SKKN phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm

phần i
phần mở đầu
I.Tính cấp thiết của đề tài:
Trong thc tế giảng dạy lớp 12 thì bài tốn viết phương trình tiếp tuyến
với một đường cong là một bài tốn rất cơ bản, thường xuyên xuất hiện trong
các đề thi tốt nghiệp, cao đẳng và đại học hàng năm.
Vì thế là một giáo viên dạy Toán THPT và nhiều năm dạy ơn luyện học
sinh lớp 12 tơi chỉ có một lao động sáng tạo nhỏ là hệ thống lại các bài tốn viết
phương trình tiếp tuyến với một đường đồ thị hàm số tại một điểm, đưa ra các
phương pháp giải đồng thời chỉ ra một số sai lầm mà học sinh hay mắc phải vì
các em chưa có nhiều bài tập để rèn luyện kĩ năng phân tích và trình bày bài
tốn. Các em học sinh chưa có được phương pháp khái quát các bài toán thường
gặp về viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Chính vì vậy, tơi đã tìm
hiểu và viết sáng kiến kinh nghiệm: “Phương pháp viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm ” nhằm giúp các em học sinh nắm chắc
được kiến thức về bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, để
các em có sự chuẩn bị tốt cho các kỳ thi tốt nghiệp THPT và kỳ thi đại học, cao
đẳng.
II. T×nh hình nghiên cứu:
Bng phng phỏp nghiờn cu lớ lun, quan sỏt v tng kt kinh nghim
số kết quả nghiên cứu ban đầu để thấy rõ đợc kết quả luyện tập của học sinh.
III. Mục đích và nhiệm vụ của sáng kiÕn:
Bằng phương pháp nghiên cứu lí luận và áp dụng vào thực tiễn giảng
dạy. Để giúp học sinh vận dụng lí thuyết vào bài tập. Đưa các bài tốn khó về
các bài toán thường gặp.
IV. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI:
Häc sinh lớp 12A2 - Trờng THPT số 1 Bảo Yên.
Thời gian nghiên cứu: Trong năm học 2013 - 2014.
PHN II
TểM TẮT LÝ THUYẾT
1

1.Tiếp tuyến của đường cong phẳng
Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đường cong (C): y = f(x)
và M(x 0 ; f (x 0 )) ∈ (C ) kí hiệu M’(x; f(x)) là điểm di chuyển trên ( C)
y
M,

f(x)
M
f (x 0 )
O

T
x0

x

x

Đường thẳng MM’ là một cát tuyến của ( C).
Khi x →x 0 thì M’(x; f(x))
di chuyển trên ( C) tới M(x 0 ; f (x 0 )) và ngược lại. Giả sử MM’ có vị trí giới hạn,
kí hiệu là MT thì MT được gọi là tiếp tuyến của ( C) tại M. Điểm M được gọi là
tiếp điểm
Định lý:
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến tại tại M(x 0 ;y 0
) ∈ (C ) có dạng: y=f’(x 0 ).( x -x 0 ) + y 0
Với: f’(x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến và y 0 = f (x 0 )
Chú ý:

Dạng bài: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến
với (C) tại một điểm M o ( xo ; yo ) ∈ (C ) .
Phương pháp giải:
- Tính f ' ( x) .
- Tính hệ số góc của tiếp tuyến k = f ' ( xo ) .
- Phương trình tiếp tuyến với độ thì (C) tại điểm M o ( xo ; yo ) là:
y − yo = f ' ( xo )( x − xo )

PHẦN III
BÀI TẬP ÁP DỤNG
2


A. CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài tập 1. Cho hàm số y = f ( x) = x 3 + 2 x 2 − 15 x + 12 có đồ thị (C).Viết phương
trình tiếp tuyến với (C) tại điểm A(2; - 2)∈(C).
Giải
f ' ( x) = 3x 2 + 4 x − 15 ⇒ f ' (2) = 5

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A có dạng:
y + 2 = 5( x − 2)
⇒ y = 5 x − 12
1
4

