỉ cần nhớ kết quả với C hoặc L.
U C max =

U L max

U
R 2 + Z L2
R 2 + Z L2 khiZ C =
R
ZL

R 2 + Z C2
U
2
2
=
R + Z C khiZ L =
R
ZC

Dạng 5: Bài toán về ω hoặc f biến thiên
Cho mạch xoay chiều R, L, C nối tiếp có ω hoặc f biến thiên
a) Xác định(f) để Imax, Pmax, UR max

b)Xác định (f) để UL max, UC max
* Phương pháp giải
a) Định f để Imax, Pmax, UR max
+

I=

U
R + (Z L − Z C )
2

2

P = I 2R

;

17

;

U R = IR


1
LC

+ Để Imax, Pmax, UR max thì ω =

b) Xác định giá trị cực đại ULmax, và UCmax khi tần số f thay đổi:

- Lập biểu thức điện áp hiệu dụng 2 đầu cuộn dây UL:

U L = IZ L =

UZ L
2

1 

R + ωL −
ωC ÷



U

=

1
1 
L 1
. 4 +  R2 − 2 ÷ 2 2 + 1
2
LC ω 
C Lω

2

-

Đặt

a=

1
L C2

,

2

U
y

=

2

2L  1

b =  R2 −
÷
C  L2


x=

c =1 ,

,

1
ω2

⇒ y = ax 2 + bx + c
- Lập biểu thức điện áp hiệu dụng 2 đầu tụ điện UC:
U C = IZ C =

U
2

1 

ωC R +  ω L −
ωC ÷



U

=

2L  2

L2C 2ω 4 + C 2  R 2 −
÷ω + 1
C 


2

=

U
y

2L 
2 2
2
2
- Đặt a = L2C 2 , b = C  R −
÷ , c = 1 , x = ω ⇒ y = ax + bx + c
C 

- Dùng tam thức bậc hai của ẩn phụ x để tìm giá trị cực tiểu của y, cuối
cùng có chung kết quả:
U L max = U C max =

2 LU
R 4 LC − R 2C 2

Nhận xét: Do vai trò của f và ω là như nhau nên nếu f thay đổi thì bằng
phép thay ω = 2π f ta sẽ giải quyết được lớp bài toán mà có f thay đổi.
* Bài tập ví dụ
Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ. Đặt vào hai đầu đoạn mạch AB
một điện áp u AB = 100 3 cos ωt (V) ( ω thay đổi được). Khi ω = ω1 thì UR
=100V; U C = 50 2 V; P = 50 6 W. Cho L =

1
H và UL > UC. Tính UL và chứng

π

tỏ đó là giá trị cực đại của UL.

A

Bài giải:Ta có: U 2 = U R2 + ( U L − U C )

2

Thay các giá trị của U, UR, UC ta được:
18

R

L

C

B


( 50 6 )

2

(

)

2

= 1002 + U L − 50 2 ⇒ U L = 100 2 (V) (1)

- Cơng suất tiêu thụ tồn mạch: P = UI cos ϕ = UI (vì ϕ = 0 )
⇒I=

P 50 6
=
= 1A
U 50 6

⇒R=

U R 100
=
= 100Ω
I
1

Z
100 2
⇒ ω1 = L =
= 100π 2
U L 100 2
rad/s
1
ZL =
=
= 100 2Ω

L
I
1
π
1
1
10−4
U C 50 2
=
=
F
ZC =
=
= 50 2Ω ⇒ C =
ω1Z C 100π 2.50 2
π
I
1
Ta có:
U L = IZ L =

- Đặt y =

1
L C 2ω 4
2

U ωL
2

1 

R 2 + ωL −
ωC ÷



=

U
1
L 1

+  R 2 − 2 ÷ 2 2 +1
2
4
LC ω
C Lω


=

U
y

2

L 1
1
1


+  R 2 − 2 ÷ 2 2 + 1 = ax 2 + bx + 1 .Với x = 2 ; a = 2 2 ;
C  Lω
ω
LC


L 1

b =  R2 − 2 ÷ 2
CL

- ULmax khi ymin. Tam thức bậc hai y đạt cực tiểu khi x = −

b
(vì a > 0).
2a

4 
1
∆
R2
∆ = b − 4ac = R  4 − 3 ÷ ⇒ ymin = −
= 2 ( 4 LC − R 2C 2 )
4a 4 L
 L LC 
2

⇒ U L max =

4

U
2UL
=
=
ymin R 4 LC − C 2 R 2

2.50 6.