1
2

Bài tập 2. Cho hàm số: y = x 4 + x 2 + 1 (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến với
(C) tại điểm có tung độ bằng

7
.
4

Giải
Gọi xo là hồnh độ tiếp điểm ⇒ ta có

7 1 4 1 2
= x0 + x0 + 1 ⇔ xo = ±1 .
4 4
2

7

+Với xo = 1 ⇒ f ' (1) = 2 ⇒ phương trình tiếp tuyến tại M 1  − 1;  là:


y−

4

7
1
= 2( x − 1) ⇔ y = 2 x −
4
4

7


+Với xo = −1 ⇒ f ' (−1) = −2 ⇒ phương trình tiếp tuyến tại M 2  − 1;  là:


y−

4

7
1
= −2( x + 1) ⇔ y = −2 x −
4
4

Nhận xét 1:
Bài tập 1 khi đã cho hoành độ và tung độ vì vậy viết phương trình tiếp
tuyến là tương đối đơn giản, học sinh chỉ cần tính đạo hàm và tìm hệ số góc của
tiếp tuyến, Đến bài tập 2 thì độ khó đã tăng nên đầu bài chỉ cho tung độ chúng
ta cần hướng dẫn học sinh tìm hồnh độ rồi quay về bài tập 1,ngồi ra bài tập 2
cịn có thể cho biết hồnh độ chúng ta phải tìm tung rồi mới viết phương trình
1
4

1
2

tiếp tuyến cụ thể như sau(( Cho hàm số: y = x 4 + x 2 + 1 (C ) . Viết phương trình
tiếp tuyến với (C) tại điểm có hồnh độ bằng -2 )).
3

Các bài tập tương tự
Bài tập 3:
1. Cho hàm số y =

2x +1
có đồ thị (C) . Gọi M là điểm thuộc (C) có tung độ bằng
x −1

5. Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các trục tọa độ Ox và Oy lần lượt tại A và B.
Tính diện tích tam giác OAB
ÐỀ CAO ĐẲNG NĂM 2013
Giải
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của

2x +1
=5 ⇔ x = 2
x −1

Phương trình tiếp tuyến : y – 5 = y’(2)(x – 2) ⇔ y = -3x + 11
Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các trục tọa độ Ox và Oy lần lượt tại A và B.
A (0; 11);

B(

11
1
121
; 0); S∆OAB = OA.OB =
(đvdt)
3

2
6
1
2

2. Cho hàm số y = f ( x) = x 4 − 3x 2 +

3
có đồ thị (C). Viết PTTT của đồ thị (C ) tại
2

điểm có hồnh độ là nghiệm phương trình f’’(x) = 0
3. Cho hàm số y = f(x) = -x3 + 3x2 + 9x + 2 có đồ thị (C). Viết PTTT của đồ thị
(C) biết tiếp tuyến có hồnh độ tiếp điểm x0 là nghiệm phương trình f’’(x0) =-6
4. Cho hàm số y = f(x) =

2x −1
có đồ thị (C). Viết PTTT của đồ thị (C) tại điểm
x+3

có hồnh độ x0 là nghiệm phương trình f’(x0) = 7
Bài tập 4. Cho hàm số y =

x+3
x −1

có đồ thị (C).

Cho M ( x0 , y0 ) ∈ (C ) , tiếp tuyến tại M cắt các tiện cận của đồ thị hàm số (C) tại
hai điểm A, B . Chứng minh rằng M là trung điểm AB .

M ( x0 , y0 ) ∈ (C ) ⇒ yo =

x0 + 3
,
x0 − 1

Giải

y' =

−4
−4
⇒ k=
,
2
( x − 1)
( x0 − 1) 2

tiếp tuyến tại M có dạng (d) :
x0 + 3
x02 + 5 x0 − 3
−4
−4
−4
y=
( x − x0 ) + y0 ⇔ y =
( x − x0 ) +
⇔y=
x+

( x0 − 1) 2
( x0 − 1) 2
x0 − 1
( x0 − 1) 2
( x0 − 1) 2

Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến (d) và tiệm cận đứng x = 1 .
suy ra tọa độ điểm A là nghiệm của hệ :

x02 + 5 x0 − 3
−4
x = 1
x
+
x +7
y =

2
2
)
( x0 − 1)
( x0 − 1) ⇔ 
x0 + 7 ⇒ A (1, 0

y
=
x
−
1
0

x = 1

x0 − 1



Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận ngang y = 1 ,
4


suy ra tọa độ của B là nghiệm của hệ :

x02 + 5 x0 − 3
−4
y
=
x
+
 x = 2 x0 − 1

⇒ B (2 x0 − 1,1)
( x0 − 1) 2
( x0 − 1) 2 ⇔ 

y
=
1

y =1


 x A + xB 1 + 2 x0 − 1
= x0 = xM
 2 =
2

x −7
⇒ M là trung diem AB (đpcm)
Nhận xét : 
1+ 0
 y A + yB
x0 − 1 x0 + 3
=
=
= yM

2
x0 − 1
 2

Nhận xét 2:
Đây là bài tập phải tính tốn tương đối phức tạp, đầu tiên ta phải giải
x +3

0
tích được điểm M thuộc đồ thị (C) nghĩa là M ( x0 , y0 ) ∈ (C ) ⇒ yo = x − 1 .
0
Phương trình tiếp tuyến được viết theo điểm M ( x0 , y0 ) ∈ (C ) .
Xác định các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị, sau đó tìm giao điểm
của tiếp tuyến với các tiệm cận bằng cách giải hệ phương trình tìm ra tọa độ
các điểm A, B.

Bài tập 5. Cho hàm số y =

2x
x +1

có đồ thị (C)

Tìm điểm M ∈ (C ) sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M cắt hai trục tọa độ
tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng

1
4

(ĐH 2007 khối D)

Giải
M ( x0 , y0 ) ∈ (C ) → y0 =

2 x0
,
x0 + 1

y'=

2
( x + 1) 2

Tiếp tuyến tại M có dạng :
2 x0

2 x02
2
2
y = y '( x0 )( x − x0 ) + y0 ⇔ y =
( x − x0 ) +
⇔y=
x+
(d )
( x0 + 1) 2
x0 + 1
( x0 + 1) 2
( x0 + 1) 2
Gọi A = (d ) ∩ Ox ⇒ tọa độ điểm A là nghiệm của hệ :

2 x02
2
x
+
 x = − x02
y =
2
2
⇔
⇒ A(− x02 , 0)
(
x
+
1)
(
x

+
1)


0
0
y = 0
y = 0

Gọi B = (d ) ∩ Oy ⇒ tọa độ điểm B là nghiệm của hệ :

2 x02
2
y
=
x
+
 x = 0 2 x02
2 x02

2
2
⇔
⇒
B
(0,
)
(
x
+

1)
(
x
+
1)


0
0
2
2
y
=
(
x
+
1)
(
x
+
1)

0
0
x = 0

2
2
Tam giác OAB vuông tại O ; OA = − x0 = x0 ; OB =

2 x02
2 x02
=
( x0 + 1) 2 ( x0 + 1) 2

Diện tích tam giác OAB :
1
S = OA.OB =
2

1 2 x04
1
.
= ⇔ 4 x04 = ( x0 + 1) 2
2
2 ( x0 + 1)
4
5


1

 2 x02 = x0 + 1
 2 x02 − x0 − 1 = 0
x0 = − ⇒ y0 = −2

⇔ 2
⇔ 2
⇔
2


 2 x0 = − x0 − 1  2 x0 + 1x0 + 1 (vn)
 x0 = 1 ⇒ y0 = 1
1
2

Vậy tìm được hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán : M 1 (− ; −2) ; M 2 (1,1)
Nhận xét 3:
Đây là bài tập phải tính tốn tương đối phức tạp và cách giải tương tự
như bài tập 4, nhưng sau khi tìm được tọa độ các điểm A, B chúng ta phải nhận
xét được tam giác OAB có đặc điểm gì để có thể tính được diện tích một cách
nhanh nhất. Cụ thể trong bài này thì tam giác OAB là tam giác vng tại O vì
1
OA.OB
2
Bài tập 6. Cho hàm số y = x3 − 3x + 1 có đồ thị (C), và điểm A( x0 , y0 ) ∈ (C) , tiếp