1
π
2

1 10−4  10−4 
2
100 4. .
−
÷ .100
π π
π



= 100 2 (V)
Vậy U L = U L max = 100 2 (V).
2.3.3. Một số cơng thức áp dụng nhanh cho trắc nghiệm
- Dạng 1 : Hỏi Điều kiện để có cộng hưởng điện mạch RLC và các hệ quả
Điều kiện ZL = Zc → LCω2 = 1 ;Khi có cộng hưởng điện, trong mạch
xảy ra các hiện tượng đặc biệt như:

19


+ Tổng trở cực tiểu Zmin= R → U = UR ; UL = Uc
U

+ Cường độ hiệu dụng đạt giá trò cực đại Imax = R
+ Công suất cực đại Pmax = UI =

U2
R

- Dạng 2: Cho R biến đổi
Hỏi R để Pmax, tính Pmax, hệ số cơng suất cosφ lúc đó?
Đáp : R = │ZL - ZC│, PMax =

U2
2
, cos ϕ =
2R
2

- Dạng 3: Cho R biến đổi , nếu với 2 giá trị R1 , R2 mà P1 = P2
Hỏi R để PMax

Đáp R = │ZL - ZC│= R1R2

- Dạng 4: Cho L1, L2 mà I1 = I2 (P1 = P2)
Hỏi L để PMax

Đáp Z L = ZC =

Z L1 + Z L 2
2

Dạng 5: Hỏi với giá trị nào của C thì điện áp hiệu dụng trên tụ điện U C cực
đại
Đáp Zc =

R 2 + Z L2
, (Câu hỏi tương tự cho L)
ZL

2.3.4. Bài tập u cầu
Bài 1(CĐ-2010): Đặt điện áp u = U 2 cos ωt (V) vào hai đầu đoạn mạch
gồm cuộn cảm thuần mắc nối tiếp với một biến trở R. Ứng với hai giá trị R1 = 20
Ω và R2 = 80 Ω của biến trở thì cơng suất tiêu thụ trong đoạn mạch đều bằng
Đáp số: U = 200 V
400 W. Giá trị của U là
Bài 2(CĐ-2010): Đặt điện áp u = 200cos100πt (V) vào hai đầu đoạn mạch
gồm một biến trở R mắc nối tiếp với một cuộn cảm thuần có độ tự cảm

1
H.
π

Điều chỉnh biến trở để cơng suất tỏa nhiệt trên biến trở đạt cực đại, khi đó cường
Đáp số: I = 1A
độ dòng điện hiệu dụng trong đoạn mạch bằng.
Bài 3(ĐH-2008): Đoạn mạch điện xoay chiều gồm biến trở R, cuộn dây

thuần cảm có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp. Biết hiệu điện
thế hiệu dụng hai đầu đoạn mạch là U, cảm kháng ZL, dung kháng ZC (với ZC ≠
ZL) và tần số dòng điện trong mạch khơng đổi. Thay đổi R đến giá trị R0 thì cơng
suất tiêu thụ của đoạn mạch đạt giá trị cực đại Pm, khi đó R0 và cơng suất U
có2 giá
Đáp số: R0 = Z L − Z C ;Pmax=
trị:
2 Z L − ZC
20


Bài 4(ĐH-2007): Đặt hiệu điện thế u = U0sinωt (U0 và ω không đổi) vào
hai đầu đoạn mạch RLC không phân nhánh. Biết độ tự cảm và điện dung được
giữ không đổi. Điều chỉnh trị số điện trở R để công suất tiêu thụ của đoạn mạch
2
đạt cực đại. Khi đó hệ số công suất của đoạn mạch bằngĐáp số: cos ϕ =
2
Bài 5 (ĐH-2011): Đặt điện áp xoay chiều u = U 2 cos100πt (U không đổi, t
tính bằng s) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R, cuộn cảm
thuần có độ tự cảm

1
H và tụ điện có điện dung C thay đổi được. Điều chỉnh
5π

điện dung của tụ điện để điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ điện đạt giá trị cực đại.
Giá trị cực đại đó bằng U 3 . Điện trở R bằng
A. 20 2 Ω .
B. 10 2 Ω .
C. 10 Ω .