vậy diện tích tam giác OAB là S =

tuyến của đồ thị (C) tại điểm A cắt (C) tại điểm B khác điểm A . Tìm hồnh độ
điểm B theo x0
Giải
A
(
x
,
y
)
∈
Điểm

(C) ⇒ y0 = x03 − 3x0 + 1 , y ' = 3x 2 − 3 ⇒ y ' ( x0 ) = 3x02 − 3
0
0
Tiếp tuyến của đồ thị hàm có dạng :
y = y ' ( x0 )( x − x0 ) + y0 ⇔ y = (3x02 − 3)( x − x0 ) + x03 − 3x0 + 1 ⇔ y = (3x02 − 3)( x − x0 ) − 2 x03 + 1 (d )

phương trình hồnh độ giao điểm của (d) và (C) :
x 3 − 3x + 1 = (3x02 − 3)( x − x0 ) − 2 x03 + 1 ⇔ x 3 − 3x02 x + 2 x03 = 0 ⇔ ( x − x0 ) 2 ( x + 2 x0 ) = 0
( x − x0 ) 2 = 0
 x = x0
⇔
⇔
( x0 ≠ x)
x
=
−
2
x
x
+
2
x
=
0
0

0

Vậy điểm B có hồnh độ xB = −2 x0

Nhận xét 4:
Đây là bài tập thuộc dạng quen thuộc vì A( x0 , y0 ) ∈ (C) ⇒ y0 = x03 − 3x0 + 1
ta vẫn làm theo các bước thơng thường
- Tính f ' ( x) .
- Tính hệ số góc của tiếp tuyến k = f ' ( xo ) .
- Phương trình tiếp tuyến với độ thì (C) tại điểm M o ( xo ; yo ) là:
y − yo = f ' ( xo )( x − xo )

Tìm giao điểm của tiếp tuyến và đồ thị ta sẽ được hoành độ điểm B, chú ý là
hoành độ của điểm A phải khác hoành độ của điểm B.
2x − 4
Bài tập 7. Cho hàm số y =
có đồ thị (C)
x +1

6


Gọi M là một điểm bất kì trên đồ thị (C), tiếp tuyến tại M cắt các tiệm cận của
(C) tại A, B. Chưng minh rằng diện tích tam giác ABI (I là giao của hai tiệm
cận) không phụ thuộc vào vị trí của M.
Giải
 2a − 4 
Gọi M  a;
÷∈ ( C ) a ≠ −1
 a +1 
Tiếp tuyến tại M có phương trình: y =

6
2a − 4

2 ( x − a) +
a +1
( a + 1)

2a − 10 

Giao điểm với tiệm cận đứng x = −1 là A  −1;
÷
a +1 

Giao điểm với tiệm cận ngang y = 2 là B ( 2a + 1;2 )
Giao hai tiệm cận I(-1; 2)
12
1
1
IA =
; IB = 2 ( a + 1) ⇒ S IAB = IA. AB = .24 = 12 ( dvdt )
a +1
2
2
Suy ra đpcm
Bài tập 8. Cho hàm số y =

2x − 1
có đồ thị (C)
x −1

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M thuộc đồ thị, biết khoảng cách
từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến bằng 2 .
Giải

*Tiếp tuyến của (C) tại điểm M (x0 ; f (x0 )) ∈ (C ) có phương trình
y = f '(x0 )(x − x0 ) + f (x0 )

Hay x + (x0 − 1)2 y − 2x0 2 + 2x0 − 1 = 0 (*)
*Khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến (*) bằng 2
⇔

2 − 2x0
1 + (x0 − 1) 4

= 2

giải được nghiệm x0 = 0 và x0 = 2
*Các tiếp tuyến cần tìm : x + y − 1 = 0 và x + y − 5 = 0

2x − 1
có đồ thị (C)
x +1
Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ I (−1; 2) tới tiếp tuyến của (C) tại M

Bài tập 9. Cho hàm số y =
là lớn nhất

Giải

7




Gọi M  x0 ; 2 −


3 
 ∈ (C ) Thì phương trình tiếp tuyến tại M của đồ thị là
x0 + 1 

3
3
=
( x − x0 ) hay 3( x − x0 ) − ( x0 + 1) 2 ( y − 2) − 3( x0 + 1) = 0
x0 + 1 ( x0 + 1) 2
Khoảng cách từ I (−1;2) tới tiếp tuyến là:
3(−1 − x0 ) − 3( x0 + 1)
6 x0 + 1
6
d=
=
=
4
4
9
.
9 + ( x0 + 1)
9 + ( x0 + 1)
+ ( x0 + 1) 2
2
( x0 + 1)
9
+ ( x0 + 1) 2 ≥ 2 9 = 6 ,

Theo bất đẳng thức Cơsi ta có:
( x0 + 1) 2
y−2+

Vậy d ≤ 6 .
Khoảng cách d lớn nhất là bằng 6 khi
9
2
= ( x0 + 1) 2 ⇔ ( x0 + 1) = 3 ⇔ x0 = −1 ± 3 .
2
( x0 + 1)

Có hai điểm M thỏa mãn là M : M ( − 1 + 3 ;2 − 3 ) hc M ( − 1 − 3 ;2 + 3 )
Nhận xét 5:
Bài tập 9 là mở rộng của bài tập 8,chỉ khác nhau ở chỗ là bài tập 9 sau
khi tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng chúng ta phải lập luận
sao cho khoảng cách từ I (−1; 2) tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất.
Cách 1: chúng ta sử dụng bất đẳng thức Côsi như trên.
Cách 2: chúng ta sử dụng đạo hàm bằng cách đặt ẩn phụ như sau
d=

3(−1 − x0 ) − 3( x0 + 1)
9 + ( x0 + 1)

4

=

6 x0 + 1
9 + ( x0 + 1) 4

=

6 ( x0 + 1) 2
9 + ( x0 + 1) 4

( x0 + 1) 2
d=
9 + ( x0 + 1) 4

Đặt t = (x0 + 1)2, với t ≥ 0
Ta xét hàm số f (t ) =

t
trên [ 0; +∞ )
9 + t2

Tính đạo hàm rồi kẻ bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên chúng ta sẽ được
kết quả cần tìm.

B. CÁC BÀI TẬP MỞ RỘNG:
8


Bài tốn 1: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và một số k ∈ ¡ . Viết phương
trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k
Bài tập 10: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

x −1
(C) có hệ số

x +1

góc bằng 2.
Giải
x = 0
2
( x 2 + 2 x + 1) = 1 ⇔ x + 2 x = 0 ⇔ 
=
2
=>
( x + 1)
 x = −2
Có 2 toạ độ tiếp điểm là (0; −1), ( −2;3)
Hai phương trình tiếp tuyến: y = 3x − 1 và y = 3x + 9
−x + 3
Bài tập 11. Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) : y =
biết tiếp tuyến song
2x + 1
y'=

2

2

song với d : y = −7 x − 1 .