D. 20 Ω .
Bài 6: Một mạch điện xoay chiều mắc nối tiếp gồm một điện trở, một tụ
điện và một cuộn dây thuần cảm có hệ số tự cảm L có thể thay đổi, với u là điện
áp hai đầu đoạn mạch và uRC là điện áp hai đầu đoạn mạch chứa RC, thay đổi L
để điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn dây đạt giá trị cực đại khi đó kết luận nào sau
đây là sai?
A.
B.

2
B. (UL)2Max= U 2 + U RC
C

u và uRC vuông pha.
Z C2 + R 2
ZL =
ZC

D. (U L ) Max =

U R 2 + ZC2
ZC

2.4. Hiệu quả của sáng kiến.
- Năm học 2013 – 2014 tôi đã áp dụng chuyên đề vào giảng dạy ôn thi đại
học. Qua thực hiện tôi thấy đa số học sinh sau khi học xong chuyên đề, các em
đã có kỹ năng phân tích nhanh bài toàn, nắm vững được các dạng bài và
phương pháp giải, có kỹ năng giải tương đối nhanh các bài toán trắc nghiệm.
Các em có hứng thú, tích cực trong làm các dạng toán điện xoay chiều.
- Tôi tiến hành khảo sát như sau: Cho các em trong lớp ôn tập làm một đề

tổng hợp về chương dòng điện xoay chiều trong đó có 12 câu liên quan đến bài
toàn cực trị có trong các đề thi đại học năm trước, kết quả các em làm đúng các
câu bài toán cực trị:
Tổng
số Hs

Làm được
10-12 câu

Làm
được
8-9 câu

Làm
được
6 – 7 câu
21

Làm
được
4-5 câu

Làm
được
1-3 câu

Không
làm được

26

8

6

4

4

4

0

- So sánh với kết quả khảo sát trước khi dạy chuyên đề đa số các em chỉ
giải được một số bài toán cực trị khi có cộng hưởng và một số em chưa xác đinh
được các dạng bài toán cực trị. Sau khi kết thúc chuyên đề, chất lượng học sinh
ôn khí giả bài toán này có sự chuyển biến.
3. Kết luận:
- Qua việc hình thành cho học sinh có phương pháp giải chung đã giúp
cho học sinh có được phương pháp nhận dạng, kỹ năng giải từng dạng bài toán
khi có các đại lượng biến thiên. Từ chổ nắm bắt được kiến thức, học sinh đã say
mê hơn trong học tập, tin tưởng vào bản thân và có sáng tạo trong giải những
giải toán cụ thể.
- Khi học sinh chưa nắm được phương pháp giải thường mắc sai lầm
trong vận dụng, phải mò mẫm trong kiến thức và cách giải không có tính tổng
quát. Cách nhìn nhận bài toàn chưa xoáy sâu vào trọng tâm. Kết quả chỉ có từ
10-15% học sinh có được kết quả đúng song cách giải còn dài dòng.
- Khi nắm được phương pháp giải, kết hợp với kiến thức đã có, vận dụng
nghiên cứu, đến nay 100% học sinh học khối A nhìn nhận được bài toán về R, L,

C, ω biến thiên, giải được bài toán theo thời gian ấn định cho phép.
Trên đây là một số kiến thức mà bản thân tôi đã vận dụng trong giảng dạy
ở phần tìm giá trị cực trị của dòng xoay chiều. Chắc đề tài còn nhiều thiếu sót,
rất mong nhận được sự góp ý của đồng nghiệp để bản thân tôi tiến bộ hơn, góp
phần được nhiều hơn cho sự nghiệp giáo dục.
Xin chân thành cảm ơn!

22


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. SGK; SBT: SGV vật lý 12.
2. Giải toán vật lí 12 – tập 2 – Nhà xuất bản giáo dục.
3. Phương pháp giải bài tập trắc nghiệm Vật Lý – NXB Đại học sư phạm
4. Chuyên đề bài toán cực trị của thầy Đặng Việt Hùng giảng viên ĐHBK Hà
Nội.

23