Ta có

−7

( 2 x0 + 1)

2

Giải
1
x=0
= −7 ⇔
= 1 ⇒ 
2
( 2 x0 + 1)
 x = −1

Có hai phương trình tiếp tuyến y = −7 x + 3, y = −7 x − 3
Bài tập 12. Cho hàm số y=x 3 − 3 x 2 + 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp
tuyến của (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng ∆ : 3 x − 5 y − 4 = 0
Giải
Đường thẳng ∆ có hệ số góc k∆ =

3
. Vì tiếp tuyến d cần tìm vng góc với
5

đường thẳng ∆ nên hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm là kd = −

5
3

Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến là nghiệm của phương trình :
1


x1 =

5
5
3
y ' = − ⇔ 3 x 2 − 6 x = − ⇔ 9 x 2 − 18 x + 5 = 0 ⇔ 
3
3
x = 5
 2 3
Thay lần lượt x1 , x2 vào phương trình tiếp tuyến tổng quát, ta được các tiếp
5
61
5
31
tuyến là: y = − x +
và y = − x −
3
7
3
7
Nhận xét 6:
9


Các bài tập 10, 11, 12 ta nhận thấy có chung một cách làm và đối với bài
toán Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và một số k ∈ ¡ . Viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k.
Cách làm

-Tìm hồnh độ tiếp điểm vì f’(x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến và y 0 = f (x 0 )
- Tìm tung độ của tiếp tuyến và viết phương trình tiếp tuyến khi đã cho hệ số
góc
- Chú ý: mối quan hệ giữa hai đường thẳng y = a1x + b1 và y = a2x + b2
Hai đường thẳng song song với nhau khi a1 = a2 và b1 khác b2
Hai đường thẳng vng góc với nhau khi a1. a2 = -1

Bài toán 2. Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm A ( a; b ) cho trước. Viết
phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) qua A đến đồ thị (C)
10


Bài tập 13. Cho hàm số y = x3 − 3x 2 + 2 . Viết phương trình tiếp tuyến kẻ đến đồ
thị từ điểm A(

23
; −2)
9
Giải

Đường thẳng d đi qua điểm A và có hệ số góc là k có dạng
23 

y = k  x − ÷− 2 (*)
9 

Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm
 3
23 
 3

23 


2
2
2
 x − 3 x + 2 = k  x − ÷− 2
 x − 3x + 2 = (3 x − 6 x)  x − ÷− 2
9 
9 
⇔



2
2
3 x − 6 x = k
3 x − 6 x = k


 x = 2
k = 0

1

  x =
5
3
⇔ 
⇔ k = −

3

  x = 3
k = 9
 2

3 x − 6 x = k
Thay k lần lượt vào (*), ta được các phương trình tiếp tuyến là
5
61
d1 : y = −2, d 2 : y = − x +
và d3 : y = 9 x − 25
3
27
1

3

3

(C ) . ViÕt pttt cđa (C) ®i qua A(0; ).
Bài tập 14. Cho hµm sè y = x 4 − 3x 2 +
2
2
2
Giải
3
2

Phơng trình đờng thẳng qua A(0; ) có dạng: y = kx +

3
2

(d )

Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:
3
3
1 4
2
 x − 3 x + = kx +
2
2 cã nghiÖm.
2
2 x 3 − 6 x = k

x = 0

Suy ra 3x 4 − 6 x 2 = 0 ⇔  x = 2
x = − 2


3
2

+) Víi x = 0 ⇒ k = 0 . Pttt lµ: y = .
3
2

+) Víi x = 2 ⇒ k = −2 2 . Pttt lµ: y = −2 2 x + .

11


3
2

+) Víi x= - 2 ⇒ k = 2 2 . Pttt lµ: y = 2 2 x + .
3
2

KÕt ln: VËy cã ba tiÕp tun kỴ tõ A(0; ) ®Õn ®Õn thÞ (C).
3
y= .
2

3
y = −2 2 x + .
2

3
y = −2 2 x + .
2

Nhận xét 7:
Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm A ( a; b ) cho trước. Viết phương
trình tiếp tuyến của đồ thị (C) qua điểm A
Cách giải
Đường thẳng d đi qua điểm A và có hệ số góc là k có dạng y = k ( x − a ) + b (*)

Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm
 f ( x) = k ( x − a) + b
 /
 f ( x) = k
Giải hệ phương trình trên ta tìm được k, thay k vào y = k ( x − a ) + b (*)

12


Bài tốn 3. Áp dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm
vào chứng minh bất đẳng thức .
3
và a + b + c = 1.
4
a
b
c
9
Chứng minh rằng: 2 + 2 + 2 ≤
a + 1 b + 1 c + 1 10

Bài tập 14. Cho a, b, c ≥ −

Giải
• Bất đẳng thức có dạng thuần nhất, đối xứng 3 biến
• Bất đẳng thức đã cho có dạng f (a) + f (b) + f (c) ≤ M
• Xét hàm số
f (x) =

x

 3 
x ∈  − ;3 ta có
với
 4 
x2 +1

f ′(x) =

1− x2
(x 2 + 1)2

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hồnh độ x =
y=

1
là
3

18
3
x+
25
50

Ta chứng minh rằng :
18
3
 3 
x+
∀x ∈  − ;3

25
50
 4 
 3 
Thật vậy : ∀x ∈  − ;3 xét
 4 
f ( x) ≤

f ( x) − (

18
3
−(3 x − 1) 2 (4 x + 3)
x+
)=
≤ 0 ln
25
50
50( x 2 + 1)

đúng.
Do đó với a,b,c thuộc

 3 
 − 4 ;3

và a+b+c = 1 ta có :

a
18

3
b
18
3
c
18
3
≤ a + , f (b) = 2 ≤ b +
, f (c ) = 2 ≤ c +
a + 1 25
50
b + 1 25 50
c + 1 25 50
a
b
c
18
3
18 9
9
⇒ 2
+ 2
+ 2
≤
(a + b + c) + .3 =
+
=
a + 1 b + 1 c + 1 25
50
25 50 10

Bất đẳng thức đã được chứng minh.
f (a) =

2

Bài tập 15. Cho a, b, c > 0.
Chứng minh rằng:

(2a + b + c)2
(2b + c + a) 2
(2c + a + b) 2
+
+
≤8
2a 2 + (b + c)2 2b2 + (c + a) 2 2c 2 + (a + b)2

Giải
• Bất đẳng thức có dạng thuần nhất ,đối xứng 3 biến
• Bất đẳng thức đã cho chưa có dạng f (a) + f (b) + f (c) ≤ M
Ta biến đổi như sau :
Do vai trò a, b, c bình đẳng như nhau nên có thể đặt a + b + c = 3
13


và dự đoán đẳng thức xảy khi a = b = c = 1
BĐT đã cho trở thành
(a + 3)2
(b + 3) 2
(c + 3) 2
+

+
≤8
2a 2 + (3 − a) 2 2b 2 + (3 − b) 2 2c 2 + (3 − c) 2
• Bất đẳng thức đã có dạng f (a) + f (b) + f (c) ≤ M
x 2 + 6x + 9
Xét hàm số y = f (x) = 2
với x ∈ (0; 3)
3x − 6x + 9
−4(2x 2 + 3x − 9)
′
f (x) =
3(x 2 − 2x + 3) 2
4
4
Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 là: y = x +
3
3
2
4  3x + 6x + 9 4
4 −(4x + 3)(x − 1) 2
4
− x− =
< 0, ∀x ∈ (0;3)
Xét f (x) −  x + ÷ = 2
3  3x − 6x + 9 3
3
3(x 2 − 2x + 3)
3

Từ đó ta có:

Vậy

(a + 3)2
4
4
(b + 3) 2
4
4
(c + 3) 2
4
4
≤
a
+
,
≤
b
+
,
≤ c+
2
2
2
2
2
2
3
3 2b + (3 − b)
3
3 2c + (3 − c)

3
3
2a + (3 − a)

(a + 3)2
(b + 3) 2
(c + 3) 2
4
4
+
+
≤ (a + b + c) + 3. = 4 + 4 = 8 đpcm
2
2
2
2
2
2
3
3
2a + (3 − a)
2b + (3 − b)
2c + (3 − c)

Nhận xét 8:
Bài tập 14, 15 là dạng bài tập về chứng minh một bất đẳng thức dựa vào
phương trình tiếp tuyến ta tổng quát thành các bước làm như sau:
Bước 1: Chọn điểm rơi của bất đẳng thức nếu đầu bài cho như bài 14, hoặc do
vai trò các biến là bình đẳng như nhau nên có thể đặt a + b + c = 3
và dự đoán đẳng thức xảy khi a = b = c = 1 như bài 15

Bước 2: Bất đẳng thức đã cho chưa có dạng f (a) + f (b) + f (c) + ..... ≤ M
Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số y = f (x) tại điểm rơi, chứng
minh được bất đẳng thức.

Bài tập tương tự
1. Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa điều kiện a 2 + b2 + c2 = 1
CMR:

a
b
c
3 3
+ 2 2+ 2
≥
2
2
2
b +c c +a
a +b
2

14


2. Cho a, b, c là 3 số thực thỏa điều kiện : a + b + c = 1
Chứng minh rằng :

1 1 1
b c 
a

+
+
≥
3
+
+ c÷

a
b
3a 3b 3c
3 3 3 

3. Cho x,y,z > 0 và x + y + z ≤ 1 .
1
1
1
x 2 + 2 + y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 82
Chứng minh rằng :
x
y
z
4.Chứng minh rằng :

a(b + c)
( b + c )2 + a 2

+

b(c + a)
(c + a)2 + b2

+

c( a + b )
(a + b)2 + c2

≤

6
5

15


PHẦN IV
THỜI GIAN VÀ HIỆU QUẢ ÁP DỤNG
Kết luận
Học xong chương trình lớp 11 học sinh cơ bản đã viết được phương trình
tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm, phương trình tiếp tuyến biết hệ số
góc. Đến lớp 12 học sinh mới được học viết phương trình tiếp tuyến đi qua một
điểm. Đa số học sinh còn chưa phân biệt được hay nói cách khác là cịn nhầm
lẫn giữa các dạng phương trình tiếp tuyến cơ bản với nhau. Học sinh thường hay
nhầm lẫn mặc định khi điểm M (x0; y0) thuộc đồ thị thì đó là tiếp tuyến tại một
điểm. Sau khi đã hướng dẫn các em phân chia các loại của phương trình tiếp
tuyến thì đa số các em khơng cịn sự nhầm lẫn và đã phân biệt và trình bày bài
làm khá tốt kể cả các bài phương trình tiếp tuyến trong các đề thi đại học và các
đề thi thử đại học.
Thời gian áp dụng: Học kì I năm học 201 3- 2014
Phạm vi: Lớp 12A2
Kết quả trước khi áp dụng:

Giái
Líp

SÜ sè

12A2 38

Kh¸

SL

%

SL

1

2,6% 4

%

Trung bình

Yếu

SL

%

SL

%

25%

25

61,9
%

10,5% 8

Kt qu sau khi ỏp dng:
Giỏi
Lớp

Sĩ số

12A2 38

Khá

Trung b×nh

Ỹu

SL

%

SL

%

32%

2

5,2%

SL

%

SL

%

10

26%

14

36,8% 12

16


PHẦN V

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa giải tích cơ bản 12.
2. Sách giáo khoa giải tích nâng cao 12.
3. Bài tập giải tích cơ bản 12.
4. Bài tập giải tích nâng cao 12.
5. Các đề thi ĐH - CĐ và các đề dự bị mơn tốn của BGD& ĐT.

PHẦN VI
PHỤ LỤC
TT
1
2
3
4
5
6
7

Nội dung
Trang bìa
Phần I. Mở đầu
Phần II. Tóm tắt lí thuyết
Phần III. Bài tập
Phần IV. Thời gian áp dụng và hiệu quả
Phần V.Tài liệu tham khảo
Phần VI. Phụ lục

Trang
1
2

3
4- 15
16
17
17

KẾT LUẬN CỦA HỘI ĐỒNG THẨM ĐỊNH
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
17


……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………

